山东大学网络教育《离散数学(1-3)》
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案一、选择或填空(数理逻辑部分)1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q →P (2)⌝Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答:(1),(4)2、下列公式中哪些就是永真式？( )(1)(┐P ∧Q)→(Q →⌝R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q)答:(2),(3),(4)3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( )(1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q(4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ⌝(P →Q)=>P (6) ⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答:(2),(3),(4),(5),(6)4、公式∀x((A(x)→B(y,x))∧ ∃z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。
答:x,y, x,z5、判断下列语句就是不就是命题。
若就是,给出命题的真值。
( )(1) 北京就是中华人民共与国的首都。
(2) 陕西师大就是一座工厂。
(3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是(4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。
答:所有人都不就是大学生,有些人不会死7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校(3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校答:(1) P Q →⌝ (2) Q P ⌝→ (3) Q P ⌝↔ (4)Q P →⌝8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。
山东大学网络教育《线性代数(1-3)》
－
(C) k1 1 k 2 ( 1 2 )
7. λ＝2 是 A 的特征值，则（A2/3） 1 的一个特征值是（B） (a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4 -1 8. 若四阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -I|=(B)
交换第一行与第五行，再转置，用 2 乘所有的元素，再用-3 乘以第二列加于第三列， 最后用 4 除第二行各元素． （A） 8m ； (B) 3m ； (C) 8m ； (D)
1 m． 4
3 x ky z 0 4 y z 0 有非零解，则（ D ） 2. 如果方程组 ． kx 5 y z 0
3 2 1 A 0 0 a 与对角矩阵相似，则 a ＝（ A） 0 0 0
(a) 0; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2 D ）不是运算律．
9. 设 A ， B ， C 均为 n 阶方阵，下面（
（A） A B C (C B) A ； （C） ( AB )C A( BC ) ； 10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵．
参考答案：
5. 若 A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵，试证： AB BA 是对称矩阵． 参考答案：
线性代数模拟题（二）
一．单选题. 1. 若 ( 1) （ A ） ． （A） k 2 ， l 3 ，符号为负； (B) k 2 ， l 3 符号为正； (C) k 3 ， l 2 ，符号为负； (D) k 1 ， l 2 ，符号为正． 2. 下列行列式（ A ）的值必为零． (A) (B)
离散数学期末复习指导
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）的判定，可以依据其定义，也可以依据教材中49页上总结的关于关系矩阵和关系图的规律。
对于传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若（a1，a2）R，（a2，a3）R，，（ai-1，ai）R，则（a1，ai）R；如若（a，b）R，（b，a）R，则有（a，a）R，且（b，b）R。
离散数学主要研究离散量结构及相互关系，使学生得到良好的数学训练，提高学生抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。其先修课程为：高等数学、线性代数；后续课程为：数据结构、数据库、操作系统、计算机网络等。
课程的主要内容
本课程分为三部分：集合论、数理逻辑和图论。
1、集合论部分（集合的基本概念和运算、关系及其性质）；
证明：
（1）SP规则P
（2）S规则D
（3）P规则Q，根据（1），（2）
（4）P（QR）规则P
（5）QR规则Q，根据（3），（4）
（6）Q规则P
（7）R规则Q，根据（5），（6）
（8）SR规则D，根据（2），（7）
第四章谓词逻辑
例1，在谓词逻辑中将下列命题符号化：
（1）凡正数都大于0；
（2）存在小于3的素数；
这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项，一定要与求主析取范式相区别，对于合取范式也同样。
证明：
证法一：真值表法，见《离散数学学习指导书》60页例6（4）的解答。
大一离散数学知识点归纳
大一离散数学知识点归纳离散数学是大一学生在计算机科学和相关学科中最常接触的数学分支之一。
它涉及的知识点广泛且重要，对于学习和理解其他高级课程至关重要。
下面是对大一离散数学知识点的归纳。
1. 集合论1.1 集合的定义和表示1.2 集合的运算（并、交、差、补）1.3 子集、真子集、幂集1.4 集合的基本性质（交换律、结合律、分配律）1.5 集合的等价关系和等价类1.6 集合的基数和无限集2. 逻辑与命题2.1 命题的定义和性质2.2 命题的逻辑运算（与、或、非、异或、蕴含、等价）2.3 命题的真值表和简化2.4 谓词逻辑和量词2.5 命题逻辑的推理和证明方法2.6 命题逻辑的应用（布尔代数、逻辑电路）3. 数理归纳法3.1 数学归纳法的基本原理3.2 强归纳法和弱归纳法3.3 数学归纳法的应用（证明数学命题、计算算法复杂度）4. 图论4.1 图的基本概念（顶点、边、度、路径、环）4.2 连通图和孤立点4.3 树和森林4.4 图的遍历算法（深度优先搜索、广度优先搜索）4.5 最小生成树和最短路径问题4.6 图的应用（社交网络、路线规划）5. 关系与函数5.1 关系的定义和表示5.2 关系的性质（自反性、对称性、传递性、等价关系） 5.3 关系的闭包和传递闭包5.4 函数的定义和性质5.5 单射、满射和双射5.6 函数的复合和反函数6. 组合数学6.1 排列和组合的基本概念6.2 二项式系数和杨辉三角6.3 递归和递推关系6.4 置换和循环节6.5 容斥原理和鸽笼原理6.6 组合数学的应用（概率、计数问题）7. 布尔代数7.1 逻辑代数和布尔运算7.2 布尔函数和真值表7.3 极小项和主析取范式7.4 逻辑函数的化简和设计7.5 布尔代数的应用（逻辑电路、开关网络）这些是大一离散数学课程中的一些重要知识点，通过对这些知识点的学习和理解，学生将能够为将来的计算机科学和相关领域的学习打下坚实的基础。
