计算机图形学 曲线曲面参数表示的基础知识
计算机图形学基础知识重点整理
计算机图形学基础知识重点整理一、图形学的概念计算机图形学简单来说，就是让计算机去生成、处理和显示图形的学科。
它就像是一个魔法世界，把一堆枯燥的数字和代码变成我们眼睛能看到的超酷图形。
你看那些超炫的3D游戏里的场景、超逼真的动画电影，那可都是计算机图形学的功劳。
这个学科就是想办法让计算机理解图形，然后把图形按照我们想要的样子呈现出来。
二、图形的表示1. 点点是图形里最基本的元素啦。
就像盖房子的小砖头一样，很多个点组合起来就能变成各种图形。
一个点在计算机里就是用坐标来表示的，就像我们在地图上找一个地方，用经度和纬度一样，计算机里的点就是用x和y坐标（如果是3D图形的话，还有z坐标呢）来确定它在空间里的位置。
2. 线有了点，就能连成线啦。
线有各种各样的类型，直线是最简单的，它的方程可以用我们学过的数学知识来表示。
比如说斜截式y = kx + b，这里的k就是斜率，b就是截距。
还有曲线呢，像抛物线、双曲线之类的，在图形学里也经常用到。
这些曲线的表示方法可能会复杂一点，但也很有趣哦。
3. 面好多线围起来就形成了面啦。
面在3D图形里特别重要，因为很多3D物体都是由好多面组成的。
比如说一个正方体，就有六个面。
面的表示方法也有不少，像多边形表示法，就是用好多条边来围成一个面。
三、图形变换1. 平移平移就是把图形在空间里挪个位置。
这就像我们把桌子从房间的这头搬到那头一样。
在计算机里，平移一个图形就是把它每个点的坐标都加上或者减去一个固定的值。
比如说把一个点(x,y)向右平移3个单位，向上平移2个单位，那这个点就变成(x + 3,y + 2)啦。
2. 旋转旋转就更有意思啦。
想象一下把一个图形像陀螺一样转起来。
在计算机里旋转图形，需要根据旋转的角度和旋转中心来计算每个点新的坐标。
这就得用到一些三角函数的知识啦，不过也不难理解。
比如说以原点为中心，把一个点(x,y)逆时针旋转θ度，新的坐标就可以通过一些公式计算出来。
3. 缩放缩放就是把图形变大或者变小。
计算机图形学第8讲曲线曲面
P P(t )
t
t [0,1]
可以表示时间、角度等量
9
曲线的表示形式
如：直线方程的矢量表示
P(t) P0 0
t x x0 x1 x0
P1
P P0 ( P1 P0 )t
t [0,1] t [0,1]
x x0 ( x1 x0 )t y y0 ( y1 y0 )t
记为Cn
22
参数连续性与几何连续性
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续
称曲线P=P(
臵连续，即
记为：G0
t ) 在 t=t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位
P( t 0 ) P( t 0 )
1阶几何连续
称曲线 P=P(t) 在 t = t0 处1阶几何连续，如果它在 t0处 GC0 ，并且切矢量方向连续，即
Frenet–Serret 公式
21
参数连续性与几何连续性
参数连续性
传统的、严格的连续性 曲线 P = P(t)在 t＝t0 处n阶参数连续，如果它在 t0 处n 阶左右导数存在，并且满足
d k P(t ) d k P(t ) , k 0,1,, n k k dt t t0 dt t t0
参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数
26
参数多项式曲线
为什么采用参数多项式曲线？
表示最简单 理论和应用最成熟
n次多项式曲线
n x ( t ) x x t x t 0 1 n n y ( t ) y y t y t 0 1 n z (t ) z z t z t n 0 1 n
计算机图形学 9、曲线曲面表示
n i 0 i n i n i i i n
C
P (t (1 t ) i
i
n Байду номын сангаасi
t
i 1
(1 t )
n i
i ) Cn 1 P (1)t i (1 t ) n 1i i i 0
n 1
Bezier曲线升阶
i i 5. 比较两边同类项的系数得：i (1)Cn1 PiCn Pi1Cn1 P i 6. 化简得： i (1) i Pi 1 (1 i ) Pi P
n i 0
