直线与平面的夹角 ppt课件
合集下载
2.5.1 直线间的夹角、平面间的夹角 课件(北师大选修2-1)
解：法一：以A点为坐标原点，建立直角坐标 系如右图所示，设B(1,0,0)，则C(1,1,0)， A1(0,0,1)，∴ AC ＝(1,1,0)， BA1 ＝(－1,0,1)， BA AC · 1 ∴cos〈 AC ， BA1 〉＝ | AC |· 1 | | BA 1，1，0· －1，0，1 1 ＝ ＝－ . 2 2× 2
2 3 1 ∴P0，0， ，E0， a， a 3 2
3 a . 2 1 3 2 3 (1)证明： BE ＝－a， a， a， PD ＝0，2a，－ a， 2 2 3 ∴ BE · ＝0＋a2－a2＝0. PD ∴ BE ⊥ PD ，∴BE⊥PD. 1 3 (2) AE ＝0， a， a， CD ＝(－a，a,0)． 2 2 1 2 a 2 2 AE · CD ＝ 则cos〈 AE ， CD 〉＝ ＝ ， 2a· 4 a | AE || CD | 2 即AE与CD的夹角的余弦值为 4
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴ BA · ＝0， BB1 · ＝0， BB1 · ＝0， AB BC BC ∴ BA1 · ＝－a2. AC
又∵ BA1 · ＝| BA1 |·AC |· | cos〈 BA1 ， AC 〉， AC －a2 1 ∴cos〈 BA1 ， AC 〉＝ ＝－ . 2 2a· 2a ∴〈 BA1 ， AC 〉＝120° .
(4分)
x，y，z· 0，0，1＝0， ∴ x，y，z· 2，1，0＝0. y＝－ ∴ z＝0.
2x，
(6 分) ，0)，
2 3 1 ∴P0，0， ，E0， a， a 3 2
3 a . 2 1 3 2 3 (1)证明： BE ＝－a， a， a， PD ＝0，2a，－ a， 2 2 3 ∴ BE · ＝0＋a2－a2＝0. PD ∴ BE ⊥ PD ，∴BE⊥PD. 1 3 (2) AE ＝0， a， a， CD ＝(－a，a,0)． 2 2 1 2 a 2 2 AE · CD ＝ 则cos〈 AE ， CD 〉＝ ＝ ， 2a· 4 a | AE || CD | 2 即AE与CD的夹角的余弦值为 4
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴ BA · ＝0， BB1 · ＝0， BB1 · ＝0， AB BC BC ∴ BA1 · ＝－a2. AC
又∵ BA1 · ＝| BA1 |·AC |· | cos〈 BA1 ， AC 〉， AC －a2 1 ∴cos〈 BA1 ， AC 〉＝ ＝－ . 2 2a· 2a ∴〈 BA1 ， AC 〉＝120° .
(4分)
x，y，z· 0，0，1＝0， ∴ x，y，z· 2，1，0＝0. y＝－ ∴ z＝0.
2x，
(6 分) ，0)，
课件2：3.2.3直线与平面的夹角
知 AC 为平面 BB1D1D 的一个法向量， 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ.
则 sin θ＝| AP·AC |＝ | AP|| AC |
2· 22＋m2＝
2 2＋m2.
cos θ＝ 1－sin2θ＝ 2＋m m2，
依题意 m2＝3 2，
解得 m＝13，
故当 m＝13时，直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为
[一点通] 求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位 置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例 中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从 而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式 cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法．
3．PA、PB、PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为
2＝ 6
36.
∴cos θ＝
1－sin2θ＝
1－69＝
3 3.
即 AD 与平面 BMD1N 所成角的余弦值为 33.
6.如图，在棱长为1的正方体ABCD— A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点， CP＝m，试确定m，使直线AP与平面 BDD1B1所成角的正切值为3 2.
