2016年河南省高中数学竞赛
2016年河南省中考数学试卷-答案
、、、，画树状图如图：【解析】设四个小组分别记作A B C D36033332πn R25111111x x x x xx x x x ++=-=-+--. 得，512x -≤<.（2）频数分布直方图如下图所示：所以ODE △，DEM △都是等边三角形，所以OD OE EM DM ===，所以四边形OEMD 是菱形。
tan379CD ︒≈秒的速度匀速上升【解析】（1）设一只A 型节能灯的售价是x 元，一只B 型节能灯的售价是y 元.根据题意，得：3263229x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：57x y =⎧⎨=⎩. 答：一只A 型节能灯的售价是5元，一只B 型节能灯的售价是7元；（2）设购进A 型节能灯m 只，总费用为W 元，根据题意，得：57(50)2350W m m m =+-=-+， 因为20-<，所以W 随x 的增大而减小.因为3(50)m m ≤-，解得：37.5m ≤，而m 为正整数， 所以当37m =时，237350276W =-⨯+=最小，此时503713-=. 答：当购买A 型灯37只，B 型灯13只时，最省钱. 【提示】此题根据题意得出正确的等量关系是解题关键. 【考点】二元一次方程组的应用 21.【答案】（1）0 （2）见解析 （3）见解析 （4）①3 3 ②2 ③10a -<<【分析】（1）根据函数的对称性即可得到结论； （2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）根据函数图象得到函数22||y x x -=的图象关于y 轴对称；当1x ＞时，y 随x 的增大而增大； （4）①根据函数图象与x 轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据22y x =-的图象与直线2y =的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a 的取值范围是10a ﹣＜＜ ． 【解析】（1）根据函数的对称性可得0m =，故答案为0. （2）该函数图象的另一部分如下图所示：33832。
2016全国高中数学联赛试题及评分标准
2016全国高中数学联赛试题及评分标准9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。
1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。
1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。
竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。
各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。
在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。
经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。
为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。
对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。
为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。
各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。
☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。
2016年河南省商丘市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2016年河南省商丘市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，集合N={x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．∅2．若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．曲线y=x3﹣3x+1在点（0，1）处的切线方程为（）A．y=x+1 B．y=﹣3x+1 C．y=x﹣1 D．y=3x﹣14．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c5．某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是（）A．0 B．4 C．7 D．286．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．38．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=19．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000π B．200π C．πD．π10．已知椭圆C： +=1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=（）A．4 B．8 C．12 D．1611．已知均为单位向量，且．若，则的取值范围是（）A．B．[3，5]C．[3，4]D．12．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则+的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．等差数列{a n}的前n项和S n，若a1=2，S3=12，则a6=．14．在长为10cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为．15．已知不等式组表示的平面区域的面积为2，则的最小值为．16．若存在实数t，对任意实数x∈[0，a]，均有（sinx﹣t）（cosx﹣t）≤0，则实数a的最大值是．三、简答题(本大题共5小题，共70分。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
9.若 是双曲线 上的点，则 的最小值是_________.
10. 如图，设正方体 的棱长为1，α为过直线 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.
11.已知实数 满足： 的最大值是____.
12.设集合 则集合A中元素的个数是___________
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
解：a2－a1= (y－x)，b4－b3= (y－x)， = ．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
解：( +2)2n+1－( －2)2n+1=2(C 2xn22n+1)．
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则 =．
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；
⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．
2016年全国高中数学联赛一试
2016年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC ∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M —BC —A 的大小为 6．设函数10cos 10sin )(44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为7．双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是8．设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在ABC ∆中，已知CB CA BC BA AC AB ∙=∙+∙32．求C sin 的最大值．10．（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x x f =-． 求+++)981()31()991()21()1001()1(f f f f f f …)511()501(f f +的值．11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C ．设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP相切于点P ，且均与轴相切．求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值．。
高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总,尖子生请收好
高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总，尖子生请收好！首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件：•高考数学可以轻松应对；•对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛；•具备自主学习能力；•高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。
