回归分析(完整版)
第1章 1.1(二) 回归分析
即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了 99.98%.
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 1.1（二）
小结
本 课 时 栏 目 开 关
研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判
^ ^ ^
断它们是否线性相关， 是否可以用线性回归模型来拟合数据． 然 后通过图形来分析残差特性，用残差e 1，e 2，„，e
填一填·知识要点、记下疑难点
§ 1.1（二）
本 课 时 栏 目 开 关
1．如果两个变量不呈现线性相关关系，常见的两个变量间的关 系还有指数关系、二次函数关系． 2． 两个变量间的非线性关系可以通过对解释变量的变换(对数变 换、平方变换等)转化为另外两个变量的 线性 关系． 3．比较不同模型的拟合效果，可以通过 残差平方和 的大小，
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 1.1（二）
由图看出， 样本点分布在某条指数函数曲线 y＝c1ec2x 的周围， 于 是令 z＝ln y.
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
本 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 课 时 画出散点图如图所示． 栏 目 开 关
＋a
①函数 y＝ebx＋a 的图象：
②处理方法：两边取对数得 ln y＝ln ebx a，即 ln y＝bx＋a.令 z
＋
＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型 的方法求出 b，a.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§ 1.1（二）
(2)对数曲线型 y＝bln x＋a ①函数 y＝bln x＋a 的图象：
回归分析法精选全文
可编辑修改精选全文完整版回归分析法用相关系来表示变量x和y线性相关密切程度，那么r数值为多大时才能说明它们之间线性关系是密切的？这需要数理统计中的显著性检验给予证明。
三、显著性检验是来用以说明变量之间线性相关的密切程度如何，或是用以说明所求得的回归模型有无实用价值。
为说明相关系数的概念，先观察图2-3。
回归分析的检验包括：相关系数的显著性检验、回归方程的显著性检验、回归系数的显著性检等，它们是从不同角度对回归方程的预测效能进行验证的。
关于显著性检验这涉及有关数理统计的内容,为此我们作一下简要回顾。
数理统计的主要内容包括:·参数估计;·假设检验;·方差分析等。
（1）相关系数检验。
相关系数的检验，需要借助于相关系数检验表来进行，这种表是统计学家按照有关的数学理论制定出的。
在相关系数检验表中，有两个参数需要说明。
1）f —称为自由度。
其含义为：如果有n个变量 x1,x2,...x n相互独立，且无任何线性约束条件，则变量的自由度个数为 f=n ，一般情况下有:f=n —约束条件式数对于一元线性回归，参数a，b要通过观测数据求出，有两个约束式，则失去两个自由度，因此 f=n-2 ，n为散点（观测点或统计数据点）个数。
2） a —称为显著性水平。
取值为0.01或0.05。
而1-a 称为置信度或置信概率，即表示对某种结论的可信程度。
当 a 取值为0.05时，则1-a 为0.95，这表示在100次试验中，约有5次犯错误（小概率事件发生）。
判断两个随机变量x,y间有无线性相关关系的方法是：首先根据要求确定某一显著性水平 a ，由散点数n计算出 f ，然后根据 a , f 利用相关系数检验表查出相关系数的临界值 r a，最后将计算出的相关系数r的绝对值与临界值 r a相比较。
r a表示在一定的置信概率下，所要求的相关系数起码值。
若，表示这两个随机变量之间存在线性相关关系；若，表示这两个随机变量之间线性相关程度不够密切。
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面回归分析是一种统计分析方法，用于研究变量之间的作用关系。
它由一个或多个自变量和一个或多个因变量组成。
回归分析的目的是通过收集样本数据，探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
建立一个适当的数学模型来反映变量之间关系的统计分析方法称为回归方程。
回归分析可以分为一元回归分析和多元回归分析。
一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
回归方程的表现形式不同，可以分为线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归分析适用于变量之间是线性相关关系的情况，而非线性回归分析适用于变量之间是非线性相关关系的情况。
回归分析的主要内容包括建立相关关系的数学表达式、依据回归方程进行回归预测和计算估计标准误差。
建立适当的数学模型可以反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
依据回归方程进行回归预测可以估计出因变量可能发生相应变化的数值。
计算估计标准误差可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性。
一元线性回归分析是对一个因变量和一个自变量建立线性回归方程的方法。
它的特点是两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。
如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。
若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线。
回归方程的估计值；n——样本容量。
在计算估计标准误差时，需要注意样本容量的大小，样本容量越大，估计标准误差越小，反之亦然。
5.检验回归方程的显著性建立回归方程后，需要对其进行显著性检验，以确定回归方程是否具有统计学意义。
常用的检验方法是F检验和t检验。
F检验是通过比较回归平方和与残差平方和的大小关系，来判断回归方程的显著性。
若F值大于临界值，则拒绝原假设，认为回归方程显著。
t检验则是通过对回归系数进行假设检验，来判断回归方程中各回归系数的显著性。
Regression(回归分析)
Fitted Value
• 残差的值上/下的平均值为 ‘0’, Data是Random分布的 因此残差是正规性的.
