万有引力中的估算问题

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万有引力公式,经典例题

万有引力定律及其应用知识网络:一、万有引力定律：（1687年）221rm m GF = 适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或球心间的距离；G 为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-二、万有引力定律的应用 1．解题的相关知识：（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即222r v m r Mm G =＝r Tm 224πr m 2ω=；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G2RmM ＝mg 从而得出GM ＝R 2g 。

（2）圆周运动的有关公式：ω＝Tπ2，v=ωr 。

讨论：①由222r v m r Mm G =可得：rGM v = r 越大，v 越小。

②由r m rMm G22ω=可得：3r GM =ω r 越大，ω越小。

③由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π可得：GM rT 32π= r 越大，T 越大。

④由向ma r Mm G=2可得：2rGMa =向 r 越大，a 向越小。

点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。

人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。

2．常见题型万有引力定律的应用主要涉及几个方面：万有引力定律天体运动地球卫星（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫⎝⎛=π 得2324GT r M π= 又ρπ⋅=334R M 得3233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。

现有一中子星，观测到它的自转周期为T =301s 。

问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。

计算时星体可视为均匀球体。

物理估算题解法探讨

物理估算题解法探讨估算法是根据一些物理数据对所求物理量的数值和数量级大致推算的一种近似方法。

求解估算题，往往能够体现解题者是否有明确的物理思想与求解物理问题的灵活方法，也往往体现出他是否具有优良的科学素质。

因此在各类考试中，估算题是屡见不鲜的。

本文就估算题求解的常用方法作一点探讨。

一、利用常数估算法当估算题什么数据都没有，或只给少量数据时，就应想到利用某些常数。

物理常数是人们在对物理规律的研究中所总结出来的，具有重要的物理内涵，反映了物质世界的一些基本属性。

从与题目相关的常数来寻找物理规律，从而找出解决问题的突破口，是很行之有效的。

例11789年，英国著名物理学家卡文迪许首先估算了地球的平均密度。

根据你所学过的物理知识，能否求出地球的密度大小？解析由密度关系ρ=M/V知，需先估算地球质量M和体积V。

设质量为m的物体，在地球表面所受的重力为mg，则mg=GmM/R2，即M=gR2/G。

地球的体积为V=4πR3/3，故地球的平均密度为ρ=M/V=3g/4πGR。

式中含有四个常数：π、g、地球半径R（6.4×106m），万有引力常量G（6.67×10-11N·m2/kg2）。

代入上式得g=5.5×103kg/m3。

二、根据常识估算法这类估算题所需的数据与日常生活中的有关数据紧密联系，这需要对日常生活中的常识有所了解，估计出常温、常压、常速等。

如普通成年人身高约1.70m，质量约60kg，“室温”可取300K，通常大气压强约1.0×105p a，汽车速度约10-20m/s，自行车速度可取5m/s，电视机功率约40W-100W，电冰箱每天耗电约0.8kW·h，照明电压220V，动力电压380V，机床照明电压36V，标准状况下，任何气体的体积皆为22.4L等。

这些数据对解答某些估算题是十分有用的。

例2一只普通白炽灯正常发光时，通过它的电流强度值与下列哪一个较为接近。

万有引力专题02：中心天体质量和密度的估算

专题02：中心天体质量和密度的估算模块一：知识点归纳1、中心天体质量和密度常用的估算方法2、应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．(2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．模块二：典型例题1、为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为v，周期为T；卫星B绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n倍．万有引力常量为G，则下列计算不正确的是( )A ．彗星的半径为vT2π B ．彗星的质量为v 3T4πGC ．彗星的密度为3πGT2 D ．卫星B 的运行角速度为2πT n32、我国计划于2019年发射“嫦娥五号”探测器，假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t (小于绕行周期)，运动的弧长为s ，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G ，则( )A ．探测器的轨道半径为 θtB ．探测器的环绕周期为 πt θC ．月球的质量为 s 3Gt 2θD ．月球的密度为 3θ24Gt模块三：针对训练1、通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。

假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。

这两个物理量可以是( )A ．卫星的速度和角速度B ．卫星的质量和轨道半径C ．卫星的质量和角速度D ．卫星的运行周期和轨道半径2、近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。

如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( ) A ．ρ＝kTB ．ρ＝kTC ．ρ＝kT2D ．ρ＝k GT 23、火星成为我国深空探测的第二颗星球，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出飞行N 圈用时t ，已知地球质量为M ，地球半径为R ，火星半径为r ，地球表面重力加速度为g 。

