02 第二节 点估计的常用方法
求点估计量的方法优秀课件
解方程组 , 得 k 个统计量：
ˆ1( X1, X 2 , , X n )
ˆk ( X1, X 2 , , X n )
未知参数
1, ,k
的矩估计量
代入一组样本观测值得 k 个数:
1 ˆ1(x1, x2, , xn ) k ˆk (x1, x2, , xn )
未知参数
1, ,k
的矩估计值
例 设总体 X ~ Exp(), X1, X2,…, Xn 为总体的样本, 求
12
4
ab X
令
2
(b a)2 12
a
b 2
2
A2
1 n
n i1
X
2 i
于是 a , b 的矩估计量为
aˆ X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
X 3b2 ,
bˆ X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
X 3b2 .
例3 设总体 X 的均值 μ 和方差σ2( 0) 都存在 , μ,σ2 未知 . X1, X2, …Xn 是来自 X 的样本 , 试求 μ ,σ2 的矩 估计量 .
解 μ1 E X μ
μ2 E X 2 Var( X ) [E( X )]2 σ2 μ2
令
X
1 n
n i1
Xi
A2
1 n
n i 1
X
2 i
E(
X
2
)
2
2
ˆ X
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
S *2
注：该例表明无论总体 X 服从什么分布，只 要总体的二阶矩存在，则样本均值就是总体均 值的矩估计，样本的二阶中心矩就是总体方差 的矩估计.
02 第二节 点估计的常用方法
第二节 点估计的常用方法内容分布图示★ 矩估计法 ★ 求矩估计的方法★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 最大似然估计法★ 求最大似然估计的一般方法★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 关于有k 个未知参数的最大似然估计 ★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-2内容要点：一、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由在数定理知, 当总体的k 阶矩存在时,样本的k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩.例如, 可用样本均值X 作为总体均值)(X E 的估计量, 一般地, 记总体k 阶矩 );(k k X E =μ样本k 阶矩 ∑==ni kik X nA 11;总体k 阶中心矩 ;)]([k k X E X E V -= 样本k 阶中心矩 .)(11∑=-=ni kik X XnB用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法. 用矩估计法确定的估计量称为矩估计量. 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计. 求矩估计的方法：设总体X 的分布函数),,;(1k x F θθ 中含有k 个未知参数k θθ,,1 , 则(1) 求总体X 的前k 阶矩k μμ,,1 ，一般都是这k 个未知参数的函数, 记为k i g k i i ,,2,1),,,(1 ==θθμ （*） (2) 从（*）中解得 k j h k j j ,,2,1),,,(1 ==μμθ(3) 再用),,2,1(k i i =μ的估计量i A 分别代替上式中的i μ,即可得),,2,1(k i j =θ的矩估计量:.,,2,1),,,(ˆ1k j A A h k j j ==θ注：求,,,1k V V 类似于上述步骤，最后用k B B ,,1⋅⋅⋅代替k V V ,,1 ，求出矩估计j θˆ),,2,1(k I ⋅⋅⋅=。
二、最大似然估计法引例 某同学与一位猎人一起去打猎,一只野兔从前方窜过, 只听一声枪响, 野兔应声倒下, 试猜测是谁打中的?由于只发一枪便打中,而猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率, 故一般会猜测这一枪是猎人射中的.最大似然估计法的思想: 在已经得到实验结果的情况下, 应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个θ作为θ的估计θˆ.注: 最大似然估计法首先由德国数学家高斯于1821年提出, 英国统计学家费歇于1922年重新发现并作了进一步的研究.下面分别就离散型总体和连续型总体情形作具体讨论. 离散型总体的情形: 设总体X 的概率分布为),,(}{θx p x X P ==其中θ为未知参数.如果n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本,样本的观察值为n x x x ,,,21 ,则样本的联合分布律,),(},,,{111∏====ni i n n x p x X x X P θ对确定的样本观察值n x x x ,,,21 ,它是未知参数θ的函数,记为∏===ni i n x f x x x L L 121),(),,,,()(θθθ ,并称其为似然函数.连续型总体的情形: 设总体X 的概率密度为),(θx f ,其中θ为未知参数,此时定义似然函数∏===ni i n x f x x x L L 121),(),,,,()(θθθ .似然函数)(θL 的值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小, 在已得到样本值nx x x ,,,21 的情况下, 则应该选择使)(θL 达到最大值的那个θ作为θ的估计θˆ. 这种求点估计的方法称为最大似然估计法.定义 若对任意给定的样本值n x x x ,,,21 , 存在),,,(ˆˆ21n x x x θθ=,使 ),(max )ˆ(θθθL L =则称),,,(ˆˆ21n x x x θθ=为θ的最大似然估计值.称相应的统计量),,,(ˆ21n X X X θ为θ最大似然估计量. 它们统称为θ的最大似然估计(MLE ).三、求最大似然估计的一般方法求未知参数θ的最大似然估计问题, 归结为求似然函数)(θL 的最大值点的问题. 当似然函数关于未知参数可微时, 可利用微分学中求最大值的方法求之. 其主要步骤:(1) 写出似然函数),,,,()(21θθn x x x L L =;(2) 令0)(=θθd dL 或)(ln =θθd L d , 求出驻点;注: 因函数L ln 是L 的单调增加函数,且函数)(ln θL 与函数)(θL 有相同的极值点,故常转化为求函数)(ln θL 的最大值点较方便.(3) 判断并求出最大值点, 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就得参数的最大似然估计值.注：(i) 当似然函数关于未知参数不可微时，只能按最大似然估计法的基本思想求出最大值点。
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
点估计的例子
点估计的例子摘要：1.引言2.点估计的定义与例子3.点估计的应用4.点估计的优缺点5.结论正文：1.引言在统计学中，点估计是一种对数据集中某个数值的估计方法，也被称为点估计量。
点估计可以用来估计数据集中的某个未知参数，如均值、方差等。
本文将通过一些例子来介绍点估计的概念及其在实际应用中的价值。
2.点估计的定义与例子点估计指的是用样本统计量来估计总体参数的方法。
其中，样本统计量是基于样本数据计算出来的一个数值，而总体参数是描述整个数据集的统计特征。
例如，假设我们有一个包含n 个数值的样本，我们可以通过求这n 个数值的平均值来估计总体的均值。
这个平均值就是一个点估计量。
另一个例子是方差。
我们可以通过计算样本数据与样本均值的差的平方和来估计总体方差。
这个平方和除以(n-1) 就是一个点估计量，用于估计总体方差。
3.点估计的应用点估计在实际应用中有广泛的应用，如经济学、社会科学、自然科学等领域。
例如，在市场调查中，我们可以通过抽样调查来估计市场的总体规模。
在这个过程中，点估计可以帮助我们更准确地估计市场的均值和方差，从而为决策提供有力支持。
4.点估计的优缺点点估计的优点在于，它是一种比较直观、易于理解的估计方法。
通过样本统计量，我们可以对总体参数进行估计，从而为决策提供依据。
然而，点估计也存在一定的局限性。
首先，点估计的准确性受到样本大小的影响。
当样本容量较小时，点估计的误差较大；而当样本容量较大时，点估计的误差较小。
其次，点估计的准确性还受到样本数据的分布影响。
当样本数据分布较为集中时，点估计的准确性较高；而当样本数据分布较为分散时，点估计的准确性较低。
5.结论点估计是一种常用的统计估计方法，通过对样本数据进行计算，可以对总体参数进行估计。
点估计方法
1
得到
( x1 x2 xn ) n 0
ˆ 1 (x x x ) x 1 2 n n
ˆ 1 ( X X X ) X 1 2 n n
从而极大似然估计为
当总体是连续型总体时,我们定义似然函数为 L( x1 , x2 ,, xn ; ) f ( x1 , x2 ,, xn ; )
P{ X 1 500, X 2 300, , X 5 700}
e
500
300! 500 700 5 e 500! 700!
500!
e
300
e
700
700!
是参数 的函数，由小概率原理，这个概率不 会太小，应尽可能大，即求这个概率的最大 值．利用求导可得到当 500 时，这个 概率达到最大．因此，我们有理由认为参数 为500.这就是极大似然估计．
n
xi
xi !
e
1 x1 x2 xn n e x1 ! x2 ! xn !
对数似然函数为
l ( x1 , x2 ,, xn ; ) ( x1 x2 xn ) ln( ) n ln( x1 ! x2 ! xn !)
这两个函数的极值点相同，对对数似然函数求 导，并令其为０，得
解得：
2
a X 3B2 ˆ ˆ b X 3B2
• 我们计算得到
x 2.8, b2 0.56
这样得到a,b的估计值是
ˆ a 1.5 ˆ b 4.1
• 例 设总体Ｘ的分布密度为
1 | x| f ( x; ) exp( ) 2
第2.2节 点估计量的求法
解出由k个方程组成的方程组, 即可得各未知参 ˆi . 数 i ( i 1,2,, k )的最大似然估计值
例6(p46例2.12) 设 X 服从参数为 ( 0) 的泊松
分布,( X1 , X 2 ,
解
, X n )T是来自 X 的一个样本,求 的
最大似然估计量.
因为 X的分布律为
1. 矩估计法
它是基于一种简单的“替换”思
想建立起来的一种估计方法 .
是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 基本思想：用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 大数定律 或格列汶科定理
k 记总体k阶原点矩为 k E ( X )
样本k阶原点矩为
1 n k Ak X i n i 1
1 n Bk ( X i X ) k n i 1
1 n E( X ) X i n i 1
x
E( X )
x p( x; ) d x
( x e
1 x e dx 2
x 0
x
0
x e
1
dx
x
0
e
d x)
ˆ 1 X 的矩估计量： n i 1 i
你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的 概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这一 枪是猎人射中的 .
这个例子所作的推断已经体现了最大似然
法的基本思想 .
