直线的方向向量与点向式方程
直线的方向向量怎么求
直线的方向向量怎么求
空间直线点向式方程的形式为（和对称式相同）：(x-
x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其方向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。
空间直线的一般方程求方向向量
空间直线点向式方程的形式为（和对称式相同）(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其方向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。
比如直线x+2y-z=7-2x+y+z=7
(1)先求一个交点,将z随便取值解出x和y不妨令z=0由
x+2y=7-2x+y=7解得x=-7/5,y=21/5所以(-7/5,21/5,0)为直线上一点
(2)求方向向量因为两已知平面的法向量为(1,2,-1),(-
2,1,1)，所求直线的方向向量垂直于2个法向量。
由外积可求方向向量=(1,2,-1)×(-2,1,1)=i j k1 2 -1-2 1 1=3i+j+5k 所以直线方向向量为(3,1,5)
直线的方向向量
直线上的矢量和与之共线的矢量称为直线的方向矢量。
所以只要给定直线，便可构造两个方向向量（以原点为起点）。
即已知直线l：ax+by+c=0，则直线l的方向向量为
d1=(-b,a)或d2=(b,-a)。
已知定点Pο（xο,yο,zο)及非零向量v={l,m,n},则经过点Pο且与v平行的直线L就被确定下来，因此，点Pο与v是
确定直线L的两个要素，v称为L的方向向量。
由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的方向向量都有无数个。
空间直线方程的几种形式
空间直线方程的几种形式在空间解析几何中，直线是一个基本的几何要素。
直线是由两个不同的点所确定的，而其方向则由这两个点所连线的方向所决定。
在空间中，直线的方程有多种形式，本文将介绍其中的几种形式。
一、点向式点向式是指直线上的一点和直线的方向向量所构成的方程形式。
对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的点向式方程为：L: r = P + λv其中，r表示直线上的任意一点，λ为实数。
点向式方程的优点在于通过给定的点和方向向量，可以很容易地确定直线的方程。
同时，由于方向向量的存在，点向式方程也可以很方便地求出直线的参数方程和对称式方程。
二、参数式参数式是指直线上的任意一点可以表示为参数的函数形式。
对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的参数式方程为：x = x0 + tvxy = y0 + tvyz = z0 + tvz其中，t为参数，(x0,y0,z0)为直线上的一点，(vx,vy,vz)为方向向量。
参数式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点的坐标，同时也可以很容易地求出直线的对称式方程和点向式方程。
三、对称式对称式是指直线上的任意一点到直线上某一点的距离等于该点到直线上另一点的距离。
对于一条直线L，其上有两个不同的点P1和P2，则该直线的对称式方程为：(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z - z1)/(z2 - z1)其中，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)为直线上的两个不同的点。
对称式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点到直线上某一点的距离，同时也可以很容易地求出直线的参数式方程和点向式方程。
四、一般式一般式是指直线的方程可以表示为三个平面的交点形式。
对于一条直线L，其方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，(A,B,C)为直线的方向向量的分量，D为常数。
一般式方程的优点在于可以很容易地求出直线与其他平面的交点，同时也可以很方便地求出直线的参数式方程和点向式方程。
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式在空间几何学中，直线是一种基本的几何对象，描述了两个点之间的最短路径。
在三维空间中，直线的方程可以用五种不同的形式来表示。
这五种形式分别是点向式、对称式、一般式、参数式和标准式。
本文将对这五种形式进行详细的介绍和比较。
一、点向式点向式表示了直线上的一个点和直线的方向向量。
如果我们知道直线上的一个点P和它的方向向量d，那么直线上的任何一点Q都可以表示为：Q = P + td其中t是一个实数，表示从点P出发，沿着方向向量d走多远到达点Q。
点向式的优点是简单明了，易于理解和计算。
但是，它的缺点是不够精确，因为方向向量d可以有不同的长度和方向，所以同一条直线可以有多种不同的点向式。
二、对称式对称式表示了直线上的一个点和直线的对称轴。
如果我们知道直线上的一个点P和它到直线的距离d，那么直线上的任何一点Q都可以表示为：|PQ| = d其中|PQ|表示点P到点Q的距离。
对称式的优点是可以精确地表示直线的位置，而不受方向向量的影响。
但是，它的缺点是不太方便计算，因为需要计算点到直线的距离。
三、一般式一般式表示了直线的一般方程形式。
如果我们知道直线的方向向量d和一个点Q，那么直线的一般式可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C是方向向量d的三个分量，D是常数项，可以通过点Q的坐标和方向向量d计算得出。
一般式的优点是可以表示任何一条直线，而不受方向向量的限制。
