《两角和与差的正切公式》(课件)
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两角和与差的正切函数课件(30张)
6
73
得 5 , 2 , 2 3
6
2
4
返回
小结
例5 计算 1 tan15 的值. 1 tan15
解 因为 tan 45 1， 所以 1 tan15 tan 45 tan15
1 tan15 1 tan 45 tan15
tan 45 15 tan 30 3 . 3
1
4 1
4
3.
22
返回
小结
技巧方法：
1.掌握“配角”的技巧； 2.充分利用特殊角的三角函数值； 3.运用正确的三角函数公式解题.
和角公式
S : sin sin cos cos sin
C : cos cos cos sin sin
T
:
tan
tan tan 1 tan tan
α
2,求
tan
2
α
不能用.
2.注意公式的结构，尤其是符号.
例题讲解
例1 已知tan α
2,tan β
1 ,其中0
α
,
β
.
3
22
1求tanα β ; 2求α β的值.
解 1因为 tan α 2,tan β 1，
3
所以 tan α
β
tan α tan β 1 tan α tan β
2 1
1
3 2
7.
3
返回 小结
2因为tanα +
β
tan α tan β 1 tan α tan β
2 1
1
3 2
1.
3
又因为 0
α
,
β
，所以
α+
β
必修4课件_3.1.2两角和与差的正弦正切公式
1必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存 在就不能使用这个公式，
2注意公式的结构，尤其是符号。
二 【探究】
2.T(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin
cos(－ ) cos cos ＋sin sin
二 【探究】
2.T(α±β)公式的推导
tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2 tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2
二 【探究】
1.S(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
sin(＋ ) sin cos cos sin sin( - ) sin[ ( )] sin cos cos sin
3.1.2
两角和与差的正弦正切公式
一 【引入】
1、两角和与差的余弦公式
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
2、使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向 使用.符号判断、角的变形.
β = α +β α
a sin x b cos x
a b sin x
2 2
b tan ，所在象限就是点(a, b)所在象限 a
四
【课堂小结】
1.两角差的余弦公式 C＋是两角和与差的三角 系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就 自然掌握了公式的形成过程. 2.公式S ( a + b )与 S ( a 与T T
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存 在就不能使用这个公式，
2注意公式的结构，尤其是符号。
二 【探究】
2.T(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin
cos(－ ) cos cos ＋sin sin
二 【探究】
2.T(α±β)公式的推导
tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2 tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2
二 【探究】
1.S(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
sin(＋ ) sin cos cos sin sin( - ) sin[ ( )] sin cos cos sin
3.1.2
两角和与差的正弦正切公式
一 【引入】
1、两角和与差的余弦公式
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
2、使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向 使用.符号判断、角的变形.
β = α +β α
a sin x b cos x
a b sin x
2 2
b tan ，所在象限就是点(a, b)所在象限 a
四
【课堂小结】
1.两角差的余弦公式 C＋是两角和与差的三角 系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就 自然掌握了公式的形成过程. 2.公式S ( a + b )与 S ( a 与T T
课件-两角和与差的正切函数
通过公式的变形，可以进一步推导出 其他形式的正切和差公式，如二倍角 公式等。
利用三角函数的减法公式和同角三角 函数的基本关系推导两角差的正切公 式。
03
两角和与差的正切函数的性 质
奇偶性
奇偶性
两角和与差的正切函数具有奇偶 性，即对于任意实数x，有tan(x)=-tan(x)，这是正切函数的基本
性质之一。
tan(15°)
tan(30° + 45°)
习题
tan(60° - 30°) tan(180° - 45°)
已知 tanα = 2/3，求 tan(α + 45°) 的值。
习题
若 tanα = -√3，求 tan(α + 15°) 的值。 若 tan2α = -√3，求 tan(α + 45°) 的值。
解决物理问题
在物理问题中，常常需要计算一些特定条件下的物理量，例如振动 、波动等，利用两角和与差的正切函数公式可以方便地解决这些问 题。
解决工程问题
在工程问题中，常常需要计算一些特定条件下的参数，例如机械、建 筑等，利用两角和与差的正切函数公式可以方便地解决这些问题。
05
习题与解答
习题
计算下列各式的值
推导过程
利用三角函数的加法公式和减法公式 ，通过代数运算推导得出。
符号表示
01
tan(α±β)表示两角和与差的正切 函数，其中α和β为任意角度。
02
tanα和tanβ分别表示两个角的正 切值，tan(α±β)表示这两个角的 和或差的正切值。
特殊角的正切值
特殊角的正切值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊 角的正切值分别为0、√3/3、1、 √3、不存在等。
高教版中职数学拓展模块一下册：6.1.3两角和与差的正切公式课件(共11张PPT)
归纳总结
布置作业
两角和与差的正切公式
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
作 业
1.书面作业：完成教材第10页习题6.1；
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
归纳总结
情境导入
布置作业
本节课堂结束
.教师：姜老师
6.1.3
两角和与差的正切公式
中职数学拓展模块一上册
两角和与差的正切公式
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
归纳总结
我们知道，α±β的正弦、余弦都可以用α、β的正弦与余弦表示，
那么α±β的正切，即 tan(α±β)，能否用α、β的正切来表示呢？
布置作业
两角和与差的正切公式
情境导入
情境导入
探索新知
典型例题
，求(
5
4
探索新知
+ )的值.