同时，离散数学的思维方式和证明方法也会培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
离散数学大一上知识点总结
离散数学大一上知识点总结离散数学是计算机科学和数学专业中一门重要的基础课程，它主要研究离散的数学结构和离散对象。
在大一上学期的学习中，我们学习了一些离散数学的基础知识和概念。
本文将对这些知识点进行总结和归纳。
1. 集合论(Set Theory)- 集合的定义和表示方法；- 子集、并集、交集和补集的运算；- 集合的基本运算规则；- 集合的基数和幂集；2. 命题逻辑(Propositional Logic)- 命题和命题变量；- 逻辑运算符（非、与、或、异或、蕴含、等价）；- 真值表和逻辑等价性；- 合取范式和析取范式；3. 谓词逻辑(Predicate Logic)- 谓词逻辑的基本概念；- 量词（全称量词和存在量词）；- 代入实例和量化顺序；- 合取与析取的关系；4. 图论(Graph Theory)- 图的基本概念（顶点、边、路径、环）；- 图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）；- 图的遍历算法（深度优先遍历、广度优先遍历）；- 最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）；5. 关系(Relations)- 关系的定义和表示方法；- 关系的性质（自反性、对称性、传递性）；- 等价关系和偏序关系；- 关系的闭包和传递闭包；6. 函数(Function)- 函数的定义和表示方法； - 单射、满射和双射的概念； - 函数的复合和反函数；- 函数的性质和分类；7. 计数(Counting)- 排列和组合的概念；- 基本计数原理和乘法原理； - 集合的幂级数；- 分配原理和容斥原理；8. 递归(Recursion)- 递归的定义和特性；- 递归关系的建立和求解； - 递归算法的设计和分析；- 递归的应用领域；9. 张量(Tensor)- 张量的定义和表示方法；- 张量的运算规则；- 张量的秩和余秩；- 张量的应用领域；10. 图的着色(Graph Coloring)- 图的着色问题的基本概念；- 色数和固定点数的关系；- 图的可着色性定理；- 图的四色定理及其证明；总结：离散数学作为计算机科学和数学领域的重要基础课程，涵盖了集合论、逻辑、图论、关系、函数、计数、递归、张量和图的着色等多个知识点。
离散数学第三章 谓词演算基础-谓词与个体
WRITE(x，y)
其中x,y为变量符号项。
此式表示x和y的关系是WRITE，即作者x写了书y。 此时x可在个体域I (表示作者的集合)上变化； y可在个体域J (表示书名的集合)上变化。
谓词变元
一般地，考察
A(x，y)
其中x,y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
可用变元来代替空位。因此，上述谓词可以表 示为： M(x)，D(x)，B(x,y)，ADD(x, y, z)
谓词填式
——谓词的空位上填入个体后所产生的语句。 例如： M（苏格拉底）表示“苏格拉底是人”。 D（苏格拉底）表示“苏格拉底是要死的”。 B（张三，北京）表示“张三生于北京”。 ADD（3，2，5）表示“3+2=5”。
单个体的二元谓词有2个。
个体域{a，b}上的二元谓词
两个个体的二元谓词A(e1，e2)如下图所示:
e1 e2 A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15
a a b b
a b a b
T T T T
F T T T
T F T T
T T F T
当谓词填式中所填个体都是常元时，它是一 个命题，因而有确定的真值。 例如： M（苏格拉底）为真， M（孔子）为真， M（孙悟空）为假， M（北京）为假。
一元谓词的数目与个体域的大小有关。
谓词：从个体域到真值集的映射
例如： D（苏格拉底）为真，
D（孙悟空）为假，
B（苏格拉底，希腊）为真 B（苏格拉底，中国）为假， ADD（1，1，2）为真， ADD（3，2，5）为真， ADD（3，2，6）为假。
国开(中央电大)本科《离散数学(本)》网上形考(任务一至三)试题及答案
国开(中央电大)本科《离散数学(本)》网上形考(任务一至三)试题及答案国开(中央电大)本科《离散数学(本)》网上形考(任务一至三)试题及答案说明：适用于计算机科学与技术本科国开平台网上形考。
形考任务一试题及答案题目为随机，用查找功能(Ctrl＋F)搜索题目[题目]若集合A＝{a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．[答案]{a}A[题目]若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是()．[答案]AB，且AB[题目]若集合A＝{2，a，{a}，4}，则下列表述正确的是()．[答案]{a}A[题目]设集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，C={5,6,7}，则A∪B–C=()．[答案]{1,2,3,4}[题目]设集合A={a}，则A的幂集为()．[答案]{，{a}}[题目]设集合A={1,a}，则P(A)=()．[答案]{,{1},{a},{1,a}}[题目]若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．[答案]1024[题目]设A、B是两个任意集合，则A-B=()．[答案]AB[题目]设集合A={2,4,6,8}，B={1,3,5,7｝，A到B 的关系R={<x,y>|y=x+1｝，则R=()．[答案]{<2,3>,<4,5>,<6,7>}[题目]集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x,yA}，则R 的性质为（）．[答案]对称的[题目]集合A={1,2,3,4}上的关系R={<x，y>|x=y且x,yA}，则R的性质为（）．[答案]传递的[题目]如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．[答案]2[题目]设集合A={1,2,3,4}上的二元关系R={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<4,4>}，S={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<3,2>，<4,4>}，则S是R的（）闭包．[答案]对称[题目]设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，B={2,4,6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为()．[答案]无、2、无、2[题目]设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．[答案]极大元[题目]设集合A={1,2,3,4,5}上的偏序关系的哈斯图如图所示，若A的子集B={3,4,5}，则元素3为B的（）．[答案]最小上界[题目]设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为（）．[答案]8[题目]设A={a，b}，B={1，2}，C={4，5}，从A到B的函数f={<a，1>,<b，2>}，从B到C的函数g={<1，5>,<2，4>}，则下列表述正确的是（）．[答案]g°f={<a，5>,<b，4>}[题目]设集合A={1,2,3}上的函数分别为：f={<1,2>，<2,1>，<3,3>}，g={<1,3>，<2,2>，<3,2>}，h={<1,3>，<2,1>，<3,1>}，则h=（）．[答案]f◦g[题目]设函数f：N→N，f(n)=n+1，下列表述正确的是（）．