斐波那契数列
斐波那契数列
斐波那契数列定义方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。
∵F(1)=F(2)=1。
∴C1*X1 + C2*X2。
C1*X1^2 + C2*X2^2。
解得C1=√5/5，C2=-√5/5。
∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）。
方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1， -rs=1。
n≥3时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
……F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。
联立以上n-2个式子，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。
上式可化简得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
那么：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。
……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。
（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。
斐波那契数列
斐波那契数列一、简介斐波那契数列(Fibonacci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学得发展。
故斐波那契数列又称“兔子数列”。
斐波那契数列指这样得数列:1,１,2,３,5,8,13,……,前两个数得与等于后面一个数字。
这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列得第i项为F i,则F i=F i—1+F i-2、兔子繁殖问题指设有一对新生得兔子,从第三个月开始她们每个月都生一对兔子,新生得兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。
按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子?这道题目通过找规律发现答案就就是斐波那契数列,第ｎ个月兔子得数量就是斐波那契数列得第n项。
二、性质如果要了解斐波那契数列得性质,必然要先知道它得通项公式才能更简单得推导出一些定理。
那么下面我们就通过初等代数得待定系数法计算出通项公式。
令常数p,ｑ满足F n－pF n—１=ｑ(Ｆn－1-pFｎ—2)。
则可得:Fｎ—ｐFｎ—1=q(Ｆn—１—pF n—2)=q2(F n-2-pＦn—3。
)=…=qｎ—2(Ｆ２—pF1)又∵F n—pF n-1=q(Ｆn—1-pF n－2)∴F n-pF n-1＝ｑF n-1－pｑF n—2F n-1+Fｎ—２-pF n—１—ｑＦｎ—１+pqFｎ—2=０(1-p—ｑ)F n—1+(1+pｑ)Ｆn-2=0∴p+q＝１,pｑ=—1就是其中得一种方程组∴Ｆn-ｐFｎ-1=q n-2(F2-ｐＦ１)=q n－2(1—ｐ)＝qｎ—１Fｎ=qｎ—1＋pF n—１＝q n－1+p(qｎ—2+ｐ(q n－３＋…))=ｑn-１＋ｐｑn－2+ｐ2qｎ—3+…+p n—1不难瞧出,上式就是一个以p／q为公比得等比数列。
将它用求与公式求与可以得到:F n=q n−1[(pq)n−1]pq−1=p n−q np−q而上面出现了方程组p+q=１,pq=-1,可以得到ｐ(1—p)=-1,p2—p—1=０,这样就得到了一个标准得一元二次方程,配方得p2－p＋0。
费波那契数列
斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。
这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
斐波拉契数列的简介：“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算术平方根)(19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856) 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。
其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列可在其中寻得。
13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。
书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。
计算斐波那契数列
计算斐波那契数列斐波那契数列是一个以递归的方式定义的数列，其特点是每个数都等于前两个数的和。
在数学上，斐波那契数列可以表示为：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，F0 = 0，F1 = 1。
斐波那契数列的前几个数字依次为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...计算斐波那契数列是一道经典的计算问题，本文将介绍三种常见的计算方法。
方法一：递归法递归法是最直观的方法，也是最容易理解的方法。
该方法通过递归调用函数来计算斐波那契数列。
例如，计算第n个斐波那契数可以表示为：```def fibonacci(n):if n <= 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```然后调用函数`fibonacci(n)`即可得到第n个斐波那契数。
