非线性波动方程的有限元解法
有限元非线性分析
2）对数应变和真实应力 对数应变/自然应变/真实应变是度量大应变的方法，计算公式如下：
它是非线性应变的度量，因此是关于最终长度的非线性函数。与线性应变相比，对数应变（或真实应变）是可加
的。考虑一个初始长度为1m的杆经过下面3步的变形： 第1步： 从1m 变形至1.2m 第2步：从1.2m 变形至1.5m 第3步：从1.5m变形至2m 在下表中我们比较了工程应变和真实应变。可以清楚地看到，只有真实应变是可加的，因此在非线性分析中应该
大位移和大转角（小应变；线性或非线性材料）
大位移、大转角和大应变（线性或非线性材料）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 在线性FEA中，应变，如x方向应变可写为εx = ∂u/∂x，也就是说在表达式εx = ∂u/∂x + ...[(∂u/∂x)z + (∂v/∂x)z + (∂w/∂x)z]中只考虑了一次项的影响。在大位移（非线性）中，表达式的二次项也要考虑。另外，材料的应力-应变关 系也不一定是线性的。 2）材料非线性
材料非线性的特点
非线性材料（小位移）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 所有的工程材料本质上都是非线性的，因为无法找到单一的本构关系满足不同的条件比如加载、温度和应变率。 可以对材料特性进行简化，只考虑对分析来说重要的相关因素。线弹性材料（胡克定律）假设是最简单的一种。如果 变形可恢复，则材料为线弹性，如果变形不可恢复，则为塑性。如果温度效应对材料属性影响较大，则应该通过热弹性或热-塑性关系考虑结构和热之间的耦合效应。如果应变率对材料有明显影响，则应使用粘-弹性或粘-塑性理论。 上图是一个材料非线性的示例。 材料非线性的简单分类： 1. 非线性弹性 2. 超弹性 3. 理想弹-塑性 4. 弹性-时间无关塑性 5. 时间相关塑性（蠕变） 6. 应变率相关弹-塑性 7. 温度相关的弹性和塑性 如果考察上图中的应力-应变曲线，则材料非线性可以分为以下几类： 1. 线弹性-理想塑性 2. 线弹性-塑性。应力-应变曲线的塑性段与时间无关，还可细分为两种：
《有限元非线性》课件
本课件介绍《有限元非线性》课程的重要概念和应用领域，帮助学习者深入 了解非线性有限元分析的基本原理和解决方案。
有限元分析基础概念
介绍有限元分析的基本原理，包括离散化方法、单元类型和刚度矩阵的计算。
进一步学习非线性有限元方法
深入讨论非线性有限元方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的应用和优缺点，以及适用场景。
常见的非线性问题类型
弹性-塑性耦合模型
讨论弹性和塑性耦合的模型，以及其在结构分析和变形分析中的应用。
本构方程的求解方法
详细介绍求解非线性本构方程的数值方法和迭代策略，包括线性化方法和增量迭代法。
探讨材料非线性、几何非线性和边界条件非线性等常见问题类型，并提供解决方案。
经典弹塑性模型
介绍经典弹塑性模型及其在非线性有限元分析中的应用，包括塑性流动准则和硬化规律。
渐进式塑性模型
探讨渐进式塑性模型的特点及其在复杂材料行为建模中的应用。
黏塑性模型
介绍黏塑性模型及其在某些材料和地质工程分析中的应用，如粘土和岩石。
非线性有限元分析
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
工程力学中的非线性分析方法有哪些？
工程力学中的非线性分析方法有哪些？在工程力学领域，非线性问题的研究至关重要。
与线性问题相比，非线性问题更加复杂，需要采用专门的分析方法来准确描述和解决。
下面我们就来探讨一下工程力学中常见的非线性分析方法。
首先要提到的是有限元法。
这是一种非常强大且广泛应用的数值分析方法。
在处理非线性问题时，它能够有效地模拟材料的非线性行为，比如塑性、蠕变等。
通过将复杂的结构离散为有限个单元，并对每个单元进行分析，最终得到整个结构的响应。
对于几何非线性问题，如大变形、大转动等，有限元法能够通过更新坐标和刚度矩阵来准确捕捉结构的变化。
而对于材料非线性，如弹塑性问题，通过定义合适的本构关系，可以精确地模拟材料在不同应力状态下的行为。
再来看看边界元法。
它是另一种有效的数值方法，特别适用于处理无限域或半无限域问题。
在非线性分析中，边界元法可以结合迭代算法来求解非线性边界条件或非线性材料特性。
与有限元法相比，边界元法通常只需要对边界进行离散，从而降低了问题的维数，减少了计算量。
但在处理复杂的非线性问题时，其数学推导和编程实现可能会相对复杂。
还有一种方法是摄动法。
这是一种基于微扰理论的分析方法。
对于弱非线性问题，通过将非线性项视为对线性问题的小扰动，将问题的解表示为一个级数形式。
通过求解这个级数的各项，可以逐步逼近非线性问题的精确解。
摄动法在处理一些简单的非线性问题时非常有效，但对于强非线性问题，其精度可能会受到限制。
接下来是增量法。
在处理非线性问题时，将加载过程或变形过程分成一系列的小增量。
在每个增量步内，将问题近似为线性问题进行求解，然后逐步累加得到最终的结果。
