截长补短法证明线段和差问题
灵活运用“截长补短”法求证线段的和差关系——一道中考题的多种解法及策略分析
解法探究２０２４年３月下半月㊀㊀㊀灵活运用 截长补短 法求证线段的和差关系一道中考题的多种解法及策略分析◉黑龙江省集贤县第七中学㊀周㊀影㊀㊀截长补短 法是求证线段的和差数量关系常用的一种方法．其中,辅助线的添加是关键． 截长 是指把一条长线段按照所需截成两条较短线段, 补短 是把两条不在同一直线上的线段通过延长一条较短线段的方式把两条线段转化到一条直线上,同时又在图中构造了全等三角形㊁等腰三角形等．一般通过 截长或 补短 得到的辅助线都会有一箭双雕的效果． 截长补短 的方法渗透了转化思想,有助于学生推理能力和几何直观等核心素养的培养．笔者以一道中考题为例详细解析运用 截长补短 法解决问题的策略,不当之处,还请批评指正．１试题呈现(２０２２年黑龙江省龙东地区中考第２６题)әA B C和әA D E 都是等边三角形．(１)将әA D E 绕点A 旋转到图１Ｇ１的位置时,连接B D ,C E 并延长相交于点P (点P 与点A 重合),有P A ＋P B ＝P C (或P A ＋P C ＝P B )成立(不需证明);图１Ｇ１㊀㊀图１Ｇ２图１Ｇ３(２)将әA D E 绕点A 旋转到图１Ｇ２的位置时,连接B D ,C E 相交于点P ,连接P A ,猜想线段P A ,P B ,P C 之间有怎样的数量关系并加以证明．(３)将әA D E 绕点A 旋转到图１Ｇ３的位置时,连接B D ,C E 相交于点P ,连接P A ,猜想线段P A ,P B ,P C 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明．２第(２)问的解题策略这里只对第(２)问进行求解,具体策略如下: 截长补短 法在证明线段的数量关系时,体现的是两种思路．如欲证a ＝b ＋c ,截长法是在较长的线段a 上取点M ,把线段a 分成线段d 与线段e ,取点M 时,使d ＝b ,再证e ＝c 即可,如图２所示．补短法,则是通过把其中一条较短线段延长,使延长部分等于另外一条较短线段或者使线段延长后,等于较长的线段．如欲证a ＝b ＋c ,可以把线段b 延长,使延长的线段d ＝c ,这样就把线段b 和c 转化到同一条线段上,证明线段b ＋d ＝a 即可．或者延长线段b ,使延长后的线段b ＋d ＝a ,证明延长的线段d ＝c 即可,如图３所示．图２㊀图３３试题解析第(２)问的结论为P A ＋P C ＝P B ;给出７种证法．３．１截长法以图１Ｇ２的证明为例,截长法的证明过程如下．图４证法１:如图４,在P B 上截取B M ＝P C ,连接AM ．在等边三角形A B C 和等边三角形A D E 中,有A B ＝A C ,A D ＝A E ,øB AC ＝øD AE ＝６０ʎ．易证øB A D ＝øC A E ,所以әB A D ɸәC A E ,则ø１＝ø２．又B M ＝C P ,则әB AM ɸәC A P ,得AM ＝A P ,øB AM ＝øC A P ．于是øB AM ＋øM A C ＝øC A P ＋øM A C ,即øB A C ＝øM A P ＝６０ʎ,则әM A P 是等边三角形．所以P A ＝M P ．故P B ＝P M ＋B M ＝P A ＋P C ．此种方法根据题中的已知条件和要证的结论,通过截取相等的线段构造全等三角形．如果在截取时使P M ＝P A ,先证明әAM P 是等边三角形,再证明全等三角形也可以．详细证法如下:证法２:如图５,在P B 上截取P M ＝P A ,连接AM ．作A I ʅB D ,AH ʅC E ,I 与H 分别为垂足．易证әB A D ɸәC A E ．８７２０２４年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀图５所以ø１＝ø２．又ø３＝ø４,所以øC P B ＝øC A B ＝６０ʎ,于是øB P E ＝１２０ʎ．又A I ʅB D ,AH ʅC E ,则A I ＝AH (全等三角形对应边上的高相等),所以A P 平分øB P E ,则øB P A ＝６０ʎ．又P M ＝P A ,则әP M A 是等边三角形,所以AM ＝A P ．所以øB A C ＝øM A P ＝６０ʎ．易得øB AM ＝øC A P ,所以әB AM ɸәC A P ．所以B M ＝P C ,故P B ＝P M ＋B M ＝P A ＋P C ．在截长时,只要截取方式正确,辅助线可以通过多种方式构造,一般都可以得证,比如AM 也可以通过作øP AM ＝６０ʎ的方式出现,先证明әAM P 是等边三角形,和证法２相似．另外,根据题中的条件,易证øC P B ＝６０ʎ,线段P B 也可以按下面的方式截取．图６证法３:如图６,在B P 上截取P M ＝P C ,连接C M ．易证әB A D ɸәC A E ,则ø１＝ø２．又ø３＝ø４,所以øC P B ＝øC A B ＝６０ʎ,于是әC M P 是等边三角形．所以C P ＝C M ,øM C P ＝øB C A ＝６０ʎ,则øM C B ＝øP C A ．又C B ＝C A ,则әB C M ɸәA C P ,所以B M ＝P A ．故P B ＝B M ＋M P ＝P A ＋P C ．３．２补短法笔者以延长线段P C 的方法作辅助线,证法如下．图７证法４:如图７,截取C M ＝P B ,连接AM ．易证әB A D ɸәC A E ,则ø１＝ø２．又B A ＝C A ,P B ＝C M ,所以әB A P ɸәC AM ．所以A P ＝AM ,øB A P ＝øC AM ．易证øP AM ＝øB A C ＝６０ʎ,则әAM P 是等边三角形,可知P A ＝P M ．故P B ＝C M ＝P C ＋P M ＝P C ＋P A ．也可通过作角的方式作出这条辅助线,如下．图８证法５:如图８,作øP A M ＝６０ʎ,交C E 于点M ．作A I ʅB D 于点I ,AH ʅC E 于点H ．易证әB A D ɸәC A E ,则ø１＝ø２．又ø３＝ø４,所以øC P B ＝øC A B ＝６０ʎ,则øB P E ＝１２０ʎ．又A I ʅB D ,A H ʅC E ,A I ＝A H (全等三角形对应边上的高相等),所以A P 平分øB P E ,则øM P A ＝６０ʎ．所以әP M A 是等边三角形,于是有P M ＝M A ,øP AM ＝øC A B ＝６０ʎ．所以øC AM ＝øB A P ,易证әB A P ɸәC AM ．故B P ＝C M ＝P C ＋P M ＝P C ＋P A ．点M 也可以通过截取P M ＝P A 得到,同证法５一样,先证øM P A ＝６０ʎ,得证әP M A 是等边三角形,接着证明әB A P ɸәC AM ,从而证出结论,证法略．