(完整版)万有引力定律经典例题

盘中心尺体査页成ftl 垃鰭藕吋’万科可力班*1那『史Jf骨=呼「黄金代樓*,其％表乐天弹表面的匪力加連讎2.中心天体质量和密度的估算⑴已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R（2）已知卫星绕天体做圆周运动的周期 T 和轨道半径rMm 4 n4 n r 3① G ~^2 =吓r? M =苛 M 3 n 3 ② 尸4 3=乔R 33n Ri •火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（）A •太阳位于木星运行轨道的中心B •火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C •火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D .相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：由开普勒第一定律（轨道定律）可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上， A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误；根据开普勒第三定律（周期定律）知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D 错误.答案：C2. （2016郑州二检）据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器•探测器升空1 .天体运动的分析方法G MR m= mg?天体质量:天体密度:“ gR 2M=旨3g 尸 4T GR③卫星在天体表面附近飞行时,r= R ,贝 y p=GT nN0.2题组训嫌提升能力天弹苕动的向心力来壽于天之间的万有引力 4^r-f后，先在近地轨道上以线速度 v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度 v '在火星表面附近环绕飞行•若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为 1 : 2,密度之比为5 : 7,设火星与地球表面重力加速度分别为g '和g ,下列结论正确的是（）项正确，D 项错.答案：C3•嫦娥三号”探月卫星于 2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段•若已知引力常量G ,月球绕地球做圆周运动的半径「1、周期T 1,“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道（见图）半径匕、周期T 2,不计其他天体的影响，则根据题目条件可以（）A •求出“嫦娥三号”探月卫星的质量B .求出地球与月球之间的万有引力C .求出地球的密度门3 r 23D.^=T 22不知道地球半径 r ，无法求出地球密度， C 错误；对4式得 g = 3G npR ,所以g ' : g = 5 : 14, A 、B 项错；探测器在大体表面飞行时，万有引力解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由 GMRRm = mg , M = P 3 n R 3,解两G M R m - = mR , M = P 4 泯3，解两式得 v = 2^y G 3np,所以 v ' : v=\f28, C充当向心力，由解析：绕地球转动的月球受力为誉=M ' r 1 T 2 = ，已知嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M '，但是所有的卫星A • g： g=4： 1B • g '： g = 10 : 7在万有引力提供向心力的运动学公式中卫星质量都约掉了，无法求出卫星质量，因此探月卫星质量无法求出， A 错误；已经求出地球和月球质量，而且知道月球绕地球做圆周运动的半径r i ，根据F =可求出地球和月球之间的引力,B 正确；由开普勒第三定律即半长轴三次方与公转周期二次方成正比，前提是对同一中心天体而言，但是两个圆周运动的中心天体一个是地球一个是月球，D 错误.答案：B Ir 反忠捉升j ---------------------------------------------------------------------------------------------------估算天体质量和密度时应注意的问题(1) 利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量.(2) 区别天体半径 R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r - R ;计算4天体密度时，V=：T R 3中的R 只能是中心天体的半径. L3______ 丿考点二人造卫星的运行授课提示：对应学生用书第57页1. 人造卫星的a 、3、v 、T 与r 的关系1. 地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.N0.1梳理主干填准记牢GMm2.近地时GMm mg = -R2-ma > a = G r > a ’ 22 m w 2r m^2»GM = gR 2.⑵周期一定：与地球自转周期相同，即 T = 24 h = 86 400 s.(3) 角速度一定：与地球自转的角速度相同. (4) 高度一定：根据 = m 4T r 得r= 4,23x 104km ，卫星离地面高度 h =r - R ~ 6R(为恒量).(5) 绕行方向一定：与地球自转的方向一致. 2. 极地卫星和近地卫星(1) 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖. (2) 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.(3) 两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.题组训嫌提升能力运州I1.(2015高考福建卷)如图，若两颗人造卫星 a 和b 均绕地球做匀速圆周运动， a 、b 到地心O 的距离分别为「1、「2，线速度大小分别为 V 1、V 2,则()项正确，B 、C 、D 项错误.答案：A2. 2015年3月30号晚上9点52分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，将我国首颗新一代北斗导航卫星发射升空，于 31号凌晨3点34分顺利进入预定轨道.这次发射的新一代北斗导航卫星，是我国发射的第17颗北斗导航卫星.北斗卫星导航系统空间段计划由35颗卫星组成，包括 5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星•中地球轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中地球轨道卫星离地面高度低，则中地球轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的( )B .线速度小 D .向心加速度大N0.2解析：根据万有引力定律可得A .周期大 C .角速度小V 1 A.— V 2G 呼 r 2V 1 V 2，所以A解析：卫星离地面的高度越低，则运动半径越小•根据万有引力提供圆周运动向心力 24 2 ; 4 2 3得 G M$ = m* = m w 2r = m-T ^^ = ma ,则周期 T ="'‘石Mr ，知半径 r 越小，周期越小，故 A知半径r 越小，角速度越大，故 C 错误；向心加速度 a =学寻，知半径r 越小，向心加速度越大，故D 正确.答案：D3•“空间站”是科学家进行天文探测和科学试验的特殊而又重要的场所•假设“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致.下列说法正确的有（）A •“空间站”运行时的加速度小于同步卫星运行的加速度B •“空间站”运行时的速度等于同步卫星运行速度的，10倍C .站在地球赤道上的人观察到“空间站”向东运动D •在“空间站”工作的宇航员因不受重力而可在舱中悬浮速度，故A 错误；根据 G^Mm = m*得v =. GM ，离地球表面的高度不是其运动半径，所以线速度之比不是.10 : 1，故B 错误；轨道半径越大，角速度越小，同步卫星和地球自转的角速度相同，所以空间站的角速度大于地球自转的角速度，所以站在地球赤道上的人观察到空间站向东运动，故 C 正确；在“空间站”工作的宇航员处于完全失重状态，重力充当向心力和空间站一起做圆周运动，故D 错误.答案：C—r 辰忠提升j -------------------------------------------------人造卫星问题的解题技巧，知半径r 越小，线速度越大，故 B 错误；角速度 3=解析：根据G Mm Gm “yr = ma 得 a =~rr ，知空间站”运行的加速度大于同步卫星运行的加错误；线速度 v =GMGM戸,(1) 利用万有引力提供向心力的不同表达式 2 2GMm v24 n r—== mr 3= m=^ = ma n r r T(2) 解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律.①卫星的a n 、V 、3、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化.⑶要熟记经常用到的常数，如地球自转一周为一天，绕太阳公转一周为一年，月球绕地球公转一周为一月(27.3天)等.考点三卫星的发射和变轨问题授课提示：对应学生用书第57页梳理主干填准记牢叩己|1. 第一宇宙速度(环绕速度)v i = 79 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度, 还是绕地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度.2. 第二宇宙速度(脱离速度)V 2 = 11.2 km/s ，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度. 3. 第三宇宙速度(逃逸速度)V 3= 16! km/s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.-------------------------------------------1. 第一宇宙速度的两种计算方法 ^Mm. m vf 得 v 叫 /GM (1) 由 GR 2 = % 得 v = R.2(2) 由 mg = mR 得 v = . g R . 2. 卫星变轨的分析(1)变轨原因：当卫星由于某种原因速度突然改变时 (开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行.②a n 、 V 、 3、 T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定.2Mm v o 2 n o ⑵变轨分析：卫星在圆轨道上稳定时，G-^r = m? = m w 2r = m 〒2r.2①当卫星的速度突然增大时，vm*，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大•当卫星进入新的轨道稳定运行时，由GM 可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加;②当卫星的速度突然减小时，＞疋，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小•当卫星进入新的轨道稳定运行时，由GM可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小.1.（多选）（2015高考广东卷）在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到 2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球•已知地球、火星两星球的质量比约为10 : 1，半径比约为2：1•下列说法正确的有（）A •探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B •探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C .探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D •探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大解析：由GMRm = mvR 得，v = ；GRM , 2v = '，，2GM ，可知探测器脱离星球所需要的发射速度与探测器的质量无关， A 项错误；由F = GMm 及地球、火星的质量、半径之比可做负功，引力势能增大， D 项正确.答案：BD 2.（多选）2013年12月2日我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图所示，地面发射后奔向月球，在P 点从圆形轨道I 进入椭圆轨道n, Q 为轨道H 上的近月点•下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是（）N0.2報组训竦提升能力远川知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大, 探测器脱离两星球所需的发射速度不同,C 项错误；探测器在脱离两星球的过程中，引力B 项正确；由2GM” 盲可知,A •发射速度一定大于 7.9 km/sB •在轨道n 上从 P 到Q 的过程中速率不断增大C •在轨道n 上经过 P 的速度小于在轨道I 上经过 P 的速度D •在轨道n 上经过 P 的加速度小于在轨道I 上经过 P 的加速度解析：“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于 7.9 km/s , A 正确•在轨道n 上从P到Q 的过程中速率不断增大，选项B 正确.“嫦娥三号”从轨道I 上运动到轨道n 上要减速，故在轨道n 上经过 P 的速度小于在轨道I 上经过 P 的速度，选项 C 正确.在轨道n 上经过P 的加速度等于在轨道I 上经过P 的加速度，D 错.答案：ABC3.（2016成都石室中学二诊）如图所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星 A 、B 、C ,在某一时刻恰好在同一条直线上•它们的轨道半径之比为说法中正确的是（）B .三颗卫星具有机械能的大小关系为 E A V E B V E CC • B 卫星加速后可与 A 卫星相遇D • A 卫星运动27周后，C 卫星也恰回到原地点解析：根据万有引力提供向心力G M ^p = ma ,得 a = G r ，故 a A : a B : a c=2 ：」2 ：」2r r r A r B r c1 1 1=* ：歹：32= 36 ： 9 ： 4，故A 错误；卫星发射的越高，需要克服地球引力做功越多，故机械能越大，故 E A V E B V E C ,故B 正确；B 卫星加速后做离心运动，轨道半径要变大，不可C 的周期应为A 的周期的27倍，故D 错误.答案：B1 :2 : 3,质量相等，则下列能与A 卫星相遇，故 C 错误；根据万有引力提供向心力 _Mm 4 n= m*27周后, C 卫星也恰回到原地点，则A •三颗卫星的加速度之比为r ，得 T = 2 所以T C即T C = ■.27T A 若 A 卫星运动反忠捉升」航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v=、代皿判断.(2) 航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大.航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速考点四天体运动中的双星或多星模型授课提示：对应学生用书第58页N0.1梳理主干牢固记忆1•模型构建片巾“ —GY绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示.2. 模型条件(1) 两颗星彼此相距较近.(2) 两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动.⑶两颗星绕同一圆心做圆周运动.3. 模型特点(1) “向心力等大反向”一一两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1 = F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力.(2) “周期、角速度相同”一一两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等.(3) “半径反比” 一一圆心在两颗行星的连线上，且「1 + r2= L,两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比.题组训练提升能力运用|1 •双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动•研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化•若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T ,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为（）解析：设两颗双星的质量分别为m i 、m 2，做圆周运动的半径分别为 r i 、「2,根据万有 m i m 24 nm i m 24 n引力提供向心力可得G ----------- = m i r i 2 , G ---------------- = m 2「2 2，联立两式解得 m i + m 2 =r i + r 22 1 r i + r 22 1变为原来的n 倍时，两星圆周运动的周期为T ' B 正确，A 、C 、D 错误.答案：B2.（多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用•设四星系统中每个星体的质量均为四颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上•已知引力常量为 G.关于四星系统，下列说法正确的是（）A •四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B •四颗星的轨道半径均为aC ・四颗星表面的重力加速度均为罟解析：其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点, 围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为 B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得 G m m _= m ' g ，解得g =罟，故C故D 正确.4 n r i + r 24 n r i + r 2 GT 2，即T 2=，因此，当两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离G m i + m 2m ,半径均为 R , 正确；由万有引力定律和向心力公式得D •答案：ACD3•如图所示，双星系统中的星球 A 、B 都可视为质点.A 、B 绕两者连线上的 0点做匀速圆周运动，A 、B 之间距离不变，引力常量为 G ,观测到A 的速率为v 、运行周期为T ,A 、B 的质量分别为m i 、m 2.⑴求B 的周期和速率.⑵A 受B 的引力F A 可等效为位于0点处质量为 m '的星体对它的引力，试求m '.（用 m i 、m 2 表示）解析：（1）设A 、B 的轨道半径分别为r i 、r 2，它们做圆周运动的周期 T 、角速度3都相同，根据牛顿第二定律有F A = m i 32r i , F B = m 2w 2r 2，即三=需故B 的周期和速率分别为:十十十m i r i m i vT B =T A =T，VB=3r= 3韦2 =石2m i + m 2⑵A 、B 之间的距离r = r i +「2= 匚厂r i ，根据万有引力定律有Gm i m 2 Gm i m 'F A=，m 23 2.m i + m 23答案：⑴T mv ⑵右辰忠捉升」解答双星问题应注意 “两等”“两不等”（1）双星问题的“两等” ①它们的角速度相等.②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的.⑵双星问题的“两不等” ①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离.所以m '［随堂反馈］授课提示：对应学生用书第59页1. （2015高考重庆卷）宇航员王亚平在“天宫 1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象.若飞船质量为m ,距地面高度为 h ,地球质量为M ，半径为R ,引力常量为 G ,则飞船所在处的重力加速度大小为（）GMm , /口GM解析：由 2= mg '得g ' =2, B 项正确.R +h 2 R +h 2答案：B2. （2015高考北京卷）假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么（）A .地球公转周期大于火星的公转周期B .地球公转的线速度小于火星公转的线速度C .地球公转的加速度小于火星公转的加速度D .地球公转的角速度大于火星公转的角速度解析：地球的公转半径比火星的公转半径小，由知能TftHINO YAN|Ll>ANB.GM R + hC.GMm R + hD. GM T 2 GMm 2 n _尹=m — 2r ，可知地球的周期比火星的周期小，故 A 项错误；由響=m可知地球公转的线速度大，故B 项错误；由G%m = ma ，可知地球公转的加速度大,项错误；由G^^m = m w 2r ，可知地球公转的角速度大，故D 项正确.答案：D3 .已知地球质量为 M ，半径为为G.有关同步卫星，下列表述正确的是R , 自转周期为 T ,地球同步卫星质量为 m ,引力常量A .卫星距离地面的高度为GM②由m i 32r i = m 232r 2知，由于 m i 与m 2一般不相等，故 r i 与「2 —般也不相等.B •卫星的运行速度等于第一宇宙速度C .卫星运行时受到的向心力大小为G M R2rD .卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度等于第一宇宙速度，同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，B 错误；同步卫星运行时的向心力大小为F 向=GMm C 错误；由G M?m = mg 得地球表面的重力加速度 g = G^,而R +h 2RR同步卫星所在处的向心加速度g ' =-GM -, D 正确.R + h 2答案：D4. （2015成都七中二诊）2013年12月2日，嫦娥三号探测器由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察.假设嫦娥三号在环月圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力.则（）A .若已知嫦娥三号环月圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以计算出月球的密度B .嫦娥三号由环月圆轨道变轨进入环月椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速C .嫦娥三号在环月椭圆轨道上P 点的速度大于 Q 点的速度D .嫦娥三号在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小解析：根据万有引力提供向心力 G Mm = m^r ，可以解出月球的质量 M = ^7"2，由于 r I GI 不知道月球的半径，无法知道月球的体积，故无法计算月球的密度，故A 错误；嫦娥三号在环月段圆轨道上 P 点减速，使万有引力大于向心力做近心运动，才能进入环月段椭圆轨道，故B 错误；嫦娥三号从环月椭圆轨道上P 点向Q 点运动过程中，距离月球越来越近，月球对其引力做正功，故速度增大，即嫦娥三号在环月段椭圆轨道上P 点的速度小于 Q 点的速度，故 C 错误；卫星越高越慢，第一宇宙速度是星球表面近地卫星的环绕速度，故嫦解析:GMm2 n 2 ,口 2= m(R + h) ~T 2得 R + h 2 13GMT 2h= j ZT - R ，A 项错误；近地卫星的运行速度娥三号在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小，故答案：D 5.—物体在距某一行星表面某一高度处由静止开始做自由落体运动，依次通过A 、B 、C 三点，已知 AB 段与BC 段的距离均为0.06 m ，通过AB 段与BC 段的时间分为0.2 s 与0.1 s ,求：(1)该星球表面重力加速度值；⑵若该星球的半径为 180 km ,则环绕该行星的卫星做圆周运动的最小周期为多少？解析：(1)根据运动学公式，由题意可得 1x = V 1t 1 + 2gt代入数值可求得g = 2 m/s 2.Mm 2 n _⑵对质量为 m 的卫星有 = m — 2r可知当R = r 时卫星做圆周运动的最小周期为代入数据解得 T 最小=600 n . 答案：(1)2 m/s 2(2)600 n s［课时作业］授课提示：对应学生用书第243页一、单项选择题1. (2016成都市石室中学一诊)下列说法正确的是( )A •洗衣机脱水桶脱水时利用了离心运动B •牛顿、千克、秒为力学单位制中的基本单位C .牛顿提出了万有引力定律，并通过实验测出了万有引力常量D •理想实验是把实验的情况外推到一种理想状态，所以是不可靠的解析：洗衣机脱水时利用离心运动将附着在衣服上的水分甩掉，水做离心运动•故 A正确；米、千克、秒为力学单位制中的基本单位，而牛顿不是基本单位，故B 错误；牛顿D 正确.2x = V 1 t 1 + t 2 + 2g t 1+ t 2星球表面有Mm=m ' g提出了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了万有引力常量，故 C 错误；理想实验是把实验的情况外推到一种理想状态，是可靠的，故D 错误.答案：A2•欧洲天文学家在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的行星，命名为“格利斯 581c ”.该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的 1.5倍.设想在该行星表面附近绕行星圆轨道运行的人造卫星的动能为 E k1，在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的相冋质量的人造卫星的动能为 E k2，则学为（E k2)A . 0.13B . 0.3C . 3.33D . 7.5解析：在行星表面运行的卫星其做圆周运动的向心力由万有引力提供 Mm v 2故有 G~r = m~,r r1所以卫星的动能为 E k = 2mv 2 = GMm =2rGM 地m故在地球表面运行的卫星的动能E k2 =2R 地答案：C 3.（2015高考天津卷）未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示•当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力•为达到上述目的，下列说法正确的是（）A .旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大在“格利斯”行星表面运行的卫星的动能GM 行m E k1 =E k1所以有E 2GM 行m2R 行GM 地m 2R 地M 行R 地 5 1• = — XM 地 R 行 11.51033.33.B .旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C .宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D •宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小解析：宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，受到的侧壁对他的支持力等于他站在地球越大，需要的角速度越小， A 项错误，B 项正确.答案：B4. 一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速 1度大小减小为原来的2则变轨前后卫星的（）A .轨道半径之比为 1 : 2B .向心加速度大小之比为 4 ： 1C .角速度大小之比为 2 : 1D .周期之比为1 : 8解析：卫星绕地球做圆周运动过程中，万有引力充当向心力,严=2?豊=4，A 项错；6节平=ma? a =号単，所以鲁=16, B 项错；由开普勒第三T 4QT" = & D项正确；因为 T =」，角速度与周期成反比，故号=8, C 项 12 8 GG 2错.答案：D5•美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星“开普勒-226”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周，距离地球约600光年，体积是地球的 2.4倍.已知万有引力常量和地球表面的重力加速度.根据以上信息，下列推理中正确的是（）A •若能观测到该行星的轨道半径，可求出该行星所受的万有引力B .若该行星的密度与地球的密度相等，可求出该行星表面的重力加速度C .根据地球的公转周期与轨道半径，可求出该行星的轨道半径D •若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的轨道半径解析：根据万有引力公式 F =，由于不知道中心天体的质量，无法算出向心力，故A 错误；根据万有引力提供向心力公式 G^Mm = mg ，有g = G%，若该行星的密度与地球表面时的支持力，则mg = mr GJ ,C 、D 项错误；半径V 1 V 2G 132因此角速度与质量无=m^? v =。

万有引力与航天天体质量和密度的估算

仅限于太阳系内,行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序
幕。“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为 4 天,轨道半径
约为地球绕太阳运动半径的210,该中心恒星与太阳的质量比约为(
)
A.110 B．1 C．5 D．10
应根据题中所给条件合理选择运算公式
解析根据万有引力提供向心力，有 GMr2m＝m4Tπ22r，
2. 可知:N=mg，解联立关系式即可得解.
转解析
【真题】
假设地球可视为质量均匀分布的
球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引力常量为 G。地球的密度为( )
A.G3πT2g0g－0 g
B.G3πT2g0g－0 g
C.G3πT2
D.G3πT2gg0 在赤道上的物体要考虑随地球自
R、T2
估算天体密度
注意适用条件
近地卫星
由 GMr2m＝m2Tπ12r 和 M=ρ×43πR3
得 ρ＝G3Tπ1r2R3 3
已知卫星绕天体运动半径r
和周期T 1
由 GMRm2 =m2Tπ22R 和 M=ρ×43πR3
得 ρ＝3π/GT22.
已知卫星绕
天体表面运
行周期T2
【例 2】
过去几千年来,人类对行星的认识与研究
【变式训练 2】(多选)已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量 M(已知引力常量 G)( ) A．地球绕太阳运行的周期 T1 及地球到太阳中心的距离 R1 B．月球绕地球运动的周期 T2 及月球到地球中心的距离 R2 C．地球绕太阳运行的速度 v3 及地球到太阳中心的距离 R3 D．人造卫星在地面附近的运行速度 v4 和运行周期 T4

应用万有引力定律估算天体质量和密度

0.4，故 B 正确。
7．(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于 2019 年 1 月在月球背面成功着陆，着
陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径
的 K 倍。已知地球半径 R 是月球半径的 P 倍，地球质量是月球质量的 Q 倍，地球
表面重力加速度大小为 g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
F
F 7F
万有引力为 8，故剩余部分对质点 P 的万有引力为 F－8＝ 8 ，C 正确。
4．(万有引力定律的应用)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体
的万有引力为零。假设地球是一个半径为 R、质量分布均匀的实心球体，O 为球
心，以 O 为原点建立坐标轴 Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(可视为质
宏观性巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
（2）应用万有引力定律的注意事项在以下三种情况下可以直接使用公式 F＝Gmr1m2 2计算： ①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的 r 表示两质点间的距离。 ②求两个质量分布均匀的球体间的万有引力：公式中的 r 为两个球心间的距离。 ③一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力：r 指质点到球心的距离。 (3)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据 F＝Gmr1m2 2得出 r→0 时 F→∞的结论，违背公式的物理含义。
知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，
C 能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的
质量，不能求出地球的质量，D 不能。
例 2.(2021 全国乙卷 18，6 分) 科学家对银河系中心附近的恒星 S2 进行了多年的持续观测，给出 1994年到 2002年间 S2 的位置如图所示。科学家认为 S2 的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU ）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获

万有引力定律应用中的合理近似

万有引力定律应用中的合理近似作者：刘达源来源：《中学教学参考·理科版》2012年第12期利用万有引力定律解决实际问题时，学生往往不知道从何处入手，采取什么样的近似。

这成了学生学习万有引力定律的瓶颈，本文结合例题作些分析讨论。

合理的近似，是人们在日常生活中对一些无法进行精确测量和计算的数量，进行近似的或粗略估计的一种方法。

一个人估算能的强弱直接影响到他的生活节奏的快慢和工作效率的高低。

让学生意识到估算的价值，增强估算的意识，从而自觉地应用估算，具有重要的意义。

合理的近似计算往往能够体现学生是否有明确的物理思想与求解问题的灵活方法，也往往体现出学生学习潜力和科学素质。

合理的近似，不仅仅是一种计算方法，还能充分利用物理知识，把握问题的物理本质。

对培养学生灵活运用物理知识解决实际问题的能力具有不可低估的作用。

所以说，学会合理地近似是培养学生能力，提高学生素质的重要手段。

高中物理中的合理近似是对物理量的大致数据范围或数量级进行科学推算，以及合理地利用相关物理知识把握问题的本质，进行相应的推理计算。

特别是在万有引力定律的应用上，合理近似尤为重要。

在科技高速发展的今天，学生的数字计算能力急速退化。

现在的学生，一遇到大的数字计算，首先想到的是计算器而不是想着自己如何动笔来算算，导致在考试时最终的结果不能准确地计算出来，但是如果能在平时的教学中，注重培养学生的估算能力就不至于在没有计算器的情况下就不知所措。

一、数量级计算在万有引力定律的应用中，经常会涉及很大数量级的计算问题，天体运动中的一些常数就是很大的数字，比如万有引力常数--，地日之间的距离r=1.49等等，在实际教学中发现，如果遇到这种计算题，学生常把物理过程写出来，把数据代入，但不会计算出结果。

基于这种情况，就要教会学生大胆地进行估算。

当遇到这种数量级的计算时，利用“四舍五入”化为整数，可大大简化计算，且不会影响数量级。

另外，有时对于π的近似也很关键，较为准确的数值是3.14，而在天体运动的计算中就可以近似为3，化为整数，不会影响计算结果。

从万有引力定律的应用谈物理高考的估算问题

从万有引力定律的应用谈物理高考的估算问题作者：林泽星来源：《读写算》2018年第06期摘要随着现代社会教育事业的发展进步，对于高中学习来说其越来越受到人们的重视，这也与我国传统的教育形式有关，高中学习是学生学习中最为重要的一个阶段，其也是学生进入大学学习的前阶段，因此这就使得学生、家长和学校对高中阶段的学习是十分重视的。

在高中学习的过程中，尤其是在物理学习的过程中，万有引力定律的学习是比较重要的，因此本文就主要是在万有引力定律的基础上对物理高考中的估算问题进行分析研究，希望通过本文的分析可以为高考物理估算问题的学习提供一些建议和借鉴，促进学生的学习和进步。

关键词万有引力定律；物理；高考；估算；问题；分析研究中图分类号：G633.7，V221+.5，B01，N34 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）06-0250-01对于万有引力定律来说，其主要是在17世纪被发现的，万有引力的出现是自然科学伟大的成果之一，其不仅是统一了地面上物体运动的规律与天体运动的规律，而且还第一次揭示了自然界基本的相互作用，也就是我们所说的引力相互作用的基本规律，万有引力定律的出现对物理学和天文学的发展产生了重要的影响和价值。

而在高中物理学生的过程中，万有引力定律的学生是高中物理学习中一个非常重要的知识点，它在天体运动的研究中有着广泛的应用，正是由于其所發挥的重要作用，因此这就使得万有引力定律成为高考物理考试中的热点和重点问题，而在实际分析研究的过程中应用万有引力定律研究天体运动为载体，不仅是可以极大的激发学生探索科学真理的欲望，而且还可以在这个过程中培养学生使用知识解决实际问题的能力，因此本文就主要是对万有引力定律的应用谈物理高考的估算问题进行分析研究。

一、万有引力定律及适用条件分析（1）万有引力定律分析。

自然界任何物体之间都存在着相互作用的引力，我们就将存在的这种引力称之为万有引力，由于两个物体之间引力的大小是和物体的质量乘积成正比，与物体之间的距离的平方成反比，方向沿其连线。

万有引力定律计算题精粹

《万有引力定律》计算题练习1．已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。

某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球做圆周运动，由222MmG m hh Tπ⎛⎫= ⎪⎝⎭得2324hMGTπ=。

（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。

如不正确，请给出正确的解法和结果；（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。

2．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。

双星系统在银河系中很普遍。

利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。

（引力常量为G）3．2011年8月25日23时27分，经过77天的飞行，“嫦娥二号”在世界上首次实现从月球轨道出发，受控准确进入日地系统——拉格朗日L2点的环绕轨道，如图所示。

已知地球半径为R0，地球表面重力加速度为g。

（1）若月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径r；（2）日地系统——拉格朗日L2点在太阳与地球连线上的地球外侧，由于同时受到太阳和地球的引力，飞船绕太阳运动的周期与地球的公转周期相等（不考虑月球及其他因素影响）。

若地球轨道半径为R，公转周期为T0，试写出计算日地系统——拉格朗日L2点到地球的距离L的表达式（只要求写出用已知量表示的关系式）。

4．如图所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ，石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。

如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。

万有引力题型归类

万有引力定律的应用归纳为三大类的问题第一类问题：涉及重力加速度“g 〞的问题解题思想：G F =万，即万有引力等于重力G 2rMm =mg 表述方式一般表达两种：〔1〕在星体外表或外表附近〔2〕不考虑星体自转说明：上式中的“M 〞表示所涉及重力加速度的星球，“m 〞表示任意假设的一个物体，“r 〞表示所问及处加速度g 与球心的距离题型分析：题型一:两星球外表重力加速度的比较〔外表问题〕外表重力加速度：2002RGM g mg R Mm G =∴= 1、一个行星的质量是地球质量的8倍，半径是地球质量的4倍，这颗行星外表的重力加速度是地球外表重力加速度的多少倍.2、地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ,要使赤道上的物体“飘〞起来,则地球转动的角速度应为原来的( ) A.g a B.a a g + C.a a g - D. ag 题型二：非星球外表重力加速度的计算〔高空问题〕轨道重力加速度：()()22h R GMg mg h R GMmh h +=∴=+1、地球半径为R ，地球附近的重力加速度为0g ，则在离地面高度为h 处的重力加速度是〔〕A.()202h R g h + B.()202h R g R + C.()20h R Rg + D.()20h R g +2、万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球外表的重力加速度g 。

*同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地球作圆周运动，由h T m h Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π得2324GT h M π= ⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。

如不正确，请给出正确的解法和结果。

⑵请根据条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。

题型三：与运动学相结合的计算1、*星球质量为地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，在该星球外表从*一高度以10 m/s 的初速度竖直向上抛出一物体，从抛出到落回原地需要的时间为多少.〔g 地=10 m/s 2〕2、我国在2021年实现探月方案——“嫦娥工程〞．同学们也对月球有了更多的关注．假设地球半径为R ，地球外表的重力加速度为g ，假设宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球外表*处以速度v 0竖直向上抛出一个小球，经过时间t ，小球落回抛出点．月球半径为r ，万有引力常量为G ，试求出月球的质量M 月．3、宇航员在地球外表以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；假设他在*星球外表以一样的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处。

万有引力习题及答案

【典型例题】例1、海王星的公转周期约为5.19×109s ，地球的公转周期为3.16×107s ，则海王星与太阳的平均距离约为地球与太阳的平均距离的多少倍？例2、有一颗太阳的小行星，质量是1.0×1021kg ，它的轨道半径是地球绕太阳运动半径的2.77倍，求这颗小行星绕太阳一周所需要的时间。

例3、16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出了“日心说”的如下四个观点，这四个论点目前看存在缺陷的是（）A 、宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。