引例 设 X~B(1, p), p未知. 设想我们事先知道 p 只有两种可能: p=0.7 或 p=0.3 如今重复试验3次,得结果: 0 , 0, 问: 应如何估计p? 由概率论的知识, 3次试验中出现“1”的次数 0
第二节点估计的常用方法
数理统计
你就会想, 猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的 .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想 .
再如, 一袋中有红、白球10个和5个, 但不知其中每种颜色的球具体为多少.
今从袋中任取一球, 结果为白球, 由此我们有理由认为袋中有10个白球, 5个红球。
1) 似然函数(likelihood function)： 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本, 样本的联合密度(连续型) 或联合分布律 (离散型)为:
II. 样本矩代替总体矩
那么用诸 μi 的估计量 Ai 分别代替上式中的诸μi,
即可得诸 θj 的矩估计量 ：
θˆ j θˆ j ( A1, A2 , , Ak ) j=1,2,…,k
矩估计量的观察值称为矩估计值 .
二. 极(最)大似然估计法
数理统计
它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的 . 然而, 这个方法常归功于英国统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了该方法, 并首先研究了该方法的一些性质 .
Gauss
Fisher
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外出打猎 . 一只野兔从前方窜过, 只听一声枪响, 野兔应声倒下. 如果要你推测, 是谁打中的呢? 你会如何想呢?
数理统计
I. 参数用总体矩来表示
设总体的分布函数中含有 k个未知参数: θ1, θ2, …, θk, 那么它的前 k 阶矩: μ1, μ2, …, μk, 一般都是这 k 个参数的函数,记为:
μi=μi(θ1, θ2, …, θk), i=1, 2, …, k 从这 k 个方程中解出:
点估计
值 (x1, x2 , , xn ) 的邻域内的概率L()达到最大，即
L(x1, x2, , xn,ˆ) max L(x1, x2, , xn,)
则称 ˆ 为参数的极大似然估计值。
似然函数:
定义:设总体 X 的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1)设离散型总体 X 的概率分布律为 p(x; ) ，则样本 ( X1, X 2,, X n ) 的联合分布律
2.估计量不必唯一,同一参数可以构造不同的统计量用以估计.
因此有一个估计量好环的比较——评价估计量好环的准则.
第二节 估计方法
两种常用的构造估计量的方法： 矩估计法 极大似然估计法
一.矩估计法 • 定义：用样本矩来代替总体矩,从而得到总体分布 中参数的一种估计.这种估计方法称为矩估计法. 它的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去替
了了解该地区中学生的平均身高.今从中抽取n个人。
测得其身高 X1, X 2 ,, X n ，由此估计平均身高μ,该
问题的模型是:
1
2
n
exp
1
2
2
n Xi 2 ,
i 1
其中参数θ(μ,σ2),参数空间 , 2 R, 20，估
数
估
计
区间估计
估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数的
真值的概率为给定的值
第一节 点估计问题
设总体X的分布函数 F（x，θ）是已知的 ，θ是未知的分布
参数，参数θ的所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用Θ 表示，参数估计问题就是根据样本对上述未知参数做出估计。
当X为离散时，F（x，θ）为分布律；当X为连续时，F（x，θ）
概率密度函数的估计参数估计
概率密度函数的估计参数估计概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是概率统计学中一个非常重要的概念，用于描述连续随机变量的概率分布情况。
参数估计是统计学中一个关键的问题，它指的是通过样本数据来估计总体分布的参数。
本文将对概率密度函数的参数估计方法进行详细介绍。
一、参数估计的目标参数估计的目标是找到一组最合适的参数值，使得概率密度函数能够较好地拟合样本数据分布。
一般来说，参数估计可以分为两种类型：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据直接估计出概率密度函数的参数值，而区间估计则是对参数进行区间估计，给出一个参数取值的范围。
二、点估计的方法1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是寻找一组参数值，使得样本观测值出现的概率最大。
对于给定的样本数据，若假设一个概率分布模型，并通过极大化似然函数来求解参数值，就得到了最大似然估计。
2. 矩估计（Moment Estimation）矩估计是通过样本矩直接估计总体矩的方法。
对于连续型分布而言，可以通过样本矩来估计分布的矩，从而得到参数的估计值。
3. 最大后验概率估计（Maximum A Posteriori Estimation，简称MAP）最大后验概率估计是贝叶斯估计的一种特殊情况，其基本思想是在最大化后验概率与似然函数的乘积，从而得到参数的估计值。
相对于最大似然估计，最大后验概率估计将先验分布考虑在内，可以有效地克服样本容量小引起的估计不准的问题。
三、区间估计的方法1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是通过样本数据计算出一个参数的区间估计范围，其置信水平表征了参数估计值位于置信区间内的可能性大小。
常用的置信区间估计方法有：正态分布置信区间估计、大样本置信区间估计、Bootstrap置信区间估计等。
点估计中两种方法的分析和比较
点估计中两种常用方法的比较与分析楚尚坤河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2005级3班摘 要：本文首先介绍矩估计法和极大似然估计法，然后对于同一分布和同一参数，用这两种不同的方法求出矩估计量和极大似然估计量，利用估计量的三条评选标准：无偏性、有效性和一致性来判断哪个估计量在这种情况下与该参数的真实值更相近，从而选择相应的点估计法。
关键词：矩估计 极大似然估计 无偏性 有效性 一致性§1 引言当我们碰到这样的问题：假设总体分布函数的形式已知（它可由理论分析和过去经验得到，或者从抽样数据的直方图和概率纸描点初步估计出），但它的一个或多个参数未知，借助于总体的一个样本值，构造适当的样本函数来估计总体未知参数的问题，我们称之为点估计问题。
点估计是数理统计学中内容很丰富的一个分支，其中两种最常用的构造的估计量的方法是矩估计法和极大似然估计法。
当对于同一分布和同一参数时，先用矩估计法和极大似然估计法分别求得矩估计量和极大似然估计量，然后用无偏性、有效性和一致性对这两个估计量进行衡量，当样本容量足够大时，从而选出一个估计量使得这个估计量既在未知参数的真实值附近，又与未知参数真实值的偏离程度很小，而且随着样本容量n 的增大估计量与被估计参数的偏差越来越小，进而选择相应的点估计法。
§2 相关概念2.1 参数估计所谓参数估计，是指从样本),,,(21n X X X 中提取有关总体X 的信息，即构造样本的函数——统计量),,,(21n X X X g ，然后用样本值代入，求出统计量的观测值12(,,,)n g x x x ，用该值来作为相应待估参数的值。
此时，把统计量),,,(21n X X X g 称为参数的估计量，把),,(,21n x x x g 称为参数的估计值。
2.2 参数估计的类型参数估计问题常有两类：点估计和区间估计。
（1） 点估计：指对总体分布中的参数θ，根据样本),,,(21n X X X 及样本值),,,(21n x x x ，构造一统计量),,,(21n X X X g ，将),,(,21n x x x g 作为θ的估计值，则称),,,(21n X X X g 为θ的点估计量，简称点估计，记为∧θ=),,,(21n X X X g 。
《点估计的求法》课件
点估计的常用方法
矩法
原理：利用样本矩来估计总体参数 优点：计算简单，易于理解 缺点：精度较低，对样本分布的假设要求较高 应用：常用于样本量较小、分布未知的情况
最大似然法
原理：利用已知样本信息，估计总 体分布的参数
缺点：可能陷入局部最优解，对初 始值敏感
添加标题
添加标题
优点：简单易行，计算量小
添加标题
注意事项：在构建回归模型时，要 注意检查自变量之间的相关性，避 免出现多重共线性问题
模型的可解释性和泛化能力
可解释性：模型应该能够解释其预测结 果，以便于用户理解和信任
泛化能力：模型应该能够在不同的数据 集上表现良好，避免过拟合和欠拟合
数据预处理：对数据进行适当的预处理， 如归一化、标准化等，以提高模型的泛 化能力
模型融合：融合多个模型 可以提高估计精度
点估计在实际应用 中的注意事项
Байду номын сангаас 适用范围和局限性
适用范围：适用于样本量较大、分布较均 匀的情况
局限性：不适用于样本量较小、分布不均 匀的情况
适用范围：适用于线性模型、正态分布的 情况
局限性：不适用于非线性模型、非正态分 布的情况
适用范围：适用于参数估计的情况
均方根误差（RMSE）：均方误差的 平方根
绝对误差（AE）：估计量与真实值 之差的绝对值
相对误差（RE）：绝对误差与真实 值的比值
平均绝对误差（MAE）：绝对误差 的平均值
平均相对误差（MRE）：相对误差的 平均值
误差的传播和计算
误差计算：通过计算点估计 的方差或标准差来衡量误差 的大小
误差传播：点估计的误差会 通过计算传播到其他相关变 量
数据合并： 将多个数 据集合并 为一个数 据集，便 于分析
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理在统计学中，参数估计是通过从样本数据中获得的统计量推断总体参数值的方法。
通过参数估计，我们可以利用样本数据来了解总体的特征。
参数估计有两种主要方法，即点估计与区间估计。
本文将对参数估计的公式进行整理，包括点估计和区间估计的常用方法。
一、点估计公式点估计是用样本数据来估计总体参数的方法，其中最常用的是样本均值和样本方差。