解：建立如图所示的空间直角坐标系． 则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1， m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)， D1(0，0，1)， 所以 BD＝(－1，－1，0)，BB1 ＝(0，0， 1)， AP＝(－1，1，m)， AC ＝(－1，1，0)， 又由 AC ·BD＝0， AC ·BB1 ＝0，
设向量 AB 在平面α内的射影为 AB ，且直线AB与平 面α的夹角为θ，则〈 AB ， AB 〉＝θ，| AB | ＝ | AB|cos θ ．
《两平面的夹角》课件
《两平面的夹角》PPT课 件
欢迎来到《两平面的夹角》的PPT课件。本课程将带您深入了解夹角的概念、 定义、测量方法以及它们在现实生活中的应用。让我们开始吧！
什么是夹角
夹角是指由两条直线在同一平面内相交而形成的角度。
夹角的定义
夹角的定义是两条相交直线边上的两个邻补角之一。
如何测量夹角
可以使用量角器或者正弦、余弦、正切等三角函数来测量夹角。
位和距离。
3
电路设计
夹角的概念在电路设计中常用于确定电 路中元件的安装角度。
总结
• 夹角是由两条直线在同一平面内相交而形成的角度。 • 夹角可以通过量角器或者三角函数来测量。 • 夹角的种类包括锐角、直角、钝角和平角。 • 夹角具有一些特殊的性质和应用。
夹角的种类
根据夹角的大小和性质，夹角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
夹角的性质
1 对角相等
夹角的对角是相等的。
3 互补角
夹角的互补角之和为90度。
2 邻补角
夹角的邻补角之和为180度。夹的应用1建筑设计
夹角的概念在建筑设计中常用于确定墙
地理测量
2
壁、屋顶等部分的角度。
地球上两点之间的夹角可以用来计算方
欢迎来到《两平面的夹角》的PPT课件。本课程将带您深入了解夹角的概念、 定义、测量方法以及它们在现实生活中的应用。让我们开始吧！
什么是夹角
夹角是指由两条直线在同一平面内相交而形成的角度。
夹角的定义
夹角的定义是两条相交直线边上的两个邻补角之一。
如何测量夹角
可以使用量角器或者正弦、余弦、正切等三角函数来测量夹角。
位和距离。
3
电路设计
夹角的概念在电路设计中常用于确定电 路中元件的安装角度。
总结
• 夹角是由两条直线在同一平面内相交而形成的角度。 • 夹角可以通过量角器或者三角函数来测量。 • 夹角的种类包括锐角、直角、钝角和平角。 • 夹角具有一些特殊的性质和应用。
夹角的种类
根据夹角的大小和性质，夹角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
夹角的性质
1 对角相等
夹角的对角是相等的。
3 互补角
夹角的互补角之和为90度。
2 邻补角
夹角的邻补角之和为180度。夹的应用1建筑设计
夹角的概念在建筑设计中常用于确定墙
地理测量
2
壁、屋顶等部分的角度。
地球上两点之间的夹角可以用来计算方
人教B版选修2-1高中数学第三章3.2.3直线与平面的夹角教学课件
cosθ A1B1 AB
B A
α
A1
B1
新课导入
下面的直线与平面有什么关系？
那下面的直线与平面的关系又是什么呢？
下面的直线与平面的关 系还可以像以上那样描 述它们的关系吗？
水
桌面
面
3.2.3 直线与平面的夹角
教学目标
知识与能力
知道斜线与平面的夹角含义， 体会夹角定义的唯一性与合理性。
过程与方法
理解并会推导cosθ= cosθ1
cosθ2的证明过程。
情感态度与价值观
培养同学们视察生活并从中提出 问题的能力以及利用数学解决实际问 题的能力。
教学重难点
重点
直线与平面的夹角的定义理解
难点
公式推导过程的应用
研讨
A 看下图：
α
O θ1 m θ2
θ B
M
已知OA是平面α的斜线段，
O是斜足，线段AB垂直于α，B
为垂足，则线段OB是斜线OA
在平面α内的正射影。
所以 OOOAAA***mmmOOOBBB***mmmBBBAAA***mmm
A
因此 OOAA**mmOOBB**mm
即
α
O θ1 m θ2
θ B
M
OA cosθ OB cosθ2
OB cosθ OA cosθ2
A
又
OB cosθ1 α
O θ1 m θ2
θ B
M
OA
所以 cosθ= cosθ1*cosθ2
上,因此是L与P1的交点.