但是，它的缺点是不够直观，不容易理解和计算。
四、参数式参数式表示了直线上的所有点都可以由一个参数t来表示。
如果我们知道直线上的两个点P和Q，那么直线的参数式可以表示为：x = x0 + t(x1 - x0)y = y0 + t(y1 - y0)z = z0 + t(z1 - z0)其中(x0, y0, z0)和(x1, y1, z1)分别是点P和Q的坐标，t是一个实数。
参数式的优点是可以方便地计算直线上的任何一点，而且可以通过改变参数t来遍历整条直线。
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式空间直线是三维几何中的基本概念之一，它在建模、计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍空间直线的五种方程形式，分别是点向式、参数式、对称式、标准式和一般式。
一、点向式点向式是一种常用的表示空间直线的方式，它使用一条直线上的一点和该直线的方向向量来描述直线。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的点向式方程为：$$vec{OP} = vec{OP_0} + tvec{v}$$其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$t$ 为参数。
点向式方程中的 $vec{v}$ 是直线的方向向量，它的模长为 $|vec{v}|$，方向与直线相同。
点向式方程的优点是简单明了，易于理解和计算。
二、参数式参数式是另一种表示空间直线的方式，它使用一个参数来描述直线上的所有点。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的参数式方程为：$$begin{cases}x = x_0 + tv_x y = y_0 + tv_y z = z_0 + tv_z end{cases}$$其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的一点，$(v_x, v_y,v_z)$ 是直线的方向向量，$t$ 是参数。
参数式方程中的 $t$ 可以取任意实数，它表示直线上的所有点。
参数式方程的优点是方便计算直线上的任意一点的坐标。
三、对称式对称式是一种表示空间直线的方式，它使用一个点和一个平面来描述直线。
设直线上一点为 $P$，平面的法向量为 $vec{n}$，则该直线的对称式方程为：$$vec{OP} cdot vec{n} = vec{OP_0} cdot vec{n}$$ 其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$vec{n}$ 是平面的法向量，$vec{OP_0}$ 是直线上的一点。
直线的方向向量与点向式方程
l
a
b
d
e
不唯一
c
互相平行
思考
1.在直线 l任取一点P(x, y), P0P的
P0 (x0 , y0 )
l
y P(x, y)
坐标是什么?
P0P (x x0 , y y0 )
2.
观察向量
P→0 P 与方向向量
v
v
有什么关系？
o
x
P0P// v
3. P0P与 v坐标间有什么关系？
求通过点A(1，-3)，且一个方向
向量 v (3, 2)的直线方程。
如果方向向量为
2x 3y 7 0 v (0, 2) 呢？
如果v1=（0 此时一定有v2 0） 则可得直线方程为
x x0
如果v2 =（0 此时一定有v1 0） 则可得直线方程为
y y0
大练兵
2. x 4 y 3 37
（4,-3） v (3, 7)
巩固强化
例1：求通过点A(1，-2)，且一个方向向量 v (1,3) 的直线方程。
解： 根据直线的点向式方程，得
x 1 1
y2 3
1.套公式列式
整理得所求直线的方程为 2.化简
3x y 1 0
试一试
o
x
o
x
v
x x0
通过点
P 0
(x 0
,
y 0
)且垂直于y轴的直线
通过点
P 0
(x 0
,
y 0
)且垂直于x轴的直线
直线方程教案
直线的方向向量与点向式方程教材：山东省职业教育教材《数学》第二册第八章第一节P 78-P 80 授课教师：莱州市第二职业中专 林淑梅 教材分析：本小节是第八章第一节课。
直线是最简单的几何图形，是解析几何的入门，解析 几何是数形结合的典范，向量是数形结合的有力工具。
“直线方程”这部分，抓住“一个点和一个方向确定一条直线”这一主线，利用向量这一工具，推导了直线的点向式方程、点法式方程和点斜式方程。
本节课直线的点向式方程又是所有直线方程的开头，起着启下的重要作用。
通过直线与方程的教学，使学生从感性上认识直线与二元一次方程的关系，为下面进一步学习圆锥曲线打下基础。
教学目标：1、知识目标：（1）理解直线的方程、方程的直线的概念（2）掌握直线的方向向量的概念及直线的点向式方程（3）会求给定直线的方向向量，并会求直线的点向式方程2、能力目标：培养用数形结合的方法解决问题的能力。
3、情感目标：培养合作交流、独立思考等良好的个性品质。
教学重点难点：1．重点：掌握直线的方向向量的概念及直线的点向式方程，并会灵活应用。
2．难点：当方向向量平行于坐标轴时，即v 1,v 2中有一个为零的情况下，准确写出直线方程课 型：新授课课 时：第一课时教学方法与教学手段：1．教学方法：启发引导与自主探究讨论相结合． 2．教学手段：多媒体辅助课堂教学教学过程：（板书：根据方向向量分析的三种方程）要求：一见到直线的点向式方程就能立刻在脑海里反映出直线的一个方向向量和直线经过的一个点和对应的图形。
本节课通过图形来分析方程，又根据方程来作出图形，体现了数形结合的思想，我们借助向量来推导方程，又借助向量来作图，体现了向量是数形结合的有力工具。
一、课本80页2、（2）（3）（4）（6）3（1）4、（2）二、思考题：。
直线的法向量与点法式方程
的直线的方程。
练习1：已知直线的一个法向量，求它的一个方向向量 1.
n 3 ,5
2.
n3 , 5
3.
