第四章 海洋中的声传播理论

第四章 海洋中的声传播理论

水声传播常用的方法：

波动理论（简正波方法）——研究声信号的振幅和相位在声场中的变化；

射线理论（射线声学）——研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法，且适用于高频，

但它能有效、清晰地解决海洋中地声场问题。

4.1 波动方程和定解条件

1、波动方程

当介质声学特性是空间坐标的函数，则可得小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程：

p t u -∇=∂∂

ρ 0=⋅∇+∂∂u t

ρρ

ρd c dp 2= 状态方程可写为：

t

c t p ∂∂=∂∂ρ

2

由状态方程和连续性方程可得：

012=⋅∇+∂∂u t

p c ρ 利用运动方程从上式中消去u

可得

01

12222

=∇⋅∇-∂∂-∇ρρp t

p c p

当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式不同。

引入新的从变量：ρ

ϕp

=

，则可得

0432********=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇+∂∂-∇ρρρρϕ

ϕt c 对于简谐波，222ω-=∂∂t ，则上式可写为：

()0,,22=+∇ϕϕz y x K

式中，2

22

4321⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∇-∇+=ρρρρk K 。

ϕ不是声场势函数，K 也不是波数。

在海水中，与声速相比密度变化很小，可将其视为常数，则()z y x c k K ,,ω==，于是

()0,,22=+∇ϕϕz y x k ()0,,22=+∇p z y x k p

如果介质中有外力作用F

，例如有声源情况，则有

()ρ

ϕϕF

z y x K ⋅∇=

+∇,,22

在密度等于常数时，有

()ρ

ϕϕF

z y x k ⋅∇=

+∇,,2

2

()F p z y x k p

⋅∇=+∇,,2

2

上述赫姆霍茨方程是变系数的偏微分方程——泛定方程。

2、定解条件

满足物理问题的具体条件——定解条件。

物理量在介质边界上必须满足的条件。 （1）绝对软边界

绝对软边界条件：声压为零

界面方程表示为()t y x z ,,η=，()()0,,,,,==t y x z t y x p ηη——不平整海面 也称为第一类齐次边界条件

如果已知边界面上的压力分布，则()()s t y x z p t y x p ==,,,,,ηη，称为第一类非齐次边界条件。 （2）绝对硬边界

绝对硬边界条件：法向质点振速为零

00

=∂∂=z z

p ——平整硬质海底

界面方程为表示()t y x z ,,η=，则硬边界条件为：

()0=+∂∂+∂∂=

⋅z y x u u y

u x u n η

ηη

——不平整硬质海底 也称为第二类齐次边界条件

如果已知边界面上质点振速分布，则s z y x u u u y

u x =+∂∂+∂∂η

η，称为第二类非齐次边界条件。 （3）混合边界条件

混合边界条件：压力和振速线性组合

()s f ap n p s

=⎪⎭⎫

⎝⎛+∂∂——阻抗型海底

若a 为常数，则称为第三类边界条件。 若()0=s f ，则称阻抗边界条件：n

u p Z -=

（4）边界上密度或声速的有限间断

边界上压力连续和法向质点振速连续：

00+-=s s p p

011+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂s s n p n p ρρ——液态海底或同一种介质内部密度或声速发生突变 ✧ 若压力不连续，质量加速度区域无穷的不合理现象。

✧ 若法向振速不连续，边界上介质“真空”或“聚集”的不合理现象。

无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩散波的性质——辐射条件。 （1）平面波情况 平面波的辐射条件：

0=±∂∂++

ϕϕjk x

（2）柱面波和球面波情况

柱面波声辐射条件：0lim =⎪⎭⎫

⎝⎛±∂∂∞→ϕϕjk r r r 球面波声辐射条件：0lim =⎪⎭

⎫

⎝⎛±∂∂∞→ϕϕjk r r r ——也称为索末菲尔德（Sommerfeld ）条件。

对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即0→r ，∞→p ，它不满足波动方程；如果引入狄拉克δ函数，它满足非齐次波动方程

()t j Ae r t

p

c p ωπδ 412222

-=∂∂-∇

狄拉克δ函数的定义

()⎰

⎩⎨⎧===V

V r V r dV r 以内

在体积内

包含在体积00

01

δ ========================================================= 证明上述非其次波动方程正确性：

对于简谐球面波，有

()t j Ae r p k p ωπδ

422-=+∇

对上式进行体积积分，有

t j V

V

Ae dV p k dV p ωπ42

2-=+∇⎰

⎰

利用高斯定理：dS n F dV F S

V

⎰

⎰

⋅=⋅∇

，则有

t j V

S

Ae dV p k dS n p ωπ42

-=+⋅∇⎰

⎰

A dV e r

A k

d r A

e r jkr V

jkr

jkr S πΩ412

22

-=+--⎰

⎰

-- 上式左端第二项积分为零，可证明左端与右端的值相等。

=========================================================== 结论：非齐次方程包含奇性定结条件。

（四）初始条件

当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始条件。

4.2 波动声学基础

1、硬底均匀浅海声场

如图所示波导模型，上层为均匀水层，其厚度为H ，声速为0c ；下层为硬质均匀海底；海面

和海底均平整。点声源位于()00,0z r

处。

（一）简正波

由于问题的圆柱对称性，则水层中声场满足以下波动方程：

()02

02241r r A p k z

p r p r r r --=+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂δπ 根据三维狄拉克δ函数定义可以，在圆柱对称情况下，求得：