情境导入
典型例题
巩固练习
归纳总结
布置作业
两角和与差的正切公式
情境导入
探索新知
典型例题
情境导入
巩固练习
练习
1.（1）2 + 3；
（2）-2- 3;
（3）1;
（4）1
1
2.-1，−
7
归纳总结
布置作业
两角和与差的正切公式
情境导入
探索新知
典型例题
小 结
巩固练习
情境导入
巩固练习
归纳总结
布置作业
两角和与差的正切公式
情境导入
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
于是，我们得到两角和与差的正切公式：
布置作业
两角和与差的正切公式
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
作 业
1.书面作业：完成教材第10页习题6.1；
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
归纳总结
情境导入
布置作业
本节课堂结束
.教师：姜老师
6.1.3
两角和与差的正切公式
中职数学拓展模块一上册
两角和与差的正切公式
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
归纳总结
我们知道，α±β的正弦、余弦都可以用α、β的正弦与余弦表示，
那么α±β的正切，即 tan(α±β)，能否用α、β的正切来表示呢？
布置作业
两角和与差的正切公式
情境导入
情境导入
探索新知
典型例题
，求(
5
4
探索新知
+ )的值.
情境导入
典型例题
巩固练习
归纳总结
布置作业
两角和与差的正切公式
情境导入
探索新知
典型例题
情境导入
巩固练习
练习
1.（1）2 + 3；
（2）-2- 3;
（3）1;
（4）1
1
2.-1，−
7
归纳总结
布置作业
两角和与差的正切公式
情境导入
探索新知
典型例题
小 结
巩固练习
情境导入
巩固练习
归纳总结
布置作业
两角和与差的正切公式
情境导入
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
于是，我们得到两角和与差的正切公式：
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
《两角和与差的正切公式》(课件)
《两角和与差的正切公式》 (课件)
在这个课件中，我们将介绍两角和与差的正切公式，包括公式的推导、应用 和相关知识总结。
公式推导
1
两角和的正切公式推导
通过探索两个角的和，我们将推导出两角和的正切公式。
2
两角差的正切公式推导
接着我们将研究两个角的差，得出两角差的正切公式。
3
证明过程
在这部分，我们将详细介绍如何证明两角和与差的正切公式。
注意事项
介绍在应用公式时需要注意的细节和常见错 误。
公式使用技巧
分享一些使用两角和与差的正切公式的技巧， 让学习更加高效。
学习建议
提供关于如何学习和掌握两角和与差的正切 公式的建议和方法。
公式应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
实例分析
通过实例分析，我们将展示两 角和与差的正切公式在实际问 题中的应用。
应用场景介绍
了解两角和与差的正切公式在 不同领域的应用场景，拓宽我 们的知识视野。
计算方法演示
通过计算器演示，我们将展示 如何运用公式进行快速而准确 的计算。
知识总结
公式核心概念回顾
总结两角和与差的正切公式的核心概念，帮 助我们加深理解。
在这个课件中，我们将介绍两角和与差的正切公式，包括公式的推导、应用 和相关知识总结。
公式推导
1
两角和的正切公式推导
通过探索两个角的和，我们将推导出两角和的正切公式。
2
两角差的正切公式推导
接着我们将研究两个角的差，得出两角差的正切公式。
3
证明过程
在这部分，我们将详细介绍如何证明两角和与差的正切公式。
注意事项
介绍在应用公式时需要注意的细节和常见错 误。
公式使用技巧
分享一些使用两角和与差的正切公式的技巧， 让学习更加高效。
学习建议
提供关于如何学习和掌握两角和与差的正切 公式的建议和方法。
公式应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
实例分析
通过实例分析，我们将展示两 角和与差的正切公式在实际问 题中的应用。
应用场景介绍
了解两角和与差的正切公式在 不同领域的应用场景，拓宽我 们的知识视野。
计算方法演示
通过计算器演示，我们将展示 如何运用公式进行快速而准确 的计算。
知识总结
公式核心概念回顾
总结两角和与差的正切公式的核心概念，帮 助我们加深理解。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共38张PPT)
tan(
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
两角和与差的正切公式PPT精品课件
75 75
0
0=（
3） 3
3、已知tan（α。+β）= 1，tanα=-2，则 tanβ＝ 。７
3
4、tan10０tan20０+ tan10０tan60０+tan20０tan60０=
1。
5、已知tanα=3，tanβ=2，α、β∈（0，
求证：α+β= 3
4
），
2
小结
两角和与差的正弦、余弦、正切
公式的内在联系：
(2)tanα
3、求值：(1) tan71o - tan26o 1 + tan71otan26o
(2)1- 3tan75o 3 + tan75o
答案: (1) 1
(2) -1
提高练习：
1、已知tanα、tanβ是方程3x２+5x-1=0的两根，
则tan（α+β）=
5 4。
2、化简
1 1
tan tan
居民膳食指南
• （二）多吃蔬菜、水果和薯类 蔬菜与水果含有丰富的维生素、矿物质和膳食纤维，深色的蔬菜
中维生素含量超过浅色蔬菜和一般水果。红黄色水果是维生素C和胡 萝卜素的丰富来源。薯类含有丰富膳食纤维、多种维生素和矿物质。 含丰富蔬菜、水果和薯类的膳食，对保持心血管健康、增强抗病能力、 减少儿童发生干眼病的危险及预防某些癌症等方面，起着十分重要的 作用。
a
例5.△ABC中，
求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明：∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴△ABC中没有直角，∴tanAtanB≠1.
∵ tan(A+B)= tan A tan B , 1 tan A tan B
两角和与差的正切公式-PPT课件
11
12
•
[例1] 已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan2α的值．
•
[分析] ∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴利用两角和的正切公式求解．
[解析] ∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，
∴tan2α＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝1t－an(taαn＋(αβ＋)＋β)ttaann((αα－－ββ))
26
•
[点评] 已知tanα，待求式为sinα与cosα的二次式时，常用方法是将待求式的分母看作1＝sin2α＋cos2α，然后分子、分母同除以cos2α化切来求解．也可以先由tanα＝m得sinα＝mcosα代入sin2α＋cos2α＝1中，求得cos2α，再将sinα＝mcosα代入待求式求解．
∵α、β 为锐角，∴0°<α ＋β<180°，
又∵tan(α＋β)＝1t－antαa＋nαt·atannββ
＝1－2＋2×3 3＝－1，
∴α＋β＝135°，选 B.
16
•
[答案] 45°
已知 tanθ＝12，tanφ＝13，且 θ，φ 均为锐角，则 θ＋φ 的 度数为________．
[解析] tan(θ＋φ)＝1t－antθa＋nθt·atannφφ
＝1－12＋12×13 13＝1，
∵θ、φ 为锐角，∴0<θ＋φ<180°，∴θ＋φ＝45°.
17
18
•
[分析] 条件式都是两角正切的和(差)与积的形式，故可考虑应用T(α±β)或其变式求解．
[例 3] 已知△ABC 中，tanB＋tanC＋ 3tanB·tanC＝ 3，且 3tanA＋ 3tanB＝tanA·tanB－1，试判断△ABC 的 形状．
12
•
[例1] 已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan2α的值．
•
[分析] ∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴利用两角和的正切公式求解．
[解析] ∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，
∴tan2α＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝1t－an(taαn＋(αβ＋)＋β)ttaann((αα－－ββ))
26
•
[点评] 已知tanα，待求式为sinα与cosα的二次式时，常用方法是将待求式的分母看作1＝sin2α＋cos2α，然后分子、分母同除以cos2α化切来求解．也可以先由tanα＝m得sinα＝mcosα代入sin2α＋cos2α＝1中，求得cos2α，再将sinα＝mcosα代入待求式求解．
∵α、β 为锐角，∴0°<α ＋β<180°，
又∵tan(α＋β)＝1t－antαa＋nαt·atannββ
＝1－2＋2×3 3＝－1，
∴α＋β＝135°，选 B.
16
•
[答案] 45°
已知 tanθ＝12，tanφ＝13，且 θ，φ 均为锐角，则 θ＋φ 的 度数为________．
[解析] tan(θ＋φ)＝1t－antθa＋nθt·atannφφ
＝1－12＋12×13 13＝1，
∵θ、φ 为锐角，∴0<θ＋φ<180°，∴θ＋φ＝45°.
17
18
•
[分析] 条件式都是两角正切的和(差)与积的形式，故可考虑应用T(α±β)或其变式求解．
[例 3] 已知△ABC 中，tanB＋tanC＋ 3tanB·tanC＝ 3，且 3tanA＋ 3tanB＝tanA·tanB－1，试判断△ABC 的 形状．
第五章5.55.5.1第三课时两角和与差的正切公式PPT课件(人教版)
满分示范
解
(1)由题意可得
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3. (2)由 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得： tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°) ＝1－tan 10°tan 35， 所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. (3)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1 －tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝_ta_n_(_α_－__β_)_(1_＋__t_a_n_α_t_a_n_β_)__.
tan tan
αα－ tantaβn＝β－ __t_a_tnta_anαn_（t_αa_－nα_－β_tat_βan_）nβ_(_α－_－1__β_)＝____t_a_n_(α_－__β_)_______.
α，β，α＋β，α
___1_－__t_a_n_α_t_a_n_β_____ －β≠kπ＋π2
tan(α－β)＝
(k∈Z)且 tan
tan α－tan β
α·tan β≠±1
____1_＋__ta_n__α_ta_n__β____
2.两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝_t_a_n_(α_＋__β_)_(_1_－__ta_n__α_ta_n__β_)_. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝_____t_a_n_(_α_＋__β_)_____. tan αtan β＝__1_－__tta_ann_（_α_＋α_＋_ta_βn_）β_____.
两角和与差的正弦余弦正切公式-完整版课件
－β)＝1，求(1) 2
2sin α＋π4 ；(2)tan β；(3)tan(2α－β)的值．
2．已知 cos(α＋β)＝－13，cos 2α＝－153，α，β 均为钝角，求 cos(α －β)的值．
三角公式的逆用及变形用
[例 2]
tan (1)1－t
74°＋tan 76°； an 74°tan 76°
两角差 的正切
tan(α－β)＝ __t_a_n_α__－__ta_n__β____ __1_＋__ta_n__α_t_a_n_β___
简记符号 T(α＋β) T(α－β)
条件 α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z) α，β，α－β≠kπ
＋π2(k∈Z)
[想一想]
1．如何推导公式 sin(α＋β)与 sin(α－β)． 提示：①sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝ cosπ2－α－β＝cosπ2－αcos β＋sinπ2－α·sin β＝sin αcos β＋ cos αsin β. ②法一：sin(α－β)＝cosπ2－α－β＝ cosπ2－α＋β＝cosπ2－αcos β－sinπ2－α·sin β＝sin αcos β－ cos αsin β. 法二：用－β 代替 sin(α＋β)中的 β，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝ sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
2．两角和与差的正切 公式的结构特征及符号特征如下： (1)公式 T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为 tan α 与 tan β 的 和或差，分母为 1 与 tan αtan β 的差或和． (2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
3．两角和与差的正切公式的变形与特例
3.1.2第2课时 两角和与差的正切公式 课件
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
两角和与差的正弦、 余弦公式
―理―解→
两角和与差的正 切公式推导
―掌―握→
公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
新知初探思维启动
1．两角和与差的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ (Tα＋β) tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ (Tα－β)
栏目 导引
第°＋tan 50°－ 3tan 70°tan 50°等于( )
A. 3
B.
