圆锥曲线中的最值和范围问题

圆锥曲线中的最值和范围问题

一、【基础考点】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题在高考中突出考试的知识点: (1)圆锥曲线的定义和方程；

（2）点与曲线的位置关系；特别是点在曲线上，点的坐标满足方程； （3）a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及相关关系； （4）二次函数、均值不等式及导数的应用。 基础训练：

1．已知双曲线

122

22

=-b

y

a x

(a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )

A.( 1,2)

B. (1,2)

C.[2,)+∞

D.(2,+∞)

2． P 是双曲线

2

2

1916

x

y

-

=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2

＝1上的点，则|PM|

－|PN |的最大值为（ D ）

A. 6

B.7

C.8

D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A )

A ．43

B ．75

C ．8

5

D ．3

4．已知双曲线

222

2

1,(0,0)x

y

a b a b

-

=>>的左、

右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ）

(A)43 (B)53 (C)2 (D)7

3

5．已知抛物线y 2

=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 . 32

6．对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( B )

（A ）（－∞，0） （B ）（－∞，2] （C ）［0，2］ （D ）（0，2）

二、【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。

突破重难点

【例1】已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P

满足条件||||P M P N -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅

的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，

所求方程为：

2

2

x

y

122

－

＝ （x >0）

（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，

此时A （x 0

），B （x 0

），O AO B ⋅

＝2 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ， 代入双曲线方程

2

2

x

y

122

－

＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2

－2＝0

依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则 2222122

2

122

44(1)(2)02012

01k b k b kb x x k b x x k ⎧

⎪∆=--∙--≥⎪

⎪

+=>⎨-⎪

⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1， 又OA OB ⋅

＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）

＝（1＋k 2

）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2

＝2

22

2k 2

4

2k 1k 1

＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅

的最小值为2

【例2】已知P 点在圆x 2+(y -2)2

=1上移动，Q 点在椭圆

2

2

19

x

y +=上移动,试求|PQ|的最大值。

解：故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ |的最大值，只要求|O 1Q |

的最大值.设Q (x ，y )，则|O 1Q |2= x 2+(y -4)2

①

因Q 在椭圆上,则x 2=9(1-y 2) ②

将②代入①得|O 1Q |2= 9(1-y 2)+(y -4)2 2

18272y ⎛

⎫=-++ ⎪⎝⎭

因为Q 在椭圆上移动，所以-1≤y ≤1，故当1

2

y =

时，1max O Q =

此时max

1PQ

=

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得．．注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

。 【例3】长度为a （0a >）的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在线段AB 上，且

AP PB λ=

（λ为常数且0λ>）．

（1）求点P 的轨迹方程C ，并说明轨迹类型； （2）当λ=2时，已知直线1l 与原点O 的距离为2

a ，且直线1l 与轨迹C 有公共点，求直线1l 的斜率k 的取

值范围．

答案：(1)设(,)P x y 、0(,0)A x 、0(0,)B y ，则

0000(1)1()x x

x x x

AP PB y y y y y λλλλλλ=+⎧-=-⎧⎪

=⇒⇒

⎨⎨+=-=⎩⎪⎩

，由此及22200||AB a x y a =⇒+=，得