多项式最大公因式的求解
多个多项式的最大公因式
多个多项式的最大公因式哎呀，今天咱们来聊聊多项式的最大公因式。
听起来有点吓人，但别担心，咱们慢慢来，轻松搞定这个话题。
啥是多项式呢？简单来说，多项式就是像 (x^2 + 2x + 1) 这样的东西。
就像是一道甜品，里面有不同的“材料”。
有的多项式简单，有的复杂，就像有的蛋糕是奶油的，有的是巧克力的。
现在，讲到最大公因式，哎，听起来高大上，但其实很简单。
就是找到几个多项式之间的“共同点”。
就像一群小伙伴，总得有些共同爱好才能一起玩得开心，对吧？想象一下，你和你的朋友们玩儿游戏，大家都有自己的角色，像小猪、小猫、小狗。
现在要找出你们都喜欢的角色，比如说，小猫，哈哈。
这个“小猫”就像是你们的最大公因式。
让我们深入一点，怎么找这个最大公因式呢？可以先把每个多项式“拆开”，找出它们的“因子”。
这就像把蛋糕切成小块，看看哪一块能分享给大家。
比如说，假设你有两个多项式，(x^2 + 5x + 6) 和 (x^2 + 3x + 2)。
你可以把它们都拆解成 ((x + 2)(x + 3))和 ((x + 1)(x + 2))。
嘿，看到没？“(x + 2)”就是它们的最大公因式。
可能有人会觉得，“哎，太麻烦了，我才不想一个个去拆呢。
”这倒也没错，但有些方法可以让这变得简单点。
比如说，咱们可以用辗转相除法，这个听起来像个高深的法术，其实操作起来简单极了。
就像洗衣服，虽然过程有点繁琐，但最终衣服干净了，那就值了。
用辗转相除法，咱们可以用一个多项式去“除”另一个，多次循环，直到找出最大公因式。
每次的“余数”就像是在给你提示，告诉你往哪儿走。
碰到多个多项式的时候，找最大公因式就像是大扫除，一开始可能会觉得无从下手，但只要找对方法，最后的结果绝对让你心满意足。
想想，大家都在一起，像个大家庭，找到的那个共同点，是不是特别有成就感呢？你会发现，数学其实是有趣的，就像发现宝藏一样，有时候那个“宝藏”就在你面前，只需要用心去找。
有些人可能会觉得这些都是死记硬背的公式，呸，真是想错了！数学像一场游戏，每个方程、每个公式都是不同的关卡。
多项式的最大公因式
4.4 多项式的最大公因式授课题目：4.4多项式的最大公因式教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质授课时数：4学时教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法教学过程：一、多项式的最大公因式的定义1、定义（公因式与最大公因式）定义 1 若)(x h 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，则称)(x h 是)(x f 与)(x g 的公因式。
因,0),(|),(|≠c x g c x f c 所以任意两个多项式都有公因式。
定义2 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，如果对于)(x f 与)(x g 的 任一个公因式)(x h ，都有),(|)(x d x h 则称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。
2.几个直接的结果1）)()(|)(x g x f x g ⇒与)(x cg 都是)(x f 与)(x g 的最大公因式。
2） 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式3、最大公因式之间的关系定理4.4.1 如果 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如()(,0)cd x c F c ∈≠的多项式。
证 设12(),()d x d x 是()f x 与()g x 的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有1221()|(),()|()d x d x d x d x 。
所以存大,0c F c ∈≠，使12()()d x cd x =。
（证毕）由Th.4.4.1,只要能求出f g 与的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。
我们用((),())f x g x 来表示首项系数为1 的那个最大公因数。
当 ()()0f x g x == 时，规定 ((),())0f x g x = .注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。
初中数学 如何求两个多项式的最大公因式
初中数学如何求两个多项式的最大公因式求两个多项式的最大公因式有多种方法，以下是常用的两种方法：1. 因式分解法：通过对两个多项式进行因式分解，可以找到它们的最大公因式。
具体步骤如下：a. 将每个多项式进行因式分解，得到它们的所有因子。
b. 找出两个多项式的因子中的公共因子，并确定其中次数最高的因子作为最大公因式。
c. 如果存在多个次数相同的因子，它们的乘积即为最大公因式。
举一个具体的例子，假设有两个多项式f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x 和g(x) = 4x^2 - 8x。
我们可以将它们进行因式分解：f(x) = 2x(x-1)(x-2)g(x) = 4x(x-2)从中可以看出，两个多项式的公因式是2x和(x-2)，其中次数最高的公因式是(x-2)，因此最大公因式为(x-2)。
2. 辗转相除法：通过辗转相除法，也称为欧几里得算法，可以求得两个多项式的最大公因式。
具体步骤如下：a. 选择两个多项式进行除法运算，将次数高的多项式作为被除数，次数低的多项式作为除数。
b. 进行除法运算，得到商和余数。
c. 将除数替换为原来的被除数，将余数替换为原来的除数，再次进行除法运算。
d. 重复以上步骤，直到余数为零。
此时，最后一个除数即为两个多项式的最大公因式。
举一个具体的例子，假设有两个多项式f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x 和g(x) = 4x^2 - 8x。
我们可以使用辗转相除法求解：首先，将f(x)除以g(x)：f(x) / g(x) = (2x^3 - 6x^2 + 4x) / (4x^2 - 8x)= 1/2x - 1/2然后，将g(x)除以余数1/2：g(x) / 1/2 = (4x^2 - 8x) / (1/2)= 8x - 16继续，将余数1/2除以8x - 16：1/2 / (8x - 16) = 1/16(x - 2)最后，余数为零，因此最后一个除数1/16(x - 2) 即为两个多项式的最大公因式。
初中数学 如何找到一个多项式的最大公因式
初中数学如何找到一个多项式的最大公因式
要找到一个多项式的最大公因式，可以采用以下方法：
1. 因式分解法：
首先，将多项式进行因式分解，将其写成若干个因子的乘积形式。
然后，找到这些因子中的公共因子，将其提取出来，即可得到最大公因式。
2. 辗转相除法（欧几里得算法）：
辗转相除法也可以用于多项式的最大公因式的求解。
将两个多项式进行相除运算，直到余式为0。
此时，最后一次相除的除数即为最大公因式。
3. 多项式的公共因式法：
对于多个多项式，可以逐步寻找它们的公共因式。
首先，找到其中两个多项式的最大公因式，然后再将这个最大公因式与下一个多项式进行求最大公因式的运算，直到所有多项式都被考虑完毕。
这样得到的最大公因式即为所求。
4. 使用多项式的因子定理：
多项式的因子定理可以用于求解多项式的因子，进而得到最大公因式。
根据因子定理，如果某个数是多项式的根，那么这个数可以整除多项式。
因此，通过尝试多项式的可能根，找到其中能够整除多项式的数，然后将这些数与多项式进行除法运算，找到最大的公因式。
需要注意的是，对于高次数的多项式，可能需要使用更高级的方法来找到最大公因式。
此外，在实际求解中，可能需要使用计算工具、计算机软件或在线计算器等辅助工具来进行计算。
希望这个解答对您有所帮助。
如果您还有任何问题，请随时提问。
§1.4 多项式的最大公因式
第一章
多项式
例1.4.1： 设 求
f x x4 3x3 x2 4x 3,
f x , g x ，和 u x , v x , 使 f x , g x u x f x v x g x
第一章 多项式
g x 3x3 10x2 2x 3.
多项式互素的性质。 性质1： f x , h x 1, g x , h x 1, 若 证： 则 f x g x , h x 1.
f x g x v x.
多项式
第一章
证明： 1、若 f x g x 0, 则 f x , g x 的最大公因式是0。 显然有 d x f x u x g x v x , u x , v x 任意。 2、若 f x 0, g x 0, 则 f x , g x 的最大公
d x rk x f x u x g x v x
多项式
第一章
设 d1 x , d2 x 都是 f x , g x 的最大公因式， 则有 d1 x d 2 x , d 2 x d1 x , d 2 x c d1 x 即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。 若用 f x , g x 表示 f x , g x 中首项系数为1的 最大公因式，则 f x , g x 唯一确定。
d ( x) f ( x) g( x), d ( x) h( x)
d ( x) g ( x) d ( x) 1. 性质2：若 h x f x g x , 且 h x , f x 1,
最大公因式的求法举要
最大公因式的求法举要
最大公因式（GreatestCommonDivisor，简称GCD）指的是两个或多个数的最大公约数，也称作最大公因子、最大公约数、最大公因数、最大公公式或者最大公因式，简称GCD。
二、最大公因数求法
1、欧几里得算法（辗转相除法）
欧几里得算法（辗转相除法）是一种用于求解最大公因数的经典方法。
它的基本思想是，用较大的数除以较小的数，然后再用较小的数除以余数，再用余数去除以余数，直到余数为0，此时最大公因数即为被除数。
2、积性函数
积性函数是一种将一个多项式的最大公因式分解为两个较小的多项式的最大公因式的函数。
它的基本思想是，将需要求解的多项式分解为两个更小的多项式，然后求解每个小多项式的最大公因式，最后将每个小多项式的最大公因式通过乘积的方式相乘，得到原多项式的最大公因式。
3、中国剩余定理
中国剩余定律是一种用于求解最大公因式的数学方法。
中国剩余定律是求解一个给定系统的一个条件的一般解的定理，它的基本思想是，将最大公因式拆分为多个较小的公因式，然后将每个较小的公因式的所有可能的值列出来，构成向量，最后使用中国剩余定律来确定最大公因式。
三、结论
以上就是最大公因式的求法举要，最大公因式（GCD）是一个用于求解最大公因数的重要概念，可以帮助我们理解和解决数学计算问题。
前，欧几里得算法（辗转相除法）、积性函数以及中国剩余定理都是求解最大公因式的常用方法，各有优势和适用范围。
此，在求解最大公因数的问题时，必须根据实际情况，从上述三种方法中选择最适合的算法，来正确求解最大公因式。
- 1 -。
公因式知识点总结
公因式知识点总结一、定义公因式是指两个或多个多项式中公有的因式，可以被每一个多项式整除的因式。
比如，对于多项式2x^2+4x，我们可以分解因式2x(x+2)，其中2x是公因式。
二、求公因式的方法1. 求出每个多项式的所有因式；2. 找出所有多项式中的公有因式。
例如，对于两个多项式4x^2-9和12x^2-27，首先分解因式得到：4x^2-9 = (2x+3)(2x-3)12x^2-27 = 3(2x+3)(2x-3)然后我们可以发现两个多项式中都有因式2x+3和2x-3，因此这两个因式就是两个多项式的公因式。
三、公因式与最大公因式最大公因式是指两个或多个多项式中所有公因式中次数最高的那个因式，也就是说最大公因式不仅是公因式，而且是所有公因式中次数最高的那个。
比如，对于两个多项式3x^2+6x和9x^3-12x^2，我们可以分解因式得到：3x^2+6x = 3x(x+2)9x^3-12x^2 = 3x^2(3x-4)其中，两个多项式的公因式为3x，而最大公因式为3x^2。
四、公因式的运用1. 整理多项式当我们将多项式进行因式分解时，公因式可以帮助我们把多项式进行合并和简化，从而更容易求解或进行其他运算。
比如，对于多项式6x^2+12x+18和9x^2-36，我们可以发现这两个多项式的公因式为3，因此可以将公因式提出来，得到：6x^2+12x+18 = 3(2x^2+4x+6)9x^2-36 = 3(3x^2-12)2. 求多项式的最大公因式在求解多项式的最大公因式时，公因式的概念非常重要。
因为只有找到了所有公因式，才能确定最大公因式。
比如，对于多项式12x^2+20x+8和16x^2-24x-8，我们可以展开因式分解，得到：12x^2+20x+8 = 4(3x^2+5x+2)16x^2-24x-8 = 4(4x^2-6x-2)这里我们发现两个多项式的公因式为4，而最大公因式为4(3x^2+5x+2)。
一个求多项式最大公因式的方法
一个求多项式最大公因式的方法
求多项式最大公因式是一个较复杂的数学问题，是successive approximation (逐步逼近)方法的一个实例。
多项式最大公因式包括两个以上多项式的最大集合，这
些多项式具有最大的出现次数，从而可以把一系列多项式表示为更短的形式。
求多项式最大公因式的步骤如下：
1. 列出待求多项式。
2. 对多项式按大小排列，使最大的多项式放在最左边，最小的多项式放在最右边。
3. 从右向左扫描，从右向左依次尝试不同的公因式，直到找到一个最大公因式。
4. 如果最大公因式在最右边，则说明最大公因式就是最右边的那个多项式。
5. 否则，那么保留公因式，把最右边的多项式除以最大公因式，记录结果，并把结果放在最右边。
6. 重复以上步骤，直到剩余的多项式中只有一个中止。
总结以上，求多项式最大公因式主要利用了successive approximation（逐步逼
近法）来求得，主要步骤是：对多项式排序，对最右边多项式从右向左尝试不同的公因式，直到找到一个最大公因式，然后将最右边的多项式除以结果，然后继续重复前述动作，直到只剩下一个多项式。
求多项式最大公因式与一般的数学计算不同，也不适合使用枚举等重复运算法，只有通过针对性的分析才能准确解决多项式最大公因式的问题。
因此，求多项式最大公因式必须要充分结合理论与实践，依据最优化的方法结合successive approximation来求解。
多项式辗转相除法
多项式辗转相除法，是基于高斯带余除法。
主要用于求解最大公因式。
所以辗转相除法求多项式最大公因式的过程是不断使用带余除法把次数降低，当恰好整除时就可以得到最大公因式的结果。
辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。
多项式辗转相除法是辗转相除法的扩展。
过程总结
1.多度项式的除法和数的除法过程很相似。
2.观察被除数的最高项系数，给合适的商消去最高项。
3.消完后余数我们再进行分式分解。
注意事项
•一个多项式能被另一个多项式整除。
•多项式除以多项式一般用竖式进行演算。
多项式辗转相除法实际上也是一种形式的因式分解。
也可以进行判别。
艾森斯坦(Eisenstein)判别法：设
是一个整系数多项式.如果有一个素数p，使得
(1)an不能整除以p
(2)a n-1,a n-2,...,a0均能整除以p
(3)a0不能整除以p²
那么f(x)在有理数域上是不可约的.。
1.2 多项式的最大公因式
性质3： 若 g x f x , h x f x , 又 g x , h x 1, 则 g x h x f x. 证：
第一章 多项式
的最大公因式， 则必存在 u x , v x F x ，使
定理1.2.2： F x 中任意两个多项式 f x 与g x 的最大公因式必存在，且若 d x 是 f x , g x
d x f x u x g x v x.