增加控制点，提高对曲线的灵活控制。 升阶前后，曲线形状不发生变化。 通过公式变换，找出升阶前后控制点之间的关 系。 P(t ) C Pt (1 t ) 升阶前： n 1 i P(t ) Cn 1 P (1)t i (1 t ) n 1i i 升阶后： i 0 n 1 两者曲线相同： C Pt (1 t ) Cni 1Pi (1)t i (1 t ) n1i i 0 左式乘以(t+(1-t))：
• P(t)是空间点，用坐标形式表示为[x(t),y(t),z(t)] • 由式（9-3）可知，实际坐标值可用下式分别计算：
P(t)的三个分量
x(t ) X 0 (1 t )3 3X1t (1 t )2 3X 2t 2 (1 t ) X 3t 3
y(t ) Y0 (1 t )3 3Y1t (1 t )2 3Y2t 2 (1 t ) Y3t 3 z(t ) Z0 (1 t )3 3Z1t (1 t )2 3Z2t 2 (1 t ) Z3t 3
n 1
n 1
例：一段3次曲线，控制点为P0,P1,P2,P3 ，升阶为4 次曲线控制点为Q0,Q1,Q2,Q3,Q4 ，两者关系为 Q0=P0，Q1=1/4P0+3/4P1 ，Q2=2/4P1+2/4P2 Q3=3/4P2+1/4P3 ， Q4=P3。
最新计算机图形学及cad技术讲义——曲线曲面基本理论
第三讲 曲线曲面基本理论1概述(a) 飞机 (b) 船舶 (c) 汽车图 1-1 曲线曲面造型应用曲线曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design, CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机系统中如何用曲线曲面表示、设计、显示和分析物体模型。
它在航空航天、船舶、飞机、汽车等行业得到广泛应用(如图1-1所示)。
由Coons 、Bezier 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础,经过三十多年的发展，曲线曲面造型现在已形成了以有理B 样条曲线曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲线曲面(Implicit Algebraic Surface)表示为主体的两类方法，且以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)手段为几何理论体系。
1.1曲线曲面表示曲线曲面可以用三种形式进行表示，即显式、隐式和参数表示，三种形式表示如下。
显式表示：形如),(y x f z =的表达式。
对于一个平面曲线而言，显式表达式可写为)(x f y =。
在平面曲线方程中，一个x 值与一个y 值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。
隐式表示：形如0),,(=z y x f 的表达式。
如一个平面曲线方程，隐式表达式可写为0),(=y x f 。
隐式表示的优点是易于判断函数),(y x f 是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。
参数表示：形如)(t f x =，)(t f y =，)(t f z =的表达式，其中t 为参数。
即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。
如平面曲线上任一点P 可表示为)](),([)(t y t x t P =，如图1-2(a)所示；空间曲线上任一三维点P 可表示为)](),(),([)(t z t y t x t P =，如图1-2(b)所示。
计算机图形学(第五章曲线曲面 [恢复])
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早期手工绘图
4
工业产品的形状大致上可分为两类： • 一类是仅由初等解析曲面例如平面、圆柱 面、圆锥面、球面、圆环面等组成，大多 数机械零件属于这一类。 • 第二类以复杂方式自由地变化的曲线曲面 即所谓自由曲线曲面组成，如飞机、汽车、 船舶的外形零件。自由曲线曲面因不能由 画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在 工程师面前首要解决的问题。
22
Bezier曲线
23
Bezier曲线生成
• Bezier定义
– 在空间给定n+1个点P0,P1,P2,…,Pn，称下列参数 曲线为n次的Bezier曲线
BEZi ,n ( t ) C t ( 1 t )
i i n
n i
,t [ 0,1 ]
n! C i !( n i )!