[答案]f是单射函数判断题[题目]设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A∩(C-B)={1,2,3,5}．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3}，B={1,2}，则P(A)-P(B)={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}．（）[答案]对[题目]空集的幂集是空集．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3}，B={1,2}，则A×B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}．（）[答案]对[题目]设A={1，2}，B={a,b,c}，则A×B的元素个数为8．（）[答案]错[题目]设集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为{<2,2>，<2,3>，<3,2>，<3,3>}．（）[答案]对[题目]设集合A={1,2,3,4}，B={6,8,12}，A到B的二元关系R＝那么R－1＝{<6,3>，<8,4>}．（）[答案]对[题目]设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，则R具有反自反性质．（）[答案]对[题目]设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a,a>,<b,b>,<b,c>,<c,d>}，若在R中再增加两个元素<c,b>，<d,c>，则新得到的关系就具有反自反性质．（）[答案]错[题目]若集合A={1，2，3}上的二元关系R={<1,1>，<1,2>，<3,3>}，则R是对称的关系．（）[答案]错[题目]若集合A={1，2，3}上的二元关系R={<1,1>，<2,2>，<1,2>}，则R是自反的关系．（）[答案]错[题目]设A={1,2}上的二元关系为R={<x,y>|xA，yA,x+y=10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}．（）[答案]对[题目]设R是集合A上的等价关系，且1,2,3是A中的元素，则R中至少包含<1,1>，<2,2>，<3,3>等元素．（）[答案]对[题目]设A={1，2，3}，R={<1，1>,<1，2>，<2，1>,<3，3>}，则R是等价关系．（）[答案]错[题目]如果R1和R2是A上的自反关系，则、R1∪R2、R1∩R2是自反的．（）[答案]对[题目]若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，极小元不存在．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，下列关系f={<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>}可以构成函数f：．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，下列关系f={<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}可以构成函数f：．（）[答案]对[题目]设A={a,b}，B={1,2}，C={a,b}，从A到B的函数f={<a,1>,<b,2>}，从B到C的函数g={<1,b>,<2,a>}，则g°f={<1，2>,<2，1>}．（）[答案]错[题目]设A={2,3}，B={1,2}，C={3,4}，从A到B的函数f={<2,2>,<3,1>}，从B到C的函数g={<1，3>,<2，4>}，则Dom(g°f)={2，3}．（）[答案]对形考任务二试题及答案题目为随机，用查找功能(Ctrl＋F)搜索题目单选题[题目]设图G＝<V,E>，v∈V，则下列结论成立的是()．[答案][题目]设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为()．[答案]5[题目]设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为()．[答案]7[题目]已知无向图G的邻接矩阵为，则G有（）．[答案]5点，7边[题目]如图一所示，以下说法正确的是()．[答案]{(d,e)}是边割集[题目]如图二所示，以下说法正确的是()．[答案]e是割点[题目]图G如图三所示，以下说法正确的是()．[答案]{b,c}是点割集[题目]图G如图四所示，以下说法正确的是()．[答案]{(a,d),(b,d)}是边割集[题目]设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是()．[答案]（a）是强连通的[题目]设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图六所示，则下列结论成立的是()．[答案]（d）只是弱连通的[题目]无向图G存在欧拉回路，当且仅当（）．[答案]G连通且所有结点的度数全为偶数[题目]无向完全图K4是（）．[答案]汉密尔顿图[题目]若G是一个汉密尔顿图，则G一定是()．[答案]连通图[题目]若G是一个欧拉图，则G一定是()．[答案]连通图[题目]G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=()．[答案]e－v＋2[题目]无向树T有8个结点，则T的边数为()．[答案]7[题目]无向简单图G是棵树，当且仅当()．[答案]G连通且边数比结点数少1[题目]已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为()．[答案]5[题目]设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的()条边，才能确定G的一棵生成树．[答案]m-n+1[题目]以下结论正确的是()．[答案]树的每条边都是割边判断题[题目]已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15．()[答案]对[题目]设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则．()[答案]对[题目]设图G如图七所示，则图G的点割集是{f}．()[答案]错[题目]若图G=<V,E>，其中V={a,b,c,d}，E={(a,b),(a,d),(b,c),(b,d)}，则该图中的割边为(b,c)．()[答案]对[题目]无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且结点度数都是偶数．()[答案]对[题目]如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．()[答案]错[题目]如图八所示的图G存在一条欧拉回路．()[答案]错[题目]设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当n为奇数时，Kn中存在欧拉回路．()[答案]对[题目]汉密尔顿图一定是欧拉图．()[答案]错[题目]设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和小于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路．()[答案]错[题目]若图G=<V,E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W|S|．()[答案]对[题目]如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．