第2章网孔分析与节点分析

i4R1u S5R2R3R4R5R6uS3u S2IⅠi1i2i3i5i6IⅡIⅢa第二章网孔分析与节点分析2.1 网孔分析法采用KCL、KVL需要列写的方程往往太多，手工解算麻烦。

能否使方程数减少呢？网孔法就是基于这种想法而提出的改进。

一、网孔分析法定义：选平面电路的网孔的电流为未知变量列出并求解方程的方法称为网孔法(mesh analysis)。

二、网孔电流的概念在每个网孔中假想有一个电流沿网孔边界环流一周，而各支路电流看作是由网孔电流合成的结果。

网孔的巡行方向也是网孔电流的方向。

注意：网孔电流是一种假想的电流，实际电路中并不存在。

引入网孔电流纯粹是为了分析电路方便。

三、网孔分析法方程的列写规律如图电路，选网孔作独立回路，设定网孔电流IⅠ、IⅡ、IⅢ如图所示。

各支路电路看成是由网孔电流合成得到的，可表示为i1 = IⅠ，i2 = IⅡ，i3 = IⅢ，R4支路上有两个网孔电流IⅠ、IⅡ流经,且两回路电流方向均与i4相反，故i4 = - IⅠ- IⅡR5支路上有两个网孔电流IⅠ、IⅢ流经，故i5 = - IⅠ+ IⅢR6支路上有两个网孔电流IⅡ、IⅢ流经，故i6 = - IⅡ - IⅢ对节点a列出KCL方程，有 i1 + i4 + i2 = IⅠ+ (- IⅠ- IⅡ) + IⅡ≡ 0可见，网孔电流自动满足KCL方程。

利用KVL和OL列出三个独立回路的KVL回路Ⅰ R1i1–R5i5–u S5–R4i4 = 0回路Ⅱ u S2+ R2i2–R6i6–R4i4 = 0回路Ⅲ u S5 + R5i5 + u S3 + R3i3–R6i6 = 0将支路电流用网孔电流表示，并代入上式得(Ⅰ) R1 IⅠ–R5 (- IⅠ+ IⅢ)–u S5–R4 (- IⅠ- IⅡ) = 0(Ⅱ) u S2 + R2 IⅡ - R6 (- IⅡ - IⅢ)–R4 (- IⅠ- IⅡ) = 0(Ⅲ) u S5 + R5 (- IⅠ+ IⅢ) +u S3 + R3 IⅢ–R6 (- IⅡ - IⅢ) = 0将上述方程整理得：网孔(Ⅰ) (R1+R4+R5)IⅠ+ R4IⅡ–R5IⅢ = u S5R11R12R13(∑U S)1网孔(Ⅱ) R 4I Ⅰ+(R 2+R 6+R 4) I Ⅱ+R 6I Ⅲ=u S2 R 21R 22R 23(∑U S )2 网孔(Ⅲ)–R 5I Ⅰ+ R 6I Ⅱ+(R 5+R 3+R 6)I Ⅲ = - u S5-u S3 R 31R 32R 33(∑U S )3四、网孔法步骤归纳如下：（1）选定一组(b-n+1)个独立网孔，并标出各网孔电流的参考方向。

（2）以网孔电流的方向为网孔的巡行方向，按照前面的规律列出各网孔电流方程。

自电阻始终取正值，互电阻前的符号由通过互电阻上的两个网孔电流的流向而定，两个网孔电流的流向相同，取正；否则取负。

等效电压源是电压源电压升的代数和，注意电压源前的符号。

（3）联立求解，解出各网孔电流。

（4）根据网孔电流再求其它待求量。

由电路直接列写网孔方程的规律总结R ii (i =Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)称为网孔i 的自电阻=第i 个网孔所有电阻之和，恒取正；R ij 称为网孔i 与网孔j 的互电阻=网孔i 与网孔j 共有支路上所有公共电阻的代数和；若流过公共电阻上的两网孔电流方向相同，则前取“+”号；方向相反，取“-”号。

(∑U S )i 称为网孔i 的等效电压源=网孔i 中所有电压源电压升的代数和。

即，当网孔电流从电压源的“ + ”端流出时，该电压源前取“ + ” 号；否则取“ - ”。

五、网孔法中特殊情况的处理1、电流源的处理方法例1 如图电路，用网孔法求电压Uab 。

解 ：由于流过电流源I S1上的网孔电流只有一个i 1，故i1= I S1 =2A ，可少列一个网孔方程。

对于两个网孔公共支路上的1A 电流源，先假设该电流源两端的电压U ，由图得网孔方程为 9i 2 – 2I S1 – 4i 3 = 16 – U -4i 2 + 9i 3 = U – 5 补一个方程： i 2–i 3 = 1 解得 i 2 = 2 (A)， i 3 = 1 (A) 。

故 I A =I S1-i 2 = 0，U ab = 2I A +16=16(V)。

小结：①如果流经电流源上的网孔电流只有一个，则该网孔电流就等于电流源电流，这样就不必再列该网孔的方程。

②若多个网孔电流流经电流源，则在该电流源上假设一电压，并把它看成电压源即可。

2、受控源的处理方法例2 如图电路，用网孔法求电压U 。

abI S12A16V3Ω2Ω1A4Ω5Ω5Vi 3i 1i 2(a)UI A解 ： 本例中含受控源(VCCS)，处理方法是：先将受控源看成独立电源。

如图中所标网孔电流，可知： i 1=0.1u ， i 3=4 对网孔2列方程为26i 2–2i 1–20i 3 = 12 用网孔电流表示该控制变量，有u = 20(i 3–i 2 ) 解得 i 2 = 3.6(A)，u=8(V) 。

小结：对受控源首先将它看成独立电源；列方程后，再补一个方程将控制量用网孔电流表示。

2.2 节点分析法一、节点法定义以节点电压为未知变量列出并求解方程的方法称为节点法。

二、节点电压的概念i 4G 1G 2G 4G 61i 2i S 2i 5AG 3G 5i S 4i S 6234i 1i 3i 6在电路中任意选择一个节点为参考节点，其余节点与参考节点之间的电压，称为节点电压，各节点电压的极性均以参考节点为“-”极。

如图电路，选节点4作参考点，其余各节点的电压分别记为u1、u2和u3。

支路电压可用节点电压表示为： u 12 = u 1- u 2 u 23 = u 2- u 3 u 13 = u 1- u 3u 14 = u 1， u 24 = u 2， u 34 = u 3 对电路的任意回路，如回路A u 13–u 23–u 12 = u 1-u 3–(u 2- u 3)-(u 1-u 2)≡ 0 所以，节点电压自动满足KVL 方程。

节点电压的独立性和完备性。

三、节点法方程的列写规律i 4G 1G 2G 4G 61i 2i S 2i 5AG 3G 5i S 4i S 6234i 1i 3i 6如图电路, 在节点1,2,3分别列出KCL 方程： (设流出取正）20Ωui 10.1ui 2i 32Ω4Ω9Ω6V 12V4Ai 1+i 2+i S2+i 4+i S4=0 i 3 +i 5–i 2–i S2 = 0 i 6 + i S6 –i 1–i 3 = 0 利用OL 各电阻上的电流可以用节点电压表示为: i 1 = G 1(u 1–u 3)，i 2 = G 2(u 1–u 2)， i 3 = G 3(u 2–u 3), i 4 = G 4 u 1， i 5 = G 5 u 2， i 6 = G 6 u 3 代入KCL 方程，合并整理后得i 4G 1G 2G 4G 61i 2i S2i 5G 3G 5i S4i S6234i 1i 3i 6节点( 1 ) (G 1 +G 2 + G 4) u 1–G 2 u 2–G 1 u 3 = i S4 –i S2 G 11G 12G 13(∑I S )1节点( 2 ) –G 2 u 1+(G 2 +G 3 +G 5)u 2–G 3u 3 = i S2 G 21G 22G 23(∑I S )2节点( 3 ) – G 1u 1–G 3 u 2 +(G 1+G 3 +G 6)u 3 = -i S6 G 31G 32G 33(∑I S )3由电路直接列写节点方程的规律总结G ii(i =1,2,3)称为节点i 的自电导=与节点i 相连的所有支路的电导之和，恒取“+” ； G ij 称为节点i 与节点j 的互电导=节点i 与节点j 之间共有支路电导之和；恒取“-”。

(∑I S )i 称为节点i 的等效电流源=流入节点i 的所有电流源电流的代数和。

即，电流源电流流入该节点时取 “ + ” ；流出时取“ - ”。

四、节点法步骤归纳如下：1、指定电路中某一节点为参考点，并标出各独立节点的电压。

2、按照规律列出节点电压方程。

自电导恒取正值，互电导恒为负。

3、联立求解，解出各节点电压。

4、根据节点电压再求其它待求量。

五、节点法中特殊情况的处理1、电压源的处理方法 例1 ：列出图示电路的节点电压方程。

解 ： 设节点电压分别为u 1、u 2、u 3。

图中有三个电压源，其中电压源u S3有一电阻与其串联，称为有伴电压源，可将它转换为电流源与电阻并联的形式，如图。

另两个电压源u S1和u S2称为无伴电压源。

u S1有一端接在参考点，故节点2的电压u 2= u S1已知，因此，就不用对节点2列方程了。

G 1G 21u S 1G 3i S234u S 2u S 3对电压源u S2的处理办法是：先假设u S2上的电流为I ，并把它看成是电流为I 的电流源即可。

列节点1和3的方程为：G 1u 1–G 1u 2 = i S –I(G 2 + G 3) u 3–G 2u 2 = I + G 3 u 3 对u S2补一方程： u 1–u 3 = u S2 小结：①对有伴电压源将它等效电流源与电阻并联的形式；②对于无伴电压源，若其有一端接参考点，则另一端的节点电压已知，对此节点就不用列节点方程了；否则在电压源上假设一电流，并把它看成电流源。

2、受控源的处理方法例2 如图(a)电路，用节点法求电流i 1和i 2。

G 3G 3u S3IG 1G 21u S1G 3i S234u S2u S31Ω2i 1i 19V1A1Ω2Ωa bi 2(a)解 ： 本例中含受控源(CCCS)，处理方法是：先将受控源看成独立电源。

将有伴电压源转换为电流源与电阻的并联形式,如图(b)所示。

设独立节点电压为u a 和u b ,则可列出节点方程组为 (1+1) u a –u b = 9 + 1 + 2 i 1 (1+ 0.5) u b –u a =–2 i 1 再将控制量用节点电压表示,即 i 1 = 9–u a /1 解得:u a = 8V, u b = 4V, i 1 = 1A i 2 = u b /2 = 2(A)1Ω2i 1i 19A (b)1A1Ω2Ωa bi 2。