第一章
多项式
设 d1 x , d2 x 都是 f x , g x 的最大公因式， 则有 d1 x d 2 x , d 2 x d1 x , d 2 x c d1 x 即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。 若用 f x , g x 表示 f x , g x 中首项系数为1的 最大公因式，则 f x , g x 唯一确定。
约定：最大公因式首项系数为1.
第一章
多项式
二、两个多项式互素 定义3： f x , g x F x, 若 f x , g x 1, 则称 f x , g x 互素。 f x , g xБайду номын сангаас 1 的充要条件是存在 定理1.2.5： u x , v x F x , 使 f x u x g x v x 1 多项式互素的性质： 性质1： 若 f x , h x 1, g x , h x 1, 则 f x g x , h x 1.
多项式辗转相除法例题及解法
多项式辗转相除法例题及解法
多项式的辗转相除法是一种用来求解多项式的最大公因式的方法。
它类似于整数的辗转相除法，通过不断地进行除法运算，直到
余数为零，最终得到最大公因式。
下面我将以一个例题来说明多项
式的辗转相除法及其解法。
假设我们要求解多项式 f(x) = 2x^3 5x^2 + 3x 1 和 g(x) =
x^2 2x + 1 的最大公因式。
首先，我们将两个多项式按照次数排列：
f(x) = 2x^3 5x^2 + 3x 1。
g(x) = x^2 2x + 1。
接下来，我们用长除法的方法，将 f(x) 除以 g(x)。
首先将
f(x) 中次数最高的项除以 g(x) 中次数最高的项，得到商项和余项：2x^3 5x^2 + 3x 1 ÷ x^2 2x + 1。
计算得到商项为 2x 和余项为 3x 1。
然后，我们将余项再次除以 g(x)，得到新的商项和余项：
x^2 2x + 1 ÷ 3x 1。
计算得到商项为 3 和余项为 0。
因为余项为 0，所以辗转相除法的过程结束。
最大公因式为 g(x) = x^2 2x + 1。
这就是使用辗转相除法求解多项式最大公因式的过程。
通过不断地进行除法运算，我们可以得到最大公因式。
希望这个例题能帮助你理解多项式的辗转相除法及其解法。
多项式的最大公因式
4.4 多项式的最大公因式授课题目：4.4多项式的最大公因式教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质授课时数：4学时教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法教学过程：一、多项式的最大公因式的定义1、定义（公因式与最大公因式）定义 1 若)(x h 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，则称)(x h 是)(x f 与)(x g 的公因式。
因,0),(|),(|≠c x g c x f c 所以任意两个多项式都有公因式。
定义2 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，如果对于)(x f 与)(x g 的 任一个公因式)(x h ，都有),(|)(x d x h 则称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。
2.几个直接的结果1）)()(|)(x g x f x g ⇒与)(x cg 都是)(x f 与)(x g 的最大公因式。
2） 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式3、最大公因式之间的关系定理4.4.1 如果 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如()(,0)cd x c F c ∈≠的多项式。
证 设12(),()d x d x 是()f x 与()g x 的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有1221()|(),()|()d x d x d x d x 。
所以存大,0c F c ∈≠，使12()()d x cd x =。
（证毕）由Th.4.4.1,只要能求出f g 与的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。
我们用((),())f x g x 来表示首项系数为1 的那个最大公因数。
当 ()()0f x g x == 时，规定 ((),())0f x g x = .注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。
多项式的最大公因式
4.4 多项式的最大公因式授课题目：4.4多项式的最大公因式教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质授课时数：4学时教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法教学过程：一、多项式的最大公因式的定义1、定义（公因式与最大公因式）定义 1 若)(x h 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，则称)(x h 是)(x f 与)(x g 的公因式。
因,0),(|),(|≠c x g c x f c 所以任意两个多项式都有公因式。
定义 2 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，如果对于)(x f 与)(x g 的 任一个公因式)(x h ，都有),(|)(x d x h 则称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。
2.几个直接的结果1）)()(|)(x g x f x g ⇒与)(x cg 都是)(x f 与)(x g 的最大公因式。
2） 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式3、最大公因式之间的关系定理4.4.1 如果 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如()(,0)cd x c F c ∈≠的多项式。
证 设12(),()d x d x 是()f x 与()g x 的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有1221()|(),()|()d x d x d x d x 。
所以存大,0c F c ∈≠，使12()()d x cd x =。
（证毕）由Th.4.4.1,只要能求出f g 与的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。
我们用((),())f x g x 来表示首项系数为1 的那个最大公因数。
当 ()()0f x g x == 时，规定 ((),())0f x g x = .注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。
0多项式和0多项式的最大公因式
0多项式和0多项式的最大公因式一、引言在代数学中，多项式是一个数学表达式，由系数、变量和指数幂的有限和非负整数次幂组成。
多项式在代数学和数学分析中都有广泛的应用。
本文将讨论0多项式和0多项式的最大公因式的概念及其计算方法。
二、0多项式的定义0多项式是指所有系数都为0的多项式。
它的一般形式可以表示为：P(x)=0其中，P(x)是一个多项式，且所有系数均为0。
三、0多项式的最大公因式1. 最大公因式的定义在数学中，给定两个或多个多项式，它们的最大公因式是一个能够整除这些多项式的最高次数的多项式。
最大公因式的概念可以推广到0多项式之间的求解。
2. 0多项式的最大公因式的计算方法对于两个0多项式P(x)和Q(x)，它们的最大公因式记为G(x)。
我们可以使用以下步骤来计算0多项式的最大公因式：步骤1: 将两个0多项式相除计算P(x)除以Q(x)的商式和余式，得到：P(x)=Q(x)×S(x)+R(x)其中，S(x)是商式，R(x)是余式。
步骤2: 判断余式是否为0如果余式R(x)为0，则Q(x)是P(x)和Q(x)的最大公因式。
步骤3: 递归计算如果余式R(x)不为0，则用Q(x)和R(x)再次进行整除运算，重复上述步骤，直到余式为0为止。
步骤4: 返回最后的非零余式最终，最大公因式G(x)就等于最后一次计算的非零余式。
3. 示例我们通过一个简单的示例来演示0多项式的最大公因式的计算方法。
假设有两个0多项式:P (x )=3x 2−6x +9Q (x )=2x −4我们来计算它们的最大公因式。
步骤1: 将两个0多项式相除(3x 2−6x +9)=(2x −4)×(32x)+(5x +9) 步骤2: 判断余式是否为0由于余式不为0，我们需要继续计算。
步骤3: 递归计算现在我们将Q(x)和余式(5x + 9)进行整除运算。
(2x −4)=(5x +9)×25+(−5)步骤4: 返回最后的非零余式由于余式(-5)为非零，因此最大公因式G(x)为(-5)。
多项式最大公因式的几种求法
多项式最大公因式的几种求法
发表时间：2015-09-21T16:46:59.207Z 来源：《教育学》2015年10月总第86期供稿作者：陈萍[导读] 华南师范大学数学科学学院多项式理论是高等代数的重要组成部分，求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位。
