机器人雅可比矩阵知识讲解
机器人雅可比矩阵
两自由度机器人
对于一个两自由度的机器人，其 雅可比矩阵是一个2x2矩阵，其 中包含了机器人的两个关节角度 和两个关节速度之间的线性关系
。
矩阵形式
雅可比矩阵的矩阵形式为：J = [[a, b], [c, d]]，其中a、b、c、d 是机器人关节角度和关节速度之
间的线性关系系数。
计算方法
对于两自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到
解析机器人模型
计算偏导数
雅可比矩阵描述了机器人末端与控制输入 之间的关系，通过直接计算机器人关节变 量对末端位置和姿态的偏导数得到。
根据机器人的几何模型和关节类型，解析 机器人的运动学模型，得到末端位置和姿 态与关节变量的关系。
利用解析得到的运动学模型，计算机器人 末端位置和姿态对关节变量的偏导数，得 到雅可比矩阵的元素。
参数优化
调整雅可比矩阵的参数
通过对雅可比矩阵的参数进行调整，如增加或减少矩阵的行 或列，能够优化矩阵的计算过程，提高计算效率。
优化迭代算法的参数
对于使用迭代算法计算雅可比矩阵的情形，通过调整迭代算 法的参数，如增加迭代次数、改变收敛准则等，能够提高计 算精度和速度。
控制策略改进
引入新的控制策略
针对具体应用场景，引入新的控制策略，如采用模糊控制、神经网络等，能够更好地解决机器人控制问题，进而 改进雅可比矩阵的计算效果。
计算方法
对于四自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到 雅可比矩阵。
05
雅可比矩阵的优化与改进
优化算法选择
选用高效算法
对于雅可比矩阵的计算，选用高效的算法能够显著提升计算速度和精度，例如采 用数值差分法、有限元法等。
简述机器人雅可比矩阵的概念
简述机器人雅可比矩阵的概念机器人雅可比矩阵是机器人控制理论中的一个重要概念，它描述了机器人末端执行器在关节空间和笛卡尔空间中的运动学关系。
本文将从机器人运动学的基本概念入手，介绍雅可比矩阵的定义、性质和应用，以及在机器人控制中的重要作用。
一、机器人运动学基本概念机器人运动学是研究机器人运动规律和运动参数的学科，它是机器人控制理论的重要组成部分。
机器人运动学主要分为正运动学和逆运动学两个部分。
正运动学是指通过机器人关节角度计算机器人末端执行器的位置和姿态，即把关节空间的运动状态转换为笛卡尔空间的运动状态。
逆运动学则是指通过机器人末端执行器的位置和姿态计算机器人关节角度，即把笛卡尔空间的运动状态转换为关节空间的运动状态。
正逆运动学是机器人控制中的基本问题，也是机器人实际应用中必须解决的问题。
机器人运动学中的基本概念包括机器人坐标系、机器人关节角度、机器人末端执行器的位置和姿态等。
机器人坐标系是机器人运动学中的一个基本概念，它是描述机器人运动状态的基础。
机器人坐标系可以分为基座坐标系和工具坐标系两种类型。
基座坐标系是机器人的固定参考系，通常与机器人底座相对应。
工具坐标系则是机器人末端执行器的参考系，通常与机器人末端执行器的位置和姿态相对应。
机器人关节角度是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人关节运动状态的参数。
机器人关节角度通常用关节角度向量表示，例如q=[q1, q2, ..., qn]T，其中n是机器人关节数量。
机器人关节角度向量是机器人控制中的重要参数，它可以用来控制机器人的关节运动状态。
机器人末端执行器的位置和姿态是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人末端执行器运动状态的参数。
机器人末端执行器的位置通常用位置向量表示，例如p=[x, y, z]T，其中x、y、z 是机器人末端执行器在笛卡尔空间中的位置坐标。
机器人末端执行器的姿态通常用姿态矩阵或欧拉角表示，例如R=[r11, r12, r13; r21, r22, r23; r31, r32, r33]，其中r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33是姿态矩阵的元素。
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
第五章 机器人雅可比
(5.18)
第五章
第二节
5.3 雅可比矩阵的构造法
• 1、概述 • 2、矢量积的方法 • 3、微分变换法
第五章
既可当成是从关节空间向 操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微 分运动转换的线性关系，即
雅可比矩阵
J (p )
1、概述
V J (q )q
D J (q )dq
其中:q是关节空间位移矢量
x l1c1 l2 c12 y l1 s1 l2 s12
平面2R机械手的运动学方程为：
求其雅可比矩阵。 其雅可比矩阵为：
平面2R机械手
解：对运动学方程两端分别对时间t求导，则得