回归分析例题-单回归分析
5. 最后画回归线 Minitab Menu : Stat / Regression / Fitted Line Plot
回归分析例题-单回归分析
5. 最后画回归线 Minitab Menu : Stat / Regression / Fitted Line Plot
Normal Probability Plot
Residual
0
5
.999
残差(Residual)是检验回归方程法是否适用 的一种Tool.其判断依据如下: 1) 残差的平均应始终为 ‘0’ 2) 残差应正态分布 3) 残差要Random分布 (不能有倾向性)
.99 .95
Probability
.80 .50 .20 .05 .01 .001 -5 0 5
R-Sq(adj) = 87.3%
我们要找的函数式是？
Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total 9 Source x1 x2 DF 1 1 DF SS MS 2 332.07 166.04 7 36.33 5.19 368.40 Seq SS 313.04 19.03 F 32.00 P 0.000
回归分析例题-中回归分析（2）
实行结果
Stepwise Regression: y versus x1, x2, x3, x4 Alpha-to-Enter: 0.15 Alpha-to-Remove: 0.15 Response is y on 4 predictors, with N = 13 Step Constant x4 T-Value P-Value x1 T-Value P-Value x2 T-Value P-Value S R-Sq R-Sq(adj) C-p 8.96 67.45 64.50 138.7 2.73 97.25 96.70 5.5 1 117.57 -0.738 -4.77 0.001 2 103.10 -0.614 -12.62 0.000 1.44 10.40 0.000 3 71.65 -0.237 -1.37 0.205 1.45 12.41 0.000 0.416 2.24 0.052 2.31 98.23 97.64 3.0 1.47 12.10 0.000 0.662 14.44 0.000 2.41 97.87 97.44 2.7 4 52.58
(整理)总结：线性回归分析的基本步骤
线性回归分析的基本步骤步骤一、建立模型知识点：1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型：研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。
Y X U β=+特点：由于随机误差项U 的存在，使得Y 和X 不在一条直线/平面上。
例1：某镇共有60个家庭，经普查，60个家庭的每周收入（X ）与每周消费（Y ）数据如下：作出其散点图如下：②总体回归方程（线）：由于假定0EU =，因此因变量的均值与自变量总处于一条直线上，这条直线()|E Y X X β=就称为总体回归线（方程）。
总体回归方程的求法：以例1的数据为例，求出E (Y |X 由于01|i i i E Y X X ββ=+，因此任意带入两个X i 和其对应的E (Y |X i )值，即可求出01ββ和，并进而得到总体回归方程。
如将()()222777100,|77200,|137X E Y X X E Y X ====和代入()01|i i i E Y X X ββ=+可得：01001177100171372000.6ββββββ=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩以上求出01ββ和反映了E (Y |X i )和X i 之间的真实关系，即所求的总体回归方程为：()|170.6i i i E Y X X =+，其图形为：③样本回归模型：总体通常难以得到，因此只能通过抽样得到样本数据。
如在例1中，通过抽样考察，我们得到了20个家庭的样本数据： 那么描述样本数据中因变量Y 和自变量X 之间非确定依赖关系的模型ˆY X e β=+就称为样本回归模型。
④样本回归方程（线）：通过样本数据估计出ˆβ，得到样本观测值的拟合值与解释变量之间的关系方程ˆˆY X β=称为样本回归方程。
如下图所示：⑤四者之间的关系：ⅰ：总体回归模型建立在总体数据之上，它描述的是因变量Y和自变量X 之间的真实的非确定型依赖关系；样本回归模型建立在抽样数据基础之上，它描述的是因变量Y和自变量X之间的近似于真实的非确定型依赖关系。
回归分析法PPT课件
线性回归模型的参数估计
最小二乘法
通过最小化误差平方和的方法来估计 模型参数。