()[答案]对[题目]设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．()[答案]错[题目]设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．()[答案]对[题目]设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为4．()[答案]错[题目]结点数v与边数e满足e=v的无向连通图就是树．()[答案]错[题目]设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去4条边后使之变成树．()[答案]对[题目]无向图G的结点数比边数多1，则G是树．()[答案]错[题目]设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去6条边后使之变成树．()[答案]错[题目]两个图同构的必要条件是结点数相等；边数相等；度数相同的结点数相等．()[答案]对形考任务三试题及答案题目为随机，用查找功能(Ctrl＋F)搜索题目选择题[题目]设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为()．[答案]P→Q[题目]设命题公式G：G:┐p→(Q∧R)，则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是()．[答案]1,0,0[题目]命题公式(P∨Q)→R的析取范式是()．[答案](┐P∧┐Q)∨R[题目]命题公式(P∨Q)的合取范式是()．[答案](P∨Q)[题目]命题公式┐(p→Q)的主析取范式是()．[答案]P∧┐Q[题目]命题公式P→Q的主合取范式是()．[答案]┐P∨Q[题目]下列等价公式成立的为()．[答案]P→(┐Q→P)＜＝＞┐P→(P→Q)[题目]下列等价公式成立的为()．[答案]┐P∧P＜＝＞┐Q∧Q[题目]下列公式成立的为()．[答案]┐P∧(P∨Q)＝＞Q[题目]下列公式中()为永真式．[答案]┐A∧┐B↔┐(A∨B)[题目]下列公式()为重言式．[答案]Q→(P∨(P∧Q))↔Q→P[题目]命题公式(P∨Q)→Q为()[答案]可满足式[题目]设A（x）：x是书，B（x）：x是数学书，则命题“不是所有书都是数学书”可符号化为（）．[答案][题目]设A（x）：x是人，B（x）：x是教师，则命题“有人是教师”可符号化为（）．[答案][题目]设个体域为整数集，则公式的解释可为()．[答案]对任一整数x存在整数y满足x+y=0[题目]表达式中的辖域是()．[答案][题目]谓词公式(∀x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中的（）。
山东大学离散数学题库及答案(计本)解析
《离散数学》题库答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q →P (2)⌝Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P ∧Q)→(Q →⌝R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q(4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ⌝(P →Q)=>P (6) ⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y ，x))∧ ∃z C(y ，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1) 北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） P Q →⌝ （2） Q P ⌝→ （3） Q P ⌝↔ （4）Q P →⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x ∃y(x+y=0) (2) ∃y ∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=09、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x ∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x ∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x ∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x ∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 ∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。
山东大学网络教育离散数学卷(1)-参考答案
山东大学网络教育离散数学卷(1)-参考答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN山东大学网络教育离散数学试卷 （参考答案）一、 选择题1、设}}8,7,6{},5,4{},3,2,1{{=A ，下列选项正确的是：（3）（1）A ∈1 （2）A ⊆}3,2,1{ （3）A ⊂}}5,4{{ （4）A ∈∅2、对任意集合C B A ,,，下述论断正确的是：（1）（1）若C B B A ⊆∈,，则C A ∈ （2）若C B B A ⊆∈,，则C A ⊆（3）若C B B A ∈⊆,，则C A ∈ （4）若C B B A ∈⊆,，则C A ⊆3、假设},,{c b a A =上的关系如下，具有传递性的关系是：（4）（1）},,,,,{>><><><><<a b b a a a a c c a（2）},,,{>><><<a a a c c a（3）},,{>><<a c c a（4）},{><c a4、非空集合A 上的空关系R 不具备下列哪个性质：（1）（1）自反性 （2）反自反性 （3） 对称性 （4）传递性5、假设},,{c b a A =，}2,1{=B ，令：B A f →:，则不同的函数个数为：（2）（1）2+3个 （2）32个 （3）32⨯个 （4）23个6、假设},,{c b a A =，}2,1{=B ，下列哪个关系是A 到B 的函数：（3）（1）}2,1,2,1,2,1,{>><><><><><<=c c b b a a f（2）},,,,,,{>><><><><><<=c c a c b b a b b a a a f（3）}1,2,1,{>><><<=c b a f（4）},1,2,1{>><><<=c b a f7、一个无向简单图G 有m 条边，n 个顶点，则图中顶点的总度数为：（3）（1）2m （2）2n （3）m 2 （4）n 28、一个图是欧拉图是指：（1）（1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次；（2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次；（3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次；（4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。
山东大学《离散数学》2021-2022学年期末试卷
山东大学《离散数学》
2021-2022学年第一学期期末试卷
一、选择题（）
25分
二、用主析取范式或主合取范式判断下述每一对公式是否等值．（10分）
(1)A=(p q)(p q r)，B=(p(q r))(q(p r))
(2)A=(p(p q))r，B=(p q)(r q)
三、将下列命题符号化，并求命题的真值.（15分）
(1)只要4是偶数，5就是奇数.
(2)如果4是偶数，则5也是偶数.
(3)只有4是偶数，5才是偶数.
四、指出下述推理满足的推理定律.（50分）
(1)如果今天天气好,我外出游玩.如果今天天气不好,我也外出游玩.所以我外出游玩.
(2)如果今天天气好,我外出游玩.我没有外出游玩.所以今天天气不好.
(3)如果今天天气好,我外出游玩.如果我外出游玩,我去颐和园.所以,如果今天天气好,我去颐和园.
(4)李四喜欢吃甜的和酸的.所以李四喜欢吃甜的.
(5)a是偶数或是素数.a是奇数.所以a是偶数.。
离散数学智慧树知到期末考试章节课后题库2024年泰山学院
离散数学智慧树知到期末考试答案章节题库2024年泰山学院1.答案:假命题2.从1到300的整数中，只能被3、5和7之中的一个数整除的数有多少个（）答案:1243.答案:可满足式4.答案:15.答案:非闭式真命题###真命题6.答案:对7.答案:错8.答案:对9.答案:对10.“若2+2=4当且仅当3+3不等于6”的真值为真。
（）答案:错11.“若2+2=4，则3+3不等于6”的真值为真。
（）答案:错12.“若2+2=4当且仅当3+3=6”的真值为真。
（）答案:对13.答案:14.任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。
（）答案:对15.若解释I使命题公式A为真，使公式A®B也为真，则解释I使公式B为( ）。
答案:真，16.n个命题变项可以产生（）个互不等值的极小项。
答案:17.下列哪个命题公式是重言式？( )答案:18.在一阶逻辑中将命题符号化时，针对不同的个体域，同一个命题符号化之后的结果可能相同也可能不同。
（）答案:对19.答案:20.下列公式中，逻辑有效式是（）。
答案:21.答案:22.答案:23.答案:24.设L(x,y):x大于y，则L(x,y)是一个命题。
（）答案:错25.在一阶逻辑中，任何合式公式都存在与之等值的前束范式，并且前束范式是唯一存在的。
（）答案:错26.答案:对27.答案:对28.答案:错29.答案:错30.若R和S都是非空集A上的等价关系，则RÇS是A上的等价关系。
（）答案:对31.集合A上的偏序关系的三个性质是（）。
答案:反对称性###自反性###传递性32.集合A上的等价关系的三个性质是（）。
答案:对称性###自反性###传递性33.集合A={1,2,…,10}上的关系R={＜x,y＞|x+y=10, x,y∈A}，则R的性质为（）。
答案:对称的34.A上的恒等关系既是等价关系又是偏序关系。
（）答案:对35.不含平行边的图称为简单图。
（）答案:错36.下面图中强连通图为（）。
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q →P (2)⌝Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P ∧Q)→(Q →⌝R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q(4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ⌝(P →Q)=>P (6) ⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式x((A(x)B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1) 北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） P Q →⌝ （2） Q P ⌝→ （3） Q P ⌝↔ （4）Q P →⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0)答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=09、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。
山东大学网络教育《离散数学(1-3)》
离散数学试卷1（参考答案）一、 选择题1、设}}8,7,6{},5,4{},3,2,1{{=A ，下列选项正确的是：（3） （1）A ∈1 （2）A ⊆}3,2,1{ （3）A ⊂}}5,4{{ （4）A ∈∅ 2、对任意集合C B A ,,，下述论断正确的是：（1）（1）若C B B A ⊆∈,，则C A ∈ （2）若C B B A ⊆∈,，则C A ⊆ （3）若C B B A ∈⊆,，则C A ∈ （4）若C B B A ∈⊆,，则C A ⊆ 3、假设},,{c b a A =上的关系如下，具有传递性的关系是：（4） （1）},,,,,{>><><><><<a b b a a a a c c a （2）},,,{>><><<a a a c c a （3）},,{>><<a c c a （4）},{><c a4、非空集合A 上的空关系R 不具备下列哪个性质：（1）（1）自反性 （2）反自反性 （3） 对称性 （4）传递性 5、假设},,{c b a A =，}2,1{=B ，令：B A f →:，则不同的函数个数为：（2） （1）2+3个 （2）32个 （3）32⨯个 （4）23个 6、假设},,{c b a A =，}2,1{=B ，下列哪个关系是A 到B 的函数：（3） （1）}2,1,2,1,2,1,{>><><><><><<=c c b b a a f （2）},,,,,,{>><><><><><<=c c a c b