大学物理第04章_功和能
大学物理第四章--功和能
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a
l
xdx
2l
前已得出:
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时:
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例1一水平放置的弹簧,其一端固定,另一端系一小球,求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。(在O处弹簧无 形变)
解:根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上.在该质点从坐标原点运动到(0,2R)位
置过程中,力
F
对它所作的功为多少?
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图,水平桌面上有质点 m ,桌面的摩 擦系数为μ 求:两种情况下摩擦力作的功
04 力学:第四章 功和能
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在智利西部三千多公里的地方,有一个复活节岛, 岛上矗立着600多尊巨人石像 ,大的雕像有八九十 吨重。这些石像是公元一千年以前的波利尼西亚人 留下的,在没有复杂机械的情况下,他们如何将这 些巨大的雕像10公里以外的采石场运到海边?只用 原始的手段,搬运一个石像需要做多少功,需要提 供多少能量?
m1v1 − m2v2 = 0
−Gm1m2 1 2Gm1m2 1 2 2 = m1v1 + m2 v2 − l 2 2 l
① ②
联立①和② v1 = m2
2G 2G v2 = m1 l (m1 + m2 ) l (m1 + m2 )
§4.5 守恒定律的特点及其应用
§4.5 守恒定律的特点及其应用
特点和优点:不追究过程细节而能对系统的状态下结论。 动 量 守 恒: ∑ F外 = 0 三个守恒定律 角动量守恒: ∑ M 外 = 0 机械能守恒: A
思考:A放在斜面B上,B放在光 滑水平面上。当A下滑时,B也将 运动。问AB间的一对摩擦力做功 之和是正还是负?AB间的一对正 压力做功之和又如何?
A B
§4.2 动能定理
§4.2 动能定理
1.质点的动能定理
A AB= ∫ F ⋅ d r = ∫ Ft dr = m ∫A at dr
B A
B
B
dv at = dt
重力的功和重力势能
3.几种保守力和相应的势能 1)重力的功和重力势能
dA = mg ⋅ dr = Fy dy = −mgdy
A=∫
yb
= −( E pb − EPa ) = −ΔEP
O z
ya
( −mg ) dy = −mg (yb − ya )
大学物理 第四章功和能(必看)
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v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
r2
r1
解: 1)
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2)法一:
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒: mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒:
解得: v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
根据动能定理例题66已知一质点在x轴上运动其fx关系如图所示则质点运动从0到10m过程中f所作的功例题77有一倔强系数为的弹簧竖直放置下端悬一质量为的小球先使弹簧为原长而小球恰好与地面接触再将弹簧缓慢地提起直到小球能脱离地面为止
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念,能计算直线运动情况下变 力的功。
2
2
8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg
例题8
的水,桶的质量为2kg,由于水桶漏水,每升高1m
要漏去0.2kg的水,求:1)水桶匀速的从井底提到
井口,外力作功;2)将水桶以0.2m/s2 的加速度提
升到井口,外力作功。
解: 1)匀速运动时,满足:F mg
建立坐标如图所示,在任意位置, 水桶的总质量为:
Ek
1 mv 2 2
保守力:如果一对力的功与相对路径的形状无关, 只决定于相互作用质点的始末位置,这样的一对力 (简称一个力)称为保守力。(反之称为非保守力)
F dr 0
L
势能:质点系内的相互作用力是保守力,则存在着一
《大学物理》第四章功和能
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v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解:(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
(2)
开始在距地面 R 处自由下落。
求:它到达地球表面时的速度。 A m
解: E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律:
