第2章-平面体系的机动分析(李廉锟-结构力学-中南大学)
结构力学第二章几何组成分析.李廉锟
geometrically stable system
结构
Under the action of any loads, the system still maintain its shape and remains its location if the deformations of the members are neglected.
F
E
2 rigid bodies, connected by 3 links, which are nonparallel and nonconcurrent cross the hinge, form an internally stable system with no redundant restraints. 。
Degrees of freedom of a system are the numbers of independent movements or coordinates which are required to locate the system fully.
for a point in plane n=2
C
structure formed by Attaching of binary systems 减二元体简化分析
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
计算自由度 = 体系真实 的自由度 ？
W=2 ×6-12=0 W=3 ×9-(2×12+3)=0
缺少联系 几何可变
W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1
summary
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变 Restraints are not enough, unstable。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少 联系数目has the minimum necessary numbers of restraints for stable system。
结构力学答案 李廉锟
第二章 作业参考答案习题2-3(b )(a )FAK解：先计算计算自由度：3(2)321(2303)0W m h r =−+=×−×+= 或者2()212(213)0W j b r =−+=×−+=这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
此体系的支座链杆只有三根，且不完全平行也不交于一点，若体系为一刚片，则他与地基是按两刚片规则组成的，因此只需分析体系本身是不是一个几何不变的刚片即可。
去掉M 和C 两个二元体。
在b 图中，KFL 刚片、ABF 刚片和GEJ 刚片通过不共线的三个铰（Ⅰ，Ⅱ）、（Ⅱ，Ⅲ）和（Ⅰ，Ⅲ）两两连接，由三刚片规则可知，体系为几何不变体系，且无多余联系。
习题2-5解：先计算计算自由度：3(2)34(244)W m h r =−+=×−×+=0这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
大地作为刚片Ⅰ，ACE 和BDF 分别作为刚片Ⅱ和Ⅲ，此三刚片用不共线的三个铰（Ⅰ，Ⅱ）（或者A ）、（Ⅱ，Ⅲ）和（Ⅰ，Ⅲ）（或者B ）两两连接，如上图，由三刚片规则可知，体系为几何不变体系，且无多余联系。
KNMFJA解：先计算计算自由度3(2)328(2200)4W m h r =−+=×−×+=>3 或者2()216(280)43W j b r =−+=×−+=>这表明体系具有几何可变的（常变）。
注：如果分不清是常变还是瞬变，可以直接写可变也行。
习题2-9解：先计算计算自由度：3(2)311(2153)W m h r =−+=×−×+=0 或者2()27(113)0W j b r =−+=×−+=这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
此体系的支座链杆只有三根，且不完全平行也不交于一点，若体系为一刚片，则他与地基是按两刚片规则组成的，因此只需分析体系本身是不是一个几何不变的刚片即可。
李廉锟第四版《结构力学》第2章平面体系的机动分析习题+参考答案
