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第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
第5章-测量误差的基本知识(091023)
[例6-8]
∴ m A = ± 1.64 = ±1.28(m)
已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角 α=15°00′00″±30″ 2 ′ m D = [(c o s α ) ⋅ m D ′ ] 2 求：水平距离D 及其中误差 m + [( D ′ ⋅ s in α ) α ] 2 解：1.函数式 D = D′ cos α , ρ 2.全微分 = [(c o s 1 5 o ) ⋅ 0 .0 5 ] 2 dα dD′ = (cos α ) dD′ + ( D′ ⋅ sin α ) o 3 0 ′′ 2 + [(5 0 ⋅ s in 1 5 ) ] ρ ρ 3.化为中误差
四、线性函数 线性函数 Z = K1 X 1 ± K 2 X 2 ± ⋅ ⋅ ⋅ ± K n X n ，则有
mZ = ± K1 m X1 + K 2 m X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + K n m X n
2 2 2 2 2 2
[例6-5] 设对某一个三角形观测了其中α、β两 个角，测角中误差分别为mα=±3.5″，mβ =±6.2″， 现按公式γ=180°-α-β求得γ角，试求γ角的中 = 误差mγ。 解：
2 2 2 2 mZ = m X1 + m X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + m X n
n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观 测值中误差平方之和。 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差， 与观测值个数n的平方根成正比，即 m = m n
Z
m读 ≈ ±2mm [例6-4] 已知水准仪距水准尺75m时，一次读数中误差为 (包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差)， 若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n 站所得高差闭合差的容许误差。
测量学第3章-测量误差基本知识2
• 第二组：
l l l 5, 6, 10
算术平均值分别为 L1, L2
L l l l l 1( )14
1 41 2
4 4
i
i1
L l l l l 1( )110
2 65 6
6 10
j j5
其中误差分别为：
m L1
m 4
m m ,
L1
L2
m2
4
将上式平方，得 2 z i k 2 2 xi (i 1 ,2 n )
求和，并除以n，得
2z k2 2x
n
n
m z
2z n
m x
2x n
m2z
k
2
m
2 x
mz kmx
结论：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。
最后答案为SAB=11.7m士0.1m
3、线性函救
设有线性函数： z k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n
则有
m 2 z ( k 1 m x 1 ) 2 ( k 2 m x 2 ) 2 ( k n m x n ) 2
例5 设有线性函救
z144x1194x2114x3
(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 li mli 其中: l 1 l 2 l 3 l 4 l 且 m l 1 m l 2 m l 3 m l 4 m l 求该正方形的周长S和面积A的中误差.
解: (1)周长 S4l , 全微分: dS4dl
周长面的积中误差为, mS 4ml
每个角的测角中误差：m
7.54.3" 3
2
1 3
由于DJ6一测回角度中误差为：
第五章 测量误差的基本知识
2 ma
解：
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D＝Lcos α ＝ ＝165.50×cos15°30′ × ° ＝159.48m
2、求mD 、 （1）函数式 ） D=Lcosα （2）偏微分 ）
中误差m ㎜，中误差 d＝±0.2㎜，求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解： D＝500d ＝
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1：
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l（㎜） （㎜） （㎜）
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 ＝85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S＝ab （一）求偏微分 dS＝b da＋a db （二）以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037（m） ± （ ） 六、线性函数的中误差 函数： 函数： z＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn ＝ ＋ 偏微分： 偏微分： dz＝k1 dx1＋k2 dx2＋…＋kn dxn ＝ ＋ 中误差： 中误差：
第5章 测量误差的基本知识
第5章
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
测量学-5测量误差基本知识
[z 2 ] [x 2 ] 2[xy] [y 2 ] n n n n
mz
2
mx
2
2 2 2 mz mx my
?
0
my2
2 2 mz mx my
（二）倍乘函数 已知：mx, 求：mz=?
z kx
[ z z ] mz n z k x
平方
f 2 mxn xn
2
再按照线性函 数进行计算
f 2 f 2 m mx1 mx2 x1 x2
小结
中误差关系式：
my 2 f12 m12 f 22 m2 2 ... f n2 mn 2
2
2 3
f ( x) 0.9545
x =Δ
-24″ -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24″
f ( x) 0.9973
3
dΔ
极限误差取值
允 2m
或： 允 3m
§5.3 误差传播定律及其应用
设有函数式： y f ( x1 , x2 ...)