在延长线段C P 时,也可以反向延长,如证法６．图９证法６:如图９,延长P C 至点M ,使P M ＝P B ,连接B M ．易证øC P B ＝øC A B ＝６０ʎ．所以әP M B 是等边三角形,则B M ＝B P ．所以øM B P ＝øC B A ＝６０ʎ．易证øM B C ＝øP B A ．又根据C B ＝A B ,易证әC M B ɸәA P B ,所以C M ＝P A ．故P B ＝P M ＝P C ＋C M ＝P C ＋P A ．图１０证法７:如图１０,延长P C至点M ,使C M ＝P A ,连接B M ．易证øC P B ＝øC A B ＝６０ʎ,所以øB P E ＝１２０ʎ．又因为A I ʅB D 于点I ,AH ʅC E 于点E ,则A I ＝AH (全等三角形对应边上的高相等),所以A P 平分øB P E ,则øB P A ＝６０ʎ．所以øC B A ＋øC P A ＝１８０ʎ．所以øB C P ＋øB A P ＝１８０ʎ．又øB C P ＋øM C B ＝１８０ʎ,则øM C B ＝øB A P ．又C M ＝P A ,C B ＝A B ,所以әC M B ɸәA P B ,则B M ＝P B ．又øC P B ＝６０ʎ,所以әP M B 是等边三角形,则P B ＝P M ．故P B ＝P M ＝P C ＋C M ＝P C ＋P A ．对于此题,也可以通过延长P A 的方式作辅助线,其他的证明方法这里就不再赘述．就这道题来说,无论是哪个方法,其证明思路都是通过 截长 或 补短 的方式将问题进行转化,进而得以解决．可见,大多数学生对 截长补短 的证明思路不是很清晰,关键是综合运用几何知识进行推理的能力有所欠缺．这就要求教师应在教学中适当的节点精选教学内容进行专题训练,帮助学生明晰 截长补短 法的思路,引导学生对一题展开多种解法的训练,让学生真正领会 截长补短 法的本质,深刻体会转化的数学思想,发展推理能力和几何直观素养,促进数学学科核心素养的发展．Z９７。
备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定(五)
备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定（五）1．“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．2．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：BE＝CF；（2）若AF＝6，△ABC的周长为20，求BC的长．3．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，点E为CD的中点，过C 作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）四边形BDCF是怎样的特殊四边形？请加以证明．5．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC边上的任意一点（除B、C外），以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．求证：EF＝CD．6．如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD交于O，AB＝AD，CB＝CD．BE⊥CD于E，BE与AC交于F．CF＝2BO．（1）求证：△BEC是等腰直角三角形；（2）求tan∠ACD的值．7．如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE＝AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．8．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上的点，连接BE并作BE⊥EF，交边CD于点F，过点F作FG⊥AC交对角线AC于点G．（1）请在图中找出与BE长度相等的边并加以证明：（2）求的值．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若DE＝3，CE＝2，求BD．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，交AC于E．交CD于F．点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．（1）求证：CE＝BF；（2）判断△ECG的形状，并证明你的结论．°．参考答案1．证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．2．（1）证明：连接DB、DC．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵DG垂直平分BC，∴DB＝DC，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：∵∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AF＝AE＝6，由（1）得：BE＝CF，∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，＝AE+EB+AF﹣CF+BC，＝AE+AF+BC＝20，∴BC＝20﹣12＝8．3．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．4．证明：（1）∵CF∥AB，∴∠CF A＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，∵点E为CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：四边形BDCF是菱形．证明如下：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝AD＝BD，∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD，∴四边形BDCF是菱形．5．