密码学中常用数学知识
密码学的数学基础
定理：若acbc mod m，d=gcd（c,m）， 则：ab mod m/d 因为 acbcmod m
所以 ac=km+bc 所以 c（a-b）=km 又因为 d=gcd（c,m） 所以 c=c1· d，m=c2· d，gcd（c1,c2）=1 所以 c1· d（a-b）=k· c1 · d 所以 c1（a-b）=k· c2 又因为 gcd（c1,c2）=1 所以 c1|k 所以k=h· c1 所以 a-b=k· h· c2 所以 ab mod c2 所以 ab mod （m/d）
按模指数运算：am mod n
将指数运算作为一系列乘法运算，每次做一次模运 算。 例：a8 mod n = ((a2 mod n)2 mod n)2 mod n 当m不是2的乘方时，将m表示成2的乘方和的形式。 例如：25=(11001)2，即25=24+23+20 a25 mod n = (a16 a8 a) mod n = ((((a2)2)2)2 ((a2)2)2 a) mod n = ((((a2 a)2)2)2 a) mod n 适当存储中间结果，则只需6次乘法： (((((((a2mod n) a)mod n)2mod n)2mod n)2mod n) a)mod n
3为6的因子，记为3|6，3除尽6
任意的a|b，a|c，称a为b，c的公因子
最大公因数：a与b的公因数中能被所有a，b 的公因数整除的正整数，记为gcd(a，b)。 互素（互质）：两个整数称为互素的，如果它 们除了1以外没有其他的公因数，即 gcd(a,b)=1。
定理：若a=b· q+r，则gcd（a,b）=gcd （b,r） 证明：d=（a,b），d’=（b,r） d| a – bq d | r，d为b,r的公因数； d|d’ d’=h· d d’|b· q+r d’|a，d’为a,b的公因数；d’|d d=k· d 所以 k· h=1 k=h=1；
密码学中的数学方法
密码学中的数学方法密码学是研究如何保护信息安全的学科，它涉及到许多数学方法和技术。
在密码学中，数学方法被广泛应用于加密算法的设计、密钥管理和安全协议的分析等方面。
本文将介绍密码学中常用的数学方法，并探讨它们在信息安全领域的应用。
一、模运算模运算是密码学中常用的数学方法之一。
在模运算中，我们将一个数除以另一个数后取余数，这个余数就是模运算的结果。
模运算在密码学中的应用非常广泛，特别是在对称密码算法和公钥密码算法中。
在对称密码算法中，模运算常用于实现加密和解密操作。
例如，在AES算法中，加密和解密操作都是通过模运算来实现的。
在公钥密码算法中，模运算则用于实现密钥交换和数字签名等操作。
例如，RSA算法中的密钥交换和数字签名都是基于模运算的。
二、离散对数离散对数是密码学中另一个重要的数学方法。
离散对数问题是指在一个有限域上，找到满足a^x ≡ b (mod p)的x的值。
在密码学中，离散对数问题被广泛应用于公钥密码算法中的密钥交换和数字签名等操作。
在Diffie-Hellman密钥交换算法中，离散对数问题被用来实现密钥交换。
该算法的基本思想是，两个通信方通过交换公开的信息，计算出一个共享的密钥，用于加密和解密通信内容。
离散对数问题的困难性保证了该算法的安全性。
在椭圆曲线密码算法中，离散对数问题也被用来实现密钥交换和数字签名等操作。
椭圆曲线密码算法是一种基于椭圆曲线离散对数问题的公钥密码算法，它具有较高的安全性和效率。
三、素数素数是密码学中常用的数学概念。
素数是指只能被1和自身整除的正整数。
在密码学中，素数被广泛应用于公钥密码算法和哈希函数等方面。
在公钥密码算法中，素数被用来生成公钥和私钥。
例如，RSA算法中的公钥和私钥都是基于素数的。
素数的困难性保证了RSA算法的安全性。
在哈希函数中，素数被用来实现数据的散列。
哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的数据的函数。
素数的选择对于哈希函数的安全性和性能都有重要影响。
密码学中常用数学知识
定义Z 为小于n的所有非负整数集合 定义 n为小于 的所有非负整数集合 Zn={0,1,2,…,n-1}
4.1.4 费尔玛定理和欧拉定理
费尔玛定理： 费尔玛定理： 是素数， 是正整数且gcd(a,p)=1 gcd(a,p)=1， 若p是素数，a是正整数且gcd(a,p)=1，则ap-1≡1 mod p • 证明： 证明： 当gcd(a,p)=1,则a×Zp=Zp 。 则 × 又因为a× 所以a× 又因为 ×0≡0modp,所以 ×(Zp-{0})=Zp-{0} 所以 即：{a mod p,2a mod p,…,(n-1)a mod p} ={1,…,p-1} (a mod p) ×(2a mod p) ×…×(n-1)a mod p=(p-1)!ap-1 mod p × 因此： 因此：(p-1)! ap-1 mod p =(p-1)!modp (p-1)!与p互素，所以乘法可约律，ap-1=1 mod p 与 互素 所以乘法可约律， 互素，
的公因子。 由d|a和d|kb，得d|(a mod b)， 故d是b和a mod b的公因子。 和 ， ， 是 和 的公因子 a,b以及 以及b,a mod b公因子集合相同，故最大公因子也相同。 公因子集合相同， 以及 公因子集合相同 故最大公因子也相同。 gcd(55,22)=gcd(22,11)=gcd(11,0)=11 gcd(11,10)=gcd(10,1)=1
第4章 公钥密码
密码学中常用的数学知识 公钥密码体制的基本概念 RSA算法 椭圆曲线密码体制
4.1.1 群、环、域
<G,*>的定义 的定义: 群<G,*>的定义
*为乘法时，称为乘法群 逆元（a-1） 为乘法时， 逆元（ ） 为乘法时 *为加法时，称为加法群 逆元（-a） 为加法时， 逆元（ ） 为加法时
