溶质运移及其基本微分方程..
【MODFLOW】第二讲 地下水流-热-质(或污染物、示踪剂)迁移数学模型
Dxx
C x
y
Dyy
C y
x
C
ux
y
C uy
I
基本方程
3.含水层中地热迁移规律控制方程
热对流扩散机理
c
T t
x
xx
T x
y
yy
T y
x
cw
wT
ux
y
cwwT uy
f
Fourier定律
基本方程 18
二、溶质运移数学模型：绪论
随着经济的快速发展，地下水被污染的程度日益严 重，并引起了人们的广泛关注，目前仍然存在很多问 题题，迫切需要解决：
在Dupuit 假定下，忽略垂向水流，可以导出潜水二维 流微分方程。考虑一底面边长为dx, dy的潜水含水层柱 体，计算侧向静流入量和垂向补给量，分别有：
X方向流入-流出
(vx (H
Z )y) |x
(vx (H
Z )y) |xx
(vx (H Z )y) x
|
x
y方向流入-流出
(vy (H
Z )x) |y
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
23
二、溶质运移数学模型
1、水动力弥散理论：机械弥散原因
1. 同一空隙中不同部位的流速分布不均匀 2. 不同空隙的流速大小不同 3. 固体骨架导致流速分布的不均匀
（1）
（2）
（3）
地下水质点运动速度的差异是产生水动力弥散的根本原因
x方向流出
( v ) | x (xx, y,z,t) yzt
9
一、地下水运动基本方程
3、三维流基本微分方程（续1）
一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子
一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子摘要：一、引言1.介绍一维非饱和溶质垂向运移控制方程2.计算例子的目的和意义二、计算例子1.问题描述2.控制方程3.数值方法4.计算结果三、结论1.结果分析2.对实际工程的启示正文：一、引言一维非饱和溶质垂向运移控制方程是地下水污染研究中的一个重要问题。
通过解决这个方程，我们可以了解溶质在地下水中的运移规律，为地下水污染的防治提供科学依据。
本文将通过一个具体的计算例子，介绍如何求解这个方程。
二、计算例子1.问题描述我们考虑一个简单的例子，设有一根长为1m的一维非饱和土壤柱，土壤的初始含水量和初始溶质浓度分别为θ0=0.5和C0=1mg/L。
土壤柱的顶部施加一个浓度为C1=5mg/L、面积为A=1m的溶质源。
我们需要求解在稳态条件下，溶质在土壤柱中的垂向分布。
2.控制方程根据一维非饱和溶质垂向运移的Darcy-Stokes模型，可以得到以下控制方程：(1) 质量守恒方程：θ/t = -K * u(2) 动量守恒方程：u/t = -1/ρ * p - μu(3) 溶质运移方程：C/t = -K * (u * C)其中，θ表示土壤含水量，u表示地下水流速，C表示溶质浓度，K表示土壤的渗透系数，ρ表示地下水的密度，μ表示流体的动力粘度，p表示地下水的压力。
3.数值方法我们采用有限差分法对上述控制方程进行离散，并使用三步迭代法求解线性方程组。
4.计算结果经过计算，我们得到了溶质在土壤柱中的垂向分布。
结果表明，在稳态条件下，溶质在土壤柱中的浓度分布符合预期，且与理论解析解相符。
三、结论通过这个计算例子，我们不仅验证了一维非饱和溶质垂向运移控制方程的数值解法，还了解了溶质在地下水中的运移规律。
一维变密度溶质运移实验及参数推求
第24卷第3期2008年5月水资源保护W ATER RES OURCES PROTECTI ON V ol.24N o.3May 2008 基金项目:国家自然科学基金(50679025);教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET Ο04Ο0492);高等学校学科创新引智计划(B08048)作者简介:马建良(1982—),男,山东乐陵人,硕士研究生,研究方向为地下水数值模拟。
E 2mail :maliang @ 一维变密度溶质运移实验及参数推求马建良1,陈 喜1,程勤波2,宋 轩2,鲍振鑫2(1.河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室,江苏南京 210098;2.河海大学水文水资源学院,江苏南京 210098)摘要:通过室内土柱注水实验,观测沙质土壤中氯离子浓度的变化过程。
以变密度水流连续性方程、溶质运移方程和达西方程为基础,运用有限单元法和差分法对这3个方程进行联立求解,建立了一维变密度水流和溶质运移数值模型。
利用实验数据反求变密度渗透系数、弥散系数等水动力参数。
关键词:变密度水流;一维对流—弥散方程;土柱实验;海水入侵中图分类号:O351.2 文献标识码:A 文章编号:1004Ο6933(2008)03Ο0008Ο04Identification of hydrodynamic parameters based on one 2dimensional variable density and solute transport numerical modelMA Jian 2liang 1,CHEN Xi 1,CHENG Q ing 2bo 1,SONG Xuan 2,BAO Zhen 2xin 2(1.State K ey Laboratory o f Hydrology 2Water Resources and Hydraulic Engineering ,Hohai Univer sity ,Nanjing 210098,China ;2.College o f Hydrology and Water Resources ,Hohai Univer sity ,Nanjing 210098,China )Abstract :The concentration of chloride ions in sandy s oil was observed through water 2filling s oil column tests in the laboratory.A one 2dimensional numerical m odel for groundwater f1ow of variable density and s olute transport was developed on the