l1s1 l2 s12 J (q ) l1c1 l2 c12 l2 s12 l2c12
i
0 d 0 dd i ,δ 1
0 0 , 0
抓手相应的微分运动矢量为
T dx T nz d y oz T d z a z dd T 0 i x T y 0 T 0 z
第五章
第二节
对于任何3维矢量 p [ px , py , pz ]T ，其反对称矩阵 定义为:
0 S ( p ) pz p y pz 0 px py px 0
S (p )
(5.16)
它具有以下性质： （1） S ( p ) p , S ( p ) p ； （2） T S ( p ) ( p )T , T S ( p ) ( p )T ；
ny oy ay 0 0 0
nz oz az 0 0 0
34机器人运动学雅可比矩阵
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧
3.4 机器人的雅可比矩阵
1、 微分运动与速度
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不 同部件之间的速度关系。
机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机 器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微 分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动 速度的关系。
前面介绍过机器人运动学正问题
r f ( )
一般情况：
n
Rmn
fm
n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标 原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐 标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 ：基准坐标系 Oe xe ye ze ：指尖坐标系
ze
z0
Pe
Oe
ye
xe
O0
r f ( )
r r1, r2,
, rm T Rm1
1,2 , , n Rn1
rj f j (1,2, ,n ) j 1, 2, , m
若n>m，手爪位置的关节变量有无限 个解，通常工业用机器人有3个位置变量 和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。
阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新
(完整版)机器人学_机器人雅可比矩阵
dy
,
dz
)Rot(k, d)
I 44
k z d
k y d
0
kzd
0
k x d
0
k y d kxd
0
0
dx
dy
dz
0
四. 微分旋转的无序性 当θ→0 时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy，
δz=dθz，则绕三个坐标轴(p16)的微分旋转矩阵分别为
1 0 0 0
例 :如图3-18所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪
作用于外界环境的力为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，若关节无摩擦
力存在，求力 的等效关节力矩
。
解：由前面的推导知
0F [Fx , Fy ]T
所以得：
y0
2
1
x0
图3-18 关节力和操作力关系
例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩
传感器，若已测出传感器上的力和力矩
只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即
可求出，即
。
上例平面2R机械手的逆雅可比
J
1
1 l1l2s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2s12
l1s1
l2s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的 关节速度将趋于无穷大。
解：因为已知
，可以根据前面的公式求得dA和δA。也可
根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即
求得
，
4.2 机器人的静力学
v F
[
v f,
机器人雅可比矩阵
机器人雅可比矩阵简介机器人雅可比矩阵（Robot Jacobian Matrix）是机器人运动学中的重要概念之一。
它描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系，是机器人运动方程求解、运动规划和控制的基础。