B 、地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运转的同时还跟地球一起绕太阳运动。

C 、天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象。

D 、与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多。

例4．假设已知月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，假如地球对月球的万有引力突然消失，则月球的运动情况如何？若地球对月球的万有引力突然增加或减少，月球又如何运动呢？【针对训练】1、某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的1/3则此卫星运行的周期大约是：（）A ．1－4天之间B ．4－8天之间C ．8－16天之间D ．16－20天之间2、两行星运行周期之比为1：2，其运行轨道的半长轴之比为：（）A.1/2B. 22C. 3221D.23213、地球到太阳的距离是水星到太阳距离的2.6倍，那么地球和水星绕太阳运转的线速度之比是多少？（设地球和水星绕太阳运转的轨道是圆轨道）4．关于日心说被人们所接受的原因是（）A ．以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题B ．以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星的运动的描述也变得简单了C ．地球是围绕太阳转的D ．太阳总是从东面升起从西面落下5、考察太阳M 的卫星甲和地球m(m<M)的卫星乙，甲到太阳中心的距离为r1，乙到地球中心的距离为r2，若甲和乙的周期相同，则：（）A 、r1>r2B 、r1<r2C 、r1=r2D 、无法比较6、设月球绕地球运动的周期为27天,则地球的同步卫星到地球中心的距离r与月球中心到地球中心的距离R 之比r/R为（）A. 1/3B. 1/9C. 1/27D. 1/18【能力训练】1、关于公式R3 ／T2=k,下列说法中正确的是（）A.公式只适用于围绕太阳运行的行星B.不同星球的行星或卫星，k值均相等C.围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等D.以上说法均错2、地球质量大约是月球质量的81倍,在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（）A. 1：27B. 1：9C. 1：3D. 9：13、两颗小行星都绕太阳做圆周运动，它们的周期分别是T和3T，则（）A、它们绕太阳运转的轨道半径之比是1：3B、它们绕太阳运转的轨道半径之比是1：39C、它们绕太阳运转的速度之比是：1：4D、它们受太阳的引力之比是9：74、开普勒关于行星运动规律的表达式为kTR23，以下理解正确的是（）A.k是一个与行星无关的常量B.R代表行星运动的轨道半径C.T代表行星运动的自传周期D.T代表行星绕太阳运动的公转周期5、关于天体的运动，以下说法正确的是（）A.天体的运动与地面上物体的运动遵循不同的规律B.天体的运动是最完美、和谐的匀速圆周运动C.太阳从东边升起，从西边落下，所以太阳绕地球运动D.太阳系中所有行星都绕太阳运动6、关于太阳系中各行星的轨道，以下说法正确的是：（）A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆B.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆C.不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的D.不同的行星绕太阳运动的轨道各不相同7、如果某恒星有一颗卫星，此卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的平均密度ρ=_________（万有引力常量为G）8、两颗行星的质量分别是m1,m2，它们绕太阳运转轨道的半长轴分别为R1、R2，如果m1=2m2,R1=4R2,那么，它们的运行周期之比T1：T2=9、已知两行星绕太阳运动的半长轴之比为b，则它们的公转周期之比为多少？10、有一行星，距离太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的８倍，则该行星绕太阳公转周期是多少年？11、地球公转运行的轨道半径Ｒ＝1.49×1011m,若把地球的公转周期称为１年，土星运行的轨道半径是ｒ＝1.43×1012m，那么土星的公转周期多长？参考答案：例1. 646倍例2. 4.61年例3. ABC 例4. 略。

万有引力定律应用典型题型(全)

万有引力定律应用的典型题型【题型1】天体的质量与密度的估算（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π 得2324GT r M π= 又ρπ⋅=334R M 得3233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。

现有一中子星，观测到它的自转周期为T =301s 。

问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。

计算时星体可视为均匀球体。

(引力常数G =6.67⨯1011-m 3/kg.s 2)解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有R m R GMm 22ω= T πω2= ρπ334R M =由以上各式得23GT πρ=，代入数据解得：314/1027.1m kg ⨯=ρ。

点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。

变式训练：数据能够估算出地球的质量的是（） A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。

月球也是地球的一颗卫星。

设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r根据万有引力定律：r T4m r Mm G 222π=……①得：232G T r 4M π=……②可见A 正确而Tr2v π=……由②③知C 正确对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3R 4M3π=ρ……⑤结合②④⑤得：G3T 2π=ρ 可见D 错误地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力由2RMmG mg =得：G g R M 2=可见B 正确【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。

专题五万有引力与航天估算问题

专题五万有引力与航天估算问题的思维与解答方法1.物理估算,一般是依据一定的物理概念和规律,运用近似计算方法,对物理量的数值或取值范围进行大致的推算。

2.物理估算是一种重要方法,有的物理问题,在符合精确度的前提下,可以用近似的方法简捷处理;有的物理问题,由于本身条件的特殊性,不需要也不可能进行精确计算,在这种情况下,估算就成为一种既符合科学又有实用价值的特殊方法。

3.有一些天体运动方面的估算题,常需要利用一些隐含条件或生活中的物理常识,应有意识地加以利用。

如:在地球表面的物体受到的万有引力近似等于重力;地球表面附近重力加速度g=9.8m/s2,地球自转周期T=24h,公转周期T'=365天,月球绕地球公转周期约为27天等。

1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度。

根据你学过的知识,能否知道地球密度的大小。

解题思路关键词:①估算,②平均密度。

由GM=gR2,V=πR3,ρ=→ρ=。

解析本题实际是要求进行估算,因而如何挖掘题目中的隐含条件是关键。

而我们学过的知识中能与地球质量、密度相联系的应首先想到万有引力定律。

设地球质量为M,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,忽略地球自转的影响,根据万有引力定律得g=①将地球看成均匀球体,有V=πR3②由①②两式得地球的平均密度ρ==③③式中π、G、R和g均为常数,将它们的值代入可得ρ=5.5×103kg/m3,即地球的平均密度为ρ=5.5×103kg/m3。

答案 5.5×103kg/m3点评估算法是高中物理中常用的特殊方法之一,具有典型的物理思想,是高考永恒的热点,建议考生熟练掌握此方法。

同时最好能记住那些常用的数据。

如太阳、地球的M、R,地球、月球的T、ω等。

变式训练已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390,月球绕地球旋转的周期约为27天。

利用上述数据以及日常的天文知识,可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为()A.0.2B.2C.20D.200解析设太阳到地球的距离为R,地球到月球的距离为r,太阳、地球和月球的质量分别为m S、m E和m。

估算法在万有引力习题中的应用

估算法在万有引力习题中的应用
作者：尚振丰李丹
来源：《中学物理·高中》2016年第02期
万有引力的知识是高考的高频考点，在各种考试当中经常出现，在高考试题当中也是屡见不鲜，但有关万有引力的有些计算数据不规整，计算难度大，很多同学在此浪费很多时间最后还是徒劳无功，这时如果同学们能巧妙大胆的进行估算，一定会绕开复杂的计算，快速的找到正确答案，达到柳暗花明的效果，现举三例如下.
例1 2008年9月25日21时10分，神州七号飞船在酒泉卫星发射中心由长征二号F型火箭成功发射，经过578 s飞船与火箭在高度约为200 km处成功分离，26日4时03分，飞船启动变轨程序，约64 s后，飞船运行在约343 km的近地圆形轨道，27时16时41分，身着中国研制的“飞天”舱外航天服的翟志刚走出船舱，开始沿着轨道舱壁活动，17时许，翟志刚成功返回船舱，舱门关闭.在19 min 35 s的舱外活动中，翟志刚飞过的轨道长度大约为多少？（地球半径6400 km）。