basis of equations of variable density groundwater flow and s olute transport as well as Darcy ’s Law.The equations were s olved using the finite element and finite difference methods.The hydrodynamic parameters for variable density flow ,such as infiltration coefficients and dispersion coefficients ,were calibrated against the observed data.K ey w ords :variable density groundwater f1ow ;one 2dimensional convection 2diffusion equation ;s oil column experiment ;seawater intrusion 20世纪70年代以来我国沿海地区陆续出现海水入侵。
溶质运移理论-(三)水动力弥散方程的解析解法-文档资料
故
式子变成
50
mM ml M
对应解为
15
一、基本解-空间瞬时无限面源与平面瞬时无限线源与一维瞬时点源
空间直角坐标系中,取yoz坐标面与面源重合，并设 单位面源瞬时注入质量为mf 的示踪剂 无限面源可以视为无数连 续排列的无限线源组成
mM
16
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
' y 从无限面源中分割出一根平行于z轴，在 处，宽 ' dy 度为 的窄长型微分面源，对空间上任意（x,y,z）处 的作用，与空间瞬时无限线源想当，后者单位长度注 ' m dy 入量与前者的 相当，有 f
33
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
通过动坐标以及变换x、y坐标尺度的方法，与基本解 产生联系 令
则
同理 得
34
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
记 引入动坐标 令 套用基本解，有
整理得
35
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
当t与C为定值时，上式为常数，记为-A，并设 X=x-ut，上式变为
为中心坐标（ut，0）,
略去高阶变量
问题写成
5
一、基本解
将m、n合并成新变量m/n，得
根据因次分析中的π定理设
和 对该问题，有两个独立的π参数，依π定理有
π1、π2可有多种组合， 但上述组合可得到最简 单的常微分方程，即
6
一、基本解
（4-11）
7
一、基本解
将定解条件做适当变换
通过Boltzmann变换，将偏微分变成常微分
，流体密度为常数； （3）t=0时，在原点处瞬时注入质量为m的溶质； （4）瞬时点源位置为坐标原点；
2
一、基本解
界面流体力学研究中的溶质输运分析
界面流体力学研究中的溶质输运分析引言界面流体力学是研究流体与固体表面（或两种不同流体之间的界面）相互作用的学科，它在多个领域有着广泛的应用，如材料科学、生物医学、化学工程等。
溶质输运是界面流体力学研究中的重要内容之一，它涉及溶质在流体中的传输、扩散和浓度分布等问题。
本文将从理论和实验两个方面，探讨界面流体力学研究中的溶质输运分析方法和应用。
一、理论分析界面流体力学中的溶质输运分析主要依赖于数学模型和数值方法的建立和求解。
以下介绍几种常用的理论分析方法：1. 对流扩散方程模型对流扩散方程是描述溶质在流体中输运和扩散的一种数学模型。
它结合了对流和扩散两个过程，并考虑了溶质浓度随时间和空间的变化。
对流扩散方程的一般形式如下：$$\\frac{\\partial c}{\\partial t} = D\\frac{\\partial^2 c}{\\partial x^2} +v\\frac{\\partial c}{\\partial x}$$其中，c是溶质的浓度，t是时间，x是空间位置，D是扩散系数，v是流体速度。
通过求解对流扩散方程，可以得到溶质的浓度分布随时间和空间的变化规律，从而分析溶质在流体中的输运行为。
2. 边界元方法边界元方法是一种数值求解偏微分方程的方法，它通过将问题的边界条件表示为问题的解在边界上的积分形式，从而减少了问题的维数。
在界面流体力学中，边界元方法可以用于建立数学模型和求解溶质输运问题。
通过将流体运动方程和扩散方程表示为边界积分形式，可以得到离散化后的方程组，再通过数值求解方法求解得到溶质的浓度分布。
3. 多尺度模拟在界面流体力学研究中，由于界面的特殊性质和微观尺度的存在，常常需要进行多尺度模拟。
多尺度模拟是将系统分为不同的尺度层次，通过在各个尺度上建立数学模型和求解方案，最后通过耦合和协调各个尺度的结果得到系统整体的行为。
在溶质输运分析中，可以利用多尺度模拟方法，从分子尺度到宏观尺度，逐层分析溶质在界面流体中的传输过程。
溶质运移及其基本微分方程
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
Ds ( ) D0
或
Ds 取决于土壤含
Ds ( ) D0 ae
b
水率θ和D0，与c 无关。a,α和 b 均为经验常数。
3. 溶质的机械弥散 c 由机械弥散引起的溶质通量： J h Dh (v)
z
Dh (v) v ，为渗透速度的线性函数。
式中：λ为与土壤质地、结构有关的经验常数。 分子扩散与机械弥散同时存在，机理不同，表 达式相似，但难于区分。因此，将二者综合 水动力弥散。
c J Dsh (v, ) qc z
根据质量守恒定律，在z方向流入和流出单 元体的溶质通量之差为：
J x y z t z
单元体内溶质的质量变化率为：
( c) x y z t t
若忽略x、y两方向的溶质质量变化，则
( c) J t z
c s RTk w g
c
（cm）
式中： 为以mol表示的溶质浓度 (mol cm3 ) µ 为溶质的摩尔质量（g/mol）数值上＝分 子量；c为单位体积溶液中含有的溶质质量 （g/cm3）；R＝8.31*106Pa· cm3/(mol· K)
当只考虑一维垂直流动时，土壤水分通量
第五节 溶质运移问题的简单解析解
