电动力学-第二章静电场

P
e
D
1
1
P
导体中的电荷会自动重新分配,直到导体内部
电场强度处处为零
导体的静电条件
• 1、导体内电场为零 • 2、导体内不带净电荷(如果有电荷必
然有电场),电荷只能分布在导体表面 • 3、导体表面上电场必沿法线方向,导
体表面为等势面,整个导体为等势体
3、静电场能量
对于静电场,总能量
由 1 ED H B.
与定理一的关系？
导体的静电条件
• 1、导体内电场为零 • 2、导体内不带净电荷(如果有电荷必
然有电场),电荷只能分布在导体表面 • 3、导体表面上电场必沿法线方向,导
体表面为等势面,整个导体为等势体
证明定理1
• 设有两组不同的解φ’和φ’’,都满足定理1条件
2 0
• 则每个均匀区Vi内 i j
关于第一章的进一步说明
关于电磁理论基础的不断学习
关于场的动量和狭义相对论的起源
r r rr
洛伦兹力 f E J B
P 电磁动量
电磁动量密度
g
0 E
0
BdVБайду номын сангаас
EB
根据动量 守恒推导
对于平面电磁波
对于光子 gr 光子
g
1 c
1 wn c
w光子nˆ
1 c
光压、激光冷却
r
hnˆ hk
导体球是等势体，
Q , 求得相同结果。 4 0a
但积分区域不同！
计算均匀带电球体 的静电能,球半径a, 电量Q,球外真空
E
Qr
4 0a3
Q
rˆ rˆ
4 0r 2
r a
p.7
r a
W
0E2 dV
2
R 0
Qr
4 0a3
2
4r
2dr
R
Q
4 0r
2
2
4r
2dr
Q2
8 0a6
r→∞,φ→0，C=0
2、静电势的微分方程
r r r • 在均匀各向同性的介质中
D E, D f
得 2 f /
• 这是静电势满足的基本微分方程,称为泊 松方程。给出边界条件即可解静电势φ。
边值关系
由E和D的
nr
rr E2 E1
0,
边值关系， nr
rr D2 D1
.
r r r r 角动量密度
M r E B 0
光子的自 旋和轨道 角动量
涡旋光束与光的角动量
电荷在直流电路中的分布
问题：为 什么在电 源两边分 布着正负 电荷
Why is Maxwell’sTheory so hard to understand?
FREEMAN DYSON
professor of physics at the Institute for Advanced Study in Princeton
E
E指向“减少”最快的方向
l
r l
r E
r dl
l
电势的物理意义
单位电荷在某个 位置的电势能
Ñ E dl 0
L
积分与路径C无关,由此可以引
进只与起始位置决定的静电势
E dl E dl
C1
C2
P2 P1
P2 P1
E dl
电势的差具
注意负号
有物理意义
r
Pr
(P) P E dl E dl
P 0
E
0
dl
0
E0
xr.
φ0为坐标原点的电 势,x为P点的位矢。
等位面？
例二．求电偶极
子激发的电场
取-q所在处为坐标
原点,y轴沿电矩p
的方向(p=ql),r+,r和r分别为+q,-q和
电偶极子中心到观
察点P的矢径
q
4 0 r
q
4 0 r
q
4 0
r r r r
r>>l 时 θ是p与r-间夹角
0 0 r2
0
P e0E, D 1 e 0E E
E1
P
0
K
0
rr r2
,r
R
E2
qf
4 0
rr r3
KR
0 0
rr r3
,r
R
E1
P
0
K
0
rr r2
,r
R
E2
qf
4 0
rr r3
KR
0 0
rr r3
,r
R
2
r
E2
dr
qf
4 0 r
0
KR
0
r
,r
R
1
R
r E1 dr
几个微观物理常数
• 1、eV=1.6×10-19J • 2、k=1.38×10-23J/K • 3、h=6.626×10-34Js
研究作业
• 如果要外加一个电场使某面心立方离子 晶体变成各向异性,能估计一下这个电场 的量级吗？如果晶体尺寸为1cm,电压的 量级是多大？设正负离子间隔0.3nm。
• 1、e=1.6×10-19C • 2、ε0=8.85×10-12F/m
• 将各带电体qi从无穷远处移到现有位置所 作的功W互
• 将各带电体从无穷分散状态汇聚成qi所作 的功W自
• 两点电荷之间的相互作用能
W互
1 2
q121 q212
1 q1q2
4 0 r12
自能呢？
多个点电荷的相互作用能
W互
1
40
n i1
i1 qiq j r j1 ij
1 n
8 0 i1,i j
2
We
1 2
rr E DdV .
• 静电场总能量(积分只遍及有电荷分布的区域V)
•
（1
We
1 2
dV .
V
是静电场的能量密度吗？）
• 若全2 空间充满均匀介质，则
We
1
8
dV
x x'
dV r
'.
• 在静电场的总能量由电荷分布决定。
E D D D D D
W
1 2
1 3rr r3 r5
曾经作过一个作业,比较一下。 参考谢处方著《电磁场与电磁波》p.41
例三 求带电荷量为Q、半径为a
的导体球的静电场总能量
• 解：方法一：W 1 E DdV. 2
E Q 4 0r 2
W 1 2
Q2
a 16 20r 4
4r 2dr
Q2
8 0a
D 0E
方法二：W 1 dV. 2V
给出本章需要求解的标势方程
本节的出发点 静电场基本规律
D
E
B t
0
D E
r
Ñ
D dS
S
V f dV Qf
ÑL E
r dl
d dt
S
B
r dS
0
n D2 D1 n E2 E1
f
0
标势的来 历和定义
1．静电场的标势
r
静电场是无旋场 E 0
r 无旋场必可表为标量场的梯度
V
dV
1 2
V
DdV
DdV D dS r0
V
S
φ～r-1,D～r-2,S～r2
推导 W 1 dV 2V
例一．求均匀电场E0的电势
（如无穷大平板电容器之间的电场）
解：由
(P2) P1
P2 P1
rr E dl .
r r
注意:不能由 (P) E dl . P
(P) 0
第二章 静电场
在给定的电荷和介质条件下通过标势求解静电场
• §2-1 静电场的标势及其微分方程
• §2-2 唯一性定理
• §2-3 拉普拉斯方程 分离变量法
• §2-4 镜像法
• §2-5 格林函数 • §2-6 电多极矩
讲方法同时讲例题 用例题加深理解
§2-1 静电场的标势 及其微分方程
• 1．静电场的标势 • 2．标势的微分方程和边值关系 • 3．静电场能量的标势表示
习题1.14问题
• 1、轴对称,且电荷只分布在导体面
介质中
D dS dV
S
V
D
f 2r
eˆ
r E
f 2
eˆ
Jf
E
f
2
eˆ
r JD
D t
1
2
eˆ
f
t
J 0
t
ÑS J
dS
V
t
dV
2J f
f
t
2
f 2
f
r JD
1
2
eˆ
f
t
1
2
eˆ f
J f
例四,半径R电介质球,电容率ε,极化强度
n qiq j r j1 ij
• 计算—维正负离子相间的链状晶体的结合
能 .离子间距离为a,带电为±q,第i个粒子受
到的静电相互作用能为
W
1
8
q
2q
a
2q
2a
2q
3a
2q
4a
L
1
8
2q2
a
N 1n
n1 n
晶体是放在介电常数为ε的介质中,当离子数N→∞时
Wi
q2
4
a
x
x2 2
x3 3
R r 4dr Q2
0
8 0
1 R r 2 dr
Q2 Q2 3Q2
40 0a 8 0a 20 0a
a→0?
