手拉手模型的巧妙应用
初中数学几何模型之手拉手模型
即∠DAC=∠EAB，
在△ACD与△ABE中
，
∴△ACD≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△ABE，
∴∠ADC=∠AEB，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=∠AED =45°，
∴∠AEB=∠ADE+∠CDE=45°+60°=105°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定进行解答．
一、模型类别
二、相关结论的运用
（一）有公共顶点的等边三角形
典例精讲：
[问题提出]
（1）如图①， 均为等边三角形，点 分别在边 上．将 绕点 沿顺时针方向旋转，连结 ．在图②中证明 ．
[学以致用]
（2）在（1）的条件下，当点 在同一条直线上时， 的大小为度．
[拓展延伸]
（3）在（1）的条件下，连结 ．若 直接写出 的面积 的取值范围．
（3）①
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAE=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠AOB=∠FOC，
∴∠BFC=∠BAC=90°，
∴S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE ；
数学模型-----手拉手
有些同学在学习数学时无从下手，找不到突破的方法，做不到举一反三，所以在数学的学习过程中，必须深入本质，做到知识、规律、法则掌握准确，及时反思．下面先给大家介绍一种常见的数学模型---手拉手模型，通过对模型的理解和掌握，把模型的结论融会贯通，理解透彻，那么这一类题型，都是可以迎刃而解的．
手拉手模型8个结论及证明
手拉手模型8个结论及证明1. 手拉手模型能够提高团队合作能力。
证明：研究表明，通过与他人紧密合作，人们能够更好地理解彼此的需求和目标，从而更好地协调行动，提高团队的整体绩效。
2. 手拉手模型可以促进信息共享和沟通。
证明：在手拉手模型中，成员之间可以更容易地交流和共享信息，避免信息孤岛的情况，从而提高团队的决策质量和效率。
3. 手拉手模型可以增强团队的凝聚力和归属感。
证明：通过手拉手模型，成员之间建立了紧密的联系和互相依赖的关系，从而增强了团队的凝聚力和归属感，提高了团队成员的参与度和投入度。
4. 手拉手模型有助于培养团队成员之间的信任和互相支持。
证明：在手拉手模型中，成员之间需要相互合作和支持，这促使他们建立起信任关系，相信彼此能够共同完成任务，从而提高团队的合作效果。
5. 手拉手模型能够加强团队成员的责任心和承诺感。
证明：在手拉手模型中，每个成员都承担着特定的角色和责任，这促使他们更加重视自己的任务和工作，增强了责任心和承诺感，从而提高了团队的整体表现。
6. 手拉手模型可以促进团队成员之间的学习和成长。
证明：在手拉手模型中，成员之间可以相互学习和分享经验，通过互相观察和模仿，不断提高自己的技能和知识水平，从而促进团队的学习和成长。
7. 手拉手模型能够帮助团队应对挑战和解决问题。
证明：在手拉手模型中，成员之间共同面对困难和挑战，通过相互支持和协作，能够更好地解决问题，提高团队的解决问题的能力和效果。
8. 手拉手模型能够增强团队的创新和创造力。
证明：通过手拉手模型，成员之间能够充分地交流和碰撞思想，从而激发团队的创新和创造力，带来新的想法和解决方案，提高团队的创新能力和竞争力。
手拉手模型解题技巧
手拉手模型解题技巧以下是 6 条关于“手拉手模型解题技巧”：1. 嘿，你知道吗，遇到手拉手模型的题不要慌！就像两个人手牵手一起解决问题一样。
比如说，像四边形 ABCD 和四边形 A'B'C'D'，它们的对应边相等，这不就是典型的手拉手嘛！我们可以从这个相等关系入手，找出解题的突破点呀，你说是不是很神奇？2. 哎呀呀，手拉手模型解题有妙招哦！想象一下，两个图形就像好朋友手挽手一样亲密。
就像有个题目里三角形 ABC 和三角形 A'B'C'手拉手，我们就能通过它们之间的特殊联系找到关键信息，然后顺利解答，这多有意思呀！3. 哇塞，手拉手模型解题技巧可太重要啦！好比两个小伙伴手拉手一起面对困难。
例如那个三角形 DEF 和三角形 D'E'F'，它们牵着手就给了我们线索呀，我们跟着线索就能轻松解题，难道你不想试试吗？4. 嘿哟，手拉手模型的解题秘密你得掌握呀！这就好像两只手握在一起给我们力量。
比如那个图形 PQR 和图形 P'Q'R'手拉手站在那儿，咱们就能从它们的关系里找到解决问题的钥匙，是不是超棒？5. 嘿朋友，手拉手模型解题可得学会哦！就像两个物体手牵手紧密相连。
像在那个图中，三角形 STU 和三角形 S'T'U'如此明显的手拉手，我们就能顺着这个思路一步步解开谜团，这感觉真好呀！6. 哈哈，手拉手模型解题技巧快来了解一下！这简直就是开启解题大门的神奇钥匙。
像有两个相似图形手拉手出现，我们就能巧妙利用它们之间的关联，迅速找到答案，真的超厉害，你还不赶紧来试试！总之，掌握手拉手模型解题技巧，能让我们在解题时如鱼得水，轻松应对各种难题呀！。
中考数学相似三角形中的重要模型手拉手模型
相似三角形中的重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。
而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。
手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，∠BAC=∠DAE=α，A DA E kA BA C==； 结论：△ADE ∽△ABC ，△ABD ∽△ACE ；E CkB D=.2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图，90A O BC OD ∠=∠=︒，O C O D kO AO B==（即△COD ∽△AOB ）；结论：△AOC ∽△BOD ；B DkA C=，AC ⊥BD ，12A B C DS A B C D=⨯.3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）条件:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点； 结论：△BME ∽△CMF ；B EC F条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形； 结论：△ABD ∽△ACE.例1．（2022·山西·寿阳县九年级期末）问题情境：如图1所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，在图1中将ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM =12BD ，EN =12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)猜想证明：若AB =AC ，请探究下列数量关系：①在图2中，BD 与CE 的数量关系是_________． ②在图3中，猜想∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)拓展应用：其他条件不变，若AB ，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN 与∠BAC的数量关系？AM 与AN 的数量关系？直接写出你的猜想．例2．（2022•新乡中考模拟）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD 与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．例3．（2022·山东·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度．例4．（2022·山东·东营市一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．例5．（2022•长垣市一模）在△AB＝AC，点D为AB边上一动点，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，连接BE，EC．（1）问题发现：如图①，若α＝60°，则∠EBA＝，AD与EB的数量关系是；（2）类比探究：如图②，当α＝90°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；（3）拓展应用：如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝，请直接写出线段EF的长度．例6.（2022·成都市·九年级课时练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E 、A 、D 在同一条直线上），发现B ED G=且B ED G⊥．