霍夫曼编码表
霍夫曼编码原理(一)
霍夫曼编码原理(一)霍夫曼编码–信息压缩的艺术介绍•什么是霍夫曼编码？•为什么需要进行信息压缩？霍夫曼树•霍夫曼树的定义•构建霍夫曼树的步骤•霍夫曼树的特点霍夫曼编码的原理•比特位的表示•无冗余编码•可译性和前缀性•前缀码的最优性构建霍夫曼编码表•统计字符频率•构建霍夫曼树•生成霍夫曼编码表霍夫曼编码的应用•文本文件压缩•图像文件压缩总结•霍夫曼编码的优点•霍夫曼编码的局限性•霍夫曼编码的未来发展霍夫曼编码是一种常用的信息压缩技术，通过构建霍夫曼树和编码表，将原始数据转化为二进制码，从而实现对信息的高效压缩。
在构建霍夫曼树的过程中，每个数据被看作一个节点，根据频率构建一个树形结构。
构建霍夫曼树的步骤包括：选择频率最低的两个节点，合并为一个新节点，然后将该新节点放回原来的节点集合中，并按照频率进行排序，重复该过程直到只剩下一个节点为止。
霍夫曼树的特点是，频率越高的节点越靠近根节点，频率越低的节点越接近树的边缘。
霍夫曼编码的原理是基于比特位的表示和无冗余编码。
通过对每个字符进行编码，将字符映射为对应的二进制码。
此外，霍夫曼编码还满足可译性和前缀性的要求，即每个编码都是不会引起歧义的，且任意一个编码都不是另一个编码的前缀。
构建霍夫曼编码表的过程包括统计字符的频率、构建霍夫曼树和生成霍夫曼编码表。
通过统计字符频率，我们可以得到每个字符在文本中出现的次数。
然后，根据字符频率构建霍夫曼树，将频率较低的字符放在树的边缘，频率较高的字符放在根节点附近。
最后，通过霍夫曼树，我们可以生成霍夫曼编码表，将每个字符对应的霍夫曼编码存储起来。
霍夫曼编码广泛应用于文本文件和图像文件的压缩中。
在文本文件压缩过程中，通过对文本中的字符进行编码，可以有效地减少文件的大小。
在图像文件压缩过程中，霍夫曼编码可用于对图像的像素值进行编码，以实现对图像文件的压缩。
综上所述，霍夫曼编码是一种高效的信息压缩技术，具有无冗余、可译性和前缀性的特点。
matlab 霍夫曼编码
matlab 霍夫曼编码一、背景介绍二、霍夫曼编码原理三、matlab实现霍夫曼编码1. 建立霍夫曼树2. 构建编码表3. 压缩文件4. 解压文件四、应用举例一、背景介绍在信息传输和存储中，数据的压缩是一个重要的问题。
其中，霍夫曼编码是一种常用的无损压缩算法，通过对不同字符出现频率进行编码，可以将数据压缩到较小的空间中。
在matlab中，可以通过代码实现对数据的霍夫曼编码。
二、霍夫曼编码原理1. 需要进行压缩的数据由若干个字符组成。
2. 统计每个字符出现的频率，并根据频率构建霍夫曼树。
3. 根据霍夫曼树构建每个字符对应的编码表。
4. 将原始数据中每个字符按照对应的编码表进行编码，并将所有编码拼接为一个字符串。
5. 将字符串转换为二进制数列，并将其写入文件中。
解压时，需要读取二进制数列，并按照相应的编码表进行解码还原原始数据。
三、matlab实现霍夫曼编码1. 建立霍夫曼树在matlab中，可以通过以下代码实现霍夫曼树的构建：```matlabfunction [T, f] = huffmantree(p)n = length(p);f = p;T = zeros(n-1, 3);for i=1:n-1[f, j] = sort(f);T(i, 1:2) = j(1:2);T(i, 3) = f(1) + f(2);f(2) = T(i, 3);end```其中，p为每个字符出现的频率，n为字符数。
函数返回的T为霍夫曼树的结构矩阵，f为每个节点的权值。
2. 构建编码表在得到霍夫曼树之后，可以通过以下代码构建每个字符对应的编码表：```matlabfunction codebook(T)n = size(T, 1) + 1;codebook = cell(n, 2);for i=1:ncodebook{i, 1} = i;endfor i=1:n-1j = T(i, 1:2);for k=1:length(j)codebook{j(k), 2}=[codebook{j(k), 2},num2str(mod(k-1,2))]; if ~isempty(codebook{j(k), 2})codebook{j(k), 3}=[codebook{j(k), 3},i];elsecodebook{j(k), 3}=i;endendend```其中，codebook为编码表，第一列为字符编号，第二列为对应的编码。
二叉树霍夫曼编码
霍夫曼编码（Huffman Coding）是一种可变字长编码（VLC）方法，它完全依据字符出现概率来构造异字头的平均长度最短的码字，有时称之为最佳编码，一般就叫做Huffman编码。
为了实现这种更高效的编码方式，就需要利用一个二叉树的结构来进行辅助编码，这种二叉树即为霍夫曼树，也称作最优二叉树。
具体来说，霍夫曼编码的构建过程如下：
将N个权值作为N个叶子节点，构造一棵二叉树。
通过将权值最小的两个节点构建成一个小二叉树，然后将这个小二叉树链接到另一棵只含一个根节点的小二叉树上，以此构造一棵霍夫曼树。
重复以上步骤，直到所有的节点都被包含在霍夫曼树内。
在构建霍夫曼树的过程中，为了使编码的平均长度最小，权值大的节点使用较短的路径，而权值小的节点使用较长的路径。
霍夫曼编码是通过对霍夫曼树的叶子节点进行遍历来获得的，从根节点到每个叶子节点的路径可以看作一种编码，具有最小权值的叶子节点的路径将被赋予0，而其他路径则被赋予1。
总的来说，霍夫曼编码是基于霍夫曼树的一种非常有效的编码方法，它能够实现对字符的平均长度最短的编码，广泛应用于数据压缩等领域。
二元霍夫曼编码 - 信息论与编码实验报告
计算机与信息工程学院综合性实验报告一、实验目的根据霍夫曼编码的原理，用MATLAB设计进行霍夫曼编码的程序，并得出正确的结果。
二、实验仪器或设备1、一台计算机。
2、MATLAB r2013a。
三、二元霍夫曼编码原理1、将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列，p1>p2>…>p q2、取两个概率最小的字母分别配以0和1两个码元，并将这两个概率相加作为一个新字母的概率，从而得到只包含q-1个符号的新信源S1。
3、对重排后的缩减信源S1重新以递减次序排序，两个概率最小符号重复步骤(2)的过程。
4、不断继续上述过程，直到最后两个符号配以0和1为止。
5、从最后一级开始，向前返回得到各个信源符号所对应的码元序列，即相应的码字。
