【6套合集】湖南益阳市第一中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析
湖南省益阳市2019-2020学年中考数学仿真第一次备考试题含解析
湖南省益阳市2019-2020学年中考数学仿真第一次备考试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（）A．a+b B．﹣a﹣c C．a+c D．a+2b﹣c2．一小组8位同学一分钟跳绳的次数如下：150，176，168，183，172，164，168，185，则这组数据的中位数为（）A．172 B．171 C．170 D．1683．已知⊙O的半径为5，弦AB=6，P是AB上任意一点，点C是劣弧»AB的中点，若△POC为直角三角形，则PB的长度（）A．1 B．5 C．1或5 D．2或44．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是()A．50°B．70°C．80°D．110°5．下列运算，结果正确的是（）A．m2+m2=m4B．2m2n÷12mn=4mC．（3mn2）2=6m2n4D．（m+2）2=m2+46．将抛物线y＝﹣（x+1）2+4平移，使平移后所得抛物线经过原点，那么平移的过程为（）A．向下平移3个单位B．向上平移3个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位7．如图，已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（）A．﹣2＜k＜2 B．﹣2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2 8．下列实数中，为无理数的是（）A．13B．2C．﹣5 D．0.31569．矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1，4)、B(1，1)、C(5，1)，则点D的坐标为( )A．(5，5) B．(5，4) C．(6，4) D．(6，5)10．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的度数为()A．54°B．64°C．74°D．26°11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．29B．34C．52D．4112．如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，边长为6cm的正三角形内接于⊙O，则阴影部分的面积为（结果保留π）_____．14．分解因式：x 2y ﹣y ＝_____．15．如图，AG ∥BC ，如果AF ：FB ＝3：5，BC ：CD ＝3：2，那么AE ：EC ＝_____．16．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2（x≥0）与y 2=23x （x≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DE AB=______．17．已知23-是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是________．18．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______度．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P 处测得景点B 位于南偏东45°方向，然后沿北偏东37°方向走200m 米到达景点A ，此时测得景点B 正好位于景点A 的正南方向，求景点A 与景点B 之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin37≈0.60，cos37°=0.80，tan37°≈0.7520．（6分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当在点A 处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM 与影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.2m ，已知标杆直立时的高为1.8m ，求路灯的高CD 的长．21．（6分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，E 为BC 上一点，BE ∶CE ＝3∶2，连接AE ，点P 从点A 出发，沿射线AB 的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P 作PF ∥BC 交直线AE 于点F.(1)线段AE ＝______；(2)设点P 的运动时间为t(s)，EF 的长度为y ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；(3)当t 为何值时，以F 为圆心的⊙F 恰好与直线AB 、BC 都相切？并求此时⊙F 的半径．22．（8分）（1）计算：20(2)(3)12sin 60π︒-+-+-； （2）化简：2121()a a a a a--÷-． 23．（8分） “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A ．非常了解，B ．比较了解，C ．基本了解，D ．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次共调查 名学生；扇形统计图中C 所对应扇形的圆心角度数是 ；（2）补全条形统计图；（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？（4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；四边形BFDE是平行四边形．25．（10分）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？26．（12分）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．27．（12分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，tanA＝2cos∠BCD，(1)求证：BC＝2AD；(2)若cosB＝34，AB＝10，求CD的长.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】首先根据数轴可以得到a、b、c的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可．【详解】解：通过数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|，∴a+b＞0，c﹣b＜0∴|a+b|﹣|c﹣b|=a+b﹣b+c=a+c，故答案为a+c．故选A．2．C【解析】【分析】先把所给数据从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可.【详解】从小到大排列：150，164,168，168，，172，176，183，185，∴中位数为：（168+172）÷2=170.故选C.【点睛】本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.3．C【解析】【分析】由点C是劣弧AB的中点，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根据勾股定理得到OD==1，若△POC 为直角三角形，只能是∠OPC=90°，则根据相似三角形的性质得到PD=2，于是得到结论．【详解】∵点C是劣弧AB的中点，∴OC垂直平分AB，∴DA=DB=3，∴OD=22534-=，若△POC为直角三角形，只能是∠OPC=90°，则△POD∽△CPD，∴PD CD OD PD=，∴PD2=4×1=4，∴PD=2，∴PB=3﹣2=1，根据对称性得，当P在OC的左侧时，PB=3+2=5，∴PB的长度为1或5.故选C．【点睛】考查了圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键．4．C【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD是∠BAC的平分线，进而可得∠BAC的度数，再根据补角定义可得答案．【详解】因为a∥b，所以∠1=∠BAD=50°，因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAC=2∠BAD=100°，所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°.故本题正确答案为C.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．5．B【解析】【分析】直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则计算得出答案．【详解】A. m 2+m 2=2m 2，故此选项错误；B. 2m 2n÷12mn=4m ，正确；C. (3mn 2)2=9m 2n 4，故此选项错误；D. (m+2)2=m 2+4m+4，故此选项错误.故答案选：B.【点睛】本题考查了乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则，解题的关键是熟练的掌握乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则.6．A【解析】将抛物线()214y x =-++平移，使平移后所得抛物线经过原点，若左右平移n 个单位得到，则平移后的解析式为：()214y x n =-+++，将（0，0）代入后解得：n=-3或n=1，所以向左平移1个单位或向右平移3个单位后抛物线经过原点；若上下平移m 个单位得到，则平移后的解析式为：()214m y x =-+++，将（0，0）代入后解得：m=-3，所以向下平移3个单位后抛物线经过原点，故选A.7．D【解析】【分析】【详解】解：∵直线l 1与x 轴的交点为A （﹣1，0）， ∴﹣1k+b=0，∴242y x y kx k =-+⎧⎨=+⎩，解得：42282k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩． ∵直线l 1：y=﹣1x+4与直线l 1：y=kx+b （k≠0）的交点在第一象限，∴42282kkkk-⎧>⎪⎪+⎨⎪>⎪+⎩，解得0＜k＜1．故选D．【点睛】两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征．8．B【解析】【分析】根据无理数的定义解答即可.【详解】选项A、13是分数，是有理数；选项B是无理数；选项C、﹣5为有理数；选项D、0.3156是有理数；故选B．【点睛】本题考查了无理数的判定，熟知无理数是无限不循环小数是解决问题的关键. 9．B【解析】【分析】由矩形的性质可得AB∥CD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，即可求点D坐标．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，1），∴AB∥CD∥y轴，AD∥BC∥x轴∴点D坐标为（5，4）故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，关键是熟练掌握这些性质.10．B【解析】【分析】根据菱形的性质以及AM ＝CN ，利用ASA 可得△AMO ≌△CNO ，可得AO ＝CO ，然后可得BO ⊥AC ，继而可求得∠OBC 的度数．【详解】∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ∥CD ，AB ＝BC ，∴∠MAO ＝∠NCO ，∠AMO ＝∠CNO ，在△AMO 和△CNO 中，MAO NCO AM CNAMO CNO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AMO ≌△CNO(ASA)，∴AO ＝CO ，∵AB ＝BC ，∴BO ⊥AC ，∴∠BOC ＝90°，∵∠DAC ＝26°，∴∠BCA ＝∠DAC ＝26°，∴∠OBC ＝90°﹣26°＝64°．故选B ．【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．11．D【解析】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB•h=13AB•AD ，∴h=23AD=2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴PA+PB的最小值为D ．。
湖南省益阳市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
湖南省益阳市2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．不等式5+2x ＜1的解集在数轴上表示正确的是( ).A．B．C．D．2．如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（）A．B．C．D．3．以下各图中，能确定12∠=∠的是（）A．B．C． D．4．如图，圆O是等边三角形内切圆，则∠BOC的度数是（）A．60°B．100°C．110°D．120°5．在下列函数中，其图象与x轴没有交点的是（）A．y=2x B．y=﹣3x+1 C．y=x2D．y=1 x6．甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A．120100x x10=-B．120100x x10=+C．120100x10x=-D．120100x10x=+7．在解方程12x-－1＝313x+时，两边同时乘6，去分母后，正确的是()A．3x－1－6＝2(3x＋1) B．(x－1)－1＝2(x＋1)C．3(x－1)－1＝2(3x＋1) D．3(x－1)－6＝2(3x＋1)8．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A ．7B ．8C ．9D ．1010．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（）A ．53cmB ．25cmC ．48cm 5D ．24cm 511．在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在Rt △ABC 中，AC=4，BC=33，将Rt △ABC 以点A 为中心，逆时针旋转60°得到△ADE ，则线段BE 的长度为_____．14．如图，OAB ∆与OCD ∆是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3:4，90OCD =o ∠，60AOB ∠=o ，若点B 的坐标是(6,0)，则点C 的坐标是__________．15．如图，反比例函数y=k x （x ＞0）的图象与矩形AOBC 的两边AC ，BC 边相交于E ，F ，已知OA=3，OB=4，△ECF 的面积为83，则k 的值为_____．16．如图，若∠1+∠2=180°，∠3=110°，则∠4= ．17．计算221b a a b a b ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____. 18．如图，矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点'D 处.则重叠部分AFC ∆的面积为______.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，两座建筑物的水平距离BC 为40m ，从D 点测得A 点的仰角为30°，B 点的俯角为10°，求建筑物AB 的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.183 1.1．20．（6分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据3≈1.732）21．（6分）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．求灯杆CD的高度；求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3=1.1．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．（8分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；（2）求一次打开锁的概率．23．（8分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF试说明AC=EF；求证：四边形ADFE是平行四边形．24．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．求反比例函数的表达式在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标求△PAB的面积．25．（10分）如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝1．求⊙O的面积；若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，求CD的长．26．（12分）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升）（1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数；（2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比；（3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量．27．（12分）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.1．）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】先解不等式得到x＜-1，根据数轴表示数的方法得到解集在-1的左边．【详解】5+1x＜1，移项得1x＜-4，系数化为1得x＜-1．故选C．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心．2．D【解析】试题分析：该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和直径的矩形，俯视图是边长分别为圆的直径和半径的矩形，故答案选D．考点：D.3．C【解析】【分析】逐一对选项进行分析即可得出答案．【详解】A 中，利用三角形外角的性质可知12∠>∠，故该选项错误；B 中，不能确定12∠∠，的大小关系，故该选项错误；C 中，因为同弧所对的圆周角相等，所以12∠=∠，故该选项正确；D 中，两直线不平行，所以12∠≠∠，故该选项错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质及圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．4．D【解析】【分析】由三角形内切定义可知OB 、OC 是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ），把对应数值代入即可求得∠BOC 的值．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∵圆O 是等边三角形内切圆，∴OB 、OC 是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12（180°﹣60°）=60°， ∴∠BOC=180°﹣60=120°，故选D ．【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及切线的性质．关键是要知道关系式∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）．5．D【解析】【分析】依据一次函数的图象，二次函数的图象以及反比例函数的图象进行判断即可．【详解】A ．正比例函数y=2x 与x 轴交于（0，0），不合题意；B ．一次函数y=-3x+1与x 轴交于（13，0），不合题意； C ．二次函数y=x 2与x 轴交于（0，0），不合题意；D ．反比例函数y=1x与x 轴没有交点，符合题意； 故选D ．6．A【解析】 分析：甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，120100x x 10=-。
2020届益阳市中考数学模拟试题(有答案)(Word版)(加精)
益阳市普通初中毕业学业考试试卷数学注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；4．本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为150分；5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．试题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列四个实数中，最小的实数是（）A．2-B．C．4-D．1-【答案】C【解析】试题分析：根据选项中的数据，可以比较它们的大小﹣4＜﹣2＜﹣1＜2，故选C．考点：实数大小比较2．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．23xx≥⎧⎨-⎩＞B．23xx≤⎧⎨-⎩＜C．23xx≥⎧⎨-⎩＜D．23xx≤⎧⎨⎩＞-【答案】D【解析】考点：在数轴上表示不等式的解集3．下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【答案】C【解析】故选：C．考点：菱形的性质4．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学计数法表示为（）A．8410⨯B．8410-⨯C．80.410⨯D．8410-⨯【答案】B【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此0.000 000 04=4×10﹣8，故选B．考点：科学记数法—表示较小的数5．下列各式化简后的结果为32的是（）A6B12C18D36【答案】C【解析】试题分析：根据二次根式的性质逐一化简可得：A6不能化简；B123C182D36=6，此选项错误；故选：C．考点：算术平方根6．关于的一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠的两根为11x=，21x=-，那么下列结论一定成立的是（）A ．240b ac ->B ．240b ac -=C ．240b ac -<D ．240b ac -≤【答案】A 【解析】考点：1、根与系数的关系；2、根的判别式7．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB =α，则拉线BC 的长度为（A 、D 、B 在同一条直线上）（ ）A ．sin hαB ．cos h α C ．tan hαD ．cos h α⋅【答案】B 【解析】试题分析：根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD ，由os ∠BCD=CD BC 知BC=cos CD BCD ∠=cos hα． 故选：B ．考点：解直角三角形的应用8．如图，空心卷筒纸的高度为12cm ，外径（直径）为10cm ，内径为4cm ，在比例尺为1:4的三视图中，其主视图的面积是（ ）A ．214πcm 2B ．2116πcm 2 C ．30cm 2 D ．7.5cm 2【答案】D 【解析】考点：简单组合体的三视图二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）9．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD = 28°,则∠A的度数为．【答案】124°【解析】试题分析：根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD=28°，根据角平分线的定义得到∠ACB=∠BCD=28°，根据三角形的内角和即可得到∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=124°，故答案为：124°．考点：平行线的性质10．如图，△ABC中，5AC=，12BC=，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．【答案】6.5【解析】考点：1、勾股定理的逆定理；2、直角三角形斜边上的中线1132x-有意义，则的取值范围是．【答案】x≤3 2【解析】试题分析：由题意可知：32020xx-≥⎧⎨-≠⎩∴x≤32且x≠2，∴x的取值范围为：x≤3 2故答案为：x≤3 2考点：二次根式有意义的条件12．学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为．【答案】48【解析】试题分析：设被调查的学生人数为x人，则有12x=0.25，解得x=48，经检验x=48是方程的解．故答案为48；考点：频数与频率13．如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为．【答案】108°【解析】试题分析：根据多边形的内角和公式由五边形的内角和=（5﹣2）•180°=540°，然后根据五边形的每个内角都相等，可得每个内角的度数=540°÷5=108°．故答案是：108°．考点：多边形内角与外角14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC = 36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．【答案】2a+3b【解析】考点：1、等腰三角形的性质；2、线段垂直平分线的性质三、解答题（本大题8个小题，共80分)15．（本小题满分8分）计算：()0242cos6032(3)--︒+---【答案】-5【解析】试题分析：根据实数运算法则、零指数幂和特殊三角形函数值得有关知识计算即可．试题解析：原式=4﹣2×12+1﹣9，=﹣5．考点：1、实数的运算；2、零指数幂；3、特殊角的三角函数值16．（本小题满分8分）先化简，再求值：2221111x x xx x++-++-，其中2x=-．【答案】2x+2，-2【解析】考点：分式的化简求值17．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC = CE．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．试题解析：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，又∵F是CD的中点，即DF=CF，∴△ADF≌△ECF，∴AD=CE，∴BC=CE．考点：1、平行四边形的性质；2、全等三角形的判定与性质18．（本小题满分10分）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10成绩（分）7 6 8 7 7 5 8 7 8 7（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适?