第三章 曲线与曲面
1
曲线曲面
• 从卫星的轨道、导弹的弹道，到汽车和飞 机等的外形，直至日常生活中的图案和花 样设计
2
一类是曲线可以用一个标准的解析式来表示，称为 曲线的方程等。 第二类曲线的特点是，不能确切给出描述整个曲线 的方程，它们往往是由一些从实际测量得到的一系列 离散数据点来确定。这些数据点也称为型值点。
两点的直线段的参数
x x0 ( x1 x0 )t , P P0 ( P1 P0 )t y y0 ( y1 y0 )t ,
t 0,1
参数表示比非参数表示更优越
更大的自由度
参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形
状不变性；
在参数表示中，变化率以切矢量表示，不会出现
5
• 对于复杂曲线和曲面的绘制方法
先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点 ，然后借用曲线板把这些点分段光滑地连接成曲 线。绘出的曲线的精确程度，则取决于所选择的 数据点的精度和数量，坐标点的精度高，点的数 量取得多，则连成的曲线愈接近于理想曲线。
计算机图形学 第七讲 曲线和曲面
又由式（3.1.6），曲线段P（u）的二阶导矢为
将其代到式（3.1.14），得到如下关系
将其展开并加以整理得到连续性方程
对于空间曲线，式（3.1.15）包含三组方程，分别对应于x，y和z 坐标。与样条函数类似， 为了求得全部型值点处的切矢，还需要指定合成曲线首、末两端的端点条件。
4.端点条件
（1） 指定首、末两端的切矢 T0 和 Tn 在某些情况下，曲线段首、末端切矢的方向是已知的，但其模长需根据经验确定，如飞机的 机身截面左右对称，取其一半构造曲线时，其首、末端的切矢方向必与Z轴平行（图2.2）。 若已知曲线首、末端切矢分别为 T0 和 Tn ，则两个补充方程为 P0' T0 （3.1.16） Pn' Tn 由式（3.1.15）和式（3.1.16），可得求解型值点处切矢 pi （i=0,1…..,n）的方程组：
n
法平面
b P ρ t
从切面
4．曲率
以弧长S为参数 切矢t(s)对弧长 s求导， 所得导矢dt(s)/ds与切矢 相垂直，称为曲率矢量， 其单位矢量称为曲线的单 位主法矢，记为n(s)，其 模长称为曲线的曲率，记 为k(s)。曲率的倒数称为 曲线的曲率半径，记为 ( s)
密切平面
法平面
b
从切面 t
'' 0 '' n
P 1 (u ) B 1u C1u D 1
其二阶导矢分别为：
2 P ( u ) B u Cnu Dn n n
'' P 1 (u ) 2 B1 '' pn (u ) 2 Bn
显然，二次函数的二阶导数为常数，即
'' '' P ( 0 ) P 1 1 (1)
微分几何中的曲线与曲面理论
微分几何中的曲线与曲面理论微分几何是研究曲线与曲面的数学分支，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍微分几何中的曲线与曲面理论，并讨论其基本概念、性质和应用。
一、曲线理论1. 曲线的定义在微分几何中，曲线是指由一组点按照一定的方式连接形成的线状对象。
曲线可以是直线、圆、椭圆等各种形状，其性质由曲线的参数化方程来描述。
2. 参数化方程参数化方程是描述曲线运动的一种方式，通过引入参数t，可以用函数形式表示曲线上的每一个点的坐标。
曲线的参数化方程可以表示为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)3. 弧长和切向量在曲线理论中，弧长是曲线上两个点之间的距离。
切向量是描述曲线在某一点上的方向的矢量。
通过参数化方程，可以求得曲线上任意一点的切向量，并计算出曲线的曲率和挠率等性质。
二、曲面理论1. 曲面的定义曲面是三维空间中的一个二维对象，可以看作是曲线在平面上的推广。
曲面有着平面没有的曲率和法向量等性质。
2. 参数化曲面和曲线类似，曲面也可以通过参数化方程来描述。
参数化曲面是指通过引入两个参数u和v，可以用函数形式表示曲面上的每一个点的坐标。
曲面的参数化方程可以表示为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)3. 第一基本形式和第二基本形式在曲面理论中，第一基本形式描述了曲面的度量性质，包括曲面的长度和角度等信息。
第二基本形式描述了曲面的曲率性质，包括法向量的旋转和曲面的高斯曲率等性质。
三、应用微分几何中的曲线与曲面理论在多个领域有着广泛的应用，下面以几个典型应用为例进行介绍：1. 物理学中的路径与表面积在物理学中，曲线与曲面理论可以描述粒子在空间中的路径和表面积。
这对于研究物体运动、力学和电磁学等领域具有重要意义。
2. 工程学中的曲线设计曲线与曲面理论在工程学中广泛用于曲线的设计和表达。
例如，在汽车造型设计中，可以利用曲线与曲面理论来构建具有流线型外观的车身曲线。
三维空间中的曲线与曲面
三维空间中的曲线与曲面在数学中，我们经常遇到分析三维空间中的曲线与曲面。
曲线与曲面是几何学中的重要概念，对于研究空间中的运动、形变和相互关系具有重要意义。
本文将介绍三维空间中的曲线与曲面的定义、性质以及它们在实际生活中的应用。
1. 曲线的定义与性质在三维空间中，曲线可以通过参数方程或者隐式方程来表示。
参数方程的形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，变量 t 为参数，可以是实数。
函数 f(t)，g(t) 和 h(t) 分别表示曲线在 x、y 和 z 轴上的坐标随参数 t 的变化情况。
通过改变参数 t 的取值范围，可以得到曲线在空间中的不同部分。
曲线的性质主要包括长度、切线和曲率。
曲线的长度可以通过导数运算和积分运算求得。
切线是指曲线上某一点处的切线方向，它垂直于曲线的切线平面。
曲率是曲线在某一点处弯曲程度的度量，表示为曲线的曲率半径的倒数。
2. 曲面的定义与性质曲面可以由隐式方程或者参数方程来表示。
隐式方程的形式为：F(x, y, z) = 0其中，函数 F(x, y, z) 定义了曲面在三维空间中的形状。
参数方程的形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，变量 u 和 v 是曲面上的参数，函数 f(u, v)，g(u, v) 和 h(u, v)分别表示曲面上的点在x、y 和z 轴上的坐标随参数u、v 的变化情况。
曲面的性质主要包括方程、切平面和法向量。
曲面的方程描述了曲面上的所有点满足的数学关系。
切平面是曲面上某一点处的切平面，它与曲面相切且垂直于曲面上的切线。
法向量是切平面的垂直向量，它垂直于曲面。
3. 曲线与曲面的应用曲线与曲面在现实生活中有广泛的应用。
在物理学中，曲线与曲面可以用来描述物体的运动轨迹或者物体表面的形状。
例如，行星在太空中的运动轨迹、水滴在玻璃表面上的形状等都可以用曲线与曲面来描述。
在计算机图形学中，曲线与曲面是构建三维模型的基础。
计算机图形学曲线和曲面造型ppt课件
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。
一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。 在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲 率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | dpk (u)
duk
u u0
dpk (u) duk
u
u
0
k 0,1,, n
12
y
y(u, v)
z z(u, v)
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u1 u u2 , v1 v v2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
10
矢量方程式为 s s(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
计算机图形学
第专题
曲线和曲面造型
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要 内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表 示、设计、显示和分析。
多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
计算机图形学第五章曲线和曲面
T(单位切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；N、B构成的平 面称为法平面；N、T构成的平面称为密切平面（它与曲线最贴近）；B、T构成的平 面称为从切平面。 对于一般参数t，有：
T
2）曲线的曲率和挠率
曲率：
B N
由于T’(s)与N平行，令T’(s)= κN, κ(kappa)称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。κ恒为 正，又称为绝对曲率。κ曲率的倒数ρ=1/κ ，称为曲率半径。 挠率： 由B(s)· Ｔ(s)=0，两边求导，可得： B‘(s)· Ｔ(s)=0； 又由|B(s)|2=1，两边求导，可得： B‘(s)· B(s)=0； 所以，B’(s)∥N(s)，再令B’(s)=-τN(s)， τ(tau)称为挠率，其几何意义是副法矢方向对于弧长的转动率。挠率大于0、 等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。 对于一般参数t，可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：
在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性， 主要表现在： （1）容易满足几何不变性（与坐标系的选取无关）的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 （3）可对参数方程直接进行几何变换，而不需要逐点变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。 （6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围十分简单。 （7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。