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7:航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度V1,脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 V2,脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度V3,设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质:
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
功和能ppt课件
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AAB (1) ABA (2) 0
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。
f
dr
L
b
f
dr
L'
a
f
dr
L
a
b
L
b
f
dr
L'
b
f
dr
0
a
a
a
b L’
万有引力、静电力、弹性力
与保守力相对的称为耗散力,如摩擦力。
21
三种保守力的功
17
§4.3 一对力的功
A f1 r1 f2 r2
系统内力总是成对出现
f2 (r2 r1) f2 r21
B
r 1
B1
f
1
r
B2
r 21
f
r 2
2
1
r 2
A1 A A2
O
B
AAB f2 dr21 A
一对力所做的功,等于 其中一个物体所受的力 沿两个物体相对移动的 路径所做的功。
f
1
d
r1
B2 A2
f
2
d11 r 2
1 2
m1v12B+12
m2v22B
(1 2
m1v12A+12
m2v22A)
即:外力的功之和+内力的功之和
=系统末动能-系统初动能
对质点系
A外 A内 EKB EKA
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之 和等于质点系总动能的增量。
注意:内力能改变系统的总动能,但不能改变系统 的总动量。
大学物理《功和能》课件
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L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时,如果持续一段时间,质点的动量会 改变;如果质点由空间位置的变化,则力对位移的累积(功) 会使质点的能量(动能和势能)发生变化。对功和能的研究, 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律(机械能守恒定律), 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远,E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态,Ep
0 , 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
大学物理-第4章功与能
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由于保守力的功只由路径的始、末位置确定,这就说明一定存在状态
重 大
函数,使得保守力的功可用状态函数的变化表示。
数
理 学
势能 potential energy
院
势能(势能函数)是由物体的相对位置决定的函数,与保守力做功
赵 有关,是状态函数。
承
均 1.势能差
物体在保守力场中 a, b 两点的势能 Ep ra , Ep rb 之差等于质点由
重
大
数 非保守力 non-conservative force
理
学
院
做功不仅与物体的始末位置有关,且与做功路径有关,称为非保守力。
赵 承 均
物体沿闭合路径绕行一周,保守力力所做的功恒为零。非保守力则无 此特性。
保守力
重力 弹力 万有引力 静电力
非保守力
摩擦力 ......
…… 爆炸力
第一篇 力学
二、势能
一、功 work
第一篇 力学
§4.1 功、功率
物体在外力作用下,在力的方向上发生了一段位移,则外力对物体作
重 功。功表征了力对空间的累计效应。
大
数 理
1.恒力做功 work done by uniform force
学
院
在恒力 F 作用下质点沿直线发生了一段位移 r ,则在此过程中,
力对质点所做的功按以下计算:
第一篇 力学
解:物体受万有引力,物体以初速度 v 发射,脱离地球引力至少在无穷 远处的速度为 0,
重
大 数 理 学
初态动能:
Eko
1 2
mv2
院
赵 末态动能: r , v 0, Ek 0
承 均
大学物理课件第4章-功和能
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如图,求船从离岸 x1处移到 x2 处的 过程中,力 F 对船所作的功.
F
解:判别F 是否为变力作功(大小不变,方
向变元),功属于dW变力作F功.建dx立坐F标,取dx元过co程sa
h
o x2
a
dx x x1 x
cosa x
x2 h2 x
dW F dx
x2 h2
功在数值上等于示功图
F
曲线下的面积。
3. 功率
0 x1
x2 x
dx
平均功率: P =ΔΔWt
瞬时功率:
P
= lim
Δt 0
Δ Δ
Wt =
dW dt
=
F
. dr
dt
= F .v
[ 例1 ] 有一单摆,用一水平力作用于m
使其极其缓慢上升。当θ 由 0 增大到 0 时,
求: 此力的功。
{
F T sinθ T cosθ mg
两边平方
v 2 v12
由动量守恒
2v1
v2
v 22
v
v1
v2
由机械能守 恒( 势能无变化)
v2
v12
v
2 2
v1 v2 0 两球速度总互相垂直
例8:已知半圆柱形光滑木凹槽,放在光滑桌面上,
如图,求质点下滑至最低点时给木块的压力.
