函数的间断点1.3练习题
高数辅导之专题五：间断点
专题五基础知识如果)(x f 在点0x 处有下列三种情况之一，则点0x 是)(x f 的一个间断点：（1）在点0x 处，)(x f 没有定义（2）)(lim 0x f x x →不存在 （3）虽然)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→ 简单地说，不连续的点即为间断点。
间断点的分类：（1）左右极限都存在的间断点为第一类间断点，第一类间断点又可分为跳跃间断点（左右极限不等）和可去间断点（左右极限相等）。
（2）左右极限至少有一个不存在的间断点为第二类间断点。
例题1. 0=x 是函数x y 1arctan=的 间断点。
解：x y 1arctan =在0=x 处没有定义，故0=x 是xy 1arctan =的间断点，且 xx x x 1arctan lim 221arctan lim 00+-→→=≠-=ππ 从而0=x 是函数xy 1arctan =的跳跃间断点。
2. 0=x 是函数121211+-=x x y 的 间断点。
解：121211+-=x x y 在0=x 处没有定义，故0=x 是121211+-=x x y 的间断点，且110101212lim 110-=+-=+--→x x x 101012121lim 1212lim 110110=+-=+-=+---→→++x x x x x x从而0=x 是函数121211+-=x x y 的跳跃间断点。
3. 函数)1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点为 。
解：)1(1)(2--=x x e x f x 在0=x 和1处没有定义，故0和1是)1(1)(2--=x x e x f x 的间断点，且是仅有的两个间断点（因为)(x f 是一个初等函数，)(x f 在它的定义域内都是连续的）。
下面分别0和1的间断点类型：)1(2lim )1(1lim 020-=--→→x x x x x e x x x 12lim 0-=→x x 2-=11lim 1lim )1(1lim 12121-⋅-=--→→→x xe x x e x x x x x ∞⋅-=)1(2e∞= 从而0=x 是函数)1(1)(2--=x x e x f x 的可去间断点，1=x 是第二类间断点。
函数与极限练习题
函数与极限练习题----题型⼀．求下列函数的极限⼆．求下列函数的定义域、值域判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型三．内容⼀．函数1.函数的概念2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性3.复合函数4.基本初等函数与初等函数5.分段函数⼆．极限（⼀）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则（⼆）函数的极限 1.函数在⽆穷⼤处的极限 2.函数在有限点处的极限3.函数极限的性质 4.极限的运算法则（三）⽆穷⼩量与⽆穷⼤量 1.⽆穷⼩量 2.⽆穷⼤量3.⽆穷⼩量的性质 4.⽆穷⼩量的⽐较 5.等价⽆穷⼩的替换原理三．函数的连续性x 处连续的定义函数在点1.0函数的间断点2. 间断点的分类 3. 连续函数的运算4. 闭区间上连续函数的性质 5.例题详解函数的概念与性质题型I II题型求函数的极限（重点讨论未定式的极限）III题型求数列的极限已知极限，求待定参数、函数、函数值IV 题型⽆穷⼩的⽐较题型V 判断函数的连续性与间断点类型VI 题型与闭区间上连续函数有关的命题证明VII 题型---------⾃测题⼀填空题⼀．选择题⼆．解答题三．3 ⽉18 ⽇函数与极限练习题⼀．填空题x，则1若函数lim f (x)______1f (x)1.x212，则lim f ( x)xf (x)2.若函数_______x1x 1u2 , v3 ,uv则复合函数为ytan x, 设=_________3.f ( x)ycos xx0设= __________4. f ( x)，则f (0) 0xx0(的值为，则 f (0) 已知函数)xaxb 5.f ( x)2 x01x(A)(B)(C)1(D) 2a bb a函数的定义域是(6.)y2x3x(A)(B)[2, ](2,)(D)(C),3)(3,)((3,)[2,3)1) f ( 已知，则7.__________1f (2)x1x1其定义域为__________，8.4x y1 x2x的定义域是______119.y arcsin2x12函数___________x 1) 为考虑奇偶性，函数10. ln( xysin xx7 2）_______；（111.计算极限：（）limlim______1 x x1x 1x---------2））（3；（3nlimlimx= _______= _______42xn5n2nxsin x1阶的⽆穷⼩量；计算：（）当时，______是⽐x cos x1112.0x 与时，）当（ 2 ______；若是等价⽆穷⼩量，则ax a sin 2 xx02,x1和，则已知函数 f ( x)13. )0(1xx1,lim limf ( x) f ( x),x0x11x 0x12(A)都存在(B)都不存在(C)第⼀个存在，第⼆个不存在(D)第⼀个不存在，第⼆个存在14. 设，则()limf (x)f ( x)3x2,x02x 02,0xx(B)(D)(C)(A)22011时，n sin是(15. 