3 3
C．－
3 3
D．－ 3
解析：选 D.tan 70°＋tan 50°－ 3tan 70°tan 50°
＝tan(70°＋50°)(1－tan 70°tan 50°)－ 3tan 70°tan 50°
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
方法感悟
要注意公式 T(α±β)的正用、逆用和变形用． 公式的逆用如：1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannββ＝tan[(α＋β)－β]＝tan α； 又如：11＋ －ttaann αα＝1t－ant4a5n°4＋5°ttaannαα＝tan(45°＋α)等等． 对公式的变形应用，常有以下几种形式： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
∵tan β＝－17，β∈(0，π)，∴β∈(π2，π)，∴－π<α－β<0. 而 tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2， ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)， ∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannαα＝ 112－＋1213·13＝1.∴2α－β＝－34π.
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学习目标
两角和与差的正弦、 余弦公式
―理―解→
两角和与差的正 切公式推导
―掌―握→
公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
新知初探思维启动
1．两角和与差的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ (Tα＋β) tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ (Tα－β)
栏目 导引
第°＋tan 50°－ 3tan 70°tan 50°等于( )
A. 3
B.
3 3
C．－
3 3
D．－ 3
解析：选 D.tan 70°＋tan 50°－ 3tan 70°tan 50°
＝tan(70°＋50°)(1－tan 70°tan 50°)－ 3tan 70°tan 50°
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第三章 三角恒等变换
方法感悟
要注意公式 T(α±β)的正用、逆用和变形用． 公式的逆用如：1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannββ＝tan[(α＋β)－β]＝tan α； 又如：11＋ －ttaann αα＝1t－ant4a5n°4＋5°ttaannαα＝tan(45°＋α)等等． 对公式的变形应用，常有以下几种形式： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
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第三章 三角恒等变换
∵tan β＝－17，β∈(0，π)，∴β∈(π2，π)，∴－π<α－β<0. 而 tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2， ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)， ∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannαα＝ 112－＋1213·13＝1.∴2α－β＝－34π.
5.5.1.3两角和与差的正切公式(课件)
件，能缩小角的范围.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)两角和与差的正切公式.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：公式中加减符号易记错.
tan α＋tan β
3
所以 tan(α＋β)＝
＝
＝－3.
1－tan α·tan β 1－2
反思感悟
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan
α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，
这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，
通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根
与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)；
一
化简求值
例
1
求值
（1）tan 15°=
2− 3
∴tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
二
给值求值(角)
3
例1 已知sin ，
0，求 tan( )的值.
例3（1）
5 2
4
3
【解析】已知sin ，
0，得
5 2
3
4
cos 1 sin 2 1 ( ) 2
tan
tan
法二：tan[ ( )]
1 tan tan( ) 1 tan tan
课堂
小结
1.知识清单：
(1)两角和与差的正切公式.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：公式中加减符号易记错.
tan α＋tan β
3
所以 tan(α＋β)＝
＝
＝－3.
1－tan α·tan β 1－2
反思感悟
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan
α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，
这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，
通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根
与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)；
一
化简求值
例
1
求值
（1）tan 15°=
2− 3
∴tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
二
给值求值(角)
3
例1 已知sin ，
0，求 tan( )的值.
例3（1）
5 2
4
3
【解析】已知sin ，
0，得
5 2
3
4
cos 1 sin 2 1 ( ) 2
tan
tan
法二：tan[ ( )]
1 tan tan( ) 1 tan tan
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探究二
探究 试化简下列各式，你有什么收获？
1 3 (1) cos x sin x; 2 2 ( 2) 3 sin x cos x; ( 3) 2 (sin x cos x ); (4) 2 cos x 6 sin x .
辅助角公式：
a sin x b cos x a 2 b 2 sin( x ), 其中sin b a b
正切公式： tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 究一
已知
4
, 求(1 tan )(1 tan ).
对此，你有什么发现？
运用：
【练习2】求值： (1 tan 1 )(1 tan 2 )(1 tan 3 ) ...... (1 tan 44 )
引 申：
两角和与差的正切公式 的变式： tan tan tan( )(1 tan tan ); tan tan tan( )(1 tan tan ).
2 2
; cos
a a b
2 2
【例1】求函数y sin x 3 cos x的周期、 最大值和最小值、单调 递增区间.
4m 6 【练习1】要使得sin 3 cos 有 4m 意义，则m的取值范围是________ .
A 2 B
5
D 1
C
【练习】
求值 tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40
拓展训练1
拓展训练2
sin 7 cos 15 sin 8 (1) __________________ . cos 7 sin 15 sin 8 2 sin 50 sin 80(1 3 tan 10 ) ( 2) ______ . cos 5
一、温故知新
正弦公式 : sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
余弦公式 : cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin