电动力学-第二章静电场

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电动力学第二章

R r
y
r R l 2 Rl cos
2 2 2
2l
x -Q
求近似值：
r R 1 2l cos / R 1 2l cos R (1 ) R l cos 2 R
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos 2 2 2 2 r r r r R l cos R
1 R 2 / M 2 1 1 R 2 / M 2 1 0 P P0 lim ln 1 R 2 / M 2 1 1 R 2 / M 2 1 M 4 0 0
R2 1 R2 1 2 1 2 M 2M R02 R P P0 ln 2 ln 4 0 R 2 0 R0
2Ql cos 2QlR cos PR ( P) 2 3 3 4 0 R 4 0 R 4 0 R
x- y
平面为等势面（Z = 0的平面）。
若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：
均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设 Q p 为束缚电荷， 0 0 0 Q p (1 )Q Pp 2QP l ez 2Ql ez ( 1) ( 1) P
（4） W
1 dV中的是由电荷分布激发的电势； 2
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有
独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。（6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，可得到电荷分布ρ所激发的电场总能量
1 ( x) 1 ( x ) ( x) W ( x )dV dV dV r dV 2 4 r 8 与点的距离。式中r为 x x

电动力学-第二章练习题

第二章一、选择题1、静电场的能量密度等于（） A ρϕ21 B E D ⋅21 C ρϕ D E D ⋅ 2、下列函数（球坐标系a 、b 为非零常数）中能描述无电荷区电势的是（）A a 2rB a b r +3C ar(2r +b)D b ra + 3、真空中两个相距为a 的点电荷1q 和2q ，它们之间的相互作用能是（） A a q q 0218πε B a q q 0214πε C a q q 0212πε D aq q 02132πε 4、电偶极子p 在外电场e E 中所受的力为（）A (∇⋅P )e EB —∇(⋅P e E )C (P ⋅∇)e ED (eE ⋅∇)P5、电导率为1σ和2σ，电容率为1ε和2ε的均匀导电介质中有稳恒电流，则在两导电介质面上电势的法向微商满足的关系为（） A n n ∂∂=∂∂21ϕϕ B σϕεϕε-=∂∂-∂∂n n 1122 C nn ∂∂=∂∂2211ϕσϕσ D n n ∂∂=∂∂122211σσϕσ 6. 用点像法求接静电场时，所用到的像点荷___________ 。

A) 确实存在；B) 会产生电力线；C) 会产生电势；D) 是一种虚拟的假想电荷。

7.用分离变量法求解静电场必须要知道__________ 。

A) 初始条件；B) 电场的分布规律；C) 边界条件；D) 静磁场。

8.设区域V 内给定自由电荷分布)(x ρ，S 为V 的边界，欲使V 的电场唯一确定，则需要给定（）。

A. S φ或S n ∂∂φB. S QC. E 的切向分量D. 以上都不对9.设区域V 内给定自由电荷分布()ρx ,在V 的边界S 上给定电势s ϕ或电势的法向导数s n ϕ∂∂，则V 内的电场（）A ．唯一确定 B. 可以确定但不唯一 C. 不能确定 D. 以上都不对10.导体的静电平衡条件归结为以下几条,其中错误的是( )A. 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面B. 导体内部电场为零C. 导体表面电场线沿切线方向D. 整个导体的电势相等11.一个处于x ' 点上的单位点电荷所激发的电势)(x ψ满足方程（）A. 2()0x ψ∇=B. 20()1/x ψε∇=-C. 201()()x x x ψδε'∇=-- D. 201()()x x ψδε'∇=-12.对于均匀带电的球体，有（）。