④ 修正弦长参数化法 ，在四种方法中效果最好：
t0 0 t j t j 1 K j Pj 1 j 1,2,, n
Pj j 3 Pj 2 j 1 K j 1 Pj 2 Pj 1 Pj 1 Pj 2 j min Pj 1Pj Pj 1 , , P1 Pn 0 2
计算机图形学10-曲线曲面参数表示的基础知识资料
参数曲线相关术语
用参数表示的3维曲线是一个有界的点集，可以写成一个带 参数的、连续的、单值的数学函数，形式为：
计算机图形学10_曲线曲面参数 表示的基础知识
曲线曲面概述
▪ 图形学中一个很复杂的又非常重要的研究 领域。
➢ 曲线曲面才是造型的真正统治者，它占据了我 们生活和幻想中的造型的绝大部分。
➢ 但曲线曲面又是如此地难以理解，让人们在一 段很长很长的时间内无法征服它。
曲线曲面概述
▪ 自由曲线和曲面发展过程
（6）规格化的参数变量t∈[0，1]，使其相应的几何分量 是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。
（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。基 于这些优点，我们在以后将用参数表达式来讨论曲线问题。
▪ 5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
（2）隐式
一般形式：f(x，y) = 0
注： 易判断某给定点是在曲线上还是曲线某一侧。
非参数表示形式（显示和隐式）存在如下问题： ① 与坐标有关 ② 出现斜率为无穷大的特殊情形 ③ 对于非平面曲线，曲面，难于用常系数的非参数化函
数表示 ④ 不便于计算机处理
（3）参数
一般形式： P(t)=[x(t),y(t)]
而当p0与p1的△ t→0时，p0p1可以 近似的表示为
曲线曲面总结
曲线曲面总结引言曲线和曲面是数学中重要的概念，在多个领域得到广泛应用。
本文将对曲线和曲面的基本概念、性质和应用进行总结和讨论。
曲线的基本概念曲线是平面上的一个点的集合，其特点是在数学上可以通过参数方程或者函数方程进行描述。
曲线可以分为直线和曲线两类，直线是一种特殊的曲线，可以通过两点确定。
曲线的形状可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
曲线的一些重要概念包括曲线的弧长、曲线的切线、曲率等。
曲线的性质曲线的性质主要包括长度、切线和曲率等。
曲线的长度是曲线弧线的长度，可以通过积分来计算。
曲线的切线是曲线某一点的切线方向，可以通过导数来计算。
曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的物理量，越弯曲的地方曲率越大。
曲线的性质对于曲线的实际应用有重要的影响。
曲面的基本概念曲面是三维空间中一组点的集合，可以用函数或参数方程进行描述。
曲面可以分为平面和曲面两类，平面是特殊的曲面，可以通过三个点或一个点和法向量确定。
曲面的形状可以是球面、柱面、锥面、椭球面、双曲面等。
曲面的一些重要概念包括曲面的面积、曲面的切平面、法向量等。
曲面的性质曲面的性质主要包括面积、法向量和曲率等。
曲面的面积是曲面上一部分的面积大小，可以通过积分来计算。
曲面的法向量是曲面上某一点的法向量方向，可以通过求偏导数来计算。
曲面的曲率是衡量曲面局部弯曲程度的物理量，曲率越大表示曲面弯曲得越厉害。
曲面的性质对于曲面的几何特征和物理特性具有重要的意义。
曲线和曲面的应用曲线和曲面在各个学科和领域中都有广泛应用。
在计算机图形学中，曲线和曲面用于表示和绘制复杂的图形和图像。
在物理学中，曲线和曲面用于描述物体的运动轨迹和形状变化。
在工程学中，曲线和曲面用于设计和制造各种产品的表面形状。
在统计学中，曲线和曲面用于拟合和分析数据模型。
曲线和曲面的应用涵盖了多个学科和行业，对于提升科学研究和实际应用都具有重要意义。
结论曲线和曲面是数学中重要的概念，具有广泛的应用。
本文对曲线和曲面的基本概念、性质和应用进行了总结和讨论。
曲线曲面基本理论
• 在曲线曲面理论中，所要考察的在于两个方面： – 曲线曲面的整体，而不是组成这个整体的各个分量； – 曲线曲面上点之间的相对位置关系，而不是它们与 所取坐标系之间的相对位置关系。
– 由于在许多参数形式之前就存在相应的非参数形式 (如：三次样条曲线有三次样条函数，Bézier曲线有 Bernstein基函数等)，所以，这种对应关系与替换绝 非是等价的。
• 而对于非参数形式下的隐方程，则可转换成等价的参数 形式，只需把所含各坐标都分别表示成某一参数的函数， 使它们适合于该隐式方程。
– 统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况，包
括各种特殊情况。即：既能表示自由型曲线曲面，
又能表示初等解析 具有丰富的表达能力与灵活地响应的能力。
– 易于实现连接，且在许多场合要求的光滑连接。
– 易于实现对形状的控制，既具有整体控制的能力，
又具有局部控制的能力。具有较大的控制的灵活性。
– 曲面上pu×pv=0的点是曲面上的一种奇点。
– 这种奇点与曲线上一阶导矢为零矢量的奇点不同：
• 前者有可能因两非零导矢平行或退化边引起， 就可由重新参数化(参数变换)消除；