b a b b a a a f （3）}1,2,1,{>><><<=c b a f （4）},1,2,1{>><><<=c b a f7、一个无向简单图G 有m 条边，n 个顶点，则图中顶点的总度数为：（3） （1）2m （2）2n （3）m 2 （4）n 2 8、一个图是欧拉图是指：（1）（1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次； （2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次； （3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次； （4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。
离散数学大学计算机基础知识重要内容
离散数学大学计算机基础知识重要内容离散数学作为一门基础学科，对于大学计算机专业来说，是非常重要的。
它涵盖了计算机科学领域中的许多核心概念和基本原理。
在这篇文章中，我将介绍离散数学中的一些重要内容，以及它们在计算机基础知识中的应用。
1. 集合论集合论是离散数学的基础，它描述了元素的集合以及它们之间的关系。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于数据结构和算法分析。
例如，在图论中，可以使用集合来表示图中的顶点和边。
在算法设计和分析中，集合的运算和性质经常被用来推导出算法的正确性和效率。
2. 逻辑与证明逻辑与证明是离散数学中的另一个重要主题。
它提供了一种推理和证明事实和陈述真实性的方法。
在计算机科学中，逻辑与证明被广泛运用于软件工程和人工智能领域。
例如，在软件设计中，使用形式化逻辑可以帮助验证程序的正确性。
在人工智能中，使用谓词逻辑可以表示知识和推理过程。
3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图的结构和性质。
在计算机科学中，图论被广泛应用于网络分析，路由算法和最优化等领域。
例如，在网络分析中，使用图来表示网络拓扑结构，并通过图算法来解决网络路由和负载均衡的问题。
在最优化中，图的最短路径算法和最小生成树算法被广泛应用于解决各种实际问题。
4. 离散概率论离散概率论是研究离散事件的概率分布和随机变量的数学理论。
在计算机科学中，离散概率论广泛应用于算法设计和分析，机器学习和人工智能等领域。
例如，在算法设计和分析中，使用概率论的方法可以评估算法在不同输入分布下的性能。
在机器学习中，离散概率论的模型和算法被用来建模和处理分类和预测问题。
5. 关系代数与数据库关系代数是离散数学中描述关系和关系数据库的一种代数系统。
在计算机科学中，关系代数与数据库理论密切相关。
关系数据库是计算机科学中最常用的数据存储和管理方式之一。
通过关系代数的运算和性质，可以对数据库进行查询、更新和维护。
综上所述，离散数学中的这些重要内容在大学计算机基础知识中起着至关重要的作用。
离散数学课件ppt
随机性与概率
随机性表示试验结果的不 确定性，概率则表示随机 事件发生的可能性大小。
统计数据的收集和整理
数据来源
数据质量
数据可以来源于调查、实验、观测、 查阅文献等多种途径。
数据质量包括数据的准确性、可靠性 、完整性等方面，是数据分析的前提 和基础。
数据整理
数据整理包括数据的分类、排序、分 组、编码等步骤，以便更好地进行数 据分析。
必然事件
概率值为1的事件。
03
04
不可能事件
概率值为0的事件。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
概率的加法原理和乘法原理
加法原理
对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
乘法原理
对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件概率和独立性
要点一
条件概率
离散数学课件
目录 CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 离散统计学基础 • 离散数学中的问题求解方法
01
离散数学简介
离散数学的起源
19世纪初
集合论的提出为离散数学的起源 奠定了基础。
20世纪中叶
随着计算机科学的兴起，离散数 学逐渐受到重视和应用。
子集、超集和补集
总结词
子集、超集和补集是集合论中的重要概念，它们描述了集合之间的关系。
详细描述
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，超集是指一个集合包含另一 个集合的所有元素，补集是指属于某个集合但不属于其子集的元素组成的集合。
集合的运算性质
总结词
集合的运算性质包括并集、交集、差集等，这些运算描述了 集合之间的组合关系。
离散数学基础第三版教学大纲
离散数学基础第三版教学大纲前言离散数学作为计算机科学的基础学科之一，在计算机科学领域里面占有着很重要的地位，特别是在算法设计、数据库、编译原理等方面。
本教学大纲主要讲解了离散数学基础第三版的相关内容，包括命题逻辑、集合与函数、证明技能以及数学归纳法等。
课程目标1.学习命题逻辑、符号逻辑和谓词逻辑的概念和基本算符及其应用，掌握专用语言和符号的使用。
2.掌握描述和操作集合的方法，以及函数的概念和应用。
3.培养学生逻辑思维和表述能力，和分析问题、解决问题的能力。
4.熟练掌握证明的基本方法和技能，如直接证明、归纳证明等。
5.基础掌握数学归纳法以及其在离散数学中的应用。
教学内容第一章命题逻辑1.1 命题及其相互关系•命题的概念，命题的真值。
•逻辑联词。
•命题的联结。
•等价命题，逆命题，余命题，反命题。
1.2 命题公式•命题公式的概念，重言式，矛盾式。
•命题公式的真值表。
•命题公式的等价式。
1.3 推理•推理形式的概述。
•推理规则：直接推理、三段论、假言推理法等。
第二章集合论2.1 集合及其运算•集合的概念，集合的表示方法。
•集合的基本运算：交、并、差、对称差。
2.2 集合恒等式•常见集合恒等式证明。
•集合恒等式的推广。
第三章函数3.1 函数的概念•函数定义及其表示方法。
•函数的性质：单射、满射、一一映射、反函数。
3.2 基本函数•多项式函数，指数函数，对数函数等。
•函数的复合。
第四章证明思维4.1 证明•证明的概念和类型。
•直接证明。
•间接证明。
•归纳证明。
4.2 证明技巧•分类讨论。
•反证法。
•小数法。
•特殊化方法。
第五章数学归纳法5.1 数学归纳法•弱归纳法和强归纳法的概念。
•递归算法及其证明的方法。
•循环不变量的设计和证明。
教学评价教学评价分为课堂表现和作业成绩两个方面。
课堂表现（50%）： - 学生能否按时到达课堂？ - 学生是否积极参与讨论和答题？ - 学生对本教材的理解和应用情况。
作业成绩（50%）： - 学生的作业质量。
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1、请指出下列选项中哪一个是错误的： （ 2） （1） （2） （3） {} （4） {}
2、对任意集合 A, B, C ，下述论断正确的是： （1） （1）若 A B, B C ，则 A C （3）若 A B, B C ，则 A C （2）若 A B, B C ，则 A C （4）若 A B, B C ，则 A C
10、完全 m 叉树中有 l 片叶， i 个分支点，则有它们之间的关系表达式是： （ 2） （2） ( m 1)i 1 l
二、填空题
1、假设 A {x | x 30, x 整数} ， B {x | x 是素数， x 20} ， C {1,3,5}
2
（1） ( A B ) C {1，2，3，5}；
R { x, y | x, y N {0}, x y是偶数} 。
证明： R 是一个等价关系，并求出关系 R 所确定的等价类。 证明： （1）对 x N {0} ，则 x x 是偶数，所以 R 是自反的； 对 x, y N {0}，假设 x, y R ，则 x y 是偶数，而 y x 也是偶数 所以 y, x R ，故 R 是对称的； 对 x, y, z N {0}，假设 x, y R ， y, z R 则有 x y ， y z 是偶数； 若 x 是偶数，由于 y z 是偶数，所以 z 也是偶数，则 x z 是偶数 若 x 是奇数，由于 x y 是偶数，所以 y 是奇数， 又因为 y z 是偶数，所以 z 是奇数，因此 x z 是偶数 所以 R 是传递的。 综上 R 是等价关系。 （2）当 x 是偶数时， [ x ] R { y | y N {0}并且y是偶数} 当 x 是奇数时， [ x ] R { y | y N {0}并且y是奇数}
（1）命题“如果我有时间，我就去图书馆”符号化为 P Q ；
三、假设 A 、 B 是任意两个集合，证明： ( A) ( B ) ( A B ) 。 证明：对 X p ( A) p ( B ) 则 X p ( A) 或者 X p ( B ) 由幂集定义可知： X A 或者 X B 所以 X A B 因此 X p ( A B ) 故 ( A) ( B ) ( A B ) 四、假设 N 是自然数集合，定义 N {0} 上的二元关系 R
二、填空题
1、假设 A {{a, b}, {c}} ， B {{a}, {b}, {c}} 试求出：
A 的幂集 ( A) {,{{a,b}},{{c}},{{a,b},{c}}}；
2、假设 A {x | x 30, x 正整数} ， B {x | x 是正奇数， x 20} ， C {1,3,5}
5、若 f : A B, g : B C 是满射函数，则复合函数 g f 必是： （3） （1）双射函数 （2）单射函数 （3）满射函数 （4）不单射也不满射
6、假设 A {a, b, c} ， B {1,2} ，下列哪个关系是 A 到 B 的函数： （ 3） （1） f { a,1 a,2 b,1 b,2 c,1 c,2 } （2） f { a, a a, b b, a b, b c, a c, c } （3） f { a,1 b,2 c,1 } （4） f { 1, a 2, b 1, c } 7、一个无向简单图 G 有 m 条边， n 个顶点，则图中顶点的总度数为： （ 3） （1） m
3、假设 A {a, b, c} 上的关系如下，具有传递性的关系是： （4） （1） { a, c c, a a, a a, b b, a } （2） { a, c c, a a, a } （3） { a, c c, a } （4） { a, c } 4、非空集合 A 上的空关系 R 不具备下列哪个性质： （1） （1）自反性 （2）反自反性 （3） 对称性 （4）传递性
离散数学试卷 1（参考答案）
一、 选择题
1、设 A {{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}} ，下列选项正确的是： （3） （ 1） 1 A （2） {1,2,3} A （3） {{4,5}} A （4） A
2、对任意集合 A, B, C ，下述论断正确的是： （1） （1）若 A B, B C ，则 A C （3）若 A B, B C ，则 A C （2）若 A B, B C ，则 A C （4）若 A B, B C ，则 A C
（2） s ( R ) {<1,2>,<2,1>}；
（3） t ( R ) {<1,2>}； 3、设无向图 G 有 12 条边，有 3 个 3 度的顶点，其余顶点度数均小于 3，则 G 中至少有 11 个顶 点。 4、一棵树有 2 个 2 度顶点，1 个 3 度顶点，3 个 4 度顶点，则有 9 片叶。 5、假设 P ：我有时间， Q ：我去图书馆。
六、令 V = {a, b, c, d, e}, E = {aa, ab, ab, ba, cd, ca, dd, de}， A = {<a, a>, <a, b>, <b, a>, <c, d >} 做出图 G = <V, E> 和 D = <V , A> 的图示。 解：
离散数学模拟卷 2 参考答案
2
（2） n
2
（3） 2m
（4） 2n
8、一个图是哈密顿图是指： （3） （1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次； （2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次； （3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次； （4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。
9、一棵树有 2 个 2 度顶点，1 个 3 度顶点，3 个 4 度顶点，则其 1 度的顶点数为： （2） （1）5 （2）7 （3）8 （4）9 10、完全 m 叉树中有 l 片叶， i 个分支点，则有关系式是： （2） （1） i l 1 （2） ( m 1)i 1 l （3） ( m 1)i l （4） ( m 1)l i 1
（1）g 是满射； （2）g 是双射； 5、设无向图 G 有 36 条边，有 6 个 3 度的顶点，其余顶点度数均小于 3，则 G 中至少有 33 个顶 点。 6、假设 P ：今天天气好， Q ：我就去锻炼身体。 （1）命题“如果今天天气好，我就去锻炼身体”符号化为 PQ ；
三、假设 A 、 B 是任意两个集合，证明： ( A) ( B ) ( A B ) 。
5、假设 A {a, b, c} ， B {1,2} ，令： f : A B ，则不同的函数个数为： （2） （1）2+3 个 （2） 2 个
3
（3） 2 3 个
（4） 3 个
2
6、假设 A {a, b, c} ， B {1,2} ，下列哪个关系是 A 到 B 的函数： （ 3） （1） f { a,1 a,2 b,1 b,2 c,1 c,2 } （2） f { a, a a, b b, a b, b c, a c, c } （3） f { a,1 b,2 c,1 } （4） f { 1, a 2, b 1, c } 7、一个无向简单图 G 有 m 条边， n 个顶点，则图中顶点的总度数为： （ 3） （ 1） m
2
（ 2） n
（3） 2m
（4） 2n
8、一个图是欧拉图是指： （ 1）
（1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次； （2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次； （3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次； （4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。 9、下面哪一种图不一定是树： （ 3） （1）无回路的连通图 （3）每一对顶点之间都有通路 （ 1） i l 1 （2）有 n 个顶点 n 1 条边的连通图 （4）连通但删去一条边则不连通的图. （3） ( m 1)i l （4） ( m 1)l i 1
2
（1） (C A) ( B A) {7,9,11,13,15,17,19}；
（ 2 ） ( B C ) A ； 3、假设 A {1,2,3,4} 上的关系 R { 2,3 } ，则：
（1） r ( R ) {<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<4,4>}；
五、对下列集合在整除关系下构成的偏序集，画出 Hasse 图，并写出最大元，最小元， 极大元，极小元。 （1） A1 {2,3,6,12,24,36} （2） A2 {1,3,5,9,15,45} （3） A3 {2,4,8,16} 解： （1）没有最大元和最小元；极大元是 24,36。 （2）最大元和极大元是 45，最小元和极小元是 1。 （3）最大元和极大元时 16，最小元和极小元是 2。
四、 证明定义在实数集合 R 上的关系 S { x, y | x, y R, 系。
x y 是整数} 是一个等价关 3
xx 证明：对 x R ，则 3 是整数，所以 S 是自反的； x y q x , y R x , y S 对 ，并且设 ，则 3 是整数 yx q 而 3 也是整数，所以 y, x S ， S 是对称的；
（2） ( B A) C {1，3，5，7，11，13，17，19}；
（3） (C A) ( B A) {7，11，13，19}；
（ 4 ） ( B C ) A ； 2、假设 A {1,2,3,4} 上的关系 R { 1,2 } ，则：