一、弯曲梁的正应力强度计算 1、当材料的拉压强度相等时
弯曲应力计算 (1)
第7章弯曲应力引言前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。
但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。
在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。
由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。
由此可见，梁横截面上有剪力Q有弯矩M时，就必然有正应力 。
为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。
弯曲正应力纯弯曲梁的正应力由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。
因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。
在梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲，称为纯弯曲。
如果在梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩两种内力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。
例如在图7-1所示的简支梁中，BC段为纯弯曲，AB段和CD段为横力弯曲。
分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样，需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。
图7-1变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。
为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、b -b 。
然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。
此时可以观察到如下的变形现象。
纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。
横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。
梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：(1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
梁的剪应力及其强度条件梁的弯曲应力与强度计算剪应力计算公式
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
理论力学第七章梁的应力
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4 64
d 3 W Z 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3
32
(14)
矩形截面
IZ
bh 3 12
WZ
bh 2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h0/2)
q=40kN/m
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
k
d
o
k'
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
maxFISzSb*z
4FS 3A
式中 A πd 2 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁
z
k
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
，环的平均半径为r0，由于 «r0 故可假设
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
d
o
k'
o'
y
（b）切应力的方向与圆周相切.
A
C
FAY
1.5m l = 3m
解：
B
x
FBY
FS 90kN
x
90kN 1. 绘制内力图
x
M
梁的应力和强度计算
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
《钢结构设计规范》学习指导§1-2
《钢结构设计规范》（GB50017—2003）学习指导第四章 受弯构件的计算§4.1 强度计算 一 规范原文4.1.1 在主平面内受弯的实腹构件（考虑腹板屈曲后强度者参见本规范第4.4.1条），其抗弯强度应按下列规定计算：f W M W M nyy y nx x x≤+γγ （4.1.1）式中 M x 、M y ——同一截面处绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形截面：x 轴为强轴，y轴为弱轴）；W nx 、W ny ——对x 轴和y 轴的净截面模量；x γ、y γ——截面塑性发展系数；对工字形截面，05.1=x γ，20.1=y γ；对箱形截面,05.1==y x γγ；对其他截面，可按表5.2.1采用；f ——钢材的抗弯强度设计值。
当梁受压翼缘的自由外伸宽度与其厚度之比大于y f /23513而不超过y f /23515时，应取0.1=x γ，y f 为钢材牌号所指屈服点。
对需要计算疲劳的梁，宜取0.1==y x γγ。
4.1.2 在主平面内受弯的实腹构件（考虑腹板屈曲后强度者参见本规范第4.4.1条），其抗剪强度应按下式计算：v wf It VSr ≤=（4.1.2） 式中 V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力；S ——计算剪应力处以上毛截面对中和轴的面积矩；I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度；f v ——钢材的抗剪强度设计值。
4.1.3 当梁上翼缘受有沿腹板平面作用的集中荷载，且该荷载处又未设置支承加劲肋时，腹板计算高度上边缘的局部承压强度应按下式计算：f l t Fzw c ≤=ψσ （4.1.3-1）式中 F ——集中荷载，对动力荷载应考虑动力系数；ψ——集中荷载增大系数；对重级工作制吊车梁，35.1=ψ；对其他梁，0.1=ψ；l z ——集中荷载在腹板计算高度上边缘的假定分布长度，按下式计算： R y z h h a l 25++= （4.1.3-2） a ——集中荷载沿梁跨度方向的支承长度，对钢轨上的轮压可取50mm ； h y ——自梁顶面至腹板计算高度上边缘的距离； h R ——轨道的高度，对梁顶无轨道的梁h R =0； f ——钢材的抗压强度设计值。
