高三期中调研考试数学试题(文科)

O

１

－２

y x

－

Ｏ

x

y

－2

2

江苏省如皋、海安联合高三期中调研考试 数学试题（文科）

（满分160分，答卷时间120分钟）

一、填空题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．把答案填写在答题纸相应位置上． 1． 已知(1,1),(1,3)x x =+=-a b ，且⊥a b ，则x = ． 2． 设集合

{}

2(,)|,M x y y x x ==∈R ，集合

{}

(,)|2,N x y y x x ==-∈R ，则M

N = ．

3． 将3OM OA OB OC =--写成

AM xAB y AC

=+时，x ＋y= ．

4． sin 21cos81sin69cos9-= ． 5． 已知函数log ()a y

x

b 的图象如图所示，则b a = ．

6． 设

1

1,lg lg ,lg

,lg(),22a b a b M a b N P ab +>>=⋅==则M ，N ，P

的大小关系为 (用<联接)．

7． 若 直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是 ．

8． 设命题甲：

{}

2

210a ax

ax ++>R 的解集是；命题乙：01a <<，则命题甲是命题乙成立的 条

件(从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选取). 定义一种运算：1*1=1，(1)13(1)n n +*=*，则1n *= ．

10．过抛物线y2＝4x 的焦点F 作斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点(点A 在x 轴上方), 若AF FB λ=,则λ= ． 11．已知函数2()

1,()

f x x

g x x ，令()

max (),()

F x f x g x (max 表示最大值)，则F(x)的最小值

是 ．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置正确填涂．

12．不等边ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，

则直线2sin sin x A y A a +=与直线

2

sin sin x B y C c +=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．相交但不垂直 13．与图中曲线对应的函数(定义域为[]

2π,2π-)是 （ ）

A ．sin y x =

B ．

sin y x

= C ．

sin y x

=- D ．

sin y x

=-

A

C B

D 南

东

北

西 14．已知双曲线22

163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，则1F 到直线F2M 的距离

为

（ ）

A ．6

5

B ．56

C ．36

D ．56

15．已知函数,(),n n f n n n ⎧=⎨

⎩为奇数,

-为偶数, ()(1)

n a f n f n =++, 则1232007a a a a +++

+=（ ）

A ．－1

B ．1

C ．0

D ．2

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分） 函数f(x)的定义域为D

{}

0x x =>, 满足: 对于任意,m n D ∈，都有()()()f mn f m f n =+，且f(2)=1.

（1）求f(4)的值；

（2）如果(26)3,()(0,)f x f x -≤+∞且在上是单调增函数，求x 的取值范围.

17．（本题满分14分）

某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处，有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？

18．（本题满分14分）一艘太空飞船飞往地球，第一次观测时，如图1发现一个正三角形的岛屿(3；第二次观测时，如图2发现它每边中央1

3处还有一正三角形海岬，形成了六角的星形；第三次观测时，如图3发现原先每一小边的中央1

3处又有一向外突出的正三角形海岬，把这个过程无限地继续下去，就得到

著名的数学模型——柯克岛. 把第1，2，3，，n 次观测到的岛的海岸线长

记为123,,,,n a a a a ，试求123,,a a a 的值及an 的表达式.

O F

x

y l

B1

B2

19．（本题满分14分）设关于x 的不等式0

x x a b --<的解集为P ．

（1）当2,3a b ==时，求集合P ； （2）若1a =，且{}

|1P x x =<-，求实数b 的值．

20．（本题满分14分）

点12,B B 是椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的短轴端点，椭圆的右焦点为F ，12B B F ∆为等边三角形，点F 到椭圆

右准线l 的距离为1．

（1）求椭圆方程；

（2）求经过点O 、F 且与右准线l 相切的圆的方程.

21．（本题满分15分）数列

{}n a 是公差为(0)d d >的等差数列，且214a a a 是与的等比中项，设

*13521()n n S a a a a n -=++++∈N ．

（1）求证21

n n n S S S ++=

（2）若

1

4d =

，令n

n S b ，{}n b 的前n n T 项和为，是否存在整数P 、Q ，使得对任意n *∈N , 都有n P T Q <<，

若存在，求出P 的最大值及Q 的最小值；若不存在，请说明理由．