相关分析及其原理(全)

苏州大学《机械工程测试技术基础》课程作业题目：信号的相关分析及其应用姓名：王臻学号：1442404033年级：_14 级专业：车辆工程2017年04月02日信号的相关分析及其应用一、实验目的1、理解相关性原理，掌握信号的自相关函数、互相关函数的求法。

2、了解自相关和互相关的特性和应用。

二、实验原理1、相关的概念相关是指客观事物变化量之间的相依关系，当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某个变量数值的确定，另一变量却可能去许多值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。

在统计学中是用相关系数来描述两个变量x ，y 之间的相关性，相关系数的公式为:yx y x y x E σσμμρ)])([(xy --=注：E 为数学期望；x μ为随机变量x 的均值，x μ=E[x]；y μ为随机变量y 的均值，y μ=E[y]；x σ，y σ为随机变量x ，y 的标准差；2xσ=E[(x-x μ)2]2y σ=E[(y-y μ)2]利用柯西—许瓦兹不等式:E[(x-x μ)(y-y μ)]2≦E[(x-x μ)2]E[(y-y μ)2] 式中xyρ是两个随机变量波动量之积的数学期望，称之为协方差或相关性，表征了x 、y 之间的关联程度；x σ、y σ分别为随机变量x 、y 的均方差，是随机变量波动量平方的数学期望。

故知|xy ρ|≤1，当xy ρ的绝对值越接近1，x 和y 的线性相关程度越好，当xyρ接近于零，则可以认为x,y 两变量无关。

2、信号的自相关函数假如x （t ）是某各态历经随机过程的一个样本记录，x （t+τ）是x （t ）时移后τ后的样本，在任何t=i t 时刻，从两个样本上分别得到两个值x （i t ）和x（i t +τ），而且x （t ）和（t+τ）具有相同的均值和标准差。

例如把)+τρt x t x ()(简写成)τρ(x ,那么有：)τρ(x =202)()(1lim xTxT dt t x t x Tσμτ⎰-+∞→对各态历经随机信号及功率信号可定义自相关函数)τ(R x 为：)τ(R x ⎰+=∞→TT dt t x t x T)()(1lim τ则：)τρ(x =22)(xxx R σμτ-显然)τρ(x 和)τ(R x 均随τ而变化，而两者成线性关系。

如果该随机过程的均值x μ=0，则)τρ(x 2)(xx R στ=。

3、自相关函数()x R τ具有如下主要特性a.222(0),(0)()x x x x x x R R R σμψτ=+=≥ b.()()x x R R ττ=-即自相关函数是偶函数。

c.当时移τ很大或τ→∞时，随机的()x t 与()x t τ+之间就不存在内在的联系，彼此无关。

即2()0,()x x x R ρττμ→∞→→∞→4、信号的互相关函数两个各态经过程的随机信号x(t)和y(t)的相互关系函数)τ(R xy 定义为:dt t y t x T R TT xy )()(1lim)(0ττ⎰+=∞→ 当时移τ足够大或∞→τ时，x(t)和y(t)互相不相关，xy ρ∞→，而)τ(R xy →x μy μ。

)τ(R xy 的最大变动范围在x μy μ -x σy σ之间,即:)()()(y x y x xy y x y x R σσμμτσσμμ+≤≤-式中x μ、y μ——分别为x(t)、y(t)的均值；x σ、y σ——分别为x(t)、y(t)的标准差。

如果x(t)和y(t)两信号是同频率的周期信号或者包含有同样频率的周期成分，那么即使τ∞→，互相关函数也不收敛并会出现该频率的周期成分。

如果两信号含有频率不等的周期成分，则两则不相关。

这就是说，同频率相关，不同频不相关。

5、互相关的特性a.互相关函数不是偶函数，其图形不对称，但与其共轭函数对称。

即()()x y x y R R ττ≠-b.最大值不是出现在0τ=处，而是在某时移量0ττ=处 。

时移量0τ反映两信号()x t 、()y t 之间主传输通道的滞后时间(图1），也表明两信号在时差0τ处相关程度最大。

最大值为:0()xy x y x yR τσσμμ=+c.若随机信号()x t 和()y t 中没有同频率的周期分量，则当τ很大时彼此之间互不相关，即 :()0,()xy xy x yR ρττμμ→∞→→∞→d.两个具有相同频率的周期信号的互相关函数仍是周期信号，且互相关函数中保留了原信号的频率、幅值以及相位差的信息。