方法二：动态规划法动态规划法是一种将原问题分解为子问题并存储子问题解的方法。
在计算斐波那契数列中，可以通过迭代的方式计算每个数并存储，以便后续使用。
例如：```def fibonacci(n):if n <= 0:return 0elif n == 1:return 1else:dp = [0] * (n+1)dp[0], dp[1] = 0, 1for i in range(2, n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]```方法三：矩阵快速幂法矩阵快速幂法是一种通过将斐波那契数列转化为矩阵的形式来计算的方法。
该方法基于矩阵乘法的性质，通过多次矩阵乘法的计算得到结果。
例如：```def fibonacci(n):if n <= 0:return 0elif n == 1:return 1else:def matrix_multiply(m1, m2):a = m1[0] * m2[0] + m1[1] * m2[2]b = m1[0] * m2[1] + m1[1] * m2[3]c = m1[2] * m2[0] + m1[3] * m2[2]d = m1[2] * m2[1] + m1[3] * m2[3]return [a, b, c, d]def matrix_pow(n):if n == 1:return [1, 1, 1, 0]elif n % 2 == 0:m = matrix_pow(n//2)return matrix_multiply(m, m)else:m = matrix_pow((n-1)//2)return matrix_multiply(matrix_multiply(m, m), [1, 1, 1, 0])return matrix_pow(n-1)[0]```通过以上三种方法，我们可以得到斐波那契数列中的任意第n个数。
斐波那契数列 通项公式
斐波那契数列通项公式
fibonacci 数列由十九世纪意大利数学家莱昂内里·斐波那契首次提出，由数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..构成的数列。
这个数列也被称为“黄金分割率数列”，因为其中数字之间的比值恰好等于黄金分割率（约为0.618）。
斐波那契数列的通式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(0) = 0，f(1) = 1。
当n大于1时，斐波那契数列将以前两项之和作为每一项的值，每一项都等于它前面两项之和。
斐波那契数列在许多领域都有应用，其中最主要的应用是算法和数学方面。
它可以用于解决计算机程序中的递归问题，也可以用来解决许多数学问题。
斐波那契数列也可以用来求一些规律性的物理问题，如分段弦的变形、碰撞的合力和振动的波型。
斐波那契数列不仅仅是一个数学概念，它也可以用来分析金融市场和投资过程。
它可以帮助我们更好地理解金融市场的发展情况，有助于投资者制定更有效的投资策略。
此外，斐波那契数列也可以用来帮助生物和医学研究。
斐波那契数列可以用来描述一些生物进化过程，也可以用来描述病毒抗性的下降趋势。
总之，斐波那契数列是一个十分重要的数学概念，它在科学研究、投资和金融分析等领域都得到了广泛的应用。
掌握斐波那
契数列的基本原理和特性，将有助于我们更好地实现解决各类问题的目标。
斐波那契数值
斐波那契数值
斐波那契数列是一组数列，其每个数字都是前两个数字之和。
数列的前几个数字为0、1、1、2、3、5、8、13、21等。
这些数字在自然界中广泛存在，如植物的叶序、螺旋形状等。
斐波那契数列不仅在数学领域有重要意义，还被应用在计算机编程、金融学、生物学等领域。
斐波那契数列的递推公式为：F[0]=0，F[1]=1，F[n]=F[n-1]+F[n-2]（n>=2）。
在编程中，可以使用递归或循环等方式来计算斐波那契数列。
斐波那契数列的性质十分有趣，例如，相邻两项的比值越来越接近黄金分割比例（约为1.618），并且随着数列项数的增加，其比值越来越接近黄金分割点的值。
- 1 -。
斐波那契数列
斐波那契数列（一）斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多〃斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。
（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8………………………翠雀花13………………………金盏草21………………………紫宛34，55，84……………雏菊（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位臵，则其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位臵到达下一个正对的位臵称为一个循回。
叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。
斐波那契数列的几条性质及其证明
斐波那契数列的几条性质及其证明斐波那契数列也叫兔子数列，它的前几项是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，递推公式是：n a =1-n a +2-n a ，其中1a =2a =1。
1、斐波那契数列前n 项的和等于第n +2项的值减去1。
即：1a +2a +…+1-n a +n a =2+n a -1证明：左边=2a +1a +2a +…+1-n a +n a -2a=（2a +1a ）+2a +…+1-n a +n a -2a根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：上式 =（3a +2a ）+…+1-n a +n a -2a 以此类推最后得：左边=1+n a +n a -2a =2+n a -2a =2+n a -1。
等式得证。
2、斐波那契数列前n 项的平方和等于第n 项和第n +1项的值乘积。
即：21a +22a +……+2n a =n a 1+n a证明：根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得，左边=21a +2a （3a -1a ）+3a （4a -2a ）+……+n a （1+n a -1-n a ）=21a +2a 3a - 1a 2a +3a 4a -2a 3a +……+n a 1+n a -1-n a n a因为21a =1a 2a ，所以合并同类项后得，左边=n a 1+n a 。
等式得证。
3、斐波那契数列前n 项相邻两项乘积之和，当n 是奇数时等于第n +1项的值的平方，当n 是偶数时等于第n 项和第n +2项的值之积。
即：1a 2a +2a 3a +……+n a 1+n a 当n 是奇数时等于21+n a ，当n 是偶数时等于n a 2+n a 。
证明：（1）、当n 是奇数时，1a 2a +2a 3a +……+n a 1+n a =21+n a左边=1a 2a +2a （4a -2a ）+3a 4a +4a （6a -4a ）+……+1-n a （1+n a -1-n a ）+n a 1+n a =1a 2a +2a 4a -2a 2a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+1-n a 1+n a -1-n a 1-n a +n a 1+n a 因为1a 2a =2a 2a ，所以上式=2a 4a +3a 4a +4a 6a -4a 4a +……+1-n a 1+n a -1-n a 1-n a +n a 1+n a =（2a +3a ）4a -4a 4a +（4a +5a ）6a -6a 6a +……-1-n a 1-n a +（1-n a +n a ）1+n a根据递推公式n a =1-n a +2-n a 得：上式 =4a 4a -4a 4a +6a 6a -6a 6a +……+1-n a 1-n a -1-n a 1-n a +1+n a 1+n a=21+n a等式得证。
斐波那契数列
斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），自然中的斐波那契数列生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
2通项公式递推公式斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, (1)如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：[1]显然这是一个线性递推数列。
[1]通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
)注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：则解得：方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1， -rs=1。
n≥3时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
……F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。
联立以上n-2个式子，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。
斐波那契数列的含义
斐波那契数列的含义
斐波那契数列是一个无限序列，其特点是每个数都是前两个数的和。
其定义如下：
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2), 当n ≥ 2时
斐波那契数列的含义可以从多个角度来解释：
1. 数学领域：斐波那契数列是数学中一个经典的数列，具有丰富的数学性质。
例如，它是一个递归数列，可以用递推关系来计算；它具有黄金分割比例相关的性质等。
2. 自然现象：斐波那契数列在自然界中有一些出现频率较高的情况，例如某些植物的花瓣数、螺旋线的数量等可以近似地符合斐波那契数列的规律。
这种现象被称为“自然数列”。
3. 算法和编程：斐波那契数列在算法和编程中有一些应用。
例如，可以使用斐波那契数列来设计递归算法或动态规划算法解决一些问题；斐波那契数列也经常被用作编程练习的题目之一。
总的来说，斐波那契数列作为一个经典的数列，在数学、自然科学和计算机科学中都具有一定的重要性和应用价值。
斐波那切数列的公式
斐波那切数列的公式斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… 。
在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：$F(0)=0$，$F(1)=1$, $F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)$（$n ≥ 2$，$n ∈ N*$)要说斐波那契数列的公式，咱们得先好好理解一下这个神奇的数列。
就拿我之前教学生的经历来说吧，有一次上课我给孩子们讲斐波那契数列，好多孩子一开始都觉得挺难理解的。
有个小男孩瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这一堆数字到底有啥规律呀？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一起来探索。