M• P1
L
•
• M1
P
解 过M作平行于 平面 P 的一个点P1
P1: 6( x 1) 2( y 2) 3(z 3) 0
直线与平面的夹角+课件-高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册课
则有 A1C1⊥B1D1，连接 BE.
∵DD1⊥平面 A1B1C1D1，A1C1⊂平面 A1B1C1D1，
∴DD1⊥A1C1，∴DD1⊥A1E.
又∵A1E⊥B1D1，∴A1E⊥平面 BB1D1D.
∴∠A1BE 是 A1B 与平面 BB1D1D 所成的角．
在 Rt△A1BE 中，A1E＝12
A1C1＝12
设正方体的棱长为
1，则
OB1＝
2 2
，CB1＝
2
，
2
sin
∠B1CO＝
2 2
＝12
，可得∠B1CO＝30°.
即 CB1 与平面 AA1C1C 所成角的大小为 30°.
答案：30°
3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D的夹角为________．
解析：如图所示，连接 A1C1 交 B1D1 于 E，
答案：7153
4．在正三棱锥P-ABC中，PA＝4，AB＝ 3 ，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值 为________．
解析：如图，在正三棱锥P-ABC中，PA＝4，AB＝ 3 ， 设P在底面上的射影为O，则O为△ABC的中心， 由已知求得AO＝1，又PA＝4， ∴PO＝ 42－12 ＝ 15 .
1．2.3 直线与平面的夹角
葫芦岛第一高级中学 数学组
本节课的学习目标要时刻牢记哦！！
1.了解直线与平面的夹角的三种情 况，理解斜线和平面所成角的概念 .⒉能用向量语言表述直线与平面 的夹角.3.能用向量法求线面角.
让我们一起开启知识的大门吧！
1．直线和平面所成的角
2．最小角定理
3．用空间向量求直线与平面的夹角
设平面PAC的一个法向量为n ，可求得n ＝(0，1，1)，
2-5-3直线与平面的夹角课件(北师大版选修2-1)
又 MH∩CM＝M，则 ED⊥平面 CMF，因此 ED⊥MF. 设 EA＝a，BD＝BC＝AC＝2a， 在直角梯形 ABDE 中， AB＝2 2a，M 是 AB 的中点， 所以 DE＝3a，EM＝ 3a， MD＝ 6a，得△EMD 是直角三角形，其中∠EMD＝90°， EM·MD 所以 MF＝ ＝ 2a. DE MF 在 Rt△CMF 中，tan∠FCM＝MC＝1，所以∠FCM＝45°，故 CM 与平面 CDE 所成的夹角是 45°.