n 3,0
4. n 0,5
4. 0,-2
练习2：已知直线的一个方向向量，求它的一个法向量
1. 7,2
2 . -7,-2
3. 7,0
练习3：求通过点P,且一个法向量为 的直线方程。
1.P (1， 2), n 3,4
2.P ( 1 ， 2),n3 , 4
课堂小结
1、直线的法向量； 2、直线的点法式方程； 3、直线的法向量与方向向量的关系； 4、向量是研究解析几何的重要工具； 5、平面坐标系建立了代数与几何 联系的桥梁，实现了数形结合。
布置作业
书面作业 1.巩固本节所学知识点； 2.课本P85练习9-3
课外阅读----感知伟人魅力
拓展作业
勒奈〃笛卡尔是伟大的哲学家、物 理学家、数学家、生理学家，解析几 何的创始人，被誉为“近代科学的始 祖”。请查阅他在数学方面做出的贡 献，下节课以小组为单位进行展示。
§9.1.3
直线的法向量和点法式方程
2016.5
温故知新
一、直线的点向式方程
已知直线过点P(x0,y0)，方向向量V＝(v
v2 ( x x0 ) v1 ( y y0 ) 0
二、直线的点斜式方程
已知直线过点P(x0,y0)，斜率k
) v 1 2 ,
y y0 k ( x x0 )
动手实验
实践问题：
一条直线可以由直线上一点P(x0,y0)，和与直线 平行的方向向量 V＝(v1 , v2 )确定，试动手画一下， 一条直线是否可以通过直线上一点和与直线垂直的一个 向量确定呢？
直线的法向量和点法式方程00876
P0(x0 , y0)
点法式方程
反 1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
结 3、利用直线的点法式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
布
置
作
P86 练习第4题
业
什么叫方向向量 ？
知
与一条直线平行的非零向量叫做这条
识 直线的方向向量 通常用v表示
回
y
顾
o
x
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
题 直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
的一个方向向量v如何表示？
探 究
设v =(v1,v2) ∵v⊥n ∴v1A+v2B=0 即v1A=-v2B
图3
公
yl
式
已知直线经过点P0(x0,y0),
一个法向量n=(A,B),求直
推
线的方程
导o P0(x0 , y0)
n =(A,B)
x
已知法向量n=(A,B),
公
y
则方向向量v=(B,-A)
v=(B,-A) 代入点向式方程，得
式 推
x-x0
B
＝
y-y0 -A
化简，得
导
o
n =(A,B)
x
A(x-x0)+B (y-y0)=0
∴v =(B,-A) 或
v =(-B,A)
∴ v1 =－ B
v2
A
口
答
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线点向式方程
直线点向式方程直线的点向式方程是数学中非常重要的一个概念，它能够帮助我们准确描述直线在平面上的位置和方向。
在本文中，我们将详细讨论点向式方程，并给出一些实际问题的解题思路，希望能对读者有指导意义。
首先，我们来介绍一下什么是直线的点向式方程。
对于平面上的一条直线来说，我们可以通过选择其中一点为起点，并选择一个方向向量来定义它。
在点向式方程中，我们用向量的形式表示直线上的任意一点。
设直线上的一点为A，方向向量为v，则直线上的任意一点P 可以表示为P=A+tv，其中t为一个实数。
这就是直线的点向式方程。
了解了直线的点向式方程的定义后，我们可以来看一些实际问题的解题思路。
首先，我们考虑一个例子：已知直线上的两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求直线上与AB中点距离为2的点的坐标。
首先，我们可以计算出AB的中点坐标，即M((1+3)/2, (2+4)/2) = (2, 3)。
接下来，我们需要找到直线上距离M为2的点。
根据点向式方程，我们可以设这个点为P=M+2v，其中v为直线的方向向量。
由于我们已知直线上的两个点A和B，我们可以用B-A得到方向向量v=(3-1, 4-2)=(2, 2)。
将这些值代入即可求出P的坐标。
通过上面的例子，我们可以看到点向式方程在解决实际问题中非常有用。
它能够帮助我们准确描述直线上的点的位置和方向，并且可以快速计算出需要的坐标。
除了解决具体问题之外，点向式方程还有其他一些有意思的性质。
例如，设直线的点向式方程为P=A+tv，若两个不同的t值所对应的点P1和P2分别位于直线上，那么AP1和AP2的方向向量相等。
这个性质可以帮助我们推导出直线上的其他点。
综上所述，直线的点向式方程是数学中重要的一个概念，它能够帮助我们准确描述直线上的点的位置和方向。
在解决实际问题时，我们可以通过点向式方程计算出需要的坐标。
同时，点向式方程还具有一些有意思的性质，可以帮助我们更深入地理解直线的特性。
希望本文能够对读者有所指导和启发。
直线的法向量和点法式方程
顾知
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
直线的方向向量 通常用v表示
识y
回
o
x
精品课件
顾知
l2
B
识
A
回l1
精品课件
成 概与一条直线 垂平直行 的非零向量叫做
这条直线的法方向向量 通常用n表示
念思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
形2、这些法向量的位置关系是怎样的？
3、同一条直线的方向向量v和法向量n的位 置关系是怎样的？
整=理0得
3x+ 4y-11 =0
精品课件
结 反1、理解一个概念——直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
A( x - x0 ) +B( y -
小3、利用直线的y0点)=法0 式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
精品课件
业布 置 作
P86 练习第4题
⑶ -2(x-3)4(y+5)=0
P0=(-3,5) n=(2,-4)
P0=(3,-5) n=(-2,-4) 或(2,4)
精品课件
A(x-x0)+B(y-y0)=0
用学
（x0,y0）
(A,B)
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n =
(3,4)
以的直线方程。 解：代入直线的点法式方,得
致 3 (x-1)+ 4(y-2)
精品课件
精品课件
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
究 问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
高考数学新教材专题09 直线方向向量和法向量的应用