为什么? (参考数据：三人成绩的方差分别为20.8S =甲、20.4S =乙、20.8S =丙)（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答） 【答案】（1）7；7（2）选乙运动员更合适（3）14【解析】试题分析：（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是（7分）； （2）易知x 甲=7（分），x 乙=7（分），x 丙=6.3（分），根据题意不难判断； （3）画出树状图，即可解决问题；第三轮结束时球回到甲手中的概率是P （求回到甲手中）=2184=． 考点：1、列表法与树状图法；2、条形统计图；3、折线统计图；4、中位数；5、众数；6、方差 19．（本小题满分10分）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮＋住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元． （1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？【答案】（1）去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元（2）今年土特产销售至少有7.4万元的利润【解析】试题分析：（1）设去年餐饮利润为x万元，住宿利润为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）设今年土特产的利润为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．试题解析：（1）设去年餐饮利润x万元，住宿利润y万元，依题意得：208021x yx y+=⨯⎧⎨=+⎩％，解得：115xy=⎧⎨=⎩，答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；（2）设今年土特产利润m万元，依题意得：16+16×（1+10%）+m﹣20﹣11≥10，解之得，m≥7.4，答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润．考点：1、一元一次不等式的应用；2、二元一次方程组的应用20．（本小题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°， ∴CD 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OCD 中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4， ∴OD=22OC CD +=5， ∴BD=OD ﹣OB=5﹣3=2．考点：切线的判定与性质21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”． （1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M 、N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(,)m n ，求直线MN 的表达式（用含m 、n 的代数式表示）； （3）在抛物线2y x bx c =++的图象上有一对“互换点”A 、B ，其中点A 在反比例函数2y x=-的图象上，直线AB 经过点P (12，12)，求此抛物线的表达式． 【答案】（1）不一定（2）直线MN 的表达式为y=﹣x+m+n （3）抛物线的表达式为y=x 2﹣2x ﹣1 【解析】①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由kba=可得kab=，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数kyx=（k≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有mc d nnc d m+=⎧⎨+=⎩解得1cd m n=-⎧⎨=+⎩，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则2qp =，∴12421b cb c-+=⎧⎨++=-⎩解得21bc=-⎧⎨=-⎩，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、待定系数法求一次函数解析式；3、待定系数法求二次函数解析式22．（本小题满分14分）如图，直线1y x=+与抛物线22y x=相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图，将题中直线1y x=+变为(0)y kx b b=+>，抛物线22y x=变为2(0)y ax a=>，其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）①（-12，12），（ 1，2）②证明见解析（2）∠ANM=∠BNM成立【解析】∴A、B两点的坐标分别为（-12，12），（ 1，2）；②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，①当k=0，△ABN 是关于y 轴的轴对称图形，∴∠ANM=∠BNM ；②当k ≠0，根据题意得：OM=ON=b ，设A 211(,)x ax 、B 222(,)x ax ．如图2，过A 作AE ⊥y 轴于E ，过B 作BF ⊥y 轴于F ，由题意可知：ax 2=kx+b ，即ax 2﹣kx ﹣b=0， ∴12k x x a +=，12b x x a=-， ∵NF NE BF AE -=222121b ax b ax x x ++--=2211221212bx ax x bx ax x x x +++=121212()()x x ax x b x x ++=[()]()k b a b a a b a⋅-+-=0∴NF NE BF AE，∴Rt△AEN∽Rt△BFN，∴∠ANM=∠BNM．考点：二次函数综合题。
2020年湖南省益阳市中考数学试卷及答案解析
2020年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）四个实数1，0，，﹣3中，最大的数是（）A．1B．0C．D．﹣32．（4分）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（）A．B．C．D．3．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．（4分）一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，3，4，且这组数据的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7B．4C．3.5D．35．（4分）同时满足二元一次方程x﹣y＝9和4x+3y＝1的x，y的值为（）A．B．C．D．6．（4分）下列因式分解正确的是（）A．a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b）B．a2﹣9b2＝（a﹣3b）2C．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2D．a2﹣ab+a＝a（a﹣b）7．（4分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．k＜0B．b＝﹣1C．y随x的增大而减小D．当x＞2时，kx+b＜08．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10B．8C．7D．69．（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°10．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE 于点F，则下列结论不成立的是（）A．∠DAE＝30°B．∠BAC＝45°C．D．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11．（4分）我国北斗全球导航系统最后一颗组网卫星于2020年6月30日成功定点于距离地球36000千米的地球同步轨道．将“36000”用科学记数法表示为．12．（4分）如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为．13．（4分）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得的长为36cm，则的长为cm．14．（4分）反比例函数y＝的图象经过点P（﹣2，3），则k＝．15．（4分）小朋友甲的口袋中有6粒弹珠，其中2粒红色，4粒绿色，他随机拿出1颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是．16．（4分）一个多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是．17．（4分）若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是（写出一个符合条件的即可）．18．（4分）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（﹣3）2+2×（﹣1）﹣|﹣2|．20．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣2．21．（8分）如图，OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，且MA＝MB，OA，OB分别交⊙O于C，D．求证：AC＝BD．22．（10分）为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画数进行统计，结果如下表：笔画数123456789101112131415字数4810161420243616141191071请解答下列问题：（1）被统计汉字笔画数的众数是多少？（2）该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图：分组笔画数x（画）A字数（个）A组1≤x≤322B组4≤x≤6mC组7≤x≤976D组10≤x≤12nE组13≤x≤1518请确定上表中的m、n的值及扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数；（3）若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在7～9画（C组）的字数有多少个？23．（10分）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1．此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离（P、D、H在同一直线上），在点C处测得∠DCP＝26°．（1）求斜坡CD的坡角α；（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）24．（10分）新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；x…02468…y……（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．26．（12分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA 重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．2020年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：四个实数1，0，，﹣3中，﹣3＜0＜1＜，故最大的数是：．故选：C．2．【解答】解：解不等式x+2≥0，得：x≥﹣2，又x＜1，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：A．3．【解答】解：从上面看该几何体，选项D的图形符合题意，故选：D．4．【解答】解：根据题意知，另外一个数为4×4﹣（2+3+4）＝7，所以这组数据为2，3，4，7，则这组数据的中位数为＝3.5，故选：C．5．【解答】解：由题意得：，由①得，x＝9+y③，把③代入②得，4（9+y）+3y＝1，解得，y＝﹣5，代入③得，x＝9﹣5＝4，∴方程组的解为，故选：A．6．【解答】解：A、a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝（a﹣b）2，故此选项错误；B、a2﹣9b2＝（a﹣3b）（a+3b），故此选项错误；C、a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，正确；D、a2﹣ab+a＝a（a﹣b+1），故此选项错误；故选：C．7．【解答】解：如图所示：A、图象经过第一、三、四象限，则k＞0，故此选项错误；B、图象与y轴交于点（0，﹣1），故b＝﹣1，正确；C、k＞0，y随x的增大而增大，故此选项错误；D、当x＞2时，kx+b＞0，故此选项错误；故选：B．8．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故选：D．9．【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，故选：B．10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠EBA＝60°，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°，AB∥CD，AB＝CD，∴∠DAE＝∠CBE＝30°，故选项A不合题意，∴cos∠DAC＝＝，故选项D不合题意，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴DE＝CE＝CD＝AB，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴，故选项C不合题意，故选：B．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11．【解答】解：36000＝3.6×104．故答案为：3.6×104．12．【解答】解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，∴∠BAC＝90°﹣42°＝48°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝132°．故答案为：132°．13．【解答】解：法一：∵的长为36cm，∴＝36，∴OA＝，则的长为：＝×＝12（cm）；法二：∵与所对应的圆心角度数的比值为270°：90°＝3：1，∴与的弧长之比为3：1，∴的弧长为36÷3＝12（cm），答：的长为12cm．故答案为：12．14．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），∴3＝，解得k＝﹣5．故答案是：﹣5．15．【解答】解：∵口袋中有6粒弹珠，随机拿出1颗共有6种等可能结果，其中送出的弹珠颜色为红色的有2种结果，∴送出的弹珠颜色为红色的概率是＝，故答案为：．16．【解答】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，故答案为：5．17．【解答】解：若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．18．【解答】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，30k＝60，得k＝2，即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，20a＝30，得a＝1.5，即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，设日销售利润为W元，当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，综上所述，最大日销售利润为1800元，故答案为：1800．三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【解答】解：原式＝9+2﹣2﹣2＝7．20．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝﹣2时，原式＝＝＝2．21．【解答】证明：∵OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，∴OM⊥AB，∵MA＝MB，∴△ABO是等腰三角形，∴OA＝OB，∵OC＝OD，∴OA﹣OC＝OB﹣OD，即：AC＝BD．22．【解答】解：（1）被统计汉字笔画数的众数是8画；（2）m＝16+14+20＝50，n＝14+11+9＝34，∵被抽查的汉子个数为4+8+10+16+14+20+24+36+16+14+11+9+10+7+1＝200（个），∴扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数为360°×＝90°；（3）估计笔画数在7～9画（C组）的字数有3500×＝1330（个）．23．【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度i＝1：1，∴tanα＝DH：CH＝1：1＝1，∴α＝45°．答：斜坡CD的坡角α为45°；（2）由（1）可知：CH＝DH＝12，α＝45°．∴∠PCH＝∠PCD+α＝26°+45°＝71°，在Rt△PCH中，∵tan∠PCH＝＝≈2.90，∴PD≈22.8（米）．22.8＞18，答：此次改造符合电力部门的安全要求．24．【解答】解：（1）设原来生产防护服的工人有x人，由题意得，＝，解得：x＝20．经检验，x＝20是原方程的解．答：原来生产防护服的工人有20人；（2）设还需要生产y天才能完成任务．＝5（套），即每人每小时生产5套防护服．由题意得，10×650+20×5×10y≥14500，解得y≥8．答：至少还需要生产8天才能完成任务．25．【解答】解：（1）当P与C（0，5）重合，∴PH＝5，PF＝＝5，∴PH＝PF，∴点P运动过程中经过点C．（2）由题意：y2＝（x﹣4）2+（y﹣2）2，整理得，y＝x2﹣2x+5，∴函数解析式为y＝x2﹣2x+5，当x＝0时，y＝5，当x＝2时，y＝2，当x＝4时，y＝1，当x＝6时，y＝2，当x＝8时，y＝5，函数图象如图所示：故答案为5，2，1，2，5．（3）由题意C′（0，﹣5），F（4，2），∴直线FC′的解析式为y＝x﹣5，设抛物线交直线FC′于G，K．由，解得或，∴G（，），K（，），观察图象可知满足条件的PF长度的取值范围为1≤PF＜．26．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠D＝90°，∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，∴∠EBF＝∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为“直等补”四边形；（2）①过C作CF⊥BF于点F，如图1，则∠CFE＝90°，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BF⊥AD，∴∠DEF＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝1，∵∠ABE+∠A＝∠CBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，设BE＝CF＝x，则BF＝x﹣1，∵CE2+BF2＝BC2，∴x2+（x﹣1）2＝52，解得，x＝4，或x＝﹣3（舍），∴BE＝4；②如图2，延长CB到F，使得BF＝BC，延长CD到G，使得CD＝DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，过G作GH⊥BC，与BC的延长线交于点H．则BC＝BF＝5，CD＝DG＝1，∴CM＝FM，CN＝GN，∴△MNC的周长＝CM+MN+CN＝FM+MN+GN＝FG的值最小，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠HCG＝180°，∴∠A＝∠HCG，∵∠AEB＝∠CHG＝90°，∴∵AB＝5，BE＝4，∴AE＝，∴，∴GH＝，CH＝，∴FH＝FC+CH＝，∴FG＝＝8，∴△MNC周长的最小值为8．。
精品解析：湖南省益阳市2020年中考数学试题(解析版)
【详解】A、 a(a b) b(a b) (a b)(a b) (a b) 2 ，故此选项错误； B、 a2 9b2 (a 3b)(a 3b) ，故此选项错误； C、 a2 4ab 4b2 (a 2b)2 ，故此选项正确； D、 a2 ab a a(a b+1) ，故此选项错误．
益阳市 2020 年普通初中学业水平考试 数学能力测试
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1.四个实数1， 0 ， 3 ， 3 中，最大的是（ ）A.Biblioteka 1B. 0C. 3
D. 3
【答案】C
【解析】 【分析】 根据实数的大小比较法则比较即可．
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】 根据几何体的俯视图是从上面看到的图形判断即可． 【详解】从上面看该几何体如图：
故选：D． 【点睛】本题考查几何体的三视图，能熟练判断几何体的三视图是解答的关键．
4.一组数据由 4 个数组成，其中 3 个数分别为 2 ， 3 ， 4 ，且这组数据的平均数为 4 ，则这组数据的中位数
9.如图，在 ABC 中， AC 的垂直平分线交 AB 于点 D ， DC 平分 ACB ，若 A 50 ，则 Ð B 的度数为
（）
A. 25
B. 30
C. 35
D. 40
【答案】B 【解析】 【分析】 根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB 的度数，再根据三角形内角和求出∠B 的度数． 【详解】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°，
2020年湖南省益阳市中考数学模拟试卷(6月份)(附答案详解)
2020年湖南省益阳市中考数学模拟试卷（6月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.4的相反数是()A. 14B. −14C. 4D. −42.下列运算正确的是()A. a3⋅a2=a6B. (a+b)2=a2+b2C. (a+b)(a−b)=a2−b2D. 4a−3a=13.如果关于x的一元二次方程kx2−√2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()A. k<12B. k<12且k≠0C. −12≤k<12D. −12≤k<12且k≠04.在防治“非典”的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”.一位同学在一周内的体温测量结果分别为+0.1，−0.3，−0.5，+0.1，+0.2，−0.6，−0.4，那么，该同学一周中测量体温的平均值为()A. 37.1℃B. 37.31℃C. 36.69℃D. 36.8℃5.如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是()A.B.C.D.6.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为20√3的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是()A. 58.5mB. 60mC. 21.5mD. 20m7.若关于x的方程3x−kx+2=0的解为2，则k的值为()A. 4B. −2C. −4D. 18.若|x|=3，|y|=7，xy<0，则x−y的值为()A. 4或−4B. 10或−10C. 4或−10D. −4或−109.一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积是()A. 6πB. 3πC. 12πD. 24π10.如图，抛物线y=−x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0)和B(b,0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x>0时，y>0；②当x>1时，y随x的增大而减少；③m>−1；④当a=−1时，b=3；其中，判断正确的序号是()A. ①②B. ②③C. ①③D. ②③④二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.1月31日，日照环卫工人袁某将自己多年积蓄12000元，转给武汉，为防疫一线的工作人员加油，请用科学记数法表示12000的结果是______ ．12.不等式组{x−1>05−2x≥1的解集是______ ．13.已知多边形的内角和比它的外角和大720°，则多边形的边数为______．14.设点A(x1,y1)，B(x2,y2)是反比例函数y=kx图象上的两个点，当0<x1<x2时，y1> y2，则一次函数y=−2x+k的图象不经过第______ 象限．15.观察下列各式：√1+13=2√13；√2+14=3√14；√3+15=4√15，……请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来______．16.如图，P是等边△ABC内一点，△BMC是由△BPA绕点B逆时针旋转所得，若MC//BP，则∠BMC=______ °.17. 如图，在▱ABCD 中，DB =AB ，AE ⊥BD ，垂足为点E ，若∠EAB =50°，则∠C = ______ °.18. 花花上学经过3个路口，如果每个路口可直接通过或需等待的可能性相等，那么花花上学时在这3个路口都直接通过的概率为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19. 计算：tan30°⋅cos30°−√(−1)2+(23)−1+(π−5)0．20. 化简：(x −1−1x−1)÷x 2−2x x 2−2x+1．21. 如图，已知△ABC 中，点D 在AC 上且∠ABD =∠C ，求证：AB 2=AD ⋅AC ．22.某校学生会干部对全校师生倡导的“武汉加油”的自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图(图中信息不完整).已知A、B两组捐款人数的比为1：5．组别捐款额x(元)人数A1≤x<10aB10≤x<20100C20≤x<30D30≤x<40E40≤x<50请结合以上信息解答下列问题．(1)a=______ ，本次调查样本的容量是______ ；(2)先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”；(3)根据统计情况，估计该校参加捐款的5000名学生有多少人捐款在20至50元之间．23.如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，CF//BD．(1)求证：BE=CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC=6，AD=10，求CD的长．24.预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A县需要6吨，B县8吨，正好C县储备有10吨，D县储备有4吨，市预防冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往A县和B 县，消毒液的运费价格如表(单位：元/吨).设从C县调运x吨到A县．