四、霍夫曼编码实现程序function [outnum]=lml_huffman(a)%主程序，输入一组概率，输出此组概率的霍夫曼编码%a：一组概率值，如a=[0.2 0.3 0.1 0.4]等%outnum：输出的霍夫曼码，以cell中的字符数组表示if sum(a)~=1warning('输入概率之和不为“1”，但程序仍将继续运行')end[cho,sequ,i,l]=probality(a);global lmlcode %用于输出霍夫曼码，定义为cell型global cellnum %用于编码的累加计算cellnum=1;lmlcode=cell(l,1);j=1; %第一部分add_num=char;[l_add]=addnum(add_num,i,j,l);[output,m]=disgress(sequ,i,j,l,l_add);dealnum(output,m); %在全局变量中输出霍夫曼码j=2; %第二部分[l_add]=addnum(add_num,i,j,l);[output,n]=disgress(sequ,i,j,l,l_add);dealnum(output,n);[outnum]=comset(lmlcode,cho(1,:));%将概率和编码进行关联function [output]=addnum(input,i,j,l)%对概率矩阵中每一行最后两个不为0的数进行编码，即在某个编码后添加0,1或空%输出：% input：输入的某个未完成的编码% (i,j):当前检索目标在sequ矩阵中的位置% l:sequ矩阵的列数%PS: sequ矩阵在此函数中未用到%PS：此函数为编码第一步if j==(l-i)output=[input '0'];else if j==(l-i+1)output=[input '1'];elseoutput=input;endendfunction [ecode]=comset(code,pro)%将概率和编码进行关联%code：已编成的霍夫曼码%pro：输入的一组概率%ecode：最终完成的码l=length(code);ecode=cell(l,2);for i=1:llang(i)=length(code{i});end[a,b]=sort(lang);for i=1:lecode{i,1}=code{b(i)};ecode{i,2}=pro(i);endfunction [final,a]=dealnum(imput,m)%整理并在全局变量中输出已完成的霍夫曼码%输入： imput：程序运算后的生成cell型矩阵% m：标识数%输出： final：整理后的霍夫曼码% a：标识数global lmlcodeglobal cellnumif m==1lmlcode{cellnum}=imput;cellnum=cellnum+1;final='';a='';else if m==2[final1,a1]=dealnum(imput{1,1},imput{1,2});[final2,a2]=dealnum(imput{2,1},imput{2,2});[final3,a3]=dealnum(final1,a1);[final4,a4]=dealnum(final2,a2);final=[final3 final4];a=[a3 a4];elsefinal=imput;a=m;endendfunction [outnum,p]=findsumother(sequ,i,j,l,add_num)%当前检索目标在sequ(i,j)处为非1时的处理程序，即跳转到下一级进行整理%输入： sequ:概率转移矩阵% (i,j):当前检索目标在sequ矩阵中的位置% l:sequ矩阵的列数% add_num：当前进行的编码%输出：（与disgress类同）% outnum：进行霍夫曼编码，用cell型表示% p：标识数j=l-i+2-sequ(i,j);i=i-1;[add_num1]=addnum(add_num,i,j,l);[outnum,p]=disgress(sequ,i,j,l,add_num1);function [outnum1,outnum2,p,q]=findsumis1(sequ,i,j,l,add_num)%当前检索目标在sequ(i,j)处为1时的处理程序，%即对下一级的最小两概率进行求和移位编码整理%输入： sequ:概率转移% (i,j):当前检索目标在sequ矩阵中的位置% l:sequ矩阵的列数% add_num：当前进行的编码%输出：（与disgress类同）% outnum1&[outnum2：进行霍夫曼编码，用cell型表示% p&q：标识数i=i-1;j1=l-i;j2=l-i+1;[add_num1]=addnum(add_num,i,j1,l);[outnum1,p]=disgress(sequ,i,j1,l,add_num1);[add_num2]=addnum(add_num,i,j2,l);[outnum2,q]=disgress(sequ,i,j2,l,add_num2);function [output,m]=disgress(sequ,i,j,l,add_num)%当前检索目标，累加数，输出下一级霍夫曼码及其个数，此函数被调用次数最多%输入：sequ：概率转移矩阵% (i,j)：当前检索目标在sequ矩阵中的位置% l：sequ矩阵的列数% add_num：当前进行的编码%输出：output：进行霍夫曼编码，用cell型表示% m：标识数%PS：此函数为编码第二步if i~=1if sequ(i,j)==1[output1,output2,p,q]=findsumis1(sequ,i,j,l,add_num);output=cell(2);output{1,1}=output1;output{1,2}=p;output{2,1}=output2;output{2,2}=q;m=2;else if sequ(i,j)~=1[output1,p]=findsumother(sequ,i,j,l,add_num);output=output1;m=p;endendelseoutput=add_num;m=1;end五、实验程序实现方法演示若在command window中输入的概率数组为p=[0.1 0.15 0.20 0.25 0.30]使用子函数[output,sequ,i,j]=probality(p)对此组概率进行预处理，处理结果如下图所示：图5.1 概率数据处理过程简图图5.2 对图1中数据的转移方式标示图图2标明了对图1中各数据的位置转移过程。
jpeg的霍夫曼编码
jpeg的霍夫曼编码
霍夫曼编码是一种无损数据压缩算法，其基本原理是利用数据的概率分布来构建最优前缀码，并对数据进行编码。
JPEG图像的霍夫曼编码是图像压缩中的一种常见方法。
在JPEG图像的霍夫曼编码中，首先需要对图像进行分块处理，通常是将图像分成8x8的小块。
然后，对每个小块进行DCT（离散余弦变换）变换，将图像从空间域变换到频率域。
在频率域中，图像的能量主要集中在少数几个系数上，因此可以忽略一些低频系数，从而达到压缩的目的。
在霍夫曼编码中，对每个DCT系数赋予一个二进制码，码字的长度与该系数的概率成反比，即出现概率越高的系数对应的码字越短，而出现概率越低的系数对应的码字越长。
这样，在编码时可以有效地减少数据量，从而达到压缩的目的。
在JPEG图像的霍夫曼编码中，通常会将图像分成多个层次进行编码，每个层次对应不同的压缩比和图像质量。
用户可以根据需要选择不同的层次来获取不同的压缩效果和图像质量。
总的来说，JPEG图像的霍夫曼编码是一种有效的图像压缩方法，能够有效地减少数据量，同时保持较高的图像质量。
霍夫曼编码及其应用
毕业设计（论文）题目：霍夫曼编码及其应用学院：数理学院专业名称：信息与计算科学学号： 0741210246学生姓名：张浩指导教师：韩海清2011 年 4 月 20 日摘要本文首先对二元霍夫曼编码进行了细致研究，并对其算法进行扩展，得到了适用于多元霍夫曼编码的算法。
然后，对霍夫曼编码的前缀性，最优性进行了证明。
最后实现了霍夫曼编码在决策论中应用。
关键词码；熵；霍夫曼编码；决策树ABSTRACTThis paper first studied binary Huffman coding, and conducted a detailed study on its algorithm suitable for expansion, get multiple Huffman coding algorithm. Meanwhile, Huffman coding prefix sex, optimality proved. Finally realized Huffman coding applied in rigorous.KEYWORDSThe Coding； The Entropy； Huffman Coding； Decision tree目录第一章引言 (4)第二章主要概念 (5)2.1香农三大定理 (5)2.1.1香农第一定理(可变长无失真信源编码定理) (5)2.1.2香农第二定理（有噪信道编码定理） (5)2.1.3香农第三定理（保失真度准则下的有失真信源编码定理） (5)2.2霍夫曼编码 (6)第三章二元霍夫曼编码及其算法 (6)第四章一般霍夫曼编码及其算法 (8)第五章霍夫曼编码的性能分析 (12)5.1霍夫曼编码的前缀性 (12)5.2霍夫曼编码的最优性定理 (13)第六章霍夫曼编码的应用 (13)第七章总结与展望 (16)参考文献 (17)附录1 (18)致谢 (30)第一章引言1948年，美国数学家香农（C.E.Shannon）在《贝尔系统电话杂志》发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文。
霍夫曼编码简介
霍夫曼编码简介霍夫曼编码是一种被广泛应用而且非常有效的数据压缩技术，根据待压缩数据的特征，一个可压缩掉20%~90%。
这里考虑的数据指的是字符串序列。
要理解霍夫曼编码，先要理解霍夫曼树，即最优二叉树，是一类带权路径长度最短的树。
霍夫曼（Huffman）编码是1952年为文本文件而建立，是一种统计编码。
属于无损压缩编码。
霍夫曼编码的码长是变化的，对于出现频率高的信息，编码的长度较短；而对于出现频率低的信息，编码长度较长。
这样，处理全部信息的总码长一定小于实际信息的符号长度。
在计算机数据处理中，霍夫曼编码使用变长编码表对源符号（如文件中的一个字母）进行编码，其中变长编码表是通过一种评估来源符号出现机率的方法得到的，出现机率高的字母使用较短的编码，反之出现机率低的则使用较长的编码，这便使编码之后的字符串的平均长度、期望值降低，从而达到无损压缩数据的目的。
路径是指从树中一个结点到另一个结点之间的通路，路径上的分支数目称为路径长度。
树的路径长度是从树根到每一个叶子之间的路径长度之和。
结点的带权路径长度为从该结点到树根之间的路径长度与该结点权的乘积，树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和.霍夫曼树是指所有叶子结点的二叉树中带权路径长度最小的二叉树.当给定了n个叶子结点的权值后，构造出的最优二叉树的结点数目m就确定了，即m=2n-1,所以可用一维结构树组来存储最优二叉树霍夫曼（Huffman）编码属于码词长度可变的编码类，是霍夫曼在1952年提出的一种编码方法，即从下到上的编码方法。
同其他码词长度可变的编码一样，可区别的不同码词的生成是基于不同符号出现的不同概率。
生成霍夫曼编码算法基于一种称为“编码树”（coding tree）的技术。
算法步骤如下：（1）初始化，根据符号概率的大小按由大到小顺序对符号进行排序。
（2）把概率最小的两个符号组成一个新符号（节点），即新符号的概率等于这两个符号概率之和。
霍夫曼编码代码
霍夫曼编码代码简介霍夫曼编码是一种常用的无损数据压缩算法，广泛应用于数据传输和存储中。
它通过构建一棵霍夫曼树，将出现频率较高的字符用较少的二进制位表示，从而达到压缩数据的目的。
本文将详细介绍霍夫曼编码的原理、实现方式以及编写霍夫曼编码的代码示例。
霍夫曼编码原理霍夫曼编码的核心原理是根据字符出现的频率构建一棵霍夫曼树。
树的叶子节点对应字符，叶子节点到根节点的路径上的分支标记为0或1，构成了字符的霍夫曼编码。
编码的规则是，出现频率较高的字符对应的编码较短，而出现频率较低的字符对应的编码较长。
霍夫曼编码的步骤1.统计字符的频率：遍历待压缩的数据，统计每个字符出现的次数。
2.构建霍夫曼树：将字符频率作为权值创建一棵霍夫曼树，其中频率较低的字符位于树的下层。
3.生成霍夫曼编码表：从霍夫曼树的根节点开始，向左走的路径标记为0，向右走的路径标记为1，递归生成每个字符对应的霍夫曼编码。
4.压缩数据：按照生成的编码将原始数据转换成二进制字符串，将字符串转换为字节流保存。
实现霍夫曼编码的关键数据结构在实现霍夫曼编码时，我们需要以下两个关键的数据结构： 1. 霍夫曼树：用于构建霍夫曼编码，其节点包含字符和对应的频率。
2. 霍夫曼编码表：用于存储每个字符对应的编码。
伪代码实现下面是一个简单的伪代码实现霍夫曼编码的例子：# 伪代码实现霍夫曼编码def huffman_encoding(data):# 统计字符频率freq_map = count_frequency(data)# 构建霍夫曼树huffman_tree = build_huffman_tree(freq_map)# 生成霍夫曼编码表huffman_code_table = generate_code_table(huffman_tree)# 压缩数据encoded_data = encode_data(data, huffman_code_table)return encoded_data, huffman_code_table实例演示为了更好理解霍夫曼编码的过程，我们以字符串”hello world”为例进行演示。
霍夫曼编码原理
霍夫曼编码四川大学计算机学院2009级戚辅光【关键字】霍夫曼编码原理霍夫曼译码原理霍夫曼树霍夫曼编码源代码霍夫曼编码分析霍夫曼编码的优化霍夫曼编码的应用【摘要】哈夫曼编码(Huffman Coding)是一种编码方式，哈夫曼编码是可变字长编码(VLC)的一种。
uffman于1952年提出一种编码方法，该方法完全依据字符出现概率来构造异字头的平均长度最短的码字，有时称之为最佳编码，一般就叫作Huffman 编码。
哈夫曼压缩是个无损的压缩算法，一般用来压缩文本和程序文件。
它属于可变代码长度算法一族。
意思是个体符号（例如，文本文件中的字符）用一个特定长度的位序列替代。
因此，在文件中出现频率高的符号，使用短的位序列，而那些很少出现的符号，则用较长的位序列。
【正文】引言哈夫曼编码(Huffman Coding)是一种编码方式，哈夫曼编码是可变字长编码(VLC)的一种。
uffman于1952年提出一种编码方法，该方法完全依据字符出现概率来构造异字头的平均长度最短的码字，有时称之为最佳编码，一般就叫作Huffman编码。
霍夫曼编码原理：霍夫曼编码的基本思想：输入一个待编码的串，首先统计串中各字符出现的次数，称之为频次，假设统计频次的数组为count[]，则霍夫曼编码每次找出count数组中的值最小的两个分别作为左右孩子，建立他们的父节点，循环这个操作2*n-1-n（n是不同的字符数）次，这样就把霍夫曼树建好了。
建树的过程需要注意，首先把count数组里面的n个值初始化为霍夫曼树的n个叶子节点，他们的孩子节点的标号初始化为-1，父节点初始化为他本身的标号。
接下来是编码，每次从霍夫曼树的叶子节点出发，依次向上找，假设当前的节点标号是i，那么他的父节点必然是myHuffmantree[i].parent，如果i是myHuffmantree[i].parent 的左节点，则该节点的路径为0，如果是右节点，则该节点的路径为1。
霍夫曼编码表 jpeg
霍夫曼编码表 jpeg霍夫曼编码（Huffman coding）是一种用于数据压缩的算法，它通过根据字符出现的频率分配不同长度的二进制编码来减少数据的存储空间。
JPEG（Joint Photographic Experts Group）是一种常用的图像压缩标准，其中也使用了霍夫曼编码。
JPEG压缩过程中的霍夫曼编码主要应用于DC系数和AC系数的编码。
DC系数是每个8x8像素块的直流分量，而AC系数是其余的交流分量。
首先，JPEG通过对图像进行DCT（离散余弦变换）将图像转换为频域数据。
DCT将图像从空间域转换为频域，使得图像的能量集中在较低频率的分量上，这使得图像可以更有效地被压缩。
DCT变换后的频域数据包含DC系数和AC系数。
DC系数表示图像的亮度信息，它代表了每个8x8像素块的平均亮度值。
由于相邻的像素值通常相似，DC系数的变化幅度较小。
因此，JPEG使用霍夫曼编码对DC系数进行压缩。
在这个过程中，DC系数被差分编码，即每个块的DC系数被与其前一个块的DC系数之差进行编码。
这样，由于差异较小，编码后的长序列中将有很多重复的值，使得压缩率更高。
然后，差分编码后的DC系数通过霍夫曼编码进行进一步的压缩，使用前缀编码的方式将频率较高的DC系数用较短的编码表示，频率较低的DC系数用较长的编码表示。
AC系数表示图像的细节信息，它代表了每个8x8像素块中除了直流分量外的交流分量。
AC系数相对于DC系数更多且变化范围较大，因此使用霍夫曼编码对其进行压缩是非常合适的。
AC系数首先通过零值处理将连续的零元素编码为(0, 0)零域对，然后对非零AC系数进行霍夫曼编码。
霍夫曼编码表中预先设定了一组编码字典，其中包含了每个AC系数的频率以及对应的霍夫曼编码。
由于AC系数的频率分布不均匀，因此使用了可变长度编码（VLC）的方式，频率较高的AC系数用较短的编码表示，频率较低的AC系数用较长的编码表示。
在JPEG压缩标准中，定义了两个常见的霍夫曼编码表：亮度（Y）和色度（CbCr）编码表。
霍夫曼编码
进行压缩编码时，只要将码值用码字代替即可。 进行压缩编码时，只要将码值用码字代替即可。所 以源符a1 a1 a2 a2 a3 a3 a3 a4 a4 a4 a4 以源符 a5 a5 a5 a6 a6 a6 a7 a7 a8编码为： 编码为： 编码为 010010011011101101101000000001 1011011010000100001001。 。 平均码长 B=0.1*3+0.1*3+0.15*3+0.2*2+0.15* 3+0.15*3+0.1*4+0.05*4＝2.95(b) 熵H＝ 2.9087 编码效率N=H/B=2.9087/2.95=98.6%
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（二）霍夫曼树的构建
霍夫曼编码实际上构造了一个码树， 霍夫曼编码实际上构造了一个码树，码树从最上层的端点开始 构造，直到树根结束。这里举个例子说明如何生成霍夫曼树。 构造，直到树根结束。这里举个例子说明如何生成霍夫曼树。假 设对由a 设对由a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8八个信源符号组成的 源信息字符串: 源信息字符串:“a1 a1 a2 a2 a3 a3 a3 a4 a4 a4 a4 a5 a5 a5 a6 a6 a6 a7 a7 a8”进行霍夫曼编码。首先应对信息中各数字 进行霍夫曼编码。 出现的次数进行统计如下 如下： 出现的次数进行统计如下：
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霍夫曼编码Huffman 霍夫曼编码Huffman Coding
长春理工大学 080212418 高延邦
目录
一、什么是编码 二、霍夫曼编码简介 三、霍夫曼编码的熵 四、霍夫曼编码
霍夫曼编码表 jpeg
霍夫曼编码表 jpeg霍夫曼编码表是一种用于数据压缩的技术，而JPEG是一种常用的图像压缩标准。
在JPEG压缩中，霍夫曼编码被用于压缩图像的亮度和色度数据。
JPEG图像压缩包含两个主要步骤，离散余弦变换（DCT）和量化。
在DCT阶段，图像被分成小的8x8像素块，并将每个块转换成频域的系数。
然后，这些系数通过量化过程进行降低精度，以减少数据量。
最后，通过霍夫曼编码对量化后的系数进行编码，以进一步压缩数据。
霍夫曼编码是一种变长编码，其基本思想是将出现频率高的符号用较短的编码表示，而出现频率低的符号用较长的编码表示。
这样可以有效地减少编码后的数据长度。
在JPEG中，霍夫曼编码被用于对DCT系数进行编码。
JPEG使用了两个霍夫曼编码表，亮度（Y）和色度（Cb和Cr）。
这两个编码表都是由统计分析得出的，以确保常见的系数可以用较短的编码表示。
编码表中的每个元素都包含一个符号和对应的霍夫曼编码。
亮度编码表通常较小，因为亮度对图像质量的影响更大。
而色度编码表则较大，因为色度对图像质量的影响相对较小。
编码表的具体内容是根据JPEG标准定义的，不同的JPEG实现可能会有不同的编码表。
一般来说，JPEG编码表是通过对大量图像进行统计分析得出的，以提供最佳的压缩效果。
总结来说，JPEG图像压缩使用了霍夫曼编码来对DCT系数进行压缩。
JPEG标准定义了亮度和色度的霍夫曼编码表，以确保常见的系数可以用较短的编码表示，从而实现更高效的数据压缩。
这些编码表是根据统计分析得出的，并在不同的JPEG实现中可能会有所差异。
信源编码--------霍夫曼编码