数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。
当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。
为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。
与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。
当然，对于大部分学生来说，高校的吸引力是最大的。
而2016年新发布的高校自主招生政策中，其中的变化值得深思：•取消“校荐”，考生需自己报名；•“年级排名”不再是报名条件；•门槛抬高，审核更为严格；•报考专业一定要与特长匹配；•试点高校自主招生考核统一安排在高考结束之后、高考成绩公布前进行。
我们最需要关注的点有三个：① 由于校荐被取消，年级排名也被废除，原本校内成绩突出的学生很难走自招，而自招的报名人数会上升，竞争更加激烈；② 据了解，985高校自招的初审底线是竞赛拿到省二以上，而北清更是要求拿到省一，门槛的提高导致了28万申请自招的学生只有4万余人通过初审，8千余人获得资格，初审和复审的通过率均低于20%；③ 现在的自招考试要求不超过两科，考试的科目和专业是相匹配的，而绝大多数专业的考试科目都有数学，因此数学竞赛的比重是很高的。
总的来说，新的政策直接导致的是各高中年级排名较高的学生更难上清北（难以进入博雅领军，难以获得自招资格，裸考进清北的人更少），而间接导致的是更多的学生走上了竞赛这条道路。
因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。
高考数学二模试卷理含解析2
2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．23．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或05．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．56．已知双曲线，它的一个极点到较近核心的距离为1，核心到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=17．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．3010．已知△ABC三边长组成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值范围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．212．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为_______．14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为_______．15．设函数f（x）=lnx的概念域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为_______．16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F别离在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．19．甲、乙两同窗参加数学竞赛培训，现别离从他们在培训期间参加的若干次初赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同窗这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同窗中哪一名的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同窗在此后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的散布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 520．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是不是存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是不是存在知足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE彼此平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣别离交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，求出A的补集，再计算（∁U A）∩B．【解答】解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U A={x|x＜﹣1或x＞1}，∴（∁U A）∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：C．2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先求出+z，再求出其模即可．【解答】解：∵z=1+i，∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2，故|+z|=2，故选：A．3．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】选择题，对x+2进行分类讨论，可直接利用绝对值不等式公式解决：|x|＞a等价于x＞a或x＜﹣a，最后求并集即可．【解答】解：当x+2＞0时，不等式可化为2x﹣1＞x+2或2x﹣1＜﹣（x+2），∴x＞3或2x﹣1＜﹣x﹣2，∴x＞3或﹣2＜x＜﹣，当x+2≤0时，即x≤﹣2，显然成立，故x的范围为x＞3或x＜﹣故选：B．4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（+x）=f（﹣x），可得x=是函数f（x）的对称轴，利用三角函数的性质即可取得结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），∴x=是函数f（x）的对称轴，即此时函数f（x）取得最值，即f（）=±2，故选：B5．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，按照已知即可求解．【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=，∴sin（）=∴=2kπ+，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．∴当k=0时，有x=1．故选：C．6．已知双曲线，它的一个极点到较近核心的距离为1，核心到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c﹣a=1，求出渐近线方程和核心的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a，b，c的关系，可得a，进而取得所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线的一个极点（a，0）到较近核心（c，0）的距离为1，可得c﹣a=1，由双曲线的渐近线方程为y=x，则核心（c，0）到渐近线的距离为d==b=，又c2﹣a2=b2=3，解得a=1，c=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故选：A．7．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的千米、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质彼此转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点动身的三条线，知足已知可是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，知足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或异面，所以③错误；④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；故选：D．8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．【考点】几何概型．【分析】若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．知足|OM|≤2的点M组成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积，即可求出概率．【解答】解：这是一个几何概率模型．若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．知足|OM|≤2的点M组成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，面积为2[﹣（﹣）]= +，故|OM|≤2的概率为．