解:
mv MV 0
•2.碰撞分类
正碰 斜碰
(从碰撞前后两球中心连线角度分类 )
弹性碰撞 非弹性碰撞 完全非弹性碰撞
一般非弹性碰撞
(从碰撞能量损失角度分类)
例7:在平面上两相同的球做完全弹性碰撞,其中一球开始时处于
大学物理之功、能、能量守恒定律
![大学物理之功、能、能量守恒定律](https://img.taocdn.com/s3/m/ed43300058eef8c75fbfc77da26925c52cc5916d.png)
大学物理之功、能、能量守恒定律
功
1、恒力做功(矢量的标积)。
2、变力做功(微分形式、矢量的标积)。
3、功率。
动能
1、公式及动能定理。
2、刚体的动能及其动能定理(转动的问题)。
势能
1、重力势能公式、重力的功等于重力势能增量的负值。
2、弹性势能公式、弹性力的功等于弹性势能增量的负值。
3、引力势能公式、万有引力的功等于引力势能增量的负值。
保守力和非保守力
保守力做功只与物体的始末位置有关和路径无关。
保守力做正功,系统的势能减少。
保守力做负功,系统的势能增加。
物体沿闭合路径绕行一周,保守力的功等于零。
非保守力如摩擦力,做功与路径有关。
能量守恒定律(机械能、非机械能)(保守力、非保守力)
1、一孤立系统的各种形式的能量保持不变,成为能俩功能守恒。
2、孤立系统中,机械能增加或减少时就有等量的非机械能减少或增加,从而保持机械能和非机械能之和不变。
3、孤立系统内只有保守力做功时,机械能保持不变。
4、外力和系统内非保守力所做功的总和,等于系统机械能的增量,称为系统的功能原理。
多做题,多分析,多复习。
04第四章 功与能作业答案
![04第四章 功与能作业答案](https://img.taocdn.com/s3/m/19e3a7e1551810a6f52486fc.png)
一.选择题 [ B ]1、(基础训练1)一质点在如图4-5所示的坐标平面内作圆周运动,有一力)(0j y i x F F+=作用在质点上.在该质点从坐标原点运动到(0,2R )位置过程中,力F对它所作的功为(A) 20R F . (B) 202R F .(C) 203R F . (D) 204R F .【提示】020220000d 2RRx y A F r F dx F dy F xdx F ydy F R =⋅=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰[ C ]2、(基础训练3)如图4-6,一质量为m 的物体,位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为h 处,该物体从静止开始落向弹簧,若弹簧的劲度系数为k ,不考虑空气阻力,则物体下降过程中可能获得的最大动能是(A) mgh . (B) kg m mgh 222-.(C) k g m mgh 222+. (D) kg m mgh 22+.【提示】 当合力为零时,动能最大,记为km E ,此时00, mgmg kx x k==;以弹簧原长处作为重力势能和弹性势能的零点,根据机械能守恒,有:20012km mgh E kx mgx =+-,求解即得答案。
[ B ]3、(基础训练6)一质点由原点从静止出发沿x 轴运动,它在运动过程中受到指向原点的力作用,此力的大小正比于它与原点的距离,比例系数为k .那么当质点离开原点为x 时,它相对原点的势能值是(A) 221kx -. (B) 221kx . (C) 2kx -. (D) 2kx . 【提示】依题意,F kx =-,x = 0处为势能零点,则021()2p xE kx dx kx =-=⎰[ B ]4、(自测提高2)质量为m =0.5 kg 的质点,在Oxy 坐标平面内运动,其运动方程为x =5t ,y =0.5t 2(SI ),从t = 2 s 到t = 4 s 这段时间内,外力对质点作的功为(A) 1.5 J . (B) 3 J . (C) 4.5 J .(D) -1.5 J .【提示】用动能定理求解。
大学物理 功和能汇总
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2 动能定理: A 1 2 mv 0
2A v 4 m s m
[思考] 在 x =0 至 x =1m 过程中, F 的冲量?
10
§4.3 质点系的动能定理
Theorem of Kinetic Energy for a system of Particle
对第 i 质点 求和
O 张力不做功,重力做功: 用动能变化定理解:
l
m
T
A mg dl mg dl cos
mgl cos d mgl sin 0 1 2 mgl sin mv 2
ˆn e
v
mg
ˆt e
比直接解牛顿方程简单,但仍作积分运算。
13
§4.4 *柯尼希定理
i
14
一对力 的功
内力总是成对出现 dr1 两质点间的内力 f ij 和 f ji ,
B1
B2
dr2
f 12
称为一对力 f ij f ji
m1
r21
f 21
m2
A1
A2
一对力做的功之和
dA = f12 dr1 + f21 dr2
f 21 dr2 dr1 f 21 dr21
mi ac dri
m i ac
z
y
mi
= ac mi dri
ri
ac
C 质心 O
12
= ac d mi ri = 0 A i
B
x
=
0
【例】柔软细绳长为l,小球质量为m,求摆下至 角时小球的速度和绳的张力。
大学物理功和能
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例4-4、一质量为m的质点,在xoy平面上运动。
其r位置a矢c量os为:ti
b
sin
tj
y
b
B
r
m
t A
x
其中a , b , 为正值常数,a > b 。 o
a
(1)求质点在A (a,0)点和B(0,b)点时的动能。
(2)求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的
解:(过1)程由中分r力
Fx
a
、Fy
cos
rdr
G rb ra 0
Mm r3
rdr
b
Mm
Mm
确定 (两G个0 质r点a ,) 则(MG、0 mrb
1 2
kx22
1 2
kx12
4 8102 (J )
例2:用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力
与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击,能把钉
子钉入木板1cm。第二次敲击时,保持第一次敲击钉子
的速度,那么第二次能把钉子钉入多深?
分析:由于两次锤击的条件相同,锤击后钉子获得的速
度也相同,所具有的初动能也相同;由动能定理
两式相加得:
即: 外力的功之和+内力的功之和 =系统末动能-系统初动能
记作:W外+W内=EKB - EKA
质点系动能定理
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功 之和等于质点系总动能的增量。
注意:内力能改变系统的总动能, 但不能改变系统的总动量。
说明: 1、动能是状态量,任一运动状态对应一 定的动能。 2、功是过程量,它与能量的改变有联系。 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。 4、动能与动量的异同:
F cos
S ab Fdr cos
第04章 功与能
![第04章 功与能](https://img.taocdn.com/s3/m/22266686e87101f69e3195e0.png)
1.碰撞的物理过程
碰撞问题的求解
设有两个质点发生碰撞。
p10 p20
碰撞前动量为 碰撞后动量为
Ep
G
mM r
1.2 势能曲线
质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。
E
r
O
O z
重力势能
O 弹性势能
x 万有引力势能
说明:
➢ 系统共有:某一质点的势能为该质点与对该质点 施加保守力的其它质点构成的质点系所共有
➢ 相对值: E p 的值与零势能参考点的选择有关 ➢ 位置的函数: E p E p (r) , E p E p (r) 构成一
合力对质点作的功为
A
P
v F
drv
P0
P
P0 Ft ds
P dv m ds
P0 dt
P ds m dv
P0 dt
v v0
mvdv
1 2
mv2
1 2
mv02
质点的动能:
Ek
1 2
mv
2
动能定理:
A Ek Ek0
为什么我们可以把动能看作是物体所具有的一种作功的本领? 利用动能作功的例子
数均为μ,结果如何?
mA
系统?
B m1 h
外力、保守内力、非保守内力?
谁作功?
列方程
mA
摩擦不计
B m0 h
物体B落到地面时的速度v ?
以物体A、B及地球作为系统 系统的机械能守恒
地面为重力势能零点,根据系统的机械能守恒,有:
1 2
mv1
2
1 2
m0 v1 2
m0 gh
v1
2m0 gh m m0
大学物理力学第四章功与能
![大学物理力学第四章功与能](https://img.taocdn.com/s3/m/f765cad2dd36a32d727581c8.png)
(2)保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力(耗散力):作功为负,
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关,
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
大学物理第04章功和能(1)
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( Mg )2 Mgh
k
k
最大压缩量x2
x2
2 Mg k
( Mg )2 Mgh
k
k
31
——只有保守内力作功的情况下,质点 系的机械能保持不变.
E Ek Ep
Ek Ek0 (Ep Ep0 ) Ek Ep
能量守恒定律:对一个与自然界无任何 联系的系统来说, 系统内各种形式的能量可 以相互转换,但是不论如何转换,能量既不 能产生,也不能消灭.
