北京交通大学数学分析考研真题
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。
12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。
上交考研数学分析真题试卷
上交考研数学分析真题试卷一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间(-1,1)上的极限是：A. 1B. 0C. -1D. 不存在2. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + ...C. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...3. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=e^xC. f(x)=sin(x)D. f(x)=ln(x)二、填空题（每题3分，共15分）5. 若函数f(x)=x^3+2x^2-x+3，则f'(x)=________________。
6. 函数f(x)=x^2+1在x=2处的值是________________。
7. 函数f(x)=ln(x)在x=e处的导数值是________________。
8. 函数f(x)=x+1/x在x=1处的导数是________________。
9. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是________________。
三、解答题（每题10分，共30分）10. 证明函数f(x)=x^3在R上是单调递增的。
11. 求函数f(x)=x^2-4x+4在区间[0,6]上的最大值和最小值。
12. 求函数f(x)=e^x的n阶导数。
四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明函数f(x)=x^2在R上是连续的。
14. 证明函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间(1,2)内存在零点。
五、综合题（每题25分，共25分）15. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求其在区间[1,3]上的定积分，并讨论其几何意义。
参考答案：一、选择题1. B2. C3. B4. C二、填空题5. 3x^2+4x-16. 57. 1/e8. -19. 2π三、解答题10. 证明略11. 最大值f(2)=1，最小值f(6)=512. f^(n)(x)=e^x四、证明题13. 证明略14. 证明略五、综合题15. 定积分值为-2，几何意义为曲线y=x^2-4x+3与x轴在区间[1,3]上所围成的面积。
北京交通大学2008年硕士研究生入学考试数学分析答案
北京交通大学2008年硕士研究生入学考试答案
考试科目：数学分析共8 页第 1 页注意事项：答案一律写在答题纸上，写在试卷上的不予装订和评分！
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北京交通大学数理统计硕士试题
北京交通⼤学数理统计硕⼠试题北京交通⼤学硕⼠研究⽣《数理统计》试题⼀、 (10分) 设总体X ～,0(N 1),nX XX 221,,, 为其样本, 求统计量∑∑=-=+=ni ii n i i X X X Y 121221221的概率分布，并给出证明。
解:212121212212221∑∑∑--=-=??+=+=ni i i n i i i n i i X X X X X Y因为),(~102212N X X ii +- 且相互独⽴,所以)(~n Y 2χ.⼆、(15分) 设总体X 的密度函数为<≥=--θθθθx x e x f x ,,1为X 的⼀个样本。
（1）求未知参数θ的矩估计量1θ?，并讨论其是否为⽆偏估计量；（2）求未知参数θ的极⼤似然估计量2θ?，并讨论其是否为⽆偏估计量；（3）将21θθ?,?修正为43θθ?,?使其为θ的⽆偏估计，并⽐较43θθ?,?的有效性。
解：（1）因为θθθ+==+∞--2122dx e x EX x )(令X =+θ21，解得θ的矩估计量为211-=X θ?。
θθ=-=211X E E ?， 11的似然函数为=≥?+-==∑∏==其它02122211ni x n x x f L i n i i n ni i ,,,,,exp ),()( θθθθ≥+-=∑=其它022211θθ)(,exp x n x ni i n由于)(θL 是θ的单调增函数，所以θ的极⼤似然估计量)(?12X =θ。
总体X 的分布函数为<≥-=--θθθx x e x F x 012)()( 故2θ?的密度函数为 ?<≥=-=---θθθx x ne x f x F n x f x n n ,,)()]θ≠+===?+∞--ndx ne x EX E x n 21 2212)()(?所以，2θ?不是θ的⽆偏估计量。
（3）由上⾯的讨论可知 n X X 2121143-=-=)(?,θθ因为4122=-=)(EX EX DX ，22121141n EX EX DX =-=)()()()(，则，nn DX D 413==θ?， nn DX D 4141214<==)(?θ所以4三、(15分)设,,(21X X …,)nX 是来⾃正态总体),(2σµN 的样本,µ已知，求2σ的极⼤似然估计量，并证明它是UMVUE 和相合估计量。
北京交通大学大一数学分析期中考试
北京交通大学大一数学分析期中考试一、选择题（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是符合题意的，请将正确答案前的字母写在答题纸上；本题共32分，每小题4分)1、已知⊙O的直径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点PA、在⊙O外B、在⊙O上C、在⊙O内D、不能确定2、已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则cose的值是A、0.6B、0.75C、0.8D、0.93、△ABC中，点M、N分别在两边AB、AC上，MN∥BC，则下列比例式中，不正确的是A、1B、2C、3D、44、y=x+2x-y的的结果是多少A、1B、-1C、2D、-25、O1、O2的半径分别是1cm、4cm，O1O2=cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是A、外离B、外切C、内切D、相交6、二次函数y=ax2+bx+c，则下列结论正确的是A、a0,b0,c0B、a0,b0,c0C、a0,b0,c0D、a0,b0,c07、下列命题中，正确的是A、平面上三个点确定一个圆B、等弧所对的圆周角相等C、平分弦的直径垂直于这条弦D、与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线8、把抛物线y=-x2+4x-3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是A、y=-(x+3)2-2B、y=-(x+1)2-1C、y=-x2+x-5D、前三个答案都不正确二、填空题（本题共16分，每小题4分)9、已知两个相似三角形面积的比是2∶1，则它们周长的比_____。
