高中数学专题练习-函数性质与分段函数

高中数学专题练习-函数性质与分段函数

[题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力.

常考题型精析

题型一 函数单调性、奇偶性的应用

1.常用结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]，则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔

f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2

>0⇔f (x )在[a ，b ]上递增.

(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔

f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2

<0⇔f (x )在[a ，b ]上递减.

2.若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断.

3.定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数.

4.奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数.

例1 (1)(·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1

2(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( ) A.[－16，16] B.[－66，

66] C.[－13，13]

D.[－3

3，

33]

(2)(·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.

点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x ).

(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.

变式训练1 (1)(·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x -m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A.a ＜b ＜c

B.c ＜a ＜b

C.a ＜c ＜b

D.c ＜b ＜a

(2)(·北京)下列函数中为偶函数的是( ) A.y ＝x 2sin x B.y ＝x 2cos x C.y ＝|ln x |

D.y ＝2-x

题型二 函数的周期性与对称性的应用

重要结论：1.若对于定义域内的任意x ，都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则f (x )关于x ＝a 对称. 2.若对于任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )的周期为T .

例2 (1)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－x ，则f (2 015)＋f (2 016)＝________.

(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x ).当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2;当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＝________.

点评 利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.

变式训练2 已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：

①f (2)＝0;②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴;③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增;④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________. 题型三 分段函数

例3

已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

－x 2＋2x ，x >0，

0，x ＝0，

x 2＋mx ，x <0

是奇函数.

(1)求实数m 的值;

(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.

点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

(2)在求分段函数f (x )解析式时，一定要首先判断x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.

变式训练3 (·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋x ，x <0，

－x 2，x ≥0. 若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是

________.

高考题型精练

1.(·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝ln x B.y ＝x 2＋1 C.y ＝sin x

D.y ＝cos x

2.(·陕西)设f (x )＝⎩⎨⎧

1－x ，x ≥0，

2x ，x ＜0，则f (f (－2))等于( )

A.－1

B.1

4 C.12

D.32

3.(·山东)函数f (x )＝

1

(log 2x )2

－1

的定义域为( ) A.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，12 B.(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 4.(·江西)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

a ·2x ，x ≥0，2-x ，x <0(a ∈R )，

若f [f (－1)]＝1，则a 等于( ) A.14 B.12 C.1

D.2

5.下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )