山东大学网络教育《离散数学(1-3)》

四、 证明定义在实数集合 R 上的关系 S { x, y | x, y R, 系。
x y 是整数} 是一个等价关 3
xx 证明：对 x R ，则 3 是整数，所以 S 是自反的； x y q x , y R x , y S 对 ，并且设 ，则 3 是整数 yx q 而 3 也是整数，所以 y, x S ， S 是对称的；
（1）g 是满射； （2）g 是双射； 5、设无向图 G 有 36 条边，有 6 个 3 度的顶点，其余顶点度数均小于 3，则 G 中至少有 33 个顶 点。 6、假设 P ：今天天气好， Q ：我就去锻炼身体。 （1）命题“如果今天天气好，我就去锻炼身体”符号化为 PQ ；
三、假设 A 、 B 是任意两个集合，证明： ( A) ( B ) ( A B ) 。
5、假设 A {a, b, c} ， B {1,2} ，令： f : A B ，则不同的函数个数为： （2） （1）2+3 个 （2） 2 个
3
（3） 2 3 个
（4） 3 个
2
6、假设 A {a, b, c} ， B {1,2} ，下列哪个关系是 A 到 B 的函数： （ 3） （1） f { a,1 a,2 b,1 b,2 c,1 c,2 } （2） f { a, a a, b b, a b, b c, a c, c } （3） f { a,1 b,2 c,1 } （4） f { 1, a 2, b 1, c } 7、一个无向简单图 G 有 m 条边， n 个顶点，则图中顶点的总度数为： （ 3） （ 1） m
（2） s ( R ) {<1,2>,<2,1>}；
（3） t ( R ) {<1,2>}； 3、设无向图 G 有 12 条边，有 3 个 3 度的顶点，其余顶点度数均小于 3，则 G 中至少有 11 个顶 点。 4、一棵树有 2 个 2 度顶点，1 个 3 度顶点，3 个 4 度顶点，则有 9 片叶。 5、假设 P ：我有时间， Q ：我去图书馆。
（1）命题“如果我有时间，我就去图书馆”符号化为 P Q ；
三、假设 A 、 B 是任意两个集合，证明： ( A) ( B ) ( A B ) 。 证明：对 X p ( A) p ( B ) 则 X p ( A) 或者 X p ( B ) 由幂集定义可知： X A 或者 X B 所以 X A B 因此 X p ( A B ) 故 ( A) ( B ) ( A B ) 四、假设 N 是自然数集合，定义 N {0} 上的二元关系 R
（2） s ( R ) {<2,3>,<3,2>}；
（3） t ( R ) {<2,3>}； 4、 假设 A {1,2,3} ， f , g , h 是 A 到 A 的函数， 其中： （a） f (1) f ( 2) f (3) 1 ； （b）g (1) 1 ，
g (2) 3 ， g (3) ຫໍສະໝຸດ Baidu ； （c） h(1) 3 ， h( 2) h(3) 1 ；则：
10、完全 m 叉树中有 l 片叶， i 个分支点，则有它们之间的关系表达式是： （ 2） （2） ( m 1)i 1 l
二、填空题
1、假设 A {x | x 30, x 整数} ， B {x | x 是素数， x 20} ， C {1,3,5}
2
（1） ( A B ) C {1，2，3，5}；
一、选择题
1、请指出下列选项中哪一个是错误的： （ 2） （1） （2） （3） {} （4） {}
2、对任意集合 A, B, C ，下述论断正确的是： （1） （1）若 A B, B C ，则 A C （3）若 A B, B C ，则 A C （2）若 A B, B C ，则 A C （4）若 A B, B C ，则 A C
3、假设 A {a, b, c} 上的关系如下，具有传递性的关系是： （4） （1） { a, c c, a a, a a, b b, a } （2） { a, c c, a a, a } （3） { a, c c, a } （4） { a, c } 4、非空集合 A 上的空关系 R 不具备下列哪个性质： （1） （1）自反性 （2）反自反性 （3） 对称性 （4）传递性
2
（1） (C A) ( B A) {7,9,11,13,15,17,19}；
（ 2 ） ( B C ) A ； 3、假设 A {1,2,3,4} 上的关系 R { 2,3 } ，则：
（1） r ( R ) {<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<4,4>}；
（2） ( B A) C {1，3，5，7，11，13，17，19}；
（3） (C A) ( B A) {7，11，13，19}；
（ 4 ） ( B C ) A ； 2、假设 A {1,2,3,4} 上的关系 R { 1,2 } ，则：
（1） r ( R ) {<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}；
5、若 f : A B, g : B C 是满射函数，则复合函数 g f 必是： （3） （1）双射函数 （2）单射函数 （3）满射函数 （4）不单射也不满射
6、假设 A {a, b, c} ， B {1,2} ，下列哪个关系是 A 到 B 的函数： （ 3） （1） f { a,1 a,2 b,1 b,2 c,1 c,2 } （2） f { a, a a, b b, a b, b c, a c, c } （3） f { a,1 b,2 c,1 } （4） f { 1, a 2, b 1, c } 7、一个无向简单图 G 有 m 条边， n 个顶点，则图中顶点的总度数为： （ 3） （1） m