本文将详细介绍机器人雅可比矩阵的定义、性质以及它在机器人学中的应用。
定义在介绍机器人雅可比矩阵之前，我们先回顾一下机器人运动学的基本概念。
假设有一个机器人系统，它由n个自由度的关节组成，每个关节的转动由关节角度表示。
而机器人的末端执行器的位置和姿态可以通过正向运动学求解得到，位置用笛卡尔坐标表示，姿态用旋转矩阵或四元数表示。
机器人雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系。
具体来说，设机器人关节速度为q_dot，末端执行器速度为x_dot，机器人雅可比矩阵为J，那么雅可比矩阵满足以下关系：x_dot = J * q_dot性质机器人雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：1.雅可比矩阵的维度为6×n，其中6表示笛卡尔坐标的维度，n表示机器人的自由度数。
2.雅可比矩阵是一个矩阵函数，它的元素可以表示为：J_ij = ∂f_i / ∂q_j其中，f_i表示末端执行器的第i个度量值，q_j表示第j个关节角度。
3.雅可比矩阵的每一列表示末端执行器在各个关节速度方向上的运动灵敏度。
如果某列的元素值较大，说明在该关节角度变化时，末端执行器的运动会更加敏感。
4.雅可比矩阵的秩决定了机器人在不同姿态下所能达到的运动自由度。
如果雅可比矩阵的秩小于n，那么机器人在某些姿态下会出现奇异配置，并且无法实现所需的末端执行器速度。
应用机器人雅可比矩阵在机器人学中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景：逆运动学求解在机器人学中，逆运动学是指已知末端执行器的位置和姿态，求解机器人关节角度的过程。
雅可比矩阵在逆运动学求解中起到了关键作用。
通过雅可比矩阵的逆矩阵，可以将末端执行器的速度映射到关节速度空间中，进而求解出关节速度。
机器人雅可比矩阵
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可比矩阵的维度， 以适应不同情况下的计算需求。
雅可比矩阵的奇异性问题
1 2
奇异值分解
利用奇异值分解（SVD）等技术处理雅可比矩阵 的奇异性问题，提高矩阵的稳定性和可靠性。
冗余自由度
合理配置机器人的冗余自由度，避免产生奇异位 姿，提高机器人的运动能力和灵活性。
。
逆向运动学
03
已知机器人在笛卡尔空间中的位姿，求解关节空间的运动变量
，进而得到雅可比矩阵。
03
雅可比矩阵的应用
机器人的运动学正解与逆解
01
02
03
运动学正解
通过给定的关节角度，计 算机器人末端执行器的位 置和姿态。
运动学逆解
已知末端执行器的位置和 姿态，反推出各关节角度 。
求解方法
通过几何学和线性代数的 方法，建立机器人运动学 模型，并使用数值计算方 法求解正解和逆解。
3
动态调整
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可 比矩阵的结构，以避免奇异性问题。
雅可比矩阵的实时计算优化
并行计算
采用并行计算技术，将雅可比矩阵的计算任务分解为多个子任务， 提高计算效率。
预计算和缓存
对雅可比矩阵进行预计算和缓存，减少实时计算量，提高计算速度 。
自适应算法
采用自适应算法优化雅可比矩阵的计算过程，根据机器人运动状态和 任务需求动态调整计算参数，提高计算精度和响应速度。
力矩控制
通过调节施加在机器人关节上的力矩，实现对机器人运动的精确控 制。
控制方法
基于反馈的力/力矩控制方法，如PID控制器、模糊控制器等。
04
雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的降维处理
机器人运动学雅克比矩阵第8讲机器人的微分运动与速度
前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度V 的传递 比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 q?i 对手爪
角速度 ? 的传递比，因此将 J 分块为：
?V?
??? ??
?
?J i1 ??J a1
Ji2 Ja2
? ?
?q?1 ?
J in Ja2
三逆雅可比矩阵及奇异性雅可比矩阵的奇异性由此可见当雅可比矩阵的行列式为0时既使手爪的速度为一个定值关节速度也将趋于无穷大最终结果会导致关节及该关节的驱动装置损坏
第八讲 机器人的雅可比矩阵 与速度分析
（一）雅可比矩阵的定义 （二）雅可比矩阵的构造法 （三）逆雅可比矩阵 （四）力雅可比 （五）加速度关系
（一）雅可比矩阵的定义
? 把机器人关节速度向量 q?i 定义为：
q? ? ?q?1 q?2 ? ? q?n T
式中，q?i (1,2,? , n) 为连杆 i 相对于
i ? 1的角速度或线速度。
? 手爪在基坐标系中的广义速度向量为：
? ? V
?