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形A E F G 绕点A 按逆时针方向旋转（如图1），还能得到B E D G=吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形A E F G 和菱形A B C D ，将菱形A E F G 绕点A 按顺时针方向旋转（如图2），试问当E A G ∠与B A D ∠的大小满足怎样的关系时，B ED G=；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形A E F G 和矩形A B C D ，且23AE AB AGAD==，2A Ea=，2A Bb=（如图3），连接D E ，B G ．试求22D E B G+的值（用a ，b 表示）．课后专项训练1.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）A．5：3B．4：3C．√5：2D．2：√32.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②③④3、如图，正方形A B C D的边长为8，线段C E绕着点C逆时针方向旋转，且3C E=，连接B E，以B E为边作正方形B E F G，M为A B边的中点，当线段F M的长最小时，ta n E C B∠=______．4．（2022•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．5．（2023·浙江·九年级课时练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，求证：P A＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP D到CP的距离．6．（2022·重庆·九年级课时练习）观察猜想(1)如图1，在等边A B C中，点M 是边B C 上任意一点（不含端点B 、C ），连接A M ，以A M 为边作等边A M N，连接C N ，则A B C ∠与A C N ∠的数量关系是______． (2)类比探究：如图2，在等边A B C中，点M 是B C 延长线上任意一点（不含端点C ），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸:如图3，在等腰A B C中，B AB C=，点M 是边B C 上任意一点（不含端点B 、C ），连接A M ，以A M 为边作等腰A M N，使顶角A M NA B C∠=∠．连按C N ．试探究A B C ∠与A C N ∠的数量关系，并说明理由．7．（2022·江苏·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为斜边BC 上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是______，位置关系是______；【探究证明】如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一条直线上时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，说明理由；【拓展延伸】如图3，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝2CD ＝4，过点C 作CA ⊥BD 于A ．将△ACD 绕点A 顺时针旋转，点C 的对应点为点E ．设旋转角∠CAE 为α（0°＜α＜360°），当C ，D ，E 在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE 的长度．8．（2022·山东·九年级课时练习）如图，A B C和A D E是有公共顶点直角三角形，90B A C D A E ∠=∠=︒，点P 为射线B D ，C E 的交点．（1）如图1，若A B C和A D E是等腰直角三角形，求证：C PB D⊥；（2）如图2，若30A D EA B C ∠=∠=︒，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件下，4A B =，3A D =，若把A D E 绕点A 旋转，当90E A C ∠=︒时，请直接写出P B 的长度9．（2023·广东·深圳市九年级期中）（1）如图1，Rt △ABC 与Rt △ADE ，∠ADE ＝∠ABC ＝90°，12A BA DB CD E==，连接BD ，CE ．求证：5B DC E=．（2）如图2，四边形ABCD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且12A B A D=，连接BC ，BC 、AC 、CD 之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°，并放大2倍，点B 对应点D ．点C 落点为点E ，连接DE ，请你根据以上思路直接写出BC ，AC ，CD 之间的关系． （3）拓展：如图4，矩形ABCD ，E 为线段AD 上一点，以CE 为边，在其右侧作矩形CEFG ，且12A B C EB CE F==，AB＝5，连接BE，BF．求BE的最小值．510．（2023·绵阳市·九年级专题练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．观察猜想：的值为，直线CD与AP所成的较小角的度数为°；（1）如图1，当α＝60°时，C DA P的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出C DA P拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2BD的长．11．（2023·湖北·九年级专题练习）在A B C和A D E中，B A B C∠=∠=，点=，D A D E=，且A B C A D EαE在A B C的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且90∠+∠=︒．A C E AB Eα=︒时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的【观察猜想】（1）如图①，当60数量关系为__________．α=︒时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，【探究证明】（2）如图②，当90请说明理由；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若B C=B D E的面积．12．（2023··广西一模）如图，A C B△和D C E均为等腰直角三角形，,．现将D C E绕点C旋转．∠=∠=︒==A CB DC E A C B CD CE C90,（1）如图1，若,,A D E三点共线，A D=B到直线C E的距离；（2）如图2，连接,A EB D，点F为线段B D的中点，连接C F，求证：A E C F⊥；（3）如图3，若点G在线段A B上，且8,==，在A C G内部有一点O，请直接写出A C A G22O C A G++的最小值．13．（2022•南山区校级一模）（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG 的两边分别在正方形ABCD 的边AB 和AD 上，连接CF ．填空：①线段CF 与DG 的数量关系为 ；②直线CF 与DG 所夹锐角的度数为 ．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）【解决问题】如图③，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ＝10，O 为AC 的中点．若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 的运动过程中，线段OE 长的最小值为 （直接写出结果）．14、某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边A B C 中，点P 是边B C 上任意一点，连接A P ，以A P 为边作等边A P Q，连接CQ ，BP 与CQ 的数量关系是________； （2）变式探究：如图2，在等腰A B C中，A BB C=，点P 是边B C 上任意一点，以A P 为腰作等腰A P Q，使A PP Q=，A P QA B C∠=∠，连接C Q ，判断A B C ∠和A C Q ∠的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形A D B C 中，点P 是边B C 上一点，以A P 为边作正方形A P E F ，Q 是正方形A P E F 的中心，连接C Q ．若正方形A P E F 的边长为5，2C Q =A DBC 的边长．15、如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：△MFC ∽△MCA ；（2）求证△ACF ∽△ABE ； （3）若DM =1，CM =2，求正方形AEFG 的边长．16、已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出B F的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是A E否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时D F的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）D C。
八年级手拉手模型典型例题及解析
八年级手拉手模型典型例题及解析1. 概述手拉手模型作为数学中一个重要的解题方法，是指通过将一道难题分解成多个简单的小问题，再逐一解决，最终得出整体的解题过程。
在八年级的数学学习中，手拉手模型的应用尤为重要，下面我们将以典型例题为例，介绍手拉手模型的具体应用。
2. 例题一题目：有一根长为14厘米的铁丝，要用它围成一个面积最大的矩形，求这个最大的矩形的面积。
解析：步骤一：分析问题，设矩形的长为x厘米，宽为(14-2x)厘米。
步骤二：列出等式，设矩形的面积为S，即S=x*(14-2x)。
步骤三：求导并求零点，对S求x的导数得S'=-2x+14，令S'=0，解得x=7。
步骤四：验证解的有效性，计算得到S=7*14-2*7*7=98。
步骤五：得出结论，当x=7时，面积最大，为98平方厘米。
3. 例题二题目：水桶的容积是15升，一管子每秒钟往水桶注入2升的水，另一管子每秒钟注入3升的水，现在两管子一起注水，问多长时间后，两管子总共注满水桶？解析：步骤一：设t为注水时间（秒），则第一管子注水量为2t，第二管子注水量为3t，总注水量为2t+3t=15。
步骤二：列出方程，得到5t=15，解得t=3。
步骤三：得出结论，三秒后，两管子总共注满水桶。
4. 例题三题目：甲、乙两人合作种植一片甘蔗地，甲单独干活需要6天，乙单独干活需要8天，两人合作干活，两天完成了一项任务，求两人的合作效率。
解析：步骤一：设甲乙合作的效率为x，甲的效率为y，则乙的效率为(1-x)。
步骤二：根据效率的定义，列出方程，得到2*(x+y)=1，2*(x+1-x)=1，解得x=1/12，y=1/6。
步骤三：得出结论，甲乙合作的效率为1/12，甲的效率为1/6，乙的效率为1/4。
5. 结论通过以上典型例题的解析，我们了解了手拉手模型在解题过程中的应用方法。
在实际的数学学习和解题中，我们可以根据不同问题的特点，灵活运用手拉手模型，将复杂的问题分解成简单的小问题，逐一解决，最终得出整体的解题过程。
手拉手模型例题十个例题
手拉手模型例题十个例题以下是十个手拉手模型的例题：1. 甲、乙两个人合作完成一项任务，甲单独完成这项任务需要5天，乙单独完成需要7天。
如果他们同时开始合作完成这项任务，他们需要多少天完成？解答：根据手拉手模型，甲和乙同时开始，每天一起工作相当于两个人在同时进行，所以他们需要的天数为：1/5 + 1/7 = 12/35，即约为0.343 天，约合8 小时。
2. 甲、乙、丙三个人合作完成一项工作，甲单独完成这项工作需要10小时，乙单独完成需要15小时，丙单独完成需要20小时。
如果他们同时开始合作完成这项工作，他们需要多少小时完成？解答：根据手拉手模型，甲、乙、丙同时开始，每小时一起工作相当于三个人在同时进行，所以他们需要的时间为：1/10 + 1/15 + 1/20 = 17/60，即约为0.2833 小时，约合17 分钟。
3. 甲、乙两个管道一起向一个水池注水，甲管道每小时能够注入1000升水，乙管道每小时能够注入800升水。
如果他们同时开始注水，多长时间后两个管道一起注入了8000升水？解答：根据手拉手模型，甲和乙同时开始，每小时一起注水相当于两个管道在同时进行，所以他们需要的时间为：8000 / (1000 + 800) = 8000 / 1800 = 4.44 小时，约合4 小时27 分钟。
4. 甲、乙两个工人一起清理一个公园，甲单独完成这项工作需要6小时，乙单独完成需要8小时。
如果他们同时开始清理，多长时间后他们完成了1/3 的工作量？解答：根据手拉手模型，甲和乙同时开始，每小时一起清理相当于两个人在同时进行，所以他们需要的时间为：1 / (1/6 + 1/8) = 1 / (4/24 + 3/24) = 1 / (7/24) =24 / 7，即约为3.43 小时，约合3 小时26 分钟。
5. 甲、乙两个人一起做某个任务，甲单独完成这项任务需要12天，乙单独完成需要18天。
如果他们同时开始合作完成这项任务，他们需要多少天完成？解答：根据手拉手模型，甲和乙同时开始，每天一起工作相当于两个人在同时进行，所以他们需要的天数为：1/12 + 1/18 = 5/36，即约为0.139 天，约合3 小时20 分钟。
初中几何手拉手模型的解题方法
初中几何手拉手模型的解题方法1. 引言初中几何是数学学科中的一个重要分支，手拉手模型是解决几何问题的一种常用方法。
本文将介绍初中几何手拉手模型的基本原理和解题方法，并通过具体例题进行说明。
2. 手拉手模型的基本原理手拉手模型是一种通过绘制辅助线或辅助图形来解决几何问题的方法。
它可以帮助我们更好地理解问题，找到解题的关键点，并引导我们进行正确的推理和证明。
3. 手拉手模型的应用步骤使用手拉手模型解决几何问题一般需要经过以下步骤：步骤1：仔细阅读题目在开始解题之前，我们首先要仔细阅读题目，理解问题所给条件和要求，并明确需要求解的内容。
步骤2：观察并分析图形根据所给图形，我们可以观察其特点、性质和已知条件。
通过观察和分析，我们可以发现隐藏在图形中的关系和规律。
步骤3：确定辅助线或辅助图形根据观察和分析的结果，我们可以确定绘制哪些辅助线或辅助图形。
辅助线或辅助图形的选择应该能够帮助我们更好地理解问题，找到解题的关键点，并引导我们进行正确的推理和证明。
步骤4：应用几何定理和性质在确定了辅助线或辅助图形后，我们可以根据几何定理和性质进行推理和证明。
通过运用已知条件和所学的几何知识，我们可以逐步推导出所求的结论。
步骤5：总结并回答问题在完成推导和证明后，我们需要总结所得结果，并根据题目要求给出最终答案。
同时，还要对解题过程进行检查，确保每一步的推理都是正确的。
4. 手拉手模型解题示例示例题目如图所示，ABCD是一个平行四边形，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF。
连接EF且交AC于点G。
求证：AG=GC。
解题步骤步骤1：仔细阅读题目阅读题目并明确需要证明AG=GC。
步骤2：观察并分析图形观察图形，发现AE=CF，且平行四边形ABCD中的对角线互相平分。
这些是问题的关键点。
步骤3：确定辅助线或辅助图形为了解决问题，我们可以绘制辅助线EG和FG，将平行四边形ABCD分成三个小三角形。
步骤4：应用几何定理和性质根据平行四边形的性质可知，对角线互相平分。
初二数学手拉手模型(一)
初二数学手拉手模型（一）引言概述：初二数学手拉手模型是一种教学方法，旨在帮助学生更深入地理解和应用数学知识。
通过手拉手合作模式，学生可以互相学习、互相借鉴，共同提高数学学习的效果。
本文将介绍初二数学手拉手模型的基本原理和应用方法，并分别从创设情境、设计问题、组织合作、总结反思和评价几个大点，详细阐述每个大点下的细节。
正文内容：一、创设情境1. 选择适当的实际情境，激发学生的兴趣和动机。
2. 引导学生观察、思考和提出问题，培养他们的问题意识。
3. 确定学生需要解决的数学问题，并与实际情境相结合。
二、设计问题1. 设计能够引导学生思考和合作的问题。
2. 确定问题的难度和范围，确保学生能够通过合作解决问题。
3. 鼓励学生提出多种解决方法，并比较它们的优劣。
三、组织合作1. 将学生分为小组，并确保每个小组成员都能参与到合作中。
2. 引导学生学会倾听和表达自己的观点，培养良好的沟通能力。
3. 提供适当的教学资源和支持，帮助学生克服困难。
四、总结反思1. 引导学生归纳和总结问题的解决过程，发现其中的规律和方法。
2. 鼓励学生分享自己的思考和收获，促进彼此之间的学习交流。
3. 提供针对学生的个性化反馈，帮助他们更好地理解和应用数学知识。
五、评价1. 设计合适的评价标准，全面评价学生在手拉手模型中的表现。
2. 鼓励学生积极参与评价过程，反思自己的学习和合作经验。
3. 提供具体的建议和指导，帮助学生更好地改进自己的学习方式。
总结：初二数学手拉手模型以创设情境、设计问题、组织合作、总结反思和评价为主要内容，通过这种方式，学生可以在合作中相互学习、借鉴，共同提高数学学习的效果。
这种模型不仅可以增进学生的数学理解和应用能力，还能培养他们的问题意识、沟通能力和团队合作精神。
通过引导学生参与模型的各个环节，可以促进他们主动探索、思考和解决问题的能力，为进一步提高数学学习水平奠定良好的基础。
“手拉手”模型的结论及应用
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“手拉手”模型的结论及应用
作者：沈占立
来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2019年第02期
“我们手拉手，友谊传四方.”这是1988
年汉城奥运会主题曲《手拉手》里的歌词.在八年级几何里也有“手拉手”模型，与它相关的问题很多.构造此模型解决一些问题非常方便.现将其基本图形和结论归纳如下，
一两个共直角顶点的等腰直角三角形]
“手拉手”基本图形如下：
已知：△ABC，△DBE均是等腰直角三角形，BA =BC，BD=BE.∠ABC=∠DBE=90°.
结论：△ABD≌△CBE（边角边）.
例，如图4所示，在△ABD和△AEC中.∠BAD=∠CAE =90°.AB=AD，AC=AE.DC，BE 交千点M.
（1）求证：BE=DC;
（2）求证：DC⊥BE;
（3）求∠AMD的度数，
解析：本题蕴涵两个共直角顶点的等腰直角三角形.图中△ADC可以看成是△ABE绕着点A（旋转中心）顺时针旋转90°而得的.
（l）易证△ABE≌△ADC（边角边），故BE=DC.
（2）由（1）知△ABE≌△ADC，故∠AEB=∠ACD.在由A，M，C，E组成的“8字形”图中，∠CME=∠ CAE=90°，故DC⊥BE.
（3）如图5，过A点作AG⊥BE于G，AH⊥DC于H.由“手拉手”基本图形易得
△EAG≌△CAH（角角边），故AG=AH，MA平分∠DME，所以∠AMD= ∠AME=45°.。
手拉手数学模型例题
手拉手数学模型例题
手拉手是一种数学模型，通常用于描述人们之间的相互关系和影响。
让我们以一个简单的例题来说明手拉手数学模型的应用。
假设有一个小组，其中有5个人，每个人都可以和其他人进行握手。
我们想要知道在这个小组中，一共会发生多少次握手。
首先，我们可以从一个人开始。
这个人有4个其他人可以和他握手。
接下来，我们转到第二个人，他也有4个人可以和他握手，但是我们已经计算过和第一个人握手的情况了，所以实际上只有3个新的握手。
同样地，对于第三个人，他只有2个新的握手，对于第四个人，只有1个新的握手。
最后，第五个人已经和其他所有人握过手了，所以没有新的握手。
因此，总的握手次数为4 + 3 + 2 + 1 = 10次。
这个例子说明了手拉手数学模型的应用。
通过逐步分析每个人和其他人之间的关系，我们可以得出总的握手次数。
这种模型在描述人际关系、社交网络和传播模型中都有广泛的应用。
除了上述的例子，手拉手数学模型还可以应用于更复杂的情况，比如在社交网络中分析信息传播的路径、在团队合作中分析成员之
间的合作关系等等。
这种模型能够帮助我们更好地理解人际关系和
群体行为，对于社会科学研究和实际问题的解决都具有重要的意义。
总的来说，手拉手数学模型是一种描述人际关系和影响的模型，通过分析每个个体之间的关系，可以得出全局的结论。
它在社会科
学领域有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解人与人之间的互
动关系。
构建“手拉手”模型
构建“手拉手”模型在当今社会，合作与协作变得越来越重要。
无论是在学术界、商业界还是日常生活中，人们都需要建立密切的合作关系来共同完成任务。
为了更好地促进这种合作，一个重要的工具是“手拉手”模型。
本文将探讨手拉手模型的概念、重要性、构成要素、优势以及应用案例，并展望其未来发展。
手拉手模型是一种协作方式，它强调个体之间紧密的合作关系，每个人都为共同的目标而努力。
这种模型的重要性在于，它鼓励人们相互依赖、相互支持和共同努力，以实现共同的目标。
在当今高度互联的世界中，手拉手模型对于提高团队协作效率和工作质量至关重要。
手拉手模型的构成要素包括以下几个方面。
首先，共同的目标是团队合作的核心，所有成员都为这个目标而努力。
其次，相互信任是团队合作的基础，成员之间需要相互信任，才能有效地完成任务。
此外，有效的沟通是手拉手模型的关键，成员之间需要建立良好的沟通渠道，以确保信息的及时传递和问题的及时解决。
最后，灵活的适应性是手拉手模型的保障，面对变化的环境和需求，团队需要灵活地调整策略和行动方案。
手拉手模型具有以下优势。
首先，它有利于提高团队成员的凝聚力和向心力，每个人都为共同的目标而努力，加强了团队的稳定性。
其次，它能够充分发挥每个人的优势，从而实现资源的有效利用。
此外，手拉手模型还有利于知识的共享和传递，从而促进团队的学习和成长。
最后，它能够提高工作效率和质量，通过协同合作，团队可以更快地解决问题，并取得更好的成果。
下面我们来看一个实际的手拉手模型应用案例。
在一个由多个国家和地区组成的跨国公司中，由于不同国家和地区之间的文化和商业环境存在较大差异，因此该公司采用了手拉手模型来促进团队协作。
首先，公司为所有团队成员设定了共同的目标，即提高公司的全球市场份额和盈利能力。
接下来，公司通过培训和活动来增强团队成员之间的信任和凝聚力。
此外，公司还建立了多个沟通渠道，以便团队成员之间及时交流和解决问题最后，公司鼓励团队成员发挥灵活性和创造性思维小|从而根据不同国家和地区的实际情况来制定相应的商业策略。
手拉手模型经典例题
手拉手模型经典例题
手拉手模型是一种常见的电路模型,用于描述电路中的电压和电流之间的关系。
下面是手拉手模型的经典例题:
假设有一根长度为 10 米的导线,其中电流为 100 A,导线的电
阻为 0.1 欧姆。
现在将这根导线连接在两个电阻为 0.1 欧姆的电阻上,形成的电路就是手拉手模型。
在这种情况下,电路中的电压为 100 A × 0.1 欧姆 = 10 伏特。
同时,电路中的电流为 100 A × 0.1 欧姆 = 10 安培。
我们可以使用手拉手模型来模拟这个电路,例如计算电路中的电流和电压。
假设在第一个电阻上的电压为 5 伏特,那么在第二个电阻上的电压就是 5 伏特 - 10 伏特 = 4 伏特。
同时,在第一个电阻上的电流为 10 安培,在第二个电阻上的电流就是 10 安培 - 5 安培
= 5 安培。
通过使用手拉手模型,我们可以轻松地模拟电路中的电压和电流之间的关系,并计算电路中的电流和电压。
“手拉手”模型的探索及应用
“手拉手”模型的探索及应用沈建新（新市镇初级中学浙江湖州313201）摘要：初中几何中有许多基本图形，这些基本图形与其它知识点组合在一起，共同演绎着变化无穷的几何综合性问题．解决此类问题，一般要转化、分解或者构造出解题模型，然后应用模型的相关结论解决问题．本文以“手拉手”模型为例进行探索及应用．关键词：“手拉手”模型；等腰三角形；旋转作者简介：沈建新（1981－），男，浙江德清人，本科，中学一级教师，研究方向：初中数学解题研究．1原题呈现题目（浙教版数学八年级上册第44页习题）已知，如图1，∠EAB =∠CAD ，AE =AB ，AC =AD ，求证：△EAC ≌△BAD［1］．此题可通过SAS 证明两个三角形全等．若连接EB ，CD ，如图2，究其实质，是两个顶角相等，且含有公共顶点的等腰三角形组成的图形．△BAD 可以看作由△EAC 绕点A 逆时针旋转一定的角度得到，为便于观察，当旋转一定的角度后使EC 与BD 相交，还可以得到哪些结论？2模型探索2.1模型初探如图3，锐角△ABC 中，分别以AB ，AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，使AE =AB ，AD =AC ，∠EAB =∠CAD ，则△EAB ∽△CAD．连接BD ，CE ，AF ，则有如下结论：（1）△EAC ≌△BAD ；（2）EC =BD ；（3）∠EFB =∠EAB =∠CAD ；（4）FA 平分∠EFD．证明（1）因为∠EAB =∠CAD ，所以∠EAB +∠BAC =∠CAD +∠BAC．所以∠EAC =∠BAD．又因为AE =AB ，AC =AD ，所以△EAC ≌△BAD．（2）因为△EAC ≌△BAD ，所以EC =BD．（3）如图4，因为△EAC ≌△BAD ，所以∠1=∠2．又因为∠3=∠4，所以∠EAB =∠EFB．因为∠EAB =∠CAD ，所以∠EFB =∠EAB =∠CAD ；究其实质，△EAC 绕点A 逆时针旋转得到△BAD ，EA 旋转得到BA ，CA 旋转得到DA ，那么第三边EC 旋转得到BD ，即EC =BD ，且旋转角都相等，即∠EFB =∠EAB =∠CAD．（4）解法1如图4，过点A 分别作AM ⊥EC ，AN ⊥BD ，垂足分别为点M ，N．因为△EAC ≌△BAD ，所以∠1=∠2．又因为AE =AB ，所以△EAM ≌△BAN．所以AM =AN．所以FA 平分∠EFD．解法2因为△EAC ≌△BAD ，根据全等三角形对应边上的高相等，可得AM =AN ；或利用面积法，可得S △EAC =S △BAD ．因为EC =BD ，所以AM =AN．·21·理科考试研究·数学版2019年10月10日所以FA 平分∠EFD．解法3如图5，因为△EAC ≌△BAD ，所以∠1=∠2．所以A ，E ，B ，F 四点共圆．所以∠3=∠4．同理因为△EAC ≌△BAD ，所以∠5=∠6．所以A ，D ，C ，F 四点共圆．所以∠7=∠8．又因为等腰△ABE 和等腰△ACD ，且∠EAB =∠CAD ，所以∠4=∠8．所以∠3=∠7．所以FA 平分∠EFD．2.2模型再探当上述图形中分别以AB ，AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，且顶角∠EAB =∠CAD =60ʎ或90ʎ时，则两个等腰三角形都特殊化为等边三角形或等腰直角三角形（如图6，7），上述结论仍然成立．2.3模型提炼像这样，含有顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形所组成的图形的一类题目，我们可形象地称之为“手拉手”模型．这类题目的解决思路一般是：根据“旋转出等腰，等腰可旋转”，当出现“一大一小两个相似的等腰三角形，共顶点，等线段”结构时，可考虑“造旋转，出全等”解题策略．3模型应用例1（2015年营口）（1）如图8，锐角△ABC 中，分别以AB ，AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，使AE =AB ，AD =AC ，∠EAB =∠CAD ，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由；（2）如图9，四边形ABCD 中，AB =7，BC =3，∠ABC =∠ACD =∠ADC =45ʎ，求BD 的长；（3）如图10，在（2）的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．思路点拨（1）BD =CE．利用手拉手模型可得△EAC ≌△BAD．（2）解法1如图11，过点A 作AB ⊥AE ，交BC 的延长线于点E．因为∠ABC =45ʎ，所以△ABE 为等腰直角三角形．连接DE ，由手拉手模型可知△BAC ≌△EAD．所以BC =DE =3，∠AED =∠ABC =45ʎ．因为等腰Ｒt △ABE ，则BE 槡=72，∠AEB =45ʎ．所以∠DEB =90ʎ．所以BD =（槡72）2+3槡2槡=107．解法2如图12，过点A 作AB ⊥AE ，且AB =AE ，连接EB ，EC ，由手拉手模型可知△EAC ≌△BAD．·31·2019年10月10日理科考试研究·数学版所以EC =BD．因为等腰Ｒt △ABE ，所以BE 槡=72．因为∠ABE =45ʎ，且∠ABC =45ʎ，所以∠EBC =90ʎ．所以EC =（槡72）2+3槡2槡=107．所以BD 槡=107．（3）解法1如图13，过点A 作AB ⊥AE ，交BC 的延长线于点E．因为∠ABC =45ʎ，所以△ABE 为等腰直角三角形．所以BE 槡=72，CE 槡=72－3．由手拉手模型可知△DAB ≌△CAE．所以BD =CE 槡=72－3．解法2如图14，过点A 作AB ⊥AE ，交BD 的延长线于点E．因为∠ABC =∠ADC ，所以A ，D ，B ，C 四点共圆．所以∠DBA =∠DCA =45ʎ．所以△ABE 是等腰直角三角形．所以AB =AE =7，所以BE 槡=72．由手拉手模型可知△AED ≌△ABC．所以ED =BC =3．所以BD 槡=72－3．例2如图15，在△ABC 中，∠ABC =45ʎ，AB =槡522，BC =12，以AC 为直角边，点A 为直角顶点作等腰Ｒt △ACD ，则BD =．思路点拨如图18，以点A 为顶点，AB 为腰作等腰Ｒt △ABE ，构造手拉手模型．连接CE ，可得△ABD ≌△AEC．所以AB =AE ，得EB =5，且∠EBC =90ʎ．所以EC =13，即BD =EC =13．变式1如图16，在△ABC 中，∠ABC =60ʎ，AB =槡23，BC =8，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰△ACD ，且∠DAC =120ʎ，则BD =．思路点拨如图19，以点A 为顶点，AB 为腰作等腰△ABE ，且使∠BAE =120ʎ，构造手拉手模型．连接CE ，可得△ABD ≌△AEC．所以AB =AE．在腰长为槡23，顶角为120ʎ的等腰三角形中可求得EB =6，且∠EBA =30ʎ．所以∠EBC =90ʎ．所以EC =10．即BD =EC =10．变式2如图17，点P 为等边△ABC 内一点，且满足∠APB =150ʎ，∠APC =90ʎ，PB =1，则PC =．思路点拨如图20，以点P 为顶点，PB 为边作等边△PBE ，连接CE ，构造手拉手模型，可得△BPA ≌△BEC．所以∠BEC =∠BPA =150ʎ．又因为∠BEP =60ʎ，所以∠PEC =90ʎ．通过围绕点P 的圆周角360ʎ可得∠EPC =60ʎ，且PE =1，所以PC =2．4解题反思“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”．数学问题的解决亦是如此，应用数学模型去寻找解题思路，通过观察、类比、联想，把复杂图形转化为简单的基本图形问题，就能容易获解．在几何解题中，有许多重要的数学模型，我们要进行探索、提炼、归纳，再研究它们的应用，这必将有利于提高我们的解题能力，以达到举一反三、触类旁通的目的［2］．参考文献：［1］范良火．浙教版数学八年级上册［M ］．杭州：浙江教育出版社，2013．［2］胡德林，黄静.数学模型的应用与数学应用能力培养的策略探究［J ］．中学数学，2019（06）：70－72．（收稿日期：2019－05－07）·41·理科考试研究·数学版2019年10月10日。
初二手拉手数学模型典型例题
初二手拉手数学模型典型例题手拉手数学模型是初中数学中的一个重要知识点，通过手拉手数学模型，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
下面将介绍几个初二手拉手数学模型的典型例题。
例题一：小明和小红两人一起做作业，小明做一道题需要20分钟，小红做一道题需要15分钟。
如果小明和小红一起做作业，他们需要多长时间完成10道题目？解题思路：首先，我们可以根据小明和小红分别完成一道题所需要的时间，得出他们一起完成一道题所需要的时间。
小明和小红一起做一道题所需要的时间为：1/20 + 1/15 = 7/60，即他们一起完成一道题需要7/60小时。
然后，我们可以根据他们一起完成一道题所需要的时间，计算出他们一起完成10道题所需要的时间。
10道题所需要的时间为：10 × 7/60 = 7/6小时，即他们一起完成10道题需要7/6小时，也可以表示为1小时10分钟。
例题二：一条长200米的铁轨，两列火车分别从两个方向开来，每个火车的速度分别是每小时60公里和每小时40公里。
如果两个火车同时从两个方向出发，相向而行，他们多长时间能相遇？解题思路：首先，我们需要将两个火车的速度转换为米每分钟的速度。
每小时60公里等于每分钟60×1000/60 = 1000米，每小时40公里等于每分钟40×1000/60 = 666.67米。
然后，我们可以根据两个火车的速度，计算出它们相向而行的速度。
两个火车相向而行的速度为：1000 + 666.67 = 1666.67米/分钟。
最后，我们可以根据两个火车相向而行的速度和铁轨的长度，计算出它们相遇所需要的时间。
两个火车相遇所需要的时间为：200 / 1666.67 ≈ 0.12分钟，即约为7.2秒。
例题三：某超市为了提高销售额，对销售的商品进行了促销活动。
活动期间，一种商品的售价为原价的8折。
某顾客购买了这种商品，原价为200元，他需要支付多少钱？解题思路：首先，我们需要将原价打8折，计算出商品的促销价。
手拉手模型的巧妙应用
【例 1】如图，四边形 ABCD 中，ABC ADCA 45 ，将 BCD 绕点 C 顺时针旋转一定角度后，点 B 的对应点 恰好与点 A 重合，得到 ACE 若 AD=2,CD=3，试求出四边形 ABCD 的对角线 BD 的长.
【解答】 易知旋转角为 90°，连接 DE , DCE 90 CD CE, CDE CED 45 ,
，
∴△CPA≌△CHE（AAS）， ∴AP＝EH， ∴PB+PC+PA＝PB+PH+EH＝BE．
我们通过旋转的思路来理解手拉手，那么不等边三角形放缩旋转后有怎样的规律呢？
如图，ABC
绕顶点 A 现，全等没有了，我们可以找到 2 组相似三角形，
AD
,
AC AE
★【变式训练 2】如图，已知⊙O 的半径为 2，以弦 AB 为边在⊙O 内部作正方形 ABCD，连接 OD，则 OD 的最小值为？
【解答】如图，连接 OA,OA 绕点 A 顺时针旋转 90°至 AO1 ，连接 OO1, OB ，易证 ODA O1BA , OD O1B ， OO1 2 2, OB 2 ， O1B OO1 OB 2 2 2 ，所以 OD 的最小值为 2 2 2 .
AH
P1C
,
AH
3 2
,
HP1
33 2
,
AC 2
3 2 2
4
33 2
2
25 12
3 , SABC
3 AC 2 9 25 3
4
4
【变式训练】如图，已知△ABC，分别以 AC，BC，AB 为边，作等边三角形 ACE，BCD 和 ABF，连接 AD，BE 和 CF 交于点 P，求证：PB+PC+PA＝BE．
第11讲 手拉手模型及应用
第11讲手拉手模型及应用知识导航1．手拉手模型的特点：两个等腰三角形顶角顶点公共，且顶角相等．得到一对能够旋转重合的全等三角形．2．手拉手模型的基本构图：等膜△ABC和△DAE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．B AEECA3．手拉手模型的性质：(1)三角形全等；(△ABD≌△ACE)(2)第三边或所在直线的夹角与等腰三角形的顶角相等或互补；(∠BPC＝∠BAC或∠BPC＋∠BAC＝180°)(3)第三边或所在直线的交点与顶角顶点的连线平分第三边的夹角或其邻补角．(AP平分∠BPE或∠BPE的邻补角)【板块一】双等边三角形构成的手拉手模型【例1】如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边△ABD和等边△ACE，连BE，CD交于P，连接AP．(1)求证：BE＝CD；(2)求∠BPD的度数；(3)求证：PA平分∠DPE．P EDCBA针对练习11．在例1的条件下，将图形旋转至如图所示的位置，例1中的三个结论还成立吗？请说明理由．PEDCBA【板块二】 双等腰直角三角形构成的手拉手模型【例2】如图，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，连接BD ，CE 交于点P ． (1)求证：△ABD ≌△ACE ； (2)判断BD ，CE 的关系并证明； (3)连接PA ，求∠APB 的度数．PEDCBA【例3】如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为△ABC 外一点，∠APB ＝45°，连PC ，求∠APC 的度数．PCB A针对练习21．在例2的条件下，将图形旋转至如图所示的位置，BD 与CE 的关系还成立吗？请说明理由．EDCBA2．在例3的条件下，将P 点移至BC 的下方，∠APB ＝45°不变，求∠APC 的度数．PCBA【板块三】 一般双等腰三角形构成的手拉手模型【例4】如图1，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝α，连BD ，CE 交于P ，连接AP ． (1)求证：BD ＝CE ；(2)求∠APB 的度数(用α表示)；(3)将图形旋转至如图2所示的位置，其余条件不变，在图2中画出点P ，直接写出∠APB ＝ (用α表示) ．PEDCBA EDCBA图1 图2针对练习31．如图，△AOB 和△ACD 都是等边三角形，其中AB ⊥x 轴于E 点，点C 在x 轴上． (1)若OC ＝5，求BD 的长度；(2)设BD 交x 轴于点F ，求证：∠OFA ＝∠DFA ；(3)若正△AOB 的边长为4，点C 为x 轴上一动点，以AC 为边在直线AC 下方作正△ACD ，连接ED ，求ED 的最小值．2．已知△ABC ，分别以AB ，AC 为边作等腰△ABD 和等腰△ACE ，且AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC ，G ，F 分别为DC 与BE 的中点．(1)如图1，若∠DAB ＝60°，则∠GAF ＝ ，∠AGF ＝ ；如图2，若∠DAB ＝45°，期∠AGF ＝ ； (2)如图3，若∠DAB ＝α，∠AGF 与α的数量关系是 ．(请说明理由)FEGDCBAABCDGEFABCDGEF3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ，连接CE ，设∠BAC ＝α，∠DCE ＝β．(1)如图①，点D 在线段BC 上移动时，角α与β之间的数量关系是 ，证明你的结论； (2)如图②，点D 在线段BC 的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是 ，请说明理由；(3)当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想α与β之间的数量关系是 ．EDCB AAB C DECB A。
手拉手模型，巧妙解决数学题！
手拉手模型，巧妙解决数学题！
以微课堂
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构造手拉手模型巧妙解题的方法思路
我们已经知道全等型手拉手模型有以下三个特征：共顶点、双等腰、顶角相等。
一个核心巧记结论：左手拉左手=右手拉右手
判断左右手：将等腰三角形顶角顶点朝上，正对读者，读者左边为左手顶点，右边为右手顶点。
由于AB=AC，则△ABC就是“双等腰”中的一个等腰三角形，A 是“共顶点”，因此我们可以以AD为一腰，构造一个等腰△ADE，只
要∠DAE=∠BAC就符合手拉手模型了，如图：
注意：上图中在△ABC中，B是“左手”，C是“右手”，以AD
为一腰构造等腰三角形时，在AD两侧都可以构造，也就是D可以作“左手”，也可以作“右手”，具体选择那一侧要根据实际需要去选取，记住：左手拉左手=右手拉右手.