• 后者由曲线的重新参数化可能消除不了。
A
10
☆图形表示问题 ☆参数化表示 ● 曲线参数化
◘ 参数化方法 ◘ 对应关系 ◘ 参数化性质
☆离散点表示
曲线的参数化：性质
• 曲线上的点是参数u的矢函数。
– 曲线对参数u求导数等于其各分量对参数u求导，其 结果为一矢量，称为导矢；一阶导矢称为切矢。
计算机图形学 第七讲 曲线和曲面讲解94页PPT
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
计算机图形学 曲线曲面参数表示的基础知识
此式也称为单参数的矢函数。它的参数方程为：
x x(u )
y
y (u ),
z z (u )
u [u0,un ]
规范化区间
若t的区间：[a,b]，如果把它转换为[0,1] ，如何做？ 方法（相似性，比例不变）：
t’=(t-a)/(b-a) , 则 t’ [0,1]
2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点 处其一阶和二阶导数均成比例。
法。
▪ （1）非参数法
▪ y=f(x) 显函数(不能表示封闭或多值的曲线）
▪ f(x，y)=0 隐函数（方程的根很难求）
▪ （2）参数法
▪ x=f(t) y=g(t) 求导很方便，不会出现计算上的困难
对于非参数表示形式方式（无论是显式还是隐式）存 在下述问题： ▪ 与坐标轴相关； ▪ 会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； ▪ 对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表 示； ▪ 不便于计算机编程。
（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须 对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表 示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。
（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断 计算。
（5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完 全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空 间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点 使我们可以用数学公式处理几何分量。
▪ 值得一提的是,隐式方程的优点也很明显.通过将某一点 的坐标代入隐式方程,计算其值是否大于、等于、小于零， 能够容易判断出该点是落在隐式方程所表示的曲线（曲面） 上还是某一侧。利用这个性质，在曲线曲面求交时将会带来 莫大的方便。
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1.参数连续性 0阶参数连续性，记作C0连续性，是指曲线的 几何位置连接，即
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
1阶参数连续性 记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相
交点处有相同的一阶导数：
pi (ti1) p(i1) (t(i1)0 ) 且pi(ti1) p(i1) (t(i1)0 )
▪ 假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为： P(t)=[x(t), y(t)]；
空间曲线上任一三维点P可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；
最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的 直线段参数方程可表示为：
P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一 象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：
▪ 曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的 形状时，求出的形状不必通过控制点列
图8-2 曲线的逼近
▪ 求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值。 ▪ 将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制多边形
或特征多边形
图8-2 曲线的逼近
4 连续性条件
假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：
pi pi (t) t [t i0 , ti1 ]
其参数形式可表示为：
在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、 隐式方程有更多的优越性，主要表现在：
（1）可以满足几何不变性的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条 二维三次曲线的显式表示为：
只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参 数表达式为：
有8个系数可用来控制此曲线的形状。
2阶参数连续性， 记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点
处具有相同的一阶和二阶导数。
(a)0阶连续性
(b)1阶连续性
(c)2阶连续性
2.几何连续性 0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定
义相同，满足：
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段 的交点处成比例
2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点 处其一阶和二阶导数均成比例。
C C(u) [x称为单参数的矢函数。它的参数方程为：
x x(u )
y
y (u ),
z z (u )
u [u0,un ]
规范化区间
若t的区间：[a,b]，如果把它转换为[0,1] ，如何做？ 方法（相似性，比例不变）：
t’=(t-a)/(b-a) , 则 t’ [0,1]
第八讲 曲线曲面参数表示的基础知识
1 显式、隐式和参数表示
▪
在工程上，曲线曲面的应用十分广泛。如根据实验、
观测或数值计算获得的数据来绘制出一条光滑的曲线，以
描述事物的各种规律。在汽车、飞机、船舶的等产品的外
形设计中，要用到大量的曲线和曲面来描述其几何形状。
▪
表示曲线和曲面的基本方法有两种：参数法和非参数
（6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量 是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。
（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
2 参数曲线的定义及其 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
▪ 有一空间点A，从原点O到A点的连线表示一个矢 量，此矢量称为位置矢量。
▪ 空间一点的位置矢量有三个坐标分量，而空间曲 线是空间动点运动的轨迹，也就是空间矢量端点 运动形成的矢端曲线，其矢量方程为：
法。
▪ （1）非参数法
▪ y=f(x) 显函数(不能表示封闭或多值的曲线）
▪ f(x，y)=0 隐函数（方程的根很难求）
▪ （2）参数法
▪ x=f(t) y=g(t) 求导很方便，不会出现计算上的困难
对于非参数表示形式方式（无论是显式还是隐式）存 在下述问题： ▪ 与坐标轴相关； ▪ 会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； ▪ 对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表 示； ▪ 不便于计算机编程。
3 拟合、逼近、插值和光顺
▪ 型值点——指通过测量或计算得到的曲线 或曲面上少量描述其几何形状的数据点。
▪ 控制点——指用来控制或调整曲线曲面形 状的特殊点，曲线曲面本身不一定通过控 制点。
▪ 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲 面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。
图8-1 曲线的拟合
（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须 对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表 示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。
（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断 计算。
（5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完 全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空 间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点 使我们可以用数学公式处理几何分量。
▪ 值得一提的是,隐式方程的优点也很明显.通过将某一点 的坐标代入隐式方程,计算其值是否大于、等于、小于零， 能够容易判断出该点是落在隐式方程所表示的曲线（曲面） 上还是某一侧。利用这个性质，在曲线曲面求交时将会带来 莫大的方便。
▪ 在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参 数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定 参数的函数。