?v?
???
? ?
?
x?
y?
z? ? x
?y
?z T
? q? 与 V之间的线性映射关系称为
比矩阵来确定关节速度向量。
? 当 J 是方阵时，可对J 直接求逆，得到 J ?1?q?，但比较困
难。
? 通常直接对机器人的逆解进行微分来求 J ?1?q?。
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
例题：图中所示二自由度机械 手，手部沿固定坐标系 X正向 以1.0m/s 的速度移动，杆长 均为0.5m。设在某瞬时θ 1＝ 30°，θ 2＝60°，求相应瞬 时的关节速度。
机器人学中雅可比矩阵的用法
在机器人学中，雅可比矩阵是一个非常重要的概念，它被广泛应用于机器人的运动学和动力学分析中。
雅可比矩阵的用法主要体现在以下几个方面：
1. 描述刚体的运动状态：雅可比矩阵可以描述刚体的运动状态，通过分析矩阵可以得出刚体的位移、速度和加速度等运动参数。
2. 求解机器人的逆运动学问题：在机器人学中，雅可比矩阵可用于求解机器人的逆运动学问题，即给定机器人末端的位置和姿态，求解机器人的关节变量。
3. 求解机器人的正运动学问题：雅可比矩阵还可以用于求解机器人的正运动学问题，即根据机器人的关节变量，求解机器人末端的位置和姿态。
4. 表示关节速度与末端笛卡尔速度之间的关系：雅可比矩阵在机器人学中最常用于表示关节速度与末端笛卡尔速度之间的关系，有公式：ν=J(θ)θ˙，其中ν表示空间速度，包括线（平移）速度v和角（旋转）速度w两部分，θ表示当前关节的位置或角度，θ˙表示当前关节的速度。
总之，雅可比矩阵在机器人学中具有广泛的应用，是理解和分析机器人运动和动力学特性的重要工具。
机器人雅可比矩阵的微分
机器人雅可比矩阵的微分摘要：1.引言2.机器人雅可比矩阵的概念3.雅可比矩阵的微分4.微分对机器人运动的影响5.结论正文：1.引言随着科技的发展，机器人在各个领域中的应用越来越广泛。
为了使机器人能够更加精确地完成各种任务，研究者们不断地探索如何提高机器人的运动性能。
其中，对机器人雅可比矩阵的研究具有重要意义。
本文将介绍机器人雅可比矩阵的微分，以及微分对机器人运动的影响。
2.机器人雅可比矩阵的概念雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述机器人臂关节角度变化引起末端执行器位姿变化的矩阵，通常表示为J。
在三维空间中，一个机器人臂由n 个关节组成，假设每个关节的角度分别为q1, q2,..., qn，末端执行器的位姿由基座标系下的位置向量和姿态向量表示，即x = [x_1, x_2, x_3]^T 和R = [R_1, R_2, R_3]^T。
根据链式法则，雅可比矩阵可以表示为：J = [x/q1, x/q2,..., x/qn]^T[R/q1, R/q2,..., R/qn]^T3.雅可比矩阵的微分雅可比矩阵的微分是指在给定关节角度变化时，雅可比矩阵元素关于关节角度的微分。
对于单个关节，其微分可以表示为：J/q_i = [x/q_i, R/q_i]^T对于多个关节，可以使用链式法则计算雅可比矩阵的微分：J/q = J/q1 * J/q2 *...* J/qn4.微分对机器人运动的影响研究雅可比矩阵的微分对机器人运动控制具有重要意义。
在机器人运动控制中，通常采用逆运动学方法计算关节角度。
逆运动学方法基于雅可比矩阵的逆矩阵，即：J^-1 * [x - x_0, R - R_0]^T = [q1, q2,..., qn]^T其中，x_0 和R_0 分别是目标位姿与基座标系的关系。
计算逆运动学时，需要对雅可比矩阵进行微分：dJ^-1/dq = -J^-1 * dJ/dq * J^-1通过计算微分，可以得到关节角度关于位姿变化的敏感性，从而提高机器人运动控制的精度。
机器人雅各比矩阵
速度雅可比矩阵与速度分析
机器人雅可比矩阵（简称雅可比，Jacobian Matrix）揭示了操 作空间与关节空间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关
机器人速度分析
对前式左、右两边各除以dt，得 或表示为 式中：V
dX dq =J (q) dt dt
V = X =J （q )q
为机器人末端在操作空间中的广义速度； 为机器人关节在关节空间中的关节速度；
q
J(q) 为确定关节空间速度
q
,与操作空间
速度V之间关系的雅可比矩阵。
对于2R机器人
V 1 x V = =J （q ) Vy 2
即
x x (1 , 2 ) y y (1 , 2 )
