2020-2021学年最新沪科版七年级数学上册《三元一次方程组及其解法》教学设计-优质课教案

3.5 三元一次方程组及其解法

【教学目标】

1．会解简单的三元一次方程组．

2．进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．

【教学重难点】

1．掌握三元一次方程组的解法．

2．针对方程组的特点，选择最好的解法．

【教学过程】

一、导入新课

(1)解二元一次方程组的基本方法有哪几种？

(2)解二元一次方程组的基本思想是什么？

(3)甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．

教师：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？ 学生活动：回答问题、设未知数、列方程．

这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式： ⎩⎨⎧ x ＋y ＋z ＝26，①

x －y ＝1，②

2x ＋z －y ＝18. ③

这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学习的三元一次方程组(板书课题)．

二、推进新课

问题1：教师：怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？

学生活动：思考、讨论后说出消元方案．

教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得x ＝y ＋1④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去x ，得到只含y ，z 的二元一次方程组．

解：由②，得

x ＝y ＋1.④

把④代入①，得

2y ＋z ＝25.⑤

把④代入③，得

y ＋z ＝16.⑥

⑤与⑥组成方程组

⎩⎨⎧ 2y ＋z ＝25，y ＋z ＝16.

解这个方程组，得⎩⎨⎧

y ＝9，z ＝7.

把y ＝9代入④，得

x ＝9＋1，x ＝10. 所以⎩⎨⎧ x ＝10，

y ＝9，

z ＝7.

注意：a.得二元一次方程组后，解二元一次方程组的过程在练习本上完成．

b ．求得y ＝9，z ＝7后，求x ，要代入前面最简单的方程④.

c ．检验．

这道题也可以用加减法解，②中不含z ，那么可以考虑将①与③结合消去z ，与②组成二元一次方程组．

学生活动：在练习本上用加减法解方程组．

问题2：例题分析

【例题】 解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4z ＝7，①

2x ＋3y ＋z ＝9，②

5x －9y ＋7z ＝8.③

学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．

解：②×3＋③，得

11x ＋10z ＝35.④

①与④组成方程组

⎩⎨⎧ 3x ＋4z ＝7，11x ＋10z ＝35.

解这个方程组，得⎩⎨⎧ x ＝5，z ＝－2.

把x ＝5，z ＝－2代入②，得

2×5＋3y －2＝9，

y ＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝13，z ＝－2.

即时归纳：这个方程组的特点是方程①不含y ，而②，③中y 的系数的绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②，③中消去y 后，再与①组成只含x ，z 的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③较繁琐．

三、巩固训练

1．解方程组：

⎩⎨⎧ x －z ＝4， ①

z －2y ＝－1， ②

x ＋y －z ＝－1. ③

2．课本练习．

四、本课小结 通过这节课的学习，我们学会了什么？还有什么困惑？

1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？

2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般地，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．

3．注意检验．

五、趣味练习

一次方程组的古今表示及解法

我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中．《九章算术》的“方程”章，有许多关于一次方程组的内容．这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：

上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共有39斗；

上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共有34斗；

上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共有26斗；

求上、中、下三等谷每束各是几斗？

注：斗是过去的容积计量单位．

下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？

《九章算术》中的算筹图是竖排的．为看图方便，上图改为横排，使三个横行表示三句话的含义．

不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有3个未知数的问题．设上等谷每束x 斗，中等谷每束y 斗，下等谷每束z 斗．

根据题意，得三元一次方程组

3239,2334,2326.x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=*⎨⎪++=⎩

①②()③

通过消元，可以求出各未知数．

上图实际上就是用算筹列出的方程组(*)，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项．

我国古代解方程组时，也用算筹做计算工具，具体解法是：从一个方程累减(或累加)另一个方程．例如，解方程组(*)，将①－②可以消去z ，将③累减②三次也可以消去z ，从而得到二元一次方程组5,5776.

x y x y -=⎧⎨--=-⎩

这里将③连续三次减去②，与③－②×3的结果一样．

用现代高等代数的符号可以将方程组(*)的系数排成一个表

3 2 1 392 3 1 341 2 3 26⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

这种由数排成的表叫做矩阵．容易看出，这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉伯