ch4.2代数精度

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一类四阶两点边值问题对称正解的单调迭代法

一类四阶两点边值问题对称正解的单调迭代法
拟定单调迭代法是一种数值分析的技术，用于处理一类四阶两点
边值问题的去取正解。

作为求解各种非线性方程组的一种很重要的技术，它在计算机科学领域有着广泛的应用。

要求运用拟定单调迭代法求解一类四阶两点边值问题时，首先要
选择一个初始值，它将在两个边界点间运行，并搜索数值式的解。

然后，将这个解值赋给另一变量，考虑步长，即从初始值减少到另一变量，构成等差数列，将步长设定为1/2或更小，使其笼统紧凑。

接着，在每一步中，重复进行迭代，只要迭代过程在所有值之间保持单调性，就应继续修改变量。

当迭代近似正确时，便获得了正确答案，并可以
实现求解。

本文主要介绍拟定单调迭代法在求解一类四阶两点边值问题对称
正解的应用，它的操作简单，效率高，能够得到比较准确的结果。

因此，单调迭代法是数值分析技术中的重要组成部分，它在近似解决复
杂的非线性方程组的求解时有着重要的应用。

一类四阶两点边值问题的多重正解

一类四阶两点边值问题的多重正解
四阶两点边值问题指的是求解某一种方程组，使得满足其给定的两个边界条件。

这类问题可为常微分方程、动量方程、随机事件等几何方程提供一种有用的解决方案。

在四阶两点边值问题的多重正解中，其解为一个四次多项式，它仅有四个系数，称为高斯积分。

对于多重正解的四阶两点边值问题，其解的精确性很高，而且它可以用最小的计算量就可以获得正确的解。

但是，与其它方法相比，多重正解可能会涉及更多的误差，这一点也很重要。

多重正解另一个特点就是能够提供其给定问题的多种可能解法。

以第二类椭圆曲线为例,这是一类常见的多重正解四阶两点边值估计的问题，它可以有效地求解第二类椭圆曲线的参数，这里包括离心率、圆心经纬度以及偏振长度等参数。

多重正解不仅可以用于求解四阶两点边值问题，而且可以运用于高精度的椭圆曲线拟合等问题，以及许多具体的数值模拟。

对于数值模拟等实际应用，多重正解也可以给出更多实用性高的解决方案。

尽管四阶两点边值问题的多重正解有许多优点，如精确性、实用性等，但也存在着一些局限性，比如误差可能较大。

尽管如此，多重正解仍然是解决四阶两点边值问题有用的工具，不仅可以得到准确的解，而且可以提供值得信赖的计算结果。

数值分析简明教程课后习题答案(第二版)

0.1算法1、（p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2）证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

牛顿科特斯公式代数精度

牛顿科特斯公式代数精度牛顿-科特斯公式是数值分析中用于数值积分的重要公式之一。

对于从小学到高中的教材来说，这部分内容一般不会涉及，因为它属于大学高等数学的范畴。

不过既然咱们要聊聊这个，那我就试着用一种相对简单易懂的方式来给您讲讲。

想象一下，您要计算一个不规则图形的面积，但是又没办法直接用我们熟悉的几何公式来求解。

这时候，数值积分就派上用场啦。

牛顿-科特斯公式就是众多数值积分方法中的一种。

它的代数精度可是个关键的特性呢。

所谓代数精度，简单来说，就是指一个数值积分公式对于多少次多项式能精确成立。

比如说，如果一个公式对于一次多项式能精确积分，那它的代数精度就是 1；如果对于二次多项式能精确积分，代数精度就是 2，以此类推。

咱们来具体看看牛顿-科特斯公式。

它是通过把积分区间分成若干等份，然后用每个小分段上的函数值来近似计算积分的。

比如说，我们把区间 [a, b] 分成 n 等份，每个小分段的长度就是 h = (b - a) / n。

然后根据不同的 n 值，就有了不同的牛顿-科特斯公式，像 n = 1 时的梯形公式，n = 2 时的辛普森公式等等。

梯形公式的代数精度是 1。

为啥呢？咱们假设被积函数是 f(x) = mx + c 这样的一次函数，用梯形公式计算积分，算出来的结果和精确值是一样的。

但如果是二次函数，就可能有误差啦。

辛普森公式就更厉害了，它的代数精度是 3。

比如说对于 f(x) =ax^2 + bx + c 这样的二次函数，用辛普森公式积分能得到精确结果。

我记得有一次给大学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别较真儿，一直问我为啥这个公式是这样不是那样。

我就耐心地给他一步一步推导，从最基本的概念开始，直到他终于恍然大悟，那种满足感真的很棒。

总之，牛顿-科特斯公式的代数精度是我们判断它在不同情况下准确性的重要指标。

了解了它，我们就能更好地在数值计算中选择合适的方法，得到更精确的结果。

虽然对于小学到高中的同学们来说，这些知识可能有些遥远，但数学的世界就是这样，一环扣一环，每一个新知识都是建立在之前的基础上的。

互异节点与代数精度

互异节点和代数精度在数值分析中是两个相关的概念。

互异节点指的是在数值积分或数值微分中，用于近似表达函数值的离散点，这些点在位置上互不相同。

在插值型求积公式中，互异节点常常用于确定多项式的零点，以便精确地计算定积分。

代数精度指的是求积公式的精度等级。

具体来说，对于含有n个互异节点的插值型求积公式，如果它能精确地计算次数不超过n的多项式函数的定积分，那么它的代数精度就达到了最高。

例如，对于含有5个互异节点的插值型求积公式，如果它能精确地计算次数不超过4的多项式函数的定积分，那么它的代数精度就是4。

因此，互异节点和代数精度是相关的，因为互异节点的数量决定了代数精度的上限。

一般来说，增加互异节点的数量可以提高求积公式的代数精度，从而更精确地计算定积分。

但同时，增加节点数量也会增加计算复杂度，因此需要在精度和效率之间进行权衡。

二阶代数精度的证明

二阶代数精度的证明摘要：1.引言2.二阶代数精度的定义和重要性3.二阶代数精度的证明方法4.结论正文：【引言】二阶代数精度是代数学中的一个重要概念，它对于理解和解决许多代数问题具有关键意义。

在本文中，我们将介绍如何证明二阶代数精度。

【二阶代数精度的定义和重要性】二阶代数精度是指在代数运算中，二次方程的解的存在性和唯一性。

更具体地说，如果一个二次方程$ax^2+bx+c=0$ 有两个不同的实数解，那么我们就说这个二次方程具有二阶代数精度。

二阶代数精度的重要性体现在许多代数问题的解决过程中，例如求解二次方程、判断二次方程的根的性质等。

【二阶代数精度的证明方法】为了证明二阶代数精度，我们需要使用代数学中的一些基本原理和方法，包括：1.韦达定理：韦达定理是代数学中的一个基本原理，它告诉我们，对于任意二次方程$ax^2+bx+c=0$，它的两个根$x_1$ 和$x_2$ 满足$x_1+x_2=-frac{b}{a}$ 和$x_1x_2=frac{c}{a}$。

2.判别式：判别式是代数学中用于判断二次方程的根的性质的一个量。

对于二次方程$ax^2+bx+c=0$，它的判别式为$Delta=b^2-4ac$。

如果$Delta>0$，则方程有两个不同的实数解；如果$Delta=0$，则方程有两个相同的实数解；如果$Delta<0$，则方程无实数解。

通过使用韦达定理和判别式，我们可以证明二阶代数精度。

具体地，我们可以证明，当判别式$Delta>0$ 时，二次方程$ax^2+bx+c=0$ 有两个不同的实数解，即具有二阶代数精度。

【结论】二阶代数精度是代数学中的一个重要概念，它对于理解和解决许多代数问题具有关键意义。

通过使用韦达定理和判别式，我们可以证明二阶代数精度。

证明simpson公式代数精度是3

证明simpson公式代数精度是3为了证明Simpson公式代数精度是3，我们需要证明该公式在计算2次多项式时是精确的，但在计算3次多项式时却存在误差。

根据Simpson公式，用于计算在区间[a,b]上的函数f(x)的积分近似值的公式为：S(h) = (b-a)/6 * [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]其中，h为区间[a,b]的步长，即h = (b-a)/2。

我们假设f(x)是一个3次多项式，即f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。

首先，我们将S(h)用f(x)的Taylor级数展开：f(x) = f(a) + f'(a) * (x-a) + (1/2)f''(a) * (x-a)^2 + (1/6)f'''(a) * (x-a)^3 + O(h^4)其中，O(h^4)表示高阶项的误差项。

代入S(h)公式中，得到：S(h) = (b-a)/6 * [ f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b) ]= (b-a)/6 * [ f(a) + 4[f(a+h) + f(a+2h)] + f(b) ]= (b-a)/6 * [ f(a) + 4[(a+h)^3a + (a+h)^2b + (a+h)c + d] +[a+2h)^3a + (a+2h)^2b + (a+2h)c + d] + f(b) ]= (b-a)/6 * [ (2a+2c)h + (4a+2b)h^2/3 + (4a+8c)h^3/27 + O(h^4) ] 对于2次多项式，我们有a,b,c,d四个未知系数。

当代入f(x) = ax^2 + bx + c时，有：f((a+b)/2) = a((a+b)/2)^2 + b((a+b)/2) + c= (a/4+b/2+c/4)(a+b)= [(1/4)a + (1/2)b + (1/4)c]a + [(1/4)a + (1/2)b + (1/4)c]b + [(1/4)a + (1/2)b + (1/4)c]c因此，S(h)对于2次多项式的结果为：S(h) = (b-a)/6 * [ f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b) ]= (b-a)/6 * [ (a+c) + 4[(1/4)a + (1/2)b + (1/4)c]a + 4[(1/4)a +(1/2)b + (1/4)c]b + (1/14)a + (1/2)b + (1/4)c) ]= (b-a)/6 * [(1/3)a + (4/3)b + (1/3)c]因此，S(h)对于2次多项式的结果与积分的值完全相等，即S(h)的代数精度为3。

复化梯形公式的代数精度

复化梯形公式的代数精度一、复化梯形公式的定义。

1. 梯形公式。

- 对于定积分∫_a^bf(x)dx，梯形公式为T = (b - a)/(2)[f(a)+f(b)]。

- 它是用梯形的面积来近似曲边梯形的面积，梯形的上底为f(a)，下底为f(b)，高为b - a。

2. 复化梯形公式。

- 将区间[a,b]分成n等份，子区间[x_i,x_i + 1]的长度h=(b - a)/(n)，其中x_i=a+ih，i = 0,1,·s,n。

- 复化梯形公式为T_n=(h)/(2)[f(a)+2∑_i = 1^n - 1f(x_i)+f(b)]。

二、代数精度的概念。

1. 对于一个数值求积公式∫_a^bf(x)dx≈∑_i = 0^mA_if(x_i)，如果对于次数不超过p 的多项式f(x)，该求积公式精确成立，而对于x^p+1不精确成立，则称该求积公式具有p次代数精度。

1. 证明复化梯形公式对于一次多项式是精确成立的。

- 设f(x)=Ax + B，a=x_0，b=x_n，h=(b - a)/(n)。

- ∫_a^b(Ax + B)dx=<=ft[(A)/(2)x^2+Bx]_a^b=(A)/(2)(b^2-a^2)+B(b - a)。

- 对于复化梯形公式T_n，T_n=(h)/(2)[f(a)+2∑_i = 1^n - 1f(x_i)+f(b)]。

- 因为x_i=a+ih，f(x_i)=A(a + ih)+B。

- ∑_i = 1^n - 1f(x_i)=∑_i = 1^n - 1[A(a + ih)+B]=(n - 1)Aa+(A(n - 1)n)/(2)h+(n - 1)B。

- T_n=(h)/(2)[(Aa + B)+2((n - 1)Aa+(A(n - 1)n)/(2)h+(n - 1)B)+(Ab + B)]。

- 化简后可得T_n=(A)/(2)(b^2-a^2)+B(b - a)，所以复化梯形公式对于一次多项式精确成立。

中矩形公式的代数精度

中矩形公式的代数精度
中矩形公式是数值积分（数值计算中的一种方法）中的一种近似方法。

它采用的是较为简单的计算步骤，因此使用广泛，特别是在初学者学习数值积分时会比较容易掌握。

下面我们就来介绍一下中矩形公式的代数精度：
1. 什么是代数精度？
代数精度是指数值积分方法在求解特定的积分时所得到的精度，通常使用级数展开来进行求解。

我们可以将其表示为：
f(x)dx = I ，则有：
∫(a,b) f(x)dx ≈ I(h)，其中h是区间（a,b）上的步长，I(h)是通过数值积分方法所得到的近似解。

2. 中矩形公式的代数精度
对于中矩形公式，我们可以进行级数展开，得到它的代数精度为
O(h^2)。

也就是说，在选取步长h时，中矩形公式的误差与h的平方成正比。

因此，如果我们选择较小的步长，就可以得到更为精确的数值积分值。

3. 如何选择步长？
选择步长的主要目的是为了提高数值积分的精度，但同时也需要考虑到计算效率和计算机精度的限制。

一般来说，我们可以通过以下几种方法来选择步长：
（1）根据公式的代数精度，选择一个足够小的步长，以保证误差的可接受范围内。

（2）根据所求积分函数的特点，选择一个合适的步长。

如果积分函数在某个区间上变化较快，可以适当缩小步长，使得数值积分值更加准确。

（3）通过反复迭代计算，和误差分析来确定合适的步长。

总之，中矩形公式是一种广泛应用于数值计算中的近似方法，对于初学者来说也比较容易掌握。

在选择步长时，要根据公式的代数精度、所求积分函数的特点以及计算机精度等因素进行综合考虑。

二阶代数精度的证明

二阶代数精度的证明文章题目：探索二阶代数精度：从理论到实践的证明导言：自从人类建立数学意识以来，代数精度一直是数学领域中一个重要而复杂的概念。

在数值计算和数学建模中，代数精度是评估算法和方法准确性的关键指标之一。

本文将从理论和实践的角度深入探讨二阶代数精度，并通过数学证明展示其重要性和应用性。

第一部分：理论基础1. 什么是代数精度？代数精度是指一个数值算法或数学方法在逼近某个数学问题解的过程中，其误差与所采用的数值步长的关系。

代数精度高的算法意味着它可以以更小的步长逼近真实解，并在一定程度上减小误差。

代数精度可用来评估算法的准确性和稳定性。

2. 为什么二阶代数精度重要？在数值计算中，二阶代数精度是一种常见的标准，因为它能够更快速地逼近真实解，并减少求解过程中的误差。

二阶代数精度的算法通常具有更高的效率和稳定性，因此在实际应用中被广泛采用。

第二部分：证明二阶代数精度3. 二阶代数精度的数学证明对于一个数值算法或数学方法，假设我们使用步长h进行近似求解。

二阶代数精度要求算法的误差项在h^2阶附近，并满足以下条件：(1) 算法在h趋近于0时收敛到真实解。

(2) 算法的误差项以h^2的方式逼近0。

符合以上条件的算法即可被称为具有二阶代数精度。

接下来，我将通过数学推导给出一个示例证明。

4. 数学示例证明考虑求解微分方程的数值算法。

假设我们使用一种二阶差分格式，如中心差分方法。

对于微分方程y'' = f(x)，我们将y(x)在点x_i处展开成泰勒级数，得到：y_i+1 = y_i + hy'_i + \frac{h^2}{2} y''_i + O(h^3)其中，y_i为真实解在点x_i处的值，h为步长。

我们可以观察到，步长的平方项(h^2)是误差项的主导部分。

这种差分格式具有二阶代数精度。

第三部分：实践应用5. 实践中的二阶代数精度在实际应用中，二阶代数精度的算法被广泛应用于数值模拟、物理建模和工程计算等领域。

测电感四分之根号二

测电感四分之根号二
摘要：
一、测电感四分之根号二的概念
二、测电感四分之根号二的公式推导
三、测电感四分之根号二的实验验证
四、测电感四分之根号二在实际应用中的意义
正文：
一、测电感四分之根号二的概念
测电感四分之根号二，即电感的测量值除以电感的真实值，再开四次方根，其数学表达式为L^(1/4)。

在电感测量中，由于电感表的灵敏度以及线圈自身等因素的影响，使得测得的电感值并非电感的真实值，而是比真实值要大。

测电感四分之根号二就是为了修正这一偏差，得到更接近真实值的电感值。

二、测电感四分之根号二的公式推导
测电感四分之根号二的公式推导较为复杂，涉及到电感的定义以及测量原理。

在此不再详细展开，有需要了解具体推导过程的读者可以查阅相关资料。

三、测电感四分之根号二的实验验证
在实验室中，可以通过搭建特定的电路来验证测电感四分之根号二的准确性。

实验过程中，首先需要测量电感的真实值，然后通过测电感四分之根号二公式计算得到预测值，最后将预测值与真实值进行比较，验证测电感四分之根号二的准确性。

四、测电感四分之根号二在实际应用中的意义
在实际应用中，测电感四分之根号二可以帮助工程师更准确地设计和调试电路。

例如，在无线电通信系统中，电感的大小对于信号的传输和匹配有着关键的影响。

通过测电感四分之根号二，可以得到更准确的电感值，从而优化电路性能，提高通信质量。

Ch4.4_高精度求积

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龙贝格算法的例子
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龙贝格算法的例子
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龙贝格算法的实现
h=b-a; n=1; T[0][0]=h/2*(f(a)+f(b)); for(i=1;i<14;i++){ s = 0; for(j=0;j<n;j++) s=s+f(a+(j+0.5)*h); T[i][0]=0.5*T[i-1][0]+h/2*s; for(j=1;j<=i;j++) T[i][j]=(pow(4,j)*T[i][j-1]-T[i-1][j-1])/(pow(4,j)-1); err=fabs(T[i][i-1]-T[i-1][i-1]); h=h/2; n=n*2; if (err<=1e-5) break; } printf("#interval=%d, err=%0.5f, res=%0.5f\n", n,err,T[i][i]);
基于复化梯形公式的高精度求积
梯形公式余项理查森外推法与龙贝格算法龙贝格算法的实现龙贝格算法的例子
1
梯形公式余项
复化梯形公式
余项展开式
2
理查森外推法：一次外推
3
理查森外推法：两次外推
4
理查森外推法：m次外推（龙贝格算法）
0次外推，直接使用复化梯形公式，误差量级为O(h2) 1次外推，误差量级为O(h4) m次外推，误差谅解为O(h2m+2)
5
龙贝格算法的实现
二维数组T存储积分
T[i][j]：2i个子区间，j次外推 T[i][0]：0次外推，采用自适应复化梯形方法求解
迭代公式

代数精度插值求积及复化公式 ppt课件

k0
称之为n阶牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式简记为N-C公式，
称
C
( k
n
)
为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被积函数f
(x)
和积
分区间[a, b] 无关，且为多项式积分，其值可以事先求出备用。
表7-1中给了了部分柯特斯系数。
表7-1
柯特斯系数
C k ( n ) A B k ( k 0 , 1 , ,n )
k 0
k 0
因此，式（7-1）可作为一般的求积公式,其特点是将积分问
题归结为函数值的计算,从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需
要求原函数的困难,适合于函数给出时计算积分,也非常便于设计
算法,便于上机计算。
求积公式（7-1）的截断误差为：
b
n
R (f)R nIInaf(x )d x A kf(x k) Rn也称为积分余项.
则有：
b
n
I f(x)dx a
Akf(xk)In
k0
这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为插值型求积公式.
根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：
R n I Ina b [f(x ) L n (x )]d xa bf(( n n 1 ) 1 ( ))! k n 0(x x k)d x (-7 6其)中[a,b] 与x有关.
n
A
Bk
1
1/2
11
2
1/6
1 41
3
1/8
1 33 1
4
1/90
7 32 12 32 7
5
1/288 19 75 50 50 75 19
6
1/840 41 216 27 272 27 216 41

科茨公式的代数精度

科茨公式的代数精度科茨公式是一种非常常用的数值求解常微分方程的方法之一。

它的代数精度是非常高的，可以达到4阶或更高。

那么，究竟什么是代数精度？代数精度又与科茨公式有何关系呢？本文将详细解答这些问题。

代数精度是我们衡量数值方法求解微分方程时误差的一种指标。

它是指，在区间$h$内所得到的数值解与精确解之差的最高阶项。

例如，如果我们用数值方法所得到的数值解为$p(h)$，精确解为$y(h)$，那么代数精度可以表示为：$p(h)-y(h)=\mathcal{O}(h^k)$，其中$k$就是代数精度。

科茨公式是一种多步法，它的公式可以表示为$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(f_n+f_{n+1})$。

其中，$h$是步长，$f_n$是在$t_n$时刻处的导数（或者说斜率），$f_{n+1}$为$t_{n+1}$时刻处的导数，$y_n$为在$t_n$时刻处的数值解，$y_{n+1}$为在$t_{n+1}$时刻处的数值解。

经过计算可以发现，科茨公式的时间误差项是$\mathcal{O}(h^3)$，代数精度可以达到3阶。

但是，这只是对于单个时间步骤而言。

若我们采用多步法，将多个时间步骤链接起来求解，代数精度就可以达到4阶及以上。

换句话说，科茨公式的代数精度是与时间步骤的个数有关的。

因此，若我们想要提高科茨公式的代数精度，我们可以采用更多的时间步骤。

当然，这也会带来一定的计算量和存储量的增加。

总之，科茨公式是一种非常常用的数值求解微分方程的方法，它的代数精度可以达到3阶甚至更高。

同时，我们也可以通过增加时间步骤来提高其代数精度。

这对于数值计算的精度和效率都有很大的帮助。

二阶代数精度的证明

二阶代数精度的证明一、引言在数值计算中，代数精度是评估数值方法误差的一个重要指标。

对于一个数值方法而言，如果它能够以二阶代数精度逼近解析解，那么我们可以说该方法具有较高的精度。

本文将探讨二阶代数精度的证明，包括定义、推导和具体例子。

二、定义2.1 代数精度代数精度是指数值方法逼近解析解的误差大小。

对于一个数值方法，如果它以二阶代数精度逼近解析解，那么它的误差可以表示为：|E(ℎ)|=C⋅ℎ2其中，E(ℎ)是数值方法的误差，ℎ是步长，C是一个常数。

2.2 步长步长ℎ是指在数值方法中，自变量的取值间隔。

对于微分方程求解问题，步长即是网格点之间的距离。

较小的步长可以提高数值方法的精度，但也会增加计算量。

三、推导3.1 泰勒展开为了证明一个数值方法具有二阶代数精度，我们需要使用泰勒展开。

泰勒展开可以将一个函数在某一点的附近用多项式表示，具体形式如下：f(x+ℎ)=f(x)+ℎf′(x)+ℎ22f″(x)+O(ℎ3)其中，f′(x)和f″(x)分别表示函数f(x)在点x处的一阶和二阶导数。

3.2 数值方法的逼近误差假设我们有一个数值方法，用于求解微分方程。

我们将步长ℎ取得很小，那么在每个网格点处，数值方法的逼近误差可以表示为：E i(ℎ)=u(x i)−u i其中，u(x i)是解析解在网格点x i处的值，u i是数值方法在网格点x i处的值。

3.3 利用泰勒展开推导逼近误差我们可以利用泰勒展开推导数值方法的逼近误差。

以一阶导数为例，将f(x+ℎ)展开到二阶项，可以得到：f(x+ℎ)=f(x)+ℎf′(x)+ℎ22f″(x)+O(ℎ3)将上式中的f(x)替换为u(x)，f′(x)替换为u′(x)，f″(x)替换为u″(x)，得到：u(x+ℎ)=u(x)+ℎu′(x)+ℎ22u″(x)+O(ℎ3)将上式中的x替换为x i，ℎ替换为ℎi，得到：u(x i+ℎi)=u(x i)+ℎi u′(x i)+ℎi22u″(x i)+O(ℎi3)将上式左边的u(x i+ℎi)替换为u i，得到：u i=u(x i)+ℎi u′(x i)+ℎi22u″(x i)+O(ℎi3)将上式两边的u(x i)相减，得到：E i(ℎi)=ℎi u′(x i)+ℎi22u″(x i)+O(ℎi3)将上式整理，得到：E i(ℎi)=C1ℎi+C2ℎi2+O(ℎi3)其中，C1=u′(x i)，C2=12u″(x i)。

ch.4 测度与维

0

称 H p (F ) 为集合 F 的 p 维 Hausdorff 测度。实际上，上式中的极限通常为或 0 。
上式的一个等价定义是
H p ( F ) sup Hp ( F )
p 这是因为 H (F ) 式是减少时的递增函数。
0

在Euclid几何里，长度、面积和体积与边长有关系：， 2 和 3 ，Hausdorff 测度似乎有 p，它推广了长度、面积和体积等概念。
M (F ) ~ c p

式中 c ，p 皆为常数，上式又称为逆幂律。显然
ln M ( F ) ~ ln c p ln

当 0 时，
ln M ( F ) p lim 0 ln

1. 盒维（box dimension）盒维出现在20世纪20年代，曾被冠以度量维、信息维、Kolmogorov熵、熵维、容量维等名称。由于

于是
, p dim H F H (F ) 0 , p dim H F
p

H p (F )
0

dim H F
p

图4.1 Hausdorff 测度从无穷猛降为 0 时的临界值

例4.1 考虑 R 3上一个平面单位圆盘，求 dim H F ?
H ( F ) length( F ) lim(inf( Ui ))

Hp ( F ) t p Hp ( F )

令 0 ，若 0 H p ( F ) ，必有H t ( F ) 0(t p)。 p 0 同理可证，当 t p时，若 0 时， H ( F ) 必有。

辛普森法代数精度

辛普森法代数精度
辛普森法是一种常用的数值积分方法，用于解决微分方程的近似解。

它的原理是将区间[a,b]分成若干小区间，然后在每个小区间内使用多项式近似函数的值。

辛普森法的代数精度是指在解决数值积分问题时所能达到的最高精度。

通常情况下，辛普森法的代数精度为O(h^4)，其中h是小区间的长度。

这意味着，当小区间越小，辛普森法的精度就越高。

在计算时，辛普森法的代数精度通常与被积函数的连续性有关。

如果被积函数在整个区间[a,b]内都是连续的，那么辛普森法的精度就会更高。

但如果被积函数存在突变点，那么辛普森法的精度就会降低。

辛普森法的代数精度是一个重要的指标，它可以帮助我们评估辛普森法在解决数值积分问题时的精确度。

通常情况下，辛普森法的代数精度较高，因此它在解决数值积分问题时非常有效。

双精度型实数的有效位

双精度型实数的有效位
双精度型实数是一种常见的数据类型，通常被用来表示较大或较小的实数值。

有效位指的是在双精度型实数中有效的数字位数，也就是真正能够表达的精度。

在双精度型实数中，有效位数通常为15到17位左右，这意味着数值精度的最大误差约为10的负16次方到10的负18次方，也就是说，双精度型实数能够表达的数值范围大约为10的负308次方到10的308次方之间。

虽然双精度型实数的有效位数很高，但是在进行科学计算或者涉及到精度要求较高的运算时，还是需要注意有效位数的限制。

在进行浮点数运算时要特别注意，因为浮点数的舍入误差问题容易导致计算结果的不准确性。

因此，在进行精度要求较高的计算时，可以采用高精度计算方法，例如使用基于整数运算的多倍长整数库等。

总之，双精度型实数的有效位数虽然高，但在进行精度要求较高的计算时仍然需要注意有效位数的限制，并采用合适的计算方法，以保证计算结果的准确性。

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