不等式与不等式组易错题精选教学内容
(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点
（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点一、选择题1．关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则不等式组的解集是（ ）A ．1x >-B ．3x ≤C ．13x -≤≤D ．13x -<≤【答案】D【解析】【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【详解】由数轴知，此不等式组的解集为-1＜x≤3，故选D ．【点睛】考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．2．不等式组30240x x -≥⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】【分析】【详解】解：30240x x -≥⎧⎨+>⎩①②， 解不等式①得，x ≤3解不等式②得，x ＞﹣2在数轴上表示为：.故选D ．【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．3．若关于x ，y 的方程组3,25x y m x y m -=+⎧⎨+=⎩的解满足x ＞y ＞0，则m 的取值范围是( )． A ．m ＞2B ．m ＞－3C ．－3＜m ＜2D ．m ＜3或m ＞2 【答案】A【解析】【分析】先解方程组用含m 的代数式表示出x 、y 的值，再根据x ＞y ＞0列不等式组求解即可.【详解】解325x y m x y m-=+⎧⎨+=⎩，得 212x m y m =+⎧⎨=-⎩. ∵x ＞y ＞0，∴21220m m m +>-⎧⎨->⎩， 解之得m ＞2.故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，用含m 的代数式表示出x 、y 的值是解答本题的关键.4．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（ ）A ．21090(18)2100x x +-≥B ．90210(18)2100x x +-≤C ．21090(18) 2.1x x +-≤D ．21090(18) 2.1x x +->【答案】A【解析】设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ．5．不等式组360420x x +≥⎧⎨->⎩的所有整数解的和为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D【解析】【分析】求出不等式组的解集，再把所有整数解相加即可．【详解】360420x x +≥⎧⎨->⎩360x +≥解得2x ≥-420x ->解得2x >∴不等式组的解集为22x -≤<∴不等式组的所有整数解为2,1,0,1--∴不等式组的所有整数解之和为21012--++=-故答案为：D ．【点睛】本题考查了解不等式组的问题，掌握解不等式组的方法是解题的关键．6．已知关于x 的不等式组的解集在数轴上表示如图，则b a 的值为（）A ．﹣16B ．C ．﹣8D ．【答案】B【解析】【分析】求出x 的取值范围，再求出a 、b 的值，即可求出答案.【详解】 由不等式组， 解得.故原不等式组的解集为1-b x -a ，由图形可知-3x 2，故， 解得，则b a =．故答案选B ．【点睛】本题考查的知识点是在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练的掌握在数轴上表示不等式的解集.7．关于x 的不等式组()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩恰有五个整数解，那么m 的取值范围为（ ） A ．21m -≤<-B ．21m -<<C ．1m <-D ．2m ≥-【答案】A【解析】【分析】先求出不等式组的解集，然后结合有五个整数解，即可求出m 的取值范围．【详解】 解：()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩解不等式①，得：x m >，解不等式②，得：3x ≤，∴不等式组的解集为：3m x <≤，∵不等式组恰有五个整数解，∴整数解分别为：3、2、1、0、1-；∴m 的取值范围为21m -≤<-；故选：A ．【点睛】本题考查了解不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，解题的关键是正确求出不等式组的解集，从而求出m 的取值范围．8．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤ ∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．9．若整数a 使得关于x 的方程3222a x x-=--的解为非负数，且使得关于y 的不等式组32212203y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ）． A ．17B ．18C ．22D ．25【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a 的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a 的值，进而求出之和．【详解】解：32212203y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪⎪⎩„， 不等式组整理得：1y y a >-⎧⎨⎩„， 由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y ≤a ，解得：a ≥3，即整数a ＝3，4，5，6，…，2－322a x x=--， 去分母得：2（x －2）－3＝－a ，解得：x ＝72a -， ∵72a -≥0，且72a -≠2， ∴a ≤7，且a ≠3，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a 为4，5，6，7，之和为22． 故选：C ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）A ．0x y +>B ．0x y ->C ．0x y +<D ．0x y -<【答案】A【解析】两边都除以3，得x ＞﹣y ，两边都加y ，得：x +y ＞0，故选A ．11．已知x=2是不等式()()5320x ax a --+≤的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a≤2C ．1＜a≤2D ．1≤a≤2【答案】C【解析】∵x=2是不等式(x−5)(ax−3a+2)⩽0的解，∴(2−5)(2a −3a+2)⩽0，解得：a ⩽2，∵x=1不是这个不等式的解，∴(1−5)(a −3a+2)>0，解得：a>1，∴1<a ⩽2，故选C.12．若关于x 的不等式组24x x a<⎧⎨-≤⎩的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥-B ．2a >-C ．2a ≤-D ．2a <-【答案】A【解析】【分析】求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集x<2，推出a 42+≥求解即可．【详解】 因为不等式组24x x a <⎧⎨-≤⎩的解集是x<2 所以不等式组2+4<⎧⎨≤⎩x x a 的解集是x<2 根据同小取较小原则可知，a 42+≥ ，故2a ≥-故选：A【点睛】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组）等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集和已知得到a 42+≥是解此题的关键．13．在数轴上表示不等式x <2的解集，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 把不等式x ＜2的解集在数轴上表示出来可知答案．【详解】在数轴上表示不等式x ＜2的解集故选：A ．【点睛】本题运用了不等式的解集在数轴上的表示方法，体现了数形结合的数学思想．14．若不等式组236x x x m -<-⎧⎨<⎩无解，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2 B ．m ＜2 C ．m ≥2 D ．m ≤2【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m 的取值范围．【详解】解：236x x x m -<-⎧⎨<⎩②① 由①得，x ＞2，由②得，x ＜m ，又因为不等式组无解，所以根据“大大小小解不了”原则，m ≤2．故选：D ．【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握求不等式组的解集，要根据以下原则：同大取较大，同小较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15．不等式组26020x x +>⎧⎨-≥⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：26020x x +>⎧⎨-≥⎩①②， 由①得：3x >-；由②得：2x ≤，∴不等式组的解集为32x -<≤，表示在数轴上，如图所示：【点睛】考核知识点：解不等式组.解不等式是关键.16．已知4＜m＜5，则关于x的不等式组420x mx-<⎧⎨-<⎩的整数解共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】先求解不等式组得到关于m的不等式解集，再根据m的取值范围即可判定整数解．【详解】不等式组0 420 x mx-<⎧⎨-<⎩①②由①得x＜m；由②得x＞2；∵m的取值范围是4＜m＜5，∴不等式组420x mx-<⎧⎨-<⎩的整数解有：3，4两个．故选B．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m的取值范围是本题的关键．17．不等式x﹣2＞的解集是（）A．x＜﹣5 B．x＞﹣5 C．x＞5 D．x＜5【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】去分母得：4x﹣8＞6x+2，移项、合并同类项，得：﹣2x＞10，系数化为1，得：x＜﹣5．故选A．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．18．如图，不等式组315215x x --⎧⎨-<⎩„的解集在数轴上表示为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可.【详解】由题意可知：不等式组315215x x ①②--⎧⎨-<⎩„，不等式①的解集为2x ≥-，不等式②的解集为3x <，不等式组的解集为23x -≤<，在数轴上表示应为. 故选C .【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.19．一元一次不等式组2(3)40113x x x +-⎧⎪+⎨>-⎪⎩…的最大整数解是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】解出两个不等式的解，再求出两个不等式的解集，即可求出最大整数解；【详解】 ()2340113x x x ⎧+-⎪⎨+>-⎪⎩①②… 由①得到：2x+6-4≥0，∴x ≥-1，由②得到：x+1＞3x-3，∴x＜2，∴-1≤x＜2，∴最大整数解是1，故选C．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．20．不等式组30213xx+⎧⎨->⎩…的解集为（）A．x＞1 B．x≥3C．x≥﹣3 D．x＞2【答案】D【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】解：30213xx+>⎧⎨->⎩①②，由①得，x≥﹣3，由②得，x>2，故此不等式组的解集为：x>2．故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是分别解出各不等式的解集，利用数轴求出不等式组的解集，难度适中．。
方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编附答案解析
方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编附答案解析一、选择题1．在数轴上表示不等式x <2的解集，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 把不等式x ＜2的解集在数轴上表示出来可知答案．【详解】在数轴上表示不等式x ＜2的解集故选：A ．【点睛】本题运用了不等式的解集在数轴上的表示方法，体现了数形结合的数学思想．2．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13，则关于x 的不等式（m+n ）x ＞n ﹣m 的解集是（ ） A ．x ＜﹣12B ．x ＞﹣12C ．x ＜12D ．x ＞12 【答案】A【解析】【分析】 根据不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13，则0m <，0n <，3m n =，即可求出不等式的解集.【详解】 解：∵关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13， ∴0m <，0n <，3m n =，∴0m n +<，解不等式()m n x n m >-+， ∴n m x m n-<+，∴3132n m n n x m n n n --<==-++； 故选：A.【点睛】 本题考查了解一元一次不等式，以及不等式的性质，解题的关键是熟练掌握解不等式的方法和步骤.3．若关于x 的不等式6234x x a x x +<+⎧⎪⎨+>⎪⎩有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．15＜a ≤18B ．5＜a ≤6C ．15≤a ＜18D ．15≤a ≤18【答案】A【解析】【分析】解不等式组，由有且只有三个整数解确定出a 的范围即可．【详解】 解不等式组得：23x a x >⎧⎪⎨<⎪⎩，即2＜x ＜3a ， 由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解为3，4，5，∴5＜3a ≤6， 解得：15＜a≤18，故选：A ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解本题的关键．4．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤ ∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．5．若不等式组0,122x a x x -≥⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1B ．a≥－1C ．a≤1D ．a ＜1 【答案】D【解析】【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找，确定a 的取值范围是a ＜1．【详解】解：0122x a x x -≥⎧⎨->-⎩①②， 由①得：x≥a ，由②得：x ＜1，∵不等式组有解，故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确解出两个不等式的解集，掌握确定不等式组解集的方法．6．如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为30米，要使靠墙的一边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度x 的取值范围为（ ）A ．0米5x <≤米B ．103x ≥米C ．0米103x <≤米 D ．103米5x ≤≤米 【答案】D【解析】【分析】 设与墙垂直的一边的长为x 米，根据铁丝长40米，墙的长度30米，靠墙的一边不小于25米，列出不等式组，求出x 的取值范围即可．【详解】解：设与墙垂直的一边的长为x 米，根据题意得：4032540330x x -≥⎧⎨-≤⎩， 解得：103≤x≤5； 故选：D ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意本题要用数形结合思想．7．不等式组1240x x >⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.【详解】解：1240x x >⎧⎨-≤⎩①② ∵不等式①得：x ＞1，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为1＜x≤2， 在数轴上表示为：，故选A.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.8．下列四个不等式：(1)ac bc >；(2)-ma mb <；22 (3) ac bc >；(4)1a b>,一定能推出a b >的有() A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】 根据不等式的性质逐个判断即可求得答案．【详解】解：在（1）中，当c ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，在（2）中，当m ＞0时，则有-a ＜b ，即a ＞-b ，故不能推出a ＞b ，在（3）中，由于c 2＞0，则有a ＞b ，故能推出a ＞b ，在（4）中，当b ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，综上可知一定能推出a ＞b 的只有（3），故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负．9．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（ ）A ．21090(18)2100x x +-≥B ．90210(18)2100x x +-≤C ．21090(18) 2.1x x +-≤D ．21090(18) 2.1x x +->【答案】A【解析】设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ．10．若关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a >D ．3a ≥ 【答案】D【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围．【详解】∵关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解， ∴a-1≥2,∴a ≥3.故选:D.【点睛】考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．11．一元一次不等式组2(3)40113x x x +-⎧⎪+⎨>-⎪⎩…的最大整数解是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】解出两个不等式的解，再求出两个不等式的解集，即可求出最大整数解；【详解】 ()2340113x x x ⎧+-⎪⎨+>-⎪⎩①②… 由①得到：2x+6-4≥0，∴x ≥-1，由②得到：x+1＞3x-3，∴x ＜2，∴-1≤x ＜2，∴最大整数解是1，故选C ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．12．若m －n ＞0，则下列各式中一定正确的是（ ）A ．m ＞nB ．mn ＞0C ．0m n <D ．－m ＞－n【答案】A【解析】∵m －n ＞0，∴m ＞n （不等式的基本性质1）.故选A.13．下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a b >，得ac bc >B ．由a b >，得2ax bc >C ．由a b >，得ac bc <D ．由a b >，得a c b c ->-【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】A ． 若a b >，当c ＞0时才能得ac bc >，故错误；B ． 若a b >，但2,x c 值不确定，不一定得2ax bc >，故错；C ． 若a b >，但c 大小不确定，不一定得ac bc <，故错；D ． 若a b >，则a c b c ->-，故正确．故选：D【点睛】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．14．如果关于x 的分式方程有负数解，且关于y 的不等式组无解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．3【答案】B【分析】解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y的不等式组，可整理得∵该不等式组解集无解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵得x＝而关于x的分式方程有负数解∴a﹣4＜0∴a＜4于是﹣3≤a＜4，且a为整数∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3则符合条件的所有整数a的和为0．故选B．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．15．如果不等式组26x xx m-+<-⎧⎨>⎩的解集为x＞4，m的取值范围为（）A．m＜4 B．m≥4C．m≤4D．无法确定【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组中第一个不等式的解集，根据不等式组的解集确定出m的范围即可．【详解】解不等式﹣x+2＜x﹣6得：x＞4，由不等式组26x xx m-+<-⎧⎨>⎩的解集为x＞4，得到m≤4，【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．16．不等式x ﹣2＞的解集是（ ） A ．x ＜﹣5B ．x ＞﹣5C ．x ＞5D ．x ＜5【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】去分母得：4x ﹣8＞6x +2，移项、合并同类项，得：﹣2x ＞10，系数化为1，得：x ＜﹣5．故选A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．17．若关于x 的不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤﹣3B ．a ＜﹣3C ．a ＞3D ．a≥3 【答案】A【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a 的取值范围即可． 【详解】∵不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩无解， ∴a ﹣4≥3a+2，解得：a≤﹣3，故选A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.18．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ）A ．m ﹣2＜n ﹣2B ．44m n >C ．6m ＜6nD ．﹣8m ＞﹣8n【答案】B【解析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．【详解】A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；B、将m＞n两边都除以4得：m n44>，此选项正确；C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误，故选B．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．19．若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．2＜a≤3B．2≤a＜3 C．0＜a＜3 D．0＜a≤2【答案】A【解析】【分析】结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a的取值范围【详解】由于x<a恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a≤3故正确答案为A【点睛】此题考查了不等式的整数解，列出关于a的不等式是解题的关键20．如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a≥2D．a≤2【答案】D【解析】【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a的范围即可．【详解】∵不等式组232x ax a+⎧⎨-⎩＞＜无解，∴a+2≥3a﹣2，解得：a≤2．故选D．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键．。
(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编及答案解析
（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编及答案解析一、选择题1．不等式组213,1510520x x x x -<⎧⎪++⎨-≥⎪⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别解不等式求出不等式组的解集，由此得到答案.【详解】解213x x -<得x>-1，解1510520x x ++-≥得3x ≤， ∴不等式组的解集是13x -<≤，故选：D.【点睛】此题考查解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确解每个不等式是解题的关键.2．不等式组30240x x -≥⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】【详解】解：30240x x -≥⎧⎨+>⎩①②， 解不等式①得，x ≤3解不等式②得，x ＞﹣2在数轴上表示为：.故选D ．【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．3．关于x 的不等式组()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩恰有五个整数解，那么m 的取值范围为（ ） A ．21m -≤<-B ．21m -<<C ．1m <-D ．2m ≥-【答案】A【解析】【分析】先求出不等式组的解集，然后结合有五个整数解，即可求出m 的取值范围．【详解】 解：()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩解不等式①，得：x m >，解不等式②，得：3x ≤，∴不等式组的解集为：3m x <≤，∵不等式组恰有五个整数解，∴整数解分别为：3、2、1、0、1-；∴m 的取值范围为21m -≤<-；故选：A ．【点睛】本题考查了解不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，解题的关键是正确求出不等式组的解集，从而求出m 的取值范围．4．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．5．不等式组2201x x +>⎧⎨-≥-⎩的解在数轴上表示为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】解不等式组求得不等式组的解集，再把其表示在数轴上即可解答.【详解】2201x x ①②+>⎧⎨-≥-⎩， 解不等式①得，x ＞-1；解不等式②得，x ≤1；∴不等式组的解集是﹣1＜x ≤1.不等式组的解集在数轴上表示为：故选D.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解决问题的关键．6．如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为30米，要使靠墙的一边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度x 的取值范围为（ ）A ．0米5x <≤米B ．103x ≥米C ．0米103x <≤米 D ．103米5x ≤≤米 【答案】D【解析】【分析】 设与墙垂直的一边的长为x 米，根据铁丝长40米，墙的长度30米，靠墙的一边不小于25米，列出不等式组，求出x 的取值范围即可．【详解】解：设与墙垂直的一边的长为x 米，根据题意得：4032540330x x -≥⎧⎨-≤⎩， 解得：103≤x≤5； 故选：D ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意本题要用数形结合思想．7．不等式组30213xx+⎧⎨->⎩…的解集为（）A．x＞1 B．x≥3C．x≥﹣3 D．x＞2【答案】D【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】解：30213xx+>⎧⎨->⎩①②，由①得，x≥﹣3，由②得，x>2，故此不等式组的解集为：x>2．故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是分别解出各不等式的解集，利用数轴求出不等式组的解集，难度适中．8．如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a≥2D．a≤2【答案】D【解析】【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a的范围即可．【详解】∵不等式组232x ax a+⎧⎨-⎩＞＜无解，∴a+2≥3a﹣2，解得：a≤2．故选D．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键．9．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0【答案】C【解析】【分析】根据a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，可以得到b 与a 、c 的关系，从而可以判断b 的正负和b 2﹣ac 的正负情况．【详解】∵a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，∴a +c ＝﹣2b ，∴a ﹣2b +c ＝（a +c ）﹣2b ＝﹣4b ＜0，∴b ＞0，∴b 2﹣ac ＝222222a c a ac c ac +++⎛⎫-= ⎪⎝⎭＝2222042a ac c a c -+-⎛⎫= ⎪⎝⎭…， 即b ＞0，b 2﹣ac ≥0，故选：C ．【点睛】此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b 和b 2-ac 的正负情况．10．关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则不等式组的解集是（ ）A ．1x >-B ．3x ≤C ．13x -≤≤D ．13x -<≤【答案】D【解析】【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【详解】由数轴知，此不等式组的解集为-1＜x≤3，故选D ．【点睛】考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．11．一元一次不等式组2(3)40113x x x +-⎧⎪+⎨>-⎪⎩…的最大整数解是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】解出两个不等式的解，再求出两个不等式的解集，即可求出最大整数解；【详解】 ()2340113x x x ⎧+-⎪⎨+>-⎪⎩①②… 由①得到：2x+6-4≥0，∴x ≥-1，由②得到：x+1＞3x-3，∴x ＜2，∴-1≤x ＜2，∴最大整数解是1，故选C ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．12．若关于x 的不等式组24x x a<⎧⎨-≤⎩的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥-B ．2a >-C ．2a ≤-D ．2a <-【答案】A【解析】【分析】求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集x<2，推出a 42+≥求解即可．【详解】 因为不等式组24x x a <⎧⎨-≤⎩的解集是x<2 所以不等式组2+4<⎧⎨≤⎩x x a 的解集是x<2 根据同小取较小原则可知，a 42+≥ ，故2a ≥-故选：A【点睛】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组）等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集和已知得到a42+≥是解此题的关键．13．在数轴上表示不等式x<2的解集，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】把不等式x＜2的解集在数轴上表示出来可知答案．【详解】在数轴上表示不等式x＜2的解集故选：A．【点睛】本题运用了不等式的解集在数轴上的表示方法，体现了数形结合的数学思想．14．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由（1）得x＞-1，由（2）得x≤1，所以-1＜x≤1．故选B．15．不等式组222xx>⎧⎨-≥-⎩的解集在数轴上表示为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先解不等式组，然后根据不等式组的解集判断即可．【详解】222x x ①②>⎧⎨-≥-⎩由①，得x ＞1，由②，得x ≤2，∴不等式组的解集为1＜x ≤2，故选C ．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握解不等式组是解题的关键．16．不等式组26020x x +>⎧⎨-≥⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】 解：26020x x +>⎧⎨-≥⎩①②， 由①得：3x >-；由②得：2x ≤，∴不等式组的解集为32x -<≤，表示在数轴上，如图所示：故选：C ．【点睛】考核知识点：解不等式组.解不等式是关键.17．不等式x ﹣2＞的解集是（ ） A ．x ＜﹣5B ．x ＞﹣5C ．x ＞5D ．x ＜5【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】去分母得：4x ﹣8＞6x +2，移项、合并同类项，得：﹣2x ＞10，系数化为1，得：x ＜﹣5．故选A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．18．已知点P （a +1，12a -+）关于原点的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】试题分析：∵P （1a +，12a -+）关于原点对称的点在第四象限，∴P 点在第二象限，∴10a +<，102a -+>，解得：1a <-，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C ．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．19．关于x 的方程2111ax x x -=++的解为非正数，且关于x 的不等式组22533a x x +⎧⎪+⎨⎪⎩„…无解，那么满足条件的所有整数a 的和是（ ）A ．﹣19B ．﹣15C ．﹣13D ．﹣9 【答案】C【解析】解：分式方程去分母得：ax ﹣x ﹣1=2，整理得：（a ﹣1）x =3，由分式方程的解为非正数，得到 31a -≤0，且 31a -≠﹣1，解得：a ＜1且a ≠﹣2．不等式组整理得：224axx-⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，由不等式组无解，得到22a-＜4，解得：a＞﹣6，∴满足题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．不等式组21512xx①②->⎧⎪⎨+≥⎪⎩中,不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：根据解一元一次不等式组的一般步骤解答，并把解集表示在数轴上，再作判断即可.详解：解不等式①，得：x1<;解不等式②，得：x3≥-；∴原不等式组的解集为：3x1-≤<，将解集表示在数轴上为：故选C.点睛：掌握“解一元一次不等式组的解法和将不等式的解集表示在数轴上的方法”是解答本题的关键.。
专题07 不等式与不等式组重难点突破讲义(解析版)
专题07 不等式与不等式组重难点突破讲义【典例解析】题型一、不等式及其性质【例1】（2020·嵊州市期中）式子：①35；②450x +>；③3x =；④2x x +；⑤4x ≠-；⑥21x x +≥+．其中是不等式的有（ ）． A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C.【解析】解：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠-4；⑥x+2≥x+1是不等式， ∴共4个不等式． 故答案为：C ．【例2-1】（2021·浙江杭州模拟）若x y >，则（ ） A ．22x y < B ．1x y >+C ．2222x y --<--D ．11x y -<-【答案】C.【解析】解：A ．∵x>y ，∴2x>2y ， A 不正确；B ．∵x>y ，∴x+1>y+1， B 不正确；C ．∵x>y ，∴-2x-2<-2y-2， C 正确；D ．∵x>y ，∴x-1>y-1， D 不正确； 故答案为：C ．【例2-2】（2019·云南玉溪期末）已知a ＜b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．20182018a b< B ．﹣2a ＜﹣2b C ．a ﹣2018＞b ﹣2018 D ．a+2018＞b+2018【答案】A.【解析】解：A 、∵a<b ，2018>0， ∴20182018a b<，正确； B 、∵a<b ，-2<0，∴ -2a>-2b ，错误； C 、∵a<b ，∴a-2018<b-2018，错误； D 、∵a<b ，∴a+2018<b+2018，错误； 故答案为：A ．【例3】若不等式(2)2a x a ->-的解是1x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．2a >C ．2a <D ．2a <-【答案】C.【解析】解：不等式（a -2）x ＞a -2的解集为x ＜1， ∴a -2＜0， 解得：a ＜2， 故答案为：C ．【例4】（2020·山西期中）李明乘车驶入地下车库时，发现车库入口处有几个标志码（如图1），其中第一个标志（如图2）表示“限高2m”．若设车的高度为x m ，则以下几个不等式中对此标志解释准确的是 （ ）A ．2x ≥B ．2x >C ．2x ≤D ．2x <【答案】C.【例5】（2020·成武县期中）关于x 的不等式2x-a≤-1的解集为x≤1，则a 的值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B.【解析】解：2x−a≤−1，2x≤a−1，x≤12a -， ∵x≤1， ∴12a -＝1， 解得：a ＝3， 故答案为：B ．【例6】（2020·哈尔滨月考）若关于x 的不等式(-1) 1m x m <-的解集为1x >，则m 的取值范围是（ ） A ．1m B ．1m <C ．1m ≠D ．1m =【答案】B.【解析】解：∵不等式（m-1）x ＜m-1的解集为x ＞1， ∴m-1＜0，即m ＜1， 故答案为：B ． 题型二、含参数类【例7-1】（2020·湖南株洲市）关于x 的不等式30x a -≤只有两个正整数解，则a 的取值范围是_______ 【答案】6≤a ＜9．【解析】解：原不等式解得x≤3a， 解集中只有两个正整数解，这两个正整数解是1，2， ∴2≤3a＜3， 解得：6≤a ＜9． 故答案为：6≤a ＜9．【例7-2】（2020·广西南宁市期末）若关于x 的不等式2x +a ≤0只有两个正整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣6≤a ≤﹣4 B ．﹣6＜a ≤﹣4C ．﹣6≤a ＜﹣4D ．﹣6＜a ＜﹣4【答案】B.【解析】解：解不等式2x +a ≤0，得：x ≤﹣2a，不等式只有两个正整数解，这两个正整数解为1、2， 则2≤﹣2a＜3， 解得：﹣6＜a ≤﹣4， 故答案为：B ．【变式7-1】（2021·北京专题练习）已知关于x 的不等式21x m x -<-的正整数解是1，2，3，则m 的取值范围是（ ） A ．34m < B ．34m <C ．811m <D ．811m <【答案】C.【解析】解原不等式得：13m x +<不等式的正整数解为1，2，3，∴1343m +<解得：8<m≤11 故答案为：C.【变式7-2】（2021·中山大学附属中学）若关于x 的不等式3x ＋1＜m 的正整数解是1，2，3，则整数m 的最大值是_____． 【答案】13.【解析】解：解不等式3x ＋1＜m ，得13m x -<． ∵关于x 的不等式3x ＋1＜m 的正整数解是1，2，3， ∴1343m -<≤， ∴1013m <≤，∴整数m 的最大值是13． 故答案为：13．【变式7-3】（2020·海淀区期中）已知关于x 的不等式2x ﹣k ＞3x 只有两个正整数解，则k的取值范围为_____． 【答案】-3≤k ＜-2. 【解析】解：∵2x -k ＞3x ， ∴2x -3x ＞k ， ∴x ＜-k ，因为只有两个正整数解，则2＜-k ≤3， ∴-3≤k ＜-2， 故答案为：-3≤k ＜-2．【变式7-4】若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为( ) A ．74a -<<- B ．74a -≤≤-C ．74a -≤<-D ．74a -<≤-【答案】D.【例8-1】（2021·陕西西安市月考）不等式组9511x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A ．2m B ．1mC ．1mD ．1m <【答案】C.【解析】解：解不等式①得x>2，解不等式②得：x>m+1， ∵不等式组的解集是x>2， ∴m+1≤2 解得：m≤1， 故答案为：C ．【例8-2】（2020·浙江期末）若关于x 的不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围是（ ）A ．2m <B ．2m >C ．2m ≥D ．2m ≤【答案】C.【解析】解：∵不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩无解，∴m -1≥1， 解得：m ≥2， 故答案为：C ．【例8-3】若不等式组5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩有实数解．则实数m 的取值范围是 ( )A ．53m ≤B ．5＜3m C ．53m ＞D ．53m ≥【答案】A.【解析】解：5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩①②由①，得x 53≤；由②，得x ≥m ， ∵不等式组有实数解， ∴m 53≤． 故答案为：A ．【例8-4】（2020·宁波市期末）若关于x 的不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m 的取值范围是（ ） A ．68m << B ．67≤<mC ．67m ≤≤D ．67m <≤【答案】D. 【解析】解：解不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩①②，由①式得，x<m ，由②式得x≥3，故m 的取值范围是：6<m≤7， 故答案为：D ．【变式8-1】若关于x 的一元一次不等式组2132x x x m ->+⎧⎨<⎩的解集是3x <-，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≥- B ．3m >-C ．3m ≤-D ．3m <-【答案】A.【解析】解：解不等式2x -1＞3x +2，得：x ＜-3， ∵不等式组2132x x x m->+⎧⎨<⎩的解集为x ＜-3，∴m ≥-3． 故答案为：A ．【变式8-2】若关于x 的一元一次不等式组12x x m<≤⎧⎨>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A ．2m <B ．2m ≤C ．1m <D ．12m ≤<【答案】A.【解析】解：∵不等式组12x x m <≤⎧⎨>⎩有解，∴m ＜2， 故答案为：A ．【变式8-3】已知关于x 的不等式6m x <<的整数解共有3个，则m 的取值范围为_____________． 【答案】2≤m ＜3.【解析】解：由题意得：符合题意的整数解为5，4，3 ∴m 不能取值3，可以取值2 ∴2≤m ＜3故答案为：2≤m ＜3． 题型三、不等式组及其解法【例9】（2020·成都市锦江区月考）若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3x my m =⎧⎨=+⎩（m 为常数），方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩的解x 、y 满足3x y +>，则m 的取值范围为______．【答案】m ＞2.【解析】解：方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩，可转换为1112221(2)21(2)2a x y b x y c a x y b x y c ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++= ⎪⎪⎝⎭⎩，∵方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解集为3x my m =⎧⎨=+⎩，∴方程组1112221(2)21(2)2a x yb x yc a x y b x y c ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++= ⎪⎪⎝⎭⎩的解为：1223x y m x y m ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩①②，由②-①得：x=2把x=2代入①得：y=m －1， ∴x+y=m+1>3， ∴m>2， 故答案为：m>2．【例10】（2021·武城县四女寺镇明智中学九年级一模）不等式组1124223122x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A.【解析】解：1124223122x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩①②，由①得：x ＞-3，由②得：x ≤1， ∴不等式组的解为：-3＜x ≤1，在数轴上表示如下：故答案为：A ．【例11】（2020·山东枣庄月考）若关于,x y 的二元一次方程组23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足 3x y +>-，求出满足条件的m 的所有正整数数值．【答案】1、2、3、4.【解析】解：由23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩①② ①+②得：3x+3y=-3m+6即x+y=-m+2>-3 ∴m<5满足条件的m 的所有正整数数值是1、2、3、4. 【例12】（2021·天津河西区）解不等式组321251x x x ≤+⎧⎨+≥-⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为______．【答案】（1）1x ≤；（2）3x ≥-；（3）见解析；（4）31x -≤≤【例13】（2021·江西模拟）解不等式组：3(2)41213x x x x --≥-⎧⎪+⎨>-⎪⎩，并在数轴上表示它的解集．【答案】x ≤1．【解析】解：3(2)4?121?3x x x x --≥-⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，∵解不等式①得：x ≤1，解不等式②得：x ＜4， ∴不等式组的解集为：x ≤1， 在数轴上表示不等式组的解集为：．【例14】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的一个关联方程．如一元一次方程213x -=的解是2x =，一元一次不等式组21354x x >⎧⎨-<⎩的解集是132x <<，我们就说一元一次方程213x -=是一元一次不等式组21354x x >⎧⎨-<⎩的一个关联方程． （1）在方程①310x -=，②240x -=，③(21)7x x +-=-中，不等式组52322x x x x -<-+⎧⎨->-+⎩的关联方程是 ；（填序号）（2）若不等式组112132x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可）（3）若方程92x x -=，132()2x x +=+都是关于x 的不等式组22x x mx m <-⎧⎨-⎩的关联方程，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）②；（2）x-1=0；（3）1≤m ＜2． 【解析】解：（1）解不等式组52322x x x x -<-+⎧⎨->-+⎩得：712x <<， ∵方程①的解为13x =；方程②的解为x=2；方程③的解为：x=-2，∴不等式组的关联方程是②，故答案为：②；（2）解不等式组112132x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩ 得：1342x <<， 所以不等式组的整数解为：x=1，故答案为：x-1=0；（3）解不等式组22x x m x m<-⎧⎨-⎩ 得：2m x m <+．方程9-x=2x 的解为：x=3， 方程132()2x x +=+的解为：x=2， 其是关于x 的不等式组22x x m x m<-⎧⎨-⎩的关联方程， ∴m 222m 323m m <⎧⎪+≥⎪⎨<⎪⎪+≥⎩， 解得：1≤m ＜2∴m 的取值范围是1≤m ＜2．题型四、实际应用【例15】（2020·安徽合肥）春节期间某商场为促销，将定价为50元/件的商品如下销售：一次性购买不超过5件按照原价销售；一次性购买超过5件则按原价的八折出售．旗旗现在有290元，则最多可购买这种商品（ ）件．A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B.【解析】解：设旗旗可以购买x 件商品，∵290＞250，∴旗旗购买的商品超过5件，50×0.8x≤290，解得：x≤714． ∵x 为整数，∴x 的最大值为7.故答案为：B ．【例16】（2021·合肥市期中）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧共购买10盒蛋糕，花费的金额不超过500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（ ）A ．430B ．450C ．460D ．490【答案】D. 【解析】解：设阿慧购买x 盒桂圆蛋糕，则购买（10-x ）盒金枣蛋糕，则()()7040105001261075x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩， 解得：122≤x ≤133， ∵x 是整数，∴x =3，70×3+40×（10-3）=490（元）．故答案为：D ．【例17-1】（2020·河南驻马店期中）阅读以下结论：（1）若|x |＝a （a ≥0），则x ＝±a ． （2）若|x |＞a （a ＞0），则x ＞a 或x ＜﹣a ；若|x |＜a （a ＞0），则﹣a ＜x ＜a ．（3）若（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0（0＜a ＜b ），则x ＞b 或x ＜a ；若（x ﹣a ）（x ﹣b ）＜0（0＜a ＜b ），则a ＜x ＜b ．根据上述结论，解答下面问题：（1）解方程：|3x ﹣2|﹣4＝0．（2）解不等式：|3x ﹣2|﹣4＞0．（3）解不等式：|3x ﹣2|﹣4＜0．（4）解不等式：（x ﹣2）（x ﹣5）＞0．（5）解不等式：（2x ﹣3）（2x ﹣5）＜0．【答案】（1）x ＝2或x ＝﹣23；（2）x ＞2或x ＜﹣23；（3）﹣23＜x ＜2；（4）x ＞5或x ＜2；（5）32＜x ＜52． 【解析】（1）解：|3x ﹣2|﹣4＝0，3x ﹣2＝4或3x ﹣2＝﹣4，解得x ＝2或x ＝23-； （2）解：|3x ﹣2|﹣4＞0，3x ﹣2＞4或3x ﹣2＜﹣4，解得x ＞2或x ＜23-； （3）解：|3x ﹣2|﹣4＜0，﹣4＜3x ﹣2＜4， 解得23-＜x ＜2； （4）解：（x ﹣2）（x ﹣5）＞0，x ﹣5＞0或x ﹣2＜0，解得x ＞5或x ＜2；（5）解不等式：（2x ﹣3）（2x ﹣5）＜0，3＜2x ＜5， 解得32＜x ＜52． 【例17-2】（2020·北京通州区期末）对于一个数x ，我们用(]x 表示小于x 的最大整数，例如： (](](]2.62,34,109=-=-=．（1）填空：(]2020___________-=，(]2.4___________-=，(]0.7___________=； （2）如果,a b 都是整数，(]a 和(]b 互为相反数，求代数式224a b b -+的值；（3）如果(]3x =，求x 的取值范围．【答案】（1）-2021，-3，0；（2）4；（3）-3＜x ≤-2或3＜x ≤4.【解析】解：（1）（-2020]=-2021，（-2.4]=-3，（0.7]=0；故答案为：-2021，-3，0．（2）∵a ，b 都是整数，且（a]和（b]互为相反数，∴a-1+b-1=0，∴a+b=2，∴a 2-b 2+4b=（a-b ）（a+b ）+4b=2（a-b ）+4b=2（a+b ）=2×2=4；（3）当x ＜0时，∵|（x]|=3，∴x ＞-3，∴-3＜x≤-2；当x ＞0时，∵|（x]|=3，∴x ＞3，∴3＜x≤4．故x 的范围取值为-3＜x≤-2或3＜x≤4．【例18】（2020·四川南充期末）已知方程组2331x y k x y k +=+⎧⎨-=--⎩的解中，x 是非负数，y 是正数．（1）求k 的取值范围；（2）化简：21k k --+；（3）当k 为何整数时，不等式221x k kx +<+的解集为1x >．【答案】（1）425k -<≤；（2）-2k+1；（3）1或2.【解析】解：（1）解方程组2331x y k x y k +=+⎧⎨-=--⎩①②①＋②，得 22x k =-+ ∴12kx =-+①－②，得 254y k =+ ∴522ky =+ 已知102k x =-+，且5202ky =+>∴k 2≤且45k >- ∴425k -<≤（2）∵425k -<≤∴20k -≤且10k +＞． ∴21k k --+(2)(1)k k =---+21k =-+ 即21k k --+21k =-+；（3）∵221x k kx +<+∴221kx x k ->-∴(21)21k x k ->-∵解集为 1x >，∴210k ->． ∴12k > 结合425k -<≤ 得122k <≤．∴整数k=1或k=2．【例19】某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A ，B 两种树苗，共21棵，已知A 种树苗每棵90元，B 种树苗每棵70元．设购买A 种树苗x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元．（1）求y 与x 的函数表达式，其中0≤x ≤21；（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意，得：y =90x +70（21﹣x ）=20x +1470，所以函数解析式为：y =20x +1470；（2）∵购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，∴21﹣x ＜x ，解得：x ＞10.5，又∵y =20x +1470，且x 取整数，∴当x =11时，y 有最小值=1690，∴使费用最省的方案是购买B 种树苗10棵，A 种树苗11棵，所需费用为1690元．【例20】（2021·河南郑州市期中）某班对期中考试进步的同学进行表彰，若购买百乐笔15支，晨光笔20支，需花费250元；若购买百乐笔10支，晨光笔25支，需花费225元． （1）求百乐笔、展光笔的单价；（2）如果再次购买百乐笔、晨光笔共35支，并且购买两种笔的总费用不超过300元，求至多购买多少支百乐笔？【答案】见解析．【解析】解：（1）设百乐笔的单价为x 元/支、展光笔的单价为y 元/支，根据题意得，15202501025225x y x y +=⎧⎨+=⎩，整理得：34502545x y x y +=⎧⎨+=⎩①② ①×2－②×3得：y=5把y=5代入①得：x=10105x y =⎧∴⎨=⎩答：百乐笔的单价为10元、展光笔的单价为5元．（2）设购买百乐笔m 支，则晨光笔（35-m ）支，由题意得：()10535300m m +-≤，解得：m ≤25，答：至多购买25支百乐笔．【例21】某学校为了增强学生体质，加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买方案．【答案】见解析．【解析】解：（1）设购买一根跳绳需要x 元，购买一个毽子需要y 元，依题意，得：25324336x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：64x y =⎧⎨=⎩． 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元；（2）设购买m 根跳绳，则购买（54−m ）个毽子，由题意，得：()645426020m m m ⎧+-≤⎨>⎩，解得：20＜m ≤22．∵m 为正整数，∴m 可以为21，22．∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．。
不等式(组)常见错题解析及对策
一元一次不等式常见错题解析及对策张文彩同学们由于初学不等式，受以前等式的迁移影响以及对不等式新知识的理解不透，可能会出现这样那样的错误，从而导致学习成绩下降，学生的失败感增强，挫伤了学生学习数学的信心，从而导致对数学学习失去兴趣。
当学生的学习数学兴趣丧失时，这不是所有数学老师所希望的。
为了激发学生的学习兴趣，增强学生学习数学的自信，在平时教学中，准确把握学生的易错点，课堂上多加强调或讲解或让学生多加训练，从而使学生顺利的避免易错点，提高学生写作业的正确率，体会学习数学的成功感，这样学生的数学学习就会感到轻而易举。
我根据多年的教学经验，与平时学生易出错的知识点，本文针对不等式基础知识中常出现的问题归纳存档，希望帮助学生绕出谜区，走向成功.一、去括号时有两种错误，第一种乘法分配律不会用；第二种是忽视括号前的负号 例1 解不等式3x +2(2－4x )<19．错解：去括号，得3x +4－4x <19，解得x >－15．诊断：错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项．正解： 去括号，得3x +4－8x <19，－5x <15，所以x >－3．例2 解不等式5x －3(2x －1)>－6．错解：去括号，得5x －6x －3>－6，解得x <3．诊断：去括号时，当括号前面是“－”时，去掉括号和前面的“－”，括号内的各项都要改变符号．错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号．正解：去括号，得5x －6x +3>－6，所以－x >－9，所以x <9．二．去分母时，有以下错误：第一种，漏乘不含分母的项，第二种：忽视分数线的括号作用，第三种：约分时出错例3：解不等式x －31 x >2x +1 错解：去分母，得x －2(x －1)>3x +1，去括号，解得x <41．诊断：去分母时，要用最简公分母去乘不等式两边的每一项．而错解在只乘了含有分母的项，漏乘了不含有分母的项：x 和1.．正解：去分母，得6x －2(x －1)>3x +6，去括号，得6x －2x +2>3x +6，解得x >4．例4.解不等式44+x <61-x +1 误：去分母，得3(x +4)<2(x －1)+1，最后一项1没有乘最小公倍数12.正解：在去分母时，不等式中的每一项都要乘以公分母．得3(x +4)<2(x －1)+12得x ＜－2， 例4 解不等式72523>--x x ． 错解：去分母，得6x －2x －5>14，解得x >419． 诊断：此处的分数线有两个作用，一是除号的作用，相当于（2x-5）÷2;二是括号的作用，也就是2x 与5的差。
高中数学不等式易错题型和解题教学
高中数学不等式易错题型和解题教学姜㊀辣(南京市建邺高级中学ꎬ江苏南京２１００００)摘㊀要:不等式在高中数学中占有重要的地位ꎬ其不仅仅是作为一个独立的知识体系存在ꎬ也贯穿整个高中数学的学习过程中.正确掌握不等式的解法ꎬ对于提高数学素养和解决实际问题有着重要的意义.本文通过研究高中数学不等式易错题型ꎬ探讨不等式在数学教学中的重要性ꎬ并提出一些可行的解题教学策略.关键词:高中数学ꎻ不等式ꎻ易错题目ꎻ解题教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０６－００３８－０３收稿日期:２０２３－１１－２５作者简介:姜辣(１９８１.２－)ꎬ男ꎬ江苏省南京人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀在高中数学中ꎬ不等式不仅仅是一个独立的知识点ꎬ还深深嵌入在代数㊁几何㊁函数ꎬ甚至是概率统计等多个数学分支之中.因此ꎬ正确应用不等式ꎬ是学生在整个高中数学学习过程中不可或缺的能力[１].然而ꎬ在实际教学中发现ꎬ许多学生会因为误解不等式性质㊁疏忽计算过程㊁选择不当的解题策略等原因ꎬ在处理不等式题目时陷入困境ꎬ甚至犯下错误.这些错误不仅直接影响了他们的答题正确率ꎬ还导致他们对整个不等式知识体系的理解出现偏差ꎬ进而影响到他们在其他相关数学知识点的学习和理解.因此ꎬ本文将重点针对这些常见的易错题型进行分析ꎬ通过探讨原因并提供相应的解题策略ꎬ帮助学生避免和纠正这些错误ꎬ从而更好地掌握和运用不等式知识ꎬ提高他们的数学解题能力.１易错题型分析１.１不等式组及其解题方法不等式的解集和不等式组的解集是不同的ꎬ常见的易错点包括对于不等式的联立方程和求解方法不理解ꎬ对于解的范围和形式的产生误解.对于单个不等式ꎬ解集通常由半开区间或闭区间构成ꎬ要注意考虑限制条件和特殊情况ꎬ正确求解不等式[２].而对于不等式组ꎬ解集通常由各个不等式解集的交集或并集构成ꎬ要注意联立的方式和解的数量ꎬ正确求解不等式组.例１㊀解不等式组６－２ｘɤｘ２－３ｘꎬｘ２－３ｘ<１８{解㊀原不等式组可化为ｘ２－ｘ－６ȡ０ꎬｘ２－３ｘ－１８<０ꎬ{因式分解得(ｘ－３)(ｘ＋２)ȡ０ꎬ(ｘ－６)(ｘ＋３)<０ꎬ{所以ｘɤ－２或ｘȡ３ꎬ－３<ｘ<６ꎬ{所以－３<ｘɤ－２或３ɤｘ<６.所以不等式的解集为{ｘ｜－３<ｘɤ－２或３ɤｘ<６}.点评㊀学生要加强对不等式的解法和解的表现形式的理解ꎬ多进行实战演练和推导计算ꎬ并注意题目中的一些特别提示和隐含条件ꎬ以便正确地求解不等式和不等式组ꎬ提高解题的准确度和效率.１.２绝对值不等式及解题方法在求解绝对值不等式时ꎬ我们需要根据符号的８３不同分类讨论ꎬ将不等式拆分成多个情况求解ꎬ并验证解是否符合原不等式.这类问题的易错点常常因学生不能正确理解绝对值符号含义而出现.学生在求解过程中ꎬ会忽略实际情况下的取值ꎬ导致在 去绝对值 符号求解时ꎬ出现细节性的错误.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝｜ｘ－ａ｜＋｜ｘ＋３｜. (１)当ａ＝１时ꎬ求不等式ｆ(ｘ)ȡ６的解集ꎻ(２)若ｆ(ｘ)>－ａꎬ求ａ的取值范围.解㊀(１)当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)＝｜ｘ－１｜＋｜ｘ＋３｜ꎬ即求｜ｘ－１｜＋｜ｘ＋３｜ȡ６的解集ꎬ当ｘȡ１时ꎬ原不等式可化为２ｘ＋２ȡ６ꎬ得ｘȡ２ꎻ㊀当－３<ｘ<１时ꎬ原不等式可化为４ȡ６ꎬ无解ꎻ当ｘɤ－３时ꎬ原不等式可化为－２ｘ－２ȡ６ꎬ得ｘɤ－４.综上ꎬ不等式ｆ(ｘ)ȡ６的解集为{ｘ｜ｘɤ－４或ｘȡ２}.(２)ｆ(ｘ)＝｜ｘ－ａ｜＋｜ｘ＋３｜ȡ｜(ｘ－ａ)－(ｘ＋３)｜＝｜ａ＋３｜ꎬ当且仅当(ｘ－ａ)(ｘ＋３)ɤ０时ꎬ等号成立.所以ｆ(ｘ)ｍｉｎ＝｜ａ＋３｜>－ａꎬ当ａ<－３时ꎬ原不等式可化为－ａ－３>－ａꎬ无解ꎻ㊀当ａȡ－３时ꎬ原不等式可化为ａ＋３>－ａꎬ解得ａ>－３２ꎬ综上所述ꎬａ的取值范围是(－３２ꎬ＋ɕ).点评㊀对于绝对值不等式ꎬ有三种求解方法: (１)利用分类讨论法 去绝对值 符号ꎬ将绝对值不等式问题变为普通的不等式问题ꎻ(２)当不等式两端均为正数时ꎬ可以对两边分别平方ꎬ将其转化为普通不等式求解ꎻ(３)根据绝对值的几何意义ꎬ结合数形结合思想进行求解.学生在解决绝对值不等式问题时ꎬ需要仔细理解符号含义㊁进行明确分析㊁加强细节注意.１.３一元二次不等式及解题方法一元二次不等式是不等式中的常见问题之一ꎬ常常涉及二元一次方程组㊁二次函数等概念ꎬ常见的易错点包括忽略不等式的限制条件.比如分母不能为零㊁公式运用错误㊁平方根法则ꎬ未充分了解不等式的形式和解的数量导致求解错误ꎬ等等.例３㊀已知一元二次不等式ｘ２＋ｐｘ＋ｑ<０的解集为{ｘ｜－１２<ｘ<１３}ꎬ求不等式ｑｘ２＋ｐｘ＋１>０的解集.解㊀因为ｘ２＋ｐｘ＋ｑ<０的解集为{ｘ｜－１２<ｘ<１３}ꎬ所以ｘ１＝－１２与ｘ２＝１３是方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的两个实数根ꎬ由根与系数的关系得１３－１２＝－ｐꎬ１３ˑ(－１２)＝ｑꎬìîíïïïï解得ｐ＝１６ꎬｑ＝－１６.{所以不等式ｑｘ２＋ｐｘ＋１>０即为－１６ｘ２＋１６ｘ＋１>０ꎬ整理得ｘ２－ｘ－６<０ꎬ解得－２<ｘ<３.即不等式ｑｘ２＋ｐｘ＋１>０的解集为{ｘ｜－２<ｘ<３}.点评㊀求解步骤:第一步:审结论 明确解题方向如要解ｑｘ２＋ｐｘ＋１>０ꎬ最好能确定ｐꎬｑ的值.第二步:审条件 挖掘题目信息利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于ｐꎬｑ的方程组.第三步:建联系 找解题突破口由给定不等式的解集形式ң确定关于ｐꎬｑ的方程组ң求得ｐꎬｑң代入所求不等式ң求解ｑｘ２＋ｐｘ＋１>０的解集[３].１.４线性规划及其解题方法线性规划问题是高考数学考试中的热门考点ꎬ通常以选择题㊁填空题的题型呈现.这类问题的难度一般不大ꎬ但需要学生熟练掌握线性不等式的基本概念和解题方法.学生在求解该类题型时ꎬ常见的错误有:对约束条件的理解不准确㊁忽略约束条件的实９３际情况㊁利用代交点法直接求解㊁认为目标函数的最大值对应的情况是截距最大等.例４㊀若ｘꎬｙ满足约束条件２ｘ＋ｙ－２ɤ０ꎬｘ－ｙ－１ȡ０ꎬｙ＋１ȡ０ꎬìîíïïï则ｚ＝ｘ＋７ｙ的最大值为.解㊀不等式组表示的平面区域如图所示ꎬ目标函数ｚ＝ｘ＋７ｙ即:ｙ＝－１７ｘ＋１７ｚꎬ其中ｚ取得最大值时ꎬ其几何意义表示直线系在ｙ轴上的截距最大ꎬ据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点Ａ处取得最大值ꎬ联立直线方程:２ｘ＋ｙ－２＝０ｘ－ｙ－１＝０{ꎬ可得点Ａ的坐标为:Ａ(１ꎬ０)ꎬ据此可知目标函数的最大值为:ｚｍａｘ＝１＋７ˑ０＝１.故答案为１.图１㊀例４题解析示意图点评㊀线性规划问题有三种常见题型:一是求解目标函数的最值问题ꎻ二是求解所形成的区域面积ꎻ三是求解目标函数的取值范围.解决该类问题ꎬ数形结合思想必不可少.为了避免解题过程出现错误ꎬ要严格按照 画 移 求 答 四个步骤进行. 画 即画图确定可行域ꎻ 移 即根据目标函数的几何意义ꎬ结合图象ꎬ找到目标函数的最值对应的点ꎻ求 即将对应的点坐标代入目标函数中ꎻ 答 即回答对应问题.２解题教学策略以下是一些解决高中数学中不等式易错题目的解题教学策略.一是建立完整的知识体系.不等式成立与否的判定和解题方法ꎬ本质上要依赖于运算规律和不等式性质.因此ꎬ在学习不等式的时候ꎬ需要先建立完整的不等式知识体系.包括理解不等式的含义㊁不等式的基本性质㊁不等式的基本运算及其法则等方面ꎬ以及需要熟练应用这些知识进行解题.二是掌握不等式的基本性质.不等式的基本性质包括加减同项㊁乘除同因㊁同向性等ꎬ是解决不等式问题的基础.学生需要熟练掌握这些不等式的基本性质ꎬ并且在解题过程中正确运用ꎬ从而避免因运算错误而导致的答案错误.三是学会使用变形和替换技巧.在解决不等式问题中ꎬ变形和替换是非常重要的技巧.学生需要掌握常见的变形和替换技巧ꎬ例如平方两边㊁提取公因数㊁配方等.在运用这些技巧的时候ꎬ学生需要注意是否改变了不等式的大小关系ꎬ避免由于运算错误而导致的答案错误.四是掌握一些常见的不等式套路题目.不等式套路题目包括均值不等式㊁柯西不等式等.学生需要熟悉这些不等式套路题目的应用场景ꎬ并且学会根据题目的要求选择合适的不等式套路ꎬ从而解决问题.五是要注重数学归纳法的运用.数学归纳法在解决不等式问题时是非常有效的方法.通过数学归纳法证明不等式的正确性可以增加学生解决不等式问题的信心ꎬ同时也有助于提高学生的系统性思考和证明能力[４].３结束语通过上面的讨论ꎬ可以发现不等式问题的常见错误类型ꎬ以及避免这些问题的相应教学策略ꎬ希望给一线教师提供参考.参考文献:[１]古智良.高中数学不等式易错题型及解题技巧分析[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２１(５２):７５－７６.[２]祝永华.高中数学不等式易错题型解题技巧分析[Ｊ].中学教学参考ꎬ２０２０(３５):２９－３０.[３]徐键.高中数学不等式易错题型及解题教学[Ｊ].数学大世界(中旬)ꎬ２０２０(０９):７３.[４]李静.分析高中数学不等式易错题型及解题技巧[Ｊ].求知导刊ꎬ２０２０(２７):８１－８２.[责任编辑:李㊀璟]０４。
(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编及解析
（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编及解析一、选择题1．不等式组53643x x x +>⎧⎨+>-⎩的整数解的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，最后确定整数解的个数即可．【详解】53643x x x +>⎧⎨+>-⎩①②， 由①得：x>-2，由②得：x<3，所以不等式组的解集为：-2<x<3，整数解为-1，0，1，2，共4个，故选C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及解集的确定方法是解题的关键．解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．2．不等式组30240x x -≥⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】【详解】 解：30240x x -≥⎧⎨+>⎩①②， 解不等式①得，x ≤3解不等式②得，x ＞﹣2在数轴上表示为：.故选D ．【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．3．若不等式24x <的解都能使关于x 的一次不等式2(1)x x a ++<成立，则a 的取值范围是( )A ．8a ≥B ．8a ≤C ．8a >D ．8a < 【答案】A【解析】【分析】先求出不等式24x <的解集，再求出不等式2(1)x x a ++<的解集，即可得出关于a 的不等式并求解即可．【详解】解：由24x <可得：x ＜2；由2(1)x x a ++<可得：x ＜23a -； 由题意得：23a -≥2，解得：a≥8； 故答案为A ．【点睛】本题主要对解一元一次不等式组、不等式的解集等知识，根据题意得到关于a 的不等式是解答本题的关键．4．关于x ，y 的方程组32451x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解满足237x y +>，则m 的取值范围是（ ） A ．14m <-B ．0m <C ．13m >D ．7m > 【答案】C【解析】【分析】 通过二元一次方程组进行变形可得到关于2x+3y 与含m 的式子之间的关系，进一步求出m的取值范围.【详解】 32451x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩①②①-②，得2x+3y=3m+6∵2x+3y>7∴3m+6>7∴m>13【点睛】此题考查含参数的二元一次方程，重点是将二元一次方程组进行灵活变形，得到与其他已知条件相联系的隐藏关系，进而解题.5．已知关于x 的不等式组的解集在数轴上表示如图，则b a 的值为（ ）A ．﹣16B ．C ．﹣8D ． 【答案】B 【解析】【分析】 求出x 的取值范围，再求出a 、b 的值，即可求出答案.【详解】由不等式组， 解得.故原不等式组的解集为1-bx -a ， 由图形可知-3x 2，故， 解得，则b a =． 故答案选B ．【点睛】本题考查的知识点是在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练的掌握在数轴上表示不等式的解集.6．关于x 的不等式组()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩恰有五个整数解，那么m 的取值范围为（ ） A ．21m -≤<-B ．21m -<<C ．1m <-D ．2m ≥-【答案】A【解析】【分析】先求出不等式组的解集，然后结合有五个整数解，即可求出m 的取值范围．【详解】解：()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩解不等式①，得：x m >，解不等式②，得：3x ≤，∴不等式组的解集为：3m x <≤，∵不等式组恰有五个整数解，∴整数解分别为：3、2、1、0、1-；∴m 的取值范围为21m -≤<-；故选：A ．【点睛】本题考查了解不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，解题的关键是正确求出不等式组的解集，从而求出m 的取值范围．7．不等式组1240x x >⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.【详解】 解：1240x x >⎧⎨-≤⎩①② ∵不等式①得：x ＞1，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为1＜x≤2， 在数轴上表示为：，故选A.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.8．如果关于x 的不等式组232x a x a >+⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a≥2D ．a≤2【答案】D【解析】【分析】 由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a 的范围即可．【详解】∵不等式组232x a x a +⎧⎨-⎩＞＜无解，∴a +2≥3a ﹣2，解得：a ≤2． 故选D ．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键．9．某商品的标价比成本价高%a ，根据市场需要，该商品需降价%b ．为了不亏本，b 应满足（ ）A ．b a ≤B ．100100a b a ≤+C ．100a b a ≤+D ．100100a b a ≤- 【答案】B【解析】【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可．【详解】解：设成本为x 元，由题意可得：()()1%1%x a b x +-?，整理得：100100b ab a +?， ∴100100a b a≤+， 故选：B ．【点睛】 此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．10．若关于x 的分式方程11144ax x x -+=--有整数解，其中a 为整数，且关于x 的不等式组2(1)43,50x x x a +≤+⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，则满足条件的所有a 的和为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．12【答案】C【解析】【分析】分别解分式方程和不等式组，根据题目要求分别求出a 的取值范围，再综合分析即可得出a 的值，最后求和即可．【详解】 解：解分式方程11144ax x x -+=--， 得4x 1a=-． 又∵4x ≠，解得0a ≠．又∵方程有整数解，∴11a -=±，2±，4±，解得：2,3a =，1-，5，3-．解不等式组2(1)43,50x x x a +≤+⎧⎨-<⎩， 得，25a x -<…． 又不等式组有且只有3个整数解，可求得：05a <≤．综上所述，a 的值为2，3，5，其和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查分式方程与不等式组的综合运用，掌握解分式方程的方法，会求不等式组的整数解是解此题的关键．11．某商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来商店准备打折出售，但要保持利润率不低于20%，则最多打( )折．A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折【答案】C【解析】【分析】设打了x 折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．【详解】解：设打了x 折，由题意得，1200×0.1x ﹣800≥800×20%，解得：x≥8．答：至多打8折．故选：C【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率，是解题的关键．12．已知不等式组122x a x b +>⎧⎨+<⎩的解集为23x -<<，则2019()a b +的值为（ ） A ．-1B ．2019C ．1D ．-2019 【答案】A【解析】【分析】根据不等式组的解集即可得出关于a 、b 的方程组，解方程组即可得出a 、b 值，将其代入计算可得．【详解】解不等式x +a ＞1，得：x ＞1﹣a ，解不等式2x +b ＜2，得：x ＜22b -， 所以不等式组的解集为1﹣a ＜x ＜22b -． ∵不等式组的解集为﹣2＜x ＜3， ∴1﹣a =﹣2，22b -=3， 解得：a =3，b =﹣4， ∴201920192019()(34)(1)a b +=-=-=﹣1．故选：A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是求出a 、b 值．本题属于基础题，难度不大，解集该题型题目时，根据不等式组的解集求出未知数的值是关键．13．不等式组14112x x -≤⎧⎪⎨+<⎪⎩解集在数轴上表示正确的是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】分别解出两个一元一次不等式，再把得到的解根据原则（大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心）分别在数轴上表示出来，再取两个解相交部分即可得到这个不等式组的解集.【详解】解：对不等式14x -≤移项，即可得到不等式14x -≤的解集为3x ≥-， 对不等式112x +<，先去分母得到12x +<，即解集为1x <， 把这两个解集在数轴上画出来，再取公共部分， 即：31x -≤<，解集在数轴上表示应为C.故选C.【点睛】本题主要考查了数轴和一元一次不等组及其解法，先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再比较即得到答案.14．不等式组354x x ≤⎧⎨+>⎩的最小整数解为（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解求最小值.【详解】 解：354x x ≤⎧⎨+>⎩①② 解①得x≤3，解②得x ＞-1．则不等式组的解集是-1＜x≤3．∴不等式组整数解是0，1，2，3，最小值是0．故选：B.【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定x 的范围是本题的关键．15．不等式组0321x a x -<⎧⎨-≤-⎩的整数解共有3个，则a 的取值范围是（ ） A ．45a <<B ．45a <≤C ．45a ≤<D ．45a ≤≤【答案】B【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到a 的范围．【详解】0321x a x -<⎧⎨-≤-⎩①②， 由①解得：x ＜a ，由②解得：x≥2，故不等式组的解集为2≤x ＜a ，由不等式组的整数解有3个，得到整数解为2，3，4，则a 的范围为4＜a≤5．故选：B ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．16．不等式组26020x x +>⎧⎨-≥⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】 解：26020x x +>⎧⎨-≥⎩①②， 由①得：3x >-；由②得：2x ≤，∴不等式组的解集为32x -<≤，表示在数轴上，如图所示：故选：C ．考核知识点：解不等式组.解不等式是关键.17．已知4＜m＜5，则关于x的不等式组420x mx-<⎧⎨-<⎩的整数解共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】先求解不等式组得到关于m的不等式解集，再根据m的取值范围即可判定整数解．【详解】不等式组0 420 x mx-<⎧⎨-<⎩①②由①得x＜m；由②得x＞2；∵m的取值范围是4＜m＜5，∴不等式组420x mx-<⎧⎨-<⎩的整数解有：3，4两个．故选B．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m的取值范围是本题的关键．18．如图，不等式组315215xx--⎧⎨-<⎩…的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可.【详解】由题意可知：不等式组315215xx①②--⎧⎨-<⎩…，不等式①的解集为2x≥-，不等式②的解集为3x <，不等式组的解集为23x -≤<，在数轴上表示应为.故选C .【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.19．已知点P （1﹣a ，2a+6）在第四象限，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜﹣3B ．﹣3＜a ＜1C ．a ＞﹣3D ．a ＞1【答案】A【解析】【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．【详解】解：∵点P （1﹣a ，2a+6）在第四象限， ∴10260a a ->⎧⎨+<⎩解得a ＜﹣3．故选A ．【点睛】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．20．若关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a >D ．3a ≥ 【答案】D【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围．【详解】∵关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解， ∴a-1≥2,∴a ≥3.故选:D.【点睛】考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．。
七年级数学下册不等式与不等式组必须掌握的知识点易错点拔
七年级数学下册不等式与不等式组必须掌握的知识点易错点拔单选题1、不等式组{2−x>1①x+52⩾1②中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．答案：C解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集．解：解不等式①，得：x<1，解不等式②，得：x⩾−3，则不等式组的解集为−3≦x<1，将两不等式解集表示在数轴上如下：故选：C．小提示：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2、设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么这三种物体的质量按从大到小的顺序排列应为( )A ．■●▲B ．●▲■C ．■▲●D ．▲■●答案：C解析：依图①得：2■=■+▲，即■=▲，依图②得到●+ ●+ ●=▲+ ●，即●+ ●=▲，故有：■＞▲＞●．故选：C ．点睛：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学知识联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．3、若方程3m(x +1)+1=m(3−x)−5x 的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m >−54B ．m <−54C ．m >54D ．m <54答案：A解析：先求解关于x 的方程，根据题意列出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可求解．3m(x +1)+1=m(3−x)−5x去括号得3mx +3m +1=3m −mx −5x移项，合并同类项得(4m +5)x =−1解得x =−14m+5∵方程3m(x +1)+1=m(3−x)−5x 的解是负数，∴4m +5>0解得m >−54． 故选A ．小提示：本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解题意求得x 的值是解题的关键．4、已知关于 x 的不等式组{2x+53−x >−5x+32−t <x 恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）A ．﹣6＜t ＜−112B ．−6≤t <−112C ．−6<t ≤−112D ．−6≤t <−112 答案：C解析：本题首先求解不等式组的公共解集，继而按照整数解要求求解本题．∵2x+53−x >−5，∴x <20；∵x+32−t >x ，∴x >3−2t ；∴不等式组的解集是：3−2t <x <20．∵不等式组恰有5个整数解，∴这5个整数解只能为 15，16，17，18，19，故有14≤3−2t <15，求解得：−6<t ≤−112．故选：C ．小提示：本题考查含参不等式组的求解，解题关键在于求解不等式时需将参数当做常量进行运算，其次注意运算仔细即可．5、不等式组{2−3x≥−1x−1≥−2(x+2)的解集为（）A．无解B．x≤1C．x≥−1D．−1≤x≤1答案：D解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式2−3x≥−1，得：x≤1，解不等式x−1≥−2（x＋2），得：x≥−1，则不等式组的解集为−1≤x≤1，故选：D．小提示：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6、已知4＜m＜5，则关于x的不等式组{x−m<04−2x<0的整数解共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：先求解不等式组得到关于m的不等式解集，再根据m的取值范围即可判定整数解．不等式组{x−m<0①4−2x<0②由①得x＜m；由②得x＞2；∵m的取值范围是4＜m＜5，∴不等式组{x−m<04−2x<0的整数解有：3，4两个．故选B．小提示：本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m的取值范围是本题的关键．7、已知关于x的不等式(3−a)x>3−a的解集为x<1，则（）A．a⩽3B．a⩾3C．a>3D．a<3答案：C解析：根据不等式的解集与原不等式，发现x系数化为1时，不等式两边同除以一个负数，即3−a<0，解出即可得出答案．∵不等式(3−a)x>3−a的解集为x<1，∴3−a<0，解得：a>3．故选：C．小提示：本题考查不等式的性质和不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题关键．=1的解是负数，则m的取值范围是（）8、已知关于x的分式方程m−2x+1A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3D．m＜3且m≠2答案：D解析：解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m的取值范围.m−2=1，x+1解得：x=m﹣3，∵关于x的分式方程m−2=1的解是负数，x+1∴m﹣3＜0，解得：m＜3，当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，则m≠2，故m的取值范围是：m＜3且m≠2，故选D．小提示：本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．填空题9、若x2m+1−1>5是关于x的一元一次不等式，则m=_______．答案：0解析：根据一元一次不等式的定义可得2m+1＝1，求解即可．根据题意得2m+1=1，解得；m=0，所以答案是：0.小提示：本题主要考查了一元一次不等式的定义，正确把握定义是解题关键．10、“b 的12与c 的和是负数”用不等式表示为_________. 答案：12b ＋c<0解析：“b 的12与c 的和是负数”用不等式表示为：12b +c <0.故答案为12b +c <0.11、“b 的12与c 的和是负数”用不等式表示为_________.答案：12b ＋c<0 解析：“b 的12与c 的和是负数”用不等式表示为：12b +c <0. 故答案为12b +c <0.12、不等式－3＜1－2x ≤5的正整数解为_____．答案：1解析：将不等式组成不等式组，进而求出即可．解：根据题意可得出：{1−2x ≤5①1−2x >−3② ， 解①得：x ≥−2，解②得：x <2，则不等式组的解集为：−2≤x <2，则它的正整数解为： 1．所以答案是：1．小提示：本题主要考查了解不等式组以及不等式组的整数解，根据已知得出不等式组是解题关键．13、a 的3倍与b 的2倍的差不大于5，用不等式表示为________；答案：3a -2b ≤5解析：根据题意列出不等式即可．解：根据题意，得3a -2b ≤5，故答案为3a -2b ≤5．小提示：本题考查列不等式，解决问题的关键是根据不等量关系得到不等式．解答题14、对x ，y 定义一种新运算Τ，规定Τ(x,y)=ax+by 2x+y (其中a ，b 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例：Τ(0,1)=a×b+b×12×0+1=b .已知Τ(1,−1)=−2，Τ(4,2)=1，(1)求a ，b 的值；(2)若关于m 的不等式组{Τ(2m,5−4m)≤4,Τ(m,3−2m)>p恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围． 答案：（1）a ，b 的值分别为1，3；（2）−2≤p <−13．解析：（1）已知T 的两对值，分别代入T 中计算，求出a 与b 的值即可；（2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p 的范围即可．（1）由Τ(1,−1)=−2，Τ(4,2)=1，得a×1+b×(−1)2×1−1=−2，a×4+b×22×4+2=1，整理得：{a −b =−24a +2b =10， 解得{a =1b =3， 即a ，b 的值分别为1，3；（2）由（1）得Τ(x,y)=x+3y 2x+y ，则不等式组{Τ(2m,5−4m)≤4,Τ(m,3−2m)>p化为{−10m ≤5,−5m >3p −9,解得−12≤m <9−3p 5.∵不等式组{Τ(2m,5−4m)≤4,Τ(m,3−2m)>p恰好有3个整数解， ∴2<9−3p 5≤3，解得−2≤p <−13．小提示：题目主要考查二元一次方程组的应用及不等式组的应用，理解题目中新定义的运算是解题关键．15、求不等式2x+13≤3x−25+1的非负整数解．答案：不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．解析：去分母，去括号，移项，合并同类项，即可得出不等式的解集．去分母得：5（2x+1）≤3（3x-2）+15，去括号得：10x+5≤9x-6+15，移项得：10x-9x≤-5-6+15，合并同类项得x≤4，∴不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．小提示：考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生运用不等式的性质解一元一次不等式的能力.。
不等式与不等式组易错题精选
不等式与不等式组一错题精选一、填空题（共24小题）1、（2006•南充）若不等式﹣3x+n＞0的解集是x＜2，则不等式﹣3x+n＜0的解集是．2、若不等式2x＜a的解集为x＜2，则a=．3、图中是表示以x为未知数的一元一次不等式组的解集，那么这个一元一次不等式组可以是_____________．4、（2010•宁夏）若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是．5、（2010•菏泽）若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为．6、如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a必须满足．7、已知2k＞3x2+2k是关于x的一元一次不等式，那么k=______不等式的解集是8、（2008•邵阳）如图，数轴上表示的关于x的一元一次不等式组的解集为．9、已知关于x的不等式2x﹣a≥﹣3的解集如图所示，则a的值为．10、判断下列各题在数轴上表示的不等式的解集是否正确．（1）x＞3（2）x＜0（3）x≤3________（4）x≥1.511、下列式子中：①﹣5＜0；②2x=3；③3x﹣1＞2；④4x﹣2y≤0；⑤x2﹣3x+2＞0；⑥x﹣2y．其中属于不等式的是，属于一元一次不等式的是（填序号）．12、若方程组的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是．13、若a＞b，则ac2bc2．14、（2010•宁夏）商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．如果用27元钱，最多可以购买该商品的件数是．15、（2009•莆田）一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为克．16、（2009•南平）某种商品的进价为80元，出售时的标价是120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持所获利润不低于10元，则该商店最多可打折．该至少定为每千克元．18、（2007•益阳）已知三个连续整数的和＜10，且最小的整数大于1，则三个连续整数中，最大的整数为．19、（2005•安徽）某射击运动爱好者在一次比赛中共射击10次，前6次射击共中53环（环数均是整数），如果他想取得不低于89环的成绩，第7次射击不能少于环．20、（2004•南平）某超市推出一种购物“金卡”，凭卡在该商店购物均可按商品标价的九折优惠，但办理金卡时每张要收100元购卡费．设按标价累计购物金额为x（元），当x 时，办理金卡购物省钱．21、阳阳从家到学校的路程为2400米，他早晨8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到学校，如果用x 表示他的速度（单位：米/分），则x的取值范围为．22、小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家每月用水量至少是立方米．23、现用甲，乙两种运输车将46吨搞旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排辆．24、一种药品的说明书上写着“每日用量60～120mg，分3～4次服用”，则一次服用这种剂量x mg应该满足．二、选择题（共6小题）25、若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是（）A、a，﹣1，1，﹣aB、﹣a，﹣1，1，aC、﹣1，﹣a，a，1D、﹣1，a，1，﹣a26、有理数a、b、c、在数轴上的对应点如图所示，下面的关系中正确的是（）A、ac＞bcB、ab＜a+cC、2a+3b+c＞0D、2a+3b+c＜027、（2010•乐山）下列不等式变形正确的是（）A、由a＞b，得a﹣2＜b﹣2B、由a＞b，得﹣2a＜﹣2bC、由a＞b，得|a|＞|b|D、由a＞b，得a2＞b228、（2007•临沂）若a＜b＜0，则下列式子：①a+1＜b+2；②＞1；③a+b＜ab；④＜中，正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个29、（2001•宁夏）下列各式中，成立的是（）A、2x＜3xB、2﹣x＜3﹣xC、﹣2x＞﹣3xD、30、（2003•黄石）若a﹣b＞a，a+b＜b，则有（）A、ab＜0B、＞0C、a+B＞0D、a﹣b＜0一、填空题（共4小题）1、一个矩形，两边长分别为x厘米和10厘米，如果它的周长小于80厘米，面积大于100平方厘米、求x的取值范围为．2、写出一个解集为-1≤x＜2的一元一次不等式组____________________3、（2005•西宁）乐天借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？设以后几天里每天要读x页，所列不等式为．4、根据“x的与x的2倍的和不大于1”列不等式为．5、写出一个解集在数轴上如图所示的不等式组：______________________________.6、方程组的解为负数，则a的取值范围为_____________________7、（2009•烟台）如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为_____________________8、（2009•凉山州）若不等式组的解集是-1＜x＜1，则（a+b）2009=__________________________二、解答题（共11小题）5、20XX年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民生命和财产造成了巨大的损失．我市某中学全体师生积极响应“一方有难，八方支援”号召，开展捐款活动，其中八年级的3个班学生的捐款金额如下表：学校会计统计时不小心把墨水滴到了八（3）班的表格内，但他知道八年级3个班学生平均每人捐款的金额不少于50元．设八（3）班人均捐款x元，请根据以上信息，列出不等式__________________________．6、某市自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过10m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过10m3，则超过的部分每立方米收费2元．小亮家某月的水费不少于25元，那么他家这个月的用水量（xm3）至少是多少？请列出关于x的不等式___________________________________________．7、（2010•眉山）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？8、（2009•天水）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如右表：经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．（1）请你设计该企业有几种购买方案；（2）若企业每月产生的污水量为2 040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）9、（2009•凉山州）我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）10、（2008•遵义）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该起市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80元的总利润（利润=售价﹣进价）不少于600元，但又不超过610元，请你帮助该超市设计相应的进货方案．11、（2010•梧州）20XX年的世界杯足球塞在南非举行．为了满足球迷的需要，某体育服装店老板计划到服装批发市场选购A、B两种品牌的服装．据市场调查得知，销售一件A品牌服装可获利润25元，销售一件B品牌服装可获利润32元．根据市场需要，该店老板购进A种品牌服装的数量比购进B种品牌服装的数量的2倍还多4件，且A种品牌服装最多可购进48件．若服装全部售出后，老板可获得的利润不少于1740元．请你分析这位老板可能有哪些方案？12、（2010•宿迁）某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，1株乙种花木售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21 600元，花农有哪几种具体的培育方案？13、（2010•内江）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工．①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的关系式；②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？14、（2010•红河州）师徒二人分别组装28辆摩托车，徒弟单独工作一周（7天）不能完成，而师傅单独工作不到一周就已完成，已知师傅平均每天比徒弟多组装2辆，求：（1）徒弟平均每天组装多少辆摩托车（答案取整数）？（2）若徒弟先工作2天，师傅才开始工作，师傅工作几天，师徒两人做组装的摩托车辆数相同？15、（2009•湛江）某公司为了开发新产品，用A、B两种原料各360千克、290千克，试制甲、乙两种新型产品共50件，下表是试验每件新产品所需原料的相关数据：（1）设生产甲种产品x件，根据题意列出不等式组，求出x的取值范围；（2）若甲种产品每件成本为70元，乙种产品每件成本为90元，设两种产品的成本总额为y元，写出成本总额y（元）与甲种产品件数x（件）之间的关系式；当甲、乙两种产品各生产多少件时，产品的成本总额最少？并求出最少的成本总额．。
专题05 不等式与不等式组专题详解(解析版)
专题05 不等式与不等式组专题详解专题05 不等式与不等式组专题详解 (1)9.1 不等式 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 不等式及其解集 (3)知识点2 不等式的基本性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 不等式的概念 (5)题型2 根据数量关系列不等式 (5)题型3不等式的解（集） (6)题型4 不等式性质的运用 (6)题型5 实际问题与不等式 (7)三、难点题型 (8)题型1 不等式性质的综合应用 (8)题型2 用作差法比较大小 (9)9.2 一元一次不等式 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 一元一次不等式的解法 (10)知识点2 列不等式解应用题 (11)二、典型题型 (13)题型1 一元一次不等式的判定 (13)题型2 解一元一次不等式 (13)题型3 列不等式，求取值范围 (14)题型4 一元一次不等式的应用 (14)三、难点题型 (16)题型1 含参数的不等式 (16)题型2 不等式的整数解 (16)题型3 方程与不等式 (17)题型4 含绝对值的不等式 (18)9.3 一元一次不等式组 (19)知识框架 (19)一、基础知识点 (19)知识点1 一元一次不等式组及解集的定义 (19)知识点2 一元一次不等式组解集的确定及解法 (19)知识点3 双向不等式及解法 (21)二、典型题型 (23)题型1 一元一次不等式组的判定 (23)题型2 一元一次不等式组的解集 (23)题型3 解一元一次不等式组 (24)题型4 一元一次不等式组的应用 (25)一、用不等式组解决实际问题 (25)二、方案设计 (26)三、最值问题 (27)三、难点题型 (29)题型1 由不等式组确定字母的取值 (29)题型2 不等式组中的数学思想 (30)一、整体思想 (30)二、数形结合 (31)三、分类讨论 (31)题型3 不等式的应用 (32)题型4 不等式的综合 (33)9.1 不等式知识框架{基础知识点{不等式及其解集不等式的基本性质典型题型{ 不等式的概念根据数量关系列不等式不等式的解（集）不等式性质的运用实际问题与不等式难点题型{不等式性质的综合应用作差法比较大小 一、基础知识点知识点1 不等式及其解集1）不等式：用不等符号表示不等关系的式子。