材料力学重点及其公式要点
外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P 来计算。
当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为2.5.2切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为-12) Ip式中Ip为该截面对圆心的极惯性矩，为欲求的点至圆心的距离。
圆截面周边上的切应力为式中RTWt (3-13) 称为扭转截面系数，R为圆截面半径。
2.5.3 切应力公式讨论（1）切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允许范围内。
（2）极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt是截面几何特征量，计算公式见表3-3。
在面积不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。
因此，设计空心轴比实心轴更为合理。
表3-32.5.4强度条件圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。
因此，强度条件为axTmax(3-14) 对等圆截面直杆Wt（3-15）式中为材料的许用切应力。
3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系1MEIz(3-16)式中，是变形后梁轴线的曲率半径；E是材料的弹性模量；IE是横截面对中性轴Z轴的惯性矩。
3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式My IZ(3-17)式中，M是横截面上的弯矩；IZ的意义同上；y是欲求正应力的点到中性轴的距离最大正应力出现在距中性轴最远点处（3-18）式中，IzymaxMmaxMax称为抗弯截面系数。
对于的矩形截面，；对于直径为D6的圆形截面，32D3；对于内外径之比为d的环形截面，。
D32若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。
3.2梁的正应力强度条件梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为（3-19）Mmax对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为σlmax=σymax=Mmaxy1≤[σt] IzMmaxy2≤[σc] Iz （3-20a）（3-20b）式中，[σt],[σc]分别是材料的容许拉应力和容许压应力；y1,y2分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
梁的弯曲正应力计算公式应在()范围内使用
梁的弯曲正应力计算公式应在()范围内使用
摘要：
一、引言
二、梁的弯曲正应力计算公式
三、使用范围及注意事项
四、总结
正文：
一、引言
梁是工程中常见的一种构件，其弯曲正应力计算是工程设计中的重要环节。
为了保证梁的安全性能，需要对梁的弯曲正应力进行准确计算。
二、梁的弯曲正应力计算公式
梁的弯曲正应力计算公式为：
σ= M*y/I
其中，σ为正应力，M 为弯矩，y 为距离中心轴线的距离，I 为抗弯截面系数。
三、使用范围及注意事项
1.使用范围：该公式适用于梁的弯曲正应力计算，只要已知梁的弯矩、距离中心轴线的距离以及抗弯截面系数，就可以使用该公式进行计算。
2.注意事项：在实际应用中，需要根据梁的具体情况进行合理假设和简化，例如假设梁为简支梁或固定梁，以简化计算过程。
同时，需要注意材料的特性和边界条件的设定，以保证计算结果的准确性。
四、总结
梁的弯曲正应力计算公式是工程设计中常用的公式，只要正确使用，就能有效保证梁的安全性能。
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
材料力学(刘鸿文)第五章-弯曲应力
关于中性层的历史
1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层； 英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象， 但没有涉及中性轴的位置问题； 法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义， 给出结论： 中性轴 过截面形心。
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
P
为什么开孔？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；
（4）中性轴上正应力为零， 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来 确定。
（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
例1 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。
a 无论截面形状如何， 无论内力图如何
梁内最大应力 其强度条件为
σmax
σmax
M y max max
M
Iyz
max max
Iz
σ
b 但对于塑性材料，通常将梁做成矩形、圆形、工字形等
对称于中性轴的截面；
此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。
因此：
强度条件可以表示为
σmax
M max wz
σ
3m
180
30 K
z
1、C 截面上K点正应力
y
2、C 截面上最大正应力
3、全梁上最大正应力
4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
180
1、截面几何性质计算
120
z
确定形心的位置 确定形心主轴的位置
确定中性轴的位置
IZ
bh 3 12
工程力学：第9章 弯曲应力及强度计算(新)
P1
例如：
P2
纵向对称面
aP
Pa
A
P FS P
B P
x
P Pa M
x
3、纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。
纯弯曲：AB段
三.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不
受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
x
t max
1.5
FS max A
1.5 5400 0.12 0.18
qL
2
0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
x
s max M max 2 A L 16.7
t max Wz 3FS h
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m RA
1m 1m RB
2.5kNm
x
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如
(sdA)z
A
Eyz dA E
A
yzdA EI yz 0
A
（对称面）
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y2dA
A
EI z
MZ
A y2dA I Z
• IZ—横截面对中性轴的惯性矩
1 Mz
EI z
… …(3) EIz 杆的抗弯刚度。
sx
M y Iz
...... (4)
M(x)+d M(x) 在梁上取微段如图b；
z
t1
x
在微段上取一块如图c，平衡
sI
t
第六章 弯曲应力(习题解答)
6-3、图示矩形截面梁受集中力作用，试计算1-1横截面上a 、b 、c 、d 四点的正应力。
解：（1）外力分析，判变形。
荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。
中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直，沿水平方向。
（2）内力分析，弯矩图如图（b ）所示，1-1横截面的弯矩为：1115230(M -=-⨯=-⋅kN m)（3）应力分析，梁上边有弯矩图，上侧纤维受拉。
1-1横截面上的a 点处于拉伸区，正应力为正；c 点处于中性层上，正应力为零；b 、d 两点处于压缩区，正应力为负。
3111111max2301011.1110.1800.36a a zzzM M M y y I I W σ---⨯=⋅=⋅===⨯⨯Pa MPa 。
11.11b a σσ=-=-MPa0c σ= 31133010(0.1500.050)7.4110.1800.312d d zM y I σ-⨯=-⋅=-⨯-=-⨯⨯Pa MPa37M kN V 图(kN)(a)(c)(b)(c)(e)(d)2+q l /8MkN ·m)(f)(b)180q题6-3图 题6-5图6-5、两根矩形截面简支木梁受均布荷载q 作用，如图所示。
梁的横截面有两种情况，一是如图(b)所示是整体，另一种情况如图(c)所示是由两根方木叠合而成（二方木间不加任何联系且不考虑摩擦）。
若已知第一种情况整体时梁的最大正应力为10MPa ，试计算第二种情况时梁中的最大正应力，并分别画出危险截面上正应力沿高度的分布规律图示。
解：（1）外力分析，判变形。
荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。
第一种情况中性层为过轴线的水平纵向面，中性轴z 轴过整体形心C 与载荷垂直，沿水平方向。
而第二种情况，两根木梁以各自的水平纵向面为中性层发生弯曲，两根中性轴为与荷载垂直的水平形心主轴。
如图所示。
（2）内力分析，判危险面：弯矩图如图（b ）所示，跨中截面为危险面。
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
材料力学教案 第6章 弯曲应力
第6章弯曲应力教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导过程中所作的假设。
掌握中性层、中性轴等基本概念和含义。
弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。
理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。
教学重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导；横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算；弯曲的强度计算；弯曲横截面上的剪应力。
教学难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和结果以及弯曲中心的概念。
教具：多媒体。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
教学内容：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施。
教学学时：6学时。
教学提纲：6.1 梁的纯弯曲1、几个基本概念（1）平面弯曲和弯曲中心变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。
怎样加载才能产生平面弯曲？若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在对称平面内，才能发生平面弯曲。
若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。
什么叫弯曲中心？当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。
这样的特定点称为弯曲中心。
关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。
①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图(a),(b),(c)所示。
②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图(d)、(e)所示。
③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图(e)、(f)所示。
④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。
这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。
弯曲梁的正应力强度计算当材料的拉压强度相等时
一、弯曲梁旳正应力强度计算 1、当材料旳拉压强度相等时
max
M Wz
[ ]
2、当材料旳拉压强度不相等时，如铸铁，拉应力和压应力
应该分别计算。
§5-3 梁弯曲时的强度计算 强度条件旳作用：
a、强度校核:
max
M Wz
[ ]
b、截面设计:
Wz
M max [ ]
c、拟定梁旳许可荷载: M max [ ]Wz
300
RA M
210KNm
q
1400
455KNm
(+)
CD
300
RB
210KNm
§5-3 梁弯曲时的强度计算
已知：l=10m，G=30kN，[σ]=160MPa 校核梁旳正应力强度
解：28号工字钢
q=0.4235kN/m