这种方法适用于各种非线性问题，尤其是在考虑加载历史和路径相关性的情况下。
非线性有限差分法也是常用的手段之一。
它直接对控制方程进行离散，通过差分近似来表示导数项。
在处理非线性问题时，可以采用迭代的方式求解离散后的方程组。
这种方法对于简单的几何形状和边界条件的问题较为适用，但对于复杂的结构可能会面临网格划分和精度控制的挑战。
非线性波动方程的有限元解法
散性和非线性的统一，具有一定的波动性，但它的解又具有一定的光滑性，
t ? ? （或 x ? ? ）时的解的某种衰减性，散射性，对于它的解法和性质
的理论研究早已超出了传统的研究方法。 纵观非线性波动方程解法的发展，始终围绕着作为非线性耗散波的代表
—Buger 方程，作为非线性色散波的代表—Kdv 方程，非线性调制波的代表 —Schrodinger 方程展开的[11]。以研究发展先后为主线着重介绍如下：
第
二
节
有
限
元
方
法································································２７
第三节
有限元解的收敛性及误差估
计··········································３０
第四章 各向同性固体弹性介质中的一维
础····································１０ 第一节 应变矩阵和运动方
数学物理方程中的非线性波动方程研究
数学物理方程中的非线性波动方程研究在数学和物理学领域中，非线性波动方程是一类重要的数学模型，它们广泛应用于描述各种具有非线性行为的现象和过程。
本文将对非线性波动方程进行研究，并探讨其在实际应用中的意义和影响。
一、非线性波动方程的定义和性质非线性波动方程是一类具有非线性项的偏微分方程，常用的非线性波动方程包括Korteweg–de Vries (KdV) 方程、非线性Schrödinger (NLS) 方程等。
这些方程在研究光学、水波、声波等领域中起到了重要的作用。
非线性波动方程的数学模型一般形式如下：\[u_{xt} = F(u, u_x, u_{xx}, u_{xxx}, ...)\]其中，\(u\) 是波动的解，\(x\) 和 \(t\) 分别表示空间和时间，\(F\) 是非线性项函数。
非线性波动方程的性质与线性波动方程有较大的不同。
首先，非线性波动方程的解不再满足叠加原理，即两个或多个解的简单相加不能得到一个新的解。
其次，非线性波动方程可以出现孤立波解，即在无外力驱动的情况下，波动可以保持稳定而不衰减。
此外，非线性波动方程还表现出一些特殊的现象，如特征速度的变化、波的相互作用等。
二、非线性波动方程的应用和意义非线性波动方程在多个领域中都具有重要的应用价值，并对相关学科的发展做出了重要贡献。
1. 光学领域：非线性光学是非线性波动方程在光学领域的应用之一。
通过非线性波动方程，可以研究光在非线性介质中的传播和相互作用，为解释和实现非线性光学现象提供了理论基础。
例如，非线性光学中的自聚焦效应和光孤子现象，都可以通过非线性Schrödinger方程进行建模和解释。
2. 水波领域：非线性水波方程可以用来描述海洋中的大气尺度运动、风浪和海浪等现象。
通过非线性水波方程的研究，可以预测和模拟海洋中的海浪传播、波浪破碎等过程，对沿海工程的设计和海岸线的维护具有重要意义。
3. 力学领域：非线性波动方程在力学领域的应用较为广泛，尤其在固体力学和流体力学中。
非线性波动方程的各向异性有限元方法
３（ 岛 一 一 ３Ｌ 一 十 ）一 一 Ａ 。
８ ），
一 （ ＋ 。 ＋ 。＋ ）一 ＋ ９（
ｅ
＋ ＋ｓ 导。 ＋ ） ．
（ ３）
引理 １ ［
上 述 定义 的插 值算 子 ，具有 各 向异 性特 征 ， 即对 多重 指 标 ａ （ ａ ） 当 一 １时 ， 一 ａ ，。 ， １ ｌ ａ 有
（） １
Ｉ １，）＝ ０ ） 乱（ ， ） （ Ｏ ＝ “ （ ， Ｌ Ｏ 一 １ ） ｚＥ， ｚ ＝ ｚ （ ， ，
其 中 ｚ ｚ， ， 一（ ） Ａ代表 Ｌ ｐａ ｅ ａ ｌｃ 算子 ，＜ Ｔ Ｃ ， ＝ ｏ ＜ ｘ ＝ 。 ＝
性 函数．
， ｆ（ ） 关 于 “的 一 阶导 数连 续 的 非线 且 ｘ， 是
定 理 ２ 设 “， 分 别 是 （ ） （ ） 解 ， “ “ ４和 ５的 “， ∈ Ｈ （ ） ∈Ｈ ）， 在 各 向异 性 网 格 Ｆ 立 ， （ 则 成
ｌ－ｔ Ｊ Ｕ ≤ １ ＋ ｌ（ （ ｌ ｌｉｌ）） ｈ＋ ｌ ＵＩ Ｉ ｈ ｃ［ ｌ ＋＿１ ； “＋ ｌ ］ Ｕ Ｕ Ｉ “ ｒ ＋ “ ｄ吉 ｔ Ｉ － ｌ 。 ： ｌ ；ｚ －
［ 稿 日期 ］ ２ ０ ～ ６１ 收 ０ ９０ — ６
第 ３ 期
王 志 军 ， ： 线 性 波 动 方 程 的 各 向 异 性 有 限 元 方 法 等 非
１（ 云 ＋ 一
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大 学 数 学
第２ ７卷
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ｌ ｈ ｌ Ｃ Ｕ ｌ， ＿ 一 ｌ ≤ Ｃ “ ， （一１ ２ ｊ 一ＩＭ 】 ｈ ｌ ｌ “ ≤ “ ＾ ｌ ＾ ｈ ｊ ｌ ｓ ，） ２
材料非线性问题的有限元
一、材料非线性问题的有限单元法1．1 引言以前各章所讨论的均是线性问题。
线弹性力学基本方程的特点是1．几何方程的应变和位移的关系是线性的。
2．物性方程的应力和应变的关系是线性的。
3．建立于变形前状态的平衡方程也是线性的。
但是在很多重要的实际问题中，上述线性关系不能保持。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
又如长期处于高温条件下工作的结构，将发生蠕变变形，即在载荷或应力保持不变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展而继续增长，这也不是线弹性的物性方程所能描述的。
上述现象都属于材料非线性范畴内所要研究的问题。
工程实际中还存在另一类所谓几何非线性问题。
例如板壳的大挠度问题，材料锻压成型过程的大应变问题等，这时需要采用非线性的应变和位移关系，平衡方程也必须建立于变形后的状态以考虑变形对平衡的影响。
由于非线性问题的复杂性，利用解析方法能够得到的解答是很有限的。
随着有限单元法在线性分析中的成功应用，它在非线性分析中的应用也取得了很大的进展，已经获得了很多不同类型实际问题的求解方案。
材料非线性问题的处理相对比较简单，不需要重新列出整个问题的表达格式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性分析。
一般说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段，材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终得到问题的解答。
几何非线性问题比较复杂，它涉及非线性的几何关系和依赖于变形的平衡方程等问题，因此，表达格式和线性问题相比，有很大的改变，这将在下一章专门讨论。
这两类非线性问题的有限元格式都涉及求解非线性代数方程组，所以在本章开始对非线性代数方程组的求解作—一般性的讨论。
这对下一章也是必要的准备。
正如在前面已指出的，材料非线性问题可以分为两类。
有限元求解非线性问题
• 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成 型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当 一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常 要考虑非线性边界条件。 • 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线 性问题。
由于从理论上还丌能提供能普遍接受的据有时非线性材料特性可用数学模型迚行模拟尽管这些模型总有他们的局限性
有限元求解非线性问题
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1）材料非线性问题
• 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却 很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题 属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提 供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应 力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有 时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管 这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为 重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分 段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题，几何非线性问题是由于 位移之间存在非线性关系引起的
• 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线 性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力 和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位 移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位 移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题 。
3）非线性边界问题
Thanks！
非线性有限元解法
现在设
u un
是方程（1）的第 n 次近似解。一般地，这时
( un ) P( un ) R 0