不等式易错题分析
不等式易错题分析(总5页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除不等式易错题分析一、解一元二次不等式的易错题（一）、随意消项致误例题1：解不等式; 22(44)(43)0x x x x -+-+≥错解：原不等式可化为：2(2)(1)(3)0x x x ---≥解得2(2)0,(1)(3)0x x x -≥∴--≥所以31x x ≥≤或原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或剖析：错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(2)0x -=时，原不等式亦成立正解：原不等式可化为：20x -≠且(1)(3)0(2)0x x x --≥-=或解得31x x ≥≤或或x=2所以原不等式的解集为：{}31x x ≥≤x|或或x=2（二）、函数不清致误例题2：已知函数22(45)4(1)3y m m x m x =+-+-+的图像都在x 轴的下方，求实数m 的取值范围。
错解：，依题意，对,0x R y ∈>恒成立，于是函数的图像开口方向向上，且图像与x 轴无交点。
故[]2224504(1)43(45)0m m m m m ⎧+->⎪⎨∆=--+-<⎪⎩ 解得119m <<即所求m 的取值范围为119m <<剖析：题设中的函数未必时二次函数，也就是说缺少对245m m +-是否为0的讨论。
正解：当2450m m +-≠时，同上述解答有119m <<，若2450m m +-=时，则m=1或m=5若m=1，,则已知函数化为3y =，则对,0x R y ∈>恒成立；若m=5，则已知函数化为243y x =+，对,0x R y ∈>不恒成立，故此情形舍去。
所以m 的取值范围为119m ≤<（三）、漏端点致误例题3：已知集合{}{}2|20,|3A x x x B x a a =--≤=<+，且A B φ=，则实数a 的取值范围是____________错解：{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤若使A B φ=，需满足231a a >+<-或，解得24a a ><-或，所以实数a 的取值范围是24a a ><-或。
(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点总复习附解析(1)
（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点总复习附解析(1)一、选择题1．在数轴上表示不等式x <2的解集，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 把不等式x ＜2的解集在数轴上表示出来可知答案．【详解】在数轴上表示不等式x ＜2的解集故选：A ．【点睛】本题运用了不等式的解集在数轴上的表示方法，体现了数形结合的数学思想．2．某商品的标价比成本价高%a ，根据市场需要，该商品需降价%b ．为了不亏本，b 应满足（ ）A ．b a ≤B ．100100a b a ≤+C ．100a b a ≤+D ．100100a b a ≤- 【答案】B【解析】【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可．【详解】解：设成本为x 元，由题意可得：()()1%1%x a b x +-?，整理得：100100b ab a +?， ∴100100a b a≤+， 故选：B ．【点睛】 此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．3．关于 x 的不等式组21231xx a-⎧<⎪⎨⎪-+>⎩恰好只有 4 个整数解，则 a 的取值范围为（）A．-2≤a＜-1 B．-2＜a≤-1 C．-3≤a＜-2 D．-3＜a≤-2【答案】A【解析】【分析】首先确定不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解：21231xx a-⎧<⎪⎨⎪-+>⎩①②解不等式组①，得x<72，解不等式组②，得x>a+1，则不等式组的解集是a+1<x<72，因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是0，1，2，3．所以可以得到-1⩽ a+1<0，解得−2≤a＜−1．故选A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等组的整数解.正确解出不等式组的解集，确定a+1的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先解不等式，根据解集确定数轴的正确表示方法．【详解】解：不等式2x+1＞-3，移项，得2x ＞-1-3，合并，得2x ＞-4，化系数为1，得x ＞-2．故选C ．【点睛】本题考查解一元一次不等式，注意不等式的性质的应用.5．若关于x 的不等式(-1) 1m x m <-的解集为1x >，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >B ．1m <C ．1m ≠D ．1m =【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x ＞1，可知m-1＜0，解之可得．【详解】∵不等式（m-1）x ＜m-1的解集为x ＞1，∴m-1＜0，即m ＜1，故选：B ．【点睛】此题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．6．不等式组13x x -≤⎧⎨<⎩的解集在数轴上可以表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】分别解不等式组中的每一个不等式，再求解集的公共部分．【详解】由-x≤1，得x≥-1，则不等式组的解集为-1≤x ＜3．故选：B ．【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集．解题关键是求不等式组的解集，判断数轴的表示方法，注意数轴的空心、实心的区别．7．如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为30米，要使靠墙的一边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度x 的取值范围为（ ）A ．0米5x <≤米B ．103x ≥米C ．0米103x <≤米 D ．103米5x ≤≤米 【答案】D【解析】【分析】 设与墙垂直的一边的长为x 米，根据铁丝长40米，墙的长度30米，靠墙的一边不小于25米，列出不等式组，求出x 的取值范围即可．【详解】解：设与墙垂直的一边的长为x 米，根据题意得：4032540330x x -≥⎧⎨-≤⎩， 解得：103≤x≤5； 故选：D ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意本题要用数形结合思想．8．不等式26x -≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】【分析】先求解出不等式的解集，再表示在数轴上【详解】解不等式：2x-6≥02x≥6x≥3数轴上表示为：故选：B本题考查不等式的求解，需要注意，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号9．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0【答案】C【解析】【分析】根据a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况．【详解】∵a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，∴a+c＝﹣2b，∴a﹣2b+c＝（a+c）﹣2b＝﹣4b＜0，∴b＞0，∴b2﹣ac＝222222a c a ac cac+++⎛⎫-=⎪⎝⎭＝222242a ac c a c-+-⎛⎫= ⎪⎝⎭…，即b＞0，b2﹣ac≥0，故选：C．【点睛】此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b和b2-ac 的正负情况．10．不等式组213,151520x xx x-<⎧⎪++⎨-≥⎪⎩的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分别解不等式求出不等式组的解集，由此得到答案.【详解】解213x x -<得x>-1， 解1510520x x ++-≥得3x ≤， ∴不等式组的解集是13x -<≤，故选：D.【点睛】此题考查解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确解每个不等式是解题的关键.11．不等式组10235x x +≤⎧⎨+<⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 先分别解不等式，得到不等式组的解集，再在数轴上表示解集.【详解】因为，不等式组10235x x +≤⎧⎨+<⎩的解集是：x≤-1, 所以，不等式组的解集在数轴上表示为故选C【点睛】本题考核知识点：解不等式组.解题关键点：解不等式.12．根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）A ．由a ＞b 得ac 2＞bc 2B ．由ac 2＞bc 2得a ＞bC ．由–12a ＞2得a<2 D ．由2x+1＞x 得x<–1 【答案】B【分析】根据不等式的性质，逐一判定即可得出答案.【详解】解：A 、a ＞b ，c=0时，ac 2=bc 2，故A 错误；B 、不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B 正确；C 、不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，而且式子右边没乘以﹣2，故C 错误；D 、不等式两边同时加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D 错误.故选：B.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练应用不等式的性质进行推断是解题的关键.13．不等式组354x x ≤⎧⎨+>⎩的最小整数解为（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【解析】【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解求最小值.【详解】解：354x x ≤⎧⎨+>⎩①② 解①得x≤3，解②得x ＞-1．则不等式组的解集是-1＜x≤3．∴不等式组整数解是0，1，2，3，最小值是0．故选：B.【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定x 的范围是本题的关键．14．若m －n ＞0，则下列各式中一定正确的是（ ）A ．m ＞nB ．mn ＞0C ．0m n <D ．－m ＞－n【答案】A【解析】∵m －n ＞0，∴m ＞n （不等式的基本性质1）.故选A.15．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣2 B．0 C．1 D．3【答案】B【解析】【分析】解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y的不等式组，可整理得∵该不等式组解集无解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵得x＝而关于x的分式方程有负数解∴a﹣4＜0∴a＜4于是﹣3≤a＜4，且a为整数∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3则符合条件的所有整数a的和为0．故选B．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．16．已知4＜m＜5，则关于x的不等式组420x mx-<⎧⎨-<⎩的整数解共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】先求解不等式组得到关于m 的不等式解集，再根据m 的取值范围即可判定整数解．【详解】不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩①② 由①得x ＜m ；由②得x ＞2；∵m 的取值范围是4＜m ＜5，∴不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解有：3，4两个． 故选B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m 的取值范围是本题的关键．17．下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a b >，得22a b -<-B ．由a b >，得22a b -<-C ．由a b >，得a b >D ．由a b >，得22a b > 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可．【详解】解：A 、由a ＞b ，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；B 、由a ＞b ，不等式两边同时乘以-2可得-2a ＜-2b ，故此选项正确；C 、当a ＞b ＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a ＞b 时，有|a|＜|b|，故此选项错误；D 、由a ＞b ，得a 2＞b 2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误．故选：B ．【点睛】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．18．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ）A ．m ﹣2＜n ﹣2B ．44m n >C ．6m ＜6nD ．﹣8m ＞﹣8n【答案】B【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．【详解】A 、将m ＞n 两边都减2得：m ﹣2＞n ﹣2，此选项错误；B 、将m ＞n 两边都除以4得：m n 44> ，此选项正确； C 、将m ＞n 两边都乘以6得：6m ＞6n ，此选项错误； D 、将m ＞n 两边都乘以﹣8，得：﹣8m ＜﹣8n ，此选项错误，故选B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．19．已知不等式组2010x x -⎧⎨+≥⎩＜，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别解不等式组中的每一个不等式，确定出各不等式解集的公共部分，进而在数轴上表示出来即可．【详解】2010x x -⎧⎨+≥⎩＜①②， 解①得：x<2，解②得：x≥-1，故不等式组的解集为：-1≤x<2，故解集在数轴上表示为：．故选D.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握解题方法以及解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键．20．若关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a >D ．3a ≥ 【答案】D【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围．【详解】 ∵关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解， ∴a-1≥2,∴a ≥3.故选:D.【点睛】考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．。
(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点总复习含答案
（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点总复习含答案一、选择题1．不等式组32110x x -<⎧⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】 32110 x x -<⎧⎨+≥⎩①② 解不等式①得，1x <，解不等式②得，1x ≥-所以，不等式组的解集为：-11x ≤<，在数轴上表示为：故选D.【点睛】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．2．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．3．不等式组2201x x +>⎧⎨-≥-⎩的解在数轴上表示为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】解不等式组求得不等式组的解集，再把其表示在数轴上即可解答.【详解】2201x x ①②+>⎧⎨-≥-⎩， 解不等式①得，x ＞-1；解不等式②得，x ≤1；∴不等式组的解集是﹣1＜x ≤1.不等式组的解集在数轴上表示为：故选D.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解决问题的关键．4．不等式组13x x -≤⎧⎨<⎩的解集在数轴上可以表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】分别解不等式组中的每一个不等式，再求解集的公共部分．【详解】由-x≤1，得x≥-1，则不等式组的解集为-1≤x ＜3．故选：B ．【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集．解题关键是求不等式组的解集，判断数轴的表示方法，注意数轴的空心、实心的区别．5．不等式组30213x x +⎧⎨->⎩…的解集为（ ） A ．x ＞1B ．x≥3C ．x≥﹣3D ．x ＞2【答案】D【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】解：30213x x +>⎧⎨->⎩①②， 由①得，x ≥﹣3，由②得，x >2，故此不等式组的解集为：x>2．故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是分别解出各不等式的解集，利用数轴求出不等式组的解集，难度适中．6．若x y >，则下列各式正确的是（ ）A ．0x y -<B ．11x y -<-C ．34x y +>+D ．xm ym >【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质解答即可．【详解】由x ＞y 可得：x-y ＞0，1-x ＜1-y ，x+3＞y+3，故选：B ．【点睛】此题考查不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键．7．下列四个不等式：(1)ac bc >；(2)-ma mb <；22 (3) ac bc >；(4)1a b>,一定能推出a b >的有() A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】 根据不等式的性质逐个判断即可求得答案．【详解】解：在（1）中，当c ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，在（2）中，当m ＞0时，则有-a ＜b ，即a ＞-b ，故不能推出a ＞b ，在（3）中，由于c 2＞0，则有a ＞b ，故能推出a ＞b ，在（4）中，当b ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，综上可知一定能推出a ＞b 的只有（3），故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负．8．如果关于x 的不等式组232x a x a >+⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a≥2D ．