”我在黑板上从 0 和 1 开始，一个一个地往后推算，边写边给他们解释：“你看，第三个数 1 ，就是前面两个数 0 和 1 相加得到的；再往后，第四个数 2 ，就是 1 和 1 相加。
”孩子们跟着我的节奏，一点点地理解。
那斐波那契数列的通项公式是：$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$ 。
这个公式看起来有点复杂，不过咱们慢慢拆解一下。
这里面的$\sqrt{5}$（根号 5）可能会让大家觉得有点头疼，但其实它就是一个数学常数。
还有那两个分式，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$和$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，虽然样子有点奇怪，可它们在这个公式里起着关键的作用。
咱们来实际算一算。
比如说，咱们想求第 6 个数。
把 n = 6 代入公式里，经过一番计算，就能得出是 8 ，和咱们之前按照递推规律算出来的结果是一样的。
在生活中，斐波那契数列也有不少有趣的应用呢。
比如说植物的生长，有些花朵的花瓣数量就符合斐波那契数列；还有一些贝壳的螺旋形状，也能看到斐波那契数列的影子。
还记得有一次我去公园散步，看到一片向日葵，我就突然想到了斐波那契数列。
斐波那契数列的性质
斐波那契数列的性质
性质1：斐波那契数列前n项和等于第n+2项减1。
性质2：前n个项数为奇数的斐波那契数之和等于第2n个斐波那契数，或者说，第偶数项的斐波那契数等于其前面所有奇数项斐波那契数之和。
性质3：前n个项数为偶数的斐波那契数之和等于第2n+1个斐波那契数减1，或者说，第奇数项的斐波那契数等于其前面所有偶数项斐波那契数之和再加1。
性质4：前n个斐波那契数的平方和等于第n个斐波那契数与第n+1个斐波那契数的乘积。
以上n个式子相加，右端出现两两抵消的情况，最后就剩下一项，就是我们想要的结果。
性质5：斐波那契数列中前2n个相邻两项乘积之和，等于第2n+1个斐波那契数的平方再减1。
性质6：斐波那契数列中前2n-1个相邻两项乘积之和，等于斐波那契数列第2n项的平方。
即：上一条中求和号上限为偶数，本条性质就来解决奇数的情况。
左侧涉及2n个斐波那契数，右侧是其中最大的那个斐波那契数的平方。
斐波那契数列
斐波那契数列“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacc i，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1 +√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）（√5表示根号5）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
[编辑本段]【奇妙的属性】随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.61803 39887……从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1）如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-12.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-13.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-14.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+16.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
斐波那契数列知识总结
斐波那契数列是一系列数字，其中每个数字都是前两个数字的总和，通常以0 和1 开头。
它以意大利数学家比萨的莱昂纳多的名字命名，他也被称为斐波那契。
斐波那契数列出现在许多自然现象中，例如树的分枝和叶子在茎上的排列。
在数学术语中，斐波那契数列可以定义为递归关系，其中数列中的每个数都是前两个数的和，初始条件为F0 = 0 和F1 = 1。
数学上该数列定义为递归关系：
Fn = Fn-1 + Fn-2
其中n 是序列中的位置，F 是该位置的斐波那契数。
斐波那契数列有许多有趣的特性，包括：
•随着数字变大，连续斐波那契数的比率接近黄金比例（大约1.6180339887）
•斐波那契数与斐波那契螺旋有关，可以在许多自然物体的形状中找到它。
•斐波那契数列已被用于模拟人口增长和金融市场。
斐波那契数列还与斐波那契螺线有关，斐波那契螺线出现在许多自然现象中，例如贝壳、松果、菠萝的形状。
总的来说，斐波那契数列有很多实际应用，包括计算机科学、生物学和金融学。
有许多方法可以计算斐波那契数列，例如使用递归函数、封闭式公式或矩阵求幂。
计算斐波那契数列中大数的最有效方法是使用矩阵求幂，这需要O(log n) 时间。
总的来说，斐波那契数列是一个迷人而美丽的数学概念，出现在许多自然现象中。
它具有许多有趣的特性和广泛的实际应用。
达芬奇密码中的斐波那契数列
达芬奇密码中的斐波那契数列
斐波那契数列是一个由0和1开始，并且每个后续数字都是前两个数字之和的数列。
它的前几个数字依次是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55等。
在达芬奇密码中，斐波那契数列被用作密码解密的一种方法。
具体来说，达芬奇密码是通过将字母与斐波那契数列相对应的位置数相加或相减得到新的字母，从而实现加密和解密的过程。
例如，字母A对应斐波那契数列的第1个位置，字母B对应斐波那契数列的第2个位置，以此类推。
通过根据斐波那契数列的位置数对字母进行加减运算，可以得到解密后的明文信息。