最大似然估计
通过最大化似然函数的方法来估计模 型参数。
参数估计的步骤
包括数据收集、模型设定、参数初值、 迭代计算等步骤。
参数估计的注意事项
包括异常值处理、多重共线性、自变 量间的交互作用等。
线性回归模型的假设检验
假设检验的基本原理
回归分析法的历史与发展
总结词
回归分析法自19世纪末诞生以来，经历 了多个发展阶段，不断完善和改进。
VS
详细描述
19世纪末，英国统计学家Francis Galton 在研究遗传学时提出了回归分析法的概念 。后来，统计学家R.A. Fisher对其进行了 改进和发展，提出了线性回归分析和方差 分析的方法。随着计算机技术的发展，回 归分析法的应用越来越广泛，并出现了多 种新的回归模型和技术，如多元回归、岭 回归、套索回归等。
回归分析法的应用场景
总结词
回归分析法广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、生物学、医学等。
详细描述
在经济学中，回归分析法用于研究影响经济发展的各种因素，如GDP、消费、投资等；在金融学中，回归分析法 用于股票价格、收益率等金融变量的预测；在生物学和医学中，回归分析法用于研究疾病发生、药物疗效等因素 与结果之间的关系。
梯度下降法
基于目标函数对参数的偏导数， 通过不断更新参数值来最小化目 标函数，实现参数的迭代优化。
非线性回归模型的假设检验
1 2
模型检验
对非线性回归模型的适用性和有效性进行检验， 包括残差分析、正态性检验、异方差性检验等。
参数检验
通过t检验、z检验等方法对非线性回归模型的参 数进行假设检验，以验证参数的显著性和可信度。
Logistic回归分析(共53张PPT)
• 优势比
• 常把出现某种结果的概率与不出现的概率 之比称为比值（odds),即odds=p/1-p。两个
比值之比称为比值比（Odds Ratio),简称 OR。
• Logistic回归中的常数项（b0）表示，在不
接触任何潜在危险／保护因素条件下，效 应指标发生与不发生事件的概率之比的对 数值。
Forward: LR （ 向前逐步法：似然比 法 likelihood ratio，LR）→ 再击下 方的 Save 钮，将 Predicted values 、 Influence 与 Residuls 窗口中的 预选项全勾选 → Continue → 再击 下方的 Options 钮，将 Statistics and Plot 小窗口中的选项全勾选 → Continue → OK 。
三、参数检验
• 似然比检验（likehood ratio test）
通过比较包含与不包含某一个或几 个待检验观察因素的两个模型的对数似 然函数变化来进行，其统计量为G （又 称Deviance）。
G=-2(ln Lp-ln Lk) 样本量较大时， G近似服从自由度
为待检验因素个数的２分布。
• 比分检验（score test）
， Logistic回归系数的解释变得更为复杂 ，应特别小心。
根据Wald检验，可知Logistic回归系
数bi服从u分布。因此其可信区间为
病例与对照匹配---条件logistic回归 其中， 为常数项， 为偏回归系数。 应变量水平数大于2，且水平之间不存在等级递减或递增的关系时，对这种多分类变量通过拟合一种广义Logit模型方法。
u= bi s bi
u服从正态分布，即为标准正态离差。
回归分析学习课件PPT课件
为了找到最优的参数组合，可以使用网格搜索方 法对参数空间进行穷举或随机搜索，通过比较不 同参数组合下的预测性能来选择最优的参数。
非线性回归模型的假设检验与评估
假设检验
与线性回归模型类似，非线性回归模型也需要进行假设检验，以检验模型是否满足某些统计假 设，如误差项的独立性、同方差性等。
整估计。
最大似然法
03
基于似然函数的最大值来估计参数，能够同时估计参数和模型
选择。
多元回归模型的假设检验与评估
线性假设检验
检验回归模型的线性关系 是否成立，通常使用F检 验或t检验。
异方差性检验
检验回归模型残差的异方 差性，常用的方法有图检 验、White检验和 Goldfeld-Quandt检验。
多重共线性检验
检验回归模型中自变量之 间的多重共线性问题，常 用的方法有VIF、条件指数 等。
模型评估指标
包括R方、调整R方、AIC、 BIC等指标，用于评估模 型的拟合优度和预测能力。
05
回归分析的实践应用
案例一：股票价格预测
总结词
通过历史数据建立回归模型，预测未来股票 价格走势。
详细描述
利用股票市场的历史数据，如开盘价、收盘价、成 交量等，通过回归分析方法建立模型，预测未来股 票价格的走势。
描述因变量与自变量之间的非线性关系，通过变 换或使用其他方法来适应非线性关系。
03 混合效应回归模型
同时考虑固定效应和随机效应，适用于面板数据 或重复测量数据。
多元回归模型的参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计参数，是最常用的参数估计方法。
加权最小二乘法
02
适用于异方差性数据，通过给不同观测值赋予不同的权重来调
回归分析(第一讲)
例如： 研究产品的销量与用于产品宣传的广告 费之间的关系；
因变量——销售量 自变量——广告费
我们用Y代表因变量， X代表自变量。 如果有多个解释变量，我们将用适当的 下标，表示各个不同的X。
例如，X1，X2，X3等等。
概念:总体回归线
下面通过一个例子予以说明。
某城市A产品生产企业共有5 5个（总体）， 下表给出了这些企业产品价格（元）与A 产品月销量（万件）的有关数据。
例如，当X＝10.1时，有7个Y值与之对应 当X＝10.4时，相应地有6个Y值，等等。
对每个X，计算出一个Y的均值。将这些 均值点连起来，构成一条直线。 我们称该直线为总体回归直线 (Population Regression Line，PRL)。
（销量）
（各平均值连成的直线）
（售价）
概念要点：总体回归线
总体回归线： Y =β0+β1X 它描述的是X与Y的均值之间的关系。
概念：随机误差
每个个体的Y值与总体回归线之间的距离 （可正可负）
（销量）
每个点都有一个随机误差，以该点为例。
ε
i
（售价）
概念：回归模型（一元线性回归）
总体 Y的截距 总体 斜率 随机 误差
i
Yi 0 1Xi ε
因变量 Dependent Variable
自变量 Independent Variables
概念：回归模型（多元线性回归）
总体 Y的截距 总体 斜率 随机 误差
Y 0 1X1 2 X2 P X P
因变量 Dependent Variable 自变量 Independent Variables
回归分析(完整版)
在各因素与指标(因变量)之间的信息“一无所 知”的情况下，假设模型Y = f (x1,x2,x3)+ε中的函数f 是多项式形式，即
y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + (linear terms) b 12 x 1 x 2 + b 13 x 1 x 3 + b 23 x 2 x 3 + (interaction terms) b 11 x 1 2 + b 22 x 2 2 + b 33 x 3 2 + (quadratic terms)
x1=17:2:29;x=[x1,x1];
y=[20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3]; [p,S]=polyfit(x,y,2);p
注意： x，y向量的维数要一致。S是一个数据结构， 用于其它函数的计算。
2，Fx1 1 统计量和与 yχ 1 对应的概率p。 相关系数 R 回归系数 a ， b 以及它们的置信区间 0 残差向量e=Y-Y及它们的置信区间
X , 1 x n
Y yn
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rin25
20
15 15
20
25
30
一元非线性回归分析 用polytool(x,y,2)还可以得到一个交互式画面。
Y a1 x a2 x a3 ; 2 ~ N ( 0 , )
2
Export Parameters Parameters CI Prediction Prediction CI Residuals All
回归分析(1)
相关关系
非线性相关 相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因 变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系. 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报 一名身高为172cm的女大学生的体重.
ˆ y 故所求回归方程为： 0 .8 4 9 x 8 5 .7 1 2
r=0.798 表明体重与身高有很强的线性相关性，从 而说明我们建立的回归模型是有意义的.
ˆ y 0 .8 4 9 1 7 2 8 5 .7 1 2 6 0 .3 1 6( k g )
利用残差计算公式：
认为她的平均体重的估计值是60.316kg.
因为所有的样本点不共线，所以线性函数模型只能近 似地刻画身高和体重之间的关系，即：体重不仅受身 高的影响，还受其他因素的影响，把这种影响的结果 用e来表示，从而把线性函数模型修改为线性回归模 型：y=bx+a+e.其中，e包含体重不能由身高的线性 函数解释的所有部分.
如何刻画模型拟合的精度？
相关指数：R 2
1
i1
n
ˆ 2 ( yi yi ) ( yi y )
2
i1
n
在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关 系数r的平方. R2取值越大，则残差平方和越小，即模型的拟合效果 越好. R2=0.64，表明：“女大学生的身高解释了64％的体 重变化”，或者说“女大学生的体重差异有64％是 由身高引起的”.
（3）观测误差.由于测量工具等原因，得到的y的观 测值一般是有误差的，这样的误差也包含在e中. 以上三项误差越小，则回归模型的拟合效果越好.
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面第一篇：回归分析方法总结全面一、什么是回归分析回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。
回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。
利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。
二、回归分析的种类1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。
若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。
三、回归分析的主要内容1.建立相关关系的数学表达式。
依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
2.依据回归方程进行回归预测。
由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。
因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。
3.计算估计标准误差。
通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。
四、一元线性回归分析1.一元线性回归分析的特点1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。
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x2,x3 x4 24.64
x1,x2 x3,, x4 25.39
引例2求解
√
y 186.11 3.09x 2 19.5176x3 stats1 : stats2 : stats3 : 0.9025 0.9028 0.9029 78.6381 49.5443 49.61
最佳回归方程
一元与多元
线性与非线性
任务：
估计回归模型中的未知参数； 检验模型假设的正确性； 分析影响试验指标y的因素，挑选重要因素； 应用——预测与控制；
返 回
知识简介
多元线性回归模型与任务
Y 0 1 x1 m xm 2 ~ N ( 0 , )
多元线性回归模型
任务：
• • • •
在回归模型中如何估计参数βi (i=0,1,…,m)和σ2？
模型的假设(线性)是否正确？
判断每个自变量xi (i=1,…,m)对Y的影响是否显著？ 利用回归方程对试验指标 Y进行预测或控制？
多元线性回归分析
矩阵表达形式
ˆ ( X T X ) 1 X T Y β 1 x11 x1m X , 1 xn1 xnm
假设：1. 线性函数 ax+b 2. 正态性
． · ． ． ． · · ． ． · · ． E(Y|x0) · E(Y|x1)
0 x0 x1 x
引例：某建筑材料公司的销售量因素分析
某建材公司对某年20个地区的建材销售量
Y(千方)、推销开支、实际帐目数、同类商品竞
争数和地区销售潜力分别进行了统计。试分析
Ti
cii
Se2 n m 1 0 {| Ti | t (n k )}
1 2
任务四：应用
预测、控制……
返 回
MATLAB软件实现
使用命令regress实现一(多)元线性回归模型的计算
b = regress (Y, X) 或
默认值是
0.05
[b, bint, r, rint, stats] = regress(Y, X, alpha)
0 0 0
y 189.72 0.7048x1 3.1066x 2 19.584x3 y 187.882 3.149x 2 19.605x3 0.4173x 4
思考：如何进行预测？
restool(X,y,’model’)
Z
MATLAB 软件能否实现非线性回归分析？
一元非线性回归分析
引例2求解 输入：(jzhui.m)
x1=[5.5 2.5 8 3 ……8 6 4 7.5 7]’;(20维） x2=[31 55 67 …… 55 70 40 50 62 59]'; x3=[10 8 12 …… 11 11 9 9]'; x4=[8 6 9 16 …… 8 13 11]';
y=[79.3 200.1 …… 135.8 223.3 195]';
500 1000
1500
2000
2500
3000
3500
钢材消费量y与国民收入x的散点图
引例1：钢材消费量与国民收入的关系
回归分析是研究变量间相关关系的一种统计方法。 特点：试验指标（因变量）是随机变量。 Y a bx ; 一元线性回归模型： E (Y | X x) a bx 2 ~ N (0, ) y
一元非线性回归分析
计算y的拟合值： 输入：[Y,delta]=polyconf(p,x,S);Y
结果： Y= 22.5243 28.3186 27.0450 22.5243 26.0582 27.0450 24.1689
35
26.0582 24.1689 27.9896 19.6904
27.9896 19.6904 28.3186
推销开支、实际帐目数、同类商品竞争数和地
区销售潜力对建材销售量的影响作用。试建立
x4
x1
x2
x3
回归模型，且分析哪些是主要的影响因素。
统计数据
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X= 1 1 1 1 . . . 1 1 1 1 1
x1
拟合效果图：
30
25
20
15 15
20
25
30
一元非线性回归分析 用polytool(x,y,2)还可以得到一个交互式画面。
Y a1 x a2 x a3 ; 2 ~ N ( 0 , )
2
Export Parameters Parameters CI Prediction Prediction CI Residuals All
Q
e
i 1 2 i
2 ˆ ( y y ) i i i 1
多元线性回归分析
任务二：模型检验
提出问题
H 0 : 0 1 m 0
2 2 ST Se2 SR
1）F-统计检验法
2 SR /m F 2 ~ F (m, n m 1) Se /(n m 1)
引例：某建筑材料公司的销售量因素分析
Z
① 数据能否可视 化？即通过散点图去 发现y与x1,x2…x4的函 数关系？ ② 由一元回归模 型得到启示，我们是 否欲寻找关系： y = E(Y|x1,x2,x3,x4) 即 y = f(x1,x2,x3,x4) ？
一般的回归模型与任务
Y f ( x) ; 2 ~ N ( 0 , ) Y f ( x1 , x2 ,, xm ) ; 2 ~ N ( 0 , )
6
x 10
10Βιβλιοθήκη 5432
1
0
0
100
200
300
400
500
主要内容
两个引例 线性回归模型
MATLAB软件实现
400 300 200 100 0
1997199819992000
非线性回归模型及软件实现
实 验内容
引例1：钢材消费量与国民收入的关系
为了研究钢材消费量与国民收入之间的关 系，在统计年鉴上查得一组历史数据。
X=[ones(size(x1)),x1,x2,x3,x4]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)
引例2求解
输出结果： b = 191.9158 -0.7719 β0 β1 β2 3.1725 -19.6811 -0.4501 β3 β4 3.3938]
bint = 103.1071 280.7245……（系数的置信区间） r =[ -6.3045 -4.2215 ……8.4422 23.4625 rint=（略） stats = 0.9034（R2） 35.0509（F） Q = r’*r σ2= Q/(n-2) = 537.2092 （近似） 0.0000（p）
2，Fx1 1 统计量和与 yχ 1 对应的概率p。 相关系数 R 回归系数 a ， b 以及它们的置信区间 0 残差向量e=Y-Y及它们的置信区间
X , 1 x n
Y yn
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
年 份
消费(吨) 收入(亿) 1964 698 1097 1965 872 1284 1966 988 1502 …… …… …… 1978 1446 2948 1979 2736 3155 1980 2825 3372
试分析预测若1981年到1985年我国国民收 入以4.5%的速度递增，钢材消费量将达到什么 样的水平？
x4
8 6 9 16 15 17 8 10 4 16 7 12 6 4 4 14 6 8 13 11
y
79.3 200.1 163.2 200.1 146.0 177.7 30.9 291.9 160.0 339.4 159.6 86.3 237.5 107.2 155.0 201.4 100.2 135.8 223.3 195.0
x1=17:2:29;x=[x1,x1];
y=[20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3]; [p,S]=polyfit(x,y,2);p
注意： x，y向量的维数要一致。S是一个数据结构， 用于其它函数的计算。
一元非线性回归分析
32 30 28 26 24 22 20 18 15 20 25 30
一元非线性回归分析
Y a1 x 2 a2 x a3 ; 假设模型 2 ~ N ( 0 , ) 一元多项式回归在matlab 软件中用命令polyfit实
现。如前面的例子，具体计算如下： 输入： (phg1.m)
一元非线性回归分析
在工作空间中，输入yhat，回车，得到预测值。
返 回
多元非线性回归分析
例2：某物质的化学反应问题
<问题背景> 为了研究三种化学元素：氢、n戊烷和 异构戊烷与生成物的反应速度 Y(%)之间的关 系，经试验测定得到某些数据。试建立非线 性回归模型，并进行统计分析。
例2：某物质的化学反应问题
0 {F F1 (m, n m 1)}
2）相关系数 R检验法 2 SR 2 R 2 , 0 {| R | r1 (n k )}
ST
多元线性回归分析
任务三：因素分析
提出问题
检验方法
H 0 : i 0, ˆ
i
H1 : i 0
~ t (n m 1),
Z
年龄 17
如果从数据的散点图上发现y与x没有直线 关系，又如何计算？