下面是一些常见的点估计公式：1. 样本均值的点估计公式总体均值的点估计通常由样本均值给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体均值μ的点估计公式为：μ̂= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n2. 样本方差的点估计公式总体方差的点估计通常由样本方差给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体方差σ²的点估计公式为：σ̂² = ((x₁ - μ̂)² + (x₂ - μ̂)² + ... + (xn - μ̂)²) / (n - 1)3. 样本比例的点估计公式总体比例的点估计通常由样本比例给出。
假设我们有一个二分类样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，p是正例的比例。
总体比例p的点估计公式为：p = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n二、区间估计公式区间估计是用来估计参数的可信区间的方法，即给出参数值的一个范围。
下面是一些常见的区间估计公式：1. 总体均值的区间估计公式总体均值的区间估计可以使用置信区间进行。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，s是样本标准差，Z是对应于所需置信度的Z分位数。
总体均值μ的置信区间估计公式为：μ̂± Z * (s / √n)2. 总体比例的区间估计公式总体比例的区间估计可以使用置信区间进行。
考研点估计解题方法总结
考研点估计解题方法总结全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：考研是一项具有挑战性并且需要认真准备的考试，而估计是其中一个很重要的概念。
在统计学中，点估计就是通过观测数据来确定未知参数的值。
掌握好点估计的解题方法对于考研数学的备考至关重要。
下面我们就来总结一下关于考研点估计的解题方法。
了解点估计的定义。
点估计是指利用观测数据来估计未知参数的点估计值。
通常情况下，我们会选择一种函数来对参数进行估计，这个估计值就是点估计。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计等。
掌握最大似然估计的方法。
最大似然估计是一种常用的点估计方法，其核心思想是在给定观测数据的情况下，选择能使似然函数取最大值的参数作为估计值。
具体的步骤是构建似然函数，求导数，解方程得到参数的估计值。
了解矩估计的求解方法也是很重要的。
矩估计是通过样本矩来估计总体矩的方法，其核心思想是使样本矩等于总体矩，从而得到参数的估计值。
矩估计的步骤是先得到总体矩，再求解方程得到参数的估计值。
需要注意的是对于一些特殊情况，我们可能需要使用贝叶斯估计或区间估计等方法。
贝叶斯估计是利用贝叶斯定理来估计参数的方法，而区间估计是用一个区间来表示未知参数的可能取值范围。
要适当练习一些真实的考研题目来巩固所学的知识。
通过做题可以帮助我们加深对点估计方法的理解，同时也能够锻炼我们的解题能力。
考研点估计是一项复杂而重要的内容，在备考过程中需要认真对待。
掌握好点估计的基本概念和解题方法，熟练运用最大似然估计、矩估计等方法，并且能够灵活运用到不同的题目中，都是非常关键的。
希望以上总结能够帮助考生们更好地备考考研数学，取得好成绩。
【2000字】第二篇示例：考研中的点估计是统计学中一个非常重要的概念，它通常是在给定一组数据的情况下，利用统计模型对未知参数进行估计。
点估计在统计学中有着广泛的应用，能够帮助我们从观测数据中推断出未知参数的估计值，为我们提供更多的信息和决策依据。
在考研数学中，点估计也是一个非常重要的知识点，掌握好点估计的解题方法对于考生来说至关重要。
参数的区间估计和点估计的算法
参数的区间估计和点估计的算法
参数的区间估计和点估计是统计学中常用的两种方法。
点估计是指通过样本数据估计总体参数的值，通常采用样本均值、样本方差等统计量来计算。
而区间估计则是指通过样本数据确定一个区间，以估计总体参数的值。
区间估计的结果通常表现为一个置信区间，该区间内包含了总体参数的真实值的可能范围。
在给定置信水平的情况下，置信区间的宽度与样本容量以及样本方差等因素有关。
对于区间估计，常见的算法有置信区间法和最大似然估计法。
置信区间法基于样本的统计量构造置信区间。
一般情况下，可以采用t 分布或者正态分布来计算置信区间。
最大似然估计法则是寻找使得样本数据出现概率最大的参数值。
在实际应用中，需要根据具体的问题和数据类型选择合适的估计方法。
- 1 -。
7-点估计的求法
(3) 解方程组
ln L(1,2 , 1
ln L(1,2 , 2
k ) 0 k ) 0
ln L(1,2 , k ) 0 k
7-12
(4) 得未知参数1, ,k的极大似然估计值
1 ˆ1(x1, x2, , xn )
k ˆk (x1, x2, , xn )
及其对应的极大似然估计量
两边取对数，得
ln L(θ) ln 4 6lnθ 4ln(1 2θ) 2ln(1 θ)
对θ求导，并令其为0，
d ln L(θ) 6 8 2 =0
dθ
θ 1 2θ 1 θ
得 θ 7 13 和 12
θ 7 13 12
因为 θ 7 13 1 , 12 2
不合题意，
所以θ的极大似然估计值为
分别是 a , b 的极大似然估计量.
例10. 设总体X的概率密度为
（ θ 1）xθ 0 x 1
f (x,θ) 0
其它 ，其中 θ 1
为待估参数，( x1 , x2 ,, xn ) 是取自总体X 的样本值，
求参数 θ 的矩估计值和极大似然估计值.
解： （1）矩估计
(1) 由总体分布和所给样本，求得似然函数
n
L(1 ,2 , k ) f ( xi ,1 ,2 , k ) i 1
(2) 求似然函数 L(1,2 , k ) 的对数函数函数
n
ln L(1,2 , k ) ln f ( xi ,1,2 , k ) i 1
（化积商为和差，而 ln L(1,2 , k ) 和 L(1,2 , k )
θ 7 13 12
关于极大似然估计的两点说明：
1.可证明极大似然估计具有下述性质：
求点估计量的方法
解：抽取一个样本 ，得到观测值 x1, x2,…, xn，则其 发生的概率为
L( p) P(X1 x1, X2 x2 , , Xn xn ; p)
n
n
似然函数
n
p xi
(1
p)1 xi
xi p i1
(1
n xi p) i1
i 1
显然 p 的不同取值，对应的观测值发生的概率不同， 由极大似然原理，应选择使得P(X1=x1,…Xn=xn)最 大的 p 值，即为 p 的极大似然估计值.
ar
1 n
n i 1
X
r i
令
r (1,2,,k )
1 n
n i1
X
r i
r 1,2,,k
—— 含未知参数 1,2, ,k 的方程组
解方程组 , 得 k 个统计量：
ˆ1( X1, X 2 , , X n )
ˆk ( X1, X 2 , , X n )
未知参数
1, ,k
的矩估计量
代入一组样本观测值得 k 个数:
例如：EX，VarX 等。
参数估计问题是利用从总体抽样得到的样本, 通过估计量来估计上述各种参数。估计量就是估 计总体参数的统计量.
第一节 求点估计量的方法
一、矩法 二、极大似然法
一、矩法估计
1、矩法估计（Moment Estimation) 理论基础：大数定律（频率趋向于概率）
设随机变量序列 X1, X2 ,, Xn , 相互独立，
矩法估计量.
解
μ1
E
X
a
2
b
μ2 E X 2 Var( X ) [E( X )]2
(b a)2 (a b)2
12
第二章点估计
Eξ = ∫
+∞
0
x
+∞ b p p −1 −bx 1 (bx ) p +1−1 e −bx d (bx) = Γ( p + 1) = p x e dx = ∫ 0 b Γ( p)b bΓ( p) Γ( p )
Eξ 2 . = ∫
+∞
0
x2
1 b p p −1 −bx x e dx = Γ( p ) Γ( p )b 2
1 n j ∑ ξ i 我们设 n i =1
（2.1）
v j (θ1 ,θ 2 ,Lθ n ) = ξ j ， j = 1,2,L , k
得到含 k 个未知数的个方程式。解这个 k 联列方程组就可以得到 θ1 ,θ 2 ,Lθ n 的一组解：
ˆ =θ ˆ (ξ , ξ ,L, ξ ), θ i i 1 2 n
L(θ ) = L(θ ; x1 , x 2 , L, x n ) = f ( x1 ;θ ) f ( x 2 ;θ ) L f ( x n ;θ ) L(θ ; x1 , x2 ,L , xn ) 给出观测到 ( x1 , x 2 ,L , x n ) 的概率。因此，可以把 L(θ ; x1 , x2 , L , xn ) 看成
θ 的极大似然估计量。
如 果 ξ 是 连 续 型 ， f ( x;θ ) : θ ∈ Θ 表 示 密 度 函 数。 于 是 子 样 (ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) 落 入 点
( x1 , x 2 ,L , x n ) 的领域内的概率为 ∏ f ( xi ;θ )∆xi ， 同样是 θ 的函数。 既然 ( x1 , x 2 , L , x n ) 在
θn
达到
极大，就要使 θ 达到最小。但 θ 不能小于 x ( n ) ，否则子样观测值 ( x1 , x 2 , L , x n ) 就不是来自
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第二节 点估计的常用方法内容分布图示★ 矩估计法 ★ 求矩估计的方法★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 最大似然估计法★ 求最大似然估计的一般方法★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 顺序统计量法 ★ 例10 ★ 关于有k 个未知参数的最大似然估计 ★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-2内容要点：一、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由在数定理知, 当总体的k 阶矩存在时,样本的k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩.例如, 可用样本均值X 作为总体均值)(X E 的估计量, 一般地, 记总体k 阶矩 );(k k X E =μ样本k 阶矩 ∑==n i ki k X n A 11;总体k 阶中心矩 ;)]([k k X E X E V -=样本k 阶中心矩 .)(11∑=-=ni k i k X X n B用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法. 用矩估计法确定的估计量称为矩估计量. 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计. 求矩估计的方法：设总体X 的分布函数),,;(1k x F θθ 中含有k 个未知参数k θθ,,1 , 则(1) 求总体X 的前k 阶矩k μμ,,1 ，一般都是这k 个未知参数的函数, 记为k i g k i i ,,2,1),,,(1 ==θθμ （*）(2) 从（*）中解得 k j h k j j ,,2,1),,,(1 ==μμθ(3) 再用),,2,1(k i i =μ的估计量i A 分别代替上式中的i μ,即可得),,2,1(k i j =θ的矩估计量:.,,2,1),,,(ˆ1k j A A h kj j ==θ注：求,,,1k V V 类似于上述步骤，最后用k B B ,,1⋅⋅⋅代替k V V ,,1 ，求出矩估计j θˆ),,2,1(k I ⋅⋅⋅=。