电动力学第2章 2-4

q ⎡1 1 1 1⎤ ϕ= − + ⎥ ⎢ − 4πε 0 ⎣ R R1 R2 R3 ⎦
3、线电荷对无限大导体平面的镜像
位于无限大接地导体平面附近的无限长直线电荷问题也可由镜像法求解。设线电荷距导体平面为h，单位长度带电荷ρl ，则其像电荷仍是无限长线电荷，其中像电荷的线密度为 ρl ’=- ρl ，像电荷的位置为z’=-h 在z>0的上电Q，则还需要在球心放置一个点电荷Q。
3、球内点电荷的镜像
在半径为a的接地导体球壳内，有一点电荷q，它与球心相距为d (d<a),如图所示。求球内的电位分布和球面上总感应电荷。解：与点电荷位于导体球外的情况做类似的处理。这里像电荷q’应位于导体球壳外且在球心与点电荷q的连线的延长线上，如图所示。设像电荷距球心为d，同样有球壳内任一点的电位则为
§2.4
镜像法(电象法)
在许多静电场问题中，电荷位于导体表面附近、或位于电介质分界面附近。对这类问题，直接求解泊松方程（或拉普拉斯方程）会遇到很大困难，这时可采用镜像法间接求解。镜像法是一种间接求解方法，它是在所求解的场区域以外的空间中某些适当的位置上设置适当的等效电荷（称为像电荷），在保持场域边界面上所给定的边界条件下，用像电荷替代导体面上或介质面上的复杂电荷分布，把求解边值问题转换为求解无界空间的问题。根据唯一性定理，只要由源电荷与像电荷共同产生的位函数既满足场域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足边界上所给定的边界条件，则这个位函数就是唯一正确的解。
在介质分界面z＝0处，电位满足边界条件
总
结：
（１）点电荷对导体平面的镜象一个点电荷Q，若距无限大的电位为零的导体平面为d，则其镜象电荷为在平面另一侧，距平面为d处的点电荷-Q。（２）点电荷对导体球的镜象一个点电荷Q，若离半径为a的接地导体球球心为d，则其镜象电荷Q’位于球心及Q所在点的联线上，距球心为b， a 并且 a2 Q Q ' = − b= d d （３）点电荷对电介质平面的镜像其中：q’位于点电荷的异侧， q’’位于点电荷的同侧。

电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用).

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(AA ⨯∇=⨯∇证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

电动力学第三版答案

电动力学第三版答案第一章：静电学1.1 静电场静电场是由电荷所产生的场，它是一种无时间变化的电磁场。

静电场的性质可以通过电场强度、电势和电荷分布来描述。

电场强度表示单位正电荷所受到的力，并且是一个向量量。

在任意一点的电场强度可以通过库仑定律计算。

电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。

电势可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。

1.2 电场的高斯定律电场的高斯定律是描述电场在闭合曲面上的通量与该闭合曲面内的电荷有关系的定律。

它可以通过以下公式表示：\[ \oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \, ds =\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \]其中，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(\mathbf{n}\) 是曲面上的单位法向量，\(ds\) 是曲面上的微元面积，\(Q_{\text{enc}}\) 是闭合曲面内的总电荷，\(\varepsilon_0\) 是真空电容率。

1.3 电势电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。

它可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。

电势可以通过以下公式计算：\[ V = - \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \]其中，\(V\) 是电势，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(d\mathbf{l}\) 是路径上的微元长度。

1.4 静电场中的导体在静电场中，导体内部的电场强度为零。

当导体受到外部电场作用时，其表面会产生等效于外部电场的电荷分布，这种现象被称为静电感应。

静电感应可以通过以下公式来计算表面电荷密度：\[ \sigma = \mathbf{n} \cdot \mathbf{E} \]其中，\(\sigma\) 是表面电荷密度，\(\mathbf{n}\) 是表面法向量，\(\mathbf{E}\) 是外部电场强度。

电动力学

4. 磁场的散度
磁场的通量
磁场的散度 S 任意
S B dS 0
S B dS V ( B)dV 0
B 0
恒定磁场的另一基本方程。
B 0J
B 0
结论：恒定磁场 ——无源，有旋
5. 例题（p.13 例）
电流 I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线内，求空
间各点磁感应强度，并由此计算磁场的旋度。
1. 介质的概念
介质
分子
原子核：正电荷电子：负电荷
电中性分子电流杂乱
宏观物理量 ← 微观量的平均（宏观无穷小内包含大量的微观粒子）
外场
正负电荷相对位移，极性分子取向 —— 极化
分子电流取向规则化
—— 磁化
束缚电荷（极化电荷）→ 附加电场 E’
诱导电流（磁化电流等）→ 附加磁场 B’
2. 介质的极化
r
dV
'
JdV ' JdSdl Idl
B( x)
0 4
Idl
r
r3
3. 磁场的环量和旋度
安培环路定理：
L B dl 0I 0 S J dS
磁场的旋度
L B dl S ( B) dS
S 任意
B 0J
讨论： (1) 安培环路定理的微分形式，恒定磁场的基本方程 (2) 某点磁场的旋度只与该点的电流密度有关
）
t
(1) 法拉第电磁感应定律的微分形式
(2) 感应电场是有旋场
(3) 感应电场是由变化磁场激发的
2. 位移电流
电荷守恒定律
J
0
非恒定电流
磁场旋度
t
B 0J
矛盾！？
B 0 J 0

电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用).