《结构力学》李廉锟第四版第二章平面体系的机动分析习题2-1～2-17试对图示平面体系进行机动分析题2-1题2-2题2-3题2-4题2-5题2-6题2-7题2-8题2-9（a、b处非结点）题2-10（k处非结点）题2-11题2-12题2-13题2-14题2-15（k处非结点）题2-16题2-172-18、2-19添加最少数目的链杆和支承链杆，使体系成为几何不变，而且无多余约束。
题2-18题2-19《结构力学》李廉锟第四版第二章平面体系的机动分析参考答案题2-1说明：自上往下依次拆除二元体，或者自下往上依次添加二元体，故体系为有一个多余约束的几何不变体系（多余约束：中间的横杆或者也可以看成支座上多了一根水平杆）。
题2-2说明：如图所示取刚片1和刚片2，采用二刚片规则（两刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联），为几何不变体系，而且没有多余联系。
刚片1由二元体组成，刚片2从大地向上组装二元体组成。
题2-3说明：先不考虑支座的三根链杆，考虑上部几何构造，去掉二元体简化分析，取如上图所示刚片1、刚片2和刚片3。
刚片1和刚片2通过一个实铰联结；刚片1和刚片3通过两根平行链杆联结，交于无穷远处；刚片2和刚片3通过两根平行链杆联结，交于无穷远处；三铰不共线，故上部无多余约束且几何不变。
最后上部与大地通过一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，故整个体系为无多余约束的几何不变体系。
题2-4说明：如上图所示取刚片1、刚片2和刚片3，刚片1和刚片2交于铰12O ，刚片1和刚片3交于铰13O ，刚片2和刚片3交于铰23O ，三铰不共线，故原体系为无多余约束的几何不变体系。
题2-5说明：将大地等效成一根链杆，取如图所示刚片1和刚片2，显然两刚片通过三根链杆相联，且三根链杆既不相互平行也不相交于一点，故原体系为无多余约束的几何不变体系。
题2-6说明：先拆除二元体以简化分析，可知右部分为常变部分；左部分为有一个多余约束的几何不变体系，故体系为几何常变体系。
《结构力学》平面体系的机动分析
第2章 平面体系的机动分析
主要内容
§2-1 几何构造分析的几个概念 §2-2 几何不变体系的组成规律 §2-3 几何构造分析方法 §2-4 瞬变体系 §2-5 分析几何构造举例
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
变形的，因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆
甚至体系中已被确定为几何 Y
不变的部分看作是一个刚片。
x
刚片在平面内的 自由度为：3
A
y X
§2-1 几何构造分析的几个概念
3）约束
结构是由各种构件通过某些装置组合成不变体系
的，它的自由度应该等于或小于零。那种能减少刚片
自由度的装置就称为约束。
约束装置的类型有：
（1）链杆
还有2个自由度
还有5个自由度
链杆可减少一个 自由度，相当于 一个约束。
§2-1 几何构造分析的几个概念
（2）单铰
还有4个自由度
（3）复铰
还有1个自由度
一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
复铰——连接两个以上刚片的铰。
还有5个自由度
连接n个刚片的复铰， 相当于n-1个单铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1
地基作为刚片2
例2：
二元体
1
2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
第2章体系的几何组成分析李廉锟第4版
§2-5 机动分析示例
例2-2 试对图（a）所示体系进行机动分析。
解：体系的支座链杆有三根， 只需分析体系本身即可。 如图（b）。
从左右两边按结点1，2，3… 的顺序拆去二元体，当拆到结 点6时，两链杆在一条直线上。
体系为瞬变体系。
§2-5 机动分析示例
例2-3 试分析图所示桁架的几何构造。 解：ADCF和BECG都是几何 不变的部分，可作为刚片， 地基作为一个刚片。
B
用满足要求三个约
C
G
束相联可去掉基础， 只分析上部。
B
E
抛开基础，只分析上部， 上部体系由左右两刚片用一铰和一链杆相连。 故：该体系为无多余约束 的几何不变体系。
例5、
抛开基础，分析上部，去掉二元
如图体示后，三剩刚下片两用个三刚个片不用共两线根的杆相 铰相连连故，：故该：体该系体为系有为一无个多自余由约度的 束的几何几不何变可体变系体系.