专题09直线方向向量和法向量的应用[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中直线方程只涉及了斜率和倾斜角的概念与向量知识缺少联系，而在新教材中引入了直线的方向向量和法向量的概念，让向量与直线联系到一起，为解决直线方程问题提供了向量工具. 1､点方向式方程（1）直线的方向向量：把与直线平行的向量叫着直线的方向向量，记着(,)d u v = （2）点方向式方程：如果直线的方向向量的坐标都不为零，即0u ≠，0v ≠时，直线通过某个点00(,)x y ，把方程00x x y y u v--=叫做直线的点方向式方程. 2､直线的点法向式方程（1）直线的法向量：把与直线垂直的向量叫着直线的法向量，记着(,)n a b =（2）点法向式方程：如果直线通过某个点00(,)x y ，且与向量(,)n a b =垂直的 直线方程00()()0a x x b y y -+-=，叫做直线的点法向式方程. 3.理解方程中各字母及其系数的几何意义by c[新增内容的考查分析]1.直线方向向量的应用（应用主要体现在，会求直线的方向向量，应用直线的方向向量解决直线中的相关问题.）【考法示例1】过，两点的直线的一个方向向量为则（）A. B. C. D.1【答案】C【分析】解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果.解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果.【详解】解法一：由直线上的两点，，得，又直线的一个方向向量为，因此，∴，解得，故选：C.解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.【考法示例2】已知过定点的直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程可以为（）A. B.C. D.【答案】B【详解】因为直线的方向向量为且经过点，故直线的点向式方程为.故选：B.【考法示例3】设两条不重合的直线的方向向量分别为，则“存在正实数，使得是“两条直线平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意为两条不重合的直线的方向向量，若存在正实数，使得，则，即可得到这两条直线平行，即充分性成立；若两直线平行，即，则存在实数，使得，不一定为正，当与同向时，当与反向时，，故必要性不成立；故“存在正实数，使得”是“两条直线平行”的的充分不必要条件，故选：2.直线法向量的应用（直线的法向量应用主要在两方面，1.会求直线的方向向量；2.应用直线的法向量解决直线中的相关问题.）【考法示例4】已知直线的方向向量为（1，5），则直线的法向量为（ ） A.B.C.D.【答案】C【分析】根据直线的方向向量与法向量的数量积等于零即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的法向量可以是或.故选：C.【考法示例5】已知两条直线，，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则________.【答案】【分析】根据题意可得，利用两直线垂直的等价条件即可求解.【详解】因为直线的一个法向量恰为的一个方向向量，所以，所以，解得：.[新增内容的针对训练]1. 设()()111222,,,P x y P x y 为直线l 上的两点，则()122121,PP x x y y =--，我们把向量12PP 以及与它平行的向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 的方向向量垂直的向量称为直线l 的法向量．若直线l 经过点(1,4),(3,2)A B -，则直线的一个法向量n 为（ ） A. ()1,2n =- B. ()4,2n =- C. ()4,2n = D. ()1,2n =【答案】D 【解析】【分析】先计算出直线l 的方向向量AB ，然后通过数量积逐项判断n 与AB 是否垂直.【详解】因为()4,2AB =-，A ．当()1,2n =-，则4480AB n ⋅=+=≠，不满足， B ．当()4,2n =-，则164200AB n ⋅=+=≠，不满足，C ．当()4,2n =，则164120AB n ⋅=-=≠，不满足，D ．当()1,2n =，则440AB n ⋅=-=，满足， 故选：D.2. 下列命题正确的有（ ）．∴直线的方向向量是唯一的；∴经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l 的点方向式方程为00x x y y u v--=；∴直线10y =的一个方向向量是（1，0）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】B 【解析】【分析】由于直线的方向向量是不唯一的，可判定∴不正确；由直线的点方向式方程，可判定∴不正确；由直线10y =的斜率为0，可判定∴是正确的. 【详解】对于∴中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以∴不正确；对于∴中，只有等0,0u v ≠≠时，经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l的点方向式方程为00x x y y u v--=，所以∴不正确； 对于∴中，直线10y =的斜率为0，所以直线10y =的一个方向向量可以是(1,0)，所以∴是正确的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量的概念与辨析，以及直线的点方向式方程的应用，着重考查概念的辨析能力，属于基础题.3. 若过点(3,2)P m 和点(,2)Q m -的直线与方向向量为(5,5)a =-的直线平行，则实数m 的值是（ ） A.13 B. 13-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】【分析】求出PQ 坐标，由向量共线可得关于m 的方程，进而可求出m 的值. 【详解】由题意得，(3,22)PQ m m =---与(5,5)a =-共线，所以5(3)(5)(22)0m m ----⋅-=，解得13m =-．经检验知，13m =-符合题意，故选:B ．【点睛】本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.4. 已知直线l 经过点(1,2)P 和点(2,2)Q --，则直线l 的单位方向向量为 A. (3,4)-- B. 34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫±± ⎪⎝⎭D. 34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 的一个方向向量为(3,4)PQ =--，再求出向量的模，根据单位向量||PQPQ ±即可求解. 【详解】由题意得，直线l 的一个方向向量为(21,22)(3,4)PQ =----=--，则||(5PQ =-=，因此直线l 的单位方向向量为134(3,4),555||PQ PQ ⎛⎫±=±--=± ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.5. 设直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z 且0,≠∈R b b .给出下列结论其中真命题有（ ） A. l 的斜率是tan α B. l 的倾斜角是αC. l 的方向向量与向量(sin ,cos )a αα=平行D. l 的法向量与向量(sin ,cos )b αα=-平行. 【答案】AD 【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角，注意倾斜角的范围判断AB ，由直线的方向向量与法向量定义及向量共线的坐标表示判断CD ． 【详解】因为直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z ，所以l 的斜率是tan α；所以A 对；l 的倾斜角θ满足tan tan θα=，但不一定有θα=，所以B 错；l 的方向向量为(1,tan )α，因为1cos sin tan ααα⨯≠，所以C 错； l 的法向量为(tan ,1)α-，因为1sin cos tan ααα-⨯=-，所以D 对；故选：AD.6. 直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =，则直线的点法向式方程是（ ）A. 3(2)(3)0x y -+-=B. (2)3(3)0x y --+-=C.2331x y --= D.2313x y --=- 【答案】BC【解析】【分析】直接利用直线的点法向式方程求解.【详解】因为直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =， 所以直线的点法向式方程是(2)3(3)0x y --+-=或2331x y --= 故选：BC【点睛】本题主要考查直线的点法向式方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 若一条直线的斜率为k ，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.【答案】 ∴. (1,)k ∴. (,1)k - 【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系，在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量，再由法向量和方向向量的数量积为0，即可求得法向量. 【详解】因为直线的斜率为k ，所以它的一个方向向量为(1,)k ，设一个法向量为(),x y ，则()(),1,0x y k x ky ⋅=+=，不妨取,1x k y ==-，则它的一个法向量是(),1k -， 故答案为：(1,)k ；(,1)k -.【点睛】本题考查直线方向向量以及法向量，掌握直线斜率和方向向量以及法向量的关系是关键，考查了分析求解能力，属基础题.8. 直线1:2330l x y -+=，那么直线1l 的一个方向向量1d 为_____________；2l 过点（2，1），并且2l 的一个方向向量2d 满足120d d ⋅=，则2l 的点方向式方程是_____________．【答案】 ∴. ()3,2（与该项量共线的非零向量均可） ∴. 2123x y --=- 【解析】【分析】由题意结合直线方向向量的知识可得直线1l 的一个方向向量；求得一个满足要求的向量2d 后，利用直线的点方向式即可得2l 的点方向式方程.【详解】由题意可得直线1:2330l x y -+=的一个方向向量为()3,2， 所以1d 可为()3,2（与该项量共线的非零向量均可）； 设向量()2,n d m =，由120d d ⋅=可得320m n +=， 令2m =则3n =-，所以直线2l 的一个方向向量为()2,3-，又直线2l 过点(2，1)，所以该直线的点方向式方程为2123x y --=-. 故答案为：()3,2（与该项量共线的非零向量均可）；2123x y --=-. 【点睛】本题考查了直线方向向量的求解及直线点方向式方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9. 已知平面上直线l 的方向向量43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别为1O 和1A ，则11O A e λ=，其中λ=________. 【答案】2- 【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得(1,2)OA =-、1e =，进而可得λ即为OA 在e 方向上的投影，再由e OAeλ⋅=即可得解. 【详解】43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,0)O ，(1,2)A -；∴415e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，(1,2)OA =-， ∴λ即为OA 在e 方向上的投影，∴465521e OA e λ--===-⋅.故答案为：2-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.10. 如图，射线OA ，OB 所在直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N .（1）若1k =，31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求OM 的值； （2）若()2,1P ，OMP 的面积是65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M ，N 的中点为T ，且1MON S k=△，当P 变化时，求OT 的取值范围.【答案】（1（2）112或2；（3）1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1)求出||OP ,点P 到直线的距离,利用勾股定理,求||OM 的值; (2)直线OA 的方程为0kx y ,求出(2,1)P 到直线的距离,利用勾股定理求出||OM ,利用OMP 的面积为65,求k 的值; (3)设直线OA 的倾斜角为α,求出||OM ,||ON ,利用1MON S k=△,可得P 变化时,动点T 轨迹方程,求出||OT ,即可求||OT 的取值范围.【详解】（1）31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，||OP ∴=， 若1k =，则()11,1d =，OA ∴的方程为y x =，即0x y -=，则点P 到直线OA2=，||OM ∴== （2）直线OA 的方程为0kx y ,(2,1)P到直线的距离为d =||OM ∴=, OMP ∴的面积为1625=, 112k ∴=或2； （3）设()11,M x kx ,()22,N x kx -,(,)T x y ,1>0x ,20x >,0k >, 设直线OA 的倾斜角为α,则tan k α=，22sin 21kk α=+, 根据题意得()121222x x x k x x y OM x ON x +⎧=⎪⎪-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩，解得12y x x ky x x k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 代入11||||sin 22MONSOM ON kα==， 化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1||OT k∴====, 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫=⎪⎝⎭时,||OT 取得最小值1k.||OT∴的取值范围是1,k⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.。
直线的方向向量和点向式方程
空间直线的方程与相交关系
空间直线的方程与相交关系空间直线是三维空间中最基本的几何概念之一。
在数学中，我们可以通过方程来描述直线的性质和相交关系。
本文将介绍空间直线的方程表示及其相交关系。
一、点向式和参数方程空间直线常用的表达方式有点向式和参数方程。
