机器人雅可比矩阵知识讲解
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程，基于物理仿真。
下面通过一个简单例子介绍约束动力学方法。一个2 D
粒子被强制绕单位圆周运动，设计一个标量行为函数 C(q)
来表达约束。例如可规定约束为
C(q) 1 (q q 1) 2
C=0
Ċ=0
C =0
C=0 合法位置 Ċ=0 合法速度
C =0 合法加速度
fC
C q
约束力 fC ： 限制为法线方向； 与所有合法位移垂直； 不做功、没有能量增加或 损失； 一个自由度：
图5.9 粒子运动满足约束函数C，并 绕圆周运动。
图5.10 虚功原理要求约束力只能位于 圆周的法线方向
把作用在所有粒子上的力用一个力矢量表示，记为Q。 则控制粒子系统的牛顿方程为
q WQ
其中 W 是M的逆。 对于约束也使用综合的记号法，所有的标量约束函数
xx(q) 速度，q 为关节速度；操 作作 臂J(臂 的q)的 位是运 移动 关6×学 系n方 ，的程 建偏，立导描了述操数机作矩器空阵人间，操与称
为操作臂的雅可比矩阵关。节空它间的的第映i行射关第系j列。元素为
JiAjqpA BTxiqBqjp ，i=1,刚 的2,…体 空的 间,6齐 位; 次 姿j=变 关1,换 系2,矩 。…阵,n，。描述刚体之间
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x ) xx 1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq，根据力学关系，建立微分约束方
必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和
外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1 平面2R机械手的运动学方程为
x l1c1 l2c12 y l1s1 l2s12
y
l2
l1 1 x
(x,y) 2
将平面2R机械手的运动学方程两端分别对时间t求导, 则得其雅可比矩阵为
机器人雅可比矩阵
回顾：基本概念
刚体位姿描述和齐次变换
齐次坐标,欧拉角与 RPY 角 齐次变换和齐次变换矩阵的运算
操作臂运动学
连杆参数、连杆坐标系 连杆变换和运动学方程 机器人关节空间与操作空间
关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置
xx(q)
运动学正解
q
关节空间
操作空间 xx(q)
运动学反解
关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度
于是得到与末端速度 x[1,0]T 相应的关节速度 反解为
1lc 11 s22;2l2 cs12lc 11 s22
讨论：机械手接近奇异形位时， 关节速度将趋于无穷大。
当2＝0； 2＝180时，机械手
在水平位置，
1lc 11 s22;2l2 cs12lc 11 s22
qJ1(q)x
例：物理仿真中的雅可比矩阵
x6 f6(q1,q2, ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的 函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
上式中，66的偏导数x矩阵J(Jq(q)q)叫做雅可比矩阵。其中
Jijq xiqq j
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
y1 y1
u2
un
y2 y2
u2
un
Ju ()Rmny Ju ()u
ym u2
yum n
根据上述一般数学定义，对于6关节机器人：
设有6个各含6个独立变量的函数，简写为x=f(q)。
x1 f1(q1,q2, x f (q)x2 f2(q1,q2,
,q6) ,q6)
求微分， x f q q
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q 变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
对于关节空间的某些形位q，操作臂的雅可比矩阵 的秩减少、这些形位称为操作臂的奇异形位：
(singular configuration)
操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位（数学上） 操作臂在操作空间的自由度将减少（物理上）
例4.1
y
l2
l1 1 x
可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位
(x,y) 2
当2＝90或2 ＝0时,机械手的雅可比行列式为0．矩阵的 秩为1，因而处于奇异状态。从几何上看机械手完全伸
相应的关节速度即可解出
qJ1(q)x
对于平面2R机械手，运动学方程为
平面2R机械手的速 度反解
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速
度运动，求相应的关节速度
q 1
T 2
解：雅可比J(q)为
逆雅可比可为
J 1 (q ) l1 l1 2 s2 l1 c l1 2 c 1 l2 2 c 12 l1 s l1 2 s 1 l2 2 s 1 2
直(2 ＝0)或完全缩回(2 ＝180)时，机械手末端丧失了 径向自由度．仅能沿切向运动，在奇异形位时，机械手
在操作空间的自由度将减少。
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速
度运动，求相应的关节速度 q 1
T 2
解：由
可以看出，只要
机械手的雅可比J(q)是满秩的方阵,
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
源自文库
y1(u) y2(u)
yy12((uu11,,uu22,, ,,uunn))
ym(u) ym(u1,u2,,un)
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u y u y1 1
y1 u2
u y1 n
y相对于u的偏导数定义为
u y u u uyyym 1 2(((u u u))) yu yu u ym 1 1 2 1 1
运动学正解
关节空间
操作空间
运动学反解
4.1 雅可比矩阵的定义(Jacobian matrix)
操作空间速度与关节空间速度之间的线性变 换。
xJ(q)q
操作臂的雅可比矩阵 J(q)，建立了从 关节速度向操作速度的映射关系。进 行机器人操作臂的速度分析。