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力）。设修正值为 此时新的近似解为：
(2)
un
(3)
，
u un1 u n un
将（3）代入（1）中并在 u un 附近将 ( un un ) 泰勒（Taylor)展开： (4) ( un un ) ( un ) un un (5) n 若记 K K (u )
un un1 u n
范数的定义可取 或
(3) (4)
un max{ un }
un [{ un }t { un } ] 1/ 2
于是收敛判据可取为： un un （位移收敛判据） 在这里注意到，对于非线性方程（1），将 un 代入一般不是严格满足的，即
(5) (6)
( u ) K ( u )u R 0
非线性有限元方程组的解法
• 对于线弹性小变形问题，其有限元方程组是线性的
Ku R 0
• 其解答利用直接方法很容易得到 u K 1R • 但是对于非线性有限元方程组则不能利用直接方法 得到其解答。 • 一般地说，不能期望得到非线性方程组的精确界。 • 通常利用各种数值方法，用一系列的线性方程组去 逼近非线性方程组的解。
现在来求相应于载荷因子为1 n 时的解。 设 un1 un u 为其解， n 于是有 ( un u,n ) P( un u ) ( n )R 0 (4)
将 ( un u,n ) 在 un , n 处泰勒展开得
T T n
可得 n 1 n 1 从而可解出修正量 un 为 un ( K T ) ( un ) ( K T ) ( R P( un ))
波动方程有限元—差分法数值解
波动方程有限元—差分法数值解有限元差分法是新兴的数值解法，可以用于计算复杂的波动方程。
本文研究了有限元差分法在解决波动方程的数值方面的应用，主要从以下几方面来探讨。
首先，介绍了波动方程的定义及其特性，简要介绍了波动方程模型的建立和求解，以及有限元差分法在求解波动方程中的应用。
其次，提出了三种典型的有限元差分法求解波动方程的算法：时间歉分差分法、时间步长变化差分法和双时间空间差分法。
之后给出了三种算法的实现过程，通过计算了实例，验证了有限元差分法的有效性。
最后，归纳总结了有限元差分法的特点和优点，指出除了有限元差分法外，还可以使用基于全时空的解析方法求解波动方程的有效性。
波动方程是用于描述物理系统的变化的常微分方程，例如用于描述热传导问题的拉普拉斯方程，用于描述电磁学场的马尔科夫方程，以及用于描述流体动力学问题的贝尔加拉里散度方程等。
由于波动方程的解一般是复杂的，有限元差分法可以利用有限个均匀分布的有限元素网格来模拟波动方程，然后采用差分法进行数值求解。
有限元差分法的使用可以使波动方程的解变得更加精确，同时由于其求解的过程是近似的，因此也可以节省计算时间，节约资源。
此外，有限元差分法还可以应用于并行计算，以提高计算速度。
由于近年来随着计算机性能的不断提高，有限元差分法在解决波动方程的数值解中逐渐被认可，逐渐被广泛应用。
综上所述，有限元差分法是一种新兴的数值解法，能够比较有效地求解复杂的波动方程，有助于深入研究物理系统的变化，在实际应用中有重要的意义。
因此，有关有限元差分法在波动方程求解中的应用，以及这种求解方法的特点和优点，应予以深入研究，以挖掘这种数值方法的潜力，为解决实际物理问题提供有效的数值支持。
数学物理中一些非线性波方程的谱方法
数学物理中一些非线性波方程的谱方法非线性波方程是描述自然界中复杂波动现象的重要工具。
传统的线性波动方程只能描述简单的波动行为，而非线性波方程能够描述波的非线性相互作用、干扰、衍射等更为复杂的现象。
然而，非线性波方程一般不易求解，因此需要采用一些谱方法进行求解。
谱方法是一种利用函数的频谱信息进行数值求解的方法。
其基本思路是将要求解的函数表示为一组特定的基函数的线性组合，通过求解其频谱系数来得到函数的近似解。
非线性波方程的谱方法主要包括有限傅立叶变换法、有限小波变换法和有限元法等。
有限傅立叶变换法是一种常用的非线性波方程求解方法。
该方法通过将非线性方程表示为傅立叶级数形式，利用傅立叶变换的性质将其转化为一组线性方程进行求解。
这种方法的优点是计算简便、精度高，特别适合于周期性边界条件的问题。
然而，有限傅立叶变换法的局限性在于无法处理非周期边界条件的问题。
有限小波变换法是一种基于小波变换的非线性波方程求解方法。
该方法利用小波变换的多分辨特性将非线性方程表示为小波系数的函数关系。
通过迭代求解与线性方程组相似的非线性方程组，可以得到函数的近似解。
有限小波变换法具有较好的局部信息描述能力和高度的适应性，适用于处理局部非线性问题。
然而，该方法对边界条件的处理相对复杂，并且需要调整小波基函数的选择和尺度。
有限元法是一种广泛应用于非线性波方程求解的数值方法。
该方法将问题的求解域划分为多个简单的有限元，通过逐个有限元建立局部变量的表达式，再通过组装得到整个问题的变量表达式。
有限元法适用于处理任意形状的求解域和复杂的边界条件，可以灵活地处理各种问题。
然而，有限元法对划分网格的要求较高，且计算量相对较大。
除了上述方法，还有一些其他的谱方法可供选择，如有限差分法、伪谱法等。
这些方法各有特点和适用范围，具体的选择需要根据求解问题的特点和求解精度的要求来确定。
