第六章思考题答案

第六章思考题答案

1．矩阵位移法和典型方程位移法有何异同?

答：两者基本思路和原理是相同的，都是以位移为未知量，通过“一拆一合”进行求解。所谓“一拆”是指将结构设法拆成具有已知“位移－力关系”的单元，便于各单元在发生位移和所给定荷载时的受力分析——单元分析。所谓“一合”是指将经单元分析的各单元重新组装成结构，在满足位移协调和结点平衡的条件下消除与原结构间的差别，获得求解位移未知量的位移法方程——整体分析。求得位移以后，利用已知的单元“位移－力关系”解决结构受力等计算问题。

不同点在于，矩阵位移法分析过程以矩阵方程形式来书写和讨论，分析过程统一简洁、便于编制程序用计算机求解大量未知数。从编写程序等方面考虑，一般考虑轴向变形。（典型方程）位移法是一种手算方法，未知量多了手算很困难，因此一般不考虑轴向变形。

2．何谓单元刚度矩阵e k ，其元素ij k 的物理意义是什么？

答：单元产生单元杆端位移e δ时，将单元杆端位移e δ和所需施加的单元杆端力e F 联系起来的联系矩阵称为单元刚度矩阵e k 。其元素ij k 的物理意义是：仅当产生单元j δ=1杆端位移时，在i 处所需施加的单元杆端力i F =ij k 。

3．为什么要进行坐标转换？什么时候可以不进行坐标转换？

答：一般来说组成结构的各单元方位可能不全相同，单元刚度方程是针对固接于单元的局部坐标建立的，因此为了组装成整体，需要将杆端位移和杆端力转换到统一的整体坐标内，以便建立位移协调和结点平衡的条件。正因如此，所以凡组成结构的单元方位均相同时，就不需要进行坐标转换了。

4．何谓定位向量？试述如何将单元刚度元素和等效结点荷载按定位向量进行组装？ 答：在结构离散化时，将结点位移进行统一编码，在此条件下，由单元两端结点号确定其相应位移编码，按局部坐标下杆端顺序将位移编码排列而成的向量，称为定位向量。

按定位向量进行组装的规则如下：整体坐标下的单元刚度矩阵元素ij k ，假设单元局部位移码 i ，j 所对应的定位向量元素分别为 r ，s （设定位向量第 i 个元素为 r ，第j 个元素为s ）则将ij k 送整体刚度矩阵的rs K 元素位置进行累加。将整体坐标单元等效结点荷载元素i F E ，送综合等效结点荷载矩阵r P 位置进行累加。如果将被约束（无位移）的位移码编为零，当定位向量对应元素为零时，相应元素不参加集装，这就是先处理定位向量集装方法。

5．如何求单元等效结点荷载？等效的含义是什么？

答：与位移法一样，在单元杆端无位移的情况下根据所作用的荷载由载常数确定固端内力，然后将固端内力反向即可得到单元局部坐标下的等效结点荷载，再根据单元的方位将局部坐标下的量向整体坐标上投影，即可得到整体坐标下的等效结点荷载。

所谓等效是指在此荷载下引起的结点位移，与原荷载作用下的结点位移相同。

6．当结构具有弹性支撑或已知支座位移时应如何处理？

答：设结点整体位移编码 r 所对应的“方向”有弹性支座，其对应的（广义）刚度为r k ，则只需将r k 送整体刚度矩阵rr K 位置进行累加即可。

设结点整体位移编码r 所对应的“方向”有已知支座位移0

r δ，当采用乘大数法进行边界条件处理时，将整体刚度矩阵元素rr K 乘以大数N ，将综合等效结点荷载矩阵元素r P 换

成N 0r rr K δ，这是工作量最小的一种处理方法。

7．如何快速确定结构整体刚度矩阵元素rs K ？

答：可根据整体刚度矩阵元素的物理意义来确定，因为rs K （ 由互等定理sr rs K K =）的物理意义是：当结构仅发生s ∆=1时，在 r ∆所对应处需施加的约束反力。因此，可只取与s ∆相关联的（与此结点有单元相连接）部分结构为研究对象，在仅仅发生 s ∆=1 的条件下根据位移法中的形常数，像位移法一样来确定反力系数sr rs K K =。如果 r ∆和s ∆ 无单元相关联，则，sr rs K K =，r=0 。

8．如何快速确定综合等效结点荷载元素？

答：首先看与整体位移编码 r 对应的结点上有否结点荷载作用，如果有先确定与整体位移编码 r 对应的结点荷载值（与坐标同向为正）P D r ，否则P D r =0。

然后取出与r ∆相关联的（与此结点有单元相连接)部分结构为研究对象，在位移全部约束的条件下，利用载常数确定各单元整体坐标等效结点荷载（具体看如何求单元等效结点荷载思考题)，最后累加各单元与r ∆相应的等效结点荷载元素值，得到P E r 。如果所有单元上均无荷载作用，则P E r =0 。

最后将两者相加P D r +P Er 即可得综合等效结点荷载元素P r 。

9．矩阵位移法如何处理温度改变问题？

答：矩阵位移法将温度改变问题当作广义荷载来处理。首先，将杆件两侧温度改变问题化成轴线温度改变和两侧温差，然后利用轴线温度改变和两侧温差的（广义）载常数进一步确定等效结点荷载。