第五节 溶质运移问题的简单解析解由第二节的对流弥散方程可知，溶质运移问题比地下水运动问题更复杂，更难求得解析解。
只有当含水层为均质各向同性，而且计算区域几何形状简单时，才有可能求得解析解。
下面介绍几种简单的解析解。
一. 一维问题简单的解析解实验室中的土柱试验就是一个简单的一维问题。
一个土柱中装满砂，用水饱和并且让水以固定的速度向下流动。
水中的示踪剂浓度为0。
试验开始时土柱上部换装示踪剂浓度为C 0的溶液，一直保持到试验结束。
如果不考虑吸附、化学反应和放射性衰变，取流向为x 轴，则对流弥散方程（6-91）简化为x c u xc D t c x L ∂∂-∂∂=∂∂22 （6-184） 初始条件00)0,(≥=x x c边界条件⎩⎨⎧≥=∞≥=00),(0),0(0t t c t c t c 该问题的解为（Ogata 和Banks ，1961）：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2()exp(22),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-185） 式中 )(e r f c—余误差函数； )e x p (—指数。
在天然情况下，一维运动往往出现在有一段平直的被污染的河流或渠道，河水渗漏补给地下水，地下水以固定速度u 作一维流动，如图6—25图6—25渠道渗漏作为一个线源引起的地下水污染Sauty （1980）求得该情况下的解为⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢+--=)2()exp()2(2),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-186） （6—185）式和（6—186）式在第二项前面符号不同。
当Peclet 数Lx D xu Pe = 相当大时，上二式第二项比第一项小得多，故近似有)2(2),(0t D t u x erfc c t x c L x -=（6-187） 公式（6—187）适用10≥Pe 的情况。
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程-精选文档
Fick定律
8
五、流体参数
流体的密度
d m d m dm 1 dV dV dV 1 1
N N N
多相分流体速度
N N
组分流速
1 N
C C x ,y , z , 0 0 x ,y , z
初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时 刻研究区各点的浓度即可。初始条件的如何选取，应该根据研究问 题的需要、资料状况及计算与模拟方法等因素确定。例如：t=0时向
某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C
~
R 1 d
b
n
K d
只是用 R d 去除以水动力弥散系数 D 和流速u，由于Rd 1 ，因 ~ 1 此吸附作用产生的后果，相对于 D 和 u 均减小 R ，起到减缓
d
弥散的作用。所以把 R d 称为：减缓因子。
26
七、源汇项：抽水与注水
如果含水层当中有抽水或注水井，含水层中示踪剂
七、源汇项：吸附与解吸
在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表 面产生吸附、解吸或者离子交换等物理化学作用。如果这 些溶质属于我们的研究对象，则这些作用的结果应该综合 到源汇项中，如果固相表面吸附示踪剂，视为汇，否则， 称为解吸，视为源，而离子交换即可视为汇也可视为源。
水
吸附
解吸 (源)
离子交换 (源、汇)
多相流体可混溶流体石油污染物在水体或含水层中的运移不可混溶流体不同性质溶体之间无明显的突变界不同性质溶体之间有明显的突变界惰性示踪剂理想示踪剂两种或不与地下水发生化学反应不与多孔介质发生反应天然示踪剂天然水中的环境同位素人工示踪剂离子化合物有机染料放射性同位素水动力弥散现象多孔介质中当存在两种或两种以上可混溶的流体时在流体运动作用下期间发生过渡带并使浓度区域平均化的现象水动力弥散分子扩散机械弥散由浓度高的方向向浓度底的方向运动趋于均一由于微观多孔介质中流速分布的不均一而引起的示踪剂水质点浓度在地下水含水层中不均匀分布的现象
实验4数值微积分应用实训 - 浅谈MATLAB在溶质运移的对流-扩散中的应用
Dd*
ﾶ2C ﾶx2
-
vx
ﾶC ﾶx
=
ﾶC ﾶt
（7）
式（7）左端第一项描述了质量扩散运移，第二项描述了质量的对流运移。也可以对对流-扩
散方程应用无量纲分析，定义无量纲浓度 C + = C Ce ，这里 Ce 为特征浓度，上标“+”表示
无量纲数，因此对流-扩散方程的无量纲形式可写为
�+2C +
-
vL Dd*
-divJ
=
ﾶ(Cn) ﾶt
（1）
对于对流-扩散水流系统，其质量通量可以表示为
Jx
=
-nDd*
ﾶC ﾶx
+ vxCn
Jy
=
-nDd*ﾶC ﾶy+ vyCn式中， viCn －对流项通量。
如果介质为各项同性，则
Jz
=
-nDd*
ﾶC ﾶz
+
vzCn
J = -nDd* gradC + vCn
式中， v －线性地下水流速，其分量分别为 vx 、 vy 、 vz 。
透速度稳定后，在土柱顶部瞬时加入浓度 0.1mol / L 的 NaCl 溶液，记时间为 t = 0 此时
阀门 4 可适当控制供水量，使水位保持稳定同时开始记录传感器上的浓度变化，待进水到
两分钟的时候，再将进水装置中的 NaCl 溶液迅速更换为蒸馏水此时土壤盐分在土柱中的
弥散过程就可以根据对流弥散方程利用 MATLAB 进行编程而解出。
在n+1维空间 u, x1, x2,xn 中是一曲面，称它为方程的积分曲面。
2 齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程
对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程。如
第十章-溶质运移基本理论
文章 博士
2012春季学期
wenzhangcau@
第十章 溶质运移基本理论
参考书 （1）杨金忠，蔡树英，王旭升. 地下
水运动数学模型. 科学出版社，2009 （2）陈崇希, 李国敏. 地下水溶质运
移理论及模型.中国地质大学出版社, 1996.