实验二 信源编码--------霍夫曼编码1. 掌握信息熵的定义、性质和计算；2. 掌握平均码字长度和编码效率的计算；3． 掌握霍夫曼编码的原理；4． 熟练掌握二进制霍夫曼码的编码步骤；5． 正确使用C 语言实现霍夫曼编码。
二、实验内容1. 熟练画出霍夫曼编码图，正确求出字符串的二进制霍夫曼编码；2. 用C 语言正确编程，实现霍夫曼编码、解码，并在Visual C++环境中验证。
三、 实验原理1. 霍夫曼编码的基本原理按照概率大小顺序排列信源符号，并设法按逆顺序分配码字字长，使编码的码字为可辨识的。
2. 平均码长：L=∑p(s i )*l i （单位为：码符号/信源符号）其中，p(s i )为信源s i 在q 个信源中出现的概率，l i 为信源s i 的二进制霍夫曼编码。
3. 信息熵：H(S)=- ∑p(s i ) *log 2 p(s i ) （单位为：比特/信源符号）其中，p(s i )为信源s i 在q 个信源中出现的概率。
4. 编码效率：η= H(S)/ L其中，H(S)为信息熵，L 为平均码长。
四、 实验步骤：1. 将q 个信源符号按概率分布的大小，以递减次序排列起来，设)()()(21q x p x p x p ≥≥≥2. 用“0”和“1”码符号分别代表概率最小的两个信源符号，并将这两个概率最小的符号合并成一个符号，合并的符号概率为两个符号概率之和，从而得到只包含q-1个符号的新信源，称为缩减信源。
3. 把缩减信源的符号仍旧按概率大小以递减次序排列，再将其概率最小的两个信源符号分别用“0”和“1”表示，并将其合并成一个符号，概率为两符号概率之和，这样又形成了 q – 2 个符号的缩减信源。
4. 依此继续下去，直至信源只剩下两个符号为止。
将这最后两个信源符号分别用“0”和“1”表示。
5. 然后从最后一级缩减信源开始，向前返回，就得出各信源符号所对应的码符号序列，即对应的码字。
/****************** 霍夫曼编码 **********************///2010-3-31：注释//程序共有8处需要补充#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>#define n 100#define m 2*n-1// 码结点的存储结构typedef struct{char ch;char bits[9];int len;}CodeNode;typedef CodeNode HuffmanCode[n+1];// 树结点的存储结构typedef struct{int weight;int lchild,rchild,parent;}HTNode;typedef HTNode HuffmanTree[m+1];int num;// 挑选权值最小的两个结点void select(HuffmanTree HT, int k, int &s1, int &s2){int i,j;int minl=32767;for(i=1;i<=k;i++)if(HT[i].weight<minl&&HT[i].parent==0){j=i;minl=HT[i].weight;}s1=j;minl=32767;for(i=1;i<=k;i++)if(HT[i].weight<minl&&HT[i].parent==0&&i!=s1){j=i;minl=HT[i].weight;}s2=j;}// 统计输入字符串st中出现的字符种类和各个字符在该字符串中出现的次数，// 出现的字符存放在str数组中，各个字符在该字符串中出现的次数存放在// cnt数组中，返回字符串st中字符种类数。
霍夫曼编码
仙农-范诺编码仙农-范诺编码算法需要用到下面两个大体概念：1. Entropy(熵)的概念(1) 熵是信息量的气宇方式，它表示某一事件出现的消息越多，事件发生的可能性就越小，数学上就是概率越小。
(2) 某个事件的信息量用I i=-log2p i表示，其中p i为第个事件的概率，0 < p i 12. 信源S的熵的概念依照仙农(Shannon)的理论，信源S的熵概念为:其中p i是符号s i在S中出现的概率；log2(1/p i)表示包括在s i中的信息量，也就是编码s i所需要的位数。
例如，一幅用256级灰度表示的图像，若是每一个像素点灰度的概率均为p i=1/256，编码每一个像素点就需要8位。
[例]有一幅40个像素组成的灰度图像，灰度共有5级，别离用符号A、B、C、D和E表示，40个像素中出现灰度A的象素数有15个，出现灰度B的象素数有7个，出现灰度C的象素数有7个等等，如表4-01所示。
若是用3个位表示5个品级的灰度值，也就是每一个像素用3位表示，编码这幅图像总共需要120位。
符号在图像中出现的数量E5依照仙农理论，这幅图像的熵为H(S)=(15/40)×log2(40/15) + (7/40)×log2(40/7) +…+ (5/40) ×log2(40/5)=这就是说每一个符号用位表示，40个像素需用位。
最先论述和实现这种编码的是Shannon(1948年)和Fano(1949年)，因此被称为仙农-范诺(Shannon- Fano)算法。
这种方式采用从上到下的方式进行编码。
首先依照符号出现的频度或概率排序，例如，A，B，C，D和E，如下表所示。
然后利用递归方式分成两个部份，每一部份具有近似相同的次数，如图所示。
依照这种方式进行编码取得的总位数为91，实际的紧缩比约为(120/91≈: 1。
Shannon-Fano算法举例表符号出现的次数(p i)log2(1/p i)分配的代码需要的位数A15 0030B7 0114C7 1014D 6 11018E 5 11115仙农-范诺算法编码举例赫夫曼编码赫夫曼(Huffman)在1952年提出了另一种编码方式，即从下到上的编码方式。
信息论讲义-第五章(13讲)
信息理论基础第13讲北京航空航天大学201教研室陈杰21.编码器—信源符号集S =(s 1,s 2, …s q )—码符号集X =(x 1,x 2…x r )—代码组(Source Code ) C =(W 1, W 2,…W q )—码字(Codeword ) W i =(x l1,x l2,…x li )2. 分组码—奇异性(Non-singular )—唯一可译性(Uniquely decodable )—即时码(Instantaneous )All codesNon-singular codesUniquely decodable codesInstantaneous codesFigure 5.1. Classes of codes343. 定长编码3.1 唯一可译定长码编码速率编码效率log log L ql N r=≥log 1log q r +>log log L r R qN=≥()()log H S H S R qη=≤例:英文字符数q =27,且log 2q=4.754 bit 信源熵H (S )=4.03 bit ,取编码速率R=log 2q 则编码效率η=85%53. 