这是达芬奇密码中斐波那契数列的应用方式。
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解答
可以将结果以列表形式给出：
1月 1 7月 13 2月 1 8月 21 3月 2 9月 34 4月 3 5月 5 6月 8
10月 11月 12月 55 89 144
因此，斐波那契问题的答案是 144对。 以上数列， 即“斐波那契数列”
15
规律
兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二 个月时，共有多少对兔子？
方法并不是最好的方法；每次取试验区间
的0.618处去做试验的方法，才是最好
的，称之为“优选法”或“0.618法”。
华罗庚证明了，这可以用较少的试验
次数，较快地逼近最佳方案。
49
2． 黄金分割点的再生性和“折纸法”
① 黄金分割点的再生性
50
C 如果是 AB 的黄金分割点， 即： C 是BA 的 黄金分割点，C 与 C 当然关于中点 O 对称。
(L.Fibonacci,1170-1250）
6
兔子问题
假设一对初生兔子要一个月才到成熟 期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子， 那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会 有多少对兔子呢？
7
解答
1 月 1 对
8
解答
1 月 1 对 2 月 1 对
9
解答
1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对
5 1 。 2
35
三、 黄金分割
1． 定义：把任一线段分割成两段，
使 大段 小段 ，这样的分割叫黄金分割，
这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）
全段 大段
1 x
小段
x
大段
1
36
2． 求黄金比
解：设黄金比为 1，则大段= 故有
x 1 x 1 x
x ，不妨设全段长为
x ，小段= 1 x 。
41
2） 著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，
高（137米）与底边长 （227米）之比为 0.629古希腊的巴特农 神殿，塔高与工作厅
高之比为
340∶553≈0.615
42
3） 美观矩形的 宽长比 如国旗和其它用到 矩形的地方（建筑、家 具） 4） 风景照片中， 地平线位置的安排
43
5） 正五角星中的比
题为例。
52
用一个有刻度的纸条表达1000克—2000克。在
这纸条长度的0.618的地方划一条线，在这条线所指 示的刻度上做一次试验，也就是按1618克做第一次 试验。 然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的地 方，再划一条线（黄金分割点），这条线在1382克 处，再按1382克做第二次试验。
53
n个月大兔子的对数，则
F1 F2 1 Fn Fn1 Fn2 , n 3, 4,5
17
2） 斐波那契数列 令n = 1, 2, 3,… 依次写出数列，就是
1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55，89，144，233，377，… 这就是 斐波那契数列 。其中的任一个 数，都叫斐波那契数。
x，则有
a b b 1 b a b 1 x a a x b b a b x a a
将
得
1 x x x
变形为
x x 1 0 ，解
2
1 5 ，其正根为 x 2
5 1 x 0.618。 2
32
3） 与斐波那契数列的联系
为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系，我们
特殊的是， C 又恰是 AC 的黄金分割点。同样， 如果 C 是CA 的黄金分割点，则 C 又恰是 AC 的黄金分割点，等等，一直延续下去 。再生
51
② 寻找最优方案的“折纸法”
根据黄金分割点的再生性，我们可以设
计一种直观的优选法——“折纸法”。
仍以上边“在钢水中添加某种元素”的问
把第 n 1 条分数线上、下的部分都删去，就
得到该连分数的第 n
un 次近似值，记作 。 vn
27
对照
x 1 1
1 1 1 1 1 1
可算得
u1 1 u2 1 1 u3 1 2 u4 1 3 , , , 1 v1 1 v2 1 1 2 v3 1 1 3 v4 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1
月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ⅤⅥ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
到十二月时有大兔子144对，小兔子89对， 共有兔子144+89=233对。
16
2． 斐波那契数列
1） 公式 用 Fn 表示第 有二阶递推公式
10
解答
1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对11 Nhomakorabea解答
1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对
12
解答
1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对
13
解答
1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对 7 月 13 对
斐波那契数列与黄金分割
1
我们先来做一个游戏！
2
+
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??
十秒钟加数
请用十秒，计算出 左边一列数的和。
时间到！
答案是 231。
3
+
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 ????
十秒钟加数
再来一次！
时间到！
把两次试验结果比较，如果1618克的效果
较差，我们就把1618克以外的短的一段纸条剪
去（如果 1382 克的效果较差，就把 1382 克以外
的一段纸条剪去）。
再把剩下的纸条对折，纸条上剩下的那条 线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金 分割点），这条线在 1236克处。
54
按1236克做第三次试验，再和1382 克的试验效果比较，如果1236克的效果较 差，我们就把1236克以外的短的一段纸条 剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试
1 1 1 1 1 1
34
它竟然与我们在上段中研究的连分数 一样！因此，黄金比的近似值写成分数表
1 1 2 3 5 5 1 , , , , , f n , 达的数列，也是， 1 2 3 5 8 2
其 分 子、 分 母 都 由 斐波 那 契数 列 构 成 。 并
且，这一数列的极限就是黄金比
答案是 6710。
4
这与“斐波那契数列”有关
若一个数列，前两项等于1，而从第三
项起，每一项是其前两项之和，则称
该数列为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
5
一、兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题
1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年）
AB 0.618 AD
E' B D' C
A'
D
B' C' E
AB 0.618 AC
A
44
6） 舞台报幕者 的最佳站位 在整个舞台宽度的 0.618处较美 7） 小说、戏剧的 高潮出现 在整个作品的0.618 处较好
45
四、 优选法
1． 华罗庚的优选法（“0.618法”） 二十世纪六十年代，华罗庚创造了并 证明了优选法，还用很大的精力去推广优 选法。 “优选法”，即对某类单因素问题，用 最少的试验次数找到“最佳点”的方法。
(n 3, 4,5,)
容易算出，跳格数列 tn 就是斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
23
2． 连分数
x 1 1
1 1 1 1 1 1
这不是一个普通的分数，而是一个分 母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常 称这样的分数为“连分数”。
24
的表达式反复代入等号右端得到的；例如， 第一次代入得到的是
39
4. 黄金分割的美 黄金分割之所以称为“黄金”分割，是 比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金 比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术 门类中审美的因素之一。认为它表现了恰 到好处的“合谐”。 例如:
40
1） 人体各部分的比
肚 脐：
印堂穴：
（头—脚）
（口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
46
例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢 的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每 吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000 克到2000克之间，现求最佳加入量，误差 不得超过1克。最“笨”的方法是分别加入 100克，1002克，…，1000克，做1千次试 验，就能发现最佳方案。
47
一种动脑筋的办法是二分法，取1000克2000 克的中点1500克。再取进一步二分法的中点1250
29
3． 黄金矩形 1 ） 定义：一个矩形，如果从中裁去
一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长
之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与 原矩形相似），则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。
30
31
2） 试求黄金矩形的宽与长之比（也称为
黄金比）
解：设黄金比为
， x 2 x 1 0
1 5 解得 x ，其正根为 2
5 1 x 0.6180339 0.618 2 A
小段 大段
B
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3． 黄金分割的尺规作图 设线段为 AB 。作 BD AB ，且