证明：∵△AED是等边三角形，△ABC是等边三角形，∴AD＝AE＝ED，AB＝CA＝BC，∠ADE＝60°，∠B＝∠F AC＝60°，∵ED∥FC，∴∠EDB＝∠FCB，∵∠BDA＝∠ADE+∠EDB＝60°+∠EDB，∠AFC＝∠B+∠FCB＝60°+∠FCB，∴∠BDA＝∠AFC，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD＝FC，∵AD＝ED，∴ED＝CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF＝CD．6．证明：（1）∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∴BD＝2BO，∵CF＝2BO，∴CF＝BD，∵∠DBE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠DCO＝90°，∴∠DBE＝∠FCE，又∵∠BED＝∠CEF，∴△BDE≌△CFE（AAS），∴BE＝CE，又∵BE⊥CD，∴△BEC是等腰直角三角形；（2）如图，连接DF，∵△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∵AC垂直平分BD，∴BF＝DF＝EF，∴BE＝BF+EF＝（+1）EF，∴CE＝（+1）EF，∴tan∠ACD＝＝﹣1．7．解：（1）由折叠可得AB＝AB′，BE＝B′E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC＝DF，∠B′CE＝45°，∴B′E＝B′F，∴AF＝AB′+B′F，即DF+BE＝AF；（2）图（2）的结论：DF+BE＝AF；图（3）的结论：BE﹣DF＝AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠BAE＝∠B′AE，∴∠B′AE＝∠DAG，∴∠GAF＝∠DAE，∴∠AGD＝∠GAF，∴GF＝AF，∴BE+DF＝AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM＝DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∵∠BAM＝∠F AD，AF＝AM∵△ABE≌AB′E∴∠BAE＝∠EAB′，∴∠MAE＝∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM＝∠DAB，∴∠MAE＝∠AEM，∴ME＝MA＝AF，∴BE﹣DF＝AF．8．解：（1）BE＝EF，证明如下：如图1，过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠MEB+∠NEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AD∥MN，∴∠BME＝∠BAD＝∠ENF＝∠D＝90°，∴∠MEB+∠MBE＝90°，∴∠NEF＝∠MBE，Rt△ENC中，∠ECN＝45°，∴△ENC是等腰直角三角形，∴EN＝CN，∵∠BME＝∠ENC＝∠ABC＝90°，∴四边形MBCN是矩形，∴BM＝CN，∴BM＝EN，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF；（2）如图2，设正方形ABCD的中心为点O，连接OB，∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠EGF＝90°，∴∠OBE+∠BEO＝90°，∵∠BEF＝90°，∴∠BEO+∠GEF＝90°，∴∠OBE＝∠GEF，由（1）得：BE＝EF，∴△OBE≌△GEF（AAS），∴OB＝EG，∵∠BAO＝45°，∴，∴．9．（1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∠DBA+∠BAD＝90°，∠BAD+∠EAC＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：由（1）知，△ABD≌△CAE，则BD＝AE，AD＝CE．∵DE＝3，CE＝2∴AE＝AD+DE＝CE+DE＝5．∴BD＝AE＝5．10．证明：（1）∵AB＝BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，CE＝AE，∴∠A+∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠DBF＝90°∴∠ACD＝∠DBF，在△ADC和△FDB中，∠ACD＝∠DFB，CD＝BD，∠ADC＝∠BDF，∴△ADC≌△FDB（ASA）；∴AC＝BF，又∵CE＝AE，∴CE＝BF；（2）△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点，∴GH垂直平分BC，∴GC＝GB，∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°，又∵BE⊥AC，∴△ECG为等腰直角三角形；。
中考数学课件 微专题(8) 利用截长补短解决线段和差关系
ED＝FD， ∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD 和△FCD 中，∠EDG＝∠FDC，
DG＝DC， ∴△EGD≌△FCD(SAS)，∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG＋CE＝CD＋CE.
• 2．【证明体验】
• (1)如图①，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E 在AB上，AE＝AC.
• 求证：DE平分∠ADB；
• 5．(2022·牡丹江)在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC ＝60°，P是DF的中点，连接PG，PC. • (1)如图①，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系 (不必证明)；
• (2)如图②，当点F在AB的延长线上时，线段PC，PG有怎样 的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
(1)若 AB＝ 2，求 AF 的长度； (2)如图②，过点 D 作 BF 的垂线 DG，垂足为点 G，交 AF 于点 H， 分别延长 BA，DH 交于点 P，连接 PE，过点 F 作 FQ⊥BD 于点 Q.求证： BE＝DG＋ 3FG.