(1)求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少？起点A县B县终点C县60100D县357025.如图1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=2，把它放在x轴的正半轴上，AD与x轴重合且点A坐标为(3,0)．(1)若以点A为旋转中心，将矩形ABCD逆时针旋转，使点B落到y轴上的点B1处，得到矩形AB1C1D1，如图2，求点B1，C1，D1的坐标．(2)若将矩形ABCD向左平移一段距离后得到矩形A2B2C2D2，如图3，再将它以A2为旋转中心逆时针旋转，使点B2落到y轴上的点B3处.此时点C3恰好落在点A2的正上方得到矩形A2B3C3D3，求平移的距离并写出C3的坐标．26.如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−3,0)，B(1,0)，C(0,−3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；(3)如图2，若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①试求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：4的相反数是−4，故选：D．根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2.【答案】C【解析】解：A、原式=a5，故A错误．B、原式=a2+2ab+b2，故B错误．C、原式=a2−b2，故C正确．D、原式=a，故D错误．故选：C．根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．3.【答案】B【解析】解：∵kx2−√2x+1=0有两个不相等实数根，∴k≠0且△>0，即(−√2)2−4k>0，，解得k≠0且k<12∴k<1且k≠0，2故选：B．一元二次方程首先二次项系数应不为0，其次有两个不相等实数根需满足△>0，列出不等式可以求出k的范围．本题考查一元二次方程有两个不等实数根的条件，容易忽略二次项系数不为0这个条件．4.【答案】D【解析】解：根据题意检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”得这位同学在一周内的体温分别是37.1、36.7、36.5、37.1、37.2、36.4、36.6；将(37.1+36.7+36.5+37.1+37.2+36.4+36.6)÷7=36.8℃；故选：D．根据题意将这位同学一周内的体温写出来相加再除以七，得出其体温的平均值．概念：用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．5.【答案】D【解析】解：从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形，故选：D．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．6.【答案】C【解析】解：如图，作DE⊥AB于E，，在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE∴AE=DE⋅tan∠ADE=20√3×√3=20(m)，3∴AB=AE+EB=20+1.5=21.5(m)，答：教学楼的高度是21.5m．故选：C．作DE⊥AB于E，根据正切的定义求出AE，解答即可．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．7.【答案】A【解析】解：把x=2代入方程3x−kx+2=0得：6−2k+2=0，解得：k=4，故选：A．把x=2代入方程3x−kx+2=0得出6−2k+2=0，求出方程的解即可．本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵|x|=3，|y|=7，且xy<0，∴x=3，y=−7或x=−3，y=7，则x−y=10或−10．故选：B．根据题意利用有理数的乘法法则判断x与y异号，再利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可求出x−y的值．此题考查了有理数的乘法与减法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.【答案】B【解析】解：根据题意，S扇形=120π×32360=3π．故选：B．直接代入扇形的面积公式即可得出答案．本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：S=nπr2360．10.【答案】D【解析】解：①由图象可知，当x>0时，y可以小于0，故①错误；=1，②∵抛物线的对称轴为x=−22×(−1)∴当x>1时，y随x的增大而减少，故②正确；③由图象可知m+1>0，∴m>−1，故③正确；④若a=−1，则A(−1,0)，抛物线的对称轴为x=1，∴B(3,0)，∴b=3，故④正确；故选：D．根据函数图象即可判断①；求得对称轴为直线x=1，观察图象即可判断②；由抛物线与y轴的交点即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断④．本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．11.【答案】1.2×104【解析】解：12000=1.2×104．故答案为：1.2×104．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12.【答案】1<x≤2【解析】解：解不等式x−1>0，得：x>1，解不等式5−2x≥1，得：x≤2，则不等式组的解集为1<x≤2，故答案为：1<x≤2．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13.【答案】8【解析】解：设这个多边形的边数是n，则(n−2)⋅180°=360°+720°，解得n=8．故答案为：8根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与外角和定理列式求解即可．本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．14.【答案】三【解析】解：∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)是反比例函数y=kx图象上的两个点，当0<x1<x2时，y1>y2，∴0<x1<x2时，y随x的增大而减小，∴k>0，∴一次函数y=−2x+k的图象不经过的象限是：第三象限．故答案为三．根据反比例函数图象的性质得出k的取值范围，进而根据一次函数的性质得出一次函数y=−2x+k的图象不经过的象限．此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得出k的取值范围是解题关键．15.【答案】√n+1n+2=(n+1)√1n+2【解析】解：由题目中的式子可得，第n个式子为：√n+1n+2=(n+1)√1n+2，故答案为：√n+1n+2=(n+1)√1n+2．根据题目中的式子的特点，可以得到第n个式子，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质与化简，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．16.【答案】120【解析】解：连接MP，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵△BMC是由△BPA旋转所得，∴BM=BP，∠PBA=∠MBC，∴∠MBP=∠MBC+∠CBP=∠PBA+∠CBP=∠ABC=60°，∴△MBP是等边三角形，∴∠BMP=∠MPB=60°，∵MC//BP，∴∠CMP=∠MPB=60°，∴∠BMC=60°+60°=120°．故答案为：120．根据等边三角形的性质得出∠ABC=60°，求出∠MBP=60°，根据等边三角形的判定得出△MBP是等边三角形，即可求出答案．本题考查了等边三角形的性质和判定、旋转的性质等知识点，能求出△MBP是等边三角形是解此题的关键．17.【答案】70【解析】解：在△ABE中，∵AE⊥BD，垂足为E，∠EAB=50°，∴∠ABE=90°−∠EAB=40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠BDC=∠ABE=40°，∵DB=DC，∴∠C=1(180°−∠BDC)=70°，2故答案为：70．先在△ABE中根据直角三角形两锐角互余求出∠ABE=90°−∠EAB=40°.再根据平行四边形的性质得出AB//CD，那么∠BDC=∠ABE=40°，然后根据等边对等角的性质以(180°−∠BDC)=70°．及三角形内角和定理求出∠C=12此题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握各性质是解题的关键．18.【答案】18【解析】解：画树状图如下：由树状图知，共有8种等可能结果，其中小明上学时在这三个路口都直接通过的只有1种结果，∴花花上学时在这3个路口都直接通过的概率为1，8．故答案为：18画树状图，可得共有8种可能的结果，而都是直接通过的情况只有1种，再根据概率公式计算可得．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】解：原式=√33×√32−1+32+1=12−1+32+1=2．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：原式=[(x−1)2x−1−1x−1]×(x−1)2x(x−2)=x2−2xx−1×(x−1)2x(x−2)=x−1．【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．21.【答案】证明：∵∠ABD=∠C，∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB，∴ABAC =ADAB，∴AB2=AD⋅AC．【解析】利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得△ABD∽△ACB，进一步得出ABAC=ADAB，整理得出答案即可．此题考查相似三角形的判定与性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．④平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．⑤相似三角形的对应边成比例，对应角相等．22.【答案】20 500=20，【解析】解：(1)a=100×15本次调查样本的容量是：(100+20)÷(1−40%−28%−8%)=500，故答案为：20，500；(2)500×40%=200，即C组的人数为200，补全“捐款人数分组统计图1”如图所示；(3)5000×(40%+28%+8%)=3800(人)，答：该校5000名学生中大约有3800人捐款在20至50元之间．(1)根据A、B两组人数比是1：5，可求出a的值，求出A、B两组的频数和以及频率和，即可求出样本容量；(2)求出“C组”频数，即可补全频数分布直方图；(3)求出捐款在20至50元之间的人数所占得百分比即可．本题考查频数分布直方图，频数、频率、样本容量之间的关系，掌握频数、频率、样本容量之间的关系是正确计算的前提．23.【答案】解(1)证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，{AB=ACAD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE．(2)四边形BFCD是菱形．证明：∵AB=AC，BE=CE，∴AD⊥BC，∵CF//BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中，{∠FCD=∠DBEBE=CE∠BED=∠CEF=90°，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形．(3)解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，且∠AEC=∠CED，∠CAE=∠ECD，∴△AEC∽△CED，∴AECE =ECED，∴CE2=DE⋅AE，设DE=x，∵BC=6，AD=10，∴32=x(10−x)，解得：x=1或x=9(舍去)，在Rt△CED中，CD=√CE2+DE2=√32+12=√10．【解析】(1)根据圆周角定理推出∠ABD=∠ACD=90°，进而结合题意推出Rt△ABD≌Rt△ACD，从而由等腰三角形的性质得到BE=CE；(2)根据平行线的性质得出∠FCE=∠DBE，进而推出△BED≌△CEF，结合题意和全等三角形的性质得到四边形BFCD是平行四边形，再根据∠BAD=∠CAD推出BD=CD，从而得到四边形BFCD是菱形；(3)根据题意推出△AEC∽△CED，再利用相似三角形的性质推出DE=1，在Rt△CED中，利用勾股定理求得CD=√10．本题考查圆的综合题，解题的关键是结合题意及圆周角定理推出相关的全等三角形(Rt△ABD≌Rt△ACD，△BED≌△CEF)和相似三角形(△AEC∽△CED)，利用全等三角形和相似三角的性质求解．24.【答案】解：(1)设从C县调运x吨到A县．则从C县调运(10−x)吨到B县，从D 县调运(6−x)吨到A县，从D县调运8−(10−x)=(x−2)吨到B县，由题意可得y=60x+100(10−x)+35(6−x)+70(x−2)=−5x+1070(2≤x≤6)；(2)由(1)的函数可知，k=−5<0，因此函数的值随x的增大而减小，当x=6，有最小值y=1070−5×6=1040元，因此当从C县调运6吨到A县时，运费最低，为1040元．【解析】(1)设从C县调运x吨到A县，则从C县调运(10−x)吨到B县，从D县调运(6−x)吨到A县，从D县调运8−(10−x)=(x−2)吨到B县，根据总运费=每吨的运费×运输重量，即可得出y关于x的函数关系式；(2)由从四会调运到广宁及从四会调运到怀柔消毒液的重量非负，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了一次函数的的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式．25.【答案】解：(1)∵A(3,0)，∴OA=3．∵AB=5，∴由旋转的性质可知AB1=AB=5．在Rt△AOB1中，由勾股定理可得：OB1=√AB12−OA2=√52−32=4，∴B1的坐标为(0,4)．如下图，过D1作D1E⊥x轴于E，∵四边形AB1C1D1是矩形，∴∠B1AD1=90°．∴∠OAB1+∠EAD1=90°．又∵∠OAB1+∠OB1A=90°，∴∠EAD1=∠OB1A.又∵∠AOB1=∠AED1=90°，∴Rt△AOB1∽Rt△D1EA．∴OAED1=OB1EA=AB1D1A．由旋转性质可知，AD1=AD=2，∴3ED1=4EA=52．∴ED1=1.2，EA=1.6．∴OE=OA+AE=3+1.6=4.6，∴D1(4.6,1.2)．过点C1作C1F⊥y轴于F，如上图，同理可得：Rt△B1C1F∽Rt△AB1O.∴∠C1B1F=∠B1AO．∵sin∠B1AO=OB1AB1=45,cos∠B1AO=OAAB1=35，∴sin∠C1B1F=C1FB1C1．∵B1C1=BC=AD=2．∴C1F2=45．解得C1F=1.6．∴cos∠C1B1F=B1FB1C1．则B1F2=35．解得B1F=1.2．∴OF=OB1+B1F=4+1.2=5.2．∴C1(1.6,5.2)．(2)连接B2C3，过B3作B3G⊥A2C3于G，如图，在Rt△A2B3C3中，A2B3=AB=5，B3C3=BC=2，∴A2C3=√52+22=√29．又∵S Rt△A2B3C3=12A2B3⋅B3C3=12A2C3⋅B3G，∴A2B3⋅B3C3=A2C3⋅B3G.即5×2=√29⋅B3G.∴B3G=10√2929．∴OA2=B3G=10√2929，因此向左平移的距离为3−10√2929．∵OA2=10√2929，A2C3=√29，∴点C3的坐标为(10√2929,√29).【解析】(1)根据题意，利用勾股定理求出线段OB1，B1坐标可得；过D1作D1E⊥x轴于E，利用三角形的相似求出线段D1E，OE，点D1坐标可求；过点C1作C1F⊥y轴于F，利用三角形的相似求出线段C1F，OF，点C1坐标可求；(2)连接B2C3，过B3作B3G⊥A2C3于G，利用勾股定理和三角形的面积公式，求出线段B3G，结论可得．本题最重要考查了矩形的性质，图形的平移与旋转和坐标的变化，利用线段的长度表示点的坐标是解题的重要方法．26.【答案】解：(1)由题意得{9a −3b +c =0a +b +c =0c =−3，解得 {a =1b =2c =−3，∴该抛物线的表达式为y =x 2+2x −3；(2)∵△PBC 的周长为：PB +PC +BC ，又∵BC 是定值，∴当PB +PC 最小时，△PBC 的周长最小．∵点A ，点B 关于对称轴l 对称．∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求点．∴AP =BP ，∴△PBC 的周长最小值是：PB +PC +BC =AC +BC ，∵A(−3,0)，B(1,0)，C(0,−3)，∴AC =3√2，BC =√10，故△PBC 的周长最小值为3√2+√10；(3)①∵抛物线的表达式为y =x 2+2x −3=(x +1)2−4，∴点D 的坐标为(−1,−4)，设直线AD 的表达式为y =kx +n ，把点A(−3,0)，D(−1,−4)代入y =kx +n ， 得{−3k +n =0−k +n =−4，解得 {k =−2n =−6， ∴直线AD 的表达式为y =−2x −6，∵点E 的横坐标为m ．∴E(m,−2m −6)，F(m,m 2+2m −3)，∴EF =−2m −6−(m 2+2m −3)=−m 2−4m −3，∴S =S △EFA +S △EFD=12⋅EF⋅AG+12⋅EF⋅GH−=12⋅EF⋅AH=12(−m2−4m−3)×2=−m2−4m−3，∴S与m的函数表达式为S=−m2−4m−3；②存在．∵S=−m2−4m−3=−(m+2)2+1∴当m=−2时，S最大，最大值为1．此时点E的坐标为(−2,−2)．【解析】(1)根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；(2)根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；(3)设点E的横坐标为m，表示出E(m,−2m−6)，F(m,m2+2m−3)，最后表示出EF 的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．本题主要考查的二次函数的综合应用、解答本题需要同学们熟练掌握二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．。
湖南省益阳市2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
湖南省益阳市2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图所示，90,,E F B C AE AF ∠=∠=∠=∠=o ，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ∆≅∆，其中正确的是有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每件的进价为（ ） A ．180元 B ．200元 C ．225元 D ．259.2元3．下列计算正确的是( )A ．a 2•a 3＝a 6B ．(a 2)3＝a 6C ．a 2+a 2＝a 3D ．a 6÷a 2＝a 34．下列四个多项式，能因式分解的是( )A ．a －1B ．a 2＋1C ．x 2－4yD ．x 2－6x ＋95．二次函数y=ax 2+bx ﹣2（a≠0）的图象的顶点在第三象限，且过点（1，0），设t=a ﹣b ﹣2，则t 值的变化范围是（ ）A ．﹣2＜t ＜0B ．﹣3＜t ＜0C ．﹣4＜t ＜﹣2D ．﹣4＜t ＜06．已知方程x 2﹣x ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，则代数式x 1+x 2+x 1x 2的值为（ ）A ．﹣3B ．1C ．3D ．﹣17．如图，A 、B 为⊙O 上两点，D 为弧AB 的中点，C 在弧AD 上，且∠ACB=120°，DE ⊥BC 于E ，若AC=DE ，则BE CE的值为（ ）A ．3B 3C 33+D 318．下列运算错误的是（ ）A ．（m 2）3=m 6B ．a 10÷a 9=a C ．x 3•x 5=x 8 D ．a 4+a 3=a 79．如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是A．3 B．113C．103D．410．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜﹣1 B．ab＞0 C．a﹣b＜0 D．a+b＜011．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°12．以下各图中，能确定12∠=∠的是（）A．B．C． D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是_____．14．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．15．安全问题大于天，为加大宣传力度，提高学生的安全意识，乐陵某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池．小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是_____．16．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）17．如图所示，直线y=x+b交x轴A点，交y轴于B点，交双曲线8(0)y xx=>于P点，连OP，则OP2﹣OA2=__．18．已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线L的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE 是平行四边形．20．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．21．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC∆在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）直接写出ABC ∆关于原点O 的中心对称图形111A B C ∆各顶点坐标：1A ________1B ________1C ________；（2）将ABC ∆绕B 点逆时针旋转90︒，画出旋转后图形22A BC ∆.求ABC ∆在旋转过程中所扫过的图形的面积和点C 经过的路径长．22．（8分）如图 1 所示是一辆直臂高空升降车正在进行外墙装饰作业．图 2 是其工作示意图，AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 2 m ．当起重臂 AC 长度为 8 m ，张角∠HAC 为 118°时，求操作平台 C 离地面的高度．（果保留小数点后一位，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）23．（8分）如图，有6个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将标有3,4,5的三个球放入甲箱中，标有4,5,6的三个球放入乙箱中．(1)小宇从甲箱中随机模出一个球，求“摸出标有数字是3的球”的概率；(2)小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1，则称小宇“略胜一筹”．请你用列表法(或画树状图)求小宇“略胜一筹”的概率．24．（10分）如图,矩形ABCD 中,点P 是线段AD 上一动点, O 为BD 的中点, PO 的延长线交BC 于Q .(1)求证: OP OQ =;(2)若=8AD cm ,6AB cm =,P 从点A 出发,以l /cm s 的速度向D 运动(不与D 重合).设点P 运动时间为()t s ,请用t 表示PD 的长;并求t 为何值时,四边形PBQD 是菱形.25．（10分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段 频次 频率 A60≤x ＜70 17 0.17 B70≤x ＜80 30 a C80≤x ＜90 b 0.45 D 90≤x ＜100 8 0.08请根据所给信息，解答以下问题：(1)表中a=______，b=______；(2)请计算扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角的度数；(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．26．（12分）某商场计划购进A 、B 两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？27．（12分）重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是度，并补全条形统计图；经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．【详解】解：如图：在△AEB 和△AFC 中，有90B C E F AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△AFC ；（AAS ）∴∠FAM=∠EAN ，∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN ，即∠EAM=∠FAN ；（故③正确）又∵∠E=∠F=90°，AE=AF ，∴△EAM ≌△FAN ；（ASA ）∴EM=FN ；（故①正确）由△AEB ≌△AFC 知：∠B=∠C ，AC=AB ；又∵∠CAB=∠BAC ，∴△ACN ≌△ABM ；（故④正确）由于条件不足，无法证得②CD=DN ；故正确的结论有：①③④；故选C ．【点睛】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，做题时要从最容易，最简单的开始，由易到难． 2．A【解析】【分析】设这种商品每件进价为x 元，根据题中的等量关系列方程求解.【详解】设这种商品每件进价为x 元，则根据题意可列方程270×0.8－x ＝0.2x ，解得x ＝180.故选A. 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程. 3．B【解析】试题解析：A.235,a a a ⋅=故错误. B.正确.C.不是同类项，不能合并，故错误.D.624.a a a ÷=故选B.点睛：同底数幂相乘，底数不变,指数相加.同底数幂相除，底数不变,指数相减.4．D【解析】试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．试题解析：x 2-6x+9=（x-3）2．故选D ．考点：2．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．5．D【解析】【分析】由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=a+b-2，把点（1，0）代入y=ax 2+bx-2，a+b-2=0，然后根据顶点在第三象限，可以判断出a 与b 的符号，进而求出t=a-b-2的变化范围．