总之，非线性波方程的谱方法是求解非线性波动问题的有效工具，能够提供较高的精度和较好的数值稳定性。
非线性波动非线性波动现象的描述和分析方法
非線性波動非線性波動現象的描述和分析方法非线性波动现象的描述和分析方法非线性波动现象是指在自然界中广泛存在的一类波动现象，其特点在于波动的幅度不仅取决于外界激励力的大小，还取决于波动本身的振幅。
非线性波动现象具有很多独特的特征和行为，并且在多个领域都有着重要的应用。
本文将对非线性波动现象的描述和分析方法进行探讨。
一、非线性波动现象的描述非线性波动现象的描述主要涉及到非线性波动方程的建立和求解。
非线性波动方程可以从经典的波动方程中推导而来，其形式如下：∂²u/∂t² - c²∂²u/∂x² + αu² = 0其中，u(x,t)是波的振幅，t代表时间，x代表空间位置，c是波速，α是非线性系数。
非线性波动方程描述了波动的传播和它们之间的相互作用。
为了求解非线性波动方程，可以采用数值方法，如有限差分法、有限元法等。
二、非线性波动现象的分析方法1. 平稳解的存在性和稳定性分析对于非线性波动方程，首先需要分析其平稳解的存在性和稳定性。
平稳解是指非线性波动方程中满足∂u/∂t = 0的解。
通过线性稳定性理论可以对平稳解的存在性和稳定性进行分析。
2. 波浪解的分析非线性波动方程的波浪解是指在一定的边界和初始条件下，非线性波动方程的解。
波浪解是非线性波动现象的重要特征，通过对波浪解的分析可以获得波动的幅度和形状等信息。
3. 谱方法谱方法是一种基于频域分析的非线性波动现象分析方法。
通过对非线性波动方程进行傅里叶变换，可以获得频率域内的线性方程，然后通过反变换得到非线性波动方程的解。
4. 脉冲解的分析非线性波动方程中的脉冲解是指具有高峰值和快速衰减特征的解。
通过对脉冲解的分析可以了解非线性波动方程中波动的局部特性和衰减规律。
5. 奇异解的研究奇异解是非线性波动方程中的特殊解，其在某些情况下具有极限行为和不连续性。
通过对奇异解的研究可以深入了解非线性波动现象的特殊性质和行为。
非线性波动方程
非线性波动方程
非线性波动方程是一类重要的具有非线性特性的微分方程。
它可以用来描述众多现实世界中重要的物理过程，如光学中的光滑散射、电磁学中的发射及吸收、物理液体中的波浪传播等。
因为它关系重要，所以研究非线性波动方程也就重要起来。
本文旨在简要介绍非线性波动方程，以及研究这类方程的一些基本概念，基本理论和基本方法。
首先，本文通过非线性波动方程的三层结构，构成基本方程及其解的基本形式。
其次，主要聚焦于对非线性波动方程的三类基本解的进一步了解及分析：有穷解、无穷解和混合解。
最后，本文介绍了研究非线性波动方程的一些基本方法，如数值方法、迭代方法、微分方程积分变换方法、统计近似方法、分析解析方法，等等。
非线性波动方程是一个复杂的概念，它具有重要的理论价值和应用价值。
从单个元件的物理特性和边界条件出发，它们可以给出系统行为的详细分析。
在应用方面，非线性波动方程已经在很大程度上被用于研究众多物理过程，如光学、电磁学、液体力学、气体动力学等，也可以用于研究复杂系统的演化行为。
由于非线性波动方程涉及到多学科领域，研究者们也需要具备跨学科的知识和技能，以最大程度地挖掘其优势。
显然，非线性波动方程已经成为学术研究的热点，它不仅仅是一个重要的理论课题，更具有重要的应用价值和现实意义。
学术界深入探索非线性波动方程的基本理论，同时也要围绕它的实际应用，针对
当前社会问题，更好地满足社会发展需要。
总之，非线性波动方程是一个复杂且具有重要理论价值和应用价值的概念。
由于其具有重要的现实意义，研究者们对此颇为重视，需要更加深入地探索它的基本理论，并且更好地利用其优势解决实际问题。
《几类非线性发展型偏微分方程的混合有限元方法研究》范文
《几类非线性发展型偏微分方程的混合有限元方法研究》篇一一、引言非线性偏微分方程在众多科学领域中具有广泛的应用，如物理学、生物学、金融学等。
针对这类方程的求解方法一直是数学领域的研究热点。
本文旨在探讨几类非线性发展型偏微分方程的混合有限元方法，以提高其求解效率和精度。
二、混合有限元方法概述混合有限元方法是一种用于求解偏微分方程的数值技术。
该方法通过将求解域划分为有限个元素，并在每个元素上构造近似函数，从而得到原偏微分方程的近似解。
混合有限元方法具有较高的灵活性和适应性，可应用于各种类型的偏微分方程。
三、几类非线性发展型偏微分方程本文将重点研究以下几类非线性发展型偏微分方程：1. 非线性扩散方程：描述物质在扩散过程中的非线性行为。
2. 非线性波动方程：描述物体在振动过程中的非线性特性。
3. 非线性对流扩散方程：描述流体在流动和扩散过程中的非线性效应。
4. 其他具有代表性的非线性发展型偏微分方程。
四、混合有限元方法的应用针对上述几类非线性发展型偏微分方程，本文采用混合有限元方法进行求解。
具体步骤如下：1. 划分求解域：将求解域划分为适当的有限个元素，以便在每个元素上构造近似函数。
2. 构造近似函数：在每个元素上，根据混合有限元方法的原理，构造近似函数。
3. 建立离散化方程：将原偏微分方程离散化为代数方程组，以便求解。
4. 求解代数方程组：利用适当的数值方法，如高斯消元法、迭代法等，求解离散化后的代数方程组。
