非线性波动方程的有限元解法

第五章 非线性波的算例及分
析 ··················································４８
第一节 算例的有限元解法及误差估
计······························４８
第
二
节
结果分
析·······························································５２
由于地震波的传播规律符合波动方程，所以波动方程从本质上描述了 地震波的传播，随着地震勘探的精度越来越高，这要求从地震波的信号中提 取更多的信息，从而获得更加详细的地下信息，在数据采集、处理、解释上 提出，发展一系列的新技术和新方法，它们要求基于被近似了的非线性波动 方程，我们研究非线性波在固体中的传播规律也就有实际的意义和价值。
第
二
节
有
限
元
方
法································································２７
第三节
有限元解的收敛性及误差估
计··········································３０
第四章 各向同性固体弹性介质中的一维
OF NONLINEAR WAVE EQUATION
作者姓名：王 新 江 专 业：应 用 数 学 导 师 姓 名 ： 郭 华 职 称 ： 副 教 授
论文起止年月：２００１ 年 ３ 月至 ２００２ 年 ５ 月
目 录
第
一
章
绪
英
文
摘
要··················································································Ⅲ
提要
本文介绍了非线性波动方程的物理，数学基础，特别是弹性固体介 质的非线性波，从功的角度出发，引用应变功的概念，利用质量、动量、 能量等守恒定律，推导了非线性波动的运动方程，给出了运动方程的一般 公式。同时导出了固体介质中非线性波动方程，研究了非线性波在固体介
论文分类号 Ｏ６５ 单 位 代 码 １０１８３ 密 级 内部 研究生学号 ４９９０９１
吉林大学
硕士学位论文
非线性波动方程的有限元解法 THE FINITE ELEMENT NUMERICAL METHOD
非线性波动是非线性科学的重要组成部分。近些年来，在物理学、机械 动力学、几何学、化学、工程学等许多领域非线性波的传播也越来越得到重 视。波动理论的研究是建立在以牛顿运动定律为基础上的。在线性波动中， 介质的运动服从胡克定律（ Hook 定律），即应力与应变成正比关系。通常将 这类运动称为小振幅振动，事实上，这是忽略了运动非线性和物理非线性的 结果。当振幅有限时，上述线性关系就不成立，这时振动就称为有限振幅振 动。非线性效应将会变得很明显，运动的非线性与介质的非线性都必须加以 考虑。相应地，问题也就属于非线性波动研究的范围。满足的是非线性演化 方程(Nonlinear Evolution Equations)。也就是说：线性波动是振幅为无限小 的情况下的近似，若振幅有限，那么运动的非线性和介质的非线性都不可忽 略，波动方程就由线性的转化为非线性的了。
第二节 非 线 性 波 动 方 程 的 求 解 历 史 及 现
状·····································３
第三节 非 线 性 波 动 方 程 的 求 解 方
法··············································６
第二章 非线性波动方程的物理、数学基
第 三 节 非 线 性 波 动 方 程
组······················································１６
第三章
非线性波动方程的有限元解
法 ·········································２１
第一节 变分原理和 Ritz ? Galerkin 方 法 ·····································２１
这是线性波所见不到的显著特征。也就是说非线性波的速度在传播过程中 是可变的，这会引发波形畸变进而可能产生冲击波；非线性波在传播过程中 会产生增频（和频与倍频）与减频（差频与分频）现象，产生的谐波具有积 累效应，非线性波畸变过程也伴随着能量的转移；流体中的非线性波速度与 局部扰动大小有关。
我们看到的非线性色散波，也正是孤波。孤波最初是 Scott Russell(1844) 年发现的, 并由 Boussinesq(1871)和 Rayleigh(1876)找到了孤波的近似表达 式。1965 年 Zabusky 和 Kruskal[1]在电子计算机上发现两个孤波在碰撞后居 然能保持各自的波形和行进速度不变，这一性质使人们联想到质点粒子和波
论·············································································１
第一节 非线性波动理
论···························································１
谢··················································································５９
中
文
摘wenku.baidu.com
要··················································································Ⅰ
非线性波动方程的有限元解
法 ········································３７
第一节
非线性波动方程有限元解
法···········································３７
第二节
解的收敛性及误差估
计·················································４２
础····································１０ 第一节 应变矩阵和运动方
程···············································１０
第
二
节
三
阶
弹
性
能································································１２
第一章 绪论
客观的物质世界本来就是充满非线性、非平衡和强相互作用的。因此， 研究各门科学与技术问题中的非线性共性规律的非线性科学，已成为人类 揭示强扰动、强耦合、强关联系统的普遍规律和探索复杂性的基础。许多 非线性数学中的早已成熟的概念和方法开始向其他学科扩散，同时，随着 现代科学技术的不断发展，各学科的线性问题和线性理论方法的研究已远 远不能满足实际的需要，也提出了新的更加深刻的数学问题。由于在确定 论的系统中发现混沌现象，极大地激发了人们探索自然和社会中存在的各 种复杂性问题的兴趣。因此，在近二十年中，自然科学、工程技术甚至社 会科学各领域，广泛深入地开展了非线性问题的研究，已经取得的成果显 示了非线性研究在解释丰富多彩的自然界、复杂多变的周围世界方面的深 刻性，并且在哲学方法论方面引起了深刻的变革。虽然不同学科都有各自 的非线性问题，但是非线性科学的研究对象不是这些非线性问题本身，而 是它们的共性，即所谓的非线性普适类[1]。
质中的传播特点，利用不动点原理考察了具有一般性的 n 维非线性波动方
程经典解的存在性，唯一性。介绍了有限元方法的变分原理和
Ritz ? Galerkin 方法数学理论基础，并说明它的解题步骤。同时进行了
二阶波动方程的分解，利用逼近方法探讨了有限元解的收敛性及误差估计 利用有限元方法解决了一类具有实际应用价值的固体介质中非线性波动 方程，得到了一些具体的认识和结论。
第二节 非线性波动方程的求解历史及现状
非线性波动方程曾经被人们当作是个性极强，无从逾越的难题，每个具 体问题似乎都要求发明一种特殊的算法，运用一种新颖的技巧，这主要是因 为方程是非线性的，孤立波解经任何迭加的结果都不再是原方程的解。对于 大家熟悉的方法—Fourier 展开和 Laplace 变换不能发挥威力，同时非线性波 动方程除了具有孤立子这个重要特征之外，还具有其他明显的物理特征：色
粒二象性等熟悉的现象。只有粒子的碰撞才会有类似的情形出现，因此又将 这种波定名为孤粒子（solition）。
孤波产生的机理是类似于脉冲波，特点是行波速度依赖于本身的振幅。 它不含吸收项，只有频散和非线性效应，任何初始扰动在这种介质中传输时， 非线性要使它形成冲击波，而频散要使它的波包散开，这两种效应最终达到 相互补偿，这两种对抗因素的巧妙平衡为孤立子的形成提供了条件，从而形 成一个形状不变的稳定的局部扰动向前传播，这就是这种孤波形成的机理。 一方面，非线性使得波形在其扰动较大的地方变陡而阻止了它的衰减，另一 方面，耗散又减小波动的振幅使其对非线性作用不那么敏感。
波导是研究非线性波动的工具，它加深了人们对孤立子的认识。在气 体和液体中，非线性使得扰动中振幅较大的点传播较快，使波形有压缩的趋 势，最终导致波浪的破碎或是冲击波的形成，而频散则有将波扩散的趋势。 当非线性和频散达到稳定平衡时，将产生一种具有固定形状的局域化扰动， 其行为类似普通的粒子，通常称为孤子。在固体中，波导最近被用于确定岩 石应力和应变的关系。实验表明：岩石中应变并不随应力线性增长，其动力 学行为显示出滞后现象。也就是说，系统所处的状态依赖于它经历的过程。 另外还有实验研究了脉冲在砂岩棒中的传播，当应变的变化达到 0.1um 时， 可以观察到二倍频和三倍频的成分。岩石的这些非线性行为对地震滑坡以及 混凝土的疲劳损伤有重要影响。[9]
结
论·······················································································
··５４
参
考
文
献··················································································５５ 致
散性和非线性的统一，具有一定的波动性，但它的解又具有一定的光滑性，
t ? ? （或 x ? ? ）时的解的某种衰减性，散射性，对于它的解法和性质
的理论研究早已超出了传统的研究方法。 纵观非线性波动方程解法的发展，始终围绕着作为非线性耗散波的代表
—Buger 方程，作为非线性色散波的代表—Kdv 方程，非线性调制波的代表 —Schrodinger 方程展开的[11]。以研究发展先后为主线着重介绍如下：
第一节 非线性波动理论
自六十年代以来，非线性科学在大气动力学、离子体物理学、流体力 学、晶格力学、非线性光学、工程力学等领域中得到广泛注意。特别是以 Lorenz 引子、KAM 理论、Arold 扩散、Li— Yorke 的混沌命名和 Feigenbaum
普适常数为标志，得到迅猛发展[1]。对于非线性科学，当前研究的最多的三 个普适类分别是孤立子、混沌和分维[2]。
非线性波，大体上也是和线性波一样，区分为耗散性的和色散性的。但 是，对于非线性波，如果忽略耗散性和色散性。波的相速度一般仅由振幅决 定，在这种情况下，通常振幅越大，波的相速度就越大。因此，若开始时， 大振幅波在小振幅波的后面，随着时间的增长，大振幅波将追上前面的小振 幅波，发生波的突陡，最后波被破坏。数学上，没有耗散性和色散性的非线 性双曲型方程中，通常光滑解（强解）在有限时间后过渡成不连续解（弱解），