几何不变体系， 且无多余联系(三刚片规则) 刚片I和II用铰C相连， 刚片I和III相当于用虚铰O相连， 刚片II和III相当于用虚铰O’相连，
§2-5 机动分析示例
例2-4 试对图（a）所示体系进行机动分析。
解：地基作为刚片III， 三角形ABD和BCE作为 刚片I、II（图b）。
刚片I和II用铰B相连， 刚片I和III用铰A相连， 刚片II和III？
四 一点一刚片 两个
两链杆不共线
一种
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。
G
依次去掉二元体AB
CDEFG后剩下大地，
F
E
故该体系为几何不变
A 体系且无多余约束。
DC
B
李廉锟《结构力学》(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(平面体系的机动分析)
第2章 平面体系的机动分析2.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、体系1．几何不变体系几何不变体系是指在任意载荷作用时，若不考虑材料的变形，则其几何形状与位置均能 几何不变体系 平面体系的概述 常变体系几何可变体系 瞬变体系自由度 自由度定义自由度个数平面体系的计算自由度 联系的定义联系 联系的分类：链杆、单铰、复铰多余联系 一般体系 计算自由度 计算自由度的公式 铰结链杆体系 自由度与体系是否几何不变的关系 三刚片规则 几何不变体系的基本组成规则 二元体规则两刚片规则 瞬变体系 瞬变体系的定义 三刚片规则中，三个铰在同一直线上的体系 瞬变体系 几种常见的瞬变体系 二元体的两杆共线的体系两刚片规则中，三根链杆交于同一点，且互不平行两刚片规则中，三根链杆全平行无穷远点的性质三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况 一铰无穷远两铰无穷远三铰无穷远几何构造与静定性的关系 静定体系：体系几何不变且无多余联系超静定体系：体系几何不变，而且有多余联系 平面体系的机动分析保持不变的体系。
2．几何可变体系（1）定义几何可变体系是指在很小的荷载作用下，即使不考虑材料的变形，会发生机械运动而不能保持原有的几何形状或位置的体系。
（2）分类①常变体系；②瞬变体系。
二、平面体系的计算自由度1．自由度（1）自由度定义自由度是指体系运动时所具有的独立运动方式数目，也就是体系运动时可以独立变化的几何参数数目，或者说确定体系位置所需的独立坐标数目。
（2）自由度个数①平面内的一个点的自由度为2；②平面内的一个刚体的自由度为3；③机械中常用的机构是沿特定的一种轨迹运动，具有一个自由度；④几何不变体系不能发生任何运动，其自由度应等于零；⑤凡自由度大于零的体系都是几何可变体系。
2．联系（1）联系的定义联系是指限制运动的装置，也称为约束。
一个联系是指能减少一个自由度的装置。
（2）联系的分类①链杆一根链杆为一个联系。
②铰a．单铰单铰是指联结两个刚片的一个铰。
结构力学第五版 李廉锟 第二章
A
1
B
2
C
第二章 平面体系的机动分析
几何不变体系——铰结三角形规则 （刚片——联系——条件） 1．三刚片规则 三刚片用不共线的三个铰两两相联 2．二元体规则 增 ⁄ 减二元体，机动性质不变* 3．两刚片规则 两刚片用不共线—铰—链杆相联， 不交于一点，也不平行的三链杆相联 ——体系为几何不变，且无多余约束。 ——实质为一条规则：三刚片规则 ——计算自由度w＝0（体系本身w＝3），无多余联系
第二章 平面体系的机动分析
四个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性
第二章 平面体系的机动分析 §2-4 瞬变体系 特点：
从微小运动角度看，这是一 个可变体系； 微小运动后即成不变体系； 瞬变体系必存在多余约束。
第二章 平面体系的机动分析
瞬变体系——原为几何可变，经微小位移后即转化为 几何不变的体系。
第二章 平面体系的机动分析
C E
【习题4】分析图示链杆体系的几何组成。
A
B D F
无多余约束的几何不变体系。
【习题5】分析图示体系的几何组成。
A
B
C
D
无多余约束的几何不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
【习题6】分析图示体系的几何组成。
D C
E D C E D C E
A
B
A
B
A
B
无多余约束的 几何不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
四、瞬变体系的静力特性
理论上分析：瞬变体系只能发生很小 的变形； 实际情况: 变形一般不会很小。 ( 即使承受很小荷载，也可能产生很 大内力，体系可能发生破坏)
Fx A a b Fy C B h
F F
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 平面体系的机动分析【圣才出品】