密码学中的数学方法
密码学中的数学方法密码学是一门研究如何保护信息安全的学科，它涉及到加密、解密、认证和数据完整性等方面。
在密码学中，数学方法被广泛应用于设计和分析各种加密算法。
本文将介绍密码学中常用的数学方法，包括模运算、离散对数、椭圆曲线密码学等内容。
一、模运算模运算是密码学中常用的数学方法之一。
在模运算中，我们将一个数除以另一个数得到的余数作为结果。
例如，对于整数a和b，a mod b的结果就是a除以b的余数。
模运算在密码学中被广泛应用于加密算法中，特别是在对称加密算法和公钥加密算法中。
在对称加密算法中，模运算常用于生成密钥流或伪随机数序列。
这些密钥流或伪随机数序列可以用来对消息进行加密，从而保护信息安全。
在公钥加密算法中，模运算则用于实现数字签名和密钥交换等功能，确保通信的安全性。
二、离散对数离散对数是密码学中另一个重要的数学方法。
在离散对数问题中，给定一个素数p、一个整数a和一个整数b，我们需要找到一个整数x，使得a^x ≡ b (mod p)。
离散对数问题被广泛应用于公钥加密算法中，如RSA算法和Diffie-Hellman密钥交换算法。
在RSA算法中，离散对数问题被用来实现公钥加密和数字签名功能。
RSA算法的安全性基于大整数分解和离散对数两个数学难题的困难性。
在Diffie-Hellman密钥交换算法中，离散对数问题则用来实现双方在不安全信道上协商一个共享密钥的过程。
三、椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学结构的密码学方法。
椭圆曲线密码学具有很高的安全性和效率，因此被广泛应用于公钥加密算法和数字签名算法中。
椭圆曲线密码学的安全性基于椭圆曲线上的离散对数问题的困难性。
在椭圆曲线密码学中，公钥由一个点P和一个基点G生成，私钥则由一个整数d生成。
通过椭圆曲线上的点加法和标量乘法运算，可以实现加密和解密的过程。
椭圆曲线密码学在移动设备和物联网等资源受限环境中具有很高的适用性。
总结密码学中的数学方法包括模运算、离散对数和椭圆曲线密码学等内容，它们在设计和分析各种加密算法中起着重要作用。
信息安全导论5密码学数学基础
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3、模运算：对于某个固定模m的同余式可以象普通的等式那 样相加相减和相乘：
a(mod m)±b(mod m)=(a±b)(mod m)
a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m)
例：由同余式演算证明560－1是56的倍数，223－1是47的倍数。
解：
注意53=125≡13(mod56) 于是有56≡169≡1(mod56) 对同余式的两边同时升到10次幂， 即有56∣(560-1)。 其次, 注意26=64≡-30(mod47),
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互素与最大公约数
最大公约数（最大公因子）：
若a,b,c∈Z，如果c∣a，c∣b，称c是a和b的公约数。正 整数d称为a和b的最大公约数(记d=gcd(a,b)或(a,b)) ，如 果它满足:
d是a和b的公约数。 对a和b的任何一个公约数c有c∣d。
等价的定义形式是：
gcd(a,b)=max{k: k∣a，k∣b} 若gcd(a,b)=1，称a与b是互素的。
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整除基本性质 a|a; b≠0，b | 0;
If a|b,b|c,then a|c;
if a|1, then a=±1; if a|b, and b|a,then a=±b; if b|g and b|h, then b|(mg+nh),for any integers m and n 注意: if a=0 mod n, then n|a
g c d ( a ,b ) = P 1 m in ( e 1 ,f1 )P 2 m in ( e 2 ,f2 )
P m in ( e t,ft) t
lc m ( a ,b ) = P 1 m a x ( e 1 ,f 1 ) P 2 m a x ( e 2 ,f2 )
离散数学在密码学中的应用例题和知识点总结
离散数学在密码学中的应用例题和知识点总结在当今数字化的时代，信息安全变得至关重要。
密码学作为保护信息安全的核心手段，其背后离不开离散数学的强大支撑。
离散数学中的众多概念和方法，为密码学提供了坚实的理论基础和有效的工具。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解离散数学在密码学中的应用，并对相关的知识点进行总结。
一、离散数学在密码学中的重要知识点（一）数论基础1、素数和整除性：素数在密码学中起着关键作用，例如在 RSA 加密算法中，选择两个大素数的乘积作为公钥和私钥的一部分。
2、同余和模运算：同余关系在加密和解密过程中被广泛应用，帮助确定加密后的数值与原始数值之间的关系。
（二）群论1、群的定义和性质：群的概念用于构建加密算法的数学结构，保证加密的安全性和有效性。
2、循环群和置换群：在密码算法的设计中，循环群和置换群可以提供高效的加密和解密操作。
（三）图论1、图的遍历和最短路径：图论可以用于分析密码算法的复杂性和效率。
2、网络安全中的图模型：帮助理解和防范网络攻击中的信息传播路径。
（四）布尔代数1、逻辑运算和布尔函数：在加密算法中用于数据的编码和解码。
2、布尔电路设计：实现加密和解密的硬件逻辑电路。
二、应用例题（一）RSA 加密算法中的数论应用RSA 算法是一种广泛使用的非对称加密算法。
假设选取两个素数 p ＝ 11，q ＝ 13，计算 n ＝ p q ＝ 143，φ(n) ＝（p 1) （q 1) ＝ 120。
选择一个整数 e ＝ 7（1 ＜ e ＜φ(n)，且 e 与φ(n) 互质），通过扩展欧几里得算法求出 d，使得e d ≡ 1 （mod φ(n)），得到 d ＝ 103。
加密过程：对于明文 m ＝ 8，计算密文 c ＝ m^e mod n ＝ 8^7 mod 143 ＝ 11。
解密过程：接收方收到密文 c ＝ 11，计算明文 m ＝ c^d mod n ＝11^103 mod 143 ＝ 8，成功恢复明文。
密码学 数学
密码学数学
密码学是一门研究如何保护信息安全的学科，它涉及到数学、计算机科学和工程学等多个领域。
在现代社会中，随着信息技术的快速发展，密码学的重要性也日益凸显。
数学在密码学中起着至关重要的作用。
密码学的基础是数论，它研究整数及其性质。
在密码学中，我们常常使用大素数和模运算等数论概念来构建安全的加密算法。
其中一个重要的应用是公钥密码体制。
公钥密码体制使用了一对密钥：公钥和私钥。
公钥可以被任何人获得，而私钥只能由密钥持有者保管。
这种体制依赖于数论中一个重要的问题：大整数分解问题。
大整数分解问题是指将一个大整数分解为两个素数的乘积。
这个问题在计算机科学领域被认为是非常困难甚至不可解决的。
基于这个问题，我们可以构建一种加密算法，使得只有私钥持有者才能够解密加密信息。
除了公钥密码体制外，对称加密算法也是密码学中常用的一种方法。
对称加密算法使用相同的密钥进行加密和解密。
在这种算法中，数学中的置换和替代等概念被广泛应用。
在密码学中，数学还可以用于验证密码算法的安全性。
通过数学方法，我们可以对密码算法进行分析，评估其抵抗各种攻击的能力。
这种分析可以帮助我们设计更加安全可靠的密码算法。
总之，密码学是一个依赖于数学的领域。
数学为密码学提供了理论基础和工具，帮助我们构建安全可靠的加密算法，并保护信息安全。
随着技术的不断发展，数学在密码学中的作用将变得越来越重要。
密码学的数学基础
素数
如何判断一个数是否为素数？
本章授课提纲
（1）整除
（2）素数
（3）最大公约数 （4）欧几里德算法
最大公约数
最大公约数的定义 a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor ） 是能够同时整除a和b的最大正整数，记为gcd(a,b) 或者(a,b)。 例如：gcd(6,4)=2，gcd(5,7)=1，gcd(24,60)=12 互素的定义 如果gcd(a,b)=1，就称a和b互素
证明：记a-b=nk，b-c=nl，那么两式相减得ac=n(k-l)，所以a≡c(mod n)。
模运算和同余
模运算和同余的性质 性质五：如果m|(a-b)，则a≡b(mod m) 证明：由已知条件可得a-b=km，k为某一整数； 进而可得a=b+km，故a(mod m)=(b+km)除以m的余 数=b除以m的余数=b(mod m)，由同余的第二个定 义可以得证。
[11(mod 8)-15(mod 8)](mod 8)=(3-7)(mod 8)=4
=(11-15)(mod 8)=-4(mod 8)=4
模运算和同余
模运算的乘法的结合律 [a(mod n)〓b(mod n)](mod n)=(a〓b)(mod n) 举例： [11(mod 8)〓15(mod 8)](mod 8)=(3〓7)(mod 8)=21(mod 8)=5 =(11〓15)(mod 8)=165(mod 8)=5
欧几里德算法
欧几里德算法的精确描述 两个整数用a,b表示，商用q表示，余数用r表示 Step1 取a,b较大者为a，较小者为b Step2 做除法，计算并保留余数r=mod(a,b) Step3 将原来的除数改做被除数，余数作为除数 a=b,b=r 重复Step1和Step2直到r=0，返回b
解密密码学探索密码学中的数学原理
解密密码学探索密码学中的数学原理解密密码学：探索密码学中的数学原理密码学是研究如何保护信息安全的学科，它涉及到密码的设计和使用。
在数字化的时代，信息安全变得尤为关键，密码学在保护个人隐私和信息通信中发挥着重要作用。
本文将深入探讨密码学中的数学原理，揭开密码学背后的神秘面纱。
一、凯撒密码凯撒密码是密码学中最早也是最简单的一种密码算法。
它的原理很简单，将明文中的每个字母按照一定的偏移量进行替换，得到密文。
解密时，只需按照相同的偏移量将密文还原成明文即可。
凯撒密码的数学原理就是字母的位移。
例如，偏移量为3的凯撒密码，明文中的字母A将被替换为D，字母B将被替换为E，以此类推。
这种简单的替换加密方法，让人们在古代就能实现一定程度的信息传递保密。
二、对称加密算法对称加密算法是密码学中常用的方法之一。
它使用同一个密钥来加密和解密信息。
加密时，明文被按照一定的规则和密钥进行处理，生成密文。
解密时，使用相同的密钥将密文还原为明文。
对称加密算法的数学原理涉及到一些复杂的数学运算，例如置换、代换和位运算等。
这些运算使得对称加密算法更加安全可靠，适用于保护大量敏感信息的传输和存储。
三、非对称加密算法与对称加密算法不同，非对称加密算法使用一对密钥，即公钥和私钥。
公钥用于加密信息，而私钥用于解密信息。
公钥可以公开，而私钥必须保密。
非对称加密算法的数学原理基于数论中的一些难题，如质因数分解和离散对数问题。
这些难题使得非对称加密算法在安全性方面比对称加密算法更加可靠。
例如，RSA算法就是一种常见的非对称加密算法。
四、哈希函数哈希函数是一种将任意长度数据映射为固定长度散列值的函数。
它的数学原理基于碰撞的难题，即找到两个不同的输入数据却得到相同的散列值的问题。
哈希函数在密码学中广泛应用于验证数据的完整性和加密密码的存储等场景。
常见的哈希函数有MD5、SHA-1和SHA-256等。
五、数字签名数字签名是一种通过使用公钥加密的方式来确认消息真实性和完整性的技术。