1. 点向式空间直线的点向式方程可以用一个点P和一个方向向量v来表示。
设直线上一点为P(x1, y1, z1)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的点向式方程为：(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)其中t为参数，表示直线上的任意一点。
2. 参数方程空间直线的参数方程可以通过将点向式方程中的变量表示成参数的形式得到。
设直线上一点为P(x1, y1, z1)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + btz = z1 + ct其中t为参数，表示直线上的任意一点。
二、直线的相交关系在空间中，两条直线可以存在不同的相交关系。
下面将介绍常见的相交关系。
1. 相交于一点如果两条直线有且只有一个交点，称这两条直线相交于一点。
例如，考虑直线L1和L2，L1的点向式方程为(x, y, z) = (1, 2, 3) +t(2, -1, 1)，L2的点向式方程为(x, y, z) = (-1, 0, 1) + s(1, 1, 1)。
我们可以通过求解方程组来确定两条直线的交点：1 + 2t = -1 + s，2 - t = s，3 + t = 1 + s。
解方程组得到s = 1，t = 1，代入直线L1或L2的参数方程中可以得到交点为P(3, 1, 4)。
2. 平行不重合如果两条直线有相同的方向向量，但不重合于同一条直线上，称这两条直线平行不重合。
例如，考虑直线L1的点向式方程为(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, -1, 1)，直线L2的点向式方程为(x, y, z) = (-1, 0, 1) + t(2, -1, 1)。
空间直线及其方程
x −2 y − 3 z −4 = = =t 解 令直线方程 1 1 2
得 x=2+t y=3+t z=4+2t （ 1） 代入平面π方程， 代入平面π方程， 2+t +(3+t)+(4+2t)得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)-6=0 整理得5t= 5,即t=5t=整理得5t=-5,即t=-1 t=- 代回方程组（ 将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2. 即点（ 即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点
cosϕ =
m m2 + n1n2 + p1 p2 1 m +n + p
2 1 2 1 2 1
m +n + p
2 2 2 2
2 2
两个结论： 两个结论：
1 若 线 1与 2平 ， 有 、 直 L L 行 则
m n p 1 1 1 L // L ⇔ = = 1 2 m n p 2 2 2
2 若 线 1与 2垂 ， 有 、 直 L L 直 则
M0
s s1
L1
因 s平 s1可 s = {2,1,-5}; 为 行 取
又因为直线L过点M0 (4,-1,3)， 又因为直线 过点 ， 故，所求直线方程L为： 所求直线方程 为
x −4 y +1 z −3 = = 2 1 −5
直线与平面位置关系两个结论： 直线与平面位置关系两个结论：
1.若直线 与平面π平行， n⊥s， 1.若直线 L与平面π平行，则 n⊥s，于是
L//π ⇔mA+nB+ pC = 0
L // π图示 图示
x − x0 y − y0 z − z0 = = L： m n p
直线的法向量和点法式方程
布 置 作 业
P86 练习第4题
知 识 回 顾
什么叫方向向量 ？ 与一条直线平行的非零向量叫做这条 直线的方向向量 通常用v表示 y
o
x
知 识 回
l2
A
B
顾 l1
概 念 形 成
垂直 的非零向量叫做这 与一条直线 平行 条直线的方向向量 法 通常用n表示
思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
2、这些法向量的位置关系是怎样的？ 3、同一条直线的方向向量v和法向量n的位 置关系是怎样的？
问 题 探 究
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2) 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l 的一个方向向量v如何表示？
设v =(v1,v2) ∵v⊥n ∴v1A+v2B=0 即v1A=-v2B ∴ v1 v2 =－ B ∴v =(B,-A)
或 v =(-B,A)
n =(A,B)
o
x
已知法向量n=(A,B),
公 式 推 导
y
则方向向量v=(B,-A)
v=(B,-A)
代入点向式方程，得 B 化简，得
x-x0
＝
y-y0 -A
n =(A,B)
o
P0(x0 , y0)
x
A(x-x0)+B (y-y0)=0
点法式方程
A(x-x0)+B(y-y0)=0
熟
已知直线l的方程,写出直线l经过的一个已 知点P0和直线l的一个法向量n的坐标。 P0=(3,5) P0=(-3,5) P0=(3,-5) n=(2,4)
A
口 答 练 习
n
(2,3)
直线方程的几种形式
x/a+y/b=1
4：斜截式: Y=KX+B (K≠0) 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减ຫໍສະໝຸດ 。两直线平行时 K1=K2
两直线垂直时 K1 X K2 = -1
5：两点式
x1不等于x2 y1不等于y2
两点式
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)
直线方程的几种形式
1：一般式:适用于所有直线
Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)
2；点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为
y-y0=k(x-x0)
当k不存在时，直线可表示为：x=x0
当k为0时，直线可表示为：y=y0
3：截距式:不适用范围：任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线
法线式
[1]
6：法线式x·cosα+ysinα-p=0
7：点向式：知道直线上一点(x0,y0)和方向向量（u,v）
(x-x0)/u=(y-y0)/v (u≠0,v≠0)
直线的法向量和点法式方程
学 例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。
以
解：中点c的坐标
y
l
致
3分 用2-1析,点2 ：2 4
法
1, 1
式求直线方程
法向量 AB
用
o c
B
x 点1c 3， 4 2法向量A4， B 6
代中入点直坐标线公的式 点法式方程,
直线的点法式方程
公
y
式
推
导
o P0(x0 , y0)
(1)向量P0P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 ) ,
P(x, y)
n A, B(2) P0P与n=(A,B)的位置关系
是： 垂直 ,
x (3) P0P 与n 垂直的充要条件是：
A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,
公
v (B, A)
熟
根据直线 l 的方程，写出直线 l 已知点P0和直线 l 的一个法向量
经过的一个
n 的坐标.
记 ⑴ 2(x-3)+4(y-5)=0 P0 (3, 5) n (2, 4)
公
⑵ 2(x+3)-4(y－5)=0 P0 (3, 5)
式
⑶ -2(x-3)- 4(y+5)=0 P0 (3, 5)
n (2, 4)
成 3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
的位置关系是怎样的？
口 答 练 习
画出符合要求的直线 1、经过点P0 y
P0
o
x
图1
画出符合要求的直线
2、垂直于非零向量 n
y
n
o
x
空间直线的方向向量
空间直线的⽅向向量
空间直线点向式⽅程的形式为（和对称式相同）(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其⽅向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。
空间直线⽅向向量
空间直线的⽅向⽤⼀个与该直线平⾏的⾮零向量来表⽰，该向量称为这条直线的⼀个⽅向向量。
直线在空间中的位置，由它经过的空间⼀点及它的⼀个⽅向向量完全确定。
已知定点P0（x0,y0,z0)及⾮零向量v={l,m,n}，则经过点Pο且与v平⾏的直线L就被确定下来，因此，点P0与v是确定直线L的两个要素，v称为L的⽅向向量。
由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的⽅向向量都有⽆数个。
直线上任⼀向量都平⾏于该直线的⽅向向量。
⽅向向量定义
有向线段
A规定若线段AB的端点为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的⽅向和长度。
具有⽅向和长度的线段叫做有向线段。
向量的模
向量的⼤⼩，也就是向量的长度(或称模)。
向量a→的模记作
注：1．向量的模是⾮负实数，向量的模是可以⽐较⼤⼩的。
向量
2．因为⽅向不能⽐较⼤⼩，所以向量也就不能⽐较⼤⼩。
对于向量来说“⼤于”和“⼩于”的概念是没有意义的。
长度为⼀个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量。
与a→同向，且长度为单位1的向量，叫做a→⽅向上的单位向量，记作。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《直线的方向向量与点向式方程》教学设计
授课教师专业、班级
授课类型新授课时第1课时
所在册第二册所在章节第九章第1.1节
课题内容直线的方向向量与点向式方程
一、教材及单元内容分析
1．使用教材：中等职业教育规划教材《数学》第二册。
2．本章内容分析：本章教材共分4单元：第1单元直线的方程.(第1节:直线的方向向量与点向式方程, 第2节:直线的斜率与点斜式方程,第3节:直线的法向量与点法式方程,第4节:直线的一般式方程.)第2单元两条直线的位置关系.(第1节,两条直线的平行,第2节,两条直线的交点与垂直,)第3单元点到直线距离.第4单元圆的方程.(第1节,圆的标准方程,第2节,圆的一般方程.)
3．地位和作用：直线是最简单的几何图形，是解析几何的入门。
而如何运用直线方程研究有关直线在平面内的位置关系的方法，为下面学习曲线与方程的概念以及圆锥曲线打下基
础。
直线和圆的方程是解析几何的主要部分,直线和圆是基本的几何图形,研究图形的基本性质又是几何学习的主要内容,本章要学会领会数形结合的思想,向量是处理本章问题的重要工具.借助代数方程研究数学图形的几何性质.
二、学情分析
学生进入中职学校后，学生没了目标，也没有动力，既使有些家长希望孩子能学得一技
之长，将来好找个合适的工作，但是学生自己可不这么认为，他们不知道为什么要学？学
了有什么用？无求知、上进的愿望；缺乏自尊心、自信心，学习不好不觉得丢面子，考试
不及格也无所谓，不想上课或上课不专心听讲，课后不肯花时间复习巩固所学的知识，做
作业应付了事，一知半解；缺乏吃苦精神和学习毅力，遇到学习困难就放弃，把时间用到
玩手机、看小说、打游戏、谈恋爱等上面。
三、教学目标
知识目标：( 1）了解直线的方向向量和点向式方程.
(2)理解直线的点向式方程的推导过程.
能力目标：能用直线的点向式方程求满足条件的直线方程.
情感目标：培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。
培养学生观察和归纳的能力。
四、教学重点与难点
【教学重点】: 能用直线的点向式方程求直线的方程..
【教学难点】：理解直线的点向式方程的推导过程..
五、教学方法及学习方法
1．教学方法：采用“问题——分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图
像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的点的集合．很自然
地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键．引用实例联系生活，激发学生的学习兴趣。
2．学习方法学案导学、小组合作学习。
六、教学用具
多媒体、实物投影仪、学案.