【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx-2的顶点在第三象限，且经过点(1,0)∴该函数是开口向上的，a>0∵y=ax 2+bx ﹣2过点（1，0）,∴a+b-2=0.∵a>0,∴2-b>0.∵顶点在第三象限,∴-2b a<0. ∴b>0.∴2-a>0.∴0<b<2.∴0<a<2.∴t=a-b-2.∴﹣4＜t ＜0.【点睛】本题考查大小二次函数的图像，熟练掌握图像的性质是解题的关键.6．D【解析】分析：根据一元二次方程根与系数的关系求出x 1＋x 2和x 1x 2的值，然后代入x 1＋x 2＋x 1x 2计算即可. 详解：由题意得，a=1,b=-1,c=-2, ∴121==11b x x a -+=--,122==21c x x a -⋅=-, ∴x 1＋x 2＋x 1x 2=1+(-2)=-1.故选D.点睛：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x 1,x 2为方程的两个根，则x 1,x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a⋅= . 7．C【解析】【分析】连接,,CD BD D 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=o ,CAD CBD ∠=∠在BC 上截取BF AC =,连接DF,则ACD V ≌BFD △,根据全等三角形的性质可得：,CD FD = ,ADC BDF ∠=∠ ,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠ 即120,CDF ADB ∠=∠=o ,DE BC ⊥根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=o 设,DE x = 则,BF AC x ==3,tan 30DE CE EF x ===o 即可求出BE CE的值. 【详解】如图：连接,,CD BDD 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=o ,CAD CBD ∠=∠在BC 上截取BF AC =,连接DF,,AC BF CAD FBD AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩则ACD V ≌BFD △,,CD FD ∴= ,ADC BDF ∠=∠,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠即120,CDF ADB ∠=∠=o,DE BC ⊥根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=o设,DE x = 则,BF AC x ==,tan 30DE CE EF ===oBE BF EF CE CE +=== 故选C.【点睛】考查弧，弦之间的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等，综合性比较强，关键是构造全等三角形.8．D【解析】【分析】利用合并同类项法则，单项式乘以单项式法则，同底数幂的乘法、除法的运算法则逐项进行计算即可得.【详解】A 、（m 2）3=m 6，正确；B 、a 10÷a 9=a ，正确；C 、x 3•x 5=x 8，正确；D 、a 4+a 3=a 4+a 3，错误，故选D ．【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂的乘除法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.9．B【解析】试题分析：解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．连接AC，∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，∴Rt△AOC≌Rt△ADC，∴AD=AO=2，连接CD，设EF=x，∴DE2=EF•OE，∵CF=1，∴DE=，∴△CDE∽△AOE，∴=，即=，解得x=，S△ABE===．故选B．考点：1．切线的性质；2．三角形的面积．10．C【解析】【分析】直接利用a，b在数轴上的位置，进而分别对各个选项进行分析得出答案．【详解】选项A ，从数轴上看出，a 在﹣1与0之间， ∴﹣1＜a ＜0， 故选项A 不合题意；选项B ，从数轴上看出，a 在原点左侧，b 在原点右侧， ∴a ＜0，b ＞0， ∴ab ＜0，故选项B 不合题意；选项C ，从数轴上看出，a 在b 的左侧， ∴a ＜b ， 即a ﹣b ＜0， 故选项C 符合题意；选项D ，从数轴上看出，a 在﹣1与0之间， ∴1＜b ＜2， ∴|a|＜|b|， ∵a ＜0，b ＞0， 所以a+b ＝|b|﹣|a|＞0， 故选项D 不合题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查数轴和有理数的四则运算，解题的关键是掌握利用数轴表示有理数的大小. 11．D 【解析】【分析】由图可知，OA=10，OD=1．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB 的度数，再根据圆周定理求出∠C 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E 的度数即可． 【详解】由图可知，OA=10，OD=1，在Rt △OAD 中，∵OA=10，OD=1，=，∴tan ∠1=ADOD=1=60°， 同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°， ∴∠C=60°， ∴∠E=180°-60°=120°,即弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°，故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键. 12．C 【解析】 【分析】逐一对选项进行分析即可得出答案． 【详解】A 中，利用三角形外角的性质可知12∠>∠，故该选项错误；B 中，不能确定12∠∠，的大小关系，故该选项错误；C 中，因为同弧所对的圆周角相等，所以12∠=∠，故该选项正确；D 中，两直线不平行，所以12∠≠∠，故该选项错误． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．a ＞1 【解析】根据二次函数的图像，由抛物线y=ax 2+5的顶点是它的最低点，知a ＞1， 故答案为a ＞1． 14．30 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P 的度数. 【详解】∵BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACM 的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°， ∴∠PBC=20°，∠PCM=50°， ∵∠PBC+∠P=∠PCM ，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30 【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键. 15．23【解析】 【分析】根据事件的描述可得到描述正确的有①②③⑥，即可得到答案. 【详解】∵共有6张纸条，其中正确的有①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；⑥选择有人看护的游泳池，共4张，∴抽到内容描述正确的纸条的概率是4263=， 故答案为：23． 【点睛】此题考查简单事件的概率的计算，正确掌握事件的概率计算公式是解题的关键.16．【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD ，再利用锐角三角函数关系即可得出答案． 【详解】解:由题意可得：∠BDA=45°， 则AB=AD=120m ， 又∵∠CAD=30°， ∴在Rt △ADC 中，tan ∠CDA=tan30°=CD AD =解得：m ），故答案为 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan ∠CDA=tan30°=CDAD是解题关键． 17．1【解析】解：∵直线y=x+b与双曲线8yx(x>0)交于点P，设P点的坐标（x，y），∴x﹣y=﹣b，xy=8，而直线y=x+b与x轴交于A点，∴OA=b．又∵OP2=x2+y2，OA2=b2，∴OP2﹣OA2=x2+y2﹣b2=（x﹣y）2+2xy﹣b2=1．故答案为1．18．相离【解析】【分析】设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点0到直线l的距离π比较即可．【详解】设圆O的半径是r，则πr2=9π，∴r=3，∵点0到直线l的距离为π，∵3＜π，即：r＜d，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故答案为：相离.【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当r＜d时相离；当r=d时相切；当r＞d时相交．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．证明见解析【解析】【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∵AE=CF∴AD-AE=BC-CF即DE=BF∴四边形BFDE 是平行四边形. 20．（1）作图见解析（2）∠BDC=72° 【解析】解：（1）作图如下：（2）∵在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=72°， ∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°． ∵AD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°． ∵∠BDC 是△ABD 的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°． （1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC 的平分线： ①以点B 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ； ②分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 为半径画圆，两圆相较于点G ，连接BG 交AC 于点D ． （2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A 的度数，再由角平分线的性质得出 ∠ABD 的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC 的度数即可． 21．（1）1(3,3)A -，1(4,1)B -，1(0,2)C -；（2）作图见解析，面积71724π=+，172l =． 【解析】 【分析】（1）由ABC ∆在平面直角坐标系中的位置可得A 、B 、C 的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点即可得1A 、1B 、1C 的坐标；（2）由旋转的性质可画出旋转后图形22A BC ∆，利用面积的和差计算出22∆A BC S ，然后根据扇形的面积公式求出2扇形CBC S ，利用ABC ∆旋转过程中扫过的面积222S A BC CBC S S ∆+=扇形进行计算即可．再利用弧长公式求出点C 所经过的路径长． 【详解】解：（1）由ABC ∆在平面直角坐标系中的位置可得：(3,3)-A ，(4,1)B -，(0,2)C ，∵111A B C ∆与ABC ∆关于原点对称，∴1(3,3)A -，1(4,1)B -，1(0,2)C - （2）如图所示，22A BC ∆即为所求，∵(4,1)B -，(0,2)C ，∴22(40)(12)17=--+-=BC ∴2扇形CBC S 2290(17)1734604πππ⋅⨯===BC ， ∵22∆A BC S 1117421213142222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， ∴ABC ∆在旋转过程中所扫过的面积：222扇形∆+=A BC CBC S S S 71724π=+ 点C 所经过的路径：9017171802π==l ．【点睛】本题考查的是图形的旋转、及扇形面积和扇形弧长的计算，根据已知得出对应点位置，作出图形是解题的关键． 22．5.8 【解析】过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作AF CE ⊥于点F ，易得四边形AHEF 为矩形，则2,90EF AH HAF ==∠=︒，再计算出28CAF ∠=︒，在Rt ACF V 中，利用正弦可计算出CF 的长度，然后计算CF+EF 即可． 【详解】解：如图，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作AF CE ⊥于点F ，90FEH AFE ∴∠=∠=︒．又AH BD ⊥Q ，90AHE ∴∠=︒．∴四边形AHEF 为矩形．2,90EF AH HAF ∴==∠=︒1189028CAF CAH HAF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒在Rt ACF V 中，sin CFCAF AC∠=， 8sin 2880.47 3.76CF ∴=⨯︒=⨯=．3.762 5.8(m)CE CF EF ∴=+=+≈．答：操作平台C 离地面的高度约为5.8m ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，先将实际问题抽象为数学问题，然后利用勾股定理和锐角三角函数的定义进行计算． 23．（1）13；（2）P(小宇“略胜一筹”)＝19.【解析】 分析：（1）由题意可知，小宇从甲箱中任意摸出一个球，共有3种等可能结果出现，其中结果为3的只有1种，由此可得小宇从甲箱中任取一个球，刚好摸到“标有数字3”的概率为13； （2）根据题意通过列表的方式列举出小宇和小静摸球的所有等可能结果，然后根据表中结果进行解答即可.(1)P (摸出标有数字是3的球)＝13. (2)小宇和小静摸球的所有结果如下表所示：从上表可知，一共有九种可能，其中小宇所摸球的数字比小静的大1的有一种，因此 P (小宇“略胜一筹”)＝19. 点睛：能正确通过列表的方式列举出小宇在甲箱中任摸一个球和小静在乙箱中任摸一个球的所有等可能结果，是正确解答本题第2小题的关键. 24． (1)证明见解析；(2) PD=8-t ，运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形． 【解析】 【分析】(1)先根据四边形ABCD 是矩形，得出AD ∥BC ，∠PDO=∠QBO ，再根据O 为BD 的中点得出△POD ≌△QOB ，即可证得OP=OQ ；(2)根据已知条件得出∠A 的度数，再根据AD=8cm ，AB=6cm ，得出BD 和OD 的长，再根据四边形PBQD 是菱形时，利用勾股定理即可求出t 的值，判断出四边形PBQD 是菱形． 【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠PDO=∠QBO ， 又∵O 为BD 的中点， ∴OB=OD ，在△POD 与△QOB 中，PDO QBO OD OBPOD QOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△POD ≌△QOB ， ∴OP=OQ ；(2)PD=8-t，∵四边形PBQD是菱形，∴BP=PD= 8-t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，即62+t2=(8-t)2，解得：t=74，即运动时间为74秒时，四边形PBQD是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题关键.注意数形结合思想的运用.25．（1）0.3 ，45；（2）108°；（3）16．【解析】【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；（2）画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；【详解】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a=30100=0.3，b=100×0.45=45（人）．故答案为0.3，45；（2）360°×0.3=108°．答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°．（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为212=16．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．26．（1）购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；（2）当商场购进A型台灯25盏时，商场获利最大，此时获利为1875元．【解析】试题分析：（1）设商场应购进A型台灯x盏，然后根据关系：商场预计进货款为3500元，列方程可解决问题；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，然后求出y与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质和自变量的取值范围可确定获利最多时的方案．试题解析：解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏，根据题意得，30x+50（100﹣x）=3500，解得x=75，所以，100﹣75=25，答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，则y=（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x），=15x+2000﹣20x，=﹣5x+2000，∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，∴100﹣x≤3x，∴x≥25，∵k=﹣5＜0，∴x=25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元）答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．考点：1．一元一次方程的应用；2．一次函数的应用．27．【解析】【详解】试题分析：（1）求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数，求出八年级的作文篇数，补全条形统计图即可；（2）设四篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文，用画树状法即可求得结果.试题解析：（1）20÷20%=100，九年级参赛作文篇数对应的圆心角=360°×35100=126°；100﹣20﹣35=45，补全条形统计图如图所示：（2）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．画树状图法：共有12种可能的结果，七年级特等奖作文被选登在校刊上的结果有6种，∴P（七年级特等奖作文被选登在校刊上）=61 122．考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3.列表法与画树状图法.。
【2020年】湖南省中考数学模拟试卷含答案
2020年湖南省中考数学模拟试卷含答案一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．（3分）用计算器依次按键，得到的结果最接近的是（）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.82．（3分）如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（）A．20°B．60°C．70°D．160°3．（3分）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（x2﹣1）B．x（1﹣x2）C．x（x+1）（x﹣1）D．x（1+x）（1﹣x）4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=10﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（）A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣8m C．28×109m D．2.8×108m6．（3分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD 的大小是（）A．80°B．120°C．100° D．90°7．（3分）小明参加100m短跑训练，2018年1～4月的训练成绩如下表所示：月份1234成绩（s）15.615.415.215体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你预测小明5年（60个月）后100m短跑的成绩为（）（温馨提示；目前100m短跑世界记录为9秒58）A．14.8s B．3.8sC．3s D．预测结果不可靠8．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x 轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（）A．2 B．1 C．4 D．29．（3分）根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图．根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（）A．李飞或刘亮B．李飞C．刘亮D．无法确定10．（3分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（）A．大和尚25人，小和尚75人B．大和尚75人，小和尚25人C．大和尚50人，小和尚50人D．大、小和尚各100人二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分)11．（3分）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是．12．（3分）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：．13．（3分）已知关于x的方程x2+3x﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是．14．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是．15．（3分）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取了500名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图．已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2：3：3：1：1，据此估算该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为人．16．（3分）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y 轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是．17．（3分）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A 沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=，则BC的长是．18．（3分）如图所示，点A是反比例函数y=图象上一点，作AB⊥x轴，垂足为点B，若△AOB的面积为2，则k的值是．三、解答题（本大题有8个小题，第19~25题每小题8分，第26题10分，共66分。
2020届湖南省中考数学一模试卷试题(解析版)
2020届湖南省中考数学一模试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共10个小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)1.下列各数中比﹣1小的数是（）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．【详解】解：A、﹣2＜﹣1，故A正确；B、﹣1＝﹣1，故B错误；C、0＞﹣1，故C错误；D、1＞﹣1，故D错误；故选：A．【点睛】本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于0，0大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．2.下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱， 故选：B ．考点：简单几何体的三视图3.计算6m 6÷（-2m 2）3的结果为（ ）A. m -B. 1-C.34D. 34-【答案】D 【解析】分析：根据幂的乘方计算法则求出除数，然后根据同底数幂的除法法则得出答案． 详解：原式=()663684m m÷-=-， 故选D ． 点睛：本题主要考查的是幂的计算法则，属于基础题型．明白幂的计算法则是解决这个问题的关键．4. 一组数据：6，3，4，5，7的平均数和中位数分别是 ( ) A. 5，5 B. 5，6C. 6，5D. 6，6【答案】A 【解析】试题分析：根据平均数的定义列式计算，再根据找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数解答． 平均数为：×（6+3+4+5+7）=5，按照从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，7，所以，中位数为：5． 故选A ．考点：中位数；算术平均数.5. 下列命题中假命题是（ ） A. 正六边形外角和等于B. 位似图形必定相似C. 样本方差越大，数据波动越小D. 方程无实数根【答案】C 【解析】试题解析：A 、正六边形的外角和等于360°，是真命题； B 、位似图形必定相似，是真命题；C 、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；D 、方程x 2+x+1=0无实数根，是真命题； 故选：C ．考点：命题与定理．6.若一次函数=y ax b +的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 0a b +< B. 0a b ->C. 0ab >D.0ba< 【答案】D 【解析】∵一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限， ∴a<0，b>0，∴a+b 不一定大于0，故A 错误， a−b<0，故B 错误， ab<0，故C 错误，ba<0，故D 正确。
【新】2019-2020益阳市第一中学初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
第一套：满分120分2020-2021年益阳市第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线3y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
湖南省益阳市2019-2020学年中考数学考前模拟卷(4)含解析
湖南省益阳市2019-2020学年中考数学考前模拟卷（4）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．二元一次方程组632x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解是( )A ．51x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．51x y =-⎧⎨=-⎩D ．42x y =-⎧⎨=-⎩2．已知5a =，27b =，且a b a b +=+，则-a b 的值为（ ） A ．2或12B ．2或12-C ．2-或12D ．2-或12-3．如图，圆O 是等边三角形内切圆，则∠BOC 的度数是（ ）A ．60°B ．100°C ．110°D ．120°4．已知△ABC ，D 是AC 上一点，尺规在AB 上确定一点E ，使△ADE ∽△ABC ，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．5．一元二次方程x 2﹣3x+1=0的根的情况（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根D ．以上答案都不对6．下列计算正确的是（ ）A ．2m+3n=5mnB ．m 2•m 3=m 6C ．m 8÷m 6=m 2D ．（﹣m ）3=m 37．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（）A ．y=2n+1B ．y=2n +nC ．y=2n+1+nD ．y=2n +n+18．一个多边形的每一个外角都等于72°,这个多边形是( ) A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形9．为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙23488关于以上数据，说法正确的是（ ） A ．甲、乙的众数相同B ．甲、乙的中位数相同C ．甲的平均数小于乙的平均数D ．甲的方差小于乙的方差10．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ） A ．8.23×10﹣6B ．8.23×10﹣7C ．8.23×106D ．8.23×10711．数据4，8，4，6，3的众数和平均数分别是（ ） A ．5，4 B ．8，5C ．6，5D ．4，512．已知x+1x=3，则x 2+21x =（ ）A ．7B ．9C ．11D ．8二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，Rt ABC ∆中，ACB=90∠︒，AC=CB=42，BAD=ADE=60∠∠︒，AD=5，CE 平分ACB ∠，DE 与CE 相交于点E ，则DE 的长等于_____.14．关于x 的分式方程211x ax +=+的解为负数，则a 的取值范围是_________. 15．如图，点M 、N 分别在∠AOB 的边OA 、OB 上，将∠AOB 沿直线MN 翻折，设点O 落在点P 处，如果当OM=4，ON=3时，点O 、P 的距离为4，那么折痕MN 的长为______．16．如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数kyx（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k=_____．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点P、Q分别在边BC、AC上，PQ∥AB，把△PCQ 绕点P旋转得到△PDE（点C、Q分别与点D、E对应），点D落在线段PQ上，若AD平分∠BAC，则CP的长为_________．18．如图，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD+DE的最小值是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．20．（6分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？21．（6分）学校决定在学生中开设：A、实心球；B、立定跳远；C、跳绳；D、跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整．（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表法求出刚好抽到不同性别学生的概率．22．（8分）如图，抛物线y=ax2+ax﹣12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．（1）求点A、B的坐标；（2）若BN=MN，且S△MBC=274，求a的值；（3）若∠BMC=2∠ABM，求MNNB的值．23．（8分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：求n的值；若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．24．（10分）在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，连接DF．（1）说明△BEF是等腰三角形；（2）求折痕EF的长．25．（10分）计算：（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）26．（12分）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE=AF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的长．27．（12分）如图，已知AB是⊙O的弦，C是»AB的中点，AB=8，AC= 25，求⊙O半径的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可得出答案【详解】解：①﹣②得到y ＝2，把y ＝2代入①得到x ＝4， ∴42x y =⎧⎨=⎩， 故选：B ． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 2．D 【解析】 【分析】 【详解】根据a =5=7，得a 5,b 7=±=±，因为a b a b +=+，则a 5,b 7=±=，则-a b =5-7=-2或-5-7=-12. 故选D. 3．D 【解析】 【分析】由三角形内切定义可知OB 、OC 是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ），把对应数值代入即可求得∠BOC 的值． 【详解】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°， ∵圆O 是等边三角形内切圆，∴OB 、OC 是∠ABC 、∠ACB 的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12（180°﹣60°）=60°， ∴∠BOC=180°﹣60=120°， 故选D ． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及切线的性质．关键是要知道关系式∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）． 4．A 【解析】 【分析】以DA 为边、点D 为顶点在△ABC 内部作一个角等于∠B ，角的另一边与AB 的交点即为所求作的点．如图，点E即为所求作的点．故选：A．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．5．B【解析】【分析】首先确定a=1，b=-3，c=1，然后求出△=b2-4ac的值，进而作出判断．【详解】∵a=1，b=-3，c=1，∴△=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴一元二次方程x2-3x+1=0两个不相等的实数根；故选B．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．C【解析】【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A、2m与3n不是同类项，不能合并，故错误；B、m2•m3=m5，故错误；C、正确；D、（-m）3=-m3，故错误；故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才7．B 【解析】 【详解】∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n ， 右边三角形的数字规律为：2，，…，，下边三角形的数字规律为：1+2，，…，，∴最后一个三角形中y 与n 之间的关系式是y=2n +n. 故选B ． 【点睛】考点：规律型：数字的变化类． 8．C 【解析】 【分析】任何多边形的外角和是360°，用360°除以一个外角度数即可求得多边形的边数． 【详解】360°÷72°=1，则多边形的边数是1． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容． 9．D 【解析】 【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得. 【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7， 排序后最中间的数是7，所以中位数是7，26778==65x ++++甲，()()()()()2222221S =26666767865⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦甲=4.4，乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8， 排序后最中间的数是4，所以中位数是4，23488==55x 乙++++，()()()()()2222221S =25354585855乙⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦=6.4，所以只有D 选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键. 10．B 【解析】分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 详解：0.000000823=8.23×10-1． 故选B ．点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 11．D 【解析】 【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据平均数的计算公式求出平均数即可 【详解】∵4出现了2次，出现的次数最多， ∴众数是4；这组数据的平均数是：（4+8+4+6+3）÷5=5； 故选D ． 12．A 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】∵（x+1x ）2=x 2+2+21x ∴9=2+x 2+21x ，∴x 2+21x=7，故选A ．【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．3 【解析】 【分析】如图，延长CE 、DE ，分别交AB 于G 、H ，由∠BAD=∠ADE=60°可得三角形ADH 是等边三角形，根据等腰直角三角形的性质可知CG ⊥AB ，可求出AG 的长，进而可得GH 的长，根据含30°角的直角三角形的性质可求出EH 的长，根据DE=DH-EH 即可得答案. 【详解】如图，延长CE 、DE ，分别交AB 于G 、H ， ∵∠BAD=∠ADE=60°， ∴△ADH 是等边三角形， ∴DH=AD=AH=5，∠DHA=60°，∵AC=BC ，CE 平分∠ACB ，∠ACB=90°， ∴AB=22AC CB +=8，AG=12AB=4，CG ⊥AB ， ∴GH=AH=AG=5-4=1， ∵∠DHA=60°， ∴∠GEH=30°， ∴EH=2GH=2 ∴DE=DH-EH=5=2=3.故答案为：3 【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质并正确作出辅助线是解题关键. 14．12a a >≠且 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a 的范围即可【详解】分式方程去分母得:2x+a=x+1解得:x=1-a,由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1解得:a＞1且a≠2,故答案为: a＞1且a≠2【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于求出x的值再进行分析15．235-【解析】【分析】由折叠的性质可得MN⊥OP，EO=EP=2，由勾股定理可求ME，NE的长，即可求MN的长．【详解】设MN与OP交于点E，∵点O、P的距离为4，∴OP=4∵折叠∴MN⊥OP，EO=EP=2，在Rt△OME中，2223OM OE-=在Rt△ONE中，225-ON OE∴35故答案为35【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．16．-1【解析】【分析】先设D（a，b），得出CO=-a，CD=AB=b，k=ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE=1，最后根据AB∥OE，得出BC ABOC EO=，即BC•EO=AB•CO，求得ab的值即可．【详解】设D（a，b），则CO=-a，CD=AB=b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，∴k=ab，∵△BCE的面积是6，∴12×BC×OE=6，即BC×OE=1，∵AB∥OE，∴BC ABOC EO=，即BC•EO=AB•CO，∴1=b×（-a），即ab=-1，∴k=-1，故答案为-1．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．17．1【解析】【分析】连接AD，根据PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=11-4x，故可得出x的值，进而得出结论.【详解】连接AD，∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB，∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB ，∴∠ADQ=∠DAQ ，∴AQ=DQ ，在Rt △ABC 中，∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∵PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CBA ，∴CP ：CQ=BC ：AC=3：4，设PC=3x ，CQ=4x ，在Rt △CPQ 中，PQ=5x ，∵PD=PC=3x ，∴DQ=1x ，∵AQ=4-4x ，∴4-4x=1x ，解得x=23， ∴CP=3x=1；故答案为：1．【点睛】本题考查平行线的性质、旋转变换、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．18．8【解析】试题分析：过B 点作BF AC ⊥于点F ，BF 与AM 交于D 点，根据三角形两边之和小于第三边，可知BD DE +的最小值是线BF 的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．过B 点作BF AC ⊥于点F ，BF 与AM 交于D 点，设AF=x ，21CF x =-，222221)2217{(10x BF x BF -+=+=n ， 15{8x BF ==，15{8x BF ==-（负值舍去）．故BD ＋DE 的值是8故答案为8考点：轴对称-最短路线问题．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与1的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=1，解得m=1∴2--2=1．∴∴另一根是2；(2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根20．12【解析】【分析】设矩形的长为x步，则宽为（60﹣x）步，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设矩形的长为x步，则宽为（60﹣x）步，依题意得：x（60﹣x）＝864，整理得：x2﹣60x+864＝0，解得：x＝36或x＝24（不合题意，舍去），∴60﹣x＝60﹣36＝24（步），∴36﹣24＝12（步），则该矩形的长比宽多12步．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．21．（1）150；（2）详见解析；（3）3 5 .【解析】【分析】（1）用A类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）用总人数分别减去A、C、D得到B类人数，再计算出它所占的百分比，然后补全两个统计图；（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出刚好抽到不同性别学生的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：（1）15÷10%=150，所以共调查了150名学生；（2）喜欢“立定跳远”学生的人数为150﹣15﹣60﹣30=45，喜欢“立定跳远”的学生所占百分比为1﹣20%﹣40%﹣10%=30%，两个统计图补充为：（3）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中刚好抽到不同性别学生的结果数为12，所以刚好抽到不同性别学生的概率123. 205 ==【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．22．（1）A（﹣4，0），B（3，0）；（2）14-；（3）56.【解析】【分析】（1）设y=0，可求x的值，即求A，B的坐标；（2）作MD⊥x轴，由CO∥MD可得OD=3，把x=-3代入解析式可得M点坐标，可得ON的长度，根据S△BMC=274，可求a的值；（3）过M点作ME∥AB，设NO=m，MNNB＝k，可以用m，k表示CO，EO，MD，ME，可求M点坐标，代入可得k，m，a的关系式，由CO=2km+m=-12a，可得方程组，解得k，即可求结果．【详解】（1）设y=0，则0=ax2+ax﹣12a （a＜0），∴x1=﹣4，x2=3，∴A（﹣4，0），B（3，0）（2）如图1，作MD⊥x轴，∵MD⊥x轴，OC⊥x轴，∴MD∥OC，∴MBMN=OBOD且NB=MN，∴OB=OD=3，∴D（﹣3，0），∴当x=﹣3时，y=﹣6a，∴M（﹣3，﹣6a），∴MD=﹣6a，∵ON∥MD∴12 ON OBMD BD==，∴ON=﹣3a，根据题意得：C（0，﹣12a），∵S△MBC=274，∴12（﹣12a+3a）×6=274，a=﹣14，（3）如图2：过M点作ME∥AB，∵ME∥AB，∴∠EMB=∠ABM且∠CMB=2∠ABM，∴∠CME=∠NME，且ME=ME，∠CEM=∠NEM=90°，∴△CME≌△MNE，∴CE=EN，设NO=m，MNNB=k（k＞0），∵ME∥AB，∴ENON=MN MENB OB==k，∴ME=3k，EN=km=CE，∴EO=km+m，CO=CE+EN+ON=2km+m=﹣12a，即1221 ma k-=+，∴M（﹣3k，km+m），∴km+m=a（9k2﹣3k﹣12），（k+1）×ma=（k+1）（9k﹣12），∴1221k-+=9k-12，∴k=56，∴5=6 MNNB.【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，是二次函数与解析几何知识的综合应用，难度较大．23．（1）50；（2）240；（3）1 2 .【解析】【分析】用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值；先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比，即可估计该校喜爱看电视的学生人数；画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】解：（1）510%50n=÷=；（2）样本中喜爱看电视的人数为501520510---=（人)，10120024050⨯=，所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，所以恰好抽到2名男生的概率61 122 ==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图.24．（1）见解析；（2）15 2.【解析】【分析】（1）根据折叠得出∠DEF=∠BEF，根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠DEF=∠BFE，求出∠BEF=∠BFE即可；（2）过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=AB=6，AE=BM，根据折叠得出DE=BE，根据勾股定理求出DE、在Rt△EMF中，由勾股定理求出即可．【详解】（1）∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴∠DEF=∠BEF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，即△BEF是等腰三角形；（2）过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，所以EM=AB=6，AE=BM．∵现将纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，∴DE=BE ，DO=BO ，BD ⊥EF ．∵四边形ABCD 是矩形，BC=8，∴AD=BC=8，∠BAD=90°．在Rt △ABE 中，AE 2+AB 2=BE 2，即（8﹣BE ）2+62=BE 2，解得：BE=254=DE=BF ，AE=8﹣DE=8﹣254=74=BM ，∴FM=254﹣74=92． 在Rt △EMF 中，由勾股定理得：EF=22962（） =152． 故答案为152．【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键． 25．-17.1【解析】【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的．【详解】解：原式＝﹣8+（﹣3）×18﹣9÷（﹣2），＝﹣8﹣14﹣9÷（﹣2），＝﹣62+4.1，＝﹣17.1．【点睛】此题要注意正确掌握运算顺序以及符号的处理．26． (1)见解析；（2）3【解析】【分析】(1) 方法一: 连接AC, 利用角平分线判定定理, 证明DA=DC 即可;方法二: 只要证明△AEB ≌△AFD. 可得AB=AD 即可解决问题；(2) 在Rt △ACF, 根据AF=CF·tan ∠ACF 计算即可.【详解】（1）证法一：连接AC，如图．∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，∴∠ACF=∠ACE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAC=∠ACB．∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴四边形ABCD是菱形．证法二：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠AFD=90°，又∵AE=AF，∴△AEB≌△AFD．∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接AC，如图．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF=60°，∴∠ECF=120°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACF=60°，在Rt△CFA中，AF=CF•tan∠ACF=23．【点睛】本题主要考查三角形的性质及三角函数的相关知识，充分利用已知条件灵活运用各种方法求解可得到答案。
2020年湖南省益阳市资阳区中考数学一模试卷