第十章 溶质运移基本理论
水动力弥散系数—尺度效应
目前的研究方法有： （1）确定性方法
从微观尺度研究溶质在空隙介质中运移的物理机制，重新检验对流－ 弥散基本方程的可行性，尤其是空隙介质中引入Fick扩散定律的可靠性。
（2）随机方法 其基本依据是含水层非均的事实。在非均质含水层的物理性质、水力
性质和溶质运移性质按某种随机模型分布的假定下，建立溶质运移随机方 程和水动力弥散系数的表达式。
4、中深部埋藏的咸水对上层淡水的影响的问题；特别是在开采条件下咸淡水的相 互作用规律。如我国华北平原为改造咸水体的“抽咸换淡”问题。 5、水文地球化学找矿；通过研究弥散晕的扩展及运移规律，协助我们找到“污染 源”——金属矿床。 6、土壤盐渍化改造； 7、石油开采问题。一是用水注入油田，将石油从空隙中驱替出来；二是注入可溶 性溶剂，减小石油的粘滞性，将石油和溶剂一起抽出。
u = u' = q / n
α组分的质点流速相对于平均流速有一个偏差，这个偏 差定义为组分质点的质量扩散速度：
uˆα = uα − u
4
基本参数
（5）流体的通量：流体通过单位面积时的流体质量称为质 量通量。用流体的密度和流速的乘积表示。
α组分的质量通量 Jα = ρα uα
α组分相对与溶体质量平均流速的质量扩散通量
M = As /V
As：固体颗粒的总表面积； V：所研究的多孔介质的体积 ；
一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子
一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子
摘要：
一、引言
1.非饱和溶质垂向运移的研究背景和意义
2.一维非饱和溶质垂向运移控制方程简介
二、计算例子
1.基本方程和边界条件
2.数值方法和计算流程
3.计算结果分析
三、结论
1.计算结果的合理性分析
2.对实际工程应用的启示和建议
3.对未来研究的展望
正文：
一、引言
非饱和溶质垂向运移是土壤水文学、地下水污染控制等领域中的一个重要问题。
对于理解地下水过程、预测溶质运移趋势和评估污染治理效果等方面，具有重要的理论和实际意义。
本文将以一维非饱和溶质垂向运移控制方程为例，介绍其计算方法和应用。
二、计算例子
为了具体说明一维非饱和溶质垂向运移控制方程的计算过程，我们选取了
一个典型的例子进行计算。
首先，根据题目所给条件，建立基本的一维非饱和溶质垂向运移控制方程，包括质量守恒方程、溶质守恒方程和能量守恒方程。
同时，根据实际情况设定边界条件，包括底部的恒定流速条件和顶部的恒定浓度条件。
其次，采用有限差分法对上述方程进行数值求解。
通过迭代计算，得到溶质在垂向的分布情况。
最后，对计算结果进行分析，包括浓度分布特征、运移速度和时间尺度等方面的讨论。
三、结论
通过以上计算例子，我们得到了非饱和溶质垂向运移的计算结果。
分析表明，计算结果具有一定的合理性，可以为实际工程应用提供参考。
然而，由于模型简化和实际条件的差异，仍需要进一步研究和改进。
总之，一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算方法在实际应用中具有重要意义。
溶质运移理论-(二)水动力弥散系数-精品文档
二、实验研究：一维水动力弥散实验
在充满均质砂的砂柱中预先用不含示踪剂的 流体饱和，并将其控制在某个流速水平上， 在砂柱的一端引入定浓度示踪剂，以驱替原 有的不含示踪剂的液体，并在另一端测量示 踪剂浓度，或在中间插入若干个浓度传感器 测出流体的示踪剂浓度，
根据公式求出 D L
三、尺度效应-分形特征
基准尺度是研究区大小的尺度，一般用污染物运移到观 测孔的最大距离表示，或研究区的近似最大内径长度代 替。
三、尺度效应-分形特征
综合上述图表知纵向弥散度尺度效应的变化特征：
（1）数值模型所计算出的尺度效应较解析模型变弱了， 即由数值模型所得到的纵向弥散度随研究尺度增加而增 大的速度小于用解析模型所求出的值； （2）随着模型维数的增加，分维数减少，即随着维数的 增加纵向弥散度随尺度效应增加而增大的速度渐小； （3）利用解析模型和数值模型所求出的非孔隙介质中尺 度效应分维数与孔隙介质中相应的值不同
三、尺度效应
传统观点：
以典型单元体假定为前提，对于不同尺度的多孔介质， 在相应的典型单元体上定义弥散与渗透参数，得到一个 相对稳定的弥散度。随研究范围扩大，相应的典型单元 体增大，所计算出的弥散度增大。 缺点： （1）典型单元体不稳定，从宏观尺度到微观尺度连续 变化；
（2）典型单元体没有定量信息，为虚设量，无法具体 测量大小
15
二、实验研究：一维水动力弥散实验
确定横向弥散系数的试验：
三、尺度效应
多孔介质水动力弥散尺度效应：指空隙介质中弥散度 随溶质运移距离增加而增大的现象
具体表现： （1）野外弥散试验求出的弥散度远远大于室内试验 结果；4~5个数量级；
（2）同一含水层，溶质运移距离越大，计算的弥散 度越大；
溶质运移理论
溶质运移理论
几个概念
浓度 C（体积浓度）
——单位体积水体中所含污染物的质量
M C lim V 0 V
单位：mg/L或g/L 量纲：[ML-3]
稀释度 S
——反映纳污水体被污染的程度 S= 1: 未稀释 样品总体积 S 样品中所含污水体积 S=∞: 未污染
例：为水质研究的一项内容，需要评估一种新型荧光染剂的 扩散特性。为完成该任务，需要在实验水箱（h＝40cm）中做 染剂研究。在深度20cm 处释放100g 染剂（在水箱区域内均 匀地扩展）并且观察它随时间的演化。水箱中染剂浓度的垂 直剖面在下图中给出；x 轴代表深度，y 轴代表荧光计读数。 试求：
1 扩散的基本原理
菲克定律（Fick’s law） ——在各向同性的介质中，在一定方向上单位时间内通过
单位面积扩散输运的物质与断面上的浓度梯度成正比，并
且是反梯度方向的。
X 2 C C qx A DA 质量/时间 2 t x x
质量通量
C dA 扩散通量 Dn n
控制体积CV, 表面积CS
2 物质质量守恒原理
应用实例：电厂温排水充分混合后的温升计算
Cd CV nd A D c s c s t cv
C pT d Cp TV n A d D c v c s c s t
2 物质质量守恒原理
未充分混合河段 排放口
2 物质质量守恒原理
应用实例：河流温升梯度计算 在x＝0处，一条浅河从树木茂密的蔽日区域，流入一个开 放的平原中。一旦进入开阔区域（ x>0 ），河流就开始接 收太阳的辐射， Hs ＝ 800J/(s∙m2) 。已知河流从森林中流出 的时候其温度是常温T0，河流深度h＝1m，宽度b＝10m， 流 速 u ＝ 1m/s 。 扩散系数是均匀的和各项同性的 ， D ＝ 0.1m2/s。求解当x>0时，沿河流的温度梯度∂T/∂x。
溶质运移理论-(三)水动力弥散方程的解析解法-文档资料
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
求解思路：
初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬 时变强度点源，利用点源基本解积分求取
取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x’表示，有
C表示示踪剂浓度，n为有效 孔隙率；ω 为砂柱横截面积
24
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
考虑与u等速的动坐标系，在位于x’处强度为 ' dm C n dx f 的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓 度为：
对于式（4-11），令
8
一、基本解
（4-15）
代入（4-15）
讨论并计算得 代入得最终结果
9
一、基本解
（4-20）
空间瞬时点源的解
分析上式得 等浓度面为圆心位于原点处的球面； 浓度空间分布情况如图所示；
10
一、基本解
任何时刻处浓度最大值在原点 随时间增加，原点处浓度减少 由于
或
对于式
19
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令 则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
20
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
21
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比
浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当x 时， C 0；
积分得
浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题
17
一、基本解-有限空间（平面）问题
' y 对于边界简单的情况，可用反映法转化为无限空 间问题在叠加求解
，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0) 对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂
第6章 土壤溶质与溶质运移
当两种溶液先后进入完全饱和的土体时，如果在这两种 溶液的接触界面上没有扩散和机械弥散现象发生，则 这两种溶液不会发生混合而是完全置换。完全置换的 结果导致在这两种溶液的接触面上形成明显的浓度 锋，溶液以水流通量的速率沿主流方向推进。 当旧溶液完全离开所研究的土体后新溶液才流出，其溶 液的化学组成呈现出一个突然的改变。这种置换方式 称为活塞流。如果在这两种溶液的接触面上既发生分 子扩散又存在有机械弥散，则新溶液的浓度锋将超前 于活塞流的前进锋。 实际土壤溶液一般互溶。当土壤溶液流动时，土壤溶液 既有分子（或离子）扩散又有机械弥散，既混合又置 换，因此土壤溶液的实际穿透曲线明显地不同于理想 的活塞流而多呈“S”型曲线。
理论上讲，饱和土壤的“S”型穿透曲线在流出液总体积等 于1个孔隙体积处存在一个拐点，其相对浓度为0.5， 溶质前进锋形状关于此拐点应呈反对称分布。 但由于溶质和基质的相互作用以及死孔隙的存在，因此 实测穿透曲线一般与理想对称形状有一定的差异，特 别是细颗粒土壤和有团聚结构的土壤。
几种简单情形下的混合置换:
2. 穿透曲线 当一种新的溶液进入土体且其浓度或化学组成与已存在 的土壤溶液不同时，由于旧溶液（被置换溶液）被新 溶液（置换溶液）置换从而导致土体出流的溶液浓度 随时间而变化。如果两种溶液是互不相溶的如水和 油，则这一过程称之为不混合置换；反之，如果这两 种溶液是互溶的，则称之为混合置换。 穿透曲线(breakthough curve)：即流出液的相对浓度与孔 隙体积的相关曲线，简称BTC。BTC可反映不同溶质 在不同介质中混合置换和溶质运移特征。
6.1 土壤溶质运移现象描述