密码学数学基础第十一讲 有限域
5 5 2 7 4 1 6 3
6 6 4 2 0 6 4 2
7 7 6 5 4 3 2 1
非零元素
在Z8中的出现次数
在GF(23)中的出现次数
1 4 7
2 8 7
3 4 7
4 12 7
5 4 7
6 8 7
7 4 7
在Z8中，非零元素2，4和6无乘法逆元。 在GF(23)中，所有非零元素都有乘法逆元。
二进制的形式： 01010111 10000011 11010100
十六进制的形式： 57 83 D 4
②加法逆元
( x6 x4 x2 x 1) 的加法逆元是它本身。
③乘法：先进行多项式相乘，再将结果模不可约多项式 m(x)=x8+x4+x3+x+1。 例： 57 83 C1
3
4 5 6 7
3
4 5 6 7
6
3 1 7 5
5
7 4 1 2
7
6 2 5 1
4
2 7 3 6
1
5 3 2 4
2
1 6 4 3
Z8={0，1，2，…，7}乘法表 ·
1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7
2 2 4 6 0 2 4 6
3 3 6 1 4 7 2 5
4 4 0 4 0 4 0 4
定理3：设Fq是一个含有q个元素的有限域，设 p是一个素数，Zp={0，1，2，…，p－1},设f(x)是 Zp上的一个n次不可约多项式。若|Fq|=pn，其中 n≥2是一个整数，则Fq与Zp[x]/(f(x))同构。若 |Fq|=p，则Fq与Zp同构。 将阶为pn的有限域记作GF(pn)，称之为pn阶的 Galois域。
密码学中的数学
密码学中的数学密码学，这门古老而神秘的学科，在数字化时代变得尤为重要。
它的核心在于利用数学原理来保护信息安全，确保数据在传输和存储过程中的隐私和完整性。
本文将简要介绍密码学中涉及的几个关键数学概念。
对称加密算法对称加密算法是密码学的基础之一，它使用相同的密钥进行数据的加密和解密。
这种算法的核心在于置换和替换过程，它们通常依赖于数论中的一些基本概念，如模运算、素数和最大公约数。
例如，经典的凯撒密码就是一种简单的替换密码，它将字母表中的每个字母按照固定数目进行偏移。
公钥加密算法与对称加密不同，公钥加密算法（也称为非对称加密）使用一对密钥：一个用于加密（公钥），另一个用于解密（私钥）。
这一机制的安全性基于某些数学问题的计算难度，最常见的是大数分解问题和离散对数问题。
RSA算法就是一个著名的例子，它的安全性建立在大素数乘积的难以因式分解上。
哈希函数哈希函数是密码学中的另一个重要工具，它能将任意长度的数据映射到固定长度的输出。
好的哈希函数具有抗碰撞性，意味着找到两个不同输入导致相同输出的情况极其困难。
常见的哈希算法包括MD5、SHA系列等，它们广泛应用于数字签名和数据完整性校验中。
随机数生成在密码学中，随机数的生成至关重要，因为它们用于密钥的产生和协议的安全运行。
真正的随机数是不可预测的，因此密码学应用中常使用伪随机数生成器（PRNGs）。
这些生成器基于复杂的数学算法来模拟真正的随机性。
椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学（ECC）是一种基于椭圆曲线数学的公钥加密技术。
相比传统的公钥加密方法，如RSA，ECC提供相同级别的安全性，但可以使用更小的密钥尺寸，这使得ECC 在移动设备和带宽受限的环境中特别有用。
总结而言，密码学中的数学是构建安全通信系统的基石。
通过深入了解和应用这些数学原理，我们可以更好地保护数据免受未授权访问和篡改。
随着技术的发展，密码学和其背后的数学将继续演化，以应对新的安全挑战。
杨波,_《现代密码学(第2版)》第四章 4.1节
交换律： ① 交换律： (w+x) mod n=(x+w) mod n (w×x) mod n=(x×w) mod n × × 结合律： ② 结合律： [(w+x)+y] mod n=[w+(x+y)] mod n [(w×x)×y] mod n=[w×(x×y)] mod n × × × × 分配律： × × × ③ 分配律： [w×(x+y)] mod n=[w×x+w×y] mod n 单位元： ④ 单位元： (0+w) mod n=w mod n (1×w) mod n=w mod n × 加法逆元： 存在z∈ 使得w+z≡0 ∈ ⑤ 加法逆元： 对w∈Zn，存在 ∈Zn，使得 mod n，记z = -w。 ， 。
整数具有以下性质： 整数具有以下性质： ① a|1，那么a=1。 ，那么 。 ② a|b且b|a，则a=b。 且 ， 。 对任一b ③ 对任一 (b≠0)，b|0。 ， 。 ④ b|g，b|h，则对任意整数 、n有 b|(mg+nh)。 ， ，则对任意整数m 有 。 性质④的证明： 性质④的证明： 由b|g，b|h知，存在整数 1、h1， ， 知 存在整数g 使得g=bg1, h=bh1所以 使得 mg+nh=mbg1+nbh1=b(mg1+nh1), 因此 因此b|(mg+nh)。 。
例4.1 设Z8={0, 1,…, 7}，考虑 8上的模加法和模乘 ，考虑Z 法。
从加法结果可见，对每一 ，都有一y， 从加法结果可见，对每一x，都有一 ，使得 x+y≡0 mod 8。如对 ，有6，使得 。如对2， ，使得2+6≡0 mod 8，称 ， 加法逆元。 y为x的负数，也称为加法逆元。 的负数， 为 的负数 也称为加法逆元 对x，若有 ，使得 ×y≡1 mod 8，如3×3≡1 ，若有y，使得x× ， × mod 8，则称 为x的倒数，也称为乘法逆元。本例 的倒数， ，则称y为 的倒数 也称为乘法逆元。 可见并非每一 都有乘法逆元。 并非每一x都有乘法逆元 可见并非每一 都有乘法逆元。 一般地，定义 为小于n的所有非负整数集合 的所有非负整数集合， 一般地，定义Zn为小于 的所有非负整数集合， 为模n的同余类集合 的同余类集合。 即Zn={0, 1, …, n-1}，称Zn为模 的同余类集合。其 ， 上的模运算有以下性质 性质： 上的模运算有以下性质：