中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列四个数中最小的数是（）A. 0B. 0.001C. -1000D. -π2.下列计算正确的是（）A. 2a+3b=5abB. =±6C. a6÷a2=a4D. （2ab2）3=6a3b53.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.4.如图，几何体的俯视图是（）A. B. C. D.5.如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2度数为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°6.某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示A. 400tB. 500tC. 600tD. 700t7.某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（）A. B.C. D.8.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（）A.B.C.D.9.如图，DE是边长为2的菱形ABCD的高，CE=1，以点D为圆心，DE的长为半径画弧，交BD于F，交DC于G，则图中阴影部分的面积为（）A. πB.C.D.10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①b2-4ac＜0；②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a中，正确的结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.把化成最简二次根式为______．12.分解因式：2x2+4xy+2y2=______．13.下列事件中，①打开电视，它正在播关于扬州特产的广告；②太阳绕着地球转；③掷一枚正方体骰子，点数“4”朝上；④13人中至少有2人的生日是同一个月．属于随机事件的个数是______．14.若函数y=（k-1）x|k|-2是反比例函数，则k=______．15.如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=______．16.如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下列结论：①△ODC是等边三角形；②AC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确的结论的序号是______．17.某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价______元出售该商品．18.如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为______．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）19.计算：（π-2019）0+6sin60°-|5-|-（）-220.先化简，再求值：，其中x=2．四、解答题（本大题共6小题，共62.0分）21.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，BD平分∠ABC．求证：（1）AD=EC；（2）AB=EC．22.2018年9月，振华中学举行了迎国庆中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A-书法比赛；B-国画竞技；C-诗歌朗诵；D-汉字大赛；E-古典乐器演奏．活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次催记抽取的初三学生共______人，m=______，并补全条形统计图；（2）初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少．23.反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，4）、B（4，m）．（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．24.某商场销售A、B两种品牌的教学设备，其进价分别为1.5万元/套，1.2万元/套；售价分别为1.65万元/套、1.4万元/套．该商场计划购进两种教学设备各若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．（1）设该商场计划购进A、B两种品牌的教学设备各x套、y套，求x，y的值．（2）调研后，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B 种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少数量的1.5倍，采购进资金不超过69万元，问A种设备购进量至多减少多少套？25.如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，求证：∠ABD=∠ACE；（2）如图2，若∠ADE=∠ABC=30°，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件下，若AB=3，AD=2，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长．26.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=-x2平移后经过点A（-1，0）、B（4，0），且平移后的抛物线与y轴交于点C（如图）．（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D在线段CB上，且CD=，求∠CAD的正弦值；（3）点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵-1000＜-π＜0＜0.001，∴所给的四个数中最小的数是-1000．故选：C．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2.【答案】C【解析】解：A、2a+3b，无法计算，故此选项错误；B、=6，故此选项错误；C、a6÷a2=a4，正确；D、（2ab2）3=8a3b6，故此选项错误；故选：C．直接利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项法则、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．3.【答案】C【解析】解：不等式组的解集在数轴上表示如下：故选：C．先定界点，再定方向即可得．本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．4.【答案】D【解析】解：从上面看，几何体的俯视图是．故选：D．根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．5.【答案】C【解析】解：∵c⊥a，∴∠1=90°，∵a∥b，∴∠2=∠1=90°．故选：C．根据垂线的定义可得∠1=90°，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠1．本题考查了平行线的性质，垂线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：=1.2（t），500×1.2=600（t），答：估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是600 t；故选：C．先计算这10名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数500即可解答．本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．7.【答案】B【解析】解：原来走350千米所用的时间为，现在走350千米所用的时间为：，所以可列方程为：-=1，故选B．等量关系为：原来走350千米所用的时间-提速后走350千米所用的时间=1，根据等量关系列式．找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据勾股定理求出OA，根据正弦的定义解答即可．【解答】解：由题意得，OC=2，AC=4，由勾股定理得，AO==2，∴sin A==.故选A．9.【答案】B【解析】解：∵DE是边长为2的菱形ABCD的高，CE=1，∴∠DEC=90°，DC=2，∴cos∠DCE=，DE==，∴∠DCE=60°，∴∠ADC=120°，∴∠FDG=60°，∴图中阴影部分的面积为：=，故选：B．根据题意，可以求得DE和∠DCE的度数，从而可以求得∠BDC的度数，然后利用扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．本题考查扇形面积的计算、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.【答案】C【解析】解：①根据二次函数的图象知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2-4ac ＞0；故本选项错误；②根据图示知，当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0；故本选项正确；③∵抛物线的开口向下，∴a＜0；又∵该抛物线与y交于正半轴，∴c＞0，而对称轴x=-=-1，∴b=2a＜0，∴abc＞0；故本选项正确；④由③知，b=2a；故本选项正确；综上所述，正确的选项有3个．故选：C．根据二次函数图象与x交点的个数来判定b2-4ac的符号；将x=-1时，y＜0来推知a-b+c 的符号；根据函数图象的开口方向、与坐标轴的交点的位置以及对称轴的位置来判定abc的符号；根据图象的对称轴来判断b=2a的正误．此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．11.【答案】【解析】解：==，故答案为：．先化成分数，再根据二次根式的性质进行化简即可．本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．12.【答案】2（x+y）2【解析】解：2x2+4xy+2y2=2（x2+2xy+y2）=2（x+y）2．故答案为：2（x+y）2．先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．13.【答案】2【解析】解：打开电视，它正在播关于扬州特产的广告是随机事件；太阳绕着地球转是不可能事件；掷一枚正方体骰子，点数“4”朝上是随机事件；13人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件；故答案为：2．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．14.【答案】-1【解析】解：根据题意，得|k|-2=-1，且k-1≠0，解得，k=-1．故答案是：-1．根据反比例函数的定义列出关于k的方程，然后解方程即可．本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．15.【答案】60°【解析】解：∵DA⊥CE，∴∠DAE=90°，∵∠EAB=30°，∴∠BAD=60°，又∵AB∥CD，∴∠D=∠BAD=60°，故答案为：60°．先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．16.【答案】①、②、③、④【解析】解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，又∵矩形中OA=OB=OC=OD，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴△ODC是等边三角形，故①正确；由等边三角形的性质，AB=OA，∴AC=2AB，故②正确；∵∠BAE=45°，∠ABE=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE，∴BO=BE，∵∠COB=180°-60°=120°，∴∠BOE=（180°-30°）=75°，∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°，故③正确；∵△AOE和△COE的底边AO=CO，点E到AC的距离相等，∴S△AOE=S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①②③④．故答案为：①、②、③、④．根据角平分线的定义可得∠BAE=45°，然后求出∠BAO=60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后判断出△AOB是等边三角形，然后求出△ODC也是等边三角形，判断出①正确；求出AC=2AB，判断出②正确；判断出△ABE是等腰直角三角形，然后求出AB=BE，再求出BO=BE，根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE=75°，然后求出∠AOE=135°，判断出③正确；根据等底等高的三角形的面积相等可得S△AOE=S△COE，判断出④正确．本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，等底等高的三角形的面积相等，综合题，但难度不大，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．17.【答案】6【解析】解：设降价x元出售该商品，则22.5-x-15≥15×10%，解得x≤6．故该店最多降价6元出售该商品．故答案为：6．先设最多降价x元出售该商品，则降价出售获得的利润是22.5-x-15元，再根据利润率不低于10%，列出不等式即可．本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．18.【答案】135°【解析】解：如图，连接EC．∵E是△ADC的内心，∠ADC=90°，∴∠ACE=∠ACD，∠EAC=∠CAD，∴∠AEC=180°-（∠ACD+∠CAD）=135°，在△AEC和△AEB中，，∴△EAC≌△EAB，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题；本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：（π-2019）0+6sin60°-|5-|-（）-2，=1+6×-（3-5）-4，=1+3-3+5-4，=2．【解析】本题需根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等考点的运算．20.【答案】解：原式=•=，当x=2时，原式=．【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．21.【答案】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC；（2）∵AD∥BC，BD平分∠ABC，∴∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴AB=EC．【解析】（1）证明四边形AECD是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出结论；（2）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠ADB=∠ABD，证出AB=AD，即可得出AB=EC．本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．22.【答案】（1)100, 10 ,（2）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中选出的两名选手正好是一男一女的结果数为12，所以选出的两名选手正好是一男一女的概率==．【解析】解：（1）调查的总人数为25÷25%=100（人），所以m%==10%，即m=10，B选项的人数为100-25-30-20-10=15（人），补全条形统计图为：故答案为100，10；（2）见答案．（1）利用条形统计图和扇形统计图，用A选项的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用E选项的人数除以调查的总人数可得到m的值，再计算出B选项的人数后补全条形统计图；（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出的两名选手正好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．23.【答案】解：（1）把A（1，4）代入y=得k=1×4=4，∴反比例函数解析式为y=；把B（4，m）代入y=得4m=4，解得m=1，∴B点坐标为（4，1）；（2）如图，作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，-4），∵PA+PB=PA′+PB=BA′，∴此时PA+PB的值最小，设直线BA′的解析式为y=mx+n，把A′（1，-4），B（4，1）代入得解得：∴直线BA′的解析式为y=x-，当y=0时，x-=0，解得x=，∴P点坐标为（，0）．【解析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了最短路径问题．（1）先把A点坐标代入y=求出k得到反比例函数解析式；然后把B（4，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，-4），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．24.【答案】解：（1）设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，，解得：，答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套；（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69，解得：a≤10，答：A种设备购进数量至多减少10套．【解析】（1）首先设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，根据题意即可列方程组，解此方程组即可求得答案；（2）首先设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，根据题意即可列不等式1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69，解此不等式组即可求得答案．此题考查了一元一次不等式与二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系和不等关系．25.【答案】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC=3，AD=AE=2，∠DAB=∠CAE．∴△ADB≌△AEC．∴∠ABD=∠ACE．（2）（1）中结论成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=AC，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=AE，∴∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD=∠ACE（3）解：①当点E在AB上时，BE=AC-AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴．∴．∴PB=．②当点E在BA延长线上时，BE=5．∵∠EAC=90°，∴CE=．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴．∴PB=．综上所述，PB的长为或．【解析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到∠ABD=∠ACE；（2）先判断出△ADB∽△AEC，即可得出结论；（3）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．此题是相似形综合题，主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键．26.【答案】解：（1）设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+bx+c．将A（-1，0）、B（4，0），代入得解得：所以，y=-x2+3x+4．（2）如图1∵y=-x2+3x+4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y=kx+4，将B（4，0），代入得kx+4=0，解得k=-1，∴y=-x+4．设点D的坐标为（m，4-m）．∵CD=，∴2=2m2，解得m=1或m=-1（舍去），∴点D的坐标为（1，3）．过点D作DM⊥AC，过点B作BN⊥AC，垂足分别为点M、N．∵，∴，∴．∵DM∥BN，∴，∴．∴．（3）如图2设点Q的坐标为（n，-n2+3n+4）．如果四边形ECPQ是菱形，则n＞0，PQ∥y轴，PQ=PC，点P的坐标为（n，-n+4）．∵PQ=-n2+3n+4+n-4=4n-n2，，∴，解得或n=0（舍）．∴点Q的坐标为（，）．【解析】（1）根据平移前后a的值不变，用待定系数法求解即可；（2）求出直线BC的解析式，确定点D的坐标，过点D作DM⊥AC，过点B作BN⊥AC，垂足分别为点M、N，运用面积法求出BN，再根据相似三角形的性质求出DM，根据直角三角函数求解即可；（3）设点Q的坐标为（n，-n2+3n+4），如果四边形ECPQ是菱形，则n＞0，PQ∥y轴，PQ=PC，点P的坐标为（n，-n+4），根据邻边相等列出方程即可求解．此题主要考查二次函数综合问题，会灵活运用待定系数法求抛物线，直线的解析式，会运用面积法，相似三角形性质求相关线段，会根据菱形性质确定顶点坐标是解题的关键．。
益阳市2020版数学中考一模试卷(I)卷
益阳市2020版数学中考一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） 2的相反数是（）A . 2B . -2C .D .2. （2分）(2012·茂名) 位于环水东湾新城区的茂名市第一中学新校区占地面积约为536.5亩．将536.5用科学记数法可表示为（）A . 0.5365×103B . 5.365×102C . 53.65×10D . 536.53. （2分）(2019·玉林) 如图，圆柱底面圆半径为2，高为2，则圆柱的左视图是（）A . 平行四边形B . 正方形C . 矩形D . 圆4. （2分）下列计算正确的是（）A . + =B . 2 + =3C . = •D . 5 =15. （2分） (2017七下·射阳期末) 不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A .B .C .D .6. （2分）(2014·河南) 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（）A . 35°B . 45°C . 55°D . 65°7. （2分） (2019九下·常熟月考) 如图是根据某地某段时间的每天最低气温绘成的折线圈，那么这段时间最低气温的中位数、众数、平均数依次是（）A . 4℃，5℃，4℃B . 5℃，5℃，4.5℃C . 4.5℃，5℃，4℃D . 4.5C，5℃，4.5℃8. （2分） (2017九上·钦州港月考) 掷一枚硬币2次，正面都朝上的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·台湾) 如图，△ABC，△FGH中，D，E两点分别在AB，AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC=4：6：5，则△ADE与△FGH的面积比为何？（）A . 2：1B . 3：2C . 5：2D . 9：410. （2分）下列方程有两个相等的实数根的是（）A . x2+x+1=0B . 4x2+2x+1=0C . x2+12x+36=0D . x2+x﹣2=0二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·临沂模拟) 如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．如：（2+i）+（3﹣4i）=（2+3）+（1﹣4）i=5﹣3i，（5+i）（3﹣4i）=5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4i2=19﹣17i请根据以上内容的理解，利用以前学习的有关知识将（1+2i）（1﹣3i）化简结果为________．12. （1分） (2018九上·通州期末) 二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为________.13. （1分）(2017·盐城模拟) 已知反比例函数的图象经过点（m，6）和（﹣2，3），则m的值为________．14. （1分）如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径OA=2，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）15. （1分）(2018·秀洲模拟) 如图，矩形ABCD中，，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，且EH∥BC，则AG∶GH∶HC=________．三、解答题 (共8题；共79分)16. （5分）(2020·东城模拟) 先化简，再求值：（﹣1）÷ ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．17. （12分）(2017·鄂州) 某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为________；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有________人，补全条形统计图．（2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？（3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率．18. （10分） (2015九上·宁波月考) 已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，∠CAB=30°（1）如图①，求∠DAC的大小；（2）如图②，若⊙O的半径为4，求DE的长．19. （10分）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）20. （7分）如图，已知直线l：y1=kx+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y2= （a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）（1）分别直接写出直线l与双曲线的解析式：________；（2）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点；（3）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围________．21. （10分） (2015九上·柘城期末) 杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？（2）如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？22. （10分） (2017八下·徐州期末) 如图，在平面直角坐标系中，点B是反比例函数y= 的图象上任意一点，将点B绕原点O顺时针方向旋转90°到点A．（1）若点A的坐标为（4，2）．①求k的值；②在反比例函数y= 的图象上是否存在一点P，使得△AOP是等腰三角形且∠AOP是顶角，若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当k=﹣1，点B在反比例函数y= 的图象上运动时，判断点A在怎样的图象上运动？并写出表达式．23. （15分） (2018九上·金华月考) 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴正半轴、轴的负半轴上，二次函数的图象经过、两点．（1）求该二次函数的顶点坐标；（2）结合函数的图象探索：当时的取值范围；（3）设，且，两点都在该函数图象上，试比较、的大小，并简要说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共8题；共79分)16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
2020年湖南省益阳一中自主招生数学试卷