x x dx d1 d 2 1 2 y y dy d1 d 2 1 2
x 1 dx dy y 1 x 2 d1 y d 2 2
将其微分得
写成矩阵形式为
令
x J 1 y 1
x 2 y 2
前式简写为
dX Jd
d1 d d 2
式中
dx dX dy
J称为2R机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动 dθ与手部作业空间微小位移dX的关系。
可见，J 阵的值是关于θ1及θ2的函数。
对于n自由度机器人 广义关节变量: q= [q1, q2, …, qn]T
scara机器人运动学方程雅可比矩阵
scara机器人运动学方程雅可比矩阵
Scara机器人是一种广泛应用于工业领域的机器人，它的运动学方程雅可比矩阵是描述其运动学性能的重要工具。
通过雅可比矩阵，我们可以了解到Scara机器人在不同关节位置和速度下的末端执行器的速度和位置关系。
雅可比矩阵是一个2x3的矩阵，其中的元素代表了末端执行器位置和速度相对于关节角度和速度的变化率。
简单来说，雅可比矩阵可以帮助我们理解Scara机器人的动力学特性和运动规律。
通过对雅可比矩阵的分析，我们可以得到一些有用的信息。
首先，我们可以确定Scara机器人的工作空间范围，即机器人可以到达的位置和姿态。
其次，我们可以根据雅可比矩阵来计算机器人在不同关节角速度下的末端执行器速度，从而实现机器人的精确控制。
除此之外，雅可比矩阵还可以用于路径规划和碰撞检测。
通过计算机器人在不同关节位置下的雅可比矩阵，我们可以确定机器人在执行任务过程中是否会发生碰撞，从而避免潜在的安全风险。
Scara机器人的运动学方程雅可比矩阵是研究机器人运动学行为和控制的重要工具。
通过对雅可比矩阵的研究和分析，我们可以深入理解机器人的运动规律，并实现对机器人的精确控制和路径规划。
机器人雅可比矩阵分析
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速 T 度运动，求相应的关节速度 q 1 2 解：雅可比J(q)为
逆雅可比可为
1 J (q) l1l2 s2
1
l2c12 l c l c 1 1 2 12
T
l1s1 l2 s12 l2 s12
[1,0] 相应的关节速度 于是得到与末端速度 x 反解为 c12 c1 c12 1 ; 2 l1s2 l2 s2 l1s2
讨论：机械手接近奇异形位时， 关节速度将趋于无穷大。
关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置
x x( q )
运动学正解
q
关节空间
操作空间 x x(q)
运动学反解
关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度
运动学正解
关节空间
操作空间
运动学反解
4.1 雅可比矩阵的定义(Jacobian matrix)
操作空间速度与关节空间速度之间的线性变 换。
J (q)q x
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。 必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和 外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1
(x,y) y l1
平面2R机械手的运动学方程为
l2
2
x l1c1 l2c12 y l1s1 l2 s12
对于m=1, （标量对矢量的导数） y y1 y1 y1 u u1 u2 un
y1 un y2 un J(u) R mn y J(u)u ym un
一文读懂：工业六轴机器人雅克比矩阵求解
第1页雅克比矩阵机器人的雅克比矩阵通常是指从关节空间向操作空间运动速度传递的广义传动比，具体形式为：()V X J q q ==式中，q 是关节速度矢量，X 是操作关节矢量。
雅克比依赖于机器人的形位，是个依赖于q 的线性变换矩阵；其行数等于机器人在操作空间的维数，列数等于它的关节数。
对于一般的6自由度机器人，雅克比的计算通常采用矢量积方法，这是基于矢量的叉积推导机器人的眼科比，是相对基坐标系表示的。
基于运动坐标系的雅克比矢量积方法，末端抓手的线速度和角速度分别用v 和w 表示，对于移动关节i 的运动，它在末端抓手上产生与1i Z -轴相同方向的线速度：10i i v Z q w -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此可以得到移动关节的雅克比矩阵的第i 列为：10i i Z J -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对于转动关节i 的运动，其终端抓手的角速度为 1i i Z q ω-=。