5. 验证解的准确性和效率：将求解结果与实际值进行比较，验证解的准确性和效率。
五、实验结果与分析通过大量实验，本文验证了混合有限元方法在求解几类非线性发展型偏微分方程中的有效性和优越性。
实验结果表明，混合有限元方法具有较高的求解精度和效率，可广泛应用于各类非线性发展型偏微分方程的求解。
此外，本文还对不同类型非线性发展型偏微分方程的求解过程进行了详细分析，为后续研究提供了有益的参考。
六、结论本文研究了几类非线性发展型偏微分方程的混合有限元方法。
瞬态和非线性问题的有限元方法及其FEPG实现
瞬态和非线性问题的有限 元方法及其FEPG实现
中科院研究生院 2006年6月
主要内容
应用FEPG求解问题回顾 线性椭圆问题的算法文件 瞬态问题及其处理 NFE文件的基本结构 NFE文件的编写方法 非线性问题及其处理 PDE文件的COEF功能 NFE文件的COEF功能 FEPG的有限元文件与元件程序的关系 一些调试命令
END
非线性问题的种类
材料非线性
非线性本构关系 某些材料参数的非线性
几何非线性
大变形
边界非线性
接触和碰撞
非线性问题的求解
非线性问题 线性化
设定初值 否 求解线性问题
是否收敛 是
求解结束
非线性热传导问题
非线性热传导问题的线性化
采用简单迭代法进行线性化，即
求解过程
给定初值u0 求解 求解 …… 求解
判断
书写线性化后的微分方程表达式
PDE文件的COEF功能
disp u
coor x y
shap q 4 coef un
?
gaus q
mate eq 0.0
stif $c6 ek=1.44d0+1.236d-3*un-4.63d-7*un*un dist=+[u/x;u/x]*ek+[u/y;u/y]*ek
solution U WRITE(S,unod) U
end
不完备！
U0哪里来？
NFE文件的变量定义和 赋值语句（vect, read 语句）
Equation vect u0 read(s,unod) u0 matrix = [S]*dt+[M] FORC=[F]*dt+[M]*[U0]
16第9章非线性问题有限元
pt { A e ( Fi u cu p iui ds i i )ui }d
Sp
（9-2-7）
由极值条件 pt 0 ，可证明它等价于大位移弹性动力问题的基本公式，就得到瞬时最小势能原理。 因为
pt { A e ( Fi u cu ui }d pi ui ds i i )
A ij eij
（ d）
则式（b ） 、 （c）就可化为平衡方程式（ 9-2-2 ）和力边界条件式（ 9-2-3） 。这就证明了满足 0 ，就 等于满足了平衡方程式（ 9-2-2）和力边界条件式（9-2-3 ） ，这样就可以肯定，用 取极值的方法求出 的位移 ui 就是真实的解。 下面要进一步证明这个极值是最小值。 设 ui 满足几何方程、位移边界条件并使 取最小值。设 u * i 也满足几何方程、位移边界条件，除此 以外， ui* 任意。并设
i
0
（在 V 内）
（9-2-2）
在小位移时，略去了 u i,k 中的 ui ,k 就还原为小位移应力平衡方程。 ik
207
外力已知的表面边界条件（在 S p 上）可以写成
u n
ik i, k kj
j
p i
（ 9-2-3）
如果把它和小位移条件相比，也是增添了可以在小位移中略去的 u i,k 。 位移已知的边界条件（在 S u 上）可以写成
Sp
（ e）
根据式（ 9-2-1）的应变位移关系
210
A 1 A A(e) eij ui , j u j ,i uk ,i uk , j uk , j u k ,i eij 2 eij A u k ,i uk, j ki eij
小应变几何非线性问题有限元求解
小应变几何非线性问题有限元求解摘要：本文以小应变几何非线性问题为研究对象，以最小势能原理或虚位移原理基础，对小变形几何非线性问题的求解方程作有限元分析；按修正拉氏表述、全量拉氏表述给出小变形几何非线性有限元方法求解位移基本量的迭代公式，这种迭代公式对于小变形几何非线性问题的有限元分析具有非常重要的理论价值及应用价值。
Abtract:Takingthegeometricnonlinearproblemofmalltrainareearc hobject,thepapermakefiniteelementanalyifortheolvingequationofmal ldeformationgeometricallynonlinearquetionbytheprincipleofminimum potentialenergyorimaginarydiplacementprinciplebai.Accordingtothe fi某edLaplacee某preion,totalcontentLaplacee某preion,themalldeformationgeometrynonlinearfiniteelementmethodtoo lvethebaicamountofiterativeformuladiplacementigiven,andthiiterat iveformulahaaveryimportanttheoryvalueandapplicationvalueformalld eformationgeometricallynonlinearfiniteelementanalyi.