高考理科数学《曲线与方程》练习题(最新编写)

y2 x2 D. 9 － 4 ＝ 1
解析：设交点为 P( x， y) ，A1( －3,0) ，A2(3,0) ，P1( x0， y0) ， P2( x0，－ y0) ，
y－y0 y
∵A1，
P1，P
共线，∴
x
－
x
＝
0
x
＋
3.
①
y＋y0 y
∵A2，
P2，P
共线，∴
x
－
x
＝
0
x
－
3.
②
9
3y
由①②解得 x0＝x，y0＝ x ，
∵△ AMN是锐角三角形，
∴xN＝ | ME| ＋ | EN|
＝| ME| ＋ | AN| 2－ | AE| 2＝4，
xB＝| BF| ＝| BN| ＝6.
设 P( x，y) 是曲线段 C上任一点，
则 P∈ {( x，y)|( x－xN) 2＋ y2＝x2，xA≤ x≤ xB，y>0} ．
∴曲线段 C 的方程为 y2＝8( x－2)(3 ≤ x≤6， y>0) ．
20k2＝20k2－ 4，而
20k2＝20k2－4 不可能成立，所以不存
1－ 5k2＋4
在直线 l ，使得 | BP| ＝| BQ|.
[B 组 因材施教·备选练习 ]
1．已知点 M( －3,0) ，N(3,0) ，B(1,0) ，动圆 C与直线 MN切于点 B，过 M、 N与圆 C相切的两直
线相交于点 P，则 P 点的轨迹方程为 (
3x－ 4y＋5＝0 或 x＝1.
→
→→→
(3) 设 Q点的坐标为 ( x，y) ，M点坐标是 ( x0，y0) ，ON＝(0 ，y0) ，∵OQ＝ OM＋ ON，∴( x，y) ＝( x0,2y0)
?
x＝ x0，y＝2y0. ∵ x20＋y20＝4，∴ x2＋
y 2
2＝4，
x2 y2 即 4＋ 16＝1.
个焦点 F 的轨迹方程是 ( )
A．
y
2－
x2 48＝
1(
y
≤－
1)
C．
x
2－
y2 48＝
1(
x
≤－
1)
B．
y2
－
x2 48＝
1(
y
≥
1)
D．
x2
－
y2 48＝
1
(
x
≥
1)
解析：由题意知 | AC| ＝13， | BC| ＝ 15，| AB| ＝14， 又∵ | AF| ＋ | AC| ＝ | BF| ＋| BC| ，
50k2
x1＋ x2 25k2
则 x1＋x2＝5k2＋4，x0＝ 2 ＝5k2＋4.
∴y0＝ k( x0－5) ＝k
25k2 5k2＋4－5
－ 20k2 ＝5k2＋4.
又| BP| ＝| BQ| ? BR⊥l ? k· kBR＝－ 1，
20k
k·kBR＝ k·
5k2＋ 4 25k2
20k2 ＝4－20k2＝－ 1?
x2 y2 ∴Q点的轨迹方程是 ＋ ＝1，轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆．
4 16
→ 12．( 能力提升 )(2014 年恩施模拟 ) 在直角坐标平面上， O为原点，M为动点，| OM| ＝
→ 5，ON＝
2
5
5
→
→→ →
OM. 过点 M作 MM1⊥y 轴于点 M1，过 N作 NN1⊥x 轴于点 N1，OT＝M1M＋N1N. 记点 T 的轨迹为曲线 C，点 A(5,0) 、
→ 2 5→ 2 5
25
25
25
ON＝ 5 OM＝ 5 ( x′，y′) ，于是点 N 的坐标为 5 x′， 5 y′ ，N1 的坐标为 5 x′， 0 ，
→
→
25
所以 M1M＝ ( x′， 0) ，N1N＝ 0， 5 y′ .
x＝x′，
→→ → 由OT＝M1M＋N1N，有 ( x，y) ＝( x′， 0) ＋
x －
2
y －
2
2
2
则有 a2 ＋ b2 ＝1，
x2 y2 即4a2＋4b2＝1.
x2 y2 答案： 4a2＋4b2＝1
9．已知真命题：若 A 为⊙ O内一定点， B 为⊙ O上一动点，线段 AB的垂直平分线交直线 OB于点
P，则点 P 的轨迹是以 O，A 为焦点， OB长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若 A
11．已知圆
C 的方程为
x
2
＋
y2＝
4.