二、最大似然估计法引例 某同学与一位猎人一起去打猎,一只野兔从前方窜过, 只听一声枪响, 野兔应声倒下, 试猜测是谁打中的?由于只发一枪便打中,而猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率, 故一般会猜测这一枪是猎人射中的.最大似然估计法的思想: 在已经得到实验结果的情况下, 应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个θ作为θ的估计θˆ.注: 最大似然估计法首先由德国数学家高斯于1821年提出, 英国统计学家费歇于1922年重新发现并作了进一步的研究.下面分别就离散型总体和连续型总体情形作具体讨论. 离散型总体的情形: 设总体X 的概率分布为),,(}{θx p x X P ==其中θ为未知参数. 如果n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本,样本的观察值为n x x x ,,,21 ,则样本的联合分布律,),(},,,{111∏====ni i n n x p x X x X P θ对确定的样本观察值n x x x ,,,21 ,它是未知参数θ的函数, 记为∏===ni i n x f x x x L L 121),(),,,,()(θθθ ,并称其为似然函数.连续型总体的情形: 设总体X 的概率密度为),(θx f ,其中θ为未知参数,此时定义似然函数∏===ni i n x f x x x L L 121),(),,,,()(θθθ .似然函数)(θL 的值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小, 在已得到样本值nx x x ,,,21的情况下, 则应该选择使)(θL 达到最大值的那个θ作为θ的估计θˆ. 这种求点估计的方法称为最大似然估计法.定义 若对任意给定的样本值n x x x ,,,21 , 存在),,,(ˆˆ21nx x x θθ=,使 ),(max )ˆ(θθθL L = 则称),,,(ˆˆ21nx x x θθ=为θ的最大似然估计值.称相应的统计量),,,(ˆ21n X X X θ为θ最大似然估计量. 它们统称为θ的最大似然估计(MLE ).三、求最大似然估计的一般方法求未知参数θ的最大似然估计问题, 归结为求似然函数)(θL 的最大值点的问题. 当似然函数关于未知参数可微时, 可利用微分学中求最大值的方法求之. 其主要步骤:(1) 写出似然函数),,,,()(21θθn x x x L L =;(2) 令0)(=θθd dL 或0)(ln =θθd L d , 求出驻点;注: 因函数L ln 是L 的单调增加函数,且函数)(ln θL 与函数)(θL 有相同的极值点,故常转化为求函数)(ln θL 的最大值点较方便.(3) 判断并求出最大值点, 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就得参数的最大似然估计值.注：(i) 当似然函数关于未知参数不可微时，只能按最大似然估计法的基本思想求出最大值点。
(ii) 上述方法易推广至多个未知参数的情形.例题选讲：矩估计法例1（讲义例1）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,010,)1()(x x x f αα其中),1(->αα是未知数，n X X X ,,,21 是取自X 的样本, 求参数α的矩估计. 解数学期望是一阶原点矩⎰+==11)1()(dx x X E ααμ,21)1(11++=+=⎰+ααααdx x 其样本矩为,21++=ααX 而,112ˆX X --=α即为α的矩估计.例2 设总体X 在],[b a 上服从均匀分布，b a ,未知. n X X X ,,,21 是来自X 的样本, 试求b a ,的矩估计量.解,2/)()(1b a X E +==μ222)]([)()(X E X D X E +==μ,4/)(12/)(22b a a b ++-=即 ,21μ=+b a .)(12212μμ-=-a b解得 ,)(32121μμμ--=a .)(32121μμμ-+=b注意到∑∑==-=-ni ini i X XnX X n12212,)(11 以21,A A 代替,,21μμ到b a ,的矩估计量分别为∑=--=--=ni iX XnX A A A a122121,)(3)(3ˆ.)(3)(3ˆ122121∑=-+=-+=ni iX XnX A A A b例3（E02）设总体X 的均值μ及方差2σ都存在, 且有02>σ, 但2,σμ均为未知, 又设n X X X ,,,21 是来自X 的样本. 试求2,σμ的矩估计量.解,)(1μμ==X E ,)]([)()(22222μσμ+=+==X E X D X E得到,1μμ=.2122μμσ-=以21,A A 代替,,21μμ得μ和2σ的矩估计量分别为,ˆ1X A ==μ∑∑==-=-=-=n i i n i i X X n X X n A A 122122122.)(11ˆσ 注: 本例表明, 总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体公布而异. 如, ),,(~2σμN X 2,σμ未知, 则2,σμ的矩估计量为,ˆX =μ.)(1ˆ212X Xnni i-=∑=σ例4（E03）设总体X 的概率分布为22)1()1(2321θθθθ--k P X其中θ为未知参数.现抽得一个样本,1,2,1321===x x x 求θ的矩估计值.