2020年湖南省益阳一中自主招生数学试卷一.选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥52．（4分）如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（）A．x≥1B．x≥2C．x＜0或0＜x≤1D．x＜0或x≥23．（4分）如图，直线y＝x﹣1与x轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线y＝交于点C，且AB＝AC，则k的值为（）A．2B．3C．4D．64．（4分）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF ＝CF，则的值是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，若OA2﹣AB2＝12，则k的值为（）A．4B．6C．8D．126．（4分）准备在一块长为30m，宽为24m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80m2，则小路的宽度为（）A．1m B．m C．2m D．m7．（4分）已知二次函数y＝2x2﹣3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（）A．﹣1≤y≤5B．﹣5≤y≤5C．﹣3≤y≤5D．﹣2≤y≤18．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm 总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（4分）已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为，那么等腰三角形的腰长等于（）A．6或3B．6或12﹣2C．12﹣2D．3或12﹣210．（4分）已知xy≠1，且有5x2+2019x+9＝0，9y2+2019y+5＝0，则的值等于（）A．B．C．﹣D．﹣二、填空题（每小题4分，共40分）11．（4分）若α为锐角，化简＝．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝．13．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2009＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为．14．（4分）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝，AC＝1，则∠ACB为度．15．（4分）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则x2﹣6xy+9y2＝．16．（4分）等腰△ABC中，BC＝8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的根，则m的值等于．17．（4分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8＝0，则△ABC的周长是．18．（4分）若（xy﹣2）（x2y2+1）＝0，则y与x之间的函数关系式为．19．（4分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是．20．（4分）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…，则2+22+23+24+…+22019的个位数字是．三、解答题21．（16分）化简与计算：（1）+；（2）+sin75°﹣﹣tan44°•tan45°•tan46°．22．（10分）已知△ABC中，AB＝1，D是AB的中点，∠DCA＝90°，∠DCB＝45°，求BC的长．23．（14分）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．24．（14分）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：＝；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论．25．（16分）二次函数图象的顶点在原点O，且过点（1，1），点F（0，）在y轴上，直线y＝﹣与y 轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝﹣交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当点P横坐标为时，过O点作OQ⊥OP交抛物线于点Q，在y轴上找点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标．。
2020年湖南省益阳市资阳区中考数学一模试题(附带详细解析)
…外…………○………装…学校:_________姓名：…内…………○………装…绝密★启用前2020年湖南省益阳市资阳区中考数学一模试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列四个数中最小的数是()n n n n A ．0B ．0.001C ．1000-D ．π-2．下列计算正确的是( ) A ．2a +3b ＝5ab B 6 C ．a 6÷a 2＝a 4D ．(2ab 2)3＝6a 3b 53．不等式组21x x >-⎧⎨≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，直线//a b ，c a ⊥，则c 与b 相交所形成的2∠度数为()n n n n…○…………………○……※※请※※不…○…………………○……A．45︒B．60︒C．90︒D．120︒6．某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示：请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（）A．400t B．500t C．700t D．600t7．某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是()n n n nA．350350130x x-=-B．350350130x x-=+C．350350130x x-=+D．350350130x x-=-8．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则A∠的正弦值是()n n n nA B C D．129．如图，DE是边长为2的菱形ABCD的高，1CE=，以点D为圆心，DE的长为半径画弧，交BD于F，交DC于G，则图中阴影部分的面积为()n n n n…………外………订…………○…………○……________考号：___________…………内………订…………○…………○……A ．πB ．2π C D 10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论：240b ac -<①；0a b c -+>②；0abc >③；2b a =④中，正确的结论的个数是()n n n nA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11______．12．下列事件中，①打开电视，它正在播关于扬州特产的广告；②太阳绕着地球转；③掷一枚正方体骰子，点数“4”朝上；④13人中至少有2人的生日是同一个月．属于随机事件的个数是 ． 13．若函数()21k y k x-=-是反比例函数，则k =______．14．如图，DA ⊥CE 于点A ，CD ∥AB ，∠1=30°，则∠D=_____．15．如图，矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，15CAE ∠=︒，则下列结论：……外………………订………线…………○…订※※线※※内※※答※※题……内………………订………线…………○…中正确的结论的序号是______．16．某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价______元出售该商品．17．如图，在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为__．三、解答题18．分解因式：2x 2+4xy +2y 2＝_____．19．计算：（π﹣2019）0+6sin60°﹣|5﹣（12）﹣220．先化简，再求值：2122x x x x x +⎛⎫+⋅⎪+⎝⎭，其中2x =． 21．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，//AE DC ，BD 平分.ABC ∠求证： （1）AD EC =； （2）AB EC =．22．2018年9月，振华中学举行了迎国庆中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A ﹣书法比赛；B ﹣国画竞技；C ﹣诗歌朗诵；D ﹣汉字大赛；E ﹣古典乐器演奏．活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项），…装…………○…………线…………○…__姓名：___________班级：____…装…………○…………线…………○…根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次随机抽取的初三学生共 人，m ＝ ，并补全条形统计图； （2）初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少． 23．反比例函数ky x=（k 为常数，且k ≠0）的图象经过点A （1，4）、（4，m ）． （1）求反比例函数的解析式及B 点的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使P A +PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．24．某商场销售A 、B 两种品牌的教学设备，其进价分别为1.5万元/套，1.2万元/套；售价分别为1.65万元/套、1.4万元/套．该商场计划购进两种教学设备各若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．（1）设该商场计划购进A 、B 两种品牌的教学设备各x 套、y 套，求x ，y 的值． （2）调研后，该商场决定在原计划的基础上，减少A 种设备的购进数量，增加B 种设备的购进数量，已知B 种设备增加的数量是A 种设备减少数量的1.5倍，采购进资金不超过69万元，问A 种设备购进量至多减少多少套？25．如图，ABC V 和ADE V 是有公共顶点的直角三角形，90BAC DAE ∠∠==︒，点P 为射线BD ，CE 的交点．（1）如图1，若ABC V 和ADE V 是等腰三角形，求证：ABD ACE ∠∠=； （2）如图2，若30ADE ABC ∠∠==︒，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．…○…………订…………………线…………装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………订…………………线…………（3）在（1）的条件下，若3AB=，2AD=，若把ADEV绕点A旋转，当90EAC∠=︒时，求PB的长．26．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2平移后经过点A（﹣1，0）、B（4，0），且平移后的抛物线与y轴交于点C（如图）．（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D在线段CB上，且CD，求∠CAD的正弦值；（3）点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．参考答案1．C 【解析】 【分析】由题意根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行分析判断即可． 【详解】解：100000.001π-<-<<Q ，∴所给的四个数中最小的数是1000-．故选：C ． 【点睛】本题主要考查实数大小比较的方法，掌握解答此题的关键是要明确正实数0>>负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2．C 【解析】分析：直接利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．详解：A 、2a+3b ，无法计算，故此选项错误；B ，故此选项错误；C 、a 6÷a 2=a 4，正确；D 、（2ab 2）3=8a 3b 6，故此选项错误. 故选C ．点睛：此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项法则、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 3．C 【解析】 【分析】将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后逐项进行对比即可得答案，方法是先定界点，再定方向． 【详解】不等式组21x x >-⎧⎨≤⎩的解集在数轴上表示如下：故选C ． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 4．D 【解析】试题分析：俯视图是物体上方向下做正投影得到的视图，上方向下看，看到的是D 考点：三视图 5．C 【解析】 【分析】根据垂线的定义可得190∠=︒，再根据两直线平行，同位角相等可得21∠=∠． 【详解】解：c a ⊥Q ，190∴∠=︒， //a b Q ，2190∠∠∴==︒．故选：C ． 【点睛】本题考查平行线的性质，垂线的定义，是基础题，熟记相关性质是解题的关键．6．D【解析】【分析】先计算这10名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数500即可解答．【详解】解：0.5×2+1×3+1.5×4+2×110=1.2（t），500×1.2=600（t），答：估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是600 t；故选：D．【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．007．B【解析】【分析】根据题意可得等量关系为原来走350千米所用的时间-提速后走350千米所用的时间1=，根据等量关系列式即可判断．【详解】解：原来走350千米所用的时间为350x，现在走350千米所用的时间为：35030x+，所以可列方程为：350350130x x-=+.故选：B．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．8．A【解析】 【分析】由题意根据勾股定理求出OA ，进而根据正弦的定义进行分析解答即可． 【详解】解：由题意得，2OC =，4AC =，由勾股定理得，AO =5OC sinA OA ∴==． 故选：A ． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 9．B 【解析】 【分析】根据题意，可以求得DE 和DCE ∠的度数，从而可以求得BDC ∠的度数，然后利用扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：DE Q 是边长为2的菱形ABCD 的高，1CE =，90DEC ∴∠=︒，2DC =，12cos DCE ∠∴=，DE == 60DCE ∴∠=︒，120ADC ∴∠=︒，60FDG ∠∴=︒，∴2π=，故选：B ．【点睛】本题考查扇形面积的计算、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想进行分析并解答．10．C【解析】【分析】由题意根据二次函数图象与x 交点的个数来判定24b ac -的符号；将1x =-时，0y <来推知a b c -+的符号；根据函数图象的开口方向、与坐标轴的交点的位置以及对称轴的位置来判定abc 的符号；根据图象的对称轴来判断2b a =的正误．【详解】解：①根据二次函数的图象知，该抛物线与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；故本选项错误；②根据图示知，当1x =-时，0y >，即0a b c -+>；故本选项正确；Q ③抛物线的开口向下，0a ∴<；又Q 该抛物线与y 交于正半轴，0c ∴>， 而对称轴12b x a=-=-， 20b a ∴=<，0abc ∴>；故本选项正确；④由③知，2b a =；故本选项正确；综上所述，正确的选项有3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，熟练掌握并利用对称轴的范围求2a 与b 的关系以及二次函数与方程之间的转换和根的判别式的熟练运用．11【解析】【分析】根据题意先化成分数，再根据二次根式的性质进行化简即可得出答案．【详解】==．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，注意掌握最简二次根式必须满足两个条件即被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．12．2【解析】试题分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．解：打开电视，它正在播关于扬州特产的广告是随机事件；太阳绕着地球转是不可能事件；掷一枚正方体骰子，点数“4”朝上是随机事件；13人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件；故答案为2．考点：随机事件．13．1-【解析】【分析】由题意根据反比例函数的定义列出关于k的方程，然后解方程即可．【详解】解：根据题意，得k-=-，且1021k-≠，解得，1k =-．故答案是：1-．【点睛】 本题考查反比例函数的定义，注意掌握重点是将一般式()0k y k x=≠转化为()10y kx k -=≠的形式．14．60°【解析】【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D 的度数．【详解】∵DA ⊥CE ，∴∠DAE=90°， ∵∠1=30°， ∴∠BAD=60°， 又∵AB ∥CD ，∴∠D=∠BAD=60°， 故答案为60°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 15．①、②、③、④【解析】【分析】根据角平分线的定义可得45BAE ∠=︒，然后求出60BAO ∠=︒，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA OB =，然后判断出AOB V 是等边三角形，然后求出ODC △也是等边三角形，判断出①正确；求出2AC AB =，判断出②正确；判断出ABE △是等腰直角三角形，然后求出AB BE =，再求出BO BE =，根据等腰三角形两底角相等求出75BOE ∠=︒，然后求出135AOE ∠=︒，判断出③正确；根据等底等高的三角形的面积相等可得AOE COE S S =△△，判断出④正确即可．【详解】解：Q 矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，45BAE ∴∠=︒，15CAE ∠=︒Q ，451560BAO BAE CAE ∠∠∠∴=+=︒+︒=︒，又Q 矩形中OA OB OC OD ===，AOB ∴V 是等边三角形，60AOB COD ∠∠∴==︒，ODC ∴V 是等边三角形，故①正确；由等边三角形的性质，AB OA =，2AC AB ∴=，故②正确；45BAE ∠=︒Q ，90ABE ∠=︒，ABE ∴V 是等腰直角三角形，AB BE ∴=，BO BE ∴=，18060120COB ∠=︒-︒=︒Q ，()118030752BOE ∠∴=︒-︒=︒， 6075135AOE AOB BOE ∠∠∠∴=+=︒+︒=︒，故③正确；AOE QV 和COE V的底边AO CO =，点E 到AC 的距离相等， AOE COE S S ∴=V V ，故④正确；综上所述，正确的结论是①②③④．故答案为：①、②、③、④．【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，等底等高的三角形的面积相等，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 16．6【解析】先设最多降价x 元出售该商品，则出售的价格是22.5-x-15元，再根据利润率不低于10%，列出不等式即可．解：设最多降价x 元出售该商品，则22.5-x-15≥15×10%，解得x≤6．故该店最多降价6元出售该商品．“点睛”本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．17．135°．【解析】分析：如图，连接EC ．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC ≌△EAB 即可解决问题. 详解：如图，连接EC ．∵E 是△ADC 的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°， 在△AEC 和△AEB 中，AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△EAB ，∴∠AEB=∠AEC=135°， 故答案为135°． 点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．18．2（x+y ）2【解析】【分析】先提出公因式2，再运用完全平方公式分解.【详解】原式=2（x 2+2xy +y 2）=2(x +y) 2.故答案为2(x +y) 2.19．2.【解析】【分析】本题需根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：（π﹣2019）0+6sin60°﹣|5|﹣（12）﹣2，＝5）﹣4，＝﹣﹣4，＝2．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等考点的运算．20．12x +，3 2． 【解析】【分析】由题意根据分式的运算法则，进行分析计算即可求出答案．【详解】 解：2122x x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭ ()2(1)21x x x x +=⋅+12x +=， 当2x =时，代入可得， 原式32=． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意可知先证明四边形AECD 是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出结论； （2）根据题意由平行线的性质和角平分线的定义得出ADB ABD ∠=∠，证出AB AD =，即可得出AB EC =．【详解】解：（1）证明： //AD BC Q ，//AE DC ，∴四边形AECD 是平行四边形，AD EC ∴=；（2）//AD BC Q ，BD 平分ABC ∠，ADB CBD ∴∠=∠，ABD CBD ∠=∠，ADB ABD ∴∠=∠，AB AD ∴=，AB EC ∴=．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．22．（1）100，10，图形见解析；（2）35. 【解析】【分析】（1）根据A 的人数与所占百分比即可得到抽取总人数，用选择E 类的人数除以总人数求得m 的值，再用总人数减去选择A 、C 、D 、E 的人数得到选择B 类的学生人数，然后补全条形图即可；（2）根据题意画出树状图，然后利用概率公式求解即可. 【详解】解：（1）根据扇形统计图可知，选A的学生所占百分比为：90100%25% 360︒⨯=︒，则抽取的学生总数为：25÷25%=100人，选择E的学生所占百分比为：10100%10% 100⨯=，选择B的学生人数为：100﹣25﹣30﹣20﹣10=15人，故答案为100，10；条形图如下：（2）树状图如下：∵有20种可能等结果，其中符合条件的有12种，∴选出的两名选手正好是一男一女的概率是：123 205=.【点睛】本题主要考查条形统计图，扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，熟练掌握其知识点是解此题的关键.23．（1）4yx=，B点坐标为（4，1）；（2）P点坐标为（175，0）．【解析】【分析】（1）先把A点坐标代入y=kx求出k得到反比例函数解析式；然后把B（4，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，-4），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．【详解】（1）把A（1，4）代入y＝kx得k＝1×4＝4，∴反比例函数解析式为y＝4x；把B（4，m）代入y＝4x得4m＝4，解得m＝1，∴B点坐标为（4，1）；（2）如图，作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣4），∵P A+PB＝P A′+PB＝BA′，∴此时P A+PB的值最小，设直线BA′的解析式为y＝mx+n，把A′（1，﹣4），B（4，1）代入得4 41 m nm n+=-⎧⎨+=⎩解得：53173 mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线BA′的解析式为y＝517 33x-，当y ＝0时，51733x -＝0，解得x ＝175， ∴P 点坐标为（175，0）． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=k x（k 为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了最短路径问题． 24．（1）A ，B 两种品牌分别为20套，30套；（2）10套．【解析】【分析】（1）由题意首先设该商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备分别为x 套，y 套，根据题意即可列方程组 1.5 1.2660.150.29x y x y +=⎧⎨+=⎩，解此方程组即可求得答案； （2）根据题意首先设A 种设备购进数量减少a 套，则B 种设备购进数量增加1.5a 套，根据题意即可列不等式()()1.520 1.230 1.569a a -++≤，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：（1）设该商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备分别为x 套，y 套，1.5 1.2660.150.29x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：2030x y =⎧⎨=⎩， 答：该商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备分别为20套，30套；（2）设A 种设备购进数量减少a 套，则B 种设备购进数量增加1.5a 套，()()1.520 1.230 1.569a a -++≤，解得：10a ≤，答：A 种设备购进数量至多减少10套．【点睛】本题考查一元一次不等式与二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，并找到所求的量的等量关系和不等关系．25．（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3． 【解析】【分析】 （1）由题意依据等腰三角形的性质得到AB AC =，AD AE =，依据同角的余角相等得到DAB CAE ∠=∠，然后依据SAS 可证明ADB △≌AEC V ，最后，依据全等三角形的性质可得到ABD ACE ∠=∠；（2）根据题意先判断出ADB △∽AEC V ，进行分析即可得出结论；（3）由题意分为点E 在AB 上和点E 在AB 的延长线上两种情况画出图形，然后再证明PEB △∽AEC V ，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．【详解】解：（1）ABC QV 和ADE V 是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，3AB AC ∴==，2AD AE ==，DAB CAE ∠=∠．ADB ∴V ≌AEC V ．ABD ACE ∴∠=∠．（2）（1）中结论成立，理由：在Rt ABC V 中，30ABC ∠=︒，AB ∴=，在Rt ADE V 中，30ADE ∠=︒，AD ∴=，AD AE AB AC∴= 90BAC DAE ∠=∠=︒Q ，BAD CAE ∴∠=∠，ADB ∴V ∽AEC V ，ABD ACE ∴∠=∠.（3）解：①当点E 在AB 上时，1BE AC AE =-=．90EAC ∠=︒Q ，CE ∴==．同（1）可证ADB △≌AEC V ．DBA ECA ∴∠=∠，PEB AEC ∠=∠Q ，PEB ∴V ∽AEC V ．PB BE AC CE∴=，3PB ∴=，13PB ∴=． ②当点E 在BA 延长线上时，5BE =．90EAC ∠=︒Q ，CE ∴=同（1）可证ADB △≌AEC V ．DBA ECA ∴∠=∠，BEP CEA ∠=∠Q ，PEB ∴V ∽AEC V ．PB BE AC CE∴=，3PB ∴=，PB ∴=．综上所述，PB 的长为13或13． 【点睛】 本题属于相似三角形的综合问题，主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质是解题的关键．26．（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）sin ∠CAD=221；（3）点Q 的坐标为（，-2）． 【解析】【分析】（1）根据平移前后a 的值不变，用待定系数法求解即可；（2）求出直线BC 的解析式，确定点D 的坐标，过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ，运用面积法求出BN ，再根据相似三角形的性质求出DM ，根据直角三角函数求解即可；（3）设点Q 的坐标为（n ，﹣n 2+3n +4），如果四边形ECPQ 是菱形，则n ＞0，PQ ∥y 轴，PQ ＝PC ，点P 的坐标为（n ，﹣n +4），根据邻边相等列出方程即可求解．【详解】（1）设平移后的抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+bx +c ． 将A （﹣1，0）、B （4，0），代入得101640b c b c --+=⎧⎨-++=⎩解得：34b c =⎧⎨=⎩所以，y ＝﹣x 2+3x +4．（2）如图1∵y ＝﹣x 2+3x +4，∴点C 的坐标为（0，4）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +4，将B （4，0），代入得kx +4＝0，解得k ＝﹣1，∴y ＝﹣x +4．设点D 的坐标为（m ，4﹣m ）．∵CD 2＝2m 2，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴点D 的坐标为（1，3）．过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ． ∵11··22AC BN AB OC =，54BN =⨯，∴17BN ==． ∵DM ∥BN ，∴DM CD BN CB =，∴DM BN =，∴DM =．∴sin221DM CAD AD ∠===． （3）如图2设点Q的坐标为（n，﹣n2+3n+4）．如果四边形ECPQ是菱形，则n＞0，PQ∥y轴，PQ＝PC，点P的坐标为（n，﹣n+4）．∵PQ＝﹣n2+3n+4+n﹣4＝4n﹣n2，PC=，∴2n=或n＝0（舍）．4n n-=，解得4∴点Q的坐标为（42）．【点睛】此题主要考查二次函数综合问题，会灵活运用待定系数法求抛物线，直线的解析式，会运用面积法，相似三角形性质求相关线段，会根据菱形性质确定顶点坐标是解题的关键．。