1. 混合置换(miscible displacement) 混合置换是指一种流体与另一种流体混合和置换的过程。 在土壤中，一种与土壤溶液的组成或浓度不同的溶液进入 土壤后，与土壤溶液进行混合和置换的过程。如盐分淋 洗过程和含肥料和农药的水通过土壤的过程。 混合置换现象实际是溶质运移各种过程的综合表现形式， 是对流、弥散(分子扩散、机械弥散)等物理过程相吸 附、交换等物理化学过程综合作用的结果。 石油科学是首先应用混合置换理论的领域。20世纪60年代 初期土壤学家Nielsen和Biggar在研究中把其原理应用到 土壤科学领域，介绍了有关混合置换的试验及其机理， 推动了混合置换理论在农业生产实践上如土壤改良的应 用。
溶质运移
图 6-1 在 t 0时，将两块 C 0 和 C C 0 的土块相接后经过不同时间的扩散后的浓度剖面 表 6.1 不同粘土和土壤的水溶液中的选择扩散系数
1，沿海沉积物中的示踪剂
36
3
H 2O 。
2，不同温度下，用 Cl 标记或非标记的膨润土砂混合物。 3，使用
125
I 示踪剂标记或非标记的黏土土塞的压实型膨润土。
2 1
6.2.1 运移机理
溶质随水的运输由溶质通量( JwC )描述，被称为平流或对流。因为溶解物以 一种被动的方式移动，在溶剂通量( Jw )知道的情况下平流通量是容易定量描述 的，水的通量通常是时间和位置的函数。在实验室土柱的溶质运移中， Jw 一般 是常数， 而对于田间土壤溶质运移的研究，有时候需要用近似的一维稳态流来描 述。 宏观水的流量已知或可以测量，但小孔中的水流不易测定，微观速率的不同 导致水流方向上不同溶质的运移。这种运动借助于弥散通量来定量描述，如果水 流稳定且处于饱和土柱入水口溶液的浓度在初始时刻发生突变， 在土柱出口处观 察到的溶质并不会发生同样的突变 (Nielsen 和 Biggar, 1961). 溶质的浓度会随 时间而逐渐变化，这是水动力弥散的结果，表示机械弥散和扩散的综合作用。 我 们先讨论自由溶液的分子扩散和机械弥散然后再讨论土壤溶液的分子扩散和机 械弥散。 6.2.1.1 扩散 分子或离子的扩散是土壤中溶质运移的重要机理， 前提是这个方向上没有水 流或水流很小。溶质分子的净迁移通常是从高浓度向低浓度，这是扩散的结果， 由 Fick 第一定律描述。对于自由或本体溶液，一维下分子扩散引起的通量 [( J dif ( ML2T 1 )] 为：
于是离子的扩散由普通的 Fick 扩散项和考虑了电荷的电迁移项组成。相应的扩 散系数与用 Nernst-Planck 方程描述的离子移动性有关。 为了表征土壤中粒子的扩散，自由溶液中的扩散通常被调整为简化的液相 （用于扩散的一个小的横截面） 和增加了的路径长度。对土壤中扩散的一般处理 可见 olsen 、 Kemper(1968)和 Dye ( 1979)。单位面积土壤的宏观扩散通量可 以写为：
第2章水动力弥散方程
用来解决流动的地表水中α组分的分布及变化规律（例如地表水体 中污染物质的迁移）。 应用条件：
1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；
2-1-2 多组分流体的流速 u
对α组每分种的多质组点分流流速体来u看溶—平液—均中是速各指度种在，组也d分v就内的是α速各组度个分是分的不子各相的个等速分的度子。之的和统除计
以分子的个数。
流体体系的质点流速: 流体体系中各组分的质量平均速度
u
一速般u情况是下不，相等α的组，分两的者质存点在流一速个偏u差：与流体体系的质量平均流
第2章水动力弥散方程
2-1 水动力弥散方程的有关参数
2-1-1 流体的密度（ρ）
所谓的流体密度指的是单位流体体积的 质量，常用ρ 表示，量纲[ML-3]。 多组分流体的密度
实际上对于非均质的多组分流体而言， 其密度是随着组成它的各种组分的浓度 不同而变化的。
第2章水动力弥散方程
假设某多组份流体共有N种组分其某一组分称为α ，取该液体中一 体积为dv的微元，其质量为dm，该液体中在dv微元中α组分的质量
为dmα则 α组分的质量密度： dm dv
若将所有N种组分的质量密度进行求和：
N
12NN 1 d dm v 1 d d v m d dm v
就等于该溶体的体系密度。
某一组分的质量的密度：实际上就是水化学中学过的某一组分的浓 度。
浓度定义为单位体积流体某种溶质的质量。
第2章水动力弥散方程
u u u 或 u u u
u 称为α组分质点相对于质量平均速度 u 的扩散速度。
第2章水动力弥散方程
溶质运移模型的有限元数值解
溶质运移模型的有限元数值解邓永辉;邓永红【摘要】In the paper, the hybrid laplace transform finite element method was used for solving solute transport problems of dynamic two-dimensional model of brine water in the first exploitation area, which can limitedly eliminate numerical diffusion and overdo phenomena from the solving convection dominated underwater solute transport problems, whose advantages were one step and local solving. And the method was used for convective diffusion equation which have first derivative to test the numerical effectiveness and the capability to solve solute transport model.