当)nn（A)⽆穷⼩量(B)(C)(D)有界变量⽆界变量⽆穷⼤量计算与应⽤题2x3x2, x2x2在点处连续，且f ( x)，求a设 f ( x) 2 x a,x23x2x 112xcos x1求极限：求极限：求极限：1 x limlimlim()42xxx 0x2x2x15111c o sxx x 2x求极限：求极限：lim (1 lim (1))求极限：lim22xx4x x 0x 0 x1211求极限：求极限：求极限：x2n lim( lim(1))lim() n2xnn1n222x2ex11 0 022xx求极限：求极限：求极限) lim liml i m ( 1 12x 1xx ln xx x x 0x求极限：( l i m1 ))求极限：lim求极限：x 313 lim(1 2 x3x21 xx1 x13 x8x 1x---------4 ⽉28 ⽇函数与极限练习题⼀．基础题1, f ( x)则 1.设函数x e1x 1的第⼀类间断点都是f(x) ）x=0,x=1 （A .的第⼆类间断点x=0,x=1 都是f(x) （B）的第⼆类间断点是f(x) 是f(x) 的第⼀类间断点，x=1 （C ）x=0 .的第⼀类间断点f(x) f(x) 的第⼆类间断点，x=1 是（D ）x=0是.）下列极限正确的（2．x sin x sin xlim ．B lim1不存在A．x xx sin x x1 lim x sin C．1lim arctan x．Dx x2x10)sin x(xx0)0(x a x lim f=存在，则且f x）（设3. 1x 0xsina(x 0)x2-1 B．0C．1 D．A．x lim ( a)4. 已知a9 (，则。
函数与极限练习题
题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型内容一．函数1.函数的概念2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性3.复合函数4.基本初等函数与初等函数5.分段函数二．极限（一）数列的极限1.数列极限的定义2.收敛数列的基本性质3.数列收敛的准则（二）函数的极限1.函数在无穷大处的极限2.函数在有限点处的极限3.函数极限的性质4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量1.无穷小量2.无穷大量3.无穷小量的性质4.无穷小量的比较5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性x处连续的定义1.函数在点02.函数的间断点3.间断点的分类4.连续函数的运算5.闭区间上连续函数的性质例题详解题型I函数的概念与性质题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较题型VI判断函数的连续性与间断点类型题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明自测题一一．填空题二．选择题三．解答题3月18日函数与极限练习题一．填空题1.若函数121)x (f x-⎪⎭⎫⎝⎛=，则______)x (f lim x =+∞→2.若函数1x 1x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________4. 设cos 0()0xx f x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，则 (0)f = __________5.已知函数 20()1ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2 6. 函数 3x 2x y --=的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞7. 已知 11()1f x x=- ，则 (2)f = __________8.y =+，其定义域为 __________ 9. 22x11x 1arcsin y -+-= 的定义域是 ______10. 考虑奇偶性，函数ln(y x = 为 ___________ 函数11.计算极限：（1） sin lim x xx →∞= _______；（2）711lim1x x x →-=- ______ （3）xx xx sin lim +∞→ = _______；（4）1253lim 22-+∞→n n n n = _______12.计算：（1）当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；（2）当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；13.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在14. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-15. 当 n →∞ 时，1sin n n是 ( )（A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量计算与应用题设 )(x f 在点 2x =处连续，且232,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a求极限：20cos 1lim 2x x x →- 求极限： 121lim()21x x x x +→∞+- 求极限： 512lim43-+-∞→x x x x求极限：x x x 10)41(lim -→ 求极限：2x x )x 211(lim -∞→- 求极限：20cos 1lim xxx -→求极限： 2111lim()222n n →∞+++求极限：22lim(1)n n n →∞- 求极限：lim()1xx x x →∞+求极限 211lim ln x x x →- 求极限：201lim x x e x x →-- 求极限：21002lim(1)x xx +→∞+求极限： lim x →- 求极限：21lim()1x x x x →∞-+ 求极限： 3131lim()11x x x →---4月28日函数与极限练习题一．基础题 1.设函数,11)(1-=-x x ex f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 2． 下列极限正确的（ ）A ． sin lim1x x x →∞= B ． sin limsin x x xx x→∞-+不存在 C ． 1lim sin 1x x x →∞= D ． limarctan 2x x π→∞=3. 设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 4. 已知9)ax a x (lim xx =-+∞→，则=a ( )。
微积分复习题集带参考答案(二)
微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
微积分综合练习题与参考答案完美版
微积分综合练习题与参考答案完美版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e2)(='')0(f 2-（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=-答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．xe C ．2xD ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
高数函数与极限练习题
高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。
函数的连续性定义和间断点
－
＋
x 0为函数的第二类间断点.
（无穷间 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x
1 且 lim sin 不存在. x0 x
y sin 1 x
解 在x 0处没有定义,
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义, 且 lim f ( x) f ( x0 ),
x x0
则称f ( x)在点x0处右连续.
y
y f ( x)
y
y f ( x)
0
点x0处左连续
x0
x
0
点x0处右连续
x0
x
定理
函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0 处既左连续又右连续 .
[a, b] 上连续，并称 [a, b] 是
f ( x ) 的连续区间。
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
5连续函数的几何意义 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
y f1 ( x ) y f2 ( x)
y
y
0
x0
x
0
x0
x
所谓连续就是接连不断，看上面两个图，显然在 x=x0处 y f1 ( x) 连续，y f 2 ( x)不连续。
函数 f ( x)在点 x0处 不连续的3种情况 :
(1) f ( x)在点x0处没有定义; (2) lim f ( x)不存在;
x x0
(3) f ( x0 )有定义，
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
函数与极限测试题及答案
函数与极限测试题（三）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（ ）无穷小量。
A 1sin x xB 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的（ ）。
A 连续点B 第一类非可去间断点C 可去间断点D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（ ）。
A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=，则常数a 等于（ ）。
A -1B 0C 1D 2 5、极限201limcos 1x x e x →--等于（ ）。
A ∞B 2C 0D -2二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)xx x→∞-=_______。
2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A=_______。
3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =_______。
4、 111lim[]1223(1)n n n →∞+++⋅⋅+=_______。
5、 若lim ()x f x π→存在，且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-，lim ()x f x π→=_______。