10、在反比例函数y=中，当x0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_________。
11、水平相当的甲乙两人进行羽毛球比赛，规定三局两胜，则甲队战胜乙队的概率是_________；甲队以2∶0战胜乙队的概率是________。
12、已知⊙O的直径AB为6cm，弦CD与AB相交，夹角为30°，交点M恰好为AB的一个三等分点，则CD的长为_________cm。
北大数学分析考研真题
北大数学分析考研真题
以下是北大数学分析考研真题中的一道题目及解析：
1. 设函数$f(x)$在$x=0$的某个邻域内有定义，并满足$f(0)=0$，$f'(x)$在$x=0$的某个邻域内存在且有界，证明：
$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=0$
解析：
根据题目条件，可得到以下信息：
1) $f(0)=0$，即函数$f(x)$在$x=0$处的函数值为零；
2) $f'(x)$在$x=0$的某个邻域内存在且有界，即$f'(x)$在
$x=0$的某个邻域内有定义且不会无穷增长。
根据导数的定义，我们有：
$f'(0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to
0}\frac{f(h)}{h}$
由于$f'(x)$在$x=0$的某个邻域内有界，即存在一个常数
$M$使得$|f'(x)| \leq M$，那么对于任意的$h$（不等于0），
我们有：
$|f(h)| \leq M|h|$
再将这个不等式代入导数的定义中，我们有：
$|f'(0)| = |\lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h}| \leq M$
因此，可得到：
$\lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h} = 0$
即：
$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=0$
综上所述，我们证明了题目的结论。
北京交通大学研究生高等代数试卷
北 京 交 通 大 学2002年研究生入学《高等代数》试题一．计算n 阶行列式121222212112111...11..................n nn n n n n n n nnnn n x x x x x x x x x x x x -------。
二． 设 110213011,021,001002B C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；求矩阵X 满足下关系式：1().T T X E C B C E --=．三、设有多项式543243()331,()2 2.f x x x x x x g x x x x =+++++=+++求(f(x),g(x))和u(x),v(x)使()()()()((),()).u x f x v x g x f x g x +=四、设齐次线性方程组111122121122221122...0 0 0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数行列式等于0,A 的某个元素kj a 的代数余子式0.kj A ≠证明'12(,,...,)k k kn A A A 为该方程组的一个基础解系。
五、已知12,,...,s ααα线性无关，1122...(0)s s i b b b b βααα=+++≠。
证明1211,,...,,,,...,i i s αααβαα-+线性无关。
六、 设 123(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1),ααα=--==--12(2,5,6,5),(1,2,7,3).ββ=--=--令1123212(,,),(,).W L W L αααββ==（1）求 12,W W ⋂并求12W W ⋂的维数与一组基； （2）求 12,W W +并求12,W W +的维数与一组基。
七、A 是可逆矩阵，且可以对角化。
北京交通大学2012年硕士研究生入学考试试卷数学分析
北京交通大学2012年硕士研究生入学考试试卷科目代码：607 科目名称：数学分析 共2页，第1页 注意事项：答案一律写在答题纸上，写在试卷上的不予装订和评分！ 一、（本题满分15分）设函数)sin()2sin(sin )(21nx a x a x a x f n +++= ，其中n a a a ,,,21 是常数，如果对任意的实数x ，有x x f sin )(≤。
证明：1221≤+++n na a a 。
二、（本题满分15分）设函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续，而且极限)(lim x f x +∞→存在，证明：函数)(x f 在区间),[+∞a 上一致连续。
三、（本题满分15分）设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，开区间)1,0(内可导，而且0)1(,0)(lim 0==→f xx f x 。
证明：在区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξf 。
四、（本题满分15分）求积分⎰=12012)(lndx x x I 。
五、（本题满分15分）已知数列}{n x 满足条件)2(,3111≥-≤--+n x x x x n n n n 。
证明：数列}{n x 收敛。
六、（本题满分15分）证明：函数项级数∑∞=+1223)1ln(1n x n n在区间]1,0[上一致收敛，并讨论其和函数在区间]1,0[上的连续性，可积性和可导性。
七、（本题满分15分） 设二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+>++=000),(222222y x y x yx xyy x f 。
（1）试判断函数),(y x f 的两个偏导数在平面各点处是否存在？（2）试判断函数),(y x f 在原点)0,0(沿任何方向的极限是否存在？（3）试判断函数),(y x f 在原点)0,0(是否连续？ 八、（本题满分15分）设二元函数),(y x f 在平面2R 上二阶连续可微，而且22),(),,(),(,)2,(,)2,(R y x y x f y x f x x x f x x x f yy xx x ∈∀===，求)2,(),2,(x x f x x f yy y 及)2,(x x f xy 。