定长编码3.2 定长码编码定理(1)正定理：(2)逆定理：log ()L rR H S Nε=≥+2[()]i E D I s p N ε≤log ()2L rR H S Nε=≤−12N E p ε−≥−0E p →1E p →63. 定长编码3.2 定长码编码定理根据正定理，令p E <δlog ()L rR H S Nε=≥+2[()]i E D I s p N δε≤<2[()]i D I s N εδ≥()H S Rη=()()H s H s ε≤+[]222()()(1)i D I s N H S ηηδ≥⋅−1()H s ηεη−=75.4 变长码•引入1. 变长码无需很长的码长就能实现高效率的无失真信源编码2.变长码必须是唯一可译码，才能实现无失真编码3.变长码是唯一可译码的充要条件：(1)非奇异码(2)任意有限次扩展码是非奇异码4. 变长码必须即时码85.4.1码的分类和主要编码方法信源编码方法：⑴匹配编码：概率大的信源符号，代码长度短；反之，代码长度长⑵变换编码：从一种空间变换成另一种空间，然后进行编码⑶识别编码：对有标准形状的文字、符号和数据进行编码9定理：设信源符号集为S=(s 1,s 2, …，s q,)，码符号集为X=(x 1,x 2, …x r )，对信源进行编码，代码组C=(W 1,W 2, …W q )，相应码长分别l 1,l 2,…l q ，即时码存在（唯一可译码存在）的充要条件为：11≤∑=−qi l ir10释：(1)克拉夫特(Kraft)不等式为即时码存在充要条件(2)麦克米伦(McMilan )不等式为唯一可译码存在充要条件(3)该定理不能作为判别一种码是否为即时码（唯一可译码）的判据(4)当码字长度和码符号满足该不等式时，必可构造出即时码（唯一可译码）115.4.3 唯一可译码判别准则•唯一可译码：如果一个分组码对于任意有限的整数N ，其N 次扩展码均为非奇异码，则为唯一可译码•唯一可译码的充要条件：（见书上128页）121.码平均长度离散无记忆信源为编码后的码子码字的长度因为是唯一可译码，s i 和W i 一一对应则码字平均长度为[]1212()()()q q s s s S P p s p s p s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦""12,,,qW W W "ql l l ,,,21"()()i i p s p W =11()()q qi i i ii i L p W l p s l ====∑∑13释：(1)是每个信源符号编码需要的平均码符号个数；(2) 编码后，每个信源符号s i 平均用个码符号来表示，平均每个码符号携带的信息量是信道的信息传输率(3) 若传输一个码符号需要t 秒，则每秒传输率为故L L L s H X H R )()(==Ls H R t R t )(1==bit/码符号bit/秒L R t 信息传输率高2.紧致码定义：对于某一个信源和某一码符号集，若有一L个唯一可译码，其平均码长度小于所有其它唯一可译码的平均码长度，则称该码为紧致码（也称最佳码）•释：无失真信源编码核心问题是寻找紧致码14153.定理：（平均码长下界）设离散无记忆信源的信源熵为H (S )，用码符号集进行编码，则存在一种编码方式构成唯一可译码，平均码长满足[]1212()()()q q s s s SP p s p s p s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦""},,,{21q x x x X "=L rS H L r S H log )(1log )(+<≤16释：(1) 的极限值为，即下界；小于下界，则唯一可译码不存在(2) 当选择时，才能达到下界(3) 紧致码平均码长不一定达到下界(4) 达到下界的唯一可译码是紧致码(5) 紧致码最短码长L ()log H S r Llog ()log i i p s l r=−rS H L log )(=174 变长无失真信源编码定理（香农第一定理）定理：设离散无记忆信源其信源熵为H (S )，它的N 次扩展信源为[]1212()()()q q s s s SP p s p s p s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦""1212()()()N N qN q S P p p p αααααα⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦""18扩展信源熵为H (S N )，码符号集X =(x 1,x 2, …x r )，用X 对S N 编码，则总可以找到一种编码方法，构成唯一可译码，使信源S 中的每个信源符号所需要的码字平均长度满足或rS H N L N r S H N log )(1log )(≥>+)(1)(S H NL N S H r N r ≥>+19当时，则其中，是扩展信源中每个信源符号对应的平均码长式中，是对应的码字长度∞→N )(lim S H N L r N N =∞→rS H N L N N log )(lim =∞→N L i α1()Nq N i ii L p αλ==∑i λi α20释：对于平稳遍历的离散有记忆信源（如马尔可夫信源），有其中，为有记忆信源的极限熵N L N L 原始信源平均码长N次扩展信源编码后每原始信源符号的平均码长≥rH N L N N log lim ∞∞→=∞H5.4.4变长信源编码定理5.编码速率、编码效率、剩余度(1) 编码速率：变长编码的编码速率为 LN R= log r N (2) 编码效率：编码效率定义为H ( S ) NH r ( S ) NH ( S ) = = η= R LN LN log r(3) 剩余度：定长码的剩余度为NH r ( S ) γ = 1 −η = 1 − LN21例题 例5.2 设离散无记忆信源Ss2 ⎤ ⎡S ⎤ ⎡ s1 ⎢ P( S ) ⎥ = ⎢0.75 0.25⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 对信源S及其扩展信源进行二元变长编码， 求当信源扩展次数N＝2,3,4时的平均码长和 编码效率。
霍夫曼比例名词解释(一)
霍夫曼比例名词解释(一)霍夫曼编码•定义：霍夫曼编码是一种变长编码的压缩算法，通过给出具有不同权重的字符一组编码，使得出现频率高的字符对应的编码比出现频率低的字符的编码更短，从而实现有效的数据压缩。
•示例：假设有一段文本包含以下字符：A, B, C, D, E, F，对应的出现频率分别为：20%, 10%, 10%, 15%, 25%,20%。
首先，对出现频率低的字符分配较长的编码，对出现频率高的字符分配较短的编码，按如下表格编码：字符出现频率编码A 20% 01B 10% 001C 10% 000D 15% 1E 25% 1F 20% 00这样，通过霍夫曼编码，我们可以用较少的比特来表示原始文本。
霍夫曼树•定义：霍夫曼树是由字符的出现频率构建的一种特殊类型的二叉树。