证明：对 X p ( A) p ( B) ，则 X p ( A) 且 X p ( B ) 所以 X A 并且 X B 由交集的定义，则 X A B 所以 X p( A B ) 因此 p ( A) p ( B ) p ( A B ) 反之，假设 X p ( A B ) 则 X A B 所以 X A 并且 X B 所以 X p ( A) 且 X p ( B ) 由交集定义，则 X p ( A) p ( B ) 故 p ( A B ) p ( A) p ( B ) 综上 ( A) ( B ) ( A B )
3、假设 A {a, b, c} 上的关系 R { a, a a, b a, c c, a } ，那么， R 是： （ 4） （1）反自反的 （2）反对称的 （3） 可传递的 （4）不可传递的
4、非空集合 A 上的空关系 R 不具备下列哪个性质： （1） （1）自反性 （2）反自反性 （3） 对称性 （4）传递性
2
（ 2） n
2
（3） 2m
（4） 2n
8、一个图是欧拉图是指： （ 1）
（1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次； （2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次； （3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次； （4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。 9、下面哪一种图不一定是树： （ 3） （1）无回路的连通图 （3）每一对顶点之间都有通路 （ 1） i l 1 （2）有 n 个顶点 n 1 条边的连通图 （4）连通但删去一条边则不连通的图. （3） ( m 1)i l （4） ( m 1)l i 1
五、对下列集合在整除关系下构成的偏序集，画出 Hasse 图，并写出最大元，最小元， 极大元，极小元。 （1） A1 {2,3,6,12,24,36} （2） A2 {1,3,5,9,15,45} （3） A3 {2,4,8,16} 解： （1）没有最大元和最小元；极大元是 24,36。 （2）最大元和极大元是 45，最小元和极小元是 1。 （3）最大元和极大元时 16，最小元和极小元是 2。
2
（2） n
2
（3） 2m
（4） 2n
8、一个图是哈密顿图是指： （3） （1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次； （2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次； （3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次； （4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。
9、一棵树有 2 个 2 度顶点，1 个 3 度顶点，3 个 4 度顶点，则其 1 度的顶点数为： （2） （1）5 （2）7 （3）8 （4）9 10、完全 m 叉树中有 l 片叶， i 个分支点，则有关系式是： （2） （1） i l 1 （2） ( m 1)i 1 l （3） ( m 1)i l （4） ( m 1)l i 1
六、令 V = {a, b, c, d, e}, E = {aa, ab, ab, ba, cd, ca, dd, de}， A = {<a, a>, <a, b>, <b, a>, <c, d >} 做出图 G = <V, E> 和 D = <V , A> 的图示。 解：
离散数学模拟卷 2 参考答案
R { x, y | x, y N {0}, x y是偶数} 。
证明： R 是一个等价关系，并求出关系 R 所确定的等价类。 证明： （1）对 x N {0} ，则 x x 是偶数，所以 R 是自反的； 对 x, y N {0}，假设 x, y R ，则 x y 是偶数，而 y x 也是偶数 所以 y, x R ，故 R 是对称的； 对 x, y, z N {0}，假设 x, y R ， y, z R 则有 x y ， y z 是偶数； 若 x 是偶数，由于 y z 是偶数，所以 z 也是偶数，则 x z 是偶数 若 x 是奇数，由于 x y 是偶数，所以 y 是奇数， 又因为 y z 是偶数，所以 z 是奇数，因此 x z 是偶数 所以 R 是传递的。 综上 R 是等价关系。 （2）当 x 是偶数时， [ x ] R { y | y N {0}并且y是偶数} 当 x 是奇数时， [ x ] R { y | y N {0}并且y是奇数}
二、填空题
1、假设 A {{a, b}, {c}} ， B {{a}, {b}, {c}} 试求出：
A 的幂集 ( A) {,{{a,b}},{{c}},{{a,b},{c}}}；
2、假设 A {x | x 30, x 正整数} ， B {x | x 是正奇数， x 20} ， C {1,3,5}
离散数学试卷 1（参考答案）
一、 选择题
1、设 A {{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}} ，下列选项正确的是： （3） （ 1） 1 A （2） {1,2,3} A （3） {{4,5}} A （4） A
2、对任意集合 A, B, C ，下述论断正确的是： （1） （1）若 A B, B C ，则 A C （3）若 A B, B C ，则 A C （2）若 A B, B C ，则 A C （4）若 A B, B C ，则 A C