(1)解：如图①，过点 F 作 FG⊥AB，与 BA 的延长线交于点 G，∵ 四边形 ABCD 为正方形，AB＝ 2，∴∠DAG＝∠BAD＝∠ADC＝∠ABC ＝90°，BD 平分∠ADC 和∠ABC，AB＝AD＝ 2，∴∠ADB＝45°，BD ＝ AB2＋AD2＝2.∵AF∥BD，∴∠DAF＝∠ADB ＝45°，∴∠GAF＝90°－∠DAF＝45°，∴∠GFA ＝∠GAF＝45°，∴AG＝GF.
类型二 构造 2， 3倍数量关系 3．如图，是具有公共边 AB 的两个直角三角形，其中 AC＝BC，∠ACB ＝∠ADB＝90°. (1)如图①，若延长 DA 到点 E，使 AE＝BD， 连接 CD，CE.求证： ①CD＝CE，CD⊥CE； ②AD＋BD＝ 2CD；
76 截长补短模型证明问题-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
截长补短模型证明问题【专题说明】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【类型】一、截长“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM为平行四边形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF。
初中经典几何模型01-截长补短模型证明问题
初中经典几何模型专题01 截长补短模型证明问题【专题说明】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系时常用。
如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【类型】一、截长“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
【类型】二、补短“补短”指的是选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破，根据辅助线作法的不同也涉及四种不同的方法。
【基础训练】1、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.2、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.4、已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,∠ADC求证：∠PBQ=90°-125、如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CE=AC.6、如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE⊥BC,BD平分∠ABC （1）证明：∠BAD+∠BCD=180°（2）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.8、已知：在△ABC中，AB=CD-BD,求证：∠B=2∠C.9、如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD,CE交于点F，点G是线段CD上一点，连接AF，GF，若AF=GF,BD=CD.（1）求∠CAF的度数（2）判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由.【巩固提升】1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．2．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由．4．如图，AB∥CD，B E，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.5．如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB＝AC＋CD.6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD.专题01 截长补短模型证明问题【专题说明】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
几何证明的好方法——截长补短【范本模板】
几何证明的好方法—-截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长”或“补短"的方法来进行求解.所谓“截长"，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
截长法:（1)过某一点作长边的垂线(2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等.……补短法（1）延长短边。
（2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面几种类型；类型①a±b=c类型②a±b=kc类型③±a b c类型④c²=a·b对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。
或者化为类型②证明。
对于②，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。
对于类型③,一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中，与类型②相同。
实际上是求类型②中的k值。
对于类型④，将c²=a·b化为ca=bc的形式,然后通过相似三角形的比例关系进行证明。
在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。
例：B A在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG,GH，CH的数量关系方法一（好想不好证)B A方法二（好证不好想）B AM例题不详解。
（第2页题目答案见第3、4页）E（1)正方形ABCD中,点E在CD上，点F在BC上,∠EAF=45o.求证：EF=DE+BF（1）变形a正方形ABCD中,点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45o。
“截长补短法”证线段和差问题 阿里教育
“截长补短法”证线段和差问题
教学任务分析
教学流程安排
教学过程设计
如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC
求证：AC=AB+BD.