(1) 求过点 P(1,2) 且与圆 C相切的直线 l 的方程；
(2) 直线 l 过点 P(1,2) ，且与圆 C交于 A、B 两点，若 | AB| ＝2 3，求直线 l 的方程；
→
→→→
(3) 圆 C 上有一动点 M( x0，y0) ，ON＝ (0 ，y0) ，若向量 OQ＝OM＋ON，求动点 Q的轨迹方程，并说明
A．
x
2－
y2 8＝
1(
x
>1)
)
B．
x2
－
y2 8＝
1(
x
<－
1)
C．
x
2＋
y2 8＝
1(
x
>0)
D．
x2
－
y2 10＝
1(
x
>1)
解析：如图所示， 设直线 MP与直线 NP分别与动圆 C 切于点 E、F，则| PE| ＝| PF| ，| ME| ＝ | MB| ，
3 x－2
2＋y2＝1.
答案： A x2 y2
6．设 A1，A2 是椭圆 9 ＋ 4＝ 1 的长轴两个端点， P1， P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点，则直线 A1P1 与
A2P2 交点的轨迹方程为 (
)
x2 y2 A. 9＋ 4 ＝1
x2 y2 C. 9－ 4 ＝1
y2 x2 B. 9 ＋ 4 ＝ 1
直线 l 的斜率存在，并设为 k，直线 l 的方程为 y＝k( x－5) ．
由方程组
x2 y2 5 ＋ 4 ＝1， y＝k x－5
得(5 k2＋4) x2－50k2x＋ 125k2－20＝ 0.
依题意知 Δ＝ 20(16 － 80k2)>0 ，
55 得－ 5 <k< 5 .
55 当－ 5 <k< 5 时，设交点 P( x1，y1) ，Q( x2，y2) ，PQ的中点为 R( x0， y0) ，
B(1,0) ，过点 A 作直线 l 交曲线 C 于两个不同的点 P、 Q( 点 Q在 A 与 P 之间 ) ．
(1) 求曲线 C 的方程；
(2) 是否存在直线 l ，使得 | BP| ＝ | BQ| ，并说明理由． 解析： (1) 设点 T 的坐标为 ( x， y) ，点 M的坐标为 ( x′， y′) ，则 M1 的坐标为 (0 ， y′) ，
此轨迹是什么曲线．
|2 －k|
解析： (1) 显然直线 l 的斜率存在，设 切线方程为 y－2＝k( x－1) ，则由
k
2＋
＝ 1
2，得
k1＝ 0，
4 k2＝－ 3，从而所求的切线方程为 y＝2 和 4x＋ 3y－10＝0.
(2) 当直线 l 垂直于 x 轴时，此时直线方程为 x＝ 1，l 与圆的两个交点坐标为 (1 ， 3) 和 (1 ，－ 3) ，
A．2x＋ y＋ 1＝ 0
B． 2x－y－5＝0
C．2x－ y－ 1＝ 0
D． 2x－y＋5＝0
解析：设 Q( x，y) ，则 P 为( －2－x, 4－ y) ，代入 2x－y＋3＝ 0 得 2x－y＋5＝0.
答案： D 3．已知 A(0,7) ，B(0 ，－ 7) ，C(12,2) ，以 C 为一个焦点的椭圆经过 A， B 两点，则椭圆的另一
→→ → 有一动点 Q满足 OQ＝PF1＋PF2，则动点 Q的轨迹方程是 ________．
→→ → 解析：由 OQ＝PF1＋PF2，
→→→ 又PF1＋PF2＝PM＝
→
→
2PO＝－ 2OP，
设 Q( x，y) ，
→ 1→
则OP＝－
OQ 2
xy ＝ －2，－ 2 ，
xy 即 P 点坐标为 － 2，－ 2 ，又 P 在椭圆上，
25 0， 5 y′
，所以
25 y＝ 5 y′
.
5 由此得 x′＝ x， y′＝ 2 y.
→ 由| OM| ＝
5，得 x′２＋ y′２＝ 5，所以 x2＋
25y
2
＝
5，得
x2 5＋
y2 4＝
1，即所求的方程表示的曲线
C是
椭圆．
(2) 点 A(5,0) 在曲线 C即椭圆的外部，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 与椭圆 C无交点，所以
解析：设 P( x，y) ，R( x0，y0) ，
→
→
则有 RA＝(1 －x0，－ y0) ，AP＝( x－ 1， y) ．
→→ 又RA＝2AP，
1－x0＝2 x－1 ， ∴
－y0＝ 2y.
x0＝－ 2x＋3， ∴
y0＝－ 2y.
又
R( x0，y0) 在圆
x
2
＋
y
2
＝
4
上，
∴( －2x＋3) 2＋( －2y) 2＝4，即
这两点的距离为 2 3，满足题意；当直线 l 不垂直于 x 轴时，设其方程为 y－ 2＝ k( x－1) ，
即 kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为 d( d>0) ，则 2 3＝2 4－d2，得 d＝ 1，从而 1＝
| －k＋2|
3
k2＋1 ，得 k＝ 4，此时直线方程为 3x－ 4y＋5＝0，综上所述，所求直线方程为
轨迹为 ( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
解析：设 P( x，y) ，动圆 P 的半径为 R，由于△ ABP为正三角形，
3
3
∴P 到 y 轴的距离
d＝
2 R，即 | x| ＝
R. 2
而 R＝ | PF| ＝ x－a 2＋y2，
3 ∴| x| ＝ 2 ·
x－a 2＋ y2.
整理得 ( x＋ 3a) 2－3y2＝12a2， x＋ 3a 2 y2
∴| AF| －| BF| ＝| BC| －| AC| ＝2，故点 F 的轨迹是以 A，B 为焦点 ，实轴长为 2 的双曲线的下支． 又
c＝7，a＝1，b2＝ 48，∴点 F 的轨迹方程为
y
2－
x2 48＝
1(
y≤－
1)
．
答案： A 4．有一动圆 P 恒过定点 F( a, 0)( a>0) 且与 y 轴相交于点 A、B，若△ ABP为正三角形，则点 P 的
即 12a2 －4a2＝1.
∴点 P 的轨迹为 双曲线．
答案： D
5．已知点 A(1,0)
和圆 C：x2＋y2＝4 上一点
→→ R，动点 P 满足 RA＝ 2AP，则点 P 的轨迹方程为 (
)
A.
3 x－2
2＋ y2＝1
B.
3 x＋2
2＋y2＝ 1
C．x2＋
3 y－ 2
2＝1
D． x2＋
3 y＋2
2＝1
2015 高考理科数学《曲线与方程》练习题
[A 组 基础演练·能力提升 ]
一、选择题
1．方程 x2－y2＝ 0 对应的图象是 (
)
解析：由 x2－y2＝0 得， y＝ x 或 y＝－ x， 故选 C. 答案： C
2．已知点 P 是直线 2x－y＋ 3＝ 0 上的一个动点， 定点 M( －1,2) ，Q是线段 PM延长线上的一点， 且 | PM| ＝ | MQ| ，则 Q点的轨迹方程是 ( )
为⊙ O外一定点，B为⊙ O上一动点，线段 AB的垂直平分线交直线 OB于点 P，则点 P的轨迹是 ________．
解析：如图，连接 AP，由于 P 是线段 AB垂直平分线上一点，
故有 | PA| ＝ | PB| ， 因此 || PA| －| PO|| ＝|| PB| －| PO|| ＝| OB| ＝R＝定值，其中 R 为⊙ O的半径． 又由于点 A 在圆外， 故|| PA| －| PO|| ＝ | OB| ＝R<| OA| ， 故动点 P 的轨迹 是以 O，A 为焦点， OB为实轴长的双曲线． 答案：以 O， A 为焦点， OB为实轴长的双曲线 三、解答题 10. 如图所示，直线 l 1 与 l 2 相交于点 M，l 1⊥l 2，点 N∈l 1，以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点 到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等．若△ AMN为锐角 三角形， | AM| ＝ 17，| AN| ＝3，且| NB| ＝6，建立 适当的坐标系，求曲线段 C 的方程．
解析：以 l 1 为 x 轴，l 2 为 y 轴建立平面直角坐标系， M为坐标原点．作 AE⊥ l 1，AD⊥ l 2，BF⊥l 2， 垂足分别为 E、D、F.
设 A( xA，yA) ，B( xB，yB) ， N( xN,0) ．
依题意有 xA＝| ME| ＝| DA| ＝ | AN| ＝ 3，
yA＝| DM| ＝ | AM| 2－ | DA| 2＝ 2 2.
x20
y
2 0
x2 y2
代入 9 ＋ 4 ＝1，化简，得 9－ 4 ＝1.
答案： C 二、填空题 7．△ABC的顶点 A( －5,0) ，B(5,0) ，△ ABC的内切圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程 是 ________．
解析：如图， | AD| ＝| AE| ＝ 8，
| B F| ＝| BE| ＝2，| CD| ＝| CF| ， 所以 | CA| － | CB| ＝ 8－ 2＝6.
x2 y2 根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 9 －16＝1( x>3) ．
x2 y2 答案： 9 －16＝1( x>3)
x2 y2 8．(2014 年成都模拟 ) P 是椭圆 a2＋b2＝1 上的任意一点， F1、F2是它的两个焦点， O为坐标原点，