陈萍华南师范大学数学科学学院广东广州510631
摘要：多项式既是初高中课本的重要内容，也是大学数学高等代数的重要组成部分，而求多项式的最大公因式也成为了高等代数中最基本同时也是最重要的一个知识点。
而本文将从辗转相除、矩阵的初等变换以及矩阵的初等变换等不同角度给出了一元多项式的最大公因式的不同求法。
关键词：最大公因式辗转相除初等变换
多项式理论是高等代数的重要组成部分，求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位。
如何求多项式最大公因式，除了《高等代数》介绍的辗转相除法外，还有一些其他的较为便捷的方法，作者经过大量地查阅资料后，总结出较为经典的算法，并于此文一一介绍。
由上面的介绍，我们可以知道，多项式的最大公因式有多种解法，它们都是从多项式最大公因式的性质推广发展而来的，可见性质的重要性，并且三种方法都各有优劣，读者可以根据题目需要，选择一种最简便的方法进行计算，最好熟练掌握一种基本解法。
参考文献
[1]张禾瑞赫炳新高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1983。
[2]蒋忠樟高等代数典型问题研究.高等教育出版社。
[3]骆公志一元多项式的最大公因式的几种求法.[J]连云港师范高等专科学校学报，2006。
多项式最大公因式性质定理及求解方法
多项式最大公因式性质定理及求解方法作者：xxx 指导教师：xxx摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法．关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究．本文所考虑的多项式均为数域F 上的一元多项式环]x [F 内的多项式．§1．最大公因式的定义及性质首先我们给出最大公因式的定义：定义1：设)x (d 是多项式)x (f 与)x (g 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f 与)x (g 的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．以))x (g ),x (f (表示)x (f 与)x (g 在]x [F 中最高项系数为1的最大公因式．例1．如果)x (q )x (g )x (f ⋅=，那么)x (g 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．证明：按定义1．有)x (g 是)x (f 与)x (g 的一个公因式，设)x (h 是)x (f 和)x (g 的任一公因式，则有：)x (g |)x (h ，所以按定义，有)x (g 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理：引理1：如果多项式)x (h 是多项式)x (f 和)x (g 的公因式，)x (a 和)x (b 是]x [F 上的两个任意多项式，那么)x (h 一定是多项式)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．证明：因为)x (h 是)x (f 的因式，所以 可设 )x (m )x (h )x (f ⋅=， )x (n )x (h )x (g ⋅=，其中)x (m ，)x (n ∈]x [F ．又因为 )x (n )x (b )()x (m )x (a )x (h )x (g )x (b )x (f )x (a ⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅x h)]()()()()[(x n x b x m x a x h +⋅=．所以 )x (h 是)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．注：应用引理1有时可以方便的求两个多项式的最大公因式．例2：求12x 3x )x (f 3--=和52x 3x )x (g 3-+=的最大公因式．解：由上面的引理可知：所求的最大公因式一定是：)1x (4)x (g )x (f -=+-的因式，又因为 0)1(f =，0)1(g =，可知所求的最大公因式就是1x -．定理1:设0)(≠x g ，)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，其中))(())((x g x r ︒︒∂<∂，则有 ))x (r ),x (g ())x (g ),x (f (= ．注：定理1的结论可以形象的叙述为：)()(除式，余式被除式，除式=.证明：设)x (d 是)x (g 和)x (r 的最大公因式，那么根据引理１得：)x (d 也是)x (f 的因式，从而)x (d 是)x (f 和)x (g 的公因式；其次，设]x [F )x (h ∈是)x (f 和)x (g 的任一公因式，那么由引理１得：)x (h 是)x (q )x (g )x (f )x (r ⋅-=的因式，所以)x (h 是)x (r 的因式.因此, )x (h 是)x (g 和)x (r 的公因式,从而可知)x (h 能够整除)x (d ；所以)x (d 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．根据引理１和定理１不难得到：定理２：如果)x (f 和)x (g 不全是零多项式，那么)x (f 和)x (g 一定有最大公因式，并且)x (f 和)x (g 的最大公因式，除了一个零次多项式的因式差别之外是唯一确定的．具体证明过程可参阅[1] 、[2]．两个多项式的最大公因式存在的一条非常重要的性质：定理３：若)x (d 是]x [F 的多项式)x (f 和)x (g 的公因式，则以下命题等价：（i ）)x (d 为)x (f 和)x (g 的一个最大公因式；（ii ）在]x [F 里存在多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅.证明：由(i)推(ii):若0)x (g )x (f ==，那么0)x (d =，这时]x [F 中任何两个多项式都可以取作)x (u 与)x (v ．若)x (f 与)x (g 不都等于零，不妨假定0)x (g ≠，用辗转相除法来求（)x (f ，)x (g ）.用)x (g 去除)x (f 应用带余除法，得商式)x (q 1及余式)x (r 1．如果)x (r 1≠0，那么再以)x (r 1除)x (g ，得商式)x (q 2及余式)x (r 2．如果)x (r 2≠0，再以)x (r 2除)x (r 1，得商式)x (q 3及余式)x (r 3如此继续下去，因为余式的次数在带余除法中每次降低，所以作了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式0x )(r k ≠，使得)()()(11x q x r x r k k k +-⋅=，于是我们得到一串等式：)x (r )x (q )x (g )x (f 11+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (g 221+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (r 3321+⋅=， (1))x (r )x (q ).x (r )x (r 1-k 1-k 2-k 3-k +=，)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k +⋅=，)x (q )x (r )x (r 1k k 1-k +⋅=．则 )x (r k 就是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，考察等式组（1）的倒数第二个等式，得)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k =⋅-，令 1)x (u 1=，)x (q )x (v k 1-=，那么上面的等式可以写成 :)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 11-k 12-k =⋅+⋅． （3） 由（1）的倒数第三个等式，得)x (q )x (r )x (r )x (r 1-k 2-k 3-k 1-k ⋅-=．把)x (r 1-k 的这个表达式带入(3)中，并令 )x (v )x (u 12=，)x (q )x (v )x (u )x (v 1-k 112⋅-=，所以有)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 22-k 23-k =⋅+⋅．如此继续利用（1）中的等式，最后可得到)x (r )x (v )x (g )x (u )x (f k k k =⋅+⋅．但)x (f 与)x (g 的最大公因式)x (d 等于F 中不为零的数c 与)x (r k 的积：)x (r c )x (d k ⋅=，因此 取)x (u c )x (u k ⋅=，)x (v c )x (v k ⋅=，即得所证．由(ii)推(i):设)x (h 是)x (f 与)x (g 的任一公因式，则)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ，由引理1得h(x)是)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅的因式，即)x (d |)x (h ．又因为)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，所以)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．若1))x (g ),x (f (=，则称多项式)x (f 与)x (g 互素．与定理3类似的还有下面一条重要的定理：定理4 ：在]x [F 中，设)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，且)x (f 与)x (g 不全为零，则)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式⇔))x (g ),x (f (111=．证明：充分性：如果))x (g ),x (f (111=，则由多项式互素的判定定理有，存在)x (u ，)x (v 使1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，则 等式两边同时乘以)x (d ，得d(x ))x (v )x (g )()x (u )x (f d(x )11=⋅⋅+⋅⋅x d ,由命题条件)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=知)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，结合上式同时有)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅，所以，由定理3得)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．必要性：若)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，则由定理3得，存在)x (u ，)x (v 使)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅．因为 )x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，所以代进上式变为)x (d )]x (v )x (g )x (u )x (f [)x (d 11=⋅+⋅⋅，又因为)x (f ，)x (g 不全为零，所以0)(≠x d ，可用)x (d 除等式两边，得1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，所以 1是)x (f 与)x (g 的公因式，由3Th 得,))x (g ),x (f (111=．已知))x (g ),x (f ()x (d =，则)x (d ))x (g ),x (af (=，)x (d ))x (g ),x (g )x (f (=+,一般地有： 定理5 ：令)x (f 与)x (g 是]x [F 的多项式，而a 、b 、c 、d 是F 中的数，并且0bc ad ≠-，则)x (d 是)(x f 与)x (g 的最大公因式⇔)x (d 也是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．证明：设)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式，并令))x (g ),x (f ()x (d =.命 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，现只需证明))x (G ),x (F ()x (d =即可． 由 引理1知，d(x)是F(x)的因式，同时d(x)也是G(x)的因式，所以 )x (d 是F(x)与G(x)的公因式．设 )x (h 是F(x)与G(x)的任一公因式，现证明)x (d |)x (h 如下：因为 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，且0≠-bc ad ,所以 从F(x)与G(x)的表达式中可得：)x (G bcad b )x (F bc ad d )x (f ---=， )x (G bcad a )x (F bc ad c )x (g -+--=， 又由于h(x)是F(x)与G(x)的公因式，所以)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ,从而)x (d |)x (h ．即证明了)x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．""⇐因为 )x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式 ，由3Th 可知在F[x]里总可以求得多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )]x (dg )x (cf )[x (v )]x (bg )x (af )[x (u =+++ ,即 )x (d )]x (dv )x (bu )[x (g )]x (bv )x (au )[x (f =+++．令 )x (cv )x (au )x (u 1+=,)x (dv )x (bu )x (v 1+=,则)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u 11=+． ①由引理1得)(x d 是)x (f )bc ad ()]x (dg )x (cf [b )]x (bg )x (af [d -=+-+的因式，同时也是)x (g )ad bc ()]x (dg )x (cf [a )]x (bg )x (af [c -=+-+的因式．又)x (g |)x (d ),x (f |)x (d ,0bc ad ∴≠- , ②综合3Th ①、②由得)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．§2．关于定理3中)x (u ，)x (v 的结构前面研究了多项式最大公因式的性质定理，为了更好理解这一定理，现将对定理3中的)x (u ，)x (v 作进一步分析，从而得出有关)x (u ，)x (v 的一些新的结论，以此作为上述定理3的补充．定理3中涉及一个事实，即∀]x [F )x (),x (f ∈g ,0)x (f ≠与0)x (g ≠，∃]x [F )x (v ),x (u ∈，使得))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅, ①设))x (g ),x (f ()x (d =，)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，由§1中定理4得1))x (g ),x (f (=．作了上面的准备工作，现给出)x (u ，)x (v 的结构定理，并加以证明．定理6：（1）设s(x),t(x)∈F(x),∀]x [F )x (h ∈，取)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，则))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅；（2）如果有]x [F )x (t ),x (s ∈使))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅，则∃]x [F )x (h ∈，使)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=．证明：（1）设d(x)=(f(x),g(x)),将)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，代入下式得)x (g ))x (f )x (h )x (v ()x (f ))x (g )x (h )x (u ()x (g )x (t )x (f )x (s 11⋅⋅-+⋅⋅+=⋅+⋅ =)()()()()()()()()()(11x g x f x h x f x g x h x g x v x f x u -++其中)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅．又因为 )x (g )x (f )x (d )x (f (x )g )x (f )x (g 1111⋅=⋅⋅=⋅,所以 0)x (g )x (f )x (h )x (f )x (g )x (h 11=⋅⋅-⋅⋅，从而 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅．（2）因为 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅，上边两式左右两边同时作差得：0)x (g )]x (v )x (t [)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，因为 0)x (d ≠，两边同除以)x (d ，则有：0)x (d /)x (g )]x (v )x (t [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，又因为 1))x (d /)x (g ),x (d /)x (f (=，从 )x (d /)x (g )]x (t )x (v [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [⋅-=⋅- (*)中，得)]x (u )x (s [|)]x (d /)x (g [-，即 ∃]x [F )x (h ∈，使得)x (d /)x (g )x (h )x (u )x (s ⋅=-，又因为)x (g )x (d /)x (g 1=，)x (f )x (d /)x (f 1=，所以有 )x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅=-，代入(*)式得)x (f )x (h )x (t )x (v 1⋅=-即 ⎩⎨⎧⋅-=⋅+=)x (f )x (h )x (v )x (t )x (g )x (h )x (u )x (s 11． 这个定理一方面指出了满足①的)x (u ，)x (v 是不唯一的，同时也给出了所有)x (u ，)x (v 的一般形式，这对研究多项式最大公因式的理论是有很大的作用．§3．最大公因式的求解方法在前面对多项式最大公因式的理论研究指导下，现来研究一下多项式最大公因式的几种求解方法．1．因式分解法利用因式分解法求多项式的最大公因式，一般先求两个（或多个）多项式的标准分解式，如设多项式)x (f 与)x (g 的标准分解式分别为：s 1r r 1k s k 1r k r k 1)x (q )x (q )x (p )x (ap )x (f ++=，t 1r r 1l t _l 1r _l r l 1)x (q )x (q )x (p )x (bp )x (g ++=，其中每一)x (q i ，)s ,,1r i ( +=不等于任何)x (q j _)t ,,1r j ( +=，令i m 是i k 与i l 两个自然数中较小的一个)r ,,2,1i ( =，那么r 21m r m 2m 1)x (p )x (p )x (p )( =x d ，就是)x (f 与)x (g 的最大公因式．例3．求实数域R 上多项式1x x x x x )x (f 2345+++++=与1x x x )x (g 34+++=的最大公因式．解：分别对两个多项式进行标准因式分解得 1x x x x x )x (f 2345+++++=22(x 1)(x 1x)(x 1x)=++++-，1x x x )x (g 34+++=)x 1x ()1x (22-++=，由)x (f 与)x (g 的标准分解式可看出： 1x )1x x )(1x ())x (g ),x (f (32+=+-+=．应该指出的是多项式的标准分解式一般不易求得．因此，求两个多项式的最大公因式一般不用此法．2．辗转相除法利用辗转相除法不但证明任意两个多项式都存在最大公因式，而且也是求最大公因式的一种有效方法．但是在运算过程中经常会出现分数运算，为了简化过程可用]x [F 中一个非零常数去乘被除式或除式，这种做法可在求最大公因式的每个步骤中进行，而对求出多项式的最大公因式d(x)的结果不会受到影响，原因如下:设f(x)，g(x)∈F(x),其中q(x)是g(x)除f(x)的商式，r(x)是余式，即表示为：)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，对F c ∈∀且0≠c 有)x (cr )]x (cq [)x (g )x (cf +⋅= ⑴，)x (r )]x (q c1[)]x (cg [)x (f +⋅= ⑵， 故由§1定理1得：))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (cr ),x (g ())x (g ),x (cf (===，))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (r ),x (cg ())x (cg ),x (f (===．根据此结论，在用辗转相除法求最大公因式的过程中，用F 中的非零常数去乘被除式或除式，会给运算带来很大的方便，以下用例题说明：例4．令F 是有理数域，求]x [F 的多项式：34x 4x 2x x )x (f 234-+--=与34x 5x 2x )x (g 23+--=的最大公因式．解法一，对)x (f 与)x (g 作辗转相除法，但对过程中的系数不作处理，这种解法的过程略．解法二，对)x (f 与)x (g 作辗转相除，对相除中的系数作一些处理：观察)x (f 与)x (g 的系数，先对)x (f 的系数作处理即 2)x (f =68842234-+--x x x x ，用)x (g 去除2)x (f ，商x ，余65423-+-x x x ，观察此步对系数作处理得2（65423-+-x x x ）=12108223-+-x x x ，用)x (g 去除12108223-+-x x x ，商1，余151432-+-x x ，观察此步对系数作处理得 912x 15x 6x )x (3g 23+--=，用151432-+-x x 去除912x 15x 6x 23+--，商-2x ，余942132+-x x ，观察此步对系数作处理得 )94213(32+-x x =27126392+-x x ，用151432-+-x x 去除27126392+-x x ，商-13，余16856-x ，观察此步对系数作处理得 3)16856(561-=-x x ， 用3-x 去除151432-+-x x ，商x 3-，余155-x ，观察此步对系数作处理得 3)155(51-=-x x ，用3-x 去除3-x ，商1，余0.所以 3x ))x (g ),x (f (-=.由上式的求解过程可以看出，有时系数很大，给运算带来不便，根据§1中引理可知，将被除式减去除式的某个倍式，再做辗转相除法而不影响求))x (g )x (f (，的结果，由§1中引理1有： ))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (g ),x (g )x (b )x (f )x (a (==⋅+⋅．解法三，对)x (f 与)x (g 作辗转相除：65x 4x x )x (x g )x (2f 23-+-=-，令 65x 4x x )x (r 231-+-=，则有 1514x 3x )x (2r )x (g 21+-=-，令 1514x 3x )x (r 22+-=，则有)3x ()3x (2182x )x (x r )x (3r 221-⋅+=-=-，令 182x )x (r 23-=，则有)3x (144214x )x (r 23)x (r 32--=+-=-， 故 3x ))x (g ),x (f (-=．很明显，解法三比解法一、二均简便，所以在解题的过程中应尽量利用最大公因式的性质定理使求解过程更简便．3．矩阵的初等变换法给出数域F 上)2n (n ≥个多项式，如何求其最大公因式?现给出n 个多项式的最大公因式的定义：定义2：设)x (f ,),x (f ),x (f n 21 是数域F 上的n 个多项式，并且)x (d 是多项式),x (f 1)x (f 2， ．．．,)x (f n 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f ,),x (f ),x (f n 21 的一个最大公因式．规定用符号()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )表示)x (f ,),x (f ),x (f n 21 在)(x F 中最高次项系数为1的最大公因式．由上述定义及§1的结论得关于数域F 上n 个一元多项式最大公因式的性质：（1）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (f ),x (f (n j i 1 =))x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n i j 1 ,n j i 1≤≤≤．（2）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f ())x (f ,),x (cf ,),x (f (n i 1n i 1 =，且n j i 1≤≤≤，F c ∈≠0为常数．（3）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=, 其中n j i 1≤≤≤．性质（1）、（2）、(3)阐述了在求解多项式的最大公因式时的不变性，由这些不变性又可得到下面推论：推论1：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (cf )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=， 其中n j i 1≤≤≤，F c 0∈≠为任意常数.再给出一个引理：引理2：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，d(x)= ()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )，若)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中至少有一个常数项不为0，则它们的最大公因式)x (d 的常数项必不为0．证明：假设)x (d 的常数项等于0，则)x (d 能被x 整除，所以),,2,1)((n i x f i =的常数项均为0，与条件矛盾，证毕．再由前3个性质及推论1得性质4：（4）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，并设)x (g x )x (f i k =，其中n i 1≤≤，k 为非负整数，)x (f j 为常数项不为0的一元多项式，其中n j 1≤≤，且j i ≠，则 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．证明：设))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f (n j i 1 )x (d =,显然 )x (d 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的一个公因式．其次 设)x (h 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的任一公因式，则)x (f |)x (h i ，)x (g x |)x (h i k ，而 ()x (f 1…,)x (f i ,)x (f 1i +,…,)x (f j ,…,)(x f n )的常数项非零，则)x (h 不含k x 这一因式，从而)x (g |)x (h i ，因而)x (h 是)x (f 1…,)x (g i ,…,)(x f n 的公因式,所以 )x (d |)x (h .所以 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．为了更方便的介绍n 个多项式最大公因式的求解，现将上述四条性质相应的称为：第一种，第二种，第三种，第四种初等变换，并用以下内容概括：⑴交换两个多项式的位置，所求的最大公因式不会改变；⑵用一非零常数乘以某一多项式，所求的最大公因式不会改变；⑶把某一多项式的k 倍)0k (≠，加到另一个多项式上，所求的最大公因式不会改变；⑷性质4我们暂称为替换变换，它也不改变其最大公因式（只有在某一多项式常数项不为0的条件下才成立）．现再给出n 行多项式矩阵的定义：定义3：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，且这n 个多项式的最高次项的次数是m 次，现将每个多项式各项的系数（按逐次降幂次序排列，缺少次数的项的系数取0）排出来作为矩阵的一行，这样构造出来一个n 行m+1列矩阵，我们称这个矩阵为n 个多项式的n 行多项式矩阵，n 个多项式)x (f ,),x (f ,x )(f n 21 所组成的n 行多项式矩阵记为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，并规定该矩阵表示()x (f ,),x (f ,x )(f n 21 )的最高次项系数为1的最大公因式．下面将给出关于n 行多项式矩阵的一些结论：定理7：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，对这n 个多项式（至少有一个常数项不等于0）组成的多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，作四种初等变换，所求的最大公因式不会改变；该定理可由前面谈到的n 个多项式最大公因式的四条性质直接得到．在前面的基础上，现给出定理8：定理８：对于n 行多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，一定可以通过四种初等变换，化成⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0)x (d 的形式，其中)x (d 就是它的最大公因式．定理8的证明过程参阅[3]．下面以实例阐述多项式最大公因式的矩阵求法．例5．设84x 2x x )x (f 23+--=，44x x x )x (g 23+--=，求))x (g ),x (f (．解：对矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=44-1-18421A 施行矩阵的初等变换得： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→40104-0104-01004-0140108421A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00004010. 故 4x )0,4x ())x (g ),x (f (22-=-=.例6．设23x 5x 2x )x (f 23+++=，2x x 24x )x (g 23++=，343x 6x )x (h +=+x x 272+ 2+，求它们的最大公因式．解：对矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=227360224023520A 施行初等变换得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000000000021211000000000000112001120011200112000336077140011120002160335200120001-2162352001120A 故 21x 21x )0,0,21x 21x ())x (h ),x (g ,f(x)(22++=++=. 参考文献：[1]余元庆.方程论初步．上海：教育出版社,1979.[2]张禾瑞,郝炳新．高等代数（第四版）．北京：高等教育出版社，1997.[3]郁金祥．多项式最大公因式求解方法的推广．嘉兴学院学报，2003，（3）：27-29.[4]汪军．关于多项式最大公因式的进一步探讨．工科数学，1999，（3）：137-139.[5]王向东．高等代数常用方法．科学出版社，1989.[6]万哲先．代数导引．科学出版社，2004.The proprties and methods about the greatestcommon divisor of the polynomialsWang Fei Directed by Prof .Dong HuiyingAbstract This paper summaries the important proprties about the greatest common divisor of the polynomials,among which is further researched for its serucfure ,and gives several methods of finding the greatest common divisors of the polynomials :factoring method;Euclidean algorithm;matrix method ．Key words common divisors greatest common divisors Euclidean algorithm elemetary transform。
求两个多项式的最大公因式的新方法——等效变换法
求两个多项式的最大公因式的新方法——等效变换法张庆;王朝霞【摘要】求两个多项式的最大公因式,可以用辗转相除法及分解因式法.给出了另一种求最大公因式的方法,即等效变换法.【期刊名称】《唐山师范学院学报》【年(卷),期】2007(029)002【总页数】2页(P66-67)【关键词】多项式;变换;最大公因式【作者】张庆;王朝霞【作者单位】唐山师范学院,数信系,河北,唐山,063000;唐山师范学院,数信系,河北,唐山,063000【正文语种】中文【中图分类】O151求两个多项式的最大公因式时，一般采用辗转相除法及分解因式法，但有时计算量较大，本文给出一种简单、快捷、有效地求两个多项式的最大公因式的方法。
用（f(x),g(x)）表示f(x),g(x)的最高次项系数为1的最大公因式。
任给一个2×(n+1)矩阵A，则显然存在多项式f(x),g(x)，使A=m(f,g)。
定义2设A=m(f,g)，B=m(f1,g1)，若（f(x),g(x)）=（f1(x),g1(x)），则称A与B等效，记做A⇔B。
定理1若矩阵A=m(f,g)经过三种初等行变换变成B=m(f1,g1)，则A与B等效。
证明（1）若交换A的两行得到B，则B=m(f,g)，显然（f(x),g(x)）=（g(x),f(x)），所以A与B等效。
（2）若A的第一行乘以k加到第二行得B，则B=m(f(x),kf(x)+g(x))，由最大公因式的性质（f(x),g(x)）=（f(x),kf(x)+g(x)），所以A与B等效。
（3）若A的第一行乘以非零数k得B，则B=m（kf(x),g(x)），又（f(x),g(x)）=（kf(x),g(x)），所以A与B等效。
所以，若A经过初等行变换变成B，则A与B等效。
定理2若其中a≠0，则A与B等效。
则A与B等效。
证明显然所以A与B等效。
定理4 设f(x)，g(x)是任意两个多项式，A=m(f,g)则A与矩阵等效，从而f(x)，g(x)的最大公因式为。
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多项式最大公因式的求法
定理1
设)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥ 是P[x]中n 个多项式.P[x]中多项式d(x)称为
)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥ 的最大公因式，如果它满足下面的两个条件：
(1)d(x)是(x),f (x),(x),f f n 21的公因式. (2)(x),f (x),(x),f f n 21的公因式全是d(x)的因式.
定理2 设)(),(),(x h x g x f 是][x P 中的多项式，P[x]中多项式d(x)是)(),(),(x h x g x f 的最大公因式，c 是任意的非零常数，则有))(),()()(())(),(()(x g x g x h x cf x g x f x d -==.
证明：当)(x f 、)(x g 有一个为零，例如0)(=x g ，那么结论显然成立. 当0)(≠x g 时，则有)()(x f x d ，)()(x g x d .
从而)()()()(x g x h x cf x d -，即)(x d 是)()()(x g x h x cf -与)(x g 的一个公因式，令
)()()()(x g x h x cf x c -，)()(x g x c .根据整除的性质，我们有)()(x f x c ，所以)()(x d x c .
所以))(),()()(())(),(()(x g x g x h x cf x g x f x d -==
方法1：用辗转相除法求最大公因式
引理 如果
)3(121≥n (x),f (x),(x),f f n- 的最大公因式存在，那么
)
2(21≥n (x),f (x),(x),f f n 的
最
大
公
因
式
也
存
在
，
且
(x)) (x)),f ,f (x),(x),f ((f (x))(x),f ,f (x),(x),f (f n n-n n-121121 =. (1)
证明：由题意，假设(x),f (x),(x),f f n-121 的最大公因式为)(1x d ，那么(x)d 1与(x)f n 的最大公因式)(x d 也是存在的. (2)
又由(1)、(2)式，可知n)i (x), (d(x)|f i ≤≤1.
假设c(x)是)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥ 的一个公因式，由(1)式可得(x)c(x)|d 1.这样c(x)就是(x)d 1与(x)f n 的一个公因式，再由(2)式可得c(x)|d(x).
所以(x)) (x),f ,f (x),(x),f (f d(x)n n-121 =.
定理3 设)2)((,),(),(21≥n x f x f x f n 是][x P 中的n 个多项式，则在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成(x),f (x),(x),f f n 21的一个组合，即有p[x]中多项式
(x),u (x),(x),u u n 21使(x)(x)f u (x)(x)f u (x)(x)f u d(x)n n +++= 2211.
由定理3对一般情况，
设1
1110110(),()n n n n n n n n f x a x a x a x a g x b x b x b x b ----=++
++=++
++，不妨设m
n ≥
则，))(),()((
))(),((x g x g x x f a b x g x f m n n m --=.记)()()(1x g x x f a b
x f m n n
m --=，令01111)(c x c x c x c x f k k k k ++++=-- ，则m k ≤，故
))(),(())(),((1x g x f x g x f =))()(),
((111x f x x g b c x f m m
k
--=. 记)()()(112x f x x g b c x f m m
k
--=
，且))(())((12x f x f ∂≤∂故))(),(())(),((21x f x f x g x f = 如此下去，所得差式的次数不断降低，即 ≥∂≥∂≥∂))(())(())((21x f x f x g .因此在有限次之后，必然有一差式为零，即)0),(())(),(())(),((21x f x f x f x g x f r === ，则)(x f r 乘以首项系数的倒数之后即为)(x d .
例1 例1 设x x x g x x x f +=-=2
3
)(,)(求)(f(x),g(x). 解：由题意得：
用等式表示出来，就是
)
66)(3
1
61()()
23)(3()(2++=++-=x x x g x x x x f 因此1))(),((+=x x g x f
例 2 设1256)(,22)(2
3
2
3
4
-++=--+=x x x x g x x x x x f 求))(),((x g x f ，并求
)(),(x v x u 使)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.
解：由题意得：
用等式表示即
)482018()()4()(2-++-=x x x g x x f
)9
4
94()482018)(5413181()(2++-++=x x x x x g
)1082
81
)(
9494
(4820182
++=-+x x x x 因此1))(),((-=x x g x f 而
)482018)(54
13
181()(94942-++-=-x x x x g x )]()4()()[5413
181()(x g x x f x x g --+-=
)()]4)(5413
181(1[)()5413181(x g x x x f x -+++--
= )()27
1
541181()()5413181(2x g x x x f x +++--
= 于是，令27
1
541181)(,5413181)(2++=--
=x x x v x x u 就有
)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=
方法2：方程组法求解多项式的最大公因式
定理 4 设)(x f 、)(x g 是][x P 上的两个多项式，令⎩⎨
⎧==0
)(0
)(x g x f 将方程组化解为
⎩⎨
⎧==0
)(c x d 则当0=c 时，][x P 中多项式)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式；当0≠c 时，)(x f 与)(x g 互素.（其中c 是常数）
例 3 设22)(,623)(2
3
2
3
-+-=+++=x x x x g x x x x f 求))(),((x g x f
解：作方程组⎩⎨⎧=-+-=+++0
220
6232
323x x x x x x ⎩⎨⎧=-+-=+−−−→−÷-0
220
22
3
24
))2()1((x x x x ⎩⎨⎧=--=+−−−→−⨯+0
20
22
2)1()2(x x x
⎩⎨
⎧==+−−→−+0
00
22)
1()2(x 所以2))(),((2
+=x x g x f
例 4 设22)(,242)(2
3
4
2
3
4
+-+-=+-+-=x x x x x g x x x x x f 求))(),((x g x f
解：作方程组⎩⎨⎧=+-+-=+-+-0
220
2422
34234x x x x x x x x ⎩⎨⎧=+-+-=--−−→−-0
220
22
34
3)
2()1(x x x x x x ⎩⎨⎧=+---=--−−−→−⨯+0
220
22
3
3)1()2(x x x x x x
⎩
⎨⎧=-=--−−→−-020
223)
2()1(x x x
⎩⎨⎧=-=−−−→−⨯-0
2002
)2()1(x x
所以2))(),((2
-=x x g x f。