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：2. 设是空间坐标的函数，证明：，，证明：3. 设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：；；；，。

（2）求，，，，及，其中、及均为常向量。

4. 应用高斯定理证明，应用斯托克斯（Stokes）定理证明5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为，利用电荷守恒定律证明p的变化率为：6. 若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。

9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。

10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度和；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。

(若介质是漏电的，电导率分别为和当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？12.证明：（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的电导率。

13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。

电动力学-静电场4

电介质，其分界面为平面。设在介质1中放一点电荷Q，其所在位置距分界面为a，试求二介质中的电势分布。解：设1中电势的1， 2 中的电势为
2 ，并满足如下定解条件：
1
2
2
2
1
1
0
Q ( x a, y, z)
2 0
a
x
1 1
R R0
2 2
Q Q Q
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镜像法
1
1 4 1 1 4
2
第二章静电场
R0
2
Q
R0
[
(x a) y z
2 2

2
Q (x a) y z
2 2 2
]
x0

Q (x a) y z
2 2 2 x0

Q
1

Q
我们所说的象，然后把物和象在场点处的贡献迭加起来，就是我们讨论的结果。
哈尔滨工程大学理学院
镜像法
第二章静电场
2、镜象法的理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的 “象电荷” 来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件
1
2换成1
r'
P(x,y,z) R r
P(x,y,z)
2
y
r"
o
1换成2
Q' b o
S
θ a Q x
R S
c Q" x
右半空间
哈尔滨工程大学理学院
左半空间
镜像法在x>0的区域，空间一点的电势为

《电动力学(第三版)》静电场chapter2_6

2 xix j
e
0
r
2
i,
3 2 j1 xi2
e
0
r 22e
0
0
(e为外场)
也可以写成矢量符号形式：
e
x
e
0
x
e
0
1 6
3xx
r
2
II
: e 0
外场中能量的级数形式
W
xe 0
i
xi
xi
e 0
1 2!
i, j
xi x j
2 xix j
e 0d
Qe 0
i
pi
xi
e 0
0
V
•电四极矩：球对称的电荷分布——电四极矩为零
x'2
(x'
)dV'
y'
2
(
x'
)dV'
z'
2
(
x'
)dV'
V
V
V
1
r'
2
(
x'
)dV'
3V
D11 D22 D33 0
Dij V 3xi'x j'(x')dV'
xi' xi'
对非对角项 D12 D13 D23 0
W12
W0 W1 W2
1 2
V (1 2 )(1 2 )d
1 2
V 11d
1 2
V 22d
1 2
V (12
21)d
V 12d
V1
12d1
1
4π 0
V1
V2

中科大电动力学 PPT

第三周
(2)式左边两项分别仅与和相关，故为常数，记为和，实现第二次变量分离：
sin
d d
dg sin sin 2 g 0 d
（3）（4）
d 2h h 0 2 d
电势的单值性要求，h 应为周期 2 的周期函数，于是
2
球坐标：
《电动力学》
1 2 1 1 2 2 2 r 2 sin 2 2 r r r r sin r sin 2
Copyright by Wandong LIU
分离变量法之一
如果多变量函数可以分离（以球坐标为例）：
例：荷电孤立导体球静电能
1 1 Q2 1 W dV a dV a Q 2 2 8 0 a 2 r a
《电动力学》
Q
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第二章静电场
§2.1 静电势及泊松方程
静电势的引入泊松（Poisson）方程势的边值关系静电场能量
i
i 1, 2,
(2) 在区域 V 中每两子区域边界上满足边值条件：
i j
j i i j n n
（ n 由 i 区域指向 j 区域）
(3) 已知区域 V 内的电荷密度、； (4) 给定区域 V 表面上或
之值。 n
《电动力学》
《电动力学》
1 d 2 df r f dr dr sin d 1 d 2h dg sin sin 2 0 g d 2 d h d
（1）（2）
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《电动力学》电像法

• §2.3 电像法
– 电像法的概念和适用条件
–接地无限大平面导体板附近有一点电荷 – 导体球外（内）空间有一点电荷
一、电像法的概念和适用条件
1. 求解泊松方程的难度
一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况，求解比较困难。求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。
a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在所求区域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
山东大学物理学院宗福建 10
《电动力学》第11讲
第二章静电场（3）
§2.3 电像法
教师姓名：宗福建单位：山东大学物理学院 2015年10月20日
山东大学物理学院宗福建 1
上一讲复习
• • 1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性可以均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域 Vi ，每一个区域的介电常数为 εi 。设V内有给定的电荷分布 ρ（x）。电势 φ 在均匀区域
程
2 /
山东大学物理学院宗福建
6
上一讲复习
• 在第i个导体上满足总电荷条件
Qi dS Si n
• （n为导体面的外法线）和等势面条件 φ|s= φi=常量 • 以及在V的边界S上具有给定的φ|s 或 ∂φ/∂n|s 值。
山东大学物理学院宗福建
7
本讲主要内容

郭硕鸿《电动力学》课后习题答案

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d duu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++= （3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

电动力学-复习-第二章-电磁场的基本规律

*
电场力服从叠加原理
真空中的N个点电荷（分别位于）对点电荷（位于）的作用力为
q
q1
q2
q3
q4
q5
q6
q7
*
2. 电场强度
空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即
多层同心球壳
*
无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板圆柱壳等。
(a)
(b)
*
例2.2.3 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a ，电荷密度为 0 。
解：（1）球外某点的场强
（2）求球体内一点的场强
( r ≥ a )
• 宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。
2.1.1 电荷与电荷密度
*
1. 电荷体密度
单位：C/m3 (库仑/米3 )
根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为
电荷连续分布于体积V内，用电荷体密度来描述其分布
如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q 为
单位: C/m (库仑/米)
*
对于总电量为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域中心、电量为 q 的点电荷。
第二章电磁场的基本规律
*
2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组 2.7 电磁场的边界条件

电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，u u u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

4. 应用高斯定理证明f S f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ证明p 的变化率为：⎰=VV t t d ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

电动力学习题解答

第二章静电场1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2/r K r P =，电容率为ε。

（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。

解：（1）P ⋅-∇=p ρ2222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=∇⋅+⋅∇-=⋅∇-=r r r)(12P P n -⋅-=p σR K R r r /=⋅==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内200)/()/(r K f εεεεεερ-=-⋅∇=⋅∇=P D 内（3）)/(/0εεε-==P D E 内内r r fr KRr Ve e D E 200200)(4d εεεεπερε-===⎰外外rKRr)(d 00εεεεϕ-=⋅=⎰∞r E 外外)(ln d d 00εεεεϕ+-=⋅+⋅=⎰⎰∞r R K RR rr E r E 外内内（4）⎰⎰⎰∞-+-=⋅=R R r rr R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 20))(1(2εεεεπε-+=K R2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ；（2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。

当0R R >时，电势ϕ满足拉普拉斯方程，通解为∑++=nn n nn n P R b R a )(cos )(1θϕ 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θϕθϕϕRP E R E -=-→ 所以 00ϕ=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n当 0R R →时，0Φ→ϕ所以 0101000)(cos )(cos Φ=+-∑+n nn nP R b P R E θθϕ 即： 002010000/,/R E R b R b =Φ=+ϕ所以 )2(,0,),(3010000≥==-Φ=n b R E b R b n ϕ⎩⎨⎧≤Φ>+-Φ+-=)()(/cos /)(cos 000230000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ（2）设球体待定电势为0Φ，同理可得⎩⎨⎧≤Φ>+-Φ+-=)()(/cos /)(cos 000230000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ当 0R R →时，由题意，金属球带电量Qφθθθϕθεϕεd d sin )cos 2cos (d 200000000R E R E S nQ R R ⎰⎰+-Φ+=∂∂-== )(40000ϕπε-Φ=R所以 00004/)(R Q πεϕ=-Φ⎩⎨⎧≤+>++-=)(4/)(cos )/(4/cos 00002300000R R RQ R R R R E R Q R E πεϕθπεθϕϕ3. 均匀介质球的中心置一点电荷f Q ，球的电容率为ε，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。

