2018年长沙市高三理数联考试卷及解析

AD = 2 3 ，AP＝2，∠ABC＝60°.
（Ⅰ）证明：平面 PCA⊥平面 PCD； （Ⅱ）设 E 为侧棱 PD 上一点，若直线 CE 分别与平面 ABCD、
平面 PBC 所成的角相等，求 PE 的值.
PD
P
E A
D
B
C
理科数学试卷 第 4 页（共 7 页）
19.（本小题满分 12 分） 某科研所共有 30 位科研员，其中 60%的人爱好体育锻炼. 经体检调查，这 30 位科 研员的健康指数(百分制)如下茎叶图所示.体检评价标准指出：健康指数不低于 70 者为身体状况好，健康指数低于 70 者为身体状况一般. （Ⅰ）根据以上资料完成下面的 2×2 列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好 与爱好体育锻炼有关系”？
该组区间的中点值作代表)，求x 与 x 的误差值；
（Ⅲ）从该科研所健康指数高于 90 的 5 人中随机选取 2 人介绍养生之道，求这 2 人
中爱好体育锻炼的人数的分布列和数学期望.
∑ 附： K 2
= (a + b + c + d )(ad − bc)2 . (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
18 2
=
log3
9
=
2
，选
B.
4．A
JJJG 【解析】解法一：由已知，| AB |=
JJJG 2 ，| AC |=
2
，<
JJG OA,
JJJG AB
>=
3π
，<
JJJG AC,
JJJG AB
>=
0
，
4
4
JJJG JJJG JJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG JJJG 则 OC ⋅ AB = (OA + AC) ⋅ AB = OA ⋅ AB + AC ⋅ AB =
3
22 侧视图
7．若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 r，则记为
N＝r(mod m)，例如 10＝2(mod 4)．下列程序框
图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的
“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的 i 等于
A．3
B．9
C．27
D．81
8．设函数 f (x) = sin(ωx + ϕ)(ω > 0, 0 < ϕ < π ) ，已知 f(x) 2
a1＝1，4Sn
=
a2 n +1
−
4n
− 1 (n∈N*).
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 bn
=
an 2n
，数列{bn}的前
n
项和为
Tn，求使 Tn
>
177 − 2n 60
成立的正整数
n
的
最小值.
18．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PA⊥底面 ABCD，AB = 3 ，
.
x
14．某种活性细胞的存活率 y(%)与存放温度 x(°C)之间具有线性相关关系，样本数据如
下表所示：
存放温度 x(°C) 10
4
－2
－8
存活率 y(%)
20
44
56
80
经计算得回归直线的斜率为－3.2.若存放温度为 6°C，则这种细胞存活率的预报值wenku.baidu.com
为
%.
15．如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上一点，
输出 i
结束
B．g(x)是奇函数，且在[0，2π]内单调递减
（第 7 题图）
C．g(x)是偶函数，且在[0，2π]内单调递增
D．g(x)是偶函数，且在[0，2π]内单调递减 9．如图，有一直角墙角 BA 和 BC，两边的长度足够长.拟在点 P 处栽一棵桂花树，使之
与两墙的距离分别为 a(0＜a＜12)和 4(单位：m)，同时用 16 米长的篱笆，利用墙 角围成一个矩形护栏 ABCD，使得 P 处的桂花树围在护栏内(包括边界).设矩形 ABCD 的面积为 S(m2)，S 的最大值为 f(a)，则函数 y＝f(a)的大致图象是
689 33457 2 5 13
频率 组距
O 50 60 70 80 90 100 健康指数
理科数学试卷 第 5 页（共 7 页）
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1(−2 3, 0) ，F2 (2 3, 0) ，点 E 在椭圆 C 上，且∠F1EF2 JJJG JJJG
率为 1，则双曲线 C 的离心率为
A． 3
B．2
C．3
D．4
理科数学试卷 第 2 页（共 7 页）
⎧x − y − 2 ≤ 0
11．已知直线
l
经过不等式组
⎪ ⎨x
+
2
y
−
5
≥
0
表示的平面区域，且与圆
O：x2＋y2＝25
相
⎪⎩ y − 2 ≤ 0
交于 A，B 两点，则当|AB|最短时，直线 l 的方程是
三、解答题：本大题共 7 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据 要求作答.
（一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分）
设数列{an}的各项均为正数，其前
n
项和为
Sn，已知
A．2x＋y－10＝0
B．2x－y－6＝0
C．x＋2y－8＝0
D．2x＋y－8＝0
12．将正整数 n 表示为 n = ak × 2k + ak−1 × 2k −1 + ak−2 × 2k−2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 × 21 + a0 × 20 ，其中
ak = 1，当 0 ≤ i ≤ k −1时，ai 为 0 或 1. 记 k(n) 为上述表示式中 ai 为 0 的个数（例如
30 位科研员健康指数的和
30 i=1
xi
= 2288 .
P(K2≥k0) 0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
爱好体育锻炼
不爱好体育锻炼
5 85 6 766521 7 9764320 8 542 9
已知函数 f (x) = x2 + 1 − a ln x ，其中 a＞0 为常数. 6x
（Ⅰ）若 f(x)在区间(0，3]内单调递减，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若 f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点 x0，记[x0]表示不超过 x0 的最大整数，
求[x0]的值.