相当于三刚片规则。同理，两刚片规则中链杆仍然可以看作一个刚片。因此三个基本组成
规则实质上只是同一个规则。
5．何谓瞬变体系？为什么土木工程中要避免采用瞬变和接近瞬变的体系？ 答：（1）瞬变体系的定义 瞬变体系是指经微小位移后由几何可变转化为几何不变的体系，瞬变体系是一种几何 可变体系。 （2）在土木工程的实际中，由于材料变形，瞬变体系一经受力即偏离原有位置，而 内力通常也很大，甚至可能导致体系的破坏。同时，瞬变体系的位移只是理论上为无穷小， 实际上在很小的荷载作用下也会产生很大的位移。因此，土木工程中要பைடு நூலகம்免采用瞬变和接
二、平面体系的计算自由度 ★★★★★ 1．自由度和约束（见表 2-1-2）
表 2-1-2 自由度和约束
2．平面体系的计算自由度（见表 2-1-3） 表 2-1-3 平面体系的计算自由度
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三、几何不变体系的基本组成规则（见表 2-1-4） ★★★★★ 表 2-1-4 几何不变体系的基本组成规则
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台
近瞬变的体系，以保证结构的安全和正常使用。
6．试小结机动分析的一般步骤和技巧。 答：（1）机动分析的一般步骤 ①一般先考察体系的计算自由度。如果 W＞0，已表明体系是几何可变的；如果 W≤0，进一步做组成分析。 ②运用几何组成的基本规则做几何组成分析。 （2）机动分析的一般技巧 ①对于较复杂的体系，宜先把能直接观察出的几何不变部分当作刚片。 ②以地基或刚片为基础按二元体或两刚片规则逐步扩大刚片范围。 ③拆除二元体使体系的组成简化，以便进一步用基本的组成规则去分析它们。
第2章 平面体系的机动分析(李廉锟_结构力学-中南大学2013年课件)
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§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
结构力学
(3) W<0 几何不变
(4) W<0 几何可变
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少 联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本身的弹性变 形而能保持其几何形状和位置不变的体系。 P 几何不变 弹性变形 可称之为结构
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§2-1 引言
结构力学
二、几何可变体系(geometrically unstable system)：
一个杆系，在荷载作用下，即使略去杆件本身的弹性变形， 它也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。
结构力学
有二元 体吗？
有虚 铰吗？
没有
有
无多余几何不变
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§2-4 瞬变体系
结构力学
铰结三角形规则——条件：三铰不共线
A
C
C1
P
B
不能平衡
微小位移后，不能继续位移
瞬变体系(instantaneously unstable system) --原为几何可变，经微小位移后即转化为 几何不变的体系。
§2-5 机动分析示例
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。
结构力学
6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键， 刚片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
李廉锟《结构力学》(上册)课后习题详解(1-4章)【圣才出品】
第1章绪论复习思考题1．结构力学的研究对象和具体任务是什么？答：（1）结构力学的研究对象结构力学研究的主要对象是杆系结构。
（2）结构力学的具体任务①研究结构在荷载等因素作用下的内力和位移的计算。
在此基础上，即可利用后续相关专业课程知识进行结构设计或结构验算；②研究结构的稳定计算，以及动力荷载作用下结构的动力反应；③研究结构的组成规则和合理形式等问题。
2．什么是荷载？结构主要承受哪些荷载？如何区分静力荷载和动力荷载？答：（1）荷载的定义荷载是指作用在结构上的主动力。
（2）荷载的分类①按作用时间分为：恒载和活载。
②按荷载的作用位置是否变化分为：固定荷载和移动荷载。
③按荷载对结构所产生的动力效应大小分为：静力荷载和动力荷载。
（3）静力荷载和动力荷载的主要区别荷载是否使结构产生不可忽略的加速度，即是否可以略去惯性力的影响。