5.3 直线与平面的夹角
【课标要求】 1．理解直线与平面的夹角的概念． 2．会利用向量的方法求直线与平面的夹角． 【核心扫描】 1．掌握直线与平面的夹角的求解方法．(重点) 2．真正理解立体几何中直线与平面的夹角的概念．(难点) 3．线面角中的数形结合思想．(方法)
自学导引 直线与平面的夹角 (1)平面外一条直线与它在该平面内的 投影 的夹角叫作该直线 与此平面的夹角． (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直 线与平面的夹角为 0 ． (3)如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的 π 夹角是 ． 2
→ 1 1 → 2 AE＝ ，－1，0，EF＝0，2，2.(8 分) 2
设平面 AEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 1 1 → 则 n· ＝0⇒ y＋ z＝0， EF 2 2
2 → n· ＝0⇒ x－y＝0，令 x＝ 2，则 y＝1，z＝－1， AE 2 ∴平面 AEF 的一个法向量 n＝( 2，1，－1)．(10 分) 3 → 设 AC 与平面 AEF 的夹角为 α，sin α ＝|cos〈AC，n〉|＝ 6 ， 3 所以 AC 与平面 AEF 的夹角正弦值为 .(12 分) 6 【题后反思】 本题有两问是一个综合题， 题目以四棱锥为背景 构造垂直的证明和线面角的求解，求解过程充分体现了向量的 工具性作用．
《直线与平面的夹角》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】
知识梳理
题型一 用定义求线面角
【例1】在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角 的正弦值． [思路探索] 可作出线面角，在三角形中解出．
解 如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD， EG⊥平面BCD，O、G为垂足． ∴AO＝2GE，AO、GE确定平面AOD，连结 GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．
知识梳理
【例 3】(12 分)如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱 长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成角的正弦值．
审题指导 建立坐标系，用 sin θ＝|cosφ|＝求线面角．
知识梳理
【题后反思】 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意 计算上不要失误． (2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接 确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的 坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量．
知识梳理
公式cos θ＝cos θ 1 ·cos θ 2的理解 由0≤cos θ 2 ≤1，∴cos θ≤cos θ 1 ，从而θ1≤θ.在公式中，令θ 2 ＝90°，则cos θ＝cos θ 1 ·cos 90°＝0. ∴θ＝90°，即当AC⊥BC时，AC⊥AO. 此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆 定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．
知识梳理
∵M 为 DC 的中点，∴CM＝12a
∴BM＝
a42＋a2＝
5 2a
又 ME＝12PD＝12a，∴BE＝ 54a2＋14a2＝ 26a
知识梳理
∴在 Rt△BME 中
cos∠MBE＝BBME ＝
直线与平面的夹角ppt课件
| CD n |
| a |
1
，又
| CD || n |
2a 2 2 2
)
ABC
6.（多选）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1 D1 ，CC1 的中点，则(
A.直线 BE 与 B1 F 所成角为 90
B.直线 B1C 与 C1 D 所成角为 60
即
′
′
′
′
′
与平面
′
′
′
=2
′
，
中，sin ∠
′
′
=
是一个锐角，所以 ∠
′
′
1
2
′
′
所成角的大小为
=
，
π
6
π
6
，
.
1.在空间直角坐标系中，直线 l 的一个方向向量为 m (1, 0,3) ，平面 的一个
A)
法向量为 n (1, 5, 2) ，则直线 l 与平面 所成的角为(
A.
π
2
2
2ay 0,
n CA 0 ， n AP 0 ， a
可取 n (1, 0,1) .设直线 CD 与平面
a
2 x ay 2 z 0,
PAC 的夹角为 ，则 sin | cosCD, n |
0 90 ， 30 .故选 C.
.
设平面
则
′
⋅
′
⋅
′
′
=
′
的一个法向量为
− = 0,
=−
′
′
= 1，可得
=
(0,1,1)
.
= 0,
用空间向量研究夹角问题(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
例8如图示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 ，AC=CB=2,AA₁=3,∠ACB=90°,P 为BC的中点，点Q,R分别在棱AA₁
,BB₁ 上，A₁Q=2AQ,BR=2RB₁ . 求平面PQR与平面A₁B₁C₁ 夹角的余弦值。
∴平面PQR的一个法向量为n=(3,4,2). 又平面A₁B₁C₁的一个法向量为m=(0,0,1).
∴平面AA₁B与平面A₁BC,夹角的余弦值为
设平面AA₁B与平面A₁BC₁的夹角为θ,则
(P38练习4).如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120°. 求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
设二面角α-l-β的平面角为θ0,则有θ₀=0或θ₀=π-θ.
夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ,则
解：如图示，以C₁ 为原点建立空间直角坐标系，则有P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).∴PQ=(2,-1,-1),PR=(-2,2,-1).设平面PQR的一个法向量为n=(x,y,z), 则,取x=3,则y=4,z=2.