式中，x 称为末端在操作空间的广义速度，简称为操作
下面通过一个简单例子介绍约束动力学方法。一个2 D
粒子被强制绕单位圆周运动，设计一个标量行为函数 C(q)
来表达约束。例如可规定约束为
C(q) 1 (q q 1) 2
C=0
Ċ=0
C =0
C=0 合法位置 Ċ=0 合法速度
C =0 合法加速度
fC
C q
约束力 fC ： 限制为法线方向； 与所有合法位移垂直； 不做功、没有能量增加或 损失； 一个自由度：
图5.9 粒子运动满足约束函数C，并 绕圆周运动。
图5.10 虚功原理要求约束力只能位于 圆周的法线方向
把作用在所有粒子上的力用一个力矢量表示，记为Q。 则控制粒子系统的牛顿方程为
q WQ
其中 W 是M的逆。 对于约束也使用综合的记号法，所有的标量约束函数
xx(q) 速度，q 为关节速度；操 作作 臂J(臂 的q)的 位是运 移动 关6×学 系n方 ，的程 建偏，立导描了述操数机作矩器空阵人间，操与称
为操作臂的雅可比矩阵关。节空它间的的第映i行射关第系j列。元素为
JiAjqpA BTxiqBqjp ，i=1,刚 的2,…体 空的 间,6齐 位; 次 姿j=变 关1,换 系2,矩 。…阵,n，。描述刚体之间
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x ) xx 1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq，根据力学关系，建立微分约束方
必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和
外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1 平面2R机械手的运动学方程为
x l1c1 l2c12 y l1s1 l2s12
y
l2
l1 1 x
(x,y) 2
将平面2R机械手的运动学方程两端分别对时间t求导, 则得其雅可比矩阵为
机器人雅可比矩阵
回顾：基本概念
刚体位姿描述和齐次变换
齐次坐标,欧拉角与 RPY 角 齐次变换和齐次变换矩阵的运算
操作臂运动学
连杆参数、连杆坐标系 连杆变换和运动学方程 机器人关节空间与操作空间
关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置
xx(q)
运动学正解
q
关节空间
操作空间 xx(q)
运动学反解
关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度
于是得到与末端速度 x[1,0]T 相应的关节速度 反解为
1lc 11 s22;2l2 cs12lc 11 s22
讨论：机械手接近奇异形位时， 关节速度将趋于无穷大。
当2＝0； 2＝180时，机械手
在水平位置，
1lc 11 s22;2l2 cs12lc 11 s22
qJ1(q)x
例：物理仿真中的雅可比矩阵
x6 f6(q1,q2, ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的 函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
上式中，66的偏导数x矩阵J(Jq(q)q)叫做雅可比矩阵。其中
Jijq xiqq j
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
y1 y1
u2
un
y2 y2
u2
un
Ju ()Rmny Ju ()u
ym u2
yum n
根据上述一般数学定义，对于6关节机器人：
设有6个各含6个独立变量的函数，简写为x=f(q)。
x1 f1(q1,q2, x f (q)x2 f2(q1,q2,
,q6) ,q6)
求微分， x f q q
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q 变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
对于关节空间的某些形位q，操作臂的雅可比矩阵 的秩减少、这些形位称为操作臂的奇异形位：
(singular configuration)
操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位（数学上） 操作臂在操作空间的自由度将减少（物理上）
例4.1
y
l2
l1 1 x
可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位
(x,y) 2
当2＝90或2 ＝0时,机械手的雅可比行列式为0．矩阵的 秩为1，因而处于奇异状态。从几何上看机械手完全伸
相应的关节速度即可解出
qJ1(q)x
对于平面2R机械手，运动学方程为
平面2R机械手的速 度反解
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速
度运动，求相应的关节速度
q 1
T 2
解：雅可比J(q)为
逆雅可比可为
J 1 (q ) l1 l1 2 s2 l1 c l1 2 c 1 l2 2 c 12 l1 s l1 2 s 1 l2 2 s 1 2
直(2 ＝0)或完全缩回(2 ＝180)时，机械手末端丧失了 径向自由度．仅能沿切向运动，在奇异形位时，机械手
在操作空间的自由度将减少。
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速
度运动，求相应的关节速度 q 1
T 2
解：由
可以看出，只要
机械手的雅可比J(q)是满秩的方阵,
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
源自文库
y1(u) y2(u)
yy12((uu11,,uu22,, ,,uunn))
ym(u) ym(u1,u2,,un)
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u y u y1 1
y1 u2
u y1 n
y相对于u的偏导数定义为
u y u u uyyym 1 2(((u u u))) yu yu u ym 1 1 2 1 1
运动学正解
关节空间
操作空间
运动学反解
4.1 雅可比矩阵的定义(Jacobian matrix)
操作空间速度与关节空间速度之间的线性变 换。
xJ(q)q
操作臂的雅可比矩阵 J(q)，建立了从 关节速度向操作速度的映射关系。进 行机器人操作臂的速度分析。
式中，x 称为末端在操作空间的广义速度，简称为操作