若可忽略加速度（惯性力），则为静荷载；若不可忽略加速度（惯性力），则为动荷载。
3．什么是结构的计算简图？如何确定结构的计算简图？答：（1）计算简图的定义结构的计算简图是指略去次要因素，用一个简化图形来代替实际结构的图形。
（2）确定计算简图的方法①杆件的简化，常以其轴线代表。
②支座和结点的简化。
③荷载的简化，常简化为集中荷载及线分布荷载。
④体系的简化，将空间结构简化为平面结构。
4．结构的计算简图中有哪些常用的支座和结点？答：结构的计算简图中常用的支座和结点分别有：（1）常用的支座：活动铰支座、固定铰支座、固定支座、滑动支座。
（2）常用的结点：铰结点、刚结点、组合结点。
5．哪些结构属于杆系结构？它们有哪些受力特征？答：（1）杆系结构的定义杆系结构是指长度远大于其他两个尺度（即截面的高度和宽度）的杆件组成的结构。
杆系结构包括：梁、拱、刚架、桁架、组合结构、悬索结构。
（2）各种杆系结构的受力特征①梁。
梁是一种受弯杆件，其轴线通常为直线，当荷载垂直于梁轴线时，横截面上的内力只有弯矩和剪力，没有轴力。
李廉锟《结构力学》(第6版)章节题库-第一章至第三章【圣才出品】
第2部分章节题库第1章绪论一、简答题1．什么是结构的计算简图？为什么要将实际结构简化为计算简图？答：（1）计算简图的定义在进行结构的力学分析时，常用一个简化的图形代替实际结构，这个简化的图形称为结构的计算简图。
（2）将实际结构简化为计算简图的原因因为结构的实际工作状况是非常复杂的，要严格按照实际情况进行力学分析是不可能的，也是不必要的。
因此，计算前要将实际结构进行简化，保留实际结构的主要受力和变形性能，略去次要因素便于计算，成为计算简图。
实际结构的分析是在结构的计算简图中进行的。
2．计算简图的选择原则是什么？答：计算简图的选择原则：（1）能反映结构的主要受力和变形性能。
必须从实际结构的材料、构造及连接方式出发，由它们对杆件可能提供的约束，来反映实际结构的主要受力和变形特征，使计算结果与实际结构情况足够接近。
（2）略去细节，便于计算。
略去实际结构的次要因素（次要连接和内力），尽量简化，便于计算。
3．为什么有些框架结点可简化为刚结点，而有些只能简化为铰结点？答：（1）有些框架结点可简化为刚结点的原因有些框架结点连接的各杆间无相对移动和转动，同时，结点能承受和传递力矩，故可简化为刚结点，例如钢筋混凝土现浇框架结点为整体浇注在一起。
（2）有些框架结点只能简化为铰结点有些框架结点限制彼此间的相对线位移，但对转动的抵抗能力较弱，常忽略对转动的限制作用，而视为可相互转动，故只能视为铰结点，例如厂房排架柱柱顶与屋架端结点。
二、分析计算题1．作出如图1-1所示的某实验室拱式屋架的计算简图。
图1-1解：拱式屋架的计算简图如图1-2所示。
图1-2拱式屋架的计算简图2．作出如图1-3所示的某公路钢筋混凝土桥的计算简图。
图1-3钢筋混凝土公路桥解：钢筋混凝土公路桥的计算简图如图1-4所示。
图1-4钢筋混凝土公路桥的计算简图第2章平面体系的机动分析一、填空题1．如图2-1所示体系计算自由度W为______，是______多余约束的几何______体系。
李廉锟《结构力学》(上册)配套题库【课后习题】(平面体系的机动分析)【圣才出品】
第2章平面体系的机动分析复习思考题1．为什么计算自由度W≤0的体系不一定就是几何不变的？试举例说明。
答：因为W≤0只是体系为几何不变的必要条件并非充分条件。
一个体系尽管联系数目足够多甚至还有多余，但约束布置不当，体系便仍是几何可变的。
如图2-1所示。
图2-12．什么是刚片？什么是链杆？链杆能否作为刚片？刚片能否当作链杆？答：（1）刚片的定义刚片是指在平面体系中，由于不考虑材料的变形，可以看作刚体的一根杆件或已判明是几何不变的部分。
（2）链杆的定义链杆是指能使体系减少一个自由度的联结装置（约束）。
（3）链杆可以看作刚片。
一根链杆是几何不变的，在结构分析中可看做刚片。
（4）刚片不一定能看作链杆。
将刚片看作链杆后，结构可能无法保持几何不变。
3．何谓单铰、复铰、虚铰？体系中的任何两根链杆是否都相当于在其交点处的一个虚铰？答：（1）单铰、复铰、虚铰的定义分别是①单铰是指联结两个刚片的一个铰。
②复铰是指同时联结两个以上刚片的一个铰。
③虚铰是指联结两个刚片的两根链杆延长线的交点处的位置随链杆的转动而改变的铰。
（2）体系中不是任何两根链杆都相当于在其交点处的一个虚铰。
因为虚铰的位置随链杆的转动而改变，一般的实铰则没有这个特征，所以不是任何两根链杆都相当于虚铰。
4．试述几何不变体系的三个基本组成规则，为什么说它们实质上只是同一个规则？答：（1）几何不变体系的三个基本组成规则①三刚片规则三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，组成的体系是几何不变的，而且没有多余联系。
②二元体规则在一个刚片上增加一个二元体，仍为几何不变体系，而且没有多余联系。