例7如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形 )ABCD中 ，M,N 分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN
夹角的余弦值.解：设CA=a,CB=b,CD=c,则有
2.线面角(直线与平面所成的角)类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB 与平 面α相交于点B, 设 直 线AB与平面α所成的角为θ,直线 AB 的方向向量ū,平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分 别是n₁和n₂, 则平面α与平面β的夹角即为向量n₁和 n₂的
,BB₁ 上，A₁Q=2AQ,BR=2RB₁ . 求平面PQR与平面A₁B₁C₁ 夹角的余弦值。
∴平面PQR的一个法向量为n=(3,4,2). 又平面A₁B₁C₁的一个法向量为m=(0,0,1).
∴平面AA₁B与平面A₁BC,夹角的余弦值为
设平面AA₁B与平面A₁BC₁的夹角为θ,则
(P38练习4).如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120°. 求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
设二面角α-l-β的平面角为θ0,则有θ₀=0或θ₀=π-θ.
夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ,则
解：如图示，以C₁ 为原点建立空间直角坐标系，则有P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).∴PQ=(2,-1,-1),PR=(-2,2,-1).设平面PQR的一个法向量为n=(x,y,z), 则,取x=3,则y=4,z=2.
例7如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形 )ABCD中 ，M,N 分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN
夹角的余弦值.解：设CA=a,CB=b,CD=c,则有
2.线面角(直线与平面所成的角)类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB 与平 面α相交于点B, 设 直 线AB与平面α所成的角为θ,直线 AB 的方向向量ū,平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分 别是n₁和n₂, 则平面α与平面β的夹角即为向量n₁和 n₂的
直线与平面所成的角-教学课件
直线与平面所成的角-教学课件
目录
直线与平面所成的角的基本概念 直线与平面所成的角的计算方法 直线与平面所成的角的实际应用 常见问题解答
01
CHAPTER
直线与平面所成的角的基本概念
直线与平面没有交点，即直线完全位于平面之外。
直线与平面平行
直线与平面有一个交点，即直线的一部分位于平面之内。
直线与平面相交
建筑学中的应用
机械设计
在机械设计中，直线与平面所成的角对于确定机器的运转效率和精度至关重要。例如，在确定机器的旋转轴、导轨和传动装置的角度时，需要考虑这些角度。
制造工艺
在制造工艺中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定零件的加工精度和装配质量。例如，在加工和装配机械零件时，需要考虑这些角度。
机械工程中的应用
利用几何性质计算直线与平面所成的角
03
CHAPTER
直线与平面所成的角的实际应用
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面所成的角对于确定建筑物的外观、结构和稳定性至关重要。例如，在确定建筑物的倾斜角度、屋顶的排水方向和建筑物的日照效果时，需要考虑这些角度。
结构分析
在建筑结构分析中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定结构的稳定性。例如，在分析建筑物在不同方向上的受力情况时，需要考虑这些角度。
在电路设计中，直线与平面所成的角对于确定电子元件的连接方式和信号传输质量至关重要。例如，在确定电路板上的线路角度和元件布局时，需要考虑这些角度。
电路设计
在通信工程中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定信号的传输方向和覆盖范围。例如，在确定天线的设计和安装角度时，需要考虑这些角度。
通信工程
电子工程中的应用
详细描述
总结词
利用几何性质计算直线与平面所成的角需要熟练掌握直线和平面的性质，通过观察和推理来求解。
目录
直线与平面所成的角的基本概念 直线与平面所成的角的计算方法 直线与平面所成的角的实际应用 常见问题解答
01
CHAPTER
直线与平面所成的角的基本概念
直线与平面没有交点，即直线完全位于平面之外。
直线与平面平行
直线与平面有一个交点，即直线的一部分位于平面之内。
直线与平面相交
建筑学中的应用
机械设计
在机械设计中，直线与平面所成的角对于确定机器的运转效率和精度至关重要。例如，在确定机器的旋转轴、导轨和传动装置的角度时，需要考虑这些角度。
制造工艺
在制造工艺中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定零件的加工精度和装配质量。例如，在加工和装配机械零件时，需要考虑这些角度。