教师通过提出问题，引导
学生利用截长法或者补短法
解决，回答相关问题．
在本次活动中，教师应重
点关注：
⑴学生能否正确分析线段
之间的数量关系选用适当的
方法，语言是否准确规范．
⑵学生能否根据题目要求
正确的回答问题，并找到解决
问题的有效途径．
本次活动设置
两种解决问题的方
法，主要是让学生很
容易的想到要一题
多解，让学生轻松的
进入本节课的课题
探究。
活动３
⑴学生截长补短方法的熟练掌握
⑵学生在活动３的基础上能否准确快速的确定辅助线的作法，从而迅速说出正确答案．
⑶学生能否正确、行之有效的解决问题．
⑷学生语言的准确．
⑸学生的计算准确性．通过练习，及时反馈学生学习的情况，便于教师把握授课效果，并能及时查漏补缺，进一步优化教学，也培养了学生踏实、严谨的作风。
已知四边形ABCD中，AB⊥AD,BC CD,AB=BC, ∠ABC=120°, ∠
教师组织学生以小组为
单位讨论，共同探索⑵问的答
案，并深入学生中参与活动，
本次活动是这
节课内容的应用，也
是难度的提升，经过
教学设计说明
本节主要内容是截长补短法在解决线段和差问题中的应用．要求学生掌握此类问题的解决方法，还要提高学生的动手操作能力，使学生重视作图的准确性和规范性。
教学过程中使学生积极参加与到课堂教学中，动手、动口、动脑，积极思考、努力探索，使他们“听”有所“思”、“学”有所“获”。
全等三角形-截长补短法
CDBD AB BD AB DE CE CD CEAB CE AE CAE C CAE C AEB C2AEB C2B B AEB AB AE BC AD =++=+=∴=∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴=∴⊥即又 证法二：如图2，延长CB 到F ，使BF=AB 。
连结AF则F 2ABC =∠CDBD AB BD AB BD BF DF DFCD CF AD ACF AFAC F C C 2ABC =+∴+=+==∴⊥∆∴=∴∠=∠∴∠=∠ 为等腰三角形【能力提升】3、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .证明:延长CB 到M,使BM=DF,则ME=BE+BM=BE+DF.连接AM.AB=AD,BM=DF,∠ABM=∠D,则:⊿ABM ≌ΔADF(SAS).2、提示二：采取补短法构造全等三角形△ACD ≌△AFD 来证明AB ＋BD ＝CDFEDCBA故:∠MAB=∠FAD;又AF平分∠EAD,则:∠MAB=∠EAF;则∠M=∠AFD=∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+∠MAB=∠MAE,得AE=ME.所以,AE=ME=BE+DF.【思考题】4、如图，已知△ABC中，∠A＝90º，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD 于E，求证：CE=BD.•分别延长CE,BA，交与一点F因为BE⊥ECBE平分∠ABC∠FEB=∠BEC=90°∠ABD=∠DBCBE=BE△BFE全等于△BEC (以上结论也可以由等腰三角形三线合一证明)FE=EC 即 FC=2EC又AB=AC∠BAC=90°∠ABD+∠ADB=180°∠ADB=∠EDC，故∠ABD+∠EDC=90°又∠DEC=90°∠EDC+∠ECD=90°∠FCA=∠DBC=∠ABD 3、提示：要证BE+DF=AE.就要构造全等三角形，延长CB到M,证⊿ABM≌ΔADF,这就需要连接AM。
中考数学压轴题重难点突破十 几何图形综合题 类型四：利用截长补短证明线段的和差
12．如图，已知 A，B，E 三点共线，△ABC 与△BED 都是等边三角形，设 CE 与 AD 交于点 F，连接 BF. (1)证明：AF＝BF＋CF；
(2)证明：AF 是∠CFB 的平分线．
证明：(1)∵△ABC 与△BED 都是等边三角形， ∴BD＝BE，AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABC＋∠CBD＝∠DBE＋∠CBD，即∠ABD＝∠CBE，
证明：(1)连接 CD，BD， ∵AD 平分∠CAB，DM⊥AB，DF⊥AC， ∴DM＝DF， 又∵DE 垂直平分 BC， ∴DC＝DB， 在 Rt△DFC 与 Rt△DMB 中， DC＝DB， DF＝DM， ∴Rt△DFC≌Rt△DMB(HL)，∴CF＝BM.