%将混合拉普拉斯变换有限单元法引入到求解首采区卤水动态二维模型的溶质运移问题中,能够有限地消除在求解对流占优的地下水溶质运移问题时产生的数值扩散和过量的现象,具有一步到位、局部求解的优点,最后将该方法应用到具有空间一阶导数项的对流弥散方程,以检验该方法的数值有效性和求解溶质运移模型的能力.【期刊名称】《海南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(029)001【总页数】5页(P25-28,32)【关键词】对流扩散方程;拉普拉斯变换;混合法【作者】邓永辉;邓永红【作者单位】湖南财政经济学院,湖南,长沙,410205;湖南财政经济学院,湖南,长沙,410205【正文语种】中文【中图分类】O35察尔汗盐湖首采区含水介质为石盐层，高浓度卤水溶液(矿化度300～450 g·L－1)在这种易溶岩介质中的溶质运移涉及到一个突出的问题是卤水与介质间的物相转化即固液转化问题［1－2］.而对于在开采过程中卤水与易溶介质之间的固液转化问题，由于涉及到矿床地质、水文地质、物理化学、地球化学、多孔介质水动力弥散理论及水盐体系相图原理等多方面的知识，目前国内外尚无可借鉴的经验和理论依据.1.1 对流扩散方程在建立目标模型之前先了解一下一维单向的流场的对流扩散方程［1］.对于一维的对流扩散模型，可以用质量守衡方程求出微分方程解等方法来确定.周期一个长为Δx圆柱形内物质迁移表示为其中，Dl为扩散系数(l表示扩散方向)，U为真实渗透速度，C为液体浓度.1.2 二维对流扩散方程从二维流的渗流场中割离出一个微分单元体，该单元的宽度为Δx，长度为Δy，厚度为M.水沿x轴方向从左面流入单元体;沿y轴方向从前流入.经时段Δt后分别经Δx，Δy 从对面流出.考察渗流引起的浓度变化:a)顺x轴方向由渗流引起物质迁移即渗流扩散模型，可用质量守衡方程求出微分方程解等方法来确定.在长为Δx的单元体内物质迁移可表示为其中，为扩散通量，其方向与浓度梯度方向相反，即负号的含义;M为含水层厚度(L);μ为自由孔隙度率，即给水度，也就是从单位体积含水层中在重力作用下能够释放给出的水量所占该含水层体积的份数.b)顺y轴方向由渗流引起物质迁移即渗流扩散模型，可用质量守衡方程求出微分方程解等方法来确定.在长为Δy的单元体内物质迁移可表示为c)输入输出可以包括弥(扩)散和对流引起的现象.式(3)和(4)被截面积和Δt去除后，使后二项系数为零，即除以ΔxΔyΔt分别可得到以下方程1.3 汇源补给项和固液转化项计算区含水层垂直向交换量包括大气降水补给量、晶间卤水蒸发量、渠系采卤(回渗)量和下伏含水层的越流补给量.汇源补给量引起的浓度变化=CQ－C.溶质运移方程中固液转化是人们长期探索的问题之一，笔者对此不作太多的研究，假设固液转化系数f是常数，也就是说假设由于固液转化带来的浓度变化MμfC为常量.一般来讲，研究固液转化的方法主要是非平衡化学法，假定地下水系统中有几种不同的物理﹑化学和生物化学作用过程，用平衡化学法判断这些作用是否平衡，用反应动力学描述固液转化速率.但在目前，非化学平衡法还处于探索阶段，尤其对高浓度卤水的计算，还没有一种较为成熟的方法.1.4 最终数学模型通过上述几种简单的模型的推导和分析，再结合首采区能引起浓度变化的各种因素，如对流、扩散、排泄、补给等等，可以导出最终目标模型其中，V1，V2为渗透速度(L·s－1);D11，D22为弥散系数(L2·s－1).式(10) 只表明浓度随时间的变化的规律，要求出微分方程的解还需要一些定解条件，求出在特定条件下浓度的值，在计算区内边界条件如下将HLTFEM求解思路引入到察尔汗盐湖采卤方案中溶质运移的计算，尽管HLTFEM严格受限于稳定流场线性溶质传输，但是在察尔汗盐湖首采区流速和传输参数可以是空间变量的函数，求解区域可以是不规则的，允许边界条件是时间变量的一般函数，这就使得这种新的没有时间步长、定点求解的计算方法仍适于溶质运移问题的模拟.在求解溶质运移方程时，由于该问题的复杂性，因此，文中忽略固液转化作用，暂不考虑汇源项，则溶质运移方程可写为［3］设基本函数其中，(xj，yj)是第j个结点的坐标.将区域Ω剖分成三角形网，三角形的顶点取为结点.设任一三角形单元(△)的3个顶点的结点号码为 i，j，k，坐标分别为(xi，yi)，(xj，yj)和(xk，yk)，规定和这3 个结点相联系的基函数在单元(△)中的值为［6］首先，形成［A］和F在该单元中的部分，其次所有单元叠加形成整体的［A］和F，并结合边界条件，式(17)就建立起所需要的方程组［A］C+F=0，由式(24)知，系数矩阵是高度稀疏非对称复值矩阵.为了节省计算机内存，使用压缩存贮的技巧，将方程非零系数按最大带宽存入二维数组中，然后根据各计算结点的相邻结点编号和相邻结点的个数，采用高斯消去法求解此二维数组，即可获得象空间的浓度分布. 根据离散的有限元方程组的解，对拉氏变换后结点的浓度Cj进行反演.若以L－1表示拉氏反演，则式(18)可化成其中，Cj(t)是在结点j处时间域的浓度.