机械工程中的应用
利用几何性质计算直线与平面所成的角
03
CHAPTER
直线与平面所成的角的实际应用
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面所成的角对于确定建筑物的外观、结构和稳定性至关重要。例如，在确定建筑物的倾斜角度、屋顶的排水方向和建筑物的日照效果时，需要考虑这些角度。
结构分析
在建筑结构分析中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定结构的稳定性。例如，在分析建筑物在不同方向上的受力情况时，需要考虑这些角度。
在电路设计中，直线与平面所成的角对于确定电子元件的连接方式和信号传输质量至关重要。例如，在确定电路板上的线路角度和元件布局时，需要考虑这些角度。
电路设计
在通信工程中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定信号的传输方向和覆盖范围。例如，在确定天线的设计和安装角度时，需要考虑这些角度。
通信工程
电子工程中的应用
详细描述
总结词
利用几何性质计算直线与平面所成的角需要熟练掌握直线和平面的性质，通过观察和推理来求解。
直线与平面的夹角 课件(58张)
2．斜线与平面所成角的性质 (1)“最小角”结论
(2)“三相等”结论 经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，_斜__线__段__长__、_射__影__长__及斜线与 平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等． (3)射影长计算公式 当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射影为A′B′ 时，有___A_′__B_′__＝__A_B_c_o_s_θ____．
设正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 4a，
则 EB＝a，BC1＝4 2 a.
a
2
所以 tan ∠EC1B＝4 2a ＝ 8 .
即直线 C1E 与平面 ADD1A1
2 所成角的正切值为 8 .
2．选 A.如图，侧棱 PA⊥底面 ABCD，PA⊂ 平面 PAD，则平面 PAD⊥平面 ABCD，
2．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，且 cos 〈m，n〉
＝
3 2
，则直线 l 与平面 α 所成的角为(
)
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解析】选 B.设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，
则 sin θ＝cos
〈m，n〉＝
3 2
，所以
θ＝60°.
)
(2)直线与平面所成的角 α 与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角 β 互
余．( )
(3)一条直线与平面 α 所成的角小于它和平面 α 内其他直线所成的角．( )
提示：(1)×.斜线与平面的夹角的取值范围是0，π2 . (2)×.直线的方向向量与平面的法向量的夹角可能是钝角． (3)×.当直线与平面垂直时不对．
【思考】 一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？ 提示：是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
角．
若已知θ1，θ2，θ中的两个值可以求另一个值．
第三章 空间向量与立体几何
ห้องสมุดไป่ตู้
3．有时 B 在平面 α 内的射影 O 的位置不好确定，也
可用向量法求，如图所示，可求平面 α 的法向量 n，则 n
与A→B所夹的锐角 θ1 的余角 θ 就是 AB 与平面 α 所成的角．
人
4．求法步骤：
教 B
版
数
(1)求平面法向量 n；
教 B 版
数
学
AFEG 的夹角．
[分析] 解答本题首先建立空间直角坐标系，求出平 面AFEG的法向量和AH的方向向量，再求两向量夹角余弦 的绝对值即可．
学
(2)在平面 α 内任取一点 A，求，A→B；
(3)线面角 α，满足 sinα＝|nn|··A|→A→BB|.
第三章 空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
1．如图：
人 教 B 版 数 学
cosθ＝________. 2．最小角定理 斜线和________所成的角，是斜线和这个平面内所有 直线所成角中的最小角．
以相互转化．
第三章 空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
重点：直线和平面所成的角．
人
教
B
难点：求直线和平面所成的角．
版
数
学
第三章 空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
1．直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与
平面斜交时，直线和平面所成的角是指这条直线和它在平
a2＋a22＝
5 2 a.
版 数 学
∵EF＝12PD＝a2，
∴在
Rt△EFB
中，tan∠EBF＝
5 5.
第三章 空间向量与立体几何
[例 2] 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 4，
点 E、F、G、H 分别在棱 CC1、DD1、BB1、BC 上，且
人
CE＝12CC1，DF＝BG＝14DD1，BH＝12BC.求 AH 与平面
第三章 空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
1．知识与技能
掌握直线和平面所成的角．
能够求直线和平面所成的角．
2．过程与方法
人 教
B
通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能 版
数
力．
学
3．情感态度与价值观
培养学生辩证的看待事物，体会事物在一定条件下可
B
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
版 数
学
第三章 空间向量与立体几何
[解析] (1)证明：连结AC，AC交BD于O，连接EO.
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线，
人 教
B
∴PA∥EO.
版 数
学
而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.
所以，PA∥平面EDB.
第三章 空间向量与立体几何
3．直线与平面的夹角
(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的
夹角为________．
(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直
人 教
B
线与平面的夹角为________．
版 数
(3)斜线与它在平面内的________叫做斜线和平面所成 学
的角(或斜线和平面的夹角)．
∴DE⊥PA
DE⊂平面PAD
平面PAD⊥平面PAB
⇒DE⊥平面 PAB.
平面PAD∩平面PAB＝PA
人 教 B
版
数
设 PD＝a，则 BD＝ 2a，DE＝ 22a，
学
2 ∴sin∠DBE＝ 22aa＝12.
∴∠DBE＝30°，即 BD 与平面 PAB 所成的角为 30°.
第三章 空间向量与立体几何
成的角．
人
教
B
版
数
学
第三章 空间向量与立体几何
[解析]
∵PADB⊂⊥平平面面AABBCCDD⇒
PD⊥AB DA⊥AB
人 教
PD∩DA＝D
B 版 数
学
⇒AABB⊥ ⊂平 平面 面PPADBA⇒平面 PAD⊥平面 PAB.
取 PA 的中点为 E，连结 DE，BD，
∵PD＝DC＝DA，
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
[答案] 1.cosθ1·cosθ2
2．它在平面内的射影
人 教
B
3．(1)90° (2)0° (3)射影所成的角
版 数
学
第三章 空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
[例1] 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正
方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD与平面PAB所
一直线，设∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，则
cosθ＝cosθ1·cosθ2.
人 教
B
(1) 由 0<cosθ2<1 ， ∴ cosθ<cosθ1 ， 从 而 θ1<θ ， 这 就 是 最
版 数
小角定理．
学
第三章 空间向量与立体几何
(2)在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1·cos90°＝0， ∴θ＝90°，即当AC⊥AB时，AC⊥AO.此即三垂线定理；反
(2)作EF⊥DC交DC于F，连结BF.
设正方形ABCD的边长为a，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC.
第三章 空间向量与立体几何
∴EF∥PD，F为DC的中点．
∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，
故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中．
人 教
B
BF＝ BC2＋CF2＝
面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平 人
教
B
面所成的角为 90°；③直线和平面平行或直线在平面内时，
版 数
学
直线和平面所成的角为 0°.由此可知，直线和平面所成的
角的范围为[0，π2]．
第三章 空间向量与立体几何
2．公式cosθ＝cosθ1·cosθ2.如图所示，OA为平面α的斜 线，AB是OA的平面α内的射影，AC为平面α内过A 点的任
[说明] 定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜
线与其平面内射影的夹角．此种方法的关键在于确定斜线
在平面内的射影．
人 教 B 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
(1)证明：PA∥平面EDB；
人 教
之 ， 若 令 θ ＝ 90° ， 则 有 cosθ1·cosθ2 ＝ 0.∵θ1≠90° ， ∴ θ2 ＝
90°，即若AC⊥AO，则AC⊥AB，此即三垂线定理的逆定
人 教
B
理，由此可知三垂线定理及逆定理可以看成是此公式的特 版
数
例．
学
(3)公式也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与 射影，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线所成的