而两个不同频率的周期信号是不相关的。

。

图1三、自相关函数、互相关函数求法的实例分析1、求正弦函数dt t x t x )sin()(0ϕω+=的自相关函数，初始相角ϕ为一随机变量。

)τ(R x ⎰+=∞→TT dt t x t x T)()(1limτdt t t x T T ])(sin[)sin(10200ϕτωϕω+++=⎰式中0T 为正弦函数的周期，0T ωπ2=。

令θϕω=+t ，则ωθd dt =。

于是，⎰=)+=ππ202202sin(sin 2)(ωτθωτθθτcps x d x R x2、求t t x ωsin )(=和Z n T t y nT TnT T t nT TnT T t ∈==++∈++-∈-,2,{)(]43,4(,1]4,4(,1ωπ的互相关函数。

)sin(2])sin()1()sin()sin()1([1)((1()((44343414000ωτωτωωτωωτωτττπ=--+-+--=)-=)+1=)⎰⎰⎰⎰⎰-TT T T TTTxy dt t dt t L dt t T dt t y t x T dt t y t x T R四、互相关函数的应用1、钢带运动的非接触测量互相关技术广泛应用于各种测试中。

工程中还经常用两个间隔一定距离的传感器来不接触地测量运动物体的速度。

如图2所示，测量热轧钢钢带速度的示意图。

钢带表面的反射光经透镜聚焦在相距为d 的两个光电池上。

反射光强度的波动，经过光电池转换为电信号，再进行相关处理。

当可调延时τ等于钢带上某点在两个测试点之间经过所需的时间τd 时，互相关函数为最大值。

钢带的运动速度d d v τ/=。

图2设两传感器接收到的信号分别为：)1.0(2sin 2sin -==t y t x π、π,则，两信号函数互相关。

)2.02cos(21)]1.0-(2[sin )2sin(1lim )()(1lim )(0ππππ+=-=+=⎰⎰∞→∞→ττττTT TT xy dt t t T dtt y t x T R当N n ∈=，1.0-n τ时，取最大值，考虑到被测量为时间，所以当9.0=τ时取最大值。

MATLAB 程序代码如下：clc;clear; dt=0.001; t=-1:dt:1; x=sin(2*pi*t); y=sin(2*pi*(t-0.1)); subplot(2,1,1); plot(t,x); hold onplot(t,y);axis([-1 1 -1 1]);[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');subplot(2,1,2); plot(b*dt,a); axis([-1 1 -1 1]);图像如下（图3）：图32、确定输油管裂损位置图4是确定深埋在地下的输油管裂损位置的例子。

漏损处K 视为向两侧传播声响的声源，在两侧官道上分别放置传感器1和2，因为放传感器的两点距漏损处不等远，则漏油的声响传至传感器就有时差，在互相关图上m ττ=处)(R 21τx x 有最大值，这个m τ就是时差，由m τ就可确定漏损的位置：m v τ21s =式中，s 为两传感器的中点至漏损处的距离；v 为音响通过管道的传播时间。

图4现设传感器1和传感器2接收到的声音的电信号分别为x1=90sin(π(n-0.1Fs))、x2=50sin(pi*(n-0.3*Fs)。

MATLAB代码如下：clear;N=1000;n=0:N-1;Fs=500;t=n/Fs;Lag=200;x1=90*sinc(pi*(n-0.1*Fs));x2=50*sinc(pi*(n-0.3*Fs));[c,lags]=xcorr(x1,x2,Lag,'unbiased');subplot(2,1,1),plot(t,x1,'r');hold on;plot(t,x2,'b:');legend('信号x1','信号x2');xlabel('时间/s');ylabel('x1(t) x2(t)');title('信号x1和x2');hold off;subplot(2,1,2),plot(lags/Fs,c,'r');xlabel('时间/s');ylabel('Rxy(t)');title('信号x1和x2的相关');可以清楚的看到第二个信号相对于第一个信号延迟了0.2s，即在-0.2s处出现了相关极大值，因此可以采用该项技术检测延迟信号，再乘声音在管道中的传播速度，则可以确定深埋地下的输油管裂损位置，以便开挖维修。