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重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣32．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3 二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．8．函数y=的自变量x的取值范围是．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为，cos∠ABC=．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=，a2012=．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3考点：解一元一次不等式组．分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．解答：解：由①得：x＞﹣3，由②得：x≤2，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．故选B．点评：解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．分析：列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5上的情况占总情况的多少即可．解答：解：共有36种情况，落在直线y=﹣x+5上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4种情况，概率是，故选C．1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r考点：圆锥的计算；弧长的计算．专题：压轴题．分析：让扇形的弧长等于圆的周长即可．解答：解：根据扇形的弧长等于圆的周长，∴扇形弧长等于小圆的周长，即：=2πr，解得R=4r，故选D．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．解答：解：正方形中，S阴影=a2﹣b2；梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；故所得恒等式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题；压轴题．分析：由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．解答：解：由题意得，解得，∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，∴，解得：﹣3，又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，故选B．点评：考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．考点：一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：新定义．分析：根据题意可得y=3⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．解答：解：由题意得y=3⊕x=，当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，故答案为：点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=π．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，故答案为：π点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．函数y=的自变量x的取值范围是x＜﹣1或x≥4．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．解答：解：由题意得，x2﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，解得，x＜﹣1或x≥4，故答案为：x＜﹣1或x≥4．点评：本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为a2．考点：正多边形和圆．分析：由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．解答：解：如图所示：∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，∵边长为a的正三角形各边三等分，∴小正三角形的边长为a，∴每个小正三角形的面积是×a×=a×a=a2，∴新的正六边形的面积=a2×6=a2；故答案为：a2．点评：此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为60°，cos∠ABC=．考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．分析：由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．解答：解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；又∵∠A=∠CDB=30°，∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴cos∠ABC=．故答案为：60°．点评：此题主要考查了圆周角定理及其推论，半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，还考查了三角函数，掌握圆周角定理是解题的关键．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为4．考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：将函数方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．解答：解：由x2+3x+y﹣3=0得y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，∴x+y的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=10，a2012=2025078．考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，则a10﹣a9=10，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+3+4，即第n个三角形数等于1到n的所有整数的和，然后计算n=2012的a的值．解答：解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，∴a10﹣a9=10∵a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+2+3+4，…∴a2012=1+2+3+4+…+2012==2025078．故答案为：10，2025078．点评：本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解答此题的关键．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•+a=a+a=2a．当a=2时，原式=4a．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）根据题意得出△≥0，求出即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=1，x1•x2=p+1，整理后得出（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，代入求出即可．解答：解：（1）△=（﹣1）2﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，当﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣时，方程有两个实数根，即p的取值范围是p≤﹣；（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=1，x1•x2=p+1，∵[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，∴（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，∴[1﹣（p+1）]2+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，解得：p±2，∵p≤﹣，∴p=﹣2．点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，能正确利用知识点进行计算是解此题的关键，题目比较典型．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）由题意设出一次函数的解析式，再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式；（2）列出总利润的函数表达式，转化为求函数最值问题，最后求出最大利润；（3）根据利润=单件利润×批发数量，列出二次函数表达式，再运用二次函数性质解决最值问题．解答：解：（1）当0≤x＜100时，y=60；当x≥100时，设y=kx+b，由图象可以看出过（100，60），（400，40），则，，∴y=；（2）∵250＞100，∴当x=250件时，y=﹣×250+=50元，∴批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是：50×250=12500元；（3）W=（﹣x+﹣20）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣350）2+，∴当一次性批发350件时，所获利润最大，最大利润是元．点评：本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）易知A（﹣2，0），C（1，﹣3），将A、C两点的坐标代入y=ax2+c，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM，由此可求出△ABM和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．解答：解：（1）由题意可得：A（﹣2，0），C（1，﹣3），∵抛物线y=ax2+c（a＞0）经过A、C两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4；（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD，则BD与y轴的交点即为M点；设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵B（﹣1，﹣3），D（2，0），∴，解得，∴直线BD的解析式为y=x﹣2，当x=0时，y=﹣2，∴点M的坐标是（0，﹣2）；（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3），∵M（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），∴MN=1，BN=1，ON=3，∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×1×1﹣×2×2=2，∴S△PAD=S△ABM=2．∵S△PAD=AD•|y P|=2，AD=4，∴|y P|=1．当P点纵坐标为1时，x2﹣4=1，解得x=±，∴P1（，1），P2（﹣，1）；当P点纵坐标为﹣1时，x2﹣4=﹣1，解得x=±，∴P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）；故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（，1），P2（﹣，1），P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）．点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等．当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求．1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b 交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；（2）如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；（3）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），∴B（3，1），若直线经过点A（3，0）时，则b=若直线经过点B（3，1）时，则b=若直线经过点C（0，1）时，则b=1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时E（2b，0）∴S=OE•CO=×2b×1=b；（2）若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2此时E（3，），D（2b﹣2，1），∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）•（﹣b）+×3（b﹣）]=b﹣b2，∴S=；（3）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，D（2b﹣2，1），对于y=﹣+b，令y=0，得x=2b，则E（2b，0），∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，∴a=，∴S四边形DNEM=NE•DH=．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1．（3分）﹣的相反数是（）A．﹣B．﹣C．D．2．（3分）春暖花开，走在郑州中原西路上，不禁感慨“郑州的路越来越漂亮了“感慨背后，是对郑州从2012年起建设生态廊道的由衷认可．目前，郑州累计增绿超3亿平方米，相当于140个碧沙岗公园．我们把3亿用科学记数法表示为（）A．3×1010 B．3×109 C．3×108 D．3x1073．（3分）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法（）A．5B．4C．3D．64．（3分）下列计算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a2）3D．（﹣a2）3 5．（3分）某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（）A．18分，17分B．20分，17分C．20分，19分D．20分，20分6．（3分）不等式组的解集为（）A．.2＜x＜3B．.2＜x≤3C．.x＜2或x≥3D．无解7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN，交AB于点D，连接CD若AC＝AD，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°8．（3分）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n 的顶点在坐标轴上的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿AB→BC方向运动，当点E 到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于点F，设点E的运动路程为x，FC ＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（）A．16B．6C．20D．8二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）﹣（﹣）0＝．12．（3分）一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．（3分）如图，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为，则k的值为．14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝30°，AC＝2．以AB的中点O为圆心、AB的长为直径，在AB的上方作半圆，再以点A为圆心、AC的长为半径，作扇形DAC，且∠DAC＝30°，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D为AB边上的一动点（点D不与点A，点B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E，把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，连接BA′，若△A′DB为直角三角形，则AD的长为三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值（1+）÷，其中x是满足﹣1＜x＜2的整数．17．（9分）近几年，中学生过生日互送礼物甚至有部分家长为庆贺孩子生日大摆宴席攀比之风已成为社会关注热点．为此某媒体记者就中学生攀比心理的成因对某市城区若干名市民进行了调查，调查结果分为四组：A．社会环境的影响；B．学校正确引导的缺失；C．家长榜样示范的不足；D．其他．并将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（均不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中，B组所在扇形的圆心角度数是；（2）将条形统计图补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区120000名市民中有多少名市民持C组观点；（4）针对现在部分同学因举行生日宴会而造成极大浪费的现象，请你简单说说中学生大操大办庆祝生日的危害性，并提出合理化的建议．18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，点E为边BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）填空①若∠B＝30°，AC＝，则DE＝；②当∠B＝°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．19．（9分）郑州大学（ZhengzhouUniversity），简称“郑大”，是中华人民共和国教育部与河南省人民政府共建的全国重点大学，首批“双一流”世界一流大学、“211工程”．某学校兴趣小组3人来到郑州大学门口进行测量，如图，在大楼AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE＝4米，坡角∠DEB＝41°，小红在斜坡下的点E处测得楼顶A的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶A的仰角为45°，其中点B，C，E在同一直线上求大楼AC的高度．（结果精确到整数．参考数据：≈1.73，sin41°≈0.6，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87）20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，1）在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于点C，过点O作OB⊥OA，交直线AB于点B．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）在x轴上有一点P，使得S△AOP＝S△AOB，求点P的坐标21．（10分）党的十九大提出实施乡村振兴战略，将生态宜居作为乡村振兴的总目标之一，《乡村振兴战略规划（2018﹣2022年）中更是把建设生态宜居美丽乡村作为重要内容以具体化．某县富强加工厂响应“产业兴旺、生态宜居、生活富裕”的号召，拟计划投资兴建2条全自动生产线和1条半自动生产线共用资金260万元；而投资兴建1条全自动生产线和3条半自动生产线共用资金280万元．（1）求每条全自动生产线和半自动生产线的成本各为多少万元？（2）据预测，2019年每条全自动生产线的毛利润为260万元，每条半自动生产线的毛利润为160万元这一年，该加工厂共投资兴建10条生产线，若想获得不少于1200万元的纯利润，则2019年该加工厂至少需投资兴建多少条全自动生产线？22．（10分）已知，点C为线段AB外一动点，且AB＝4，AC＝2．问题发现（1）图1，当点C位于时，线段BC的长取最大值，且最大值为．扩展探究（2）如图2，若以BC为斜边向上构造等腰直角三角形BCD，以点A为圆心，AC为半径，在转过程中，当A，C，D三点共线时，求CD的长度；解决问题（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AC为半径，在旋转过程中，试求AD的最大值和最小值．23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），点B，交y轴于点C（0，2）．连接BC，AC（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线第二象限上一点，满足S△BCD＝S△ABC，求点D的坐标；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求点E的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1．（3分）﹣的相反数是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣的相反数是．故选：C．【点评】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3分）春暖花开，走在郑州中原西路上，不禁感慨“郑州的路越来越漂亮了“感慨背后，是对郑州从2012年起建设生态廊道的由衷认可．目前，郑州累计增绿超3亿平方米，相当于140个碧沙岗公园．我们把3亿用科学记数法表示为（）A．3×1010 B．3×109 C．3×108 D．3x107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：3亿＝3×108，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法（）A．5B．4C．3D．6【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字之和相等解答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“5”是相对面，“2”与“4”是相对面，所以，要添加的是“3”的相对面，∴要添加一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有4种不同的添法．故选：B．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4．（3分）下列计算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a2）3D．（﹣a2）3【分析】分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则逐一计算可得．【解答】解：A、a2•a3＝a5，此选项不符合题意；B、a12÷a2＝a10，此选项不符合题意；C、（a2）3＝a6，此选项符合题意；D、（﹣a2）3＝﹣a6，此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则．5．（3分）某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（）A．18分，17分B．20分，17分C．20分，19分D．20分，20分【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，故选：D．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要。