故选：D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解．【解答】解：∵a1+a17=2a9，∴s17==17a9=170，∴a9=10，∴a7+a9+a11=3a9=30；故选D．10．已知△ABC三边长组成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值范围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知按照三角形内角和定理得3α＞π，从而解得α＞，妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），利用余弦定理可得cosα=2﹣＞﹣1，结合三角形内角的范围即可得解．【解答】解：∵α为△ABC最大内角，∴3α＞π，即α＞，由题意，不妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），则由余弦定理可得，cosα===2﹣=2﹣，又∵三角形两边之和大于第三边，可得a﹣d+a＞a+d，可得a＞2d，即，∴cosα=2﹣＞﹣1，又α为三角形内角，α∈（0，π），可得：α∈（，π）．故选：B．11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】按照分段函数，别离讨论x的范围，求出函数的最小值，按照题意得出不等式a2＜a+2，求解即可．【解答】解：∵f（x）=，当x≤0时，f（x）的最小值为a2，当x＞0时，f（x）的最小值为2+a，∵在x=0处取得最小值，∴a2＜a+2，∴﹣1≤a≤2，故选D．12．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用大体不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可取得a的最大值．【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）=e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．即有f（x）=e x﹣2（e y+e﹣y）+2≥e x﹣2•2+2=2+2e x﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax≤2+2e x﹣2，即有a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）e x﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）e x﹣2，h′（x）=xe x﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）e x﹣2=1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a≤．当x=2，y=0时，a取得最大值．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为存在x0≤0，都有．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为：存在x0≤0，都有；故答案为：存在x0≤0，都有；14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为 1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x3项的系数为20，取得ab的值．【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•a6﹣r•b r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20，∴ab=1．故答案为：1．15．设函数f（x）=lnx的概念域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．【考点】三角形的形状判断；函数的值．【分析】不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得，结合a2+b2≥2ab可求c的范围，进而可求M的范围，即可求解【解答】解：不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c∴ab＞M2由题意可得，∴∵a2+b2≥2ab＞2c∴c2＞2c即c＞2∴ab＞2∴故答案为：16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于 3 ．【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．【分析】先按照=0，可得⊥，又因为===|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又按照=m+n=n+m，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴，两式相较可得： =3．故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），可得a1=5，a2=3，a3=1．利用等差数列的通项公式即可得出．由点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，可得b n=a•2n．利用b1=1，解得a，即可得出．（II）c n=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），∴a1=5，a2=3，a3=1．∴d=3﹣5=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n．∵点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，∴b n=a•2n．∵b1=1，∴1=a×21，解得a=．∴b n=2n﹣1．（II）c n=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．∴数列{c n}的前n项和S n=5×1+3×2+1×22+…+（7﹣2n）•2n﹣1．∴2S n=5×2+3×22+…+（9﹣2n）•2n﹣1+（7﹣2n）•2n，∴﹣S n=5﹣2（2+22+…+2n﹣1）﹣（7﹣2n）•2n=5﹣﹣（7﹣2n）•2n=9﹣（9﹣2n）•2n，∴S n=（9﹣2n）•2n﹣9．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F别离在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．【分析】（1）成立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．（2）利用四点共面， =x+y，成立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F别离在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．∴成立以A为坐标原点，AB，AC，AA1别离为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），则=（2，0，2），=（0，2，4），设平面AEF的法向量为=（x，y，z）则令z=1．则x=﹣1，y=﹣2，即=（﹣1，﹣2，1），平面ABC的法向量为=（0，0，1），则cos＜，＞===即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，则G（1，1，0），∵=，∴==λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ），=+=（λ，λ，6﹣6λ）∵A，E，F，H四点共面，∴设=x+y，即（λ，λ，6﹣6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），则，得λ=，x=y=，故λ的值为．19．甲、乙两同窗参加数学竞赛培训，现别离从他们在培训期间参加的若干次初赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同窗这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同窗中哪一名的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同窗在此后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的散布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 5【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其散布列．【分析】（1）由题意利用平均数的概念仔细分析图表即可求得；（2）由题意记“甲同窗在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A，则，而随机变量ξ的可能取值为0、一、二、3，由题意可以分析出该随机变量ξ～B（3，），再利用二项散布的期望与散布列的概念即可求得．【解答】解：（1）依题意，解x=4，由图中数据直观判断，甲同窗的成绩比较稳定．（2）记“甲同窗在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，随机变ξ的可能取值为0、一、二、3，ξ～B（3，），，其k=0、一、二、3．所以变ξ的散布列为：ξ0 1 2 3P20．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是不是存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E 的方程（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0，由韦达定理得，，若使得点（，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式：则有∴（x﹣2）2=x2﹣7x+y2+4，整理可得y2=3x∴曲线E的方程为y2=3x．（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0由韦达定理得，，==═令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0得n=0，，此时为定值故存在．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是不是存在知足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）按照所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，取得函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论．（Ⅲ）求出函数g（x）在[0，a]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及大体不等式求出f（x）的最小值，对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，等价于f（x）min＞h（a），在上只要找到一a值知足该不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，经查验x=±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．当x转变时，g'（x）与g（x）的转变情况如下表：x （0，x0）x0（x0，a）g'（x）+ 0 ﹣g（x）↗↘∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，∴函数f（x）的最小值为，要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在知足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE彼此平分．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE彼此平分．【解答】证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，∴∠FGA+∠DAB=90°，∴∠FGA=∠DBA．∵∠FGA=∠DGP，∴∠DGP=∠PDA，∴∠DGP=∠PDG，∴PG=PD；（2）连接AE，则∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，∴AE=AC=BD，∴∠EDA=∠DAB，∵∠DEA=∠DBA，∴△BDA≌△EAD，∴DE=AB，∴DE为圆的一条直径，∴线段AB与DE彼此平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣别离交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C 在直角坐标系下的普通方程．将其化为极坐标方程为，别离代入和，可得|OA|，|OB|，，利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，别离代入和，得，∵，故△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得x﹣y﹣2=0，联立方程，解得x=2，y=0，或，∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）若a=﹣1，不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，去掉绝对值解不等式f（x）≤5；（2）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|3x﹣1|+3﹣x，所以不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，讨论：当时，3x﹣1﹣x+3≤5，解之得；当时，﹣3x+1﹣x+3≤5，解之得，综上，原不等式的解集为…（2），分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3…。
河南省郑州市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
河南省郑州市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若$\{1,2\}\subset A\subset\{1,2,3,4,5\}$，则满足条件的集合$A$的个数是（）A。
6B。
8C。
7D。
92.设$a,b\in\mathbb{R}$，集合$A=\{1,a+b,a\},B=\{0,\frac{b}{a},b\}$，若$A=B$，则$b-a=$（）A。
2B。
$-1$C。
1D。
$-2$3.下列各组函数中$f(x)$与$g(x)$的图象相同的是（）A。
$f(x)=x,g(x)=|x|$B。
$f(x)=x^2,g(x)=\begin{cases}x,&(x\geq 0)\\-x,&(x<0)\end{cases}$C。
$f(x)=1,g(x)=x$D。
$f(x)=x,g(x)=\begin{cases}x,&(x\geq0)\\0,&(x<0)\end{cases}$4.下列函数中，既是偶函数又在$(-\infty,0)$内为增函数的是（）A。
$y=-\frac{1}{2}$B。
$y=x^2$C。
$y=x+1$D。
$y=\log_3(-x)^2$5.三个数$a=0.32,b=\log_2 0.3,c=2^0.3$之间的大小关系为（）A。
$a<c<b$B。
$a<b<c$C。
$b<a<c$D。
$b<c<a$6.下列叙述中错误的是（）A。
若点$P\in\alpha,P\in\beta$且$\alpha\cap\beta=l$，则$P\in l$B。
三点$A,B,C$能确定一个平面C。
若直线$a\parallel b$，则直线$a$与$b$能够确定一个平面D。
若点$A\in l,B\in l$且$A\in\alpha,B\in\alpha$，则$l\subset\alpha$7.方程$\log_3 x+x=3$的解所在区间是（）A。
2016年度河南地区高级中学数学竞赛成绩
~2016年河南省高中数学竞赛成绩一年级一等奖理工附中高艺炜洛一高郭怡欣理工附中梁仕琦理工附中茹怡理工附中曲希然宜阳一高李文艺洛一高孙怡飞洛一高邓渝欣洛一高段震宇河科大附中许志恒理工附中霍睿哲理工附中李奕轩偃师高中李远浩宜阳一高赵旭凯河科大附中赵基尧洛一高张子昊洛一高牛梦晨理工附中李若琪洛一高黄泽理工附中郑雨辰宜阳一高周顺博洛一高张海彤河科大附中苗慧琳新安一高王禹辰新安一高刘鸾凤宜阳一高李炳毅洛一高龚金龙洛一高张锦涛栾川一高王民政洛一高王一轩栾川一高董昱二等奖十九中黄蔚洁新安一高孔坚强~ 洛一高高云飞宜阳一高杨艺博伊川一高刘瑶瑶栾川一高马奔理工附中苏渤伦洛一高常耘玮理工附中介明俊洛一高杨云冲偃师高中裴贺园伊川一高吉博文偃师高中王浩文河科大附中朱欣怡偃师高中魏正瑞河科大附中邢伊娜洛一高戴傲初新安一高王卓孟津一高吕润豫偃师高中高浩飞理工附中王敖宜阳一高闫铎泷理工附中李昶霖宜阳一高王珊珊理工附中蒋贺平宜阳实验（西）张乐歌偃师高中杨皓圆汝阳一高马瑞良宜阳一高刘甜甜理工附中郭承岩洛一高罗咏琪汝阳一高刘行行洛一高张瑾汝阳实验耿显超洛一高袁琦洛一高牛浩成洛一高陈昊阳河科大附中丁一鸣河科大附中李正阳河科大附中满佳星河科大附中李钰龙孟津一高裴英豪河科大附中侯翱翔孟津一高卢凯新孟津一高宋世豪新安一高张孟俊~ 理工附中王晓波宜阳一高张靖康三等奖洛一高岳艺双孟津一高赵纪尧洛一高张玮光理工附中李鑫沅洛一高徐嘉明新安一高王硕洛一高邓锐剑新安一高杨哲洛一高许王子路新安一高韩世博洛一高杨文韬新安三高毛继伟河科大附中陈浩南偃师高中王嘉祥孟津一高许原阳偃师高中刘龙飞理工附中于歆宜阳一高郭校源新安一高郭燚宜阳一高王博洋新安一高张雪雯宜阳一高许笑天偃师高中程龙宜阳一高李帅康偃师高中刘佳鑫宜阳一高汪中华宜阳一高宋佳楠汝阳一高黄怡宾洛阳外语学校党浩然汝阳一高滕丽红栾川一高侯瑞远洛宁一高李昌琪栾川一高田家鸣洛宁一高孟帅毅洛一高袁世龙第二实验中学张庆阳洛一高杨中信洛一高李智杰~ 伊川一高郑介介孟津一高张嘉晨河科大附中王雨航理工附中李雨晴十九中杨超泽宜阳一高张浩汝阳一高陆九钊二年级一等奖洛宁一高梁豪迪孟津一高（东）闫瑜盟孟津一高（东）孙浩育偃师高中赵浩兵洛一高高云帆洛一高张刘宇偃师高中李成博偃师高中常雅宁孟津一高（西）杨京五洛一高李鹏飞理工附中吴煜辉偃师高中张旭光汝阳一高华毅豪理工附中岳家铮孟津一高（东）王延绅洛宁一高王江勇新安一高王紫璇宜阳一高胡颖汝阳实验赵跃帅伊川一高张治国洛一高任威豪孟津一高（东）张明恩洛一高杨云泽洛一高高奇洛一高鲍智睿河科大附中蔡浩锐二等奖孟津一高（东）翟昌盛孟津一高（西）司琳娇孟津一高（西）葛沛鑫洛阳二中郑笑航理工附中蔡天澍宜阳一高柴辉辉理工附中孟宪泽洛宁一高任国行新安一高李龙基洛宁一高薛浩东偃师高中张雨飞洛宁一高贾秀锋宜阳一高黄江涛洛宁一高王一杰宜阳一高陈佳永偃师高中张译天宜阳实验（东）刘镇源洛一高杨涵苹汝阳一高王子洛一高王卓然偃师高中李天林洛一高张竞豪栾川一高赵佳乐洛一高娄江溶理工附中路畅通伊川一高马鑫鑫栾川一高张金源河科大附中宋玖瑞新安一高高尧鑫河科大附中翟腾龙偃师高中蔡佳乐河科大附中赵世慧汝阳一高李明河科大附中陈欣怡栾川一高周怡浩孟津一高（东）王瑞琦孟津一高（西）谢文静孟津一高（东）袁旭鹏洛一高王泽笙孟津一高（东）韩冲冲河科大附中王宇豪孟津一高（东）师梦娇河科大附中王嘉鑫理工附中刘恺元孟津一高（东）牛高远理工附中王震铎孟津一高（东）崔若岩理工附中时旭阳孟津一高（东）郑国康理工附中张泰瑜孟津一高（东）杨文越新安一高孟成真孟津一高（东）兰文浩新安一高刘彤新安二高郭昭鹏新安二高陈志成洛阳二中翟玉媛三等奖宜阳一高李兰兰洛一高张春雨汝阳一高薛锐洛一高李浩航洛一高涢仕鹏伊川一高许刚伟孟津一高（西）吕飞阳河科大附中李佳怡新安一高刘双双孟津一高（东）牛璐璐偃师高中彭瑞亮孟津一高（东）韩梦偃师高中宫杰孟津一高（西）沈夏鑫河科大附中张皓倩理工附中孙家龙孟津一高（东）莫朋军理工附中冯一凡洛一高梁陶然新安一高陈毅偃师高中谢延冬新安一高刘博偃师高中贾涵新安二高刘小闯偃师高中郝佳佳偃师高中臧凤翔宜阳一高习景益偃师高中贾艺乔洛一高谈笑宜阳一高张睿祥伊川一高张一男宜阳一高吕安祺孟津一高（东）和天航宜阳实验（西）刘林坡新安一高姬雅洁宜阳实验（西）张玉辉宜阳一高赵志豪宜阳实验（西）水方昊洛一高宋薇洛宁一高吴靓宁一年级优秀辅导员理工附中贾善振偃师高中董克霞洛一高温小平河科大附中杨宏亮理工附中张春玲洛一高吴文丽理工附中乔淼洛一高王伟理工附中吴秋丽洛一高李凤娟宜阳一高张琦洛一高邢利乐洛阳二中邱润桃河科大附中任明俊洛一高蔡有灿新安一高孙向阳洛一高李小锋河科大附中孙晶晶新安一高刘晓涛栾川一高冉北洛一高李鹏业洛一高姜鑫二年级优秀辅导员洛宁一高韩朝生汝阳一高高贯丽孟津一高（东）赵剑涛理工附中杨春青偃师高中郭博义理工附中李坤良洛一高闫雍恒新安一高刘毅洛一高肖赵丽宜阳一高叶来栓偃师高中杨盈甫汝阳实验张照变偃师高中张艳洛一高宋甜甜孟津一高（西）刘小利洛一高曹迎滔洛一高龚晓红伊川一高梁晓丽洛一高李桂芳偃师实验高中张卫标。
2016年河南郑州市高三第二次模拟文科数学试题及答案
河南省郑州市2016届高三第二次模拟考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A ＝{x ｜x≥4}，B ＝{x ｜－1≤2x －1≤0}，则C R A∩B ＝ A ．（4，＋∞） B ．[0，12] C ．（12，4] D ．（1，4] 2．命题“0x ∃≤0，使得20x ≥0”的否定是A ．x ∀≤0，2x ＜0B ．x ∀≤0，2x ≥0C ．0x ∃＞0，20x ＞0 D ．0x ∃＜0，20x ≤0 3．定义运算,,a b c d＝ad －bc ，则符合条件,12,1z i ＋＝0的复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．设θ为第四象限的角，cosθ＝45，则 sin2θ＝A ．725B ．2425C ．－725D ．－24255．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A ．2014B ．2015C ．2016D ．20176．经过点（2，1），且渐近线与圆22(2)x y ＋－＝1相切的双曲线的标准方程为A ．22111113x y －＝B ．2212x y －＝C ．22111113y x －＝D ．22111113y x －＝7．平面内满足约束条件1,218y y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤－＋≤，的点（x ，y ）形成的区域为M ，区域M 关于直线2x＋y ＝0的对称区域为M '，则区域M 和区域M '内最近的两点的距离为 A 35 B 45 C 55 D 658．将函数f （x ）＝－cos2x 的图象向右平移4π个单位后得到函数g （x ），则g （x ）具有性质 A ．最大值为1，图象关于直线x ＝2π对称 B ．在（0，4π）上单调递减，为奇函数 C ．在（38π－，8π）上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点（38π，0）对称9．如图是正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．710．已知定义在R 上的奇函数y ＝f （x ）的图像关于直线x ＝1对称，当0＜x≤1时，f （x ）＝12log x ，则方程f （x ）－1＝0在（0，6）内的零点之和为A ．8B ．10C ．12D ．1611．设数列{n a }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2n n a ＝（n －1）1n a －＋（n ＋1）1n a ＋，则a 20的值是 A ．415 B ．425 C ．435 D ．44512．对α∀∈R ，n ∈[0，2]，向量c ＝（2n ＋3cosα，n －3sinα）的长度不超过6的概率为 A 5 B 25 C 35 D 25第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22－24题为选考题．考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．曲线f （x ）＝3x －x ＋3在点P （1，3）处的切线方程是_________．14．已知{n a }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝_________． 15．已知正数x ，y 满足2x ＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是___________．16．在正三棱锥V —ABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2sin （3π＋ C ）·sin （3π－C ）． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a 3且b≥a ，求2b －c 的取值范围．18．（本小题满分12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布与支持“生育二胎”人数如下表：（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（Ⅱ）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少?参考数据：19．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥ 平面ABCD ，BF ＝1．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面BFED ； （Ⅱ）已知点P 在线段EF 上，EPPF＝2．求三棱锥E －APD 的体积．20．（本小题满分12分）已知曲线C 的方程是221mx ny ＋＝（m ＞0，n ＞0），且曲线C 过A 22），B 633）两点，O 为坐标原点． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是曲线C 上两点，向量p m x 1n y 1），q m 2，n y 2），且p·q ＝0，若直线MN 过（03），求直线MN 的斜率．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝xe x m－．（Ⅰ）讨论函数y ＝f （x ）在x ∈（m ，＋∞）上的单调性； （Ⅱ）若m ∈（0，12]，则当x ∈[m ，m ＋1]时，函数y ＝f （x ）的图象是否总在函数 g （x ）＝2x ＋x 图象上方?请写出判断过程．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，正方形ABCD 边长为2，以A 为圆心、DA 为半径的 圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结BF 并延长交 CD 于点E ．（Ⅰ）求证：E 为CD 的中点； （Ⅱ）求EF·FB 的值． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：22(1)1x y －＋＝．直线l 经过点P （m ，0），且倾斜角为6．以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且｜PA ｜·｜PB ｜＝1，XX 数m 的值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝｜x ＋6｜－｜m －x ｜（m ∈R ）． （Ⅰ）当m ＝3时，求不等式f （x ）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）≤7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．参考答案一、选择题BAADD ADBCC DC 二、填空题13.210x y -+=， 14.1-， 15.3， 16.三、解答题（解答应写出文字说明。
2016年河南省高中数学竞赛洛阳赛区成绩公告
2016年河南省高中数学竞赛成绩一年级一等奖理工附中高艺炜洛一高郭怡欣理工附中梁仕琦理工附中茹怡理工附中曲希然宜阳一高李文艺洛一高孙怡飞洛一高邓渝欣洛一高段震宇河科大附中许志恒理工附中霍睿哲理工附中李奕轩偃师高中李远浩宜阳一高赵旭凯河科大附中赵基尧洛一高张子昊洛一高牛梦晨理工附中李若琪洛一高黄泽理工附中郑雨辰宜阳一高周顺博洛一高张海彤河科大附中苗慧琳新安一高王禹辰新安一高刘鸾凤宜阳一高李炳毅洛一高龚金龙洛一高张锦涛栾川一高王民政洛一高王一轩栾川一高董昱二等奖十九中黄蔚洁新安一高孔坚强洛一高高云飞宜阳一高杨艺博伊川一高刘瑶瑶栾川一高马奔理工附中苏渤伦洛一高常耘玮理工附中介明俊洛一高杨云冲偃师高中裴贺园伊川一高吉博文偃师高中王浩文河科大附中朱欣怡偃师高中魏正瑞河科大附中邢伊娜洛一高戴傲初新安一高王卓孟津一高吕润豫偃师高中高浩飞理工附中王敖宜阳一高闫铎泷理工附中李昶霖宜阳一高王珊珊理工附中蒋贺平宜阳实验（西）张乐歌偃师高中杨皓圆汝阳一高马瑞良宜阳一高刘甜甜理工附中郭承岩洛一高罗咏琪汝阳一高刘行行洛一高张瑾汝阳实验耿显超洛一高袁琦洛一高牛浩成洛一高陈昊阳河科大附中丁一鸣河科大附中李正阳河科大附中满佳星河科大附中李钰龙孟津一高裴英豪河科大附中侯翱翔孟津一高卢凯新孟津一高宋世豪新安一高张孟俊理工附中王晓波宜阳一高张靖康三等奖洛一高岳艺双孟津一高赵纪尧洛一高张玮光理工附中李鑫沅洛一高徐嘉明新安一高王硕洛一高邓锐剑新安一高杨哲洛一高许王子路新安一高韩世博洛一高杨文韬新安三高毛继伟河科大附中陈浩南偃师高中王嘉祥孟津一高许原阳偃师高中刘龙飞理工附中于歆宜阳一高郭校源新安一高郭燚宜阳一高王博洋新安一高张雪雯宜阳一高许笑天偃师高中程龙宜阳一高李帅康偃师高中刘佳鑫宜阳一高汪中华宜阳一高宋佳楠汝阳一高黄怡宾洛阳外语学校党浩然汝阳一高滕丽红栾川一高侯瑞远洛宁一高李昌琪栾川一高田家鸣洛宁一高孟帅毅洛一高袁世龙第二实验中学张庆阳洛一高杨中信洛一高李智杰伊川一高郑介介孟津一高张嘉晨河科大附中王雨航理工附中李雨晴十九中杨超泽宜阳一高张浩汝阳一高陆九钊二年级一等奖洛宁一高梁豪迪孟津一高（东）闫瑜盟孟津一高（东）孙浩育偃师高中赵浩兵洛一高高云帆洛一高张刘宇偃师高中李成博偃师高中常雅宁孟津一高（西）杨京五洛一高李鹏飞理工附中吴煜辉偃师高中张旭光汝阳一高华毅豪理工附中岳家铮孟津一高（东）王延绅洛宁一高王江勇新安一高王紫璇宜阳一高胡颖汝阳实验赵跃帅伊川一高张治国洛一高任威豪孟津一高（东）张明恩洛一高杨云泽洛一高高奇洛一高鲍智睿河科大附中蔡浩锐二等奖孟津一高（东）翟昌盛孟津一高（西）司琳娇孟津一高（西）葛沛鑫洛阳二中郑笑航理工附中蔡天澍宜阳一高柴辉辉理工附中孟宪泽洛宁一高任国行新安一高李龙基洛宁一高薛浩东偃师高中张雨飞洛宁一高贾秀锋宜阳一高黄江涛洛宁一高王一杰宜阳一高陈佳永偃师高中张译天宜阳实验（东）刘镇源洛一高杨涵苹汝阳一高王子洛一高王卓然偃师高中李天林洛一高张竞豪栾川一高赵佳乐洛一高娄江溶理工附中路畅通伊川一高马鑫鑫栾川一高张金源河科大附中宋玖瑞新安一高高尧鑫河科大附中翟腾龙偃师高中蔡佳乐河科大附中赵世慧汝阳一高李明河科大附中陈欣怡栾川一高周怡浩孟津一高（东）王瑞琦孟津一高（西）谢文静孟津一高（东）袁旭鹏洛一高王泽笙孟津一高（东）韩冲冲河科大附中王宇豪孟津一高（东）师梦娇河科大附中王嘉鑫理工附中刘恺元孟津一高（东）牛高远理工附中王震铎孟津一高（东）崔若岩理工附中时旭阳孟津一高（东）郑国康理工附中张泰瑜孟津一高（东）杨文越新安一高孟成真孟津一高（东）兰文浩新安一高刘彤新安二高郭昭鹏新安二高陈志成洛阳二中翟玉媛三等奖宜阳一高李兰兰洛一高张春雨汝阳一高薛锐洛一高李浩航洛一高涢仕鹏伊川一高许刚伟孟津一高（西）吕飞阳河科大附中李佳怡新安一高刘双双孟津一高（东）牛璐璐偃师高中彭瑞亮孟津一高（东）韩梦偃师高中宫杰孟津一高（西）沈夏鑫河科大附中张皓倩理工附中孙家龙孟津一高（东）莫朋军理工附中冯一凡洛一高梁陶然新安一高陈毅偃师高中谢延冬新安一高刘博偃师高中贾涵新安二高刘小闯偃师高中郝佳佳偃师高中臧凤翔宜阳一高习景益偃师高中贾艺乔洛一高谈笑宜阳一高张睿祥伊川一高张一男宜阳一高吕安祺孟津一高（东）和天航宜阳实验（西）刘林坡新安一高姬雅洁宜阳实验（西）张玉辉宜阳一高赵志豪宜阳实验（西）水方昊洛一高宋薇洛宁一高吴靓宁一年级优秀辅导员理工附中贾善振偃师高中董克霞洛一高温小平河科大附中杨宏亮理工附中张春玲洛一高吴文丽理工附中乔淼洛一高王伟理工附中吴秋丽洛一高李凤娟宜阳一高张琦洛一高邢利乐洛阳二中邱润桃河科大附中任明俊洛一高蔡有灿新安一高孙向阳洛一高李小锋河科大附中孙晶晶新安一高刘晓涛栾川一高冉北洛一高李鹏业洛一高姜鑫二年级优秀辅导员洛宁一高韩朝生汝阳一高高贯丽孟津一高（东）赵剑涛理工附中杨春青偃师高中郭博义理工附中李坤良洛一高闫雍恒新安一高刘毅洛一高肖赵丽宜阳一高叶来栓偃师高中杨盈甫汝阳实验张照变偃师高中张艳洛一高宋甜甜孟津一高（西）刘小利洛一高曹迎滔洛一高龚晓红伊川一高梁晓丽洛一高李桂芳偃师实验高中张卫标。
2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案
2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分） 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24aa +的值为．答案：6． 解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.aa +=另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而24a a+>，从而24 6.aa +=2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.2MRSMNPQS S -=⨯-⨯⨯=正方形3.已知复数z 满足22z z z z+=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =-，进而23b a a =+=于是，满足条件的复数z 的积为3333 3.22⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391xf xg x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +=++= ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯= 另解：因为()()391x f x g x x +=++， ①所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =- ③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =--- ④将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g = 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ． 解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ⨯=过所求的概率为6012.12525p == 6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C xy a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C xy x ay ++-+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y -+=解：12,C C 的标准方程分别为 ()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++-=-由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a=->解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O -直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此可得直线l 的方程是2450.x y -+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN=，则异面直线,AM BN所成角的余弦值为 ．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OVu u u r u u u r u u u r 的方向为,,x y z 轴的正向，V DN yxOzMCBA建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V ----由条件知111112,,,,,222333M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此 311442,,,,,.222333AM BN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则111cos 112AM BN AM BNθ⋅-===⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数． 