三、解答题1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n →∞---2、（7分）计算极限 30tan sin lim x x xx→- 3、（7分）计算极限 123lim()21x xx x +→∞++4、（7分）计算极限 01x x e →-5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值6、（8分）设3()32,()(1)nx x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x αβ7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin0()0x x f x xa xx ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续，12a x x b <<<，试证：在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>函数与极限测试题答案（三）一、1－5 ACDAD二、1. 2e -； 2. 3； 3 . 0； 4. 1； 5. 1； 三、1、解：原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++•••=•=2、解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===3、解：原式=1112221lim(1)lim(1)1212x x x x x x +++→∞→∞+=+++112211lim(1)lim(1)1122x x x e x x +→∞→∞=+•+=++4、解：原式=201sin 12lim 2x x xx →=5、解：因为1lim(1)0x x →-+=，所以 321lim(4)0x x ax x →---+=，因此 4a = 并将其代入原式321144(1)(1)(4)lim lim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++6、解：32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x cα→=-+=-+-+=∴==- 此时，()()x x αβ7、解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。
微积分综合练习题及参考答案1
综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x 答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B（7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ． 答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f ．答案：x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e ()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21ex x y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．x e C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
在线MOOC教材《高等数学》教材课后习题参考解答
第一本在线课程配套教材，“十三五”普通高等教育本科国家级规划教材，国防科技大学朱健民、李建平主编，高等教育出版社出版的 《高等数学》教材课后习题解答.这些课后习题都是非常经典的，学习高数课程应知应会，必须熟练掌握的基本典型练习题，不管是对于课程学习、还是考研、竞赛等相关内容的学习、复习、备考，都应该逐题过关！参考习题解答列表第一章 映射与函数习题1.1 《集合与映射》部分练习参考解答习题1.2 《函数》部分练习参考解答习题1.3 《曲线的参数方程与极坐标方程》部分练习参考解答第二章 数列极限与数值级数习题2.1 《数列极限的概念与性质》部分练习参考解答习题2.2 《数列收敛的判定方法》部分练习参考解答习题2.3 《数值级数的基本概念与性质》部分练习参考解答习题2.4-《同号级数的敛散性判别方法》部分习题参考解答习题2.5-《变号级数收敛性判别方法》部分习题参考解答第三章 函数极限与连续习题3.1-《函数极限的概念》部分习题参考解答习题3.2-《函数极限运算法则及存在性的判定准则》部分习题及参考解答 习题3.3-《无穷小的比较与渐近线》练习题及参考解答习题3.4-《函数的连续性与间断点》练习题及参考解答第四章 导数与不定积分习题4.1 《导数的概念及基本性质》练习题及参考解答习题4.2-《导数的计算》专题练习及参考解答习题4.3-《一元函数的微分》专题练习与参考解答习题4.4-《变化率与相关变化率》专题练习与参考解答习题4.5-《不定积分基本概念、性质和基本计算》专题练习与参考解答 第五章 导数的应用习题5.1-《极值与最优化》专题练习专题练习与参考解答习题5.2-《微分中值定理及其应用》专题练习专题练习与参考解答习题5.3-《泰勒公式及其应用》专题练习与参考解答习题5.4-《函数单调性与凹凸性及其应用》专题练习及参考解答习题5.5-《曲率》专题练习及参考解答第六章 定积分及其应用习题6.1-《定积分基本概念与性质》专题练习及参考解答习题6.2-《变限积分及其应用》专题练习及参考解答习题6.3-《不定积分与定积分》专题练习及参考解析习题6.4 -《定积分的应用》专题练习及其参考解析习题6.5 -《反常积分》专题练习及其参考解析第七章 常微分方程习题7.1-《微分方程的基本概念》专题练习与参考解答习题7.2-《一阶微分方程》专题练习及参考解答习题7.3 -《可降阶微分方程》专题练习及参考解答习题7.4 -《线性微分方程》专题练习及参考解答第八章 空间解析几何习题08-01 《向量及其运算》专题练习与参考解答习题08-02 《空间平面与直线》专题练习与参考解答习题08-03-《空间曲面及其方程》专题练习与参考解答习题08-04-《空间曲线及其方程》专题练习与参考解答第九章 向量值函数的导数与积分习题09-123-《向量值函数》专题练习与参考解析第十章 多元函数的导数及其应用习题10-01-《多元函数基本概念与性质》专题练习与参考解答习题10-02《偏导数与全微分》专题练习与参考解答习题10-03 《多元复合函数和隐函数求偏导》专题练习与参考解答习题10-04 《方向导数与梯度、泰勒公式》专题练习与参考解析习题10-05《多元函数的极值与最值》专题练习，知识点与典型习题视频解析 第十一章 重积分习题11-01 《重积分基本概念与性质》专题练习与参考解答习题11-02 《重积分直角坐标计算法》专题练习及典型习题视频解析习题11-03 《重积分的柱坐标、球坐标、换元法》专题练习与参考解答 习题11-04 《重积分的应用》专题练习与参考解答第十二章 曲线积分与曲面积分习题12-01《曲线积分的基本概念与计算》专题练习及参考解答习题12-02《格林公式、积分与曲线无关》专题练习与参考解答习题12-03 《曲面积分的基本概念、基本计算》专题练习与参考解答习题12-04 《高斯公式与斯托克斯公式》专题练习与参考解答第十三章 幂级数与傅里叶级数习题13-01《幂级数及其展开》专题练习与参考解答习题13-02 《傅里叶级数及其收敛性》内容总结、视频解析与专题练习。
2018年求间断点试题-word范文 (39页)
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A 1B 2C 4D 08. 当x??时，下列函数中有极限的是（）。
1x?1A. sinxB. xC.2 D. arctanx ex?1f(3?h)?f(3)?( ) 。
9.已知f'(3)=2，limh?02h33 A. B. ?C.1 D. -1 2210. 设f(x)=x4?3x2?5,则f(0)为f(x)在区间[?2,2]上的（）。
A. 极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数f(x)在[1,2]上可导，且f'(x)?0,f(1)?0,f(2)?0,则f(x)在(1,2)内()A.至少有两个零点B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定12. ?[f(x)?xf'(x)]dx?( ).A.f(x)?CB. f'(x)?CC. xf(x)?CD. f2(x)?C13. 已知y?f2(lnx2)，则y??( C )2f(lnx2)f?(lnx2)4f?(lnx2)4f(lnx2)f?(lnx2)2f(lnx2)f?(x) A.B.C. D.x2x2xx14. d?f(x)=( B)A.f'(x)?CB.f(x)C.f?(x)D.f(x)?C 15. 2lnx?xdx?( D ) 2lnx?C C.2lnx?C D.?lnx??C x A.2xlnx?C B.x2?1?( ) 16. limx?1lnxA.2B.3C.4D.517. 设函数f(x)??(t?1)(t?2)dt，则f?(?2)=（） 0xA 1B 0C ?2D 218. 曲线y?x3的拐点坐标是( )A.(0,0)B.( 1,1)C.(2,2)D.(3,3)19. 已知y?f(lnx)，则y??( A ) A.f?(lnx)f(lnx) B.f?(lnx) C.f(lnx)D. xx20. d?df(x)?( A)A.df(x)B.f(x)C.df?(x)D.f(x)?C21. ?lnxdx?( A )A.xlnx?x?CB.lnx?x?CC.lnx?xD.lnx二、求积分（每题8分，共80分）1．求cos2.求?． ?． 3. 求arctanxdx．4.求5. 求?x?3?x2?5x?6dx．6.求定积分?7. 计算8. 求9.求 08??0x2cosxdx． 1?x2?2x?8dx．．11. 求??212xe?xdx 212.求3x13. 求?e1ln2xdx x14.求三、解答题 ?11.若lim3x?,求a x??61322.讨论函数f(x)?x?2x?3x?3的单调性并求其单调区间 3?x2?x?23. 求函数f(x)?的间断点并确定其类型 x?24. 设xy2?sinx?exy,求y?.5.求y?的导数． ?x?acost6. 求由方程? 确定的导数y?x. y?bsint? ?1x?e,x?0?7. 函数f(x)??1,x?0在x?0处是否连续？?tanx,x?0???1x?e,x?0?8. 函数f(x)??1,x?0在x?0处是否可导？?tanx,x?0??9. 求抛物线y?x2与直线y?x所围成图形D的面积A.10. 计算由抛物线y2?2x与直线y?x?4围成的图形D的面积A.11. 设y是由方程y?siny?xe确定的函数，求y? y12.求证： lnx?x?1,x?113. 设y是由方程y?1?xe确定的函数，求y?14. 讨论函数f(x)?2x?9x?12x?3的单调性并求其单调区间 32y15.求证： ex?2x?1,x(1?x)16. 求函数f(x)?的间断点并确定其类型 x?x3五、解方程1. 求方程ydx?(x?xy)dy?0的通解. 222.求方程yy???y?2?0的通解.。
函数的连续性与间断点
1 x
x 不存在,
故 x0为f (x)的第二类 间断点.
y sin 1 x
且是无穷次振荡型间断点.
y sin 1 x
21
l i mf (x)不存在 ,
xx0
例
函f数 (x) 1xx,,
x0, 则称 x0为f(x)的间断.
x0,
y
f(x)在x0处有定义,
lim(x)0 lim(1x)1
1
x0
函数的连续性与间断点
2021/2/21
1
§1.8 函数的连续性 与间断点
函数的连续(continuity) 函数的间断点 (discontinuous point) 小结 思考题 作业
第一章 函数与极限
2
在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.时 间变化很小时,生物生长的也很少.这种现象 在函数关系上的反映就是函数的连续性.
x0
x0
27
三、小结
1. 函数在一点连续的三个定义、必须满足的 三个条件;
2. 区间上的连续函数; 3. 函数间断点的分类:
第一类间断点: 跳跃型,可去型 间断点
第二类间断点:无穷型, 无穷次振荡型 (见下图)
28
第y 一 类 间 断 点O
可去型
x0
x
第 二
y
类
无穷型
间
断
点 O x0
x
y
跳跃型
O x0 x y
有理分式函数 R(x) P(x) Q( x)
只要 Q(x0)0,都有 x l ix0m R (x)R (x0)
因此有理分式函数在其定义域内的每一点
都是连续的.
16
2.8函数间断点
(
x)
taxn
x
,
x
k,
k
2
1, x 0
(k 0,1,2,),
f2(
x)
x tan 0, x
, x k,k x k
2
(k
0,1,2,).
2
x, x 1
四 、 f ( x) 0, x 0 x 1 和 x 1 为 第 一 类 间 断 点 .
x, x 1
五、(1)a 0, b 1;
设 x x0 x,
y f ( x) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x) f ( x0 ).
定义 2
设
函数
f
(
x
)
在U
(
x 0
)
内有
定义,
如果
函数 f ( x)当 x x0 时的极限存在,且等于它在
点 x 0 处的函数值 f ( x0 ) ,即
x 1, x 1,
在x 1处连续.
y
2 1
o1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 .
3.第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点.
故| f ( x) |、 f 2 ( x)在x0都连续.
但反之不成立.
例
f
(
x)
1, 1,
x0 x0
在 x0 0不连续
但 | f ( x) |、 f 2 ( x)在x0 0连续
练习题
一、填空题：
1、指出
y
x2 1 x2 3x
函数的间断点
函数间断点求法两个基本步骤1、间断点（不连续点）的判断在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。
下面我们一起看一下教材上间断点的定义：2、间断点类型的判断找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限情况来划分：（1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种：①可去间断点：左右极限存在且相等；②跳跃间断点：左右极限存在但不相等．（2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点：①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在．?间断点：是f(x)的间断点，f(x)在点处的左右极限都存在为第一类间断点. f(x)至少有一个不存在，则是f(x)的第二类间断点.第一类间断点中第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法：函数的间断点一、函数的间断点设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一：1．在0x x =没有定义；2．虽在0x x =有定义，但()x f x x 0lim →不存在；3．虽在0x x =有定义，且()x f x x 0lim →存在，但()()00lim x f x f x x ≠→；则函数()x f 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()x f 的不连续点或间断点．下面我们来观察下述几个函数的曲线在1=x 点的情况，给出间断点的分类：在1=x 连续． 在1=x 间断，x 1→x 在1=x 间断， 极限为2． 在1=x 间断，1→x 左极限为2，右极限为1．① 1+=x y ② 112-+=x x y 1111在0=x 间断，0→x 极限不存在．像②③④这样在0x 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令()21=y ，则在1=x 函数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断．就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()x f 的间断点，但左极限()00-x f 及右极限()00+x f 都存在，那么0x 称为函数()x f 的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．例1 确定a 、b 使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,1sin 0,0,sin )(x b x x x a x xxx f 在0=x 处连续．解：)(x f 在0=x 处连续)(lim 0x f x +→⇔)(lim 0x f x -→=)0(f =因为b b x x x f x x =⎪⎭⎫⎝⎛+=++→→1sin lim )(lim 00；1sin lim )(lim 00==--→→x x x f x x ；a f =)0(所以1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续． 例2 求下列函数的间断点并进行分类1、11)(2+-=x x x f 分析：函数在1-=x 处没有定义，所以考察该点的极限．解：因为 2)1(lim 11lim 121-=-=+--→-→x x x x x ，但)(x f 在1-=x 处没有定义所以 1-=x 是第一类可去间断点．⑥xy 1sin=2、⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,1,0,1sin)(x x xx x f 分析：0=x 是分段函数的分段点，考察该点的极限．解：因为 01sin lim 0=→x x x ，而1)0(=f所以 0=x 是第一类可去间断点．总结：只要改变或重新定义)(x f 在0x 处的值，使它等于)(lim 0x f x x →，就可使函数在可去间断点0x 处连续．3、⎩⎨⎧<-≥+=.0,1,0,1)(x x x x x f 分析：0=x 是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限．解：因为1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ；1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x所以 0=x 是第一类跳跃间断点．4、x x f 1arctan)(=分析：函数在0=x 处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．解：因为 21arctan lim )(lim 00π==++→→x x f x x ；21arctan lim )(lim 00π-==--→→x x f x x 所以 0=x 是第一类跳跃间断点．5、xe xf 1)(=解：因为 +∞==++→→xx x e x f 100lim )(lim所以 0=x 是第二类无穷间断点6、x x f 1sin)(=解：x x f x x 1sinlim )(lim 0→→= 极限不存在所以 0=x 是第二类振荡间断点7、求x xx f sin )(=的间断点，并将其分类．解：间断点：),2,1,0( ±±==k k x π当0=x 时，因1sin lim0=→x xx ，故0=x 是可去间断点．当),2,1( ±±==k k x π时，因∞=→x x k x sin lim π，故),2,1( ±±==k k x π是无穷间断点．小结与思考：本节介绍了函数的连续性，间断点的分类． 1、求n n x xx f 211lim)(++=∞→分析：通过极限运算，得到一个关于x 的函数，找出分段点，判断． 解：因为00lim )(lim 11==++→→x x x f ；2)1(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x所以1=x 是第一类跳跃间断点 因为0)1(lim )(lim 11=+=++-→-→x x f x x ；00lim )(lim 11==---→-→x x x f ；0)1(=-f所以1-=x 是连续点．。
关于函数间断点的练习(老黄学高数第119讲)
2、延拓下列函数，使其在原来的间断点上连续：
(1)f(x)=
；(2)f(x)=
；(3)f(x)=xcos .
解：(1)f(x)在x=2没有定义，且
(x2+2x+4)=12；
可延拓函数F(x)=
, 使之在x=2上连续.
2、延拓下列函数，使其在原先的间断点上连续：
(1)f(x)=
；(2)f(x)=
；(3)f(x)=xcos .
解：(2)f(x)在x=0没有定义，且
可延拓函数F(x)=
, 使之在x=断点上连续：
(1)f(x)=
；(2)f(x)=
；(3)f(x)=xcos .
解：(3)f(x)在x=0没有定义，且
可延拓函数F(x)=
, 使之在x=0上连续.
3、设f为区间I上的单调函数.证明： 若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点 证：∵f在I上单调，∴必存在[a,b]⊂ I ，使得 x0∈[a,b] ，且f在[a,b]上有界. 由函数极限的单调有界定理可知， 不管f在区间I上单调增还是单调减， f在点x0都有左右极限， ∴当f在x0不连续时， x0必是f的第一类间断点.
(4)f(x)=
.
(4)已证f(x)在x=0处连续. 又对任意x0>0 ，存在ε0=x0/2>0，对任意δ>0， 由实数的稠密性，知在U0+(x0,δ)上， 总存在有理数x’>x0和无理数x”>x0，使 |f(x’)-f(x”)|=|x’+x”|>2x0= ε0, 即 f(x)不存在，
∴任意点x>0是f(x)的第二类间断点.
又 f(x)=0， f(x)=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.
2015考研数学讲解之可导函数的间断点问题
lim f ( x ) = f ( x0 )那么就称f ( x)在点x0连续。
由函数在“x0的某一领域”内极限的定义可知，当 | x − x0 |< δ 时，有 | f ( x) − f ( x0 ) |< δ
坛
x → x0
lim− f ( x ) = f ( x0− )说明左连续 lim+ f ( x) = f ( x0 + )说明右连 我们就引入左右极限这个概念，x→cLeabharlann 0 x→c− 0+
于是与已知x0 ∈ (a, b)是f '( x)间断点矛盾，所以 lim f '( x)与 lim f '( x )至少有一个不存在
x→c+ 0 x→c −0
考
研
论
(表示f '( x)在x = c点连续，看知识点的(a )的蓝色(2))
坛
若 lim f '( x) = A+ , lim f '( x) = A− 存在，根据第一条证明我们可知
考研论坛----考研人的精神家园
“画龙点睛”数学专题讲解（二）
证明：可导函数的间断点，一定是第二类间断点。
1，首先要明确几个概念: 函数连续性，函数极限存在，函数间断点 这里丆我们首先要明确几个相关的知识点丗 以及 导数的定义这4个知识点 (a),函数在某点连续性，函数极限存在: y = f ( x )在点x0的某一领域内有定义，
(b)函数间断点 : (1)在x = x0没定义
(2)虽然在x = x0有定义，但 lim f ( x)不存在
x → x0
(3)虽然在x = x0 有定义，且 lim f ( x)存在，但 lim f ( x ) ≠ f ( x0 )
函数连续性定义和间断点
（即 xl ixm 0 f[(x)]f(u0)f[xl ixm 0(x)]） .
例2：讨论函数 y co的s x1连2 续性。
解：函数
y
1 co可s x以2 看做是由
y，cous
复合而成的，ycous在(,上连) 续，
在( ,0)(上0,各自 )连续连续， 所以 y
uu cox1sx21x212
在( ,0)(上0,各自 )连续。
.
28
一、填空题：
练习题
1、lim x2 3x4 ____________. x0
2、lim x11____________.
x0
x
3、limln(2cos2x) ____________. x 6
4、lim 22cosx ____________.
x
tan2 x
4
5、limet 1 ____________.
.
31
练习题答案
一、1、2； 2、1 ； 3、0；
2
5、
11 2(e2
1) ；
6、1；
7、(,3),(3,2),(2,) ；
4、0；
8、 2 ,0,不存在. 2
二、1、cosa ； 2、1；
三、a 1, b e .
3； 1 . e2
.
32
第一类间断点 第二类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
.
1
y x 1
y x2
1
y
2
1
1
1
1
x
1
1
x
.
2
y x2 1 x 1
1
2
1
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lim f x
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 .
4
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x 2, x 0, 5. 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
5
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x 2 , x 0 f ( x) x 2 , x 0
思考与练习
1. f ( x)在点x x0处有定义是f ( x)在x x0点连续的 ?
A. 必要条件；B.充分条件; C.充要条件；D.无关条件
1
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x2 1 , 只要定义f (1) 2. 对于函数f ( x) x 1 f ( x)在x 1点连续
, 就能使
sin 2 x , x0 f ( x) x 且f ( x)在(,)上连续，则a 3. 1 a , x 0
故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0 , 1处 , f ( x) 连续.
9
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7
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7. 确定函数 f ( x)
1 1 e
x x
间断点的类型.
8
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f ( x)
1 1 e
x 1 x
解: 间断点 x 0 , x 1
lim f ( x) , x 0 为无穷间断点;
x0
x , f ( x) 0 当 x 1 时, 1 x x , f ( x) 1 当 x 1 时, 1 x
2
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x2 1 4. 讨论函数 f ( x) 2 间断点的类型. x 3x 2
3
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x 1 f ( x) 2 x 3x 2
2
解
x 1, 2 为间断点
lim f x lim x 1 2 x1 x 1 x 2
x 2
解 lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0), x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0), x 0 x 0
右连续但不左连续,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
6
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6. 求极限