解 先求总体一阶原点矩,23)1(3)1(221)(22θθθθθ-=-+-⨯+⨯=X E一阶样本矩.34)121(31=++=x由,)(x X E = 得,3423=-θ 推出,65ˆ=θ所以θ的矩估计值.65ˆ=θ最大似然估计法例5 （E04） 设),1(~p b X ，n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本，试求参数p 的最大似然估计.解设n x x x ,,,21 是n X X X ,,21的一个样本值, X 的分布律为,)1(}{1x x p p x X P --==,1,0=x故似然函数为,)1()(111∑∑==-=-==∏ni ini i ix n x ni x p p p p L令,0)1()(ln 11=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==p x n p x p L dp dni i n i i 解得p 的最大似然估计值.1ˆ1x x npni i ==∑= 从而p 的最大似然估计值.1ˆ1X Xnpni i==∑=注: 这一估计量与矩估计量是相同的.例6 设总体X 服从],0[θ上的均匀分布, θ未知. n X X ,,1 为X 的样本, n x x ,,1 为样本值. 试求θ的最大似然估计.解似然函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,,0,1)(1其它θθθn n x x L因)(θL 不可导, 可按最大似然法的基本思想确定.ˆθ欲使)(θL 最大, θ应尽量小但又不能太小, 它必须同时满足),,,1(n i x i =≥θ 即),,max(1n x x ≥θ 否则,0)(=θL 而0不可能是)(θL 的最大值.因此,当},,max{1n x x =θ时, )(θL 可达最大. 所以θ的最大似然估计值与最大似然估计量分别为},,,max{ˆ1n x x =θ}.,,max{ˆ1n X X =θ例7（E05）设总体X 服从指数分布, 其概率密度函数⎩⎨⎧≤>=-0,00,),(x x e x f x λλλ其中0>λ, 是未知参数. n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观察值, 求参数λ的最大似然估计值.解似然函数⎪⎩⎪⎨⎧>=∑=-其它,00,);,,,(121i x n n x ex x x L ni i λλλ 显然);,,(21λn x x x L 的最大值点一定是∑=-=ni ix n n e x x x L 1);,,,(211λλλ 的最大值点, 对其取对数∑=-=ni in xn x x x L 1211ln );,,,(ln λλλ由∑==-=ni in xnd x x x L d 12110);,,,(ln λλλ , 可得参数λ的最大似然估计值.1ˆ1xxnni i==∑=λ例8（E06） 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN 的样本观察值, 其中2,σμ是未知参数, 试求μ和2σ的最大似然估计值.解记似然函数),,(),;,,(2221σμσμL x x x L n =则∏=--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ni x i e L 12)(22221),(σμσπσμ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=∑=--ni n n x 12122/2)(21exp )()2(μσσπ∑=----=ni xn n L 121222)(21ln 22ln ),(ln μσσπσμ∑==-=∂∂ni ixL 12,0)(1ln μσμ02)(21ln 21242=--=∂∂∑=σμσσn x L ni i由此可得参数μ和2σ的最大似然估计值为∑===ni i x x n1,1ˆμ∑=-=ni ix xn122)(1ˆσ最大似然估计量为,1ˆ1X X nni i ==∑=μ∑=-=ni iX Xn122)(1ˆσ与例3中的矩估计量相同.例9（E07） 已知小儿麻痹症在一年内的死亡人数服从参数为λ的泊松分布,现得到1968~1976年间的死亡人数如下表年196819691970197119721973197419751976死亡数24 13 7 18 2 10 3 9 16试求参数λ的最大似然估计值.解 设X 表示一年内因小儿麻痹症死亡的人数,则X 的概率分布为,,2,1,0,!)( ===-x e x x X P xλλ相应的似然函数为 λλλλλn ni i x ni ix e x ex L ni ii-=-=∏∏∑===11!!)(1,),!ln(ln )(ln 11∏==--⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i ni i x n x L λλλ 令01)(ln 1=-⎪⎭⎫⎝⎛∑=∂∂=n x L n i i λλλ, 得最大似然估计为 3333.11911911^=⎪⎭⎫⎝⎛∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑===i i n i i x x n λ. 例10（E08） 某药厂生产开胸顺气丸,崩解时间),(~2σμN X ,其中2σμ，未知.今随机抽取5丸,测得崩解时间(单位:min)如下:36,40,32,41,36. 试用顺序统计量法求σμ和的估计值. 解 现将测得值排序为 32,36,36,40,41. 由于36=Me ,得36^==Me μ. 由 R=41-32=9,4299.015=d , 得 8691.34299.0910^=⨯==d Rσ.课堂练习1. 设总体X 具有概率概率密度⎩⎨⎧≤>=--θθλθλθλx x e x f x ,0,),,()(其中θλ,0>为未知参数. n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本, 求λθ,的矩估计量.2. 设总体X 在],[b a 上服从均匀分布，b a ,未知，n x x x ,,,21 是一个样本值. 试求ba ,的最大值似然估计量.。