a≤2 【答案】D【解析】【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a 的范围即可．【详解】∵不等式组232x a x a +⎧⎨-⎩＞＜无解，∴a +2≥3a ﹣2，解得：a ≤2． 故选D ．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键．9．若整数a 使得关于x 的方程3222a x x-=--的解为非负数，且使得关于y 的不等式组32212203y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ）． A ．17B ．18C ．22D ．25【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a 的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a 的值，进而求出之和．【详解】 解：32212203y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪⎪⎩…，不等式组整理得：1y y a >-⎧⎨⎩…， 由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y ≤a ，解得：a ≥3，即整数a ＝3，4，5，6，…，2－322a x x=--， 去分母得：2（x －2）－3＝－a ，解得：x ＝72a -， ∵72a -≥0，且72a -≠2， ∴a ≤7，且a ≠3，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a 为4，5，6，7，之和为22． 故选：C ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．若关于x 的分式方程11144ax x x -+=--有整数解，其中a 为整数，且关于x 的不等式组2(1)43,50x x x a +≤+⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，则满足条件的所有a 的和为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．12 【答案】C【解析】【分析】分别解分式方程和不等式组，根据题目要求分别求出a 的取值范围，再综合分析即可得出a 的值，最后求和即可．【详解】 解：解分式方程11144ax x x -+=--， 得4x 1a=-． 又∵4x ≠，解得0a ≠．又∵方程有整数解，∴11a -=±，2±，4±，解得：2,3a =，1-，5，3-．解不等式组2(1)43,50x x x a +≤+⎧⎨-<⎩，得，25a x -<…． 又不等式组有且只有3个整数解，可求得：05a <≤．综上所述，a 的值为2，3，5，其和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查分式方程与不等式组的综合运用，掌握解分式方程的方法，会求不等式组的整数解是解此题的关键．11．若关于x 的不等式x ＜a 恰有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ）A ．2＜a ≤3B ．2≤a ＜3C ．0＜a ＜3D ．0＜a ≤2【答案】A【解析】【分析】结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a 的取值范围【详解】由于x<a 恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a ≤3故正确答案为A【点睛】此题考查了不等式的整数解，列出关于a 的不等式是解题的关键12．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折 【答案】B【解析】【详解】设可打x 折，则有1200×10x -800≥800×5%， 解得x≥7．即最多打7折．故选B ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．13．若关于x 的不等式组无解，且关于y 的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（）A．﹣7 B．﹣12 C．﹣20 D．﹣34【答案】B【解析】【分析】先根据不等式组无解解出k的取值范围，再解分式方程得y ＝，根据方程有解和非正整数解进行综合考虑k的取值，最后把这几个数相加即可．【详解】∵不等式组无解，∴10+2k＞2+k，解得k＞﹣8．解分式方程，两边同时乘（y+3），得ky﹣6＝2（y+3）﹣4y，解得y ＝．因为分式方程有解，∴≠﹣3，即k+2≠﹣4，解得k≠﹣6．又∵分式方程的解是非正整数解，∴k+2＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，﹣12．解得k＝﹣3，﹣4，﹣5，﹣8，﹣14．又∵k＞﹣8，∴k＝﹣3，﹣4，﹣5．则﹣3﹣4﹣5＝﹣12．故选：B．【点睛】本题主要考查解不等式组、解分式方程的方法，解决此题的关键是理解不等式组无解的意义，以及分式方程有解的情况．14．不等式组213,151520x xx x-<⎧⎪++⎨-≥⎪⎩的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分别解不等式求出不等式组的解集，由此得到答案.【详解】解213x x -<得x>-1， 解1510520x x ++-≥得3x ≤， ∴不等式组的解集是13x -<≤，故选：D.【点睛】此题考查解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确解每个不等式是解题的关键.15．关于x 的不等式412x -≥-的正整数解有（ ）A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】先解不等式求出解集，根据解集即可确定答案.【详解】解不等式412x -≥-得3x ≤，∴该不等式的正整数解有：1、2、3，故选：C.【点睛】此题考查不等式的正整数解，正确解不等式是解题的关键.16．若关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨-<⎩…的整数解只有3个，则a 的取值范围是( ) A ．6≤a ＜7B ．5≤a ＜6C ．4＜a ≤5D ．5＜a ≤6 【答案】B【解析】【分析】根据解不等式可得，2＜x ≤a ，然后根据题意只有3个整数解，可得a 的范围.【详解】解不等式x ﹣a ≤0，得：x ≤a ，解不等式5﹣2x ＜1，得：x ＞2，则不等式组的解集为2＜x ≤a ．∵不等式组的整数解只有3个，∴5≤a ＜6．故选：B ．【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据题意得出a 的取值范围是解题的关键.17．已知关于x 的不等式4x a 3+＞1的解都是不等式2x 13+＞0的解，则a 的范围是( ) A ．a 5= B ．a 5≥ C ．a 5≤ D ．a 5<【答案】C【解析】【分析】先把a 看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．【详解】 由413x a+>得,34ax ->， 由210,3x +> 得,1,2x >-∵关于x 的不等式413x a+>的解都是不等式2103x +>的解， ∴3142a-≥-，解得 5.a ≤即a 的取值范围是： 5.a ≤故选:C.【点睛】考查不等式的解析，掌握一元一次不等式的求法是解题的关键.18．已知4＜m ＜5，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】先求解不等式组得到关于m 的不等式解集，再根据m 的取值范围即可判定整数解．【详解】不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩①② 由①得x ＜m ；由②得x ＞2；∵m 的取值范围是4＜m ＜5，∴不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解有：3，4两个． 故选B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m 的取值范围是本题的关键．19．下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a b >，得22a b -<-B ．由a b >，得22a b -<-C ．由a b >，得a b >D ．由a b >，得22a b > 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可．【详解】解：A 、由a ＞b ，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；B 、由a ＞b ，不等式两边同时乘以-2可得-2a ＜-2b ，故此选项正确；C 、当a ＞b ＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a ＞b 时，有|a|＜|b|，故此选项错误；D 、由a ＞b ，得a 2＞b 2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误．故选：B ．【点睛】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．20．若关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a >D ．3a ≥ 【答案】D【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围．【详解】∵关于x的不等式组21xx a<⎧⎨>-⎩无解，∴a-1≥2,∴a≥3.故选:D.【点睛】考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．。
〖2021年整理〗《错题剖析不等式与不等式组》优秀教案
错题剖析：不等式与不等式组一、去括号时，错用乘法分配律【例1】解不等式32（2-4）-15诊断: 错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项正解: 去括号，得34-8-3二、去括号时，忽视括号前的负号【例2】解不等式5-3（2-1）>-6错解: 去括号，得5-6-3>-6，解得-6，所以->-9，所以14，解得194 x>诊断: 去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来错解在去掉分母时，忽视了分数线的括号作用正解: 去分母，得6-（2-5）>14，去括号，得6-25>14，解得94x>五、不等式两边同除以负数，不改变方向【例5】解不等式3－6＜17错解：移项，得3－7＜16，即－4＜7，所以74 x<-诊断：将不等式－4＜7的系数化为1时，不等式两边同除以－4后，根据不等式的基本性质：不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解正解：移项，得3－774x>-1511x<--2错解: 化简，得（m-1）>2（m-1），所以>2诊断: 错解默认为m-1>0，实际上m-1还可能小于或等于0 正解: 化简，得（m-1）>2（m-1），①当m-1>0时，>2；②当m-112x>12x>12x>9可得>3所以原不等式组的解集为2>>3诊断：由不等式性质可得，2>3，这是不可能的正解：由不等式2＋39可得>3所以原不等式组无解。
(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组图文解析
（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组图文解析一、选择题1．a 的一半与b 的差是负数，用不等式表示为( ) A ．102a b -< B ．102a b -≤ C ．()102a b -< D ．102a b -< 【答案】D 【解析】 【分析】列代数式表示a 的一半与b 的差，是负数即小于0．【详解】 解：根据题意得102a b -< 故选D ． 【点睛】本题考查了列不等式，首先要列出表示题中数量关系的代数式，再由不等关系列不等式．2．不等式组30240x x -≥⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：30240x x -≥⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ≤3 解不等式②得，x ＞﹣2 在数轴上表示为：.故选D ． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．3．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（ ）A ．21090(18)2100x x +-≥B ．90210(18)2100x x +-≤C ．21090(18) 2.1x x +-≤D ．21090(18) 2.1x x +->【答案】A 【解析】设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ．4．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13，则关于x 的不等式（m+n ）x ＞n ﹣m 的解集是（ ）A ．x ＜﹣12B ．x ＞﹣12C ．x ＜12D ．x ＞12【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13，则0m <，0n <，3m n =，即可求出不等式的解集. 【详解】解：∵关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13， ∴0m <，0n <，3m n =， ∴0m n +<，解不等式()m n x n m >-+， ∴n mx m n-<+， ∴3132n m n n x m n n n --<==-++； 故选：A. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，以及不等式的性质，解题的关键是熟练掌握解不等式的方法和步骤.5．若关于x 的不等式6234x x a x x +<+⎧⎪⎨+>⎪⎩有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．15＜a ≤18 B ．5＜a ≤6C ．15≤a ＜18D ．15≤a ≤18【答案】A 【解析】 【分析】解不等式组，由有且只有三个整数解确定出a 的范围即可． 【详解】解不等式组得：23x ax >⎧⎪⎨<⎪⎩，即2＜x ＜3a ， 由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解为3，4，5， ∴5＜3a≤6， 解得：15＜a≤18， 故选：A ． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解本题的关键．6．关于x ，y 的方程组32451x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解满足237x y +>，则m 的取值范围是（ ）A ．14m <- B ．0m < C ．13m > D ．7m >【答案】C 【解析】 【分析】通过二元一次方程组进行变形可得到关于2x+3y 与含m 的式子之间的关系，进一步求出m的取值范围. 【详解】32451x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩①② ①-②，得2x+3y=3m+6 ∵2x+3y>7 ∴3m+6>7∴m>13【点睛】此题考查含参数的二元一次方程，重点是将二元一次方程组进行灵活变形，得到与其他已知条件相联系的隐藏关系，进而解题.7．已知关于x 的不等式组321123x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <≤ B ．12a <<C ．12a ≤<D ．12a ≤≤【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元一次不等式组解出x 的取值范围，再根据不等式组只有三个整数解，求出实数a 的取值范围即可. 【详解】3211230x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩①②， 解不等式①得：x≥-1， 解不等式②得：x<a ，∵不等式组321123x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩有解， ∴-1≤x<a ，∵不等式组只有三个整数解， ∴不等式的整数解为：-1、0、1， ∴1<a≤2， 故选：A 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．如果关于x 的不等式组232x a x a >+⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a≥2D ．a≤2【答案】D 【解析】【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a 的范围即可． 【详解】∵不等式组232x a x a +⎧⎨-⎩＞＜无解，∴a +2≥3a ﹣2，解得：a ≤2．故选D ． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键．9．某商品的标价比成本价高%a ，根据市场需要，该商品需降价%b ．为了不亏本，b 应满足（ ） A ．b a ≤ B ．100100ab a≤+C ．100ab a≤+D ．100100ab a≤-【答案】B 【解析】 【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可． 【详解】解：设成本为x 元，由题意可得：()()1%1%x a b x +-?， 整理得：100100b ab a +?，∴100100ab a ≤+，故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．10．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到”结果是否“为一次程序操作．如果程序操作进行了三次才停止，那么x 的取值范围是（ ）A ．11x ≥B ．1123x ≤≤C ．1123x <≤D ．23x ≤【答案】C 【解析】 【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解依题意得：()()219522119522211195x x x ⎧+≤⎪⎪++≤⎨⎪⎡⎤+++>⎪⎣⎦⎩①②③ 解不等式①得，x≤47， 解不等式②得，x≤23， 解不等式③得，x ＞11， 所以，x 的取值范围是11＜x≤23． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键．11．不等式组10235x x +≤⎧⎨+<⎩的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先分别解不等式，得到不等式组的解集，再在数轴上表示解集. 【详解】因为，不等式组10235x x +≤⎧⎨+<⎩的解集是：x≤-1,所以，不等式组的解集在数轴上表示为故选C 【点睛】本题考核知识点：解不等式组.解题关键点：解不等式.12．若关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨-<⎩…的整数解只有3个，则a 的取值范围是( )A ．6≤a ＜7B ．5≤a ＜6C ．4＜a ≤5D ．5＜a ≤6【答案】B 【解析】 【分析】根据解不等式可得，2＜x ≤a ，然后根据题意只有3个整数解，可得a 的范围. 【详解】解不等式x ﹣a ≤0，得：x ≤a ， 解不等式5﹣2x ＜1，得：x ＞2， 则不等式组的解集为2＜x ≤a ．∵不等式组的整数解只有3个，∴5≤a ＜6． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据题意得出a 的取值范围是解题的关键.13．若整数a 使关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．10【答案】C 【解析】 【分析】解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加． 【详解】解：解关于x 的分式方程111a x ax x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1， ∴a ≠0，a≠1， ∵关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12a >， 解不等式1()02x a -->，得：x ＜a ，解不等式2113x x +-≥，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，∴a ≤4，∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．