求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法

1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有

1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。

例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*

1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项

公式 12n

n a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

.

反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.

2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.

已知112a =,112n

n n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

*

()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.

3. 累乘法:利用恒等式3

21

121

(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).

已知11a =,1()n n n a n a a +=-*

()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =.

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列:

类型1 )(1

n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++

=+2

11

，求n a 1131122n a n n =+-=- 解：

类型2 n n a n f a )(1

=+

解法：把原递推公式转化为

)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 11+=

+，求n a 。23n a n

=

解：

变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }

的通项1

___n

a ⎧=⎨

⎩

12

n n =≥

2

!

n a n =

)2(≥n

解

类型3 q pa a n n +=+1

（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1

t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=

1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例4:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 321-=+n n a .

解：

类型4 n n n q pa a +=+1

（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1n

n n a pa rq +=+,

其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q

，得：

q

q a q p q a n n n n 1

11+•=++引入辅助数列{}n b （其中n

n n

q a b =

），得：q

b q p b n n 1

1

+=

+再待定系数法解决。 例5:已知数列{}n a 中，6

51=a ,11)2

1(3

1+++=n n n a a ，求n a 。

解：

在11

)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3

2

211+•=•++n n n n a a 令n n

n a b •=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )3

2(23-=

所以n

n n n n b a )31(2)21(32

-==

类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12

（其中p ，q 均为常数）。

解 (特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12

，β

α==21,a a 给出的数列

{}n a ，方程

02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根， 当21

x x ≠时，数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n Bx Ax a ，其中

A ，

B 由β

α==21,a a 决定（即把

2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；

当

21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中

A ，

B 由β

α==21,a a 决定（即把

2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

例6: 数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n

n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,,求n a

解