七、教学过程
教
学环节教学呈现
设计
意图
教
法
学
法
备注
尝试探索创设情境兴趣导入：
打台球时,用球杆击打母球,母球通常会沿一条直
线运动.在击球过程中,母球所在位置和击球方向是
确定母球运动路线(直线)的两个要素,也就是说有一
个点和一个方向可以确定一条直线.
启发
学生
思考
介
绍
质
疑
了解
思考
探索新知:
一个非零向量确定一个方向,那么一个点和一个非零
向量可确定一条直线吗？.
1.直线的方向向量
如果非零向量与直线L平行，则称这个向量为直线L的
方向向量. 通常用v表示
注意直线的方向向量不唯一,如果v=(v1,v2)是直线的一
个方向向量.则t v（t0，t R）也是直线的一个方向向量。
问题探究:
总
结
归
纳
仔
细
分
析
讲
解
思考
归纳
学生
讨论
得出
结果
o x
y
l v=(v1,v2)
)
y,
(x0
p
如图：直线l 经过点
p 0
(y
x 0
,), 且与非零向量
v =(v 1,v 2)平行,
求这条直线l 的方程。
设直线l 上任意一点
P( x , y)，则点P 在直线上的充分
必要条件是
P P 0
//
v =(v 1,v 2)；
∵
P
P
0=( x-x0 ,
y-y0) ,
所以：
P
P
与
v 平行的充要条件是
)
()(0
1
2
y V
x V
y
x
(1)
方程（1），（2）是有直线上的一个点p 0
(y
x 0
,)和直线的
一个方向向量v =(v 1,v 2)确定，都叫直线的点向式方程。
当V 1=0，
V
2
0时
x
x
当
V
1
V
2=0
时
y
y
引导
学生理
解
记忆公式
理解记忆
学
以
典例讲解
例1 已知：直线l 过点P （1，-2），且一个方向向量
为V =（-1，3），
求：这条直线的方程。
解：根据直线的点向式方程得：
3
2
1
1y x 整理，得所求直线的方程为
3x+y-1=0
思考：当V =(-1，0) 时，直线方程如何求？注意：当且仅当向量的纵横坐标都不为零时，
才可采用该点向式方程：
V
Y V
x Y
x
2
1。
例2、求下列过点
P,且一个方向向量为
V 的直线方程：
（1）P( 3, -2 ),
V =（0 ，2 ）；
运用知识
强化练习
规范书写格
引领
讲解
说明
主动求解
观察思考求解
发挥学生
的主观能动性，体现学生是
课堂的主
人
当
V
V 2
1
0时,直线的点方向式方程是:
V
Y
V
x Y
x
2
1
(2)
致用
（2）P ( 2，-1) V=( 3 , 0 ).
解：（1）由于给定的直线的方向向量平行于y轴，
所以过点（3，-2 ）的直线方程为x=3;
(2 ) 由于给定的直线的方向向量平行于x轴，
所以过点2，-1）的直线方程为y=-1
例3、求过点A(-2，1)和点B（1,3）的直线方程。
分析：知两点可求一个方向向量，再利用点向式方程即可
求直线方程。
解：直线AB的一个方向向量可取为
AB=(1，3)-(-2，1)=(3，2)
∵直线过点A（-2,1），
根据直线的点向式方程，得
2
1
3
2y
x
整理，得所求直线方程为
2x-3y+7=0
思考：运用点向式方程; 0
)
(
)
(
1
2y
V
x
V y
x
求直线方程。
式
培养学
生的解
题能力
引
领
分
析
引
导
分
析
领会
学生
板书
过程
达标测试1、已知：直线l过点P（1，-2），且一个方向向量
为v=（-1，0），求：这条直线的方程。
2、求下列过点P,且一个方向向量为V的直线方程：
（1）P( 5, 2 ), V=（10 ，3 ）；
（2）P ( 12，0) V=( 3 , -2 ).
（3）P ( 0，0) V=( 3 , -2 ).
（4）P (1，5) V=( 0 , 1).
3、求过点A(4，0)和点B（-3,3）的直线方程。
巩固概
念方法
培养学
生独立
解决问
题能力
引
导
熟记
会用
理清知识
行者驿站直线的点向式方程：
（1）0
)
(
)
(
1
2y
V
x
V y
x
（2）
V
Y
V
x Y
x
2
1
0（V10 V20）
及时
反馈
点
评
观察
学生
是否
理解
查找
失误
表扬
优秀
课后作业1、求过点P（2，-2），且一个方向向量为v=（-1，0），的
直线方程。
2、求下列过点P,且一个方向向量为V的直线方程：
（1）P( 0, 2 ), V=（1，-3 ）；
（2）P ( 2，-1) V=( 0 , -2 ).
3、求过点A(3，4)和点B（-4,3）的直线方程。
板
书设计1.直线的方向向量
2. 直线的点向式方程
例1
例2板书
反思“情感”和“创造”是教学的本质。
教师重视情感培养、
态度转变和价值观教育，注重教学形式与学习内容的统一。
不仅要使学生感知教材的内容，记忆数学知识，掌握解题
技能，还要加强情感性教学，激发学习动力，提高学生的
人文素养，帮助他们增强学习的信心。
反
思。