霍夫曼编码算法通过构建霍夫曼树来实现字符编码。
•示例：以前述示例中的字符及其出现频率为例，我们可以通过以下步骤构建霍夫曼树：1.将每个字符及其出现频率作为叶子节点。
2.从叶子节点中选择两个频率最低的节点作为新的子树，并将子树根节点的频率设为两个子节点的频率之和。
3.将新的子树插入到原有的叶子节点中，并删去用来构建子树的节点。
4.重复步骤2和3，直到只剩下一个节点，即霍夫曼树的根节点。
构建完成后，霍夫曼树的路径上的0和1分别表示字符的编码。
霍夫曼比例•定义：霍夫曼比例是指使用霍夫曼编码后的比特长度与采用定长编码（如ASCII编码）表示相同信息的比特长度的比值。
•示例：继续以前述示例为例，假设原始文本有100个字符，每个字符使用8个比特的ASCII编码表示，总共使用800个比特。
而用霍夫曼编码后，各字符的编码长度如下表所示：字符出现频率编码长度编码A 20% 2 01B 10% 3 001C 10% 3 000D 15% 1 1E 25% 1 1F 20% 2 00根据编码长度和出现频率，计算霍夫曼比例：(20% * 2 + 10% * 3 + 10% * 3 + 15% * 1 + 25% * 1 + 20% * 2) / 8 =即霍夫曼比例为。
霍夫曼编码的举例
霍夫曼编码的举例
假设有一个字母表，包含五个字母A、B、C、D和E，以及它们对应的频率如下：
A：0.4
B：0.15
C：0.1
D：0.2
E：0.15
接下来，根据这些频率，我们可以使用霍夫曼编码对这些字母进行编码。
首先，我们需要构建一棵霍夫曼树。
我们先将频率最低的两个字母C和E合并，得到一个新节点CE。
新节点CE的频率为0.1 + 0.15 = 0.25。
然后，我们再将频率最低的两个字母B和D 合并，得到一个新节点BD。
新节点BD的频率为0.15 + 0.2 = 0.35。
接着，我们将新节点CE和A合并，得到根节点。
根节点的频率为0.25 + 0.4 = 0.65。
最后，将新节点BD和根节点合并，得到树的根节点。
霍夫曼树如下所示：
Root
/ \
0.65 BD
/ \
0.35 CE
/ \
0.1 0.15
接下来，我们从根节点开始，依次向左走为0，向右走为1，为每个字母进行编码：
A：向左走一步为0，得到编码为0
B：向右走一步再向左走一步为10，得到编码为10
C：向右走一步再向右走一步为11，得到编码为11
D：向右走一步再向左走一步为101，得到编码为101
E：向右走一步再向右走一步为100，得到编码为100
因此，根据霍夫曼编码，字母A的编码为0，字母B的编码为10，字母C的编码为11，字母D的编码为101，字母E的编码为100。
三进制霍夫曼编码
题目：将霍夫曼编码推广至三进制编码，并证明它能产生最优编码。
※将霍夫曼编码推广至三进制编码设一个数据文件包含Q个字符：A1，A2，……，Aq，每个字符出现的频度对应为P：P1，P2，……，Pq。
1.将字符按频度从大到小顺序排列，记此时的排列为排列1。
2.用一个新的符号(设为S1)代替排列1中频度值最小的Q-2k(k为(Q-1)/2取整)个字符，并记其频度值为排列1中最小的Q-2k个频度值相加，再重新按频度从大到小顺序排列字符，记为排列2。
(注：若Q-2k=0，则取其值为2，若Q-2k=1，则取其值为3.)3.对排列2重复上述步骤2，直至最后剩下3个概率值。
4.从最后一个排列开始编码，根据3个概率大小，分别赋予与3个字符对应的值：0、1、2，如此得到最后一个排列3个频度的一位编码。
5.此时的3个频度中有一个频度是由前一个排列的3个相加而来，这3个频度就取它的一位编码后面再延长一位编码，得到二位编码，其它不变。
6.如此一直往前，直到排列1所有的频度值都被编码为止。
举例说明如下（假设Q=9）：频度中的黑体为前一频度列表中斜体频度相加而得。
编码后字符A1~A9的码字依次为：2,00,02,10,11,12,010,011,012。
构造三进制霍夫曼编码伪码程序如下：HUFFMAN(C)1 n ←∣C ∣2 Q ← C3for i ←1 to n-14 do allocate a new node s5 left[s] ←x ←EXTRACT-MIN(Q)7 right[s] ←z ←EXTRACT-MIN(Q)8 f[s] ←f[x]+f[y]+f[z]9 INSERT(Q，z)10 return EXTRACT-MIN(Q)※霍夫曼编码（三进制）最优性证明在二进制霍夫曼编码中，文件的最优编码由一棵满二叉树表示，树中每个非叶子结点都有两个子结点。
在此与之相对应，构造一棵满三叉树来表示三进制的霍夫曼编码，树中每个非叶子结点都有三个子结点。
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附录二 表1. 传真用的修正霍夫曼编码表 构造码6411011 0000001111 960 011010100 0000001110011 128 10010 000011001000 1024 011010101 0000001110100 192 010111 000011001001 1088 011010110 0000001110101 256 0110111 000001011011 1152 011010111 0000001110110 320 00110110 000000110011 1216 011011000 0000001110111 384 00110111 000000110100 1280 011011001 0000001010010 448 01100100 000000110101 1344 011011010 0000001010011 512 01100101 0000001101100 1448 011011011 0000001010100 576 01101000 0000001101101 1472 010011000 0000001010101 640 01100111 0000001001010 1536 010011001 0000001011010 704 011001100 0000001001011 1600 010011010 0000001011011 768 011001101 0000001001100 1664 011000 0000001100100 832 011010010 0000001001101 1728 010011011 0000001100101 8960110100110000001110010EOL000000000001000000000001结尾码 游程长度 白游程编码 黑游程编码游程长度白游程编码 黑游程编码 0 00110101 0000110111 32 000111011 000001101010 1 000111 010 33 00010010 000001101011 2 0111 11 34 00010011 000011010010 3 