14．如果,0a b c ><，那么下列不等式成立的是（ ） A ．a c b +> B ．a c b c +>- C ．11ac bc ->- D ．()()11a c b c -<-【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】 解：∵0c <， ∴11c -<-， ∵a b >，∴()()11a c b c -<-， 故选：D ． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．15．已知4＜m ＜5，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式组得到关于m 的不等式解集，再根据m 的取值范围即可判定整数解． 【详解】不等式组0 420 x mx-<⎧⎨-<⎩①②由①得x＜m；由②得x＞2；∵m的取值范围是4＜m＜5，∴不等式组420x mx-<⎧⎨-<⎩的整数解有：3，4两个．故选B．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m的取值范围是本题的关键．16．如果不等式组26x xx m-+<-⎧⎨>⎩的解集为x＞4，m的取值范围为（）A．m＜4 B．m≥4C．m≤4D．无法确定【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组中第一个不等式的解集，根据不等式组的解集确定出m的范围即可．【详解】解不等式﹣x+2＜x﹣6得：x＞4，由不等式组26x xx m-+<-⎧⎨>⎩的解集为x＞4，得到m≤4，故选：C．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．17．不等式x﹣2＞的解集是（）A．x＜﹣5 B．x＞﹣5 C．x＞5 D．x＜5【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】去分母得：4x﹣8＞6x+2，移项、合并同类项，得：﹣2x＞10，系数化为1，得：x＜﹣5．故选A．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．18．如图，不等式组315215xx--⎧⎨-<⎩…的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可.【详解】由题意可知：不等式组315215xx①②--⎧⎨-<⎩…，不等式①的解集为2x≥-，不等式②的解集为3x<，不等式组的解集为23x-≤<，在数轴上表示应为.故选C.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.19．已知不等式组2010xx-⎧⎨+≥⎩＜，其解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】分别解不等式组中的每一个不等式，确定出各不等式解集的公共部分，进而在数轴上表示出来即可．【详解】2010x x -⎧⎨+≥⎩＜①②， 解①得：x<2，解②得：x≥-1，故不等式组的解集为：-1≤x<2，故解集在数轴上表示为：．故选D.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握解题方法以及解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键．20．不等式26x -≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】【分析】先求解出不等式的解集，再表示在数轴上【详解】解不等式：2x-6≥02x≥6x≥3 数轴上表示为：故选：B【点睛】本题考查不等式的求解，需要注意，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号。
七年级数学下册9不等式与不等式组易错课堂五不等式与不等式组优秀课件
易错课堂（五）不等式及不等式组
一、对不等式的性质理解错误
【例 1】已知 a＞b，c≠0，下列结论一定正确的是( C )
A．a＋c＜b＋c
B．c－a＞c－b
C.ca2＞cb2
D．a2＞ab＞b2
【对应训练】 1．下列说法一定成立的有( A )
①若 a＜b 且 c＞0，则 a＋c＞b＋c；②若 a＞0，b＜0，c＜0，则(a－b)c＜0；
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。
解：设李明后来的速度是每小时 x 千米，根据题意得 3×5＋
(350－3－0.5)x≥30，解得 x≥6，∴x 的最小值是 6，则李明后来的 速度至少是每小时 6 千米
【对应训练】
5．某学校为离家远的学生安排住宿，现有房间若干间，若每间 住 5 人，则还有 14 人安排不下；若每间住 7 人，则最后一间房 间里还余一些床位．则学校可能有几间房间可以安排学生住宿？ 住宿的学生可能有多少人？
专题05 不等式与不等式组(4大易错点分析)(解析版)-备战2024年中考数学考试易错题(广东专用)
避 坑 Ｈ大Ｈ 治
一元一次不等式组的整数解
（１）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解 集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（２）已知解集（整数解）求字母的取值．
（１）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（２）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
（３）根据公共部分写出不等式的解集，如果没有公共部分，那么不等式组无解（空集）
３、在数轴上表示不等式的解集：
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是
空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 易错提醒１、含有分母的不等式，正确把握并关注去分母的步骤细节是解题关键； ２、不等式解集的验证方法：某不等式求得的解集为ｘ＞ａ，其验证方法可以先将ａ代入 原不等式，则两边相等，其次在ｘ＞ａ的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成
易错点四：不等式（组）的实际问题
避坑大 召
列不等式组解应用题的一般步骤：（１）审清题意；（２）设未知数；（３）列不等式；（５）
检验；（６）作答。
易错提醒：根据题目要求取得最后答案，注意审题。
学 以致用
１．（２０２３·广东）某商品进价４元，标价５元出售，商家准备打折销售，但 其利润率不能少于１０则最多可打 折． 【分析】利润率不能少于１０意思是利润率大于或等于１０相应的关 系式为：（打折后的销售价－进价）÷进价≥１０把相关数值代入即可求
人教版初中数学不等式与不等式组易混淆知识点
人教版初中数学不等式与不等式组易混淆知识点单选题1、关于x 的不等式ax −1≥b −x 在条件(a +1)2=0且|b +1|=−b −1下的解（ ）A ．x ≥b+1a+1B ．x ≤b+1a+1C ．任一个数D ．无解答案：C解析：根据题意，先确定a 的值，进而解不等式即可．∵ (a +1)2=0，∴a =−1，∵ ax −1≥b −x ，∴(a +1)x ≥b +1，即b +1≤0由已知条件|b +1|=−b −1，即b +1≤0恒成立．∴不等式的解与x 的值无关，则关于x 的不等式ax −1≥b −x 的解为任意一个数故选C ．小提示：本题考查了不等式的解集，非负数的性质，求得a =−1是解题的关键．2、如果x <y ，那么下列不等式正确的是（ ）A ．2x <2yB ．−2x <−2yC ．x −1>y −1D ．x +1>y +1答案：A解析：根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A 、由x ＜y 可得：2x <2y ，故选项成立；B 、由x ＜y 可得：−2x >−2y ，故选项不成立；C 、由x ＜y 可得：x −1<y −1，故选项不成立；D 、由x ＜y 可得：x +1<y +1，故选项不成立；故选A.小提示：本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3、若方程3m(x +1)+1=m(3−x)−5x 的解是正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m >54B ．m <54C ．m >−54D ．m <−54 答案：D解析：本题首先要解这个关于x 的方程，然后根据解是正数，就可以得到一个关于m 的不等式，最后求出m 的范围． 原方程可整理为：3mx ＋3m ＋1＝3m −mx −5x ，（3m ＋m ＋5）x ＝−1，两边同时除以（4m ＋5）得，x ＝−14m+5，∵方程3m （x ＋1）＋1＝m （3−x ）−5x 的解是正数，∴−14m+5＞0，∴4m ＋5＜0，解得：m <−54．故选：D本题考查一次方程与不等式，解关于x 的不等式是解题的关键．4、在关于x 、y 的方程组{2x +y =m +7x +2y =8−m中，未知数满足x ≥0，y ＞0，那么m 的取值范围在数轴上应表示为( )．A ．B ．C ．D ．答案：C解析：解：{2x +y =m +7①x +2y =8−m② ，解方程组得：{x =m +2y =3−m ，∵x ≥0，y ＞0，∴{m +2≥03−m ＞0 ，∴－2≤m ＜3．故选C ．小提示：本题关键在于解出方程组，再由已知条件构造出关于m 的不等式组．5、若方程3m(x +1)+1=m(3−x)−5x 的解是负数，则m 的取值范围是（）A ．m >−54B ．m <−54C ．m >54D ．m <54答案：A先求解关于x的方程，根据题意列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解．3m(x+1)+1=m(3−x)−5x去括号得3mx+3m+1=3m−mx−5x移项，合并同类项得(4m+5)x=−1解得x=−14m+5∵方程3m(x+1)+1=m(3−x)−5x的解是负数，∴4m+5>0解得m>−5．4故选A．小提示：本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解题意求得x的值是解题的关键．6、已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．4≤m＜7B．4＜m＜7C．4≤m≤7D．4＜m≤7答案：A解析：先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．，解:解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞m−13∵不等式有最小整数解2，∴1≤m−1＜2，3解得：4≤m＜7，本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，正确解不等式，熟练掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．7、某城市的出租车收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米需付6元车费），超过3千米后，每增加1千米加收1.5元（不足1千米按1千米计），小王乘这种出租车从甲地到乙地支付车费18元，设他乘坐的路程为x 千米，则x 的最大值为（ ）．A ．7B ．9C ．10D ．11答案：D解析：根据题意18>6判断小王行驶路程x >3千米，再由出租车从甲地到乙地支付车费18元，列一元一次不等式6+1.5(x −3)≤18，解此不等式即可解题．解：∵18>6∴x >3设小王从甲地到乙地经过的路程是x 千米，根据题意得：6+1.5(x −3)≤18，解得x ≤11，∴小王从甲地到乙地经过的路程的最大值为11千米，故选：D ．小提示：本题考查一元一次不等式的运用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．8、不等式组{x −2≤0x +3>0的解集是（ ） A ．-3<x ≤2B ．-3≤x <2C ．x ≥2D ．x <−3分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解：{x−2≤0①x+3>0②解不等式①得：x ⩽ 2，解不等式②得：x>−3，∴不等式组的解集为：−3<x⩽2，故选：A．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．填空题9、不等式4x﹣3≤2x+1的非负整数解的和是 _____．答案：3解析：根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1得出不等式的解集，从而得出答案．解：4x﹣3≤2x+1移项，得：4x﹣2x≤1+3，合并同类项，得：2x≤4，系数化为1，得：x≤2，∴不等式的非负整数解为0、1、2，∴不等式的非负整数解的和为0+1+2＝3，所以答案是：3．小提示：本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法．10、解不等式：√3x﹣3＜2x的解集是 ___．答案：x>−3√3−6．解析：先移项，然后系数化为1，即可求出不等式的解集．解：√3x−3<2x，∴√3x−2x<3，∴(√3−2)x<3，∴x>√3−2，∴x>−3(√3+2)，∴x>−3√3−6．所以答案是：x>−3√3−6．小提示：本题考查了一元一次不等式的解法，是基础题，正确计算是解题的关键．11、不等式组{2x−1<3−12x−1≤0的整数解的和为________．答案：-2 解析：先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值，再相加．解：{2x−1<3①−12x−1≤0②，解不等式①得，x＜2；解不等式②得，x≥-2，∴不等式组的解集是：-2≤x＜2，∴不等式组的整数解是：-2，-1，0，1，∴整数解的和为-2-1+0+1=-2，所以答案是：-2．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．12、若不等式3x−a≤0的正整数解是1,2,3，则a的取值范围是____．答案：9≤a＜12解析：解不等式3x−a≤0得x≤a3，其中，最大的正整数为3，故3≤a3＜4，从而求解．解：解不等式3x−a≤0，得x≤a3，∵不等式的正整数解是1，2，3，∴3≤a3＜4，解得9≤a＜12．所以答案是：9≤a＜12．小提示：本题考查了一元一次不等式的解法．先解含字母的不等式，再根据正整数解的情况确定字母的取值范围．13、不等式组{2x −6<3x ﹐x+25−x−14 ⩾ 0 的解集为________． 答案：－6＜x≤13解析：根据不等式组分别求出x 的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．{2x −6<3x ﹐x+25−x−14 ⩾ 0 ，解得{x >−6x ≤13 在坐标轴上表示为：∴不等式组的解集为﹣6＜x ≤13所以答案是：﹣6＜x ≤13．小提示：本题考查了一元一次不等式组的解题问题，熟练掌握其解法及表示方法是解题的关键．解答题14、阅读材料：材料一：对三个实数x 、y 、z ，规定min {x , y , z }表示x 、y 、z 这三个数中最小的数，例如min {－1，2，3}＝－1材料二：m 、n 都是实数，且满足2m ＝n ＋8，则称点P （m −1，n+22）为“开心点”例：点A （5，3），由{m −1=5n+22=3 ，则{m =6n =4 ，∵2×6＝4＋8，∴点A 是“开心点”； 又例：点B （4，8），由{m −1=4n+22=8 ，则{m =5n =14 ，∵2×5≠14＋8，∴点B 不是“开心点”．请解决下列问题：（1）min {−√3 , −√5 , −π}＝________；（2）若点T （t +3，3t −1）是“开心点”，请求点T 的坐标；（3）若整数a 满足min {4 ， 5a+23 , 11−2a}＝4，请判断点M （a ，1）是否为“开心点”，并说明理由答案：（1）−π；（2）T （4，2）；（3）是“开心点”，理由见解析． 解析：（1）根据实数的大小比较方法得出最小的数即可；（2）根据T 点坐标代入（m −1，n+22），求出m 和n 的值，然后代入2m ＝n ＋8进行判断即可； （3）根据min {4 ， 5a+23 , 11−2a}＝4求出a 的取值范围，以及a 的整数值，求出点M ，再进行验证即可．解：（1）∵π>√5>√3∴−π<−√5<−√3∴min {−√3 , −√5 , −π}＝−π所以答案是：−π；（2）由题意得，{t +3=m −13t −1=n+22解得，{m =t +4n =6t −4代入2m ＝n ＋8，得，2(t +4)=6t −4+8解得，t =1∴t +3=4,3t −1=2∴T （4，2）（3）∵min {4 ， 5a+23 , 11−2a}＝4 ∴{5a+23>411−2a >4解得，2<a <72 ∵a 是整数，∴a =3∴M (3,1)即，{m −1=3n+22=1解得，{m =4n =0代入2m ＝n ＋8得，2×4=0+8所以，点M 是“开心点”．小提示：此题主要考查了实数的大小比较，解一元一次不等式组，点的坐标等知识，正确掌握“开心点”的定义是解答此题的关键．15、阅读材料：材料一：对三个实数x 、y 、z ，规定min {x , y , z }表示x 、y 、z 这三个数中最小的数，例如min {－1，2，3}＝－1材料二：m 、n 都是实数，且满足2m ＝n ＋8，则称点P （m −1，n+22）为“开心点”例：点A （5，3），由{m −1=5n+22=3 ，则{m =6n =4 ，∵2×6＝4＋8，∴点A 是“开心点”； 又例：点B （4，8），由{m −1=4n+22=8 ，则{m =5n =14 ，∵2×5≠14＋8，∴点B 不是“开心点”． 请解决下列问题：（1）min {−√3 , −√5 , −π}＝________；（2）若点T （t +3，3t −1）是“开心点”，请求点T 的坐标；（3）若整数a 满足min {4 ， 5a+23 , 11−2a}＝4，请判断点M （a ，1）是否为“开心点”，并说明理由答案：（1）−π；（2）T （4，2）；（3）是“开心点”，理由见解析．解析：（1）根据实数的大小比较方法得出最小的数即可；（2）根据T 点坐标代入（m −1，n+22），求出m 和n 的值，然后代入2m ＝n ＋8进行判断即可； （3）根据min {4 ， 5a+23 , 11−2a}＝4求出a 的取值范围，以及a 的整数值，求出点M ，再进行验证即可．解：（1）∵π>√5>√3∴−π<−√5<−√3∴min {−√3 , −√5 , −π}＝−π所以答案是：−π；（2）由题意得，{t +3=m −13t −1=n+22解得，{m =t +4n =6t −4代入2m ＝n ＋8，得，2(t +4)=6t −4+8解得，t =1∴t +3=4,3t −1=2∴T （4，2）（3）∵min {4 ， 5a+23 , 11−2a}＝4∴{5a+23>411−2a >4解得，2<a <72 ∵a 是整数，∴a =3∴M (3,1)即，{m −1=3n+22=1解得，{m =4n =0代入2m ＝n ＋8得，2×4=0+8所以，点M 是“开心点”．小提示：此题主要考查了实数的大小比较，解一元一次不等式组，点的坐标等知识，正确掌握“开心点”的定义是解答此题的关键．。
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经典题型练习
1、若方程组的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是．
2、若a＞b，则ac2bc2．
3、某种商品的进价为80元，出售时的标价是120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持所获利润不低于10元，则该商店最多可打折．
4、一种药品的说明书上写着“每日用量60～120mg，分3～4次服用”，则一次服用这种剂量x mg应该满足．
5、若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是（）
A、a，﹣1，1，﹣a
B、﹣a，﹣1，1，a
C、﹣1，﹣a，a，1
D、﹣1，a，1，﹣a
6、有理数a、b、c、在数轴上的对应点如图所示，下面的关系中正确的是（）
A、ac＞bc
B、ab＜a+c
C、2a+3b+c＞0
D、2a+3b+c＜0
7、若a＜b＜0，则下列式子：①a+1＜b+2；②＞1；③a+b＜ab；④＜中，正确的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
8、下列各式中，成立的是（）
A、2x＜3x
B、2﹣x＜3﹣x
C、﹣2x＞﹣3x
D、
9、如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为_____________________
10、若关于x的不等式1﹣|x|＞ax的解集中有无穷多个整数，则a的取值范围是：。