第5章 解析延拓 多值函数与黎曼面

证明：
其中用到：
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3. 将Γ函数进行解析延拓
设 ，定义域 解析元素： 由递推公式： 为：
右边成立的条件：
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和
的重叠区域
：就是
， f1 ( z ) f 2 ( z )
f 2 ( z ) 是 f1 ( z ) 在
( z 1) D , 2 中的解析延拓 解析元素 z
( z 2) D3 , 同理：解析元素 z ( z 1)
D3 :{Re z 2, z 0, z 1}
解析元素的全体构成一个完全的解析函数 F(z) 定义域：除 以外的全平面 (见下图)
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五、Γ函数常用公式：见P104—105
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5.2 多值函数及其黎曼面
k 0
的邻域展开成泰勒级数
f3 ( z )
f 2 ( k ) (b2 ) ( z b2 ) k k!
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设级数的收敛区域为 。如果 在 和 的重叠区域
超出了 的范围。由于 ，所以 就是 在
中的解析延拓。 这样不断作下去，得到一系列的解析 一个解析元素 的全部解析延拓的集合，称为 。
k 0
的邻域展开成泰勒级数
f2 ( z)
f1( k ) (b1 ) ( z b1 ) k k!
设级数的收敛区域为 和
。如果
超出了
的范围。由于在 就是 在 中的
的重叠区域 f1 ( z ) f 2 ( z ) ，所以
解析延拓。 2. 在 D2 内任取一点 ，将 f 2 ( z ) 在
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4
二、解析延拓的概念
1. 概念： 若 f1 ( z ) 和 f 2 ( z ) 分别在 为 f2 ( z) 在 中的解析延拓。
内解析，且在
与
重叠的区
域中有 f1 ( z ) f 2 ( z ) ，则称 f 2 ( z ) 为 f1 ( z ) 在
中的解析延拓，
定义：解析元素——区域与解析函数的组合
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多值的原因：z的辐角的多值性
i 0 z e (1) z 从某一给定的 出发，对应的 w 从
出发。令
z 沿逆时针方向环绕原点(z=0)转一圈回到原处时，它的辐 角由 变为 0 2 1 ，而 w 由 变为 ，即 w 从一个单 值分支变到另一个单值分支。继续令 z 沿逆时针方向绕 z=0 转一圈，z 再次回到原处，它的辐角由 0 2 1 变为 ， 而 w 由 变为 。这样再转第三圈：辐角为 0 6 ，而 w 由 变为 ，与第一圈上的值完全相同
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对
进行分部积分，可得递推公式
递推公式本来是在x>0的情况下推导出来的，通常又用 它把 设 函数向x<0的区域延拓。 ，定义 按(1)式有定义 这样可以得到
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又设
，定义
有定义 这样可以得到 …… 设 ，定义
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注：由
及
得到
同理：
这样：凡 x=0 或负整数：
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2. 复变函数中Γ函数的定义
Γ函数的递推公式：
3
1
i 1 2
1 可见 f1 ( z ) 和 f 2 ( z ) 这两个解析函数只是同一个解析函数 1 z
在不同区域内的不同表达式而已。两个表达式各有自己的有效 范围 部分 D ） 。
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，同时也有公共的有效范围（两圆重叠
当然常常不能得到这样一个在函数的全部解析区域内都有 效的统一表达式，而是需要用解析延拓的方法推出分别在不同 区域中有效的表达式。
转一圈) 时，w 的值不会还原，可见 另一支点。
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(2) 割缝的上、下岸z的辐角值的规定： 若割缝上岸z的辐角值为 。辐角变化范围： ，割缝下岸z的辐角值为 ，对应 ，割缝 ，
这一单值分支。若割缝上岸z的辐角值为 下岸z的辐角值为 对应 。辐角变化范围：
这一单值分支。
3.求支点及单值分支的例题：见P107[例5.2.1]和P108[例5.2.2]
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三、多值函数的积分
设 f(z)为多值函数，它的两个支点 a, b 均为实数(令 a<b， b 也可为 )。利用留数定理计算积分：
I f ( x)dx
a b
需做的事： 1. f(z)是多值，I 是多值的，为了得到确定的单值分支，需要 连接支点 a, b 作割线，然后再规定某一点 的辐角，从而 得到 f(z)的一个单值分支； 2.为运用留数定理，还必须采用适当的积分回路。 例题：P113 [例 5.2.5] 、P115 [例 5.2.6]
(k ) 1
(1)
但此级数的收敛半径为：
1 5 i (1 i / 2) k 1 R lim R 1 2 2 (1 i / 2) k 1
故相应的收敛圆 内 代表解析函数
跨出原来的收敛圆 ，于是称 为
之外，而级数(1)在收敛圆 在 内的解析延拓。
2
对于
i i i i i 2 ( z )k ( z )2 ( ) z z z 2 1 2 2 1 1 2 2 f2 ( z) i k 1 i i 2 i 3 i i i 2 k 0 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 2
前面：单值复变函数 现在：多值复变函数 多值函数w=f(z)： 对于自变量z的每一个值，一般有两个或者两个 以上的函数值w与之对应。 多值函数有：根式函数、对数函数、反三角函数…
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关心的问题： 自变量z与函数值w的对应关系，特别是当z连 续变化时这种对应关系可能的变化。 例：对于多值函数f(z)的积分 ，必须确定z
第 5 章 解析延拓 多值函数与黎曼面
5.1 解析延拓 Γ函数 解析延拓：将解析函数定义域加以扩大 一、解析延拓的一个例子 幂级数： 在以 一个解析函数，令为 ，即
为圆心的单位圆内代表
。在圆外，级数是发散的。
1
在圆内一点
的泰勒展开：

f2 ( z)
k 0
i i k f ( ) (z ) i 2 ( z )k 2 i k 1 k! 2 k 0 (1 ) 2

又
i ( z ) k 1 2 i i z (1 ) k 1 2 2 1 q i i ( z )k 1 2 2 i (1 ) k 2
f2 ( z)
1 1 1 1 1 i i i i i i 1 1 q 1 z 1 1 (z ) 1 z 2 2 1 2 2 2 2 i 1 2
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4. 函数
的黎曼面——形象地描述多值函数
值的变化
的值在z绕z=0转第二圈时，与z转第一圈时不同。
设想：z的第一圈和第二圈分别在“不同的”复数平面上 运行，即将z平面分为两叶平面。为了把多值函数的各个 分支作为整体来研究，两叶平面作以下粘合：第一页的 下岸与第二页的上岸 粘合在一起，第二页的下岸
与f(z)之间的这种对应关系和这种关系的变化。 否则积分无意义，至少不确定。
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一、根式函数 最简单的根式函数： 1.多值性：令 ， )
——无限多个辐角 (注意:
当k=0,2,4…时: 当k=1,3,5…时:
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可见，Z平面上的一个点： 个点： 。 是一个多值函数，且称
，对应着W平面的两
与
为
的两个单值分支。每一个分支是一个单值函数。 造成根式函数 。 考察z的连续变化：在复平面上可用一条曲线来描 述z的变化过程。 Nhomakorabea5
2. 应用：
(1)已知在某区域中有定义的解析函数，用解析延拓的方法 扩大其定义域和解析范围。 (2)已知数学问题的解是某区域 D 内(除个别奇点外)的解析 函数，利用解析延拓的方法，可以从这个函数表达式推 算出解在 D 的其他子区域中的表达式。
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三、解析延拓的幂级数方法
设给定解析元素 D1 , f1 ( z ) ，现采用幂级数方法将 f1 ( z ) 解析延拓。 1. 在 D1 内任取一点 ，将 f1 ( z ) 在
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与第一页的上岸
粘合在一起。这样，z的第三圈
同于第一圈，z的第四圈同于第二圈。由两叶组成的 Z平面就称为 的黎曼面。
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二、对数函数
1. 对数函数的定义及多值性 表达式： w 令
Ln z
z ei ei (0 2 k ) ，0 0 2 ，k 0, 1, 2
所产生的完全解析函数F(z)，F(z)的定义域是全部解析 元素给出的定义域的总和 。
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四、 Γ函数的解析延拓
1.实变函数中Γ函数的定义
（思考：解析延拓的方法）
(1) 说明：(i) ( x) 是含参数（此处为 t）的定积分，是解析函数 的一种重要表达式，这种表达式特别适于求函数的 渐近表示，或作解析延拓； (ii) (1)式右边的积分收敛条件是 x 0 ，因此(1)式只 定义了 x 0 的 Γ 函数。
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(2) 依然从
出发，但不绕原点z=0转圈，则z在环
绕过程中，其辐角开始增加，到达A点后减少，到达 B后又增加。z 回到原出发点时，辐角值又回到初值 的辐角 。
w始终在同一单值分支中变化，不会变化到另一分支。
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定义——支点： 对于每一个特定的多值函数，都存在一些特殊的 点。当z环绕该点转一圈回到原处时，w(z)的值将由一 个单值分支变到另一个单值分支。这些特殊的点就称 为多值函数的支点。 显然：z=0是 的一个支点。 考察 令 点的情况： ，则 ，当 t 绕 t=0转一圈(相当于z绕 是 点 的
w u iv ln i ( 0 2k )
可见，其多值性来源于辐角的多值性： 对应于每一 z 值，有无穷多个 w 值，这些不同 的 w 值只是虚部不同，相差 的整数倍。