关键词：有限元方法；几何非线性；小应变；拉氏表述Keyword:finiteelementmethod；geometrynonlinear；malltrain；Laplacee某preion0引言有限元方法[1-3]在实际工程中得到了广泛的应用，针对小应变几何非线性问题有限元求解方面有较多的应用成果[5-8]，如大跨度桥梁几何非线性问题[5]、大跨度斜拉桥非线性静力分析[6]、平面梁杆结构几何非线性分析[7]及平面桁架的几何非线性有限元分析[8]等，同时针对基础理论的公式推导也有相应的成果，如微分刚度计算[9]、两节点曲线索单元精细分析的非线性有限元法[10]等。
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英
文
摘
要··················································································Ⅲ
提要
本文介绍了非线性波动方程的物理，数学基础，特别是弹性固体介 质的非线性波，从功的角度出发，引用应变功的概念，利用质量、动量、 能量等守恒定律，推导了非线性波动的运动方程，给出了运动方程的一般 公式。同时导出了固体介质中非线性波动方程，研究了非线性波在固体介
第一节 非线性波动理论
自六十年代以来，非线性科学在大气动力学、离子体物理学、流体力 学、晶格力学、非线性光学、工程力学等领域中得到广泛注意。特别是以 Lorenz 引子、KAM 理论、Arold 扩散、Li— Yorke 的混沌命名和 Feigenbaum
普适常数为标志，得到迅猛发展[1]。对于非线性科学，当前研究的最多的三 个普适类分别是孤立子混沌和分维[2]。
第一章 绪论
客观的物质世界本来就是充满非线性、非平衡和强相互作用的。因此， 研究各门科学与技术问题中的非线性共性规律的非线性科学，已成为人类 揭示强扰动、强耦合、强关联系统的普遍规律和探索复杂性的基础。许多 非线性数学中的早已成熟的概念和方法开始向其他学科扩散，同时，随着 现代科学技术的不断发展，各学科的线性问题和线性理论方法的研究已远 远不能满足实际的需要，也提出了新的更加深刻的数学问题。由于在确定 论的系统中发现混沌现象，极大地激发了人们探索自然和社会中存在的各 种复杂性问题的兴趣。因此，在近二十年中，自然科学、工程技术甚至社 会科学各领域，广泛深入地开展了非线性问题的研究，已经取得的成果显 示了非线性研究在解释丰富多彩的自然界、复杂多变的周围世界方面的深 刻性，并且在哲学方法论方面引起了深刻的变革。虽然不同学科都有各自 的非线性问题，但是非线性科学的研究对象不是这些非线性问题本身，而 是它们的共性，即所谓的非线性普适类[1]。
OF NONLINEAR WAVE EQUATION
作者姓名：王 新 江 专 业：应 用 数 学 导 师 姓 名 ： 郭 华 职 称 ： 副 教 授
论文起止年月：２００１ 年 ３ 月至 ２００２ 年 ５ 月
目 录
第
一
章
绪
结
论·······················································································
··５４
参
考
文
献··················································································５５ 致
非线性波动方程的有限元解
法 ········································３７
第一节
非线性波动方程有限元解
法···········································３７
第二节
解的收敛性及误差估
计·················································４２
第二节 非线性波动方程的求解历史及现状
非线性波动方程曾经被人们当作是个性极强，无从逾越的难题，每个具 体问题似乎都要求发明一种特殊的算法，运用一种新颖的技巧，这主要是因 为方程是非线性的，孤立波解经任何迭加的结果都不再是原方程的解。对于 大家熟悉的方法—Fourier 展开和 Laplace 变换不能发挥威力，同时非线性波 动方程除了具有孤立子这个重要特征之外，还具有其他明显的物理特征：色
论文分类号 Ｏ６５ 单 位 代 码 １０１８３ 密 级 内部 研究生学号 ４９９０９１
吉林大学
硕士学位论文
非线性波动方程的有限元解法 THE FINITE ELEMENT NUMERICAL METHOD
粒二象性等熟悉的现象。只有粒子的碰撞才会有类似的情形出现，因此又将 这种波定名为孤粒子（solition）。
孤波产生的机理是类似于脉冲波，特点是行波速度依赖于本身的振幅。 它不含吸收项，只有频散和非线性效应，任何初始扰动在这种介质中传输时， 非线性要使它形成冲击波，而频散要使它的波包散开，这两种效应最终达到 相互补偿，这两种对抗因素的巧妙平衡为孤立子的形成提供了条件，从而形 成一个形状不变的稳定的局部扰动向前传播，这就是这种孤波形成的机理。 一方面，非线性使得波形在其扰动较大的地方变陡而阻止了它的衰减，另一 方面，耗散又减小波动的振幅使其对非线性作用不那么敏感。