解：由于对任意整数n ，有 135113,2461224612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++≤+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-=L 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎫=-=-=+-+=-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭才成立．而201612168=⨯，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分） 9.（16分）已知{}na 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a L 的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.kka a --=因此，5051lg ,lg aa 是一元二次方程210020tt --=的两个不同实根，从而()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.aa =由等比数列的性质知，()501501001210050511010.a a aa a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭L 10.（20分）在ABC中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-⋅==u u u r u u u r 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +-+-⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 故已知条件化为()()22222222223,b c a a c b a b c +-++-=+-即22223.ab c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得()2222222123cos 2223636a b a b a b c C ab ab a b a b b a b a +-++-===+≥⋅等号成立当且仅当::36 5.a b c =因此cos C 的最小值211.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C的方程为221xy -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C 交于点((22001,,1P a a Q a a ---（注意这里1a >），2l 与C交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知20000212a PQ R S -===，解得 2.a =这意味着符合条件的a 2.下面验证2a事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:2,:20,l y k x l y x k k==-≠ 注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l与C 只有一个交点）． 联立1l 与C 的方程知，(222210,x k x ---=即()2222122210,k x k x k ----=这是一个二次方程式，其判别式为2440k∆=+>．故1l与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2222244112.11k k PQ k k k ++=+=⋅--用1k-代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=⋅=---于是.PQ RS =综上所述，2a =加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x L 和实数122016,,,y y yL 满足：（1）221,1,2,,2016kk xy k +==L ；（2）122016y yy +++L 是奇数．求122016x xx +++L 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,kk xy k ≤≤=L 于是（注意0ix ≥）()2016201620162016201622211111120162016.kkkkk k k k k k x xy yy =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑ ① 不妨设112016,,0,,,0,02016,mm y yy y m +>≤≤≤L L 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤-≤-∑∑若11m kk ym =>-∑，并且201612015,kk m ym =+->-∑令 2016111,2015,mkk k k m ym a y m b ==+=-+-=-+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-∑∑∑由条件（2）知，20161kk y =∑是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾． 因此必有11m kk ym =≤-∑，或者201612015,kk m ym =+-≤-∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=-≤∑∑∑于是结合①得201611.kk x=≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x xx x y y y y ==========L L 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++L 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤ 证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅I 的不超过k 的正约数的集合是.A B U 若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d '=，则|d n '，d '是奇数，又2k d k '≤<，故,d A '∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠Q GPDBA 解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，GM Q PODB A点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠=o，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知 .PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OC GC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<<L 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<L L 上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b L 是A 中的全部非负元素，12,,,lc c c L 是A 中的全部负元素．不妨设110,l kc c b b <<<≤<<L L 其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l kc b c b c b c b c b >>>>>>L L 它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+= 由此可知，17.B ≥另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =-±±±±±-L 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。
三角换元技巧与竞赛最值问题
三角换元技巧与竞赛最值问题于志洪【期刊名称】《中学数学教学》【年(卷),期】2018(000)002【总页数】3页(P62-64)【作者】于志洪【作者单位】江苏省泰州市海陵区森南新村15栋103室 225300【正文语种】中文本文以部分高中数学竞赛题为例，介绍三角换元法在求最大值和最小值问题中的应用，供高中师生教与学时参考.例1 (2016年河北省高中数学竞赛高二年级组第7题)已知实数x、y满足x2+y2+xy=3，求x2+y2的最大值和最小值.解设x2+y2=z(z>0)，令代人x2+y2+xy=3，得z+zsinθcosθ=3，即•zsin2θ=3,得因为θ∈[0，2π)，所以-1≤sin2θ≤1，不等式两边同时加上2，得1≤2+sin2θ≤3，所以故x2+y2的最大值是6，最小值是2.评注这是一道二元最值问题，借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角换元，结合正弦函数的有界性求得结果.真可谓匠心独具，别有洞天.例2 (2016年全国高中数学联赛福建赛区预选赛高一试题)已知实数x、y满足x2+y2-6x+4y+4=0，记u=x2+y2+2x-4y的最大值为M，最小值为m，计算M+m.解由已知得u+5=(x+1)2+(y-2)2，设则代入已知条件式得整理得所以即u2-72u+144≤0.由于u的最大值和最小值就是一元方程u2-72u+144=0的两个根，故由韦达定理可求得M+m=72.还可求得Mm=144.评注上述解法从已知条件入手，先将题设式进行配方，结合三角换元，将条件三角化后代入目标函数，从而沟通了题设与结论的关系，实现了将代数最值问题化归为三解函数最值问题来处理，最后根据韦达定理，巧妙求得最大值和最小值之和.上述解法，不仅减少了计算量，而且丰富了学生的解题思路，提高了解题速度，其构思巧妙精彩，今人耳目一新.例3 (2016年土库曼斯坦数学奥林匹克试题)求的最大值和最小值.解因为故令则这里其中当时，取最大值当a=0时，取最小值评注三角换元的目的是去根号.本题中，巧妙使用特定的三角换元一举消除了两个根号，其解法简捷流畅，令人赞叹!例4 (2015年高中数学联赛四川初赛试题)已知函数的最小值为M，最小值为m，则的值( )解将题设变形，所以可设也就是其中从而因为所以由正函数的图象可知所以故选(D).评注本题为一道求无理函数量大值和最小值的竞赛题，用常规方法求解较难，然而根据题设，经过巧妙凑配系数使其出现了平方和为常数的关系，从而便于利用三角换元，将无理函数的最值问题转化为三角函数的化简求最值问题，其构思巧妙，方法新颖，令人赞叹不已.例5 (2013年江西省高中数学竞赛第6题)求函数的最大值和最小值.解1 由待求函数可设所以两边平方后，得3x-6=y2cos4θ①,3-x=y2sin4θ②,②×3得9-3x=3y2sin4θ③，因此①+③得y2cos4θ+3y2sin4θ=3，所以而因而故所以1≤y2≤4，而f(x)=ycos2θ +ysin2θ=y，因此函数f(x)的最大值为2，最小值为1. 解2 因为3x-6≥0,3-x≥0，所以2≤x≤3.故可设因此而这时所以1≤f(x)≤2，从而知f(x)的最大值为2，最小值为1.评注本题解题的关键是通过三角换元将形如的无理函数转化为三角函数来求解最值.解法简洁明快,充分体现了三角换元法在解题中的重要作用.例6 (2013年全国高中数学联赛江苏省预赛试题)若实数a、b、c满足a2+b2≤c≤1，求a+b+c的最大值和最小值解设则由可知因为那么当且仅当时，等号成立.因此a+b+c的最大值为最小值为评注此题设计精巧，可以从多角度研究，思维分析切口较宽，解法也较多.然而，根据题中条件的结构特征，利用三角换元思想解题可谓别具一格.例7 (2013年全国高中数学联赛题)若实数x、y满足求x的最大值和最小值.解由条件得知x≥0，又所以可令则条件变为①(i)当x=0时，①成立.(ii)x>0时，①式可变为即其中即所以当sin(θ+φ)=1时，取得最大值此时x取得最大值20；当时，取得最小值2，此时x取得最小值4.综上可知，x的最大值是20，x的最小值是4.评论本题含有两个根式，直接进行代数变形相当困难.然而注意到很自然想到利用三角换元法，不仅降低了解题难度而且简捷明快.例8 (2011年第60届捷克和斯洛伐克数学奥林匹克决赛试题)若实数x、y、z满足：x+y+z=12,x2+y2+z2=54，分别求xy、yz、zx的最大值和最小值.解设代人x+y+z=12，得则54-z2+54-z2≥(12-z)2，解得2≤z≤6.又从而有9≤xy≤25，同理9≤yz≤25，9≤zx≤25.即xy、yz、zx的最大值均为25，最小值均为9.评注本题构思巧，方法妙，由于智用了三角换元，从而提高了解题效率，降低了题目的难度.综上所述可知：上述例1、例2、例4、5的解1及例6、和例8都是利用两个变量.(sinθ,cosθ)或(sin2θ,cos2θ)来换元的，而例3和例5解2则是利用一个变量来换元的.他们的共同优点可将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的三角函数来表示，这样就便于我们运用熟知的三角公式进行化简，利于迅速求得其解. 上述几道高中数学竞赛题都是比较典型的三角代换题目，考题结构简洁，原生形态，看似平常，实乃新奇，构思精巧，意境高远，有着良好的考查检测工能与较强的命题导向功效，很值得我们一同来鉴赏与探寻.这种解法的优点在于可以将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的某个三角函数来表示，从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简，直至问题的解决，这种代换思想符合新课程改革的理念精神，利于学生融会贯通课本知识，利于激发学生学习的积极性，利于发展学生的数学才能，利于拓宽学生视野、启迪思维，利于提高教学质量，利于提高学生分析问题和解决实际问题的能力.故笔者认为：在今后的教学过程中，教师应注重引导学生对这类最值问题的结构特征认真分析，要发展学生的认识力，培养学生的创造力，这对学生的全面发展将大有益处.附练习题(1)实数x、y满足4x2-5xy+3y2=5，则的最大值和最小值之和为多少？(2016年全国数学联赛河南赛区预选赛高一试题)答案：(2)实数x、y满足x2+y2+xy=3求x2+y2的最大值和最小值.(2016年全国数学联赛河北赛区预选赛高二试题)答案：最大值为6，最小值为2.(3)设实数x、y满足x2-4x+y2+3=0，则x2+y2的最大值与最小值之差是______.(2013年全国数学联赛江苏赛区复赛试题)答案：8.(4)已知正实数a、b满足a2+b2=1且a3+b3+1=m(a+b+1)3求m的最大值和最小值.(2012年全国高中数学联赛湖北省预赛试题)答案：m的最大值为最小值为参考文献1 于志洪.应用三角换元法解高考最值问题[J].数学通讯(下半月)，2014(1)2 于志洪.应用三角换元法解竞赛最值问题[J].数学通讯(上半月)，2015(4)3 于志洪.代换法求最值十二曲[J].中学生理科应试.2013(4)。
高中数学历届全国高中数学联赛一试解析版
19 1999 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 97
20 2000 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 102
21 2001 年全国高数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 107
和 AB′ 相交的直线有 4 条，共面 (相交或平行)
C. 24
的直线有 2 条，与其异面的直线有 5 条：
CD′, DA′, BC′, BD, A′C′.
于是异面直线的对数为 12 ·5 2
= 30. 所以选
A.
D. 48
6. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N . M 是由 y ⩾ 0, y ⩽ x 和 y ⩽ 2 − x 这三个
7 1987 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 33
8 1988 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 37
9 1989 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 42
解答
S△ABC =
1 2 ab
sin C
⇒ C1 =Biblioteka C2 或C1 = π
− C2，于是甲
⇏
乙，乙
⇒
甲.
甲是乙的必要条件，所以选 B.
2. 条件甲：√1 + sin θ = a；条件乙：sin θ + cos θ = a. 则
2
2
()
A. 甲是乙的充分必要条件
B. 甲是乙的必要条件
C. 甲是乙的充分条件
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2016年高中数学联赛试题答案
2
2
3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则 ． log w u 的值为 4 答案： ． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条 件 化 为 a ab b 5, 3 ， 由 此 可 得 ab ． 因 此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币 和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小 为 ． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径． 设 底 面 中 心 为 O ， 则 PO 平 面 ABC ． 易 知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中 点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理 知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知， ，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为 ．
以下是小编整理的2016重点高校自主招生认可的各类竞赛奖项
以下是小编整理的2016重点高校自主招生认可的各类竞赛奖项，包括数学篇、物理篇、化学篇、生物篇、信息篇、英语篇、语文篇、科技篇、机器人篇和综合篇等，还附2016重点高校自主招生认可的各类竞赛奖项比赛报名网址，希望对你有所帮助。
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