离散数学：部分习题及其习题课

证明.设AB的周期为K, 即
，则有
故2能整除K,3能整除K,K就是2与3的最小公倍数，依周期的定义，K=6.
14.设集合G=Q-{1},其中Q是有理数集，定义G上的二元运算*为
，试证（G,O)是群.
证明.“O”是封闭的且满足结合律，（G，O）是半群，E=0,
,所以（G,O）是群.
15.设S={0,1,2,3,}, 为模4的乘法，即
={(C,C),(D,D)}
8、设A={1,2,3,4,5}，R={(1,2),(3,4),(2,2)},S={(4,2),(2,5),(3,1),(1,3)}
求
解.(略)
练习题2-2
2、3、5
练习题2-3
2、5
练习题2-4
2、图2-24中给出了偏序集合（A,R）的哈斯图，这里A={A,B,C,D,E}
3)
故（G，+）是群.
7.（1）如果H是群（G，O）的有限子集，并且对任意的A,B H,则（H，O）是 （G,O）的子群.
（2）设H是群（G,O）有限子集，且H中的元素在乘法“O”下周期为有 限，还有“O”在H上封闭，则（H,O）是（G,O）的子群.
证.（1） 群.
（封闭的），显然是可结合的，所以（H,O）是半
• 证明.
练习题3-1
是一个半群， ,在S上定义一个二元运算 ，证明二元运算是可结合的.
,
，使得对S中的任意元素X和
• 可结合的.
• 7.设（R, O）是一个代数系统，R是实数集合，“O”是R上一个二元运算，使得对 于任意的A , B都有
•
A O B=A +B+
• 证明.（R , O）是独异点，且单位元素是0.
证.（1）
，所以R是自反的.
（2）若
，显然有
，故R是对称的.
（3）若
，且
，即XV=YU,UT=VS , XT=YS
则有
，故R是传递的.
综上所述，R是等价关系.
13.设A是N个元素的集合，证明A上有 个二元关系.
证.
故
10.设R为非空有限集合A上的关系，则 的关系矩阵
中最多能有多少个元素1？
解.设
,故
• 18.如果两个集合
是可数的，则
也是可数的.
解.设
构造从
到 的变换如下：
故
可数.
19.有限集A和可数集B的笛卡尔乘积 是可数的.
解.因A是有限集，则 是可数集，由18题知：
是可数的.
但是
,且
是无限集，由TH1-4.4知， 为可数的.
• 20.若A,B是可数集，且
，则
•
时，
仍然可数.
• 证.
，
可数。由此推出当不考虑
•
bA B C D
•
cB C D A
•
dC D A B
•
DA B B
• 解.（1）验证满足结合律略
• 单位元素E=A,
, 生成元素是B
所以（S，O）是循环独异点
(3) 幂等元素是A,(AOA=A)
练习题3-2
• 2.试证下面四个矩阵对于乘法成群
•
•
,
解.(1)显然满足封闭性，是可结合的
(2) 单位元素E=
(3) 每个元素均可逆，且每个元素的逆元是本身.
所以是群.
3.有单位元素且适合消去律的有限半群一定是群.
证明.设(S,O) 有单位元素E的半群，
,当
时，
,当
时，同理存在逆元.故（S,O）是群
5.G=(A+BI A,B Z,I是虚数单位)，证明（G,+）是一个群.
证明.1)显然满足结合律.
2）E=0=0+0I(单位元素)
•把
称作A的模，现规定0的模为1，模为N的有理数的个数是有限的.
于是把一切有理数按模递增编组，其模相同的编在同一组里，最后再依次
把这些有理数逐个编号，但重复者除去不计，这样每一个有理数得到一个
确定的号码，因而建立了有理数集与自然数集之间的一一对应.
• （2）由第5题的（B）知， 是可数的，在
是互质的序偶（M,N）得集合
(1)下列关系式哪个是真？
A
ARB,DRA,CRE,BRE,ARA,BRC,DRE.
B
C
（2）把哈斯图改为有向图
D
E
（3）求出A的最大元素及最小元素，
图2-24
（4）求出A的极大元素及极小元素.
（5）求出子集{B,C,D},{C,D,E},{A,C,B}的上界和下界，上确界和下确界.
解.（1）真 DRA,ARA.(2)略
• 证.
• 故有
•又 为0.