讨论 下列各物理量中,与参照系有关的物
B
dA F dr
m'm G r 2 er dr
m从A到B的过程中 F作功:
A
F dr
B A
G
m'm r2
er
dr
er
dr
er
dr
cos
dr
A rB G m'm dr
rA
r2
rA
A
er
r
m
dr
x 0, Ep 0
引力势能曲线
r , Ep 0
4.4 由势能求保守力
Fxdx Fydy Fzdz dEP ( x, y, z)
若保持y,z 不变, 则dy=dz=0
Fx
Ep x
同理
Fy
E p y
;Fz
Ep z
F
Fxi Fy j Fzk
k x2
保守力的功 A (Ep2 Ep1) EP
——保守力作正功,势能减少. 注意
势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z)
大学物理04功和能
![大学物理04功和能](https://img.taocdn.com/s3/m/80f7e3224b73f242336c5f90.png)
r1m v r2 m v2 1
r1v1 8.75 1010 5.46 104 r2 5.26 1012 m v2 9.08 102
P92 3.15 用绳系一小球使之在光滑的水平 面上做圆周运动,圆半径为r0,速率为v0。 今缓慢地拉下绳的另一端,使圆半径缩至 r时,小球的速率v为多大? mv0
A
与保守力相对的称为耗散力,如摩擦力。
4.6 机械能守恒 机械能 EM EK E p
A A A非保内力 A外力 Ek E p 保内力
E p
功能原理
当外力和非保守内力不作功,则
0 机械能守恒: Ek E p 或 EM C
P129 4.8 质量为 72kg的人跳蹦极。弹性蹦极带原长 20m,颈度系数为60N/m。忽略空气阻力。问(1)下落最 大速度及对应高度;(2)已知跳台离水面60m,此人会碰 到水面吗?xb
1 2 1 2 kxb kxa EP 2 2
•做功只与始末位置有关,与路径无 关的力——保守力。 •保守力做功等于势能增加的负值。
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。 常见保守力:万有引力、 静电力、弹性力、、、
B
q1q2 F K 2 , F kx r
起点
力的空间积累
ri
A
B
j
i
Fi
F(x)
功
Ai Fi ri
Ai Fi ri cosi
A
dA
元功
B x
或者Ai Fix x F1y y Fiz z
A到B做功
AAB
B Ai Fi ri Fi dri
大学物理功和能课件讲义
![大学物理功和能课件讲义](https://img.taocdn.com/s3/m/4d697cdffc0a79563c1ec5da50e2524de418d05e.png)
解: 以雪橇、冰道和地球为一系统,由功能原理得
Af E2 E1
E2 E1 mgh
Af mg cos s' mgs mg(s's)
mg(s's) mgh
代入已知数据有 s h s' 500m
例4.5 一半径为 R的四分之一圆弧垂直固定于地面上,
止,距离为a. 在万有引力作用下,
两者距离变为b. 在此过程中,万有引
力做的功A=.
解: A Epa Epb
( Gm2 ) ( Gm2 )
a
b
Gm2 (a b)
ab
[思考]两者距离为b时的速率?
[例4-8] 质量为m的质点在指向圆心的力
F=k/r2 的作用下,作半径为r的
圆周运动,若取Ep=0,则系统的机
2. 力学中常见的势能函数
(1) 万有引力势能
由
Aab
(
Gm1m2 ra
) (
Gm1m2 rb
)
=
EPa-EPb
以r→∞时为万有引力势能零点,即令 EPy 0
由任一状态势能值的定义,可得 两物体相距r时的万有引力势能
EP引
EP引
Gm1m2 dr Gm1m2
r
r2
r
O
r
E
P引
G m1m 2 r
一、保守力的定义
1.万有引力的功 —与路径无关 rb
dr
dA以MF处G Md为rm原点rG,Mr2m
r0
dr
r2
dr r
M
r
ra m
(r0
r) r
GMm
r 2 dr
rb
A
rb
ra
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Ek
1 2
mv2
单位:(J)
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
dr
b
元功:
F
dW F dr F cosds a
F cos
ma
m dv dt
dW
F
cosds m
dv ds dt
mvdv
总功:
W
dW
v2 v1
mvdv
1 2
m(v22
v12 )
质点的动能定理:
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
对系统内所有质点求和
i
n
n
n
n
Wi内 Wi外 Ek2i Ek1i
fi
i 1
i 1
i 1
i 1
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理:
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意:
内力做功可以改变系统 的总动能。
例3 如图所示,用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子 敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时,能够把钉子敲入 1cm深,若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同,问第二次能把钉子敲入多深?
dxi dyj dzk
bx ax
Fxdx
by ay
Fydy
bz az
Fzdz
在自然坐标系中
F F e Fnen dr dse
W
b
F dr
a
b
a F e
Fnen
dse
s1 s0
F
ds
附:功率的定义:
功率是反映作功快慢程度的物理量。
功率: 单位时间内所作的功。
平均功率: P W 瓦特(W)=(J/s) t
解:设物体在台面上滑动
时,在其上的长度为 x,则所受摩擦力可 表示为:
L v0
x
L
s
f m m gx (0 x L) f mmg (L x)
L
当物体前端在s处停下来时,台面对物体的摩擦力所做 的功:
s
Wf f dx 0 fdx
(
L m m gxdx) (
s
mmgdx)
0L
解 设铁锤敲打钉子前的 速度为v0,
敲打后两者的共同速 度为v。
Mv0 (M m)v
v Mv0 M m
O
S1
S2
x
铁锤第一次敲打时,克服阻力做功,设钉子所受阻 力大小为:
f kx
M m , v v0
由动能定理, 有:
0
1 2
mv02
S1 0
kxdx
1 2
kS12
设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为ΔS ,则有
第4章 功和能
主要内容:
功 动能定理 势能 引力势能 由势能求保守力 机械能守恒定律 守恒定律的意义 碰撞 两体问题 流体的稳定流动
4.1 功
功是度量能量转换的基本物理量,它描写了力 对空间积累作用。
功的定义:
物体发在生力了F位的移作用r,下则, 把 位力 移在r位的移乘方积向称的为分功力。与
z
F
瞬时功率:
lim P
W dW
t0 t dt
P dW dt
F dr dt
F v
例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如
果物体由静止出发沿直线运动,在头2(s)内这力作
了多少功?
解: F ma a F 6t 3t a dv
m2
dt
dv adt 3t dt
两边积分:
L
mmg( L s L) mmg(s L)
2
2
由动能定理:
Wf
0
1 2
mv02
v0
2mg(s L)
2
一对力的功
系统内力总是成对出现
f1 f2
W f1 r1 f2 r2
r 1
B1
f
1
r
B2
r
21
W
1 2
mv22
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
注意事项:
1、功虽然可以改变物体的动能,但功与动能 还是有区别的,功是过程量,动能是状态量。
2、动能定理适用于惯性系,功与动能的关系 成立是参考与同一个惯性系而言。
2.质点系的动能定理
一个由n个质点组成的质点系,考察第i个质点。
质点的动能定理:
Fi
Wi外 Wi内 Ek2i Ek1i
v
t
0 dv 0 3tdt
v dx dt
v 3t2 2
dx vdt 3 t 2dt 2
W F dx 2 6t 3 t 2dt 9 t 4 2 36 J
02
40
例2:光滑的水平桌面上有一环带,环带与小物体的摩擦 系数 m ,在外力作用下小物体(质量 m )以速率 v做匀 速圆周运动,求转一周摩擦力做的功。
F1
dr
F2
b a
Fn
Fn dr
dr
W W1 W2 Wn
结论:合力对质点所作的功等于每个分力对质点
作功之代数和。
在直角坐标系Oxyz中
F Fxi Fy j Fzk
r xi yj zk dr dxi dyj dzk
b
b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
0
1 2
mv02
S1 S
S1
kxdx
1 2
k
(
S1
S)2
1 2
kS12
(S1 S)2 2S12
化简后
S1 S 2S1
第二次能敲入的深度为:
S 2S1 S1 ( 2 1) 1cm 0.41cm
例4、矿砂由料槽均匀落在水平传送带上,砂流量q=50kg/s, 传送带匀速移动v=1.5m/s,求电动机拖动皮带的功率,看是 否等于单位时间内砂获取的动能?
解: 小物体对环带压力
r
v2
f m
r
走一段小位移 ds 所做的功
dW mm v2 ds
r
转一周 W dW mm v2 2r ds 2mmv2 r0
若桌面与小物体的摩擦系数也为µ则转一周摩擦力 做的功? 若是均匀的直杆呢?若是均匀的圆盘呢?
4.2 动能定理
1.质点动能定理
动能: 质点因有速度而具有的作功本领。
r
F
r1
O
x
y
W F r cos F r
国际单位:焦耳(J )N·m
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中,
b F
b b
W a F dr a F cos dr a
合力的功:
b
b
W
F dr
a
b
a F1 dr
b a
a F2
解: p f v
f t mv
f m v qv p qv2 113W t
EK
1 mv2 2
EK 56.5W P t
砂受到f作用,同样皮带也受到反作用力,其大小等于f, 方向相反!
例5、如图传送机通过滑道将长为L,质量为m的柔软匀 质物体以初速度v0向右送上水平台面,物体前端在台面上 滑动s后停下,已知滑道上的摩擦可以不计,物体与台面的 摩擦系数为µ,而且s>L,试求物体的初速度v0。