③两刚片规则两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联或两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联，为几何不变体系，而且没有多余联系。
（2）基本组成规则都可以看作三刚片规则因为链杆可以看作刚片，例如二元体规则中，二元体的两根链杆均可以看作刚片，即相当于三刚片规则。
同理，两刚片规则中链杆仍然可以看作一个刚片。
李廉锟版 结构力学 第二章 平面体系的机动分析 习题参考答案
结构力学习题参考答案第二章平面体系的机动分析复习思考题习题8. 图2-27所示体系因A、B、C三铰共线所以是瞬变的，这样分析正确否？为什么？解：【这道题对理解思路挺有帮助的。
】第一步：计算计算自由度WW=3m-(2h+r)=3×6-7×2=4>3 所以结构是常变体系。
第二步：分析几何构造性。
去二元体（I刚片和1杆），剩下部分是II、III刚片通过2根杆相连，是常变体系。
但是，为什么会得到如题中的结论呢？是因为2杆重复利用了，相当于在体系中多加了一根杆，增加一个联系，从而得出错误结论。
几何构造性分析，所有杆件不能重复、不能遗漏。
解:第一步：计算计算自由度WW=2j-(b+r)=2×10-(17+4)=-1,有一个多余联系。
第二步：分析几何构造性。
从上至下依次去二元体，最后发现有一根杆是多余的。
该体系是有一个多于联系的几何不变体系。
习题2-2 试对图示平面体系进行机动分析。
解:第一步：计算计算自由度WW=2j-(b+r)=2×14-(25+3)=0这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
第二步：分析几何构造性。
去掉二元体后如图所示，分别在三角形基础上依次增加二元体从而形成刚片I、II，此刚片I、II通过一铰和一根不通过此铰的杆相连，得到的体系是几何不变的，且没有多余联系。
解：第一步：计算计算自由度3(2)321(2303)0W m h r =−+=×−×+=或者2()212(213)0W j b r =−+=×−+= 这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
第二步：分析几何构造性此体系的支座链杆只有三根，且不完全平行也不交于一点，若体系为一刚片，则他与地基是按两刚片规则组成的，因此只需分析体系本身是不是一个几何不变的刚片即可。
去掉M 和C 两个二元体。
在b 图中，KFL 刚片、ABF 刚片和GEJ 刚片通过不共线的三个铰（Ⅰ，Ⅱ）、（Ⅱ，Ⅲ）和（Ⅰ，Ⅲ）两两连接，由三刚片规则可知，体系为几何不变体系，且无多余联系。
结构力学第2章 平面体系机动分析
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后，只剩基础。故该体系为 无多余约束的几何不变体系。
2 如上部体系与基础的联结符合两刚片原则，可去掉基础， 只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两刚片用两平行 杆相连，几何可变。
3 当杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆 形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
几何组成分析小结
机动分析先化简 依次拆除二元体 确认刚片是关键 等效代换灵活用
撤去基础三支杆 再为组成找条件 增加两元再扩展 按照规则连成片
§2-6 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何
不变
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
刚片：不计材料变形，将杆件或已知是几何不变的部 分看作刚片，注意：不是“钢片”。
可表示为：
刚片(rigid plate)——平面刚体。
内部是稳定的,几何形状和位置不发生任何改变。（梁、柱、杆、 几何不变体、基础）
形状可任意替换
§2-2 平面体系的计算自由度
1.自由度--确定物体位置所需的独立坐标数目
虽然 W=0, 但其上部有多余联系， 而下部又缺少联系，仍为几何可变。
小结
W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。
W=0, 具备成为几何不变体系所需的最少约束 的数目。必要非充分条件
W<0， 体系具有多余联系
W> 0 W< 0
体系几何可变
体系几何不变 ？
§2-3 几何不变体系的组成规则
结构力学 第二章 平面体系的机动分析
单铰数： h
约 束： 2h
支座链杆数：r 约 束： r
体系自由度（计算）： W 3m (2h r)
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算 如果体系不与基础相连，即r=0时，
体系对基础有三个自由度，仅研究体系 本身的内部可变度V。
则知 W V 3
得：V W 3 3m 2h 3
A
θ1
θ3
Ⅰ Ⅱ θ2 Ⅲ
分析：
一个刚片有三个自由 度，没连接前，三刚 片共有9个自由度；用 铰A连接后，实际自 由度为5，共减少了4 个自由度；一个单铰 减少两个自由度，所 以说铰A相当于两个 单铰作用。
实际自由度（五个）：X A 、YA、θ1、θ2 、θ3 ； 铰A相当于两个单铰。
结论：连接n个杆件的复铰，相当于(n－1)个单铰。
V 3m 2h 3
37293 2
2
0
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算 4、平面链杆系的自由度(桁架):
链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
平面上一个点有两个自由度。
如图：A、B两点共有四个自由度：
X A、YA 、X B 、YB
两点用一链杆相连后有：
(X B X A)2 (YB YA)2 L2
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理。
第二章 平面体系的机动分析
§2-2平面体系的自由度计算：
(Degrees of freedom of planar systems)
一、自由度：
物体做刚体运动时，可以独立变化的几何参数的 个数，也即确定物体的位置所需的独立坐标数。
第二章 平面体系的机动分析
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A
C
B
C’
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
地基、AC、BC为刚片; A、B、C为单铰
无多余联系的几何不变体
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
二、 二元体规则
在刚片上增加一个二元体，是几何不变体系。
C
二元体: 在刚片上增加由
两根链杆连接而成的一
个新的铰结点，这个
“两杆一铰”体系，称
1.自由度数--确定物体位置所需要的独立坐标数
体系运动时可独立改变的几何参数数目
平面内一刚片
平面内一点 n=2
n=3
x
y
§2-2 平面体系的计算自由度
2.平面刚片系的组成
连接方式
⑴各刚片间用铰相连
简单铰 复铰
⑵各刚片用一定的支杆
(sup portLink )与基础相连。
§2-2 平面体系的计算自由度
联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
W> 0
体系几何可变
W< 0
体系几何不变
因此，体系几何不变的必要条件：W≤0
如果体系不与基础相连，即r=0时，体系对 基础有三个自由度，仅研究体系本身的内部可 变度V。
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
( Geometric construction analysis (Kinematics analysis）)
一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本身的弹性变 形而能保持其几何形状和位置不变的体系。
P
几何不变 弹性变形
可称之为结构
§2-1 引言
二、几何可变体系(geometrically unstable system)：
一个杆系，在荷载作用下，即使略去杆件本身的弹性变形， 它也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。
算顺序。
§2-1 引言
四、刚片：将体系中巳经肯定为几何不变的部分看作
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
几何不变体系
形状可几任何意可替变换 体系
§2-2 平面体系的计算自由度
一、平面体系的自由度 (degree of freedom of planar system)
§2-2 平面体系的计算自由度
平面链杆系的自由度(桁架): 链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
一个链杆 → 一个约束 即两点间加一链杆，则减少一个自由度。 设一个平面链杆系： 铰结点数： j 自由度：2j 链杆数： b 约 束： b 支座链杆数：r 约 束： r
则体系自由度： W = 2j-(b+r)
W 2jbr 2 9 15 3 0
§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
⑴ W>0 , 几何可变
⑵ W=0 ,具有成为几何 不变所需的最少联系
几何可变