密码学知识点总结
密码学知识点总结密码学是研究如何保护信息安全的一门学科，它包括了密码学的基本概念、密码算法、密码协议和密码分析等知识点。
以下是密码学的一些知识点总结：1. 密码学的基本概念：- 明文和密文：明文是未经加密的原始信息，密文是经过密码算法加密后的信息。
- 加密和解密：加密是将明文转换为密文的过程，解密是将密文转换为明文的过程。
- 密钥：密钥是用于加密和解密的算法参数。
- 对称加密和非对称加密：对称加密使用相同的密钥加密和解密数据，非对称加密使用不同的密钥。
2. 对称密钥算法：- DES（Data Encryption Standard）：数据加密标准，使用56位密钥。
- AES（Advanced Encryption Standard）：高级加密标准，使用128、192或256位密钥。
- Rijndael算法：AES算法的前身，支持更多的密钥长度。
3. 非对称密钥算法：- RSA：Rivest, Shamir和Adleman发明的算法，广泛用于密钥交换和数字签名。
- Diffie-Hellman密钥交换：用于在不安全的通信渠道上安全地交换密钥。
- 椭圆曲线密码术（ECC）：基于椭圆曲线数学的一种非对称加密算法。
4. 哈希函数：- 哈希函数将任意长度的输入数据转换为固定长度的输出，输出值称为哈希值或摘要。
- 常见的哈希函数有SHA-1、SHA-256、MD5等。
- 哈希函数具有唯一性、不可逆性和抗碰撞性等特性。
5. 数字签名：- 数字签名用于确保数据的完整性、认证发送者和抗抵赖性。
- 数字签名使用发送者的私钥生成，验证时使用发送者的公钥。
- 常用的数字签名算法有RSA和DSA。
6. 密码协议：- SSL/TLS协议：用于在网络上建立安全通信的协议。
- IPsec协议：用于保护IP数据包的协议。
- Kerberos认证协议：用于网络认证的协议。
7. 密码分析：- 密码分析旨在破解密码系统，通常通过暴力破解、频率分析和差分攻击等方法。
密码学中的数学原理
密码学中的数学原理密码学是研究如何保护信息安全的学科，它涉及到许多数学原理和算法。
在密码学中，数学原理被广泛应用于加密和解密过程中，以确保信息的机密性、完整性和可用性。
本文将介绍密码学中的一些重要数学原理。
一、模运算模运算是密码学中常用的数学运算之一。
它是指将一个数除以另一个数后所得的余数。
在密码学中，模运算常用于生成密钥、加密和解密过程中。
例如，在对称加密算法中，密钥的生成和加密过程都涉及到模运算。
二、欧拉函数和欧拉定理欧拉函数是指小于等于某个正整数n且与n互质的正整数的个数。
欧拉定理是指对于任意正整数a和正整数n，如果a和n互质，则a的欧拉函数值与n的欧拉函数值的最大公约数为1。
欧拉函数和欧拉定理在公钥密码学中起着重要的作用，例如RSA算法中的密钥生成和加密过程都与欧拉函数和欧拉定理相关。
三、离散对数问题离散对数问题是指在一个有限域中，找到一个数的幂次与另一个数模一个数的余数相等的幂次的问题。
离散对数问题在密码学中被广泛应用于公钥密码学算法中，例如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。
四、素数和大素数素数是指只能被1和自身整除的正整数。
在密码学中，素数被广泛应用于生成密钥和加密算法中。
大素数是指位数很大的素数，它们在密码学中的应用更为广泛，例如RSA算法中的密钥生成和加密过程都需要使用大素数。
五、椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学原理的公钥密码学算法。
它利用椭圆曲线上的离散对数问题来实现加密和解密过程。
椭圆曲线密码学具有较高的安全性和效率，因此在现代密码学中得到了广泛应用。
六、哈希函数哈希函数是一种将任意长度的输入数据映射为固定长度输出的函数。
在密码学中，哈希函数常用于生成消息摘要和验证数据完整性。
哈希函数具有单向性、抗碰撞性和不可逆性等特性，能够有效保护数据的完整性和安全性。
七、对称加密算法对称加密算法是一种使用相同密钥进行加密和解密的算法。
在对称加密算法中，常用的数学原理包括模运算、异或运算和置换运算等。
9.3密码学中的数学原理之有限域和伽罗华定理
3.有限域的结构和伽罗华定理
子域的乘法群是扩域的乘法群的子群 由此得到有限域的子域结构
3.有限域的结构和伽罗华定理
3.有限域的结构和伽罗华定理
重点回顾
有限域的三大基本定理 有限域的构造，多项式和根的表示法 有限域的加法结构和乘法结构 有限域上的伽罗华定理
密码学原理
密码学中的数学原理之 有限域和伽罗华定理
1 有限域基本定理
CONTENT
目
2 有限域的构造和表示
录
3 有限域的结构和伽罗华定理
1.有限域基本定理
2.有限域的构造和表示
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2.有限域的构造和表示
2.有限域的构造和表示
2.有限域的构造和表示
3.有限域的结构和伽罗华定理
3.有限域的结构和伽罗华定理
密码中的数学
密码中的数学
密码中的数学是指密码学中运用数学概念和算法来保护信息安全的一门学科。
密码学旨在确保数据传输的机密性、完整性和认证性。
以下是密码学中常用的数学原理和算法：
1. 对称加密算法：对称加密算法使用相同的密钥来加密和解密数据。
常见的对称加密算法有DES、AES等。
2. 非对称加密算法：非对称加密算法使用不同的密钥来加密和解密数据。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
常见的非对称加密算法有RSA、ECC等。