本文采用Honig和Hirdes提出的基于Fourier级数展开的拉氏反演新算法进行数值反演［7］，其反演公式为基于Fourier级数展开的拉氏变换反演算法，如Grump算法，最大的缺点就是离散误差和截断误差依赖于自由参数，即通过选择合适的稀有参数使离散误差变得任意小，但同时截断误差又变得无穷大，反之亦然.Honig-Hirdes新算法［7］通过同步使用减少离散误差的方法和加速Fourier级数收敛的方法以及近似计算最优自由参数的方法克服了Grump等算法之不足.但Stehfest算法由于仅仅使用拉氏变换参数S的实部［4］，所以与使用复数的Honig-Hirdes算法相比，在拉氏变换与Galerkin有限元结合时，会丧失很多优点，因为基于一个实数S的变换后的浓度剖面，不再是一个光滑的震荡函数而与时间域中的浓度剖面的特性相似.【相关文献】［1］孙纳正.地下水污染——数学模型和数值方法［M］.北京:北京地质出版社，1989.［2］ROACHE P putational fluid dynamics［M］.Hermosa:Albuquereque，1976:446 －447.［3］王文科.地下水有限分析数值模拟的理论与方法［M］.西安:陕西科学技术出版社，1996:102－126.［4］蒋晓蓉.油藏数值模拟基础［M］.成都:成都理工大学出版社，1998.［5］罗焕炎，陈雨孙.地下水运动的数值模拟［M］.北京:中国建筑工业出版社，2001.［6］DURBIN F.Numerical inversion of Laplace transform:an efficient improvement to Durbner and Abare’s method［J］.Comp.J.，1993，17:371 －376.。
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式中 f0 称为选择系数或渗透有效系数。 ∴严格地讲，土壤水分运动和溶质运移是耦 合的。但为了实际应用方便，在 f0 0时，常 独立求解，即先解水分运动方程，将渗流场代 入溶质运移方程，然后求解溶质分布。
c J Dsh (v, ) qc z
根据质量守恒定律，在z方向流入和流出单 元体的溶质通量之差为：
J x y z t z
单元体内溶质的质量变化率为：
( c) x y z t t
若忽略x、y两方向的溶质质量变化，则
( c) J t z
2. 溶质的分子扩散———Fick定律
1）自由水中：分子扩散通量 c （在自由水中） 0 J d D0
z
式中：D0为溶质在自由水体中的扩散系数
c 2） 土壤溶液中： J d Ds z
式中：Ds为溶质在土壤溶液中的扩散系数； J d 为分子扩散通量。
3） Ds 的经验公式：
Ds ( ) D0
或
Ds 取决于土壤含
Ds ( ) D0 ae
b
水率θ和D0，与c 无机械弥散 c 由机械弥散引起的溶质通量： J h Dh (v)
z
Dh (v) v ，为渗透速度的线性函数。
式中：λ为与土壤质地、结构有关的经验常数。 分子扩散与机械弥散同时存在，机理不同，表 达式相似，但难于区分。因此，将二者综合 水动力弥散。
§2-3 非饱和带溶质运移 及其基本微分方程
● 溶质运移现象 ● 溶质运移的对流和水动力弥散
● 溶质运移基本方程
● 土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移现象（十分复杂） 土壤水携带着溶质一起运移→对流
溶质在自身浓度作用下由高浓度处向低浓度运 移→分子扩散 溶质在流动过程中从一个大孔隙进入小孔隙→ 次小→小，不断被分散并占有越来越大的渗流 区，且每个细孔中运动速度的大小和方向均不 同（→机械弥散）。
式中 ： Se为单位时间、单位体积土壤中生 成或消失的溶质质量。
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
水动力 弥散
( c) c (qc) [ Dsh (v, ) ] t z z z
对流
该式称为溶质运移的一维对流－弥散型方程。 若考虑介质中溶质的化学、生物变化，则加 入源汇项Se。
( c) c (qc ) [ Dsh (v, ) ] Se t z z z
一、溶质运移的对流和水动力弥散
1.溶质的对流运移 1）溶质浓度c：单位体积土壤水溶液中所含 有的溶质质量。 2）溶质通量Jc：单位时间内通过土壤单位截 面积的溶质质量。设土壤水分的通量为q， Jc q c 则： 若以 v q 表示土壤水的平均孔隙流速，
为体积含水率，则 Jc v c
c s RTk w g
c
（cm）
式中： 为以mol表示的溶质浓度 (mol cm3 ) µ 为溶质的摩尔质量（g/mol）数值上＝分 子量；c为单位体积溶液中含有的溶质质量 （g/cm3）；R＝8.31*106Pa· cm3/(mol· K)
当只考虑一维垂直流动时，土壤水分通量
m s q k ( )( f0 1) z z
DD Dh (v) Ds ( )＝Dsh (v, )
4. 水动力弥散 溶质通量
JD
c Dsh (v, ) z
水动力弥散系数既和水的渗透速度有关，又 与土壤含水率有关。其值常需实验确定，或用 经验公式表示之。
二、溶质运移基本方程
由前面的分析可知，溶质总通量为对流通量 与水动力弥散通量之和。即 ：
分子扩散和水动力弥散机理不同，但同时存在， 很难区分，二者综合称为水动力弥散。 土壤中的吸附 解析； 溶质的溶解 沉淀
化合 分解 离子交换 植物的吸收、释放 微生物的分解
∴土壤中的溶液处在一个物理、化学、生物
的相互联系、连续变化的系统中。由于化学和
生物作用的复杂性，目前多数情况只考虑溶质
迁移过程的物理作用，即 对流+水动力弥散 分子扩散 机械弥散