§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
(3) W<0 几何不变
(4) W<0 几何可变
§2-2 平面体系的计算自由度
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少
铰
链杆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ⅱ
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
三、两刚片规则：两个刚片用三根不全平行也不交
于同一点的链杆相联，组成无多余联系的几何不
变体系。 实铰
3.联系(constraint)
1根链杆为1个联系
联系（约束）--减少自由度的装置。 1个单铰为2个联系
(1(2) )链单杆铰
铰
x
α
β
n=3 平面内一y刚片 n=2
单铰联后 n=4
1个自由刚片3个自由度 2个自由刚片有6个自由度
§2-2 平面体系的计算自由度
3.联系(constraint)
(1) 链杆; (3) 复铰
A
D
B
为二元体。
刚片1
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
几何不变体系中，增加或减少二元体，仍为 几何不变体系。
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
加减二二元元体体组简成化结分构析
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
如何减二元体？
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
三、两刚片规则：
两个刚片用一个铰和一个不通过该铰的链杆连接， 组成几何不变体系。
(2) 单铰;
复铰 等于多少个
单铰？
五个自由度：X A 、Y A 、 θ1、θ2 、θ3
n个杆件组成的复铰， 相当于(n－1)个单铰。
§2-2 平面体系的计算自由度
二、平面体系的计算自由度
计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
§2-2 平面体系的计算自由度
例1：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
1
3
2 3
有几个刚片？
有几个单铰？
有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
§2-2 平面体系的计算自由度
例2：计算图示体系的自由度
1
2 按刚片计算
9根杆, 9个刚片
有几个单铰？
3
3
P
几何可变 只能称之为机构
§2-1 引言
三、杆系的机动分析：
机动分析就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还 要研究几何不变体系的组成规律。又称:
几何组成分析 几何构造分析
机动分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否
作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算
方法。 3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计
一、三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相 连，所组成的平面体系几何不变。
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
说明： 1.刚片通过支座链杆与地基相联， 地基可视为一刚片。
Ⅱ
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
2. 三刚片用位于同一直线上的三个铰相联， 组成瞬变体系。( 几何可变 )
3根支座链杆 W=3 ×9-(2×12+3)=0
按铰结链杆计算
2
1
W=2 ×6-(9+3)=0
§2-2 平面体系的计算自由度
例3：计算图示体系的自由度
1①
2
②3
解: m3,h2,r4
w 3m(2hr) 33(224) 1
§2-2 平面体系的计算自由度
例4：计算图示体系的自由度
解:j=9,b=15,r=3
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 引言 §2-2 平面体系的计算自由度 §2-3 几何不变体系的简单组成规则 §2-4 瞬变体系 §2-5 机动分析示例 §2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论 §2-7 几何构造与静定性的关系
§2-1 引言
一、几何不变体系 (geometrically stable system)：