①中：△ADB≌△AEC，DB=EC；
②中：△ADC≌△AEB，DC=EB；
③中：△ADB≌△AEC，DB=EC；
④中：△ADC≌△AEB，DC=EB.
构造好手拉手模型以后，我们再根据模型的结论去解题，就轻松多了！
下面通过例题来分析讲解。
【分析】直接求CD的最大值显然不现实，所以我们要将线段CD 进行转化，可以通过构造“手拉手模型”来实现线段的转化。
△BAD
是等腰直角三角形，D是“左手”，A是“右手”，B是“共顶点”，可以以BC为一腰构造等腰直角三角形，由于D是“左手”，所以C 必须也是“左手”，因此只有如图所示一种构造方式，才能满足“左手拉左手，右手拉右手”.
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员，联手四名特级教师共同打造。
手拉手模型解题思路和总结
手拉手模型解题思路和总结手拉手模型是一种常见的解题思路，特别适合于需要解决多个同类问题或复杂问题时。
其基本思路是将问题转化为多个简单问题，解决每个简单问题后再将其连接在一起，最终得到完整的解决方案。
下面将从实际问题出发，介绍手拉手模型的具体应用场景、解题步骤和优缺点。
一、应用场景手拉手模型适用于各种问题，特别是需要解决多个同类问题或复杂问题时。
例如：1. 分析一篇文章的结构，可以将其分成多个段落或章节，并逐一分析每个段落或章节的主题、论述方法和论点，最终归纳出全文的主旨。
2. 计算一家公司的利润，可以将其分成多个部分，如销售、成本、税收等，然后逐一计算每个部分的数据，最终计算出公司的总利润。
3. 设计一个软件应用程序，可以将其分成多个模块，如登录、注册、数据查询等，然后逐一设计每个模块的功能和界面，最终将它们整合在一起，形成一个完整的应用程序。
二、解题步骤手拉手模型的解题步骤包括以下几个方面：1. 确定问题的范围和目标。
首先要确定整个问题的范围和目标，将其分解成多个小问题，并思考如何将它们联系在一起。
2. 将问题分解成多个简单问题。
将问题逐步分解成多个简单问题，每个问题都只需解决一个或几个问题点。
3. 解决每个简单问题。
逐一解决每个简单问题，可以使用不同的解决方法，如寻找相关资料、咨询专业人士、重复实验等。
4. 将简单问题连接在一起。
将每个简单问题的解决结果连接在一起，形成一条线性关系或网状结构，这就是整个问题的解决方案。
5. 检查和修改解决方案。
对解决方案进行检查和修改，确保其总体上是正确和完整的。
三、优缺点手拉手模型的优点包括：1. 容易理解和操作。
手拉手模型本身就是一个简单、可操作的模型，通过将问题分解成多个简单问题，使解决问题变得更加直观和有条理。
2. 对策略和思维的提升。
手拉手模型需要使用抽象思维、分析能力和逻辑推理等技能，有助于提高解决问题的能力和方法。
3. 可重复利用。
手拉手模型的流程和方法可以重复利用，适用于各种问题和场景，有助于提高问题解决的效率和质量。
手拉手模型研究报告总结
手拉手模型研究报告总结
手拉手模型是一种在教育领域中常用的教学模式，通过学生之间互相合作、互相学习，促进学生的学习效果和学习体验。
本研究报告通过实地调研和问卷调查的方法，对手拉手模型在课堂教学中的应用进行研究，得出以下几个主要结论：
首先，手拉手模型能够有效提升学生的学习兴趣和参与度。
研究结果显示，学生在使用手拉手模型进行学习时，更容易保持专注并参与课堂活动。
这是因为手拉手模型能够将学习内容与学生之间的互动结合起来，使学习变得更加有趣和有意义。
其次，手拉手模型能够提升学生的学习效果。
研究结果表明，使用手拉手模型进行学习的学生在考试成绩方面明显优于传统的课堂教学模式下的学生。
这是由于手拉手模型能够促使学生主动参与学习，更好地吸收和理解知识。
最后，手拉手模型能够培养学生的合作意识和团队精神。
研究结果显示，学生在使用手拉手模型进行学习时，更加注重与同伴之间的合作和交流，形成良好的学习氛围。
同时，学生也表现出更强的团队意识和团队合作能力，这对于他们今后的社会适应能力和职业发展都具有积极影响。
总结而言，手拉手模型是一种有效的教学模式，能够提升学生的学习兴趣和参与度，提高学习效果，培养学生的合作意识和团队精神。
然而，在实施手拉手模型时，教师需要合理规划和组织学生的合作活动，确保学生能够有效地互相学习和支持。
未来的研究可以进一步探索手拉手模型在不同学科和不同年龄段学生中的应用效果，以及对教师和学生的培训与支持。
基于数学模型教学方法浅析——————以“手拉手”模型为例
基于数学模型教学方法浅析——————以“手拉手”模型为例摘要：初中数学教学中，解决难题经常用到模型，借助模型可以更好、更快地解决问题，但随着知识的扩展，同一个模型衍生出不同类型，教师在教学中需要不断抓住本质进行延伸，从不同的观点总结模型特点。
本文以“手拉手”模型的应用为例，探讨“手拉手”模型在全等和旋转两个不同章节中的应用。
关键词：“手拉手”模型，模型教学，教学方法，初中数学基于模型的解题思路是初中数学教学最常见且最有效的解题思路之一，也是教师在日常教学中常用的教学方法之一，尤其应用于难题的破解更是行之有效，但是在日常教学中不难发现，随着知识学习的深入，同一个模型也在不断变化，因此教师在教学过程中需要不断加深对模型变形的教学，帮助学生更好的应用。
下面用一道以“手拉手”模型为变式的题目为例，通过解题分析，分析模型特点，便于广大教师更好的后续教学和研究。
一、试题如图，在四边形ABCD中，∠BCD=30°，∠BAD=60°,AB=AD,BC=8,AC=10,求DC的长。
这是一道学生在学习完旋转之后的常见题型，题目表面看上去完全没有跟旋转相关的信息，辅助线也无从下手，教师引导学生思考题目条件挖掘更多潜藏信息。
二、解法展示教师引导学生思考题目中的角度及边长关系，学生容易联想到△ABD是等边三角形，并且题目中给出的已知角度互补。
解法1：连接BD，因为AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD为等边三角形；以AC为边构造等边三角形AEC，连接BE。
因为AB=AD,AE=AC，∠EAC=∠BAD所以∠EAB=∠CAD,所以△EAB≌△CAD,设∠AEB=∠ACD=∠1，所以∠ACB=30°-∠1，∠BCE=60°-（30°-∠1）=30°＋∠1∠BEC=60°-∠1，所以∠EBC=90°。
因为EC=AC=10，BC=EB=8，所以EB=DC=6.解法2：连接BD，因为AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD为等边三角形；以BC为边构造等边三角形BEC，连接DE。
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，
∴△ECB≌△ACD（SAS）， ∴∠CEB＝∠CAD； 设 BE 与 AC 交于 Q， 又∵∠AQP＝∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ＝∠EQC+∠CEQ+∠ECQ＝180° ∴∠APQ＝∠ECQ＝60°，即∠APE＝60°． 同理可得∠CPE＝∠EAC＝60°， 在 PE 上截取 PH＝PC，连接 HC， 则△PCH 为等边三角形， ∴HC＝PC，∠CHP＝60°， ∴∠CHE＝120°； 又∵∠APE＝∠CPE＝60°， ∴∠CPA＝120°， ∴∠CPA＝∠CHE； 在△CPA 和△CHE 中，
，
∴△CPA≌△CHE（AAS）， ∴AP＝EH， ∴PB+PC+PA＝PB+PH+EH＝BE．
我们通过旋转的思路来理解手拉手，那么不等边三角形放缩旋转后有怎样的规律呢？
如图，ABC
绕顶点 A 逆时针放缩旋转至 ADE
AB
,不然发现，全等没有了，我们可以找到 2 组相似三角形，
AD
,
AC AE
3
3
【变式训练 1】如图，在 ABC 中，AB=AC=10，以 BC 为边在 BC 下方作 Rt BCD ， BCD 90 ，BC=2CD，若 BAC BDC 90 ，则 AD 的长度为？
【解答】旋转相似，如图所示.
【变式训练 2】AB=4，AB 中点为 O，圆 O 的半径为 1，点 P 在圆 O 上移动，正 PAK ，连接 BK，则 BK 的取值范围
★【变式训练 2】如图，已知⊙O 的半径为 2，以弦 AB 为边在⊙O 内部作正方形 ABCD，连接 OD，则 OD 的最小值为？
【解答】如图，连接 OA,OA 绕点 A 顺时针旋转 90°至 AO1 ，连接 OO1, OB ，易证 ODA O1BA , OD O1B ， OO1 2 2, OB 2 ， O1B OO1 OB 2 2 2 ，所以 OD 的最小值为 2 2 2 .
是？
【解答】构图所示.
ABD ACE
BCD ACE
BCE DCG
以上是特殊等腰三角形，那么一般等腰三角形呢？依然可以通过头头尾尾，头尾全等（SAS)找到全等三角形.
于是，我们可以初步总结，两个相似的等腰三角形（一大一小），共顶点（顶角的顶点），那么通过 SAS 判定，我 们是可以找到一对全等三角形的.
【解答】如图，线段 BD 长度缩减为原来的 3 倍长，绕点 B 顺时针旋转 90 度至 BE，连接 EC，易证 BAD ∽ BCE ， 3
EC BC
3 , EC 2
3
2
,由于点 E 是固定点，我们可以把点 C 看成是以 E 为圆心，
3
为半径的圆上的点,
AD AB 3
3
3
此时 DE 8 3 , CD 10 3 .
ADE ADC CDE 90 ， BD AE AD2 DE 2 4 3 2 2 22
【变式训练 1】如图，P 是正方形 ABCD 外一点，PA=3，PB=1，PC= 11 ，求 APB 的度数.
【 解 答 】 如 图 ， PBA 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 至 EBC , PE 2, EC PA 3, PC 11 , 易 知 PEC 90 , CEB APB 45 .
ABD ∽ ACE ， ABC ∽ ADE ，也就是说放缩旋转后本身有一对相似三角而不是对应边相等.我们可以总结为“旋转一拖二”，即绕某点放缩旋转三角形，会
增加一对相似三角形，形成两对相似三角形.
【例 3】如图，AD=2，BD=4，连接 AB,以 AB 为直角边，在 AB 上方构造 RtABC ABC 90 ， BAC 30 ， 连接 CD ,当 ADB 变化时，CD 的最大值为？
手拉手模型的巧妙应用
什么是手拉手模型？先看几个典型图形，我们再尝试找出规律.等边三角形，等腰直角三角形（正方形）共一个顶点 的手拉手模型，不难发先，通过 SAS 判定，出现全等三角形.如何快速找到等腰三角形呢，我编了一个顺口溜，头头 尾尾，头尾全等.图形一杠代表头，二杠代表尾.
DCB ECA
【例 1】如图，四边形 ABCD 中，ABC ADCA 45 ，将 BCD 绕点 C 顺时针旋转一定角度后，点 B 的对应点 恰好与点 A 重合，得到 ACE 若 AD=2,CD=3，试求出四边形 ABCD 的对角线 BD 的长.
【解答】 易知旋转角为 90°，连接 DE , DCE 90 CD CE, CDE CED 45 ,
AH
P1C
,
AH
3 2
,
HP1
33 2
,
AC 2
3 2 2
4
33 2
2
25 12
3 , SABC
3 AC 2 9 25 3
4
4
【变式训练】如图，已知△ABC，分别以 AC，BC，AB 为边，作等边三角形 ACE，BCD 和 ABF，连接 AD，BE 和 CF 交于点 P，求证：PB+PC+PA＝BE．
【例 2】如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5，则△ABC 的面 积为？
【解答】如图， ABP 绕点 A 逆时针旋转 60°至 ACP1 ,那么 PP1 3 , PP1C 90 , AP1C 150 ，过点 A 作
我们也可以这样理解，等腰三角形绕顶角顶点放缩旋转角度 ，必然可以通过 SAS 找到一对全等三角形.这为后续
的构造旋转相似提供了思路.
旋转角度 如果是特殊角（60°，90°，120°），会给计算求值带来方便.三角形旋转 ,可以先研究线段绕某点旋 转 ，如图，线段绕点旋转 90 度，会形成边长比为1:1: 2 的等腰直角三角形，若 60 ，会形成1:1:1 的等边 三角形，若 120 ,会形成1:1: 3 的等腰三角形。