电子的经典半径
• 电子半径为re,静电能数量级为
e2
We 40re
根据质能关系 W mc2
取We=W e2
re 40mc2
2.81015 m
关于静电能的说明
We W自 W互
R
E2
dr
qf
4 0 r
K
0
ln
R r
0
K
0
,r
R
§2-2 唯一性定理
• 1．静电问题的唯一性定理 • 2．有导体存在时的唯一性定理
给出静电问题求唯一解的条件
一个矢量场被唯一确定的条件
• 问题：已知哪些条件,就可以完全决定一个 矢量场
• 设 矢有量一在区V中域每V,一其点边的界散面度为、闭旋合度面及S,矢若量已知ar
• 两均匀区界面上 • 区域V的边界S上
i
n
i
j
n
j
0
或
0
S
S
S
n S n S n S
r
Ñ 第i个均匀区Vi的界面Si积分 Si i dS
Ñ r
Si i dS
Vi i dV
Vi i 2 dV
Vi i2dV
= =
Ñ Ñ i
Si
r
i dS
r
Si
i dS
在 Sar面 上 的x, 法y, z线 分量在V内 ar r x, y, z 在V内
an f M
在S面上
ρ、 r 、f为已知函数
则可以证明,由条件可以完全决定矢量,
与矢量场唯一 性问题的关系
1．静电问题的唯一性定理
• 定理一:设已知V内自由电荷
分布,在V的边界S上给定
• (1)电势 或 S
P Kr r 2
2.1题
求束缚电荷、自由电荷、电势
P
P
K r2
P
en
P2
P1
err
P
rR
K R
1指介质, 2为真空
qP
K V r 2 dV
K
R 0
4 r
r2
2
dr
4
KR
K
q R
4 R2
4 KR
f
0
P
0
K r2
1.9题结论
qf
V
f dV
0
K
1 dV r rR 2
K R 4 r2 dr 4 KR
x4 4
L
q2
4
a
ln
1
x x1
q2
4 a
ln 2
a=0.3nm,q=e,则这种结合能为3.3eV。由上式也可看出,介电常数ε
越大,W越小,所以许多晶体都可以溶解于水中(水的εr大约为81)
氯化钠离子晶体静电能
• Na+和Cl分别带±e 电荷,将离 子看作点电 荷,相邻正、 负离子之间 的最近距离 为a, 每种离 子的总数为 N
静电势φ在两介质 分界面上所满足 的边值关系：
1 2
2
2
n
1
1
n
静电势φ在导体表面上所满足的边值关系为：
n从1→2,导体→介质 常量,
φ是介质内
.
n
推导
1 2 ,
2
2
n
1
1
n
n D2 D1 n 22 11
2
2
n
1
1
n
2
1
P2 P1
E dl
Enl l0 0
体的总相互作用能是
1
W互 2 N
W互 W互
NW互
8.738Ne2
40a
实际测量值约小10%,误差的来源主要是把离子看成了点电荷
和未计及量子交换效应
思考
• 1、晶体可以溶于水的物理图像 • 2、电磁场理论可以用于微观问题 • 3、如果晶体不是立方晶体这样的高对称呢 • 4、如果外加一个电场呢？
选取无穷远为电势为零的参考点
单位电荷从无穷远处 移到P点外界所作的功
分布电荷的标势 根据叠加原理
E
r
q
4
r r3
r q C
4 r
1 r
r r3
r 1
4
N i 1
rqi
ri
C
r 1
4
V
r
r r
dV C
可以用等位面形象地表述电势的 分布,点电荷的等位面是同心球面
E垂直于等位面,指向电势下降最 快的方向。
rr r2
r r l cos
ql cos 40r 2
pr rr
4 0 r 3
记住！ p r qlr cos
一个极性原子的电场
E
pr
4 0 r 3
1
4 0
pr r3
1
4 0
3
p r rr
r5
pr r3
p rr r3
1 r3
p
rr
p
rr
1 r3
p rr pr pr为常矢量
En为平均值,有限值
导体
• 内部E=0,ρ=0,导体内部是等势体,表面是 等势面
E 0 0
常量, .
n
ε是导体外的介质电容率；σ为导体 表面的电荷面密度
静电问题的介质分类
处理静电问题时,需要分介质和导体两种类型
介质中的自由分布电荷不变,但束缚电荷是介
质与电场相互作用的结果
P
先计算单个离子与它所有远近邻离子之间的相互作用能， 然后乘以离子总数并除以2
立方体中心的正离子，与其它离子之间的相互作用能
W互
1
4 0
6e2 a
12e2 2a
8e2 L 3a
可以证明这级数 是收敛的,数值 计算的结果为
W互
8.738e2
40a
单个负离子与所有其它离子的相互作用能也等于上式,所以晶
• (2)电势的法线方向偏导数
n |S
则V内的电势由泊松方程和边值关系唯一确定。
2 i
给定
i j
n由j指向i
i
n
i
j
n
j
给定
2．有导体存在时的唯一性定理
定理二:己知区域V内的电荷分布、区
域V的边界面上的φ或 n 值及每
个导体上的总电荷Qi或导体的电势φi,则 区域V内的电势分布有泊松方程及介质 分界面上的边值关系唯一地确定。