M
画弯矩图
ql 2 Gl M max 8 4
M
0.4253kN / m 102 m2 30kN 10m
8
4
80.32 kN m
ql 2 / 8
x
GL / 4
AB
300
q
CD
1400 300
§已知5-：3 q梁=1K弯N曲/m 时，[的σ]=强14度0M计pa算
求：d
解： 1、求约束反力 RA RB 0.7KN
2、作弯矩图
AB
M max 455N m
M B M C 210N m
3、根据弯曲正应力强度条 件拟定直径
300
RA
M
210Nm
32M
()
§5-3 梁弯曲时的强度计算
已知：l=10m，G=30kN，[σ]=160MPa
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80.32 kN m
§5-3 梁弯曲时的强度计算 已知：l=10m，G=30kN，[σ]=160MPa 校核梁的正应力强度
解：校核弯曲正应力强度
查表
Wz 508.15 cm2
M
ql 2 / 8
M max max Wz
M
GL / 4
x
80.3210 N .m m 3 3 508.1510 m m
* FQ,maxS z
I zb
20103 N 21.6 10m m 8m m
11.57 MPa [ ] 100 MPa 切应力强度足够
§5-3 梁弯曲时的强度计算
例 图5-24a所示圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷作用。已 知载荷集度q=1KN/m ，许用应力[σ]=140Mpa。试确定轴径。
c、确定梁的许可荷载: M max [ ] Wz
§5-3 梁弯曲时的强度计算 已知：l=10m，G=30kN，[σ]=160MPa 校核梁的正应力强度
解：28号工字钢
q=0.4235kN/m 画弯矩图
ql 2 Gl M max 8 4
M
M
ql 2 / 8
GL / 4
x
0.4253 kN / m 102 m 2 30kN 10m 8 4
§5-3 梁弯曲时的强度计算
一、弯曲梁的正应力强度计算
1、当材料的拉压强度相等时
max
M [ ] Wz
2、当材料的拉压强度不相等时，如铸铁，拉应力和压应力 应当分别计算。
§5-3 梁弯曲时的强度计算
强度条件的作用：
a、强度校核: max
M [ ] Wz
M max b、截面设计: Wz [ ]
1400 300
455Nm
210Nm
300
RB
(+)
210Nm
32M [ ] 3 d
例 已知：q=1KN/m ，[σ]=140Mpa § 5-3 梁弯曲时的强度计算 求：d 解：
q
A B C D
32M d 3 [ ]
3
32 45510 N m 3 d1 140106 Pa 32.1 m m
M C y2 T Iz
2.5 103 N .m (120 20 52) 103 m 763108 m 4
28.8 MPa [ T ]
梁的强度足够。
§5-3 梁弯曲时的强度计算
二、横力弯曲梁的切应力强度计算
最大切应力发生在中性轴处
max
* FQ,maxS z
Wz [ ] 1.07106 m3 140106 Pa F 3 kN 2 a 5 10 m
§5-3 梁弯曲时的强度计算 4 [ ] 160 MPa I 763 cm y1 52 mm [ ] 30 MPa c 已知： T z 校核梁的强度 解：求支座反力
I zb
[ ]
在下列情况下需要进行梁的弯曲切应力强度校核： 1、梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷 2、铆接或焊接的工字梁 3、经焊接、铆接或胶合而成的梁，对焊缝、铆钉
或胶合面等，
§5-3 梁弯曲时的强度计算
一般情况下，在剪力最大的截面的中性轴上，出现最 大弯曲剪应力，即：
max
FQ ,max S z Ib z
4 103 N .m (120 20 52) 103 m 763108 m 4
46.2 MPa [ c ]
§5-3 梁弯曲时的强度计算 4 [ ] 160 MPa I 763 cm y1 52 mm [ ] 30 MPa c 已知： T z 校核梁的强度 解：C截面弯矩为正， 上压下拉
[ ] max
对于等截面直梁：
max
式中：Leabharlann FQ,maxS z I zb
S z ——中性轴一边的截面面积对中性轴的静矩
——材料的许用剪切应力
§5-3 梁弯曲时的强度计算 已知：F=20KN，l=0.5m，a=0.3m，[σ]=160MPa， [τ]=100MPa 选择工字钢型号 解：1、画剪力图和弯矩图
3 32 210 10 N m d2 3 140106 Pa 24.8 m m
1400 300
300
RA M
210KNm
455KNm
RB
(+)
210KNm
M B y1 T Iz
4 103 N .m 52103 m 8 4 76310 m
27.2 MPa [ T ]
§5-3 梁弯曲时的强度计算 4 [ ] 160 MPa I 763 cm y1 52 mm [ ] 30 MPa c 已知： T z 校核梁的强度 解：B截面弯矩为负， 上拉下压 M B y2 c Iz
FQ,max 20kN
M max 6 kN.m
2、根据正应力强度条件选择 工字钢型号
6 M max 6 10 N .m m Wz [ ] 160N / m m2
375 mm
3
§5-3 梁弯曲时的强度计算 已知：F=20KN，l=0.5m，a=0.3m，[σ]=160MPa， [τ]=100MPa 选择工字钢型号 解：
q
A B C D
300
1400
300
§ 5-3 q=1KN/m 梁弯曲时的强度计算 已知： ，[σ]=140Mpa
求：d 解： 1、求约束反力
A B
q
C D
RA RB 0.7 KN
2、作弯矩图
M max 455N m
M B M C 210N m
3、根据弯曲正应力强度条 件确定直径 RA M
查型钢表得，25a号工字钢
Wz 402 cm3
d 8 mm
I / S z 21.6 cm
h 250 m m
§5-3 梁弯曲时的强度计算 已知：F=20KN，l=0.5m，a=0.3m，[σ]=160MPa， [τ]=100MPa 选择工字钢型号 解：
3、校核切应力强度
max
6
()
158.1 MPa [ ]
梁的强度足够
§5-3 梁弯曲时的强度计算
已知：a=50mm，[σ]=140MPa 求：F 解： 压板简化为外伸梁
M max Fa
截面B
3 23 4 1.4 23 4 Iz cm cm 1.07 cm4 12 12
Iz 1.07cm4 Wz 1.07 cm3 1cm ymax
FRA 2.5 kN
FRB 10.5 kN
作弯矩图
M c 2.5 kN.m
M B 4 kN.m
§5-3 梁弯曲时的强度计算 4 [ ] 160 MPa I 763 cm y1 52 mm [ ] 30 MPa c 已知： T z 校核梁的强度 解：B截面弯矩为负， 上拉下压