流体动力学基本方程

Chapter 3 流体动力学基本方程

例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。 I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出

物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。在此假设下，对物质体τ有0d

d dt

τρτ=⎰。根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有

0v v

ÒCV

CS

d v ds t ρτρ∂+⋅=∂⎰

⎰⎰——质量守恒方程积分形式。 上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。 由奥高公式得

()v v

v

ÒCS

CV

v ds v d ρρτ⋅=

∇⋅⎰⎰⎰

，于是有

()0v CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣

⎦⎰。 考虑到τ的任意性，故有

()0v

v t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0v

d v dt

ρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）

dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。

2）由

0=dt

m d δ（m δ为微团的质量）知

11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅r

=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。

3）不可压缩流体

0d dt ρ=，故有 0v ∇⋅=v

。 由奥高公式有v v v ÒCV

CS

v ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0v v

ÒCS

v ds ⋅=⎰⎰。

不可压缩流动满足的0v ∇⋅=v

或

0v v

ÒCS

v ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。

例1、1）定常流场中取一段流管，则由

0v v

ÒCS

v ds ⋅=⎰⎰易知：

222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。

2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有2

4(,)()r V r t m t π=，

即2

()V r r -∝，其中()m t 代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。

例2、均质不可压缩流体（密度为ρ）从圆管（半径为R ）入口端以

速度0V 流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即21m r V V R ⎡⎤

⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

。通

常称这种流动为圆管的入口流。试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度m V 。 解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：0v

v ÒV dS ⋅=⎰⎰

界面

， 由于管壁无渗透故上式

可写为：2

00

2R

V R V rdr ππ=⎰

，可得02V V m =。

II 动量方程

流体团所受合外力 = 该流体团的质量 ⨯ 其加速度

II-1方程的导出

1直角坐标系下推导微分形式的动量定理

t 时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团t 时刻所占控制体CV ，其边界CS 。 受力分析：

体力合力=v

Fd ρτ

面力合力v

Òn CS

p dS =

⎰⎰

,,,,22,,,,22,,,,,,,,22,,222v v v v v v v v v x x x x

y x y y

z x z z

x x x x y x x p x y z s p x y z s y y p x y z x x p x y z s p x y z s p x y z s x z p x y z s y p x y s p x y z z s s δδδδδδδδδδδδδδδδδδ---⎛⎫⎛⎫

=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛

⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫

=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫+⎝⎭⎛⎫⎛

⎫+++- + ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,,2,,,,22v v v v v v x y y

z x y x z

z z

y p x y z s x z p x y z s p p p p x z x y z s y δδδδδττδδτδδ⎛

⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛

⎫++-∂∂∂=++- ⎪ ⎪⎝∂⎭∂∂⎭⎝

于是有v v v v v y x z p p p dV F dt x y z

ρδτρδτδτδτδτ∂∂∂=+++∂∂∂， 即v v v v v y x z p p p dV F dt x y z

ρρ∂∂∂=+++∂∂∂。

2

x '

分量形式：yx x xx zx

x y

xy yy zy y yx xx zx z z p dv p p F dt x y z dv p p p F dt

x y z p p

p dv F dt x y z ρρρρρρ∂⎧∂∂=+++⎪∂∂∂⎪

⎪∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂=++

+⎪∂∂∂⎪⎩

或写成ji i

i j

p dv F dt x ρ

ρ∂=+

∂， 或v

v dV

F P dt

ρρ=+∇⋅。 P ⋅∇意义：单位体积流体团所受面力的合力。

2积分形式的动量定理的导出

考虑体系τ，该流体团t 时刻所占控制体CV ，其边界CS 。由动量定理有

n CV CS d Vd Fd p dS dt τ

ρτρτ=+⎰⎰⎰⎰v v v Ò 利用输运定理可得()v v v v v CV CS d V V V V S dt t

τρδτρδτρδ∂

=+⋅∂⎰⎰⎰。 于是得到积分形式动量定理：

()v v v v v v

Òn CV

CS CV CS V V V S Fd p dS t ρδτρδρτ∂+⋅=+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。

例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽w ）

解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的x 方向分量方程。

22

2121wD V wD V x ρρ+-=方向动量通量

[][]12

1220

()()()D D a a a x R w P g D y dy w P g D y dy h D P ρρ=-++--+---⎰⎰方向合外力

闸门受合力＝R h D P R a '=--)(1 代入动量方程方程得

)(2

1)(2221121222D D gw R D V D V w -+'-=-ρρ

故

)()(2

1

2211222221D V D V w D D gw R -+-=

'ρρ 注：求R '时可直接设0=a P 。

注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如下：

()()v v

v

v d V d d dV

V V

dt dt

dt dt

τ

τ

ττρδτρδτρδτρδτ==+⎰⎰

⎰⎰