理科数学试卷 第 6 页（共 7 页）
身体状况好 身体状况一般 总计
爱好体育锻炼
不爱好体育锻炼
总计
30
（Ⅱ）现将 30 位科研员的健康指数分为如下 5 组： [50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)， 其频率分布直方图如图所示.计算该所科研员健康指数的平均数，由茎叶图得到
的真实值记为 x ，由频率分布直方图得到的估计值记为 x (同一组中的数据用
A
已知 AB＝6，AD＝5，CD＝1，B＝30°，
B
∠ADB 为锐角，则 AC 边的长为
.
C D
16．过抛物线 x2＝8y 的焦点 F 作倾斜角为锐角的直线 l，与抛物线相交于 A，B 两点，
M 为线段 AB 的中点，O 为坐标原点，则直线 OM 的斜率的取值范围是
.
理科数学试卷 第 3 页（共 7 页）
4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.
姓名 准考证号
绝密★启用前
长沙市 2018 届高三年级统一模拟考试
理科数学
高考湘军
长沙市教科院组织名优教师联合命制
本试题卷共 7 页，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
由直角三角形和斜边上的中线组成，则该几何
D． 3 2
体的外接球的体积为
A． 4 3π
B．12 3π
2 正视图
C．4π
D．12π
6．已知 sin(π + α ) = 3 ，且 sin2α＜0，则 tan(α + π )
5
4
的值为
A．7
B．－7
C． − 1 7
俯视图
D． 1 7
理科数学试卷 第 1 页（共 7 页）
5 = 1× 22 + 0 × 21 + 1× 20 ，k(5)＝1)，则 k( 3× 210 )＋k( 218 －3)＝
A．9
B．10
C．11
D．12
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把各题答案的最简形式写在题
中的横线上.
13．在 (2 x + 1 )8 的展开式中 x3 的系数是
y
64
y
64
y
64
y
64
O
8 12 a
O
8 12 a
O
8 12 a O
8 12 a
A.
B.
C.
D.
10．已知双曲线 C： x2 − y2 = 1(a > 0,b > 0) ，点 A，B 在双曲线 C 的左支上，O 为坐标 a2 b2
原点，直线 BO 与双曲线 C 的右支交于点 M. 若直线 AB 的斜率为 3，直线 AM 的斜
＝60°， EF1 ⋅ EF2 = 4 .
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）过 x 轴正半轴上一点 M 作直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点.问：是否存在定点
M，使当直线
l
绕点
M
任意转动时， |
1 AM
|2
+ |
1 BM
|2
为定值？若存在，求出
定点 M 的坐标；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分 12 分）
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分. 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
⎧
在直角坐标系
xOy
中，已知曲线
C
的参数方程为
⎪x ⎨
=
3 3
cosθ
(θ
为参数).
⎪⎩ y = sinθ
（Ⅰ）以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程； （Ⅱ）设 A，B 为曲线 C 上两动点，且 OA⊥OB，求|AB|的取值范围.
2 cos 3π +
2⋅
2 =−1 ，选
44
2
A.
JJG
JJJG
JJJG JJJG JJG
解法二：由已知可设 OA = (1,0) ， OB = (0,1) ，则 AB = OB − OA = (−1,1) .
因为
JJJG AB
=
JJJG 4 AC
=
JJJG 4(OC
−
JJG OA)
，则
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．C
【解析】因为
z=
2(1+ i) (1− i)(1+ i)
= 1+ i ，则
z
的虚部为
1，|z|＝
2 ，z2＝2i 为纯虚数，
z = 1− i ，选 C.
的最小正周期为 4π，且当 x = π 时，f(x)取得最大值. 3
将函数 f(x)的图象向左平移 π 个单位得函数 g(x)的图 3
象，则下列结论正确的是
A．g(x)是奇函数，且在[0，2π]内单调递增
开始
N＝11，i＝1
i＝3i N＝N＋i
否 N＝2(mod 3)？
是 否
N＝1(mod 7)？ 是
3．已知18x = 2y = 3 ，则 1 − 1 = xy
A．1
B．2
C．－1
D．－2
JJG JJG JJG JJG
4．在△AOB 中，OA＝OB＝1，OA⊥OB，点 C 在 AB 边上，且 AB = 4AC ，则 OC ⋅ AB =
A． − 1 2
B． 1 2
C． − 3 2
5．已知某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图
23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 设函数 f(x)＝|x＋3|＋|x－2|的最小值为 m. （Ⅰ）求不等式|2x－1|＋x＜m 的解集；
（Ⅱ）已知 | a |< m ， | b |< m ，证明：|4ab－1|＞2|a－b|.
10
10
理科数学试卷 第 7 页（共 7 页）
长沙市 2018 届高三年级统一模拟考试
2．D
【解析】因为 p 为假命题，则﹁q 为真命题，即 ∀ x＞0，x＋a－1≠0，即 x≠1－a，所
以 1－a≤0，即 a≥1，选 D.
3．B
【解析】由已知， x = log18 3 ， y = log2 3 ，则
1 x
−
1 y
=
1 log18
3
−
1 log2
3
=
log3 18 −
log3
2
=
log3
只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数 z = 2 ，则下列结论正确的是 1−i
A．z 的虚部为 i
B．|z|＝2
C．z2 为纯虚数
D．z 的共轭复数 z = −1+ i
2．已知命题 p： ∃ x0＞0，x0＋a－1＝0，若 p 为假命题，则 a 的取值范围是
A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
科目：数学（理科）
（试题卷）
注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和
该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。 2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草
稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答 题。
3. 本试题卷共 7 页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否 则后果自负。