电动力学习题

结束
第二章∶静电场
1 1 E 0 R sin
2 K ( 0 )2
2 2
第二章∶静电场

R
0
2 2 R 2 K R 1 ln dr 2 r ( 0 ) 0 0

R
0
R ln dr r

R
0
(ln R ln r )dr R ln R (ln r )dr
2 R0 sin d d Q

0
Pn (cos )sin d 2 n0
结束
第二章∶静电场
0

0
2 b0 2 R0 sin d d Q 2 0 R0
解得：
b0
Q 4 0
，bn待定( n 0)
b0 bn 1 0 E0 R cos n1 Pn (cos ) R n 1 R
0 R 0
R
R ln R [ r ln r (lim r ln r 0)
r 0

R
0
1 rdr ] R r
结束
第二章∶静电场
2.在均匀外场中置入半径为R0的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势。（1）导体球上接有电池，使球和地间保持电势差0 （2）导体球上带总电量Q Z [解(1)]：求解空间为球外区域，通过球心沿外电场方向的轴线为对称轴，取之为极轴，导体内外区域无自由电荷，故电势满足拉普拉斯方程，以 1 代表球外区域之电势，则：
R
K K R ln 0 ( 0 ) 0 r
(4)球内静电场的能量密度为
1 1 K r K r K2 内 D内 E内 2 2 2 2 0 r 0 r 2( 0 )2 r 2

电动力学复习总结电动力学复习总结答案

第二章静电场一、填空题1、若一半径为/?的导体球外电势为为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 __________ .答案：辛2、若一半径为/?的导体球外电势为妇-％COS&+如E COS8,瓦为非零厂常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 _____________ •球外电场强度为 _______ ./?3答案：3^0E0 cos0 , E =-E{)[cos3e r+(\ )sin00』3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ___________ ;介质分界面上电势的边值关系是___________ 和________ ;有导体时的边值关系是和_____ O答案：VV = - —=0,,馮竿一斫学=一60 = 6£姜=£on on on4、设某一静电场的电势可以表示为</> = ax2y-b Z,该电场的电场强度是答案：- laxye - cix2e + be5、真空中静场中的导体表面电荷密度 ___________ °答案：b = Y 器on6、均匀介质內部的体极化电荷密度P P 总是等于体自由电荷密度P . _____ 的倍O 答案：-（1-包）£7、电荷分布p 激发的电场总能量W = 土 J 小j “⑴严的适用于情形. 答案：全空间充满均匀介质8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于 --------------9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q,导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等于 ___________ •10、无电荷分布的空间电势 __________ 极值•（填写“有”或''无”）答案：无1K 镜象法的理论依据是 ____________ ,象电荷只能放在 ___________ 区域。

答案：唯一性定理，求解区以外空间12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于 ______________ 。

《电动力学》静电场

n
D2
2n E2
2 n
2
2
2
n
所以有 2
2
n
1
1
n
，
静电势的边值关系
1 2
2
2
n
1
1
n
(1)对于导体和介质构成的界面, 令导体为介质1
由于1
常数，1
n
0
C
n
介质的电容率, 介质电势
(2) 若两种介质都是导电介质,且有稳恒电流
1 2，
2
2
n
1
1
n
0
n J2 J1 0
1.静电势引入: 由于 E 0，从而引入，使
E ，静电势
并不唯一,参考可任意选的依据
积分关系 E dl dl d
p1
p2
p2 p1 E dl E dl
p2
p1
电势差
意义: 把单位正电荷由p2移至p1时电场力做的功
2、静电势计算:
当电荷分布于有限区域时，常选 0，
三、静电场能量
W
1 2
E DdV
1 2
DdV
1 2
(
D)dV
1 2
DdV
1 2
D
d
S
1 2
dV
第一项中～ 1 , D～ 1 ,面积～r2,故r 时，
r
r2
第一项趋于零，因此
W 1 dV
2 V
讨论:(1) 1 不是静电场能量密度
2
—自由电荷密度，为dV 处的总电势
(2)若自由电荷是面分布,面密度为σ
的电势差为：
M
p
p0
lim
M
40

电动力学-第二章静电场