(2)在 Rt△ADF 与 Rt△ADM 中， AD＝AD， DF＝DM， ∴Rt△ADF≌Rt△ADM(HL)， ∴AF＝AM， ∵AB＝AM＋MB，AC＝AF－CF， ∴AB－AC＝(AM＋MB)－(AF－CF)＝MB＋CF， ∵CF＝MB， ∴AB－AC＝2CF.
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 是 CB 延长线上一点，点 E 是线段 AB 上一点，连接 DE.AC ＝DE，BC＝BE. (1)求证：AB＝BD； (2)BF 平分∠ABC 交 AC 于点 F，点 G 是线段 FB 延长
线上一点，连接 DG，点 H 是线段 DG 上一点，连接
(3)过点 A 作 AH⊥BD 于点 H，求证：EF＋DH＝HF.
(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD.
在△ACE 和△ABD 中，
AC＝AB，
∠CAE＝∠BAD， AE＝AD， ∴△ACE≌△ABD(SAS)．
(2)解：∵△ACE≌△ABD， ∴∠AEC＝∠ADB， ∴∠AEF＋∠AEC＝∠AEF＋∠ADB＝180°. ∴∠DAE＋∠DFE＝180°， ∵∠BFC＋∠DFE＝180°， ∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°.
中考数冲刺几何题型专项突破：专题一截长补短证明线段和差倍分等问题
中考数冲刺几何题型专项突破专题一截长补短证明线段和差倍分问题【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法截长法：如图2,在EF上截取EG=AB,在证明GF = CD即可；补短法：如图3,延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH = EF即可.【类型】一、截长截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BM OA DFC ( SAS),则MC=FC=FG , △ BCM^ DCF ,可得△ MCF为等腰直角三角形，又可证△ CFE=45 , △ CFG=90 ,△ CFGS MCF, Fg CM,可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF , 于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM为平行四边形，可得CM=FG=CF ；可得△ BFC=\ BDC=45 ，得△ MCF=90 ；于是△ BM OA DFC (AAS ), BM=DF ,又得△ BMC^DFC=135于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BCD和厶MCF。
方法三：如图3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△ DFK，可证得△ DFC=\ KFG=135 ，所以△ DFCX A KFG（SAS），所以KG=DC=BC ，△FKG=A FDC=A CBF，KGA BC，得四边形BCGK 为平行四边形，BK=CG ，于是BF=BK+KF=CG+DF.方法四:如图3所示，在BF上截取BK=CG ,可得四边形BCGK为平行四边形,BC=GK=DC , BC A KG ,△GKF=A CBF=A CDF,根据四边形BCFD为圆的内接四边形,可证得△ BFC=45，△ DFC=\ KFG，于是△ DCFX A KGF （AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BDC 和^ KDF。
专题02 辅助线之截长补短
几何专题02 辅助线之截长补短一、 知识导航截长：在长边截取一条与某一短边相等的线段，再证明剩下的线段长度与另一短边相等。
例：如图，在AB 上截取AD AC=补短：通过延长或是旋转等方式使两短边拼接在一起，然后证明与长边相等。
例：延长AC 至点D ，使得AD AB=D CB A二、 典型例题题型一 截长补短证明线段（角）和差关系例1 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AB BD AC +=．变式训练1 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C∠=∠例2 在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC ，CD 上的两点，且∠EAF＝G F E C B D A A DBCE FG FE C B D A A D B C EF 12∠BAD ，求证：BE+DF ＝EF ．变式训练2 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，45EAF ∠=︒，求证：EF BF DE=-题型二 截长补短探究线段长度关系例3 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ．点D 是边BC 下方一点，∠BDC =90°，探索三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系，并证明你的结论．变式训练3 在四边形ABDC 中，180B C ∠+∠=︒，DB DC =，120BDC ∠=︒，以D 为顶点作EDF ∠为60︒角，角的两边分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，请直接写出线段BE ，CF ，EF 之间的数量关系．GAB DC E F FEC D BA三、 巩固练习1. 正方形ABCD 中，已知AB=3，点E ，F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF 的面积.2. 如图，在ΔABC 中，AB ＞AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．截长补短方法归纳总结：线段间的和差倍分，就把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．但凡出现了线段的和差关系时，一定要尝试一下用截长补短的方法来进行处理，但不是每一个和差关系的题目都可以同时使用截长法和补短法，有时截长法能更加便捷的解决问题，而有时补短法又优于截长法，这都是需要根据具体的题目取选择具体的方法的。
截长补短
模型一．双角平分线模型
例1:如图，BA⊥ AD, CD⊥AD, BE，CE 分别平分∠ABC，∠BCD,求证: BC= AB+ CD.
分析： 本题是典型的线段和差 问题，有角平分线，则 对应角已经相等，且角 平分线可以作为公共边， 自然想到截长法．
例1:如图，BA⊥ AD, CD⊥AD, BE，CE 分别平分∠ABC，∠BCD,求证: BC= AB+ CD.
分析： 本题还可以用补短法， 且辅助线作法不唯一， 如延长BE，CD交于点 G．但在此选择更符合 实际情况的“补短” 法．
例2:如图∠A= 60°,BE平分∠ABC,CD平分∠ACB，求证: BD+CE=BC
例2:如图∠A= 60°,BE平分∠ABC,CD平分∠ACB，求证: BD+CE=BC
小结：
全等辅，主要用于证明线段和差问题，如求 一条较长线段的长度等于两条较短线段的长度之和．
截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两 段相等．
补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延 长的那一段与另一条较短线段相等．
当题目出现双角平分线模型时，一般多用截长法，两次构造翻折型全等．
几何证明的好方法——截长补短
几何证明的好方法——截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长"或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等,然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.截长法:(1）过某一点作长边的垂线(2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
……补短法(1)延长短边.（2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面几种类型；类型①a±b=c类型②a±b=kc类型③±a b c类型④c²=a·b对于类型①，可采取直接截长或补短,绕后进行证明。
或者化为类型②证明.对于②,可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。
对于类型③,一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中,与类型②相同。
实际上是求类型②中的k值。
对于类型④，将c²=a·b化为ca=bc的形式，然后通过相似三角形的比例关系进行证明。
在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。
例:B A在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P,交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）B A方法二（好证不好想)B AM例题不详解.（第2页题目答案见第3、4页）E(1)正方形ABCD中，点E在CD上,点F在BC上，∠EAF=45o.求证：EF=DE+BF（1）变形a正方形ABCD中,点E在CD延长线上,点F在BC延长线上,∠EAF=45o。
全等典型模型：线段和差之“截长补短”模型
《三角形证明》题型解读13 全等典型模型：线段和差之“截长补短”模型
【典型例题】
例1. 已知四边形ABCD 中，AB//CD ，BE 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，求证：AB+CD=BC
例2.如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 是∠BAC 的角平分线，且AC=AB+BD ，求∠ABC 的度数.
例3.四边形ABCD 是正方形（四条边 都相等，四个角都是直角）
（1）如图1，将一个直角顶点与A 点重合，角的两边分别交BC 于E ，交CD 的延长线于F ，试说明BE=DF ；
（2）如图2，若将（1）中的直角改为45°角，即∠EAF=45°，E 、F 分别在边BC 、CD 上，试说明EF=BE+DF ；
（3）如图3，改变（2）中的∠EAF 的位置（大小不变），使E 、F 分别在BC 、CD 的延长线上，若BE=15,DF=2，试求线段EF 的长.
例4.已知AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°,求证：
AE=AD+BE.
D
C B A
A D F 图3A
B
C D
E F 图2图1F
E
D C B A D
C
例5. 已知△ABC ，D 是AB 的中点，AC=5，BC=7，则CD 的取值范围是____________．
D C
B A。