同时在末端抓手上产生的对应的线速度为矢量积 ()()11i e i i v Z p p q --=⨯-。
因此，转动关节的雅克比矩阵的第i 列为：()111i e i i i Z p p J Z ---⎡⨯-⎤=⎢⎥⎣⎦式中，⨯表示矢量积符号，()1e i p p --表示末端抓手坐标系的原点相对于坐标系{1}i -的位置在基坐标系{0}的表示；1i Z -是坐标系{1}i -的Z 轴单位矢量，是用基坐标系表示的。
下图给出了两个坐标系在基坐标系中的表示：因为1i Z -是用基坐标系进行表示的，所以可通过旋转矩阵01i R -的第三列得到：()()0211110i i i i i Z R q R q Z ----=其中，T 0[001]Z =使得第3列被选中。
e p 通过变换矩阵0e T 第4列的前3个元素给出：()()01110n e n n p A q A q p -=其中，[]00001Tp =使得第4列被选中。
1i p -通过变换矩阵01i T -第4列的前3个元素给出：()()02111110i i i i p A q A q p ----=根据以上计算结果代入雅克比矩阵即可得到各列表达式。
机器人雅可比矩阵的微分
机器人雅可比矩阵的微分（原创实用版）目录1.引言2.机器人雅可比矩阵的概念3.微分在机器人雅可比矩阵中的应用4.雅可比矩阵的微分对机器人运动的影响5.结论正文1.引言随着科技的发展，机器人在各个领域的应用越来越广泛，人们对机器人的运动控制也越来越关注。
在机器人运动控制中，雅可比矩阵是一个非常重要的概念，它直接影响着机器人的运动性能。
本文将从微分的角度，探讨机器人雅可比矩阵的微分对机器人运动的影响。
2.机器人雅可比矩阵的概念雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述机器人关节角度变化引起末端执行器位姿变化的矩阵，通常表示为 J。
它由机器人的结构参数和关节角度组成，可以描述机器人末端执行器相对于基座的位姿变化。
雅可比矩阵是机器人运动学中的一个关键概念，它在机器人运动控制、轨迹规划等方面有着广泛的应用。
3.微分在机器人雅可比矩阵中的应用微分是数学中的一种基本运算，可以用来研究函数在某一点的变化率。
在机器人运动学中，微分主要用于研究雅可比矩阵随关节角度的变化情况。
具体来说，就是求雅可比矩阵关于关节角度的偏导数，用以描述关节角度变化引起雅可比矩阵的变化。
4.雅可比矩阵的微分对机器人运动的影响雅可比矩阵的微分对机器人运动具有重要意义。
首先，通过研究雅可比矩阵的微分，可以得到机器人末端执行器位姿对关节角度的一阶导数，从而得到机器人的运动学模型。
其次，雅可比矩阵的微分可以用于计算机器人在给定关节角度下的末端执行器速度，从而实现机器人的运动控制。
最后，雅可比矩阵的微分还可以用于分析机器人的运动性能，如机器人的运动范围、奇异点等。
5.结论本文从微分的角度，探讨了机器人雅可比矩阵的概念及其在机器人运动控制中的应用。
雅可比矩阵的微分对机器人运动具有重要意义，它可以帮助我们更好地理解机器人的运动性能，从而提高机器人的运动控制水平。
工业机器人 第五章
即 于 动 节 对 转 关 Jli = zi−1 ×r−1,n i Jai = zi−1
5.3机 人 等 关 力 器 的 效 节 矩 机 人 外 相 作 时 在 触 地 要 器 与 界 互 用 ， 接 的 方 受 到 用 f何 用 矩 ， 称 末 广 力 作 力 作 力 m 统 为 端 义 。 即 f F = = fx m
式 ， 1是 大 异 ， r是 小 异 。 中 σ 最 奇 值 σ 最 奇 值
灵 性 量 标 巧 度 指 1 雅 比 阵 条 数 、 可 矩 的 件 J(q) J − (q) ， m = n， 非 异 ； 当 且 奇 时 k(J) = ＋ 当 。 J(q) J (q) ， m< n时 当 知 阵 奇 值 ， 可 下 计 矩 已 矩 的 异 时 也 按 式 算 阵 的 件 条 数
设 器 第关 的 度 ki， 关 广 力 i 机 人 i 节 刚 为 在 节 义 τ 作 下 生 变 为 i， 有 用 产 的 形 dq 则
τi = kidqi
写 矩 形 ， 有 成 阵 式 则
i =1 2 L ， n ，
τ = Kqdq