，R是可结合的，（R , O）是独异点. ,即B(1+A)=0,由于A的任意性，所以B=0,即单位元素
• 9.设(S,O)由表3-4给出：
• （1）证明（S，O）是循环独异点，并求单位元素.
• （2）把每个元素表示成元素的幂.
• (3) 列出所有幂等元素.
•
Oa A B C D
（3） A的最大元素：A;A的最小元素:无.
（4） A的极大元素：A; A的极小元素:D,E.
(5) {B,C,D}的上界和下界，上确界和下确界分别是：A；D；A；D.
{C,D,E}的上界和下界，上确界和下确界分别是：C,A;无；C;无
{A,C,B}的上界和下界，上确界和下确界分别是：A;D;A;D.
，这是方程
在H中有解
. 故（H,O）是群.
（2）设元素A的周期为N,即 （G,O）的子群
，，
，所以
，故（H,O）是
8. 设A,B是群（S，O）中的两个元素，如果
• 试证: AOB=BOA
• 证.因为
，由消去律得BOA=AOB.
9. 设（G，O）是群，若对于任意的
，则（G,O）是可换（ABEL）群.
•
(C) 成立，
A ⊕B
•
⊕C
•
同理可证
，故 B=C.
• 练习题1-3
• 1.设A={A,B},求
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• 解.
• 5.设 A=Ф,求 • 解.
• 3.证明：若
,则A=B
• 证明、（反证法）
• 假设
,则
,必有（X,X） A A,而（X,X） B B.
• 这与
相矛盾.故有A=B.
• 第4题证法类同第3题.
最多有 个1.
第三章代数系统（习题课）
• 1.理解群的定义.（ABEL群、循环群） • 2.掌握群的性质. • 3.会求群的子群. • 4.会求循环群的生成元素及其它的子群. • 5.会求群的每个元素的周期(阶). • 6.理解两个群同构与同态的概念及其判别 • 7.会求同态核.
• 6.设 Y,都有
即
,
,因为B,D可数，
,且
•
,则
,即
•
(
)
• •
2证2明.试作明1y矩：D形（A0,AD1B）C,~如（图-1所,1）示，直线AB 的斜率K=2,
•
0 x1 x -1 B C
• 即直线AB的方程Y=2X+1, 换故（0,1）~（-1,1）.
. 即F:
,显然这是一个一一变
第二章 关系（习题课）
• 一、重要概念 • 1.关系的定义 • 2.关系的表示方法：关系图、关系矩阵. • 3.复合关系 • 4.逆关系 • 二、关系的性质（5种） • 三、关系的闭包运算
练习题2-5
1、设Z为整数集，
，
证明：R是等价关系且求Z/R.
证：1） ,X-X能被5整除，所以（X,X） R,故R是自反的
（2）
,如果X-Y能被5整除,则Y-X也能被5整除，即如果（X,Y） R
则（Y,X） R,故R对称的
（3）
，如果X-Y能被5整除，且Y-Z能被5整除，则X-Z也能被5整
除，即如果（X,Y） R且（Y,Z） R,则（X,Z） R,故R是传递的.
解.R={1,2} {1,2} {3} {3} {4,5} {4,5}
={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}.
1
5
3
2
4
6. 设A为恰有N个元素的有限集. （1）共有多少个A上的不相同的自反关系？ （2）共有多少个A上的不相同的反自反关系？ （3）共有多少个A上的不相同的对称关系？ （4）共有多少个A上的不相同的非对称关系？ （5）共有多少个A上的不相同的既是对称又是非对称关系？ 解（1）
X Y=(XY)MOD4.
问（S, ）构成什么代数系统（半群，独异点，群）？为什么？
解：独异点
X Y=(XY)MOD4 S(封闭的).
,(X Y ) Z=X (Y Z ),(可结合的)
单位元素 ：E=1，所以（S， ）是独异点.
2 3=（2 3）MOD4=2 1,即2和3没有逆元素.
故它不是群.
16.设(G,O)是24阶循环群，求出它的所有子群.
• 练习题1-4
• 2.证明A) 集合[0,1]是无限集
• （B）自然数集合是无限集
• 证明A) 1
z
•
[0,1]
0 x1 y
[0, ) )所以集合[0,1]是无限集
• （B）解：设
•
显然
，
•
，所以自然数集合是无限集.
• 5、证明下列每组集合A与B有相同的基数.
• （A）A=(0,1),B=(0,2)
• (B) A=N,B=N N
• (C) A=R,B=(0, ) • (D) A3=[0,1),B=(0.25,0.5]
• 证、（2A）F(X)=2X,X A. • (B) 1
N={ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 F(3(M,N))=M+(M+N+1)(M+N)/2 （一一映射）
, AB
+
•
•
A B= +
• 6、应用集合的运算证明
• （2）A-(B-C)=
• 解，
•
故
• 9、（A）已知
•
(B) 已知
+
+
•
( C) 已知 A ++ B=A ++ C是否必须B=C
• 解、（A)不一定 ，当A=E时，不论B与C是什么集合，等式恒成立.
• （B）不一定 ，当A=Ф时，不论B与C是什么集合，等式恒成立.
综上R是等价关系.Z/R={{5N/N属于Z } {5N+1/N属于Z } } {5N+2/N属于Z } } {5N+3/N属于Z } } {5N+4/N属于Z } }
2.给定集合A={1,2,3,4,5}找出A上的等价关系R，此关系R能产生划分{{1,2}， {3}，{4,5}}，并画出关系图，写出关系矩阵.
，
集合中删除所有M和N不
，因S是 的无限子集（定理4：可数集的无穷子集仍为一可数集），所以S 是可数的.
•
,即
• 因为G是双射，故 是可数的，由因为
•
• 是可数的
• 8.设
• 证明
• 证:设
，则C是不可数的.
•故
.B一定不可数，因为A可数，假设B可数，则C可数。
这是矛盾的，所以B不可数，故
• 复习题一
证.
所以（G,O）是可换（ABEL）群.
10.设
.
证.设A的周期为N,即
，
的周期为M,即
，
由（1）、（2）知N=M
解1.设1.设（G,O）是6阶循环群，找， 出（G,O）的一切生成元素，再找出 （G,O）的所有子群
生成元素是A或 .
子群是 ：
12.设 A,B是 群（G,O）的元素，A的周期为2，B的周期为3，且AB=BA,则AB的周期为6.
• 自然数集N与 中元素的下标可构成双射F
•即 •
•故
为可数的.
• 当不考虑
时，
• 由TH1-4.4知， 为可数的
• 21、如果A是不可数的无穷集，B是A的可数子集，则A-B A
• 证明.设C=A-B,则C不是有限集。因为
若C是有限集，B是可数集所
以A为可数集，与题设矛盾，由TH1-4.3知C必含有可数子集D，设M=C-D,
• 四、最重要内容 • 1、次序关系（拟序，全序，极大（小）元素，最大（小）元素，哈斯图、SUPB, INFB） • 2、等价关系（等价类，商集）
练习题2-1 6、设 和 是集合A={A,B,C,D}上的关系，这里
求.
,
,,
解.
={（B,A）,(B,A),(B,D)}
={(D,A)}
={(B,B),(C,B),(A,C)}
（2）
（3）
（4）
（5）
• 17.画出下列集合上的整除关系的哈斯图.
• （1）A={1,2,3,4,6,8,12,24}
• （2）
24
• 解.（1）
8
12
4
6
2
3
（2）
12
9
6
8 4 10
13
3
25
1
1
14 7 11
27.设正整数的序偶集合A,在A上定义的二元关系R如下：
,当且仅当
,证明R是一个等价关系.
• （C）A=R,B=(0, ) • 解.
• F: A B(一一变换)，所以
• （D）A=[0,1),
• 解.
•
A
直线AB的方程：
•
所B以
0x
1
• 6.证明所有整数集是可数的. • 解. •
• N可数，故Z也可数.
(一一变换) (一一对应)
• 7.证明有理数集是可数的
• 证、（1）把非零的有理数A写成既约分数的形式
解.
子群是：
练习题3-3
1.设S=R-{0,1},R是实数集，在S上定义6个变换如下：
证明（G,O）是一个变换群. 证明.
, 是变换的合成.
（1）满足封闭性 ，合成满足结合律.（2）单位元素E= (3) , , 逆元是本身. 与 互为逆元. 所以（G,O）是变换群.
离散数学：部分习题及其习题课
⊕
• 1.了解集合的概念.
第一章：集合论
• 2.掌握集合的运算，特别是对称差运算A +B=
• 3.理解幂集与笛卡尔集的概念，会求一个集合的幂集.
• 4.了解集合基数与可数集的的概念.
• 5.重要公式：
•
在集合运算和化简时经常使用.
• 6.熟练掌握集合的运算律.
• 习题 • 练习题1-2 • 2.设A= •求 • 解.