质中的传播特点，利用不动点原理考察了具有一般性的 n 维非线性波动方
程经典解的存在性，唯一性。介绍了有限元方法的变分原理和
Ritz ? Galerkin 方法数学理论基础，并说明它的解题步骤。同时进行了
二阶波动方程的分解，利用逼近方法探讨了有限元解的收敛性及误差估计 利用有限元方法解决了一类具有实际应用价值的固体介质中非线性波动 方程，得到了一些具体的认识和结论。
谢··················································································５９
中
文
摘
要··················································································Ⅰ
第 三 节 非 线 性 波 动 方 程
组······················································１６
第三章
非线性波动方程的有限元解
法 ·········································２１
第一节 变分原理和 Ritz ? Galerkin 方 法 ·····································２１
论·············································································１
第一节 非线性波动理
论···························································１
散性和非线性的统一，具有一定的波动性，但它的解又具有一定的光滑性，
t ? ? （或 x ? ? ）时的解的某种衰减性，散射性，对于它的解法和性质
的理论研究早已超出了传统的研究方法。 纵观非线性波动方程解法的发展，始终围绕着作为非线性耗散波的代表
—Buger 方程，作为非线性色散波的代表—Kdv 方程，非线性调制波的代表 —Schrodinger 方程展开的[11]。以研究发展先后为主线着重介绍如下：
第二节 非 线 性 波 动 方 程 的 求 解 历 史 及 现
状·····································３
第三节 非 线 性 波 动 方 程 的 求 解 方
法··············································６
第二章 非线性波动方程的物理、数学基
第
二
节
有
限
元
方
法································································２７
第三节
有限元解的收敛性及误差估
计··········································３０
第四章 各向同性固体弹性介质中的一维
第五章 非线性波的算例及分
析 ··················································４８
第一节 算例的有限元解法及误差估
计······························４８
第
二
节
结果分
析·······························································５２
波导是研究非线性波动的工具，它加深了人们对孤立子的认识。在气 体和液体中，非线性使得扰动中振幅较大的点传播较快，使波形有压缩的趋 势，最终导致波浪的破碎或是冲击波的形成，而频散则有将波扩散的趋势。 当非线性和频散达到稳定平衡时，将产生一种具有固定形状的局域化扰动， 其行为类似普通的粒子，通常称为孤子。在固体中，波导最近被用于确定岩 石应力和应变的关系。实验表明：岩石中应变并不随应力线性增长，其动力 学行为显示出滞后现象。也就是说，系统所处的状态依赖于它经历的过程。 另外还有实验研究了脉冲在砂岩棒中的传播，当应变的变化达到 0.1um 时， 可以观察到二倍频和三倍频的成分。岩石的这些非线性行为对地震滑坡以及 混凝土的疲劳损伤有重要影响。[9]
由于地震波的传播规律符合波动方程，所以波动方程从本质上描述了 地震波的传播，随着地震勘探的精度越来越高，这要求从地震波的信号中提 取更多的信息，从而获得更加详细的地下信息，在数据采集、处理、解释上 提出，发展一系列的新技术和新方法，它们要求基于被近似了的非线性波动 方程，我们研究非线性波在固体中的传播规律也就有实际的意义和价值。
础····································１０ 第一节 应变矩阵和运动方
程···············································１０
第
二
节
三
阶
弹
性
能································································１２