式 ， q = diag( k1, k2,L n )， 中 K k 即 k1 0 Kq = M 0 0 L 0 k2 L 0 M O M 0 L kn
机 人 度 问 器 速 逆 题 当 求 器 在 作 间 一 规 运 时 要 机 人 操 空 按 定 律 动 ， 利 雅 比 阵 以 出 够 足 运 规 用 可 矩 可 求 能 满 该 动 律 的 器 关 空 的 度 由 式 机 人 节 间 速 。 公 & P = J（ )q q& 可 得 & & q = J (q)P
速度运动学-雅可比矩阵
速度运动学-雅可比矩阵第4章 速度运动学——雅可比矩阵在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。
雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。
1.角速度：固定转轴情形k θω&=（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ&是角度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵一个n n ⨯的矩阵Sρ被称为反对称矩阵，当且仅当=+S S T ,我们用)3(so 表示所有33⨯反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ijs s3,2,1,=j i ，所以iiS =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33⨯的反对称矩阵具有下述形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000121323s s s s s s S如果Tzyxa a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000)(xy x zy z a a a a a a a S反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ⨯=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ⨯表示向量叉乘 3）)()(Ra S Ra RS T=，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于一个n n ⨯的反对称矩阵S ,以及任何一个向量nR X ∈，有0=SX XT旋转矩阵的导数 )(θθSR R d d =公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
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x6 f6(q1,q2, ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的 函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
上式中，66的偏导数x矩阵J(Jq(q)q)叫做雅可比矩阵。其中
Jijq xiqq j
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q 变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
y1(u) y2(u)
yy12((uu11,,uu22,, ,,uunn))
ym(u) ym(u1,u2,,un)
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u y u y1 1
y1 u2
u y1 n
y相对于u的偏导数定义为
u y u u uyyym 1 2(((u u u))) yu yu u ym 1 1 2 1 1
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x ) xx 1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq，根据力学关系，建立微分约束方
必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和
外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1 平面2R机械手的运动学方程为
x l1c1 l2c12 y l1s1 l2s12
y