3. 哈希函数：哈希函数是一种将任意长度的输入转换为固定长度摘要（hash）的函数。
它具有单向性（不可逆）、唯一性和散列性等特点。
常见的哈希算法有MD5、SHA-1、SHA-256等。
4. 数字签名：数字签名是一种用于验证消息来源和完整性的方法。
它结合了非对称加密算法和哈希函数，发送者使用私钥对消息进行加密，并将加密后的数字签名附加到消息中。
接收者使用发送者的公钥和消息进行验证。
5. 公钥基础设施（PKI）：PKI是管理和分发公钥的体系结构。
它包括证书颁发机构（CA）、数字证书和证书验证服务等。
通过运用这些数学原理和算法，密码学可以保障数据的机密性、完整性和认证性，确保信息在传输和存储过程中的
安全性。
数学在密码学中的应用
数学在密码学中的应用
数学在密码学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：
1. 哈希函数：哈希函数是一种将任意长度的输入数据映射为固定长度的输出数据的函数。
在密码学中，哈希函数通常用于数据完整性验证和数字签名等领域。
常见的哈希函数包括MD5、SHA-256 等。
2. 对称加密：对称加密是一种加密和解密使用相同密钥的加密算法。
在对称加密中，数学被用于生成加密密钥和解密密钥，以及加密和解密数据。
常见的对称加密算法包括AES、DES 等。
3. 非对称加密：非对称加密是一种加密和解密使用不同密钥的加密算法。
在非对称加密中，数学被用于生成公钥和私钥，以及加密和解密数据。
常见的非对称加密算法包括RSA、ECC 等。
4. 数字签名：数字签名是一种用于验证数据完整性和身份认证的技术。
在数字签名中，数学被用于生成签名和验证签名。
常见的数字签名算法包括RSA、DSA 等。
5. 密码分析：密码分析是一种用于破解密码系统的技术。
在密码分析中，数学被用于分析密码算法的安全性，并找出可能的弱点和漏洞。
数学在密码学中扮演着非常重要的角色，它为密码学提供了理论基础和技术支持，确保了密码系统的安全性和可靠性。
密码学中的数学原理
密码学中的数学原理密码学是研究如何在通信过程中保护信息安全的学科，它涉及到许多数学原理和算法。
在密码学中，数学原理起着至关重要的作用，它们为加密算法的设计和安全性提供了坚实的基础。
本文将介绍密码学中一些重要的数学原理，包括模运算、离散对数、椭圆曲线等内容。
一、模运算模运算是密码学中常用的数学运算之一，它在加密算法中扮演着重要的角色。
在模运算中，我们需要计算一个数除以另一个数的余数。
例如，对于整数a和b，a mod b的结果就是a除以b的余数。
模运算在密码学中广泛应用于数据加密和密钥生成等过程中，能够保证数据的安全性和完整性。
二、离散对数离散对数是密码学中另一个重要的数学原理，它与模运算密切相关。
在离散对数问题中，给定一个底数、一个模数和一个结果，需要找到满足指定条件的指数。
离散对数问题的复杂性使得它成为许多公钥加密算法的基础，如RSA算法和Diffie-Hellman密钥交换算法。
三、椭圆曲线椭圆曲线是密码学中一种重要的数学结构，它具有许多优秀的性质，被广泛应用于公钥密码系统中。
椭圆曲线密码学利用椭圆曲线上的点运算来实现加密和签名等功能，具有高效性和安全性。
椭圆曲线密码学已成为当前密码学领域的研究热点，被广泛应用于数字货币、物联网等领域。
四、费马小定理费马小定理是密码学中常用的数论定理，它为RSA算法等公钥密码系统提供了理论基础。
费马小定理表明，对于任意素数p和整数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
利用费马小定理，可以验证素数性、生成大素数、计算模逆元等操作，为密码学中的各种算法提供了支持。
五、素数检测素数检测是密码学中的一个重要问题，因为许多加密算法的安全性建立在大素数的基础上。
素数检测算法可以判断一个给定的数是否为素数，其中Miller-Rabin素数检测算法是一种常用且高效的算法。
通过素数检测，可以确保生成的大素数满足密码学算法的要求，提高系统的安全性。
六、RSA算法RSA算法是一种基于大整数因子分解的公钥加密算法，它利用费马小定理和欧拉定理等数学原理实现数据加密和数字签名等功能。
密码学中的点积运算 模逆运算 模乘运算
密码学中的点积运算模逆运算模乘运算密码学中的点积运算、模逆运算和模乘运算是密码学中常用的数学运算，它们在各种加密算法和协议中起着重要的作用。
本文将详细介绍这三种运算的概念、原理及在密码学中的应用。
1.点积运算（Dot Product）点积运算，也称为内积运算、数量积运算，是向量运算中的一种。
对于两个向量，它的点积定义为两个向量对应的元素相乘之后再求和的结果。
设有两个向量A和B，分别表示为A=(a1,a2,...,an)和B=(b1,b2,...,bn)，则A和B的点积运算为：A·B = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn在密码学中，点积运算常用于密码算法中的数学运算。
例如，Diffie-Hellman密钥交换算法中，参与者之间通过点积运算来计算秘密密钥。
具体而言，Alice和Bob选择一个素数p和两个随机数a和b，分别计算出A和B，然后通过互相交换A和B，再分别计算出B和A，最后得到相同的密钥。
2.模逆运算（Modular Inverse）模逆运算是在模素数意义下的逆运算。
对于一个数a和模素数p，若存在一个数b，使得(a * b) mod p = 1，那么b就是a在模p意义下的逆元，记为a^-1。
即a * a^-1 ≡ 1 (mod p)。
模逆运算在密码学中广泛应用于公钥密码算法和数字签名算法中。
例如，RSA算法的密钥生成过程中，公钥是由两个素数p和q的乘积n组成，私钥是p-1和q-1的乘积的模逆运算。
模逆运算也可以用于解决同余方程的问题，例如，计算x对于模p的逆元。