1000 10 35 00010100 000011010011 4 1011 011 36 00010101 000011010100 5 1100 0011 37 00010110 000011010101 6 1110 0010 38 00010111 000011010110 7 1111 00011 39 00101000 000011010111 8 10011 000101 40 00101001 000001101100 9 10100 000100 41 00101010 000001101101 10 00111 0000100 42 00101011 000011011010 11 01000 0000101 43 00101100 000011011011 12 001000 0000111 44 00101101 000001010100 13 000011 00000100 45 00000100 000001010101 14 110100 00000111 46 00000101 000001010110 15 110101 000011000 47 00001010 000001010111 16 101010 0000010111 48 00001011 000001100100 17 101011 0000011000 49 01010010 000001100101 18 0100111 0000001000 50 01010011 000001010010 19 0001100 00001100111 51 01010100 000001010011 20 0001000 00001101000 52 01010101 000000100100 21 0010111 00001101100 53 00100100 000000110111 22 0000011 00000110111 54 00100101 000000111000 23 0000100 00000101000 55 01011000 000000100111 24 0101000 00000010111 56 01011001 000000101000 25 0101011 00000011000 57 01011010 000001011000 26 0010011 000011001010 58 01011011 000001011001 27 0100100 000011001011 59 01001010 000000101011 28 0011000 000011001100 60 01001011 000000101100 29 00000010 000011001101 61 00110010 000001011010 30 00000011 000001101000 6200110011 000001100110 31 00011010 000001101001 63 00110100 000001100111205游程/尺寸 码长 码字 游程/尺寸码长码字游程/尺寸 码长 码字0/0(EOB)410105/4161111111110011111A/81611111111111001101 0/12005/5161111111110100000A/91611111111111001110 0/22015/6161111111110100001A/A1611111111111001111 0/331005/7161111111110100010B/11011111110010/4410115/8161111111110100011B/2161111111111010000 0/55110105/9161111111110100100B/3161111111111010001 0/6711110005/A161111111110100101B/4161111111111010010 0/78111110006/171111011B/5161111111111010011 0/81011111101106/212111*********B/6161111111111010100 0/91611111111100000106/3161111111110100110B/7161111111111010101 0/A1611111111100000116/4161111111110100111B/8161111111111010110 1/1411006/5161111111110101000B/9161111111111010111 1/25110116/6161111111110101001B/A161111111111011000 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313H 21 345G8阶1 435E 3 567B 5 763D 7 551E 9 675C 11 747H 13 453F 15 727D 17 023 19 545E 21 613D 23 543F 25 433B 27 477B 37 537F43703H 45 471A 51037 85 007 9阶1 1021E 3 1131E 5 G 7 1231A 9 1423G 11 1055E 13 1167 15 1541E 17 1333F 19 1605G 21 1027A 23 1751E 25 1743H 27 1617H 29 1553H 35 1401C 37 1157F 39 1715E 41 1563H 43 1713H 45 1175E 51 1725G 53 1225E 55 1275E 73 0013 75 1773G 77 1511C831425G 85 1267E10阶1 2011E 3 2017B 5 2415E 7 3771G 9 2257B 11 2065A 13 2157F 15 2653B 17 3515G 19 2773F 21 3753D 23 2033F 25 2443F 27 3573D 29 2461E 31 3043D 33 0075C 35 3023H 37 3543F 39 2107B 41 2745E 43 2431E 45 3061C 47 3177H 49 3525G 51 2547B 53 2617F 55 3453D 57 3121C 59 3471G 69 2701A 71 3323H 73 3507H 75 2437B 77 2413B 83 3623H 85 2707E 87 2311A 89 2327F 91 3265G 93 3777D 99 0067 101 2055E 103 3575G 105 3607C 107 3171G 109 2047F 1472355A 149 3025G 1552251A 16500511713315C1733337H1793211G3410007注：多项式各项的系数以八进制数的形式给出，变为二进制数就是多项式各项的系数。