l2
l1 1 x
(x,y) 2
将平面2R机械手的运动学方程两端分别对时间t求导, 则得其雅可比矩阵为
对于关节空间的某些形位q，操作臂的雅可比矩阵 的秩减少、这些形位称为操作臂的奇异形位：
(singular configuration)
操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位（数学上） 操作臂在操作空间的自由度将减少（物理上）
例4.1
y
l2
l1 1 x
可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位
(x,y) 2
当2＝90或2 ＝0时,机械手的雅可比行列式为0．矩阵的 秩为1，因而处于奇异状态。从几何上看机械手完全伸
xx(q) 速度，q 为关节速度；操 作作 臂J(臂 的q)的 位是运 移动 关6×学 系n方 ，的程 建偏，立导描了述操数机作矩器空阵人间，操与称
为操作臂的雅可比矩阵关。节空它间的的第映i行射关第系j列。元素为
JiAjqpA BTxiqBqjp ，i=1,刚 的2,…体 空的 间,6齐 位; 次 姿j=变 关1,换 系2,矩 。…阵,n，。描述刚体之间
于是得到与末端速度 x[1,0]T 相应的关节速度 反解为
1lc 11 s22;2l2 cs12lc 11 s22
讨论：机械手接近奇异形位时， 关节速度将趋于无穷大。
当2＝0； 2＝180时，机械手
在水平位置，
1lc 11 s22;2l2 cs12lc 11 s22
qJ1(q)x
例：物理仿真中的雅可比矩阵
相应的关节速度即可解出
qJ1(q)x
对于平面2R机械手，运动学方程为
平面2R机械手的速 度反解
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速
度运动，求相应的关节速度
q 1
T 2
解：雅可比J(q)为
逆雅可比可为
J 1 (q ) l1 l1 2 s2 l1 c l1 2 c 1 l2 2 c 12 l1 s l1 2 s 1 l2 2 s 1 2
程，基于物理仿真。
下面通过一个简单例子介绍约束动力学方法。一个2 D
粒子被强制绕单位圆周运动，设计一个标量行为函数 C(q)
来表达约束。例如可规定约束为
C(q) 1 (q q 1) 2
C=0
Ċ=0
C =0
C=0 合法位置 Ċ=0 合法速度
C =0 合法加速度
fC
C q
约束力 fC ： 限制为法线方向； 与所有合法位移垂直； 不做功、没有能量增加或 损失； 一个自由度：
图5.9 粒子运动满足约束函数C，并 绕圆周运动。
图5.10 虚功原理要求约束力只能位于 圆周的法线方向
把作用在所有粒子上的力用一个力矢量表示，记为Q。 则控制粒子系统的牛顿方程为
q WQ
其中 W 是M的逆。 对于约束也使用综合的记号法，所有的标量约束函数
y1 y1
u2
un
y2 y2
u2
un
Ju ()Rmny Ju ()u
ym u2
yum n
根据上述一般数学定义，对于6关节机器人：
设有6个各含6个独立变量的函数，简写为x=f(q)。
x1 f1(q1,q2, x f (q)x2 f2(q1,q2,
,q6) ,q6)
求微分， x f q q
机器人雅可比矩阵
回顾：基本概念
刚体位姿描述和齐次变换
齐次坐标,欧拉角与 RPY 角 齐次变换和齐次变换矩阵的运算
操作臂运动学
连杆参数、连杆坐标系 连杆变换和运动学方程 机器人关节空间与操作空间
关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置
xx(q)
运动学正解
q
关节空间
操作空间 xx(q)
运动学反解
关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度源自运动学正解关节空间
操作空间
运动学反解
4.1 雅可比矩阵的定义(Jacobian matrix)
操作空间速度与关节空间速度之间的线性变 换。
xJ(q)q
操作臂的雅可比矩阵 J(q)，建立了从 关节速度向操作速度的映射关系。进 行机器人操作臂的速度分析。
式中，x 称为末端在操作空间的广义速度，简称为操作
直(2 ＝0)或完全缩回(2 ＝180)时，机械手末端丧失了 径向自由度．仅能沿切向运动，在奇异形位时，机械手
在操作空间的自由度将减少。
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速
度运动，求相应的关节速度 q 1
T 2
解：由
可以看出，只要
机械手的雅可比J(q)是满秩的方阵,