3.模乘运算（Modular Multiplication）模乘运算是在模素数意义下的乘法运算。
对于两个数a和b以及一个模素数p，它们的模乘运算定义为(a * b) mod p，即先进行乘法运算，然后再对结果进行模p运算。
模乘运算常常用于对称密码算法和公钥密码算法中的数论计算。
在DES（Data Encryption Standard）算法中，乘法运算是通过位运算和表查找来实现的，其中涉及到模乘运算。
2010-第2周 密码学中的数学基础知识
a= qb + r 89=1·60+29 60=2·29+2
a
b
gcd = xa+yb
0 1 2
89 60 60 29 29 2
3
3
29=14·2+1
2=2·1+0
2
1
1
0 终止
28
求逆元举例
gcd(89,60)
Step
a= qb + r 89=1·60+29 60=2·29+2
a
b
gcd = xa+yb
x
244 117 10 7
y
117 10 7 3
gcd = ax+by
0 1 2 3
35
求逆元举例
gcd(244,117):
Step
x = qy + r
244=2·117+10 117=11·10+7 10=7+3 7=2·3+1
x
244 117 10 7 3
y
117 10 7 3 1
gcd = ax+by
12
同余性质
2. 设m是一个正整数， ① ad≡bd(mod m), 如果(d, m)=1, 则a≡b(mod m) ② a≡b(mod m), k>0, 则ak≡bk(mod mk) ③ a≡b(mod m), 如果d是m的因子，则a≡ b(mod
d) 下面对①③进行证明。
13
同余性质
① 证 明 ： 若 ad≡bd(mod m), 则 m|(ad-bd), 即 m|d(a-b). 因(d, m)=1，故m|(a-b), 即a=b(mod m) ③ 证明：d是m的因子，故存在m’, 使得m=dm’. 因为a≡b(mod m), 存在k, 使得a=b+mk= b+ dm’k. 等式 两边模d, 可得a≡b(mod d).
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整除中的一个论断：
若gcd(a,b)=d，则存在m,n，使得d=ma+nb。
那么当gcd(a,b)=1时，有ma+nb=1， 即m是a模b的逆元，n是b模a的逆元。
Galois 域：
如果 n是素数 p ，则模运算modulo p 形成 Galois
Field modulo p
记为： GF(p)
4.1.2 素数和互素数
因子：
• 对整数 b!=0 及 a , 如果存在整数 m 使得 a=mb,称 b 整除 a, 也称b是a的因子。 • 记作 b|a • 例 1,2,3,4,6,8,12,24 整除 24
4.1.6 欧几里得算法
1. 求两个正整数的最大公因子
2. 两个正整数互素，可以求一个数关于另一个数的乘法逆 元 • 性质: 对任意非负整数a和正整数b, 有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) • 证明： a=kb+r≡r mod b a mod b=a-kb 设d是a，b的公因子，即d|a , d|b, 所以d|kb.
同余的性质：
• • • • 若n|(a-b)，则a≡b mod n (a mod n) ≡(b mod n),则a≡b mod n a≡b mod n，则b≡a mod n a≡b mod n， b≡c mod n，则a≡c mod n
求余运算a mod n将a映射到集合{0,1,…,n-1},求余运算称 为模运算。 模运算的性质 –[(a mod n)+(b mod n)] mod n=(a+b) mod n –[(a mod n)-(b mod n)] mod n=(a-b) mod n –[(a mod n)×(b mod n)] mod n=(a×b) mod n
定理:设a∈Zn,gcd(a,n)=1,则a在Zn有逆元。 证明思路： 1. 用反证法证明a和Zn中任何两个不同的数相乘结果 都不相同 2. 从1得出a×Zn=Zn,因此存在x∈Zn,使a×x=1 mod n • 设a为素数，Zp中每一个非零元素都与a互素，因此 有乘法逆元，有乘法可约律 (a×b)=(a×c) mod n, b=c mod n
5. (T1 T2 T3)(X1-QY1,X2-QY2,X3-QY3);
6. (X1 X2 X3)(Y1Y2 Y3); 7. (Y1Y2 Y3)(T1 T2 T3); 8.Goto 2
例：求解 11d (mod51) = 1的步骤。 即求11-1mod51=？
循 环 次 数
Q
X 1 1 0 1 -1 2
• 欧拉定理
若a和n互素,则aφ (n)=1 mod n
4.1.5 素性检验
对给定的数检验其是否为素数
• 爱拉托斯散(Eratosthenes)筛法 定理： 设n是正整数，若对所有满足p≤ p | n，那么n一定是素数。 若要找出不大于n的所有素数：
n 的素数p，都有
先将2到n之间的整数列出，从中删除小于等于 n 的所有 素数的倍数，余下的整数即是所要求的素数。 此方法在n很大时，实际上是不可行的。
• 欧拉函数 –设n为一正整数，小于n且与n互素的正整数的个数 称为n的欧拉函数，记为φ(n) 例：Φ(6)=2, Φ(7)=6, Φ(8)=4 显然，若n是素数， Φ(n)=n-1
定理： 若n是两个素数p和q的乘积，则Φ(n)＝ Φ(p) Φ(q)=(p-1)(q-1)
例：21=3×7 ，因此φ(21)= φ(3) × φ(7)=2×6=12
扩展欧几里德算法： Extended Euclid(f,d) (f>d) 求d模f的逆元 1.（X1 X2 X3)(1,0,f);(Y1Y2 Y3)(0,1,d);
2. If Y3=0, then return X3=gcd(f,d);停止，没有逆元;
3. If Y3=1, then return X3=gcd(f,d);Y2=d-1 mod f; 4. Q=X3 div Y3（整数除）;
X 2 0
X 3
Y 1
Y 2 1
Y 3 11
f *X1+ d*X2 =X3 f *Y1+ d*Y2 =Y3 f *T1+ d*T2 =T3
Extended Euclid(f,d) (f>d) 1.（X1 X2 X3)(1,0,f); (Y1Y2 Y3)(0,1,d); 2. If Y3=0, then return X3=gcd(f,d); 停止，没有逆元; 3. If Y3=1, then return X3=gcd(f,d);Y2=d-1 mod f; 4. Q=X3 div Y3（整数除）; 5. (T1 T2 T3) (X1-QY1,X2-QY2,X3QY3); 6. (X1 X2 X3)(Y1Y2 Y3); 7. (Y1Y2 Y3)(T1 T2 T3); -1 11 mod51=14 8.Goto 2
公钥密码
制的基本概念
RSA算法
4.1.1 群、环、域
群<G,*>的定义:
*为乘法时，称为乘法群 逆元（a-1） *为加法时，称为加法群 逆元（-a）
一些数字组成的集合 一个二元运算，运算结果属于此集合（封闭性） 服从结合律。有单位元，逆元 。 如果是可交换的，则成为Abel群
即：{a mod p,2a mod p,…,(n-1)a mod p} ={1,…,p-1}
(a mod p) ×(2a mod p) ×…×(n-1)a mod p=(p-1)!ap-1 mod p
因此：(p-1)! ap-1 mod p =(p-1)!modp
(p-1)!与p互素，所以乘法可约律，ap-1=1 mod p
初 -值 1 2 3 4 4 1 1 1
51 0
1 11 1 -4 7 5 4 -1 2
-4 7 5 -9 4 3 1
-9 3
-3 14
Q=X3 div Y3 = 51/11 = 4 T1=X1-Q*Y1 = 1- 4*0 = 1
Miller-Rabin素性概率检测法
引理： 如果p为大于2的素数，则方程x2≡1 mod p的解只有和 x≡1和x≡-1
证明: x2≡1 mod p x2 -1 ≡0 mod p(x+1)(x-1)≡0 mod p 例： x2=1(mod8) 所以： p|(x+1)或p|(x-1)或p|(x+1)且p|(x-1) 若 且p|(x-1) ，则存在 x+1=kp, 12p|(x+1) =1 mod8 32=1 mod8 k,j，使 52=1 mod8 x-1=jp 72=1 mod8 可得：2=(k-j)p, 这是不可能的。 又5=-3 mod8 ， 7=-1 mod8， 所以： p|(x+1)或p|(x-1) 所以方程的解为：1，-1，3，-3 8不是素数。 设： p|(x+1)，则x+1=kp x=-1modp 设： p|(x-1)，则x-1+1=kp x=1modp
定义Zn为小于n的所有非负整数集合 Zn={0,1,2,…,n-1}
4.1.4 费尔玛定理和欧拉定理
费尔玛定理： 若p是素数，a是正整数且gcd(a,p)=1，则ap-1≡1 mod p • 证明： 当gcd(a,p)=1,则a×Zp=Zp 。 又因为a×0≡0modp,所以a×(Zp-{0})=Zp-{0}
素数：
• 素数: 只有因子 1 和自身 • 1 是一个平凡素数 • 例 2,3,5,7 是素数, 4,6,8,9,10 不是
200以内的素数：
• 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199
由d|a和d|kb，得d|(a mod b)， 故d是b和a mod b的公因子。 a,b以及b,a mod b公因子集合相同，故最大公因子也相同。 gcd(55,22)=gcd(22,11)=gcd(11,0)=11 gcd(11,10)=gcd(10,1)=1
Euclid算法： Euclid(f,d) f>d 1. Xf;Yd;
素数分解：
• • • 把整数n写成素数的乘积 分解整数要比乘法困难 整数 n的素数分解是把它写素数的乘积 eg. 91 = 7 × 13 ; 3600 = 24 × 32 × 52
互素数：
• 整数 a, b 互素是指 它们没有除1之外的其它因子。 8 与15 互素 8的因子1,2,4,8 15的因子 1,3,5,15 1 是唯一的公因子 • 记为：gcd(8,15)=1
环<R,+,*>的定义:
Abel 群，及一个乘法运算： 满足结合律与加法的分配律 如果加法满足交换律, 则称交换环 例：整数 mod N （for any N ）
域<F,+,*>的定义： <F,+>是Abel加群 环 <F-{0},*>是Abel 乘群 例： 整数 mod P （ P 为素数）
引理的逆命题： 若方程x2≡1 mod p，有唯一解x不为+1或-1，p不是素数。
• Miller-Rabin素性概率检测法 –n为待检测数，a为小于n的整数，将n-1表示为二进 制形式bkbk-1…b0,d赋初值为1，算法核心如下： for i=k downto 0 do n-1≡-1 mod n,所以x ≠1和x ≠n-1指 {xd; x2≡1 mod n 有非±1的根,n不是素数。 d(d×d) mod n; if d=1 and (x≠1)and(x≠n-1) then return False if bi=1 the d(d×a) mod n } For循环结束,有d≡an-1 mod n。 由费尔玛定理,若n为素数,d为1。 if d ≠1 then return False; 所以d≠1，则d不是素数。 return True –若返回False,n不是素数,若返回True,有可能是素数。