万有引力计算题

(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h高处以速度水平抛出一个小球，小球落回月球表面时与抛出点间的水平距离为s，已知月球的半径为，引力常量为G，试求月球的质量 .
74．一宇航员站在某一星球表面上，以初速度v0沿水平方向抛出一小球，经过时间t小球落到星球表面，落地时速度与竖直方向的夹角为300，已知该星球的半径为R，引力常量为G.求：
57．卫星做匀速圆周运动的周期；
58．卫星绕地球一周，太阳能收集板工作时间。
61．我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年的时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注，以下是某位同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你回答：
（1）若已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运行的周期为T，且把月球绕地球的运行近似看作是匀速圆周运动。试求出月球绕地球运行的轨道半径.
①试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都与它们的质量成反比；
②设二者质量分别为m1和m2，二者相距L，试写出它们的角速度的表达式。
45．（9分）某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高为h处平抛一物体，水平射程为120m（不计空气阻力），试求：
（1）该星球表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值；
（2）从该星球上，从同样高度以同样速度平抛一物体的水平射程。
47．（1）（6分）某行星有一质量为m的卫星，卫星绕行星做匀速圆周运动，其运动半径为r，周期为T，求行星的质量（已知万有引力常量为G）。
（2）（12分）小钢球质量为m，沿光滑的轨道由静止滑下，轨道形状如图所示，与光滑轨道相接的圆形轨道的半径为R，要使小球沿光滑轨道恰能通过最高点，物体应从离轨道最低点多高的地方开始滑下？
（1）月球的质量；

引力与万有引力定律的数值计算

引力与万有引力定律的数值计算在我们的日常生活中，我们都能感受到地球对我们的引力。

事实上，引力是一个普遍存在的现象，地球对物体的引力只是其中的一个例子。

而万有引力定律则是描述物体之间相互作用力的基本定律。

本文将介绍引力和万有引力定律，并通过数值计算来进一步理解这一定律。

引力是指物体之间的相互吸引力。

根据牛顿的万有引力定律，任何两个物体之间的引力都与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。

万有引力定律的数学表达式如下：F =G * (m1 * m2)/ r^2其中，F表示物体之间的引力，G为万有引力常数（约为6.67430 × 10^-11N*m^2/kg^2），m1和m2分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离。

为了更好地理解万有引力定律，让我们通过一个例子进行数值计算。

假设有两个质量分别为10 kg和20 kg的物体，它们之间的距离为5米。

现在我们来计算它们之间的引力。

根据万有引力定律的公式，我们首先计算出两个物体之间的引力常量值：G = 6.67430 × 10^-11 N*m^2/kg^2接下来，我们代入已知的数值进行计算：F = (6.67430 × 10^-11 N*m^2/kg^2) * (10 kg * 20 kg) / (5米)^2计算得到：F = 2.669720 × 10^-9 N因此，这两个物体之间的引力为2.669720 × 10^-9 N。

从这个例子中，我们可以看出，引力的大小取决于物体的质量和它们之间的距离。

质量越大，引力越大；距离越近，引力也越大。

这是因为物体的质量增加会增强引力的作用，而距离减小会增加引力的强度。

除了两个物体之间的引力，引力也存在于地球和其他物体之间，如地球和月球之间的引力。

根据万有引力定律，地球对月球的引力也可以通过数值计算进行估计。

让我们假设地球的质量为5.972 × 10^24 kg，月球的质量为7.348 × 10^22 kg，它们之间的平均距离为3.844 × 10^8 米。

高考物理专题复习：估算题的求解思路

高考物理专题复习：估算题的求解思路(附参考答案)灵活运用物理知识对具体问题进行合理的估算，是考生科学素质和学习潜能的重要体现.因此近几年的高考命题中，几乎每年都有估算型命题出现，应引起足够的重视.估算题不仅是直觉思维能力的集中表现，在科学研究和工程技术具有极其重要的意义，而且对培养综合分析能力和灵活运用物理知识解决实际问题的能力，也具有不可低估的作用。

为了正确而迅速地进行估算与信息题的处理，一般应注意以下几方面的问题：1、突出主要矛盾，忽略次要因素，建立合理的模型。

2、根据物理规律，建立估算关系或信息联系；估算结果的数量级必须正确，有效数字取1~2位即可。

3、熟悉常用的近似计算公式和物理常数。

（一）高考命题特点物理估算题，一般是指依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所求物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的、合理的推算.其特点是在“理”不在“数”，它要求考生在分析和解决问题时，要善于抓住事物的本质特征和影响事物发展的主要因素，忽略次要因素，从而使问题得到简捷的解决，迅速获得合理的结果.（二）估算题分类及求解思路中学物理中常见的估算题类型有：隐含条件型、联系实际型、分析综合型.解决估算题的一般思路：1.挖掘隐含条件估算题大都文字简短，给出的数据少，甚至没有具体条件.因此，要特别重视审题，从字里行间，附图、附表中发掘隐含条件，寻找解题钥匙.2.寻找解题依据在推敲题意的基础上，充分发挥想象力、联想力，根据基本概念基本规律，把条件与结论挂钩.3.建立物理模型确定条件与结论的关联后，通常把问题置于常态下或典型环境中进行处理，有时要抓主舍次近似处理，建立合理模型或理想模型.4.适当选取数据解题所需数据，通常可从日常生活，生产实际与熟知的基本常数、常用关系等方面获取，如成人体重约600 N ，汽车速度约10～20 m/s ，常温约300 Ｋ等……5.理出简明思路根据被求量物理意义的内涵与外延，进行层次分明的分析推理，确定估算方法，依基本概念、规律布列方程.（三）常用估算方法理想模型法；利用合理近似估算法；利用常量估算法；创设物理情景估算法.2007高考理综北京卷18．图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片。