i [ ] i=1 即 Lim —— = Lim —— =0 n n n n
n
§5.2 评定精度的标准 一、方差和标准差（中误差）
正态曲线公式： 2 1 Y = f() =—— e 22 2
2
方差： D()
2 n 2 i 1
2 f ()d
F 2 F 2 mZ m1 m2 x1 x2
2
2
F 2 mn xn
2
l
1 n ln
第2章 测量误差基本知识
(一)解：依题意，则
L l1 l2 l12 360 .000 m mL ml 12 17 .3mm mL 1 L 21000
(二)解：依题意，则
L 12 l 360 .000 m mL 12 ml 60 .0mm mL 1 L 6000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ
125.77 125.74 125.72 125.78 125.75 125.73 125.71 125.79 125.76 1131.75
-2 +1 +3 -3 0 +2 +4 -4 -1 0
4 1 9 9 0 4 16 16 1 60
[例]如图，为求未知点F的高程，由已知点A、B、C、 D和E向F布设五条水准路线，构成具有一个节点的水准 网。各已知点高程、各水准路线长度及高差观测值列 于表中，试求算： 1.未知点F的高程最或然值HF及其中误差mF； 2.每公里水准路线高差测定的中误差m公里； 3.各条水准路线的高差观测值的中误差m1、m2、m3、 m4、m5 。 B
p
i
cN i
距离测量中，当单位距离测量的中误差相同时，各
段距离观测值的权与其长度s成反比
c pi s i
三、单位权中误差
其值恰为1的权称为单位权，此时,pi=1. mi= 与之对应的观测值、精度值和中误差分别称为单位 权观测值L，单位权精度和单位权中误差。 设对某量进行n次不等精度观测，观测值为：L1， L2，…，Ln (权为：p1，p2，…，pn),则
piδHi (mm) +16.0 -7.5 -16.0 +140.0 +60.0
vi (mm) +1 +8 +13 -2 -1
L l1 l2 l12 360 .000 m mL ml 12 17 .3mm mL 1 L 21000
(二)解：依题意，则
L 12 l 360 .000 m mL 12 ml 60 .0mm mL 1 L 6000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ
125.77 125.74 125.72 125.78 125.75 125.73 125.71 125.79 125.76 1131.75
-2 +1 +3 -3 0 +2 +4 -4 -1 0
4 1 9 9 0 4 16 16 1 60
[例]如图，为求未知点F的高程，由已知点A、B、C、 D和E向F布设五条水准路线，构成具有一个节点的水准 网。各已知点高程、各水准路线长度及高差观测值列 于表中，试求算： 1.未知点F的高程最或然值HF及其中误差mF； 2.每公里水准路线高差测定的中误差m公里； 3.各条水准路线的高差观测值的中误差m1、m2、m3、 m4、m5 。 B
p
i
cN i
距离测量中，当单位距离测量的中误差相同时，各
段距离观测值的权与其长度s成反比
c pi s i
三、单位权中误差
其值恰为1的权称为单位权，此时,pi=1. mi= 与之对应的观测值、精度值和中误差分别称为单位 权观测值L，单位权精度和单位权中误差。 设对某量进行n次不等精度观测，观测值为：L1， L2，…，Ln (权为：p1，p2，…，pn),则
piδHi (mm) +16.0 -7.5 -16.0 +140.0 +60.0
vi (mm) +1 +8 +13 -2 -1
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
第六章 测量误差基本知识
0 . 05 m
，并测得倾斜角
m 3 0 ,
15 0 0 0 0
，
4其中误差 m 3 0s ，求相应水平距离D及其中误差。05 m .丈量倾斜距离 50 . 00 m , 其中误差 m s 0 .
15 0 0 0 0 ，其中误差
设某未知量的观测值为： l1 , l2 , , ln 该量的算术平均值为：
x l1 l2 ln n [l ] n
则该量的改正数： v i
[l ] n
li x li
[VV ] n 1
m
经推算：观测值的中误差
m
n
证明两式根号内相 等
1 l1 X
m1 L1 1 ,
2
1
,
m1
2
10000
L2
2000 L1
L2
即前者的精度比后者高。 有时，求得真误差和容许误差后，也用相对误差来表示。例如，在 本书以后要介绍的导线测量中，假设起算数据没有误差时，求出的全 长相对闭合差也就是相对真误差；而规范中规定全长相对闭合差不能 超过1／2000或1／15000，它就是相对容许误差。
x
Z x1 x 2
m
2 x1
m
2 x2
Z k 1 x 1 k 2 x 2 ... k n x n k m
2 2 2 x2
2 2 k1 m x1
... k m
2 n
2 xn
例
丈量了斜距S=50.00m，其中误差 m s
并测得倾斜角 求相应水平距离 解： D s cos D s D cos cos 15
第八单元 测量误差基本知识
1 2 n lim lim 0 n n n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
四、衡量观测值精度的指标
1.中误差（方差与标准差）
由正态分布密度函数
y
2 2
x
式中
1 e 2
x a 2
偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，
表面看无规律性。
例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
导致观测值产生误差 。
几个概念: ● 准确度 ● 精（密）度
● 最或是值
● 测量平差
偶然误差的统计规律
举例:在某测区，等精度观测了358个三角形的内
角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
● 观测条件
● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
三、测量误差的种类
系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。 例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差i 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均) …… …… ● 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校)
测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为 限差： 容=±2m
3.相对误差(相对中误差)
用于表示距离的精度。
用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
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5
6.1.4 研究测量误差的指导原则
测量工作的目标并不是简单地 使测量误差越小越好，而是要在一 定的观测条件下，设法将误差限制 在与测量目的相适应的范围内。
通过分析测量误差，求得未知 量的最合理、最可靠地结果，并对 观测成果的质量进行评定。
6
2. 观测误差产生的原因
人（观测者） 仪器 外界环境
30 30.04
L = L+0.04 N
N
系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改 正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱.
9
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测， 如果误差出现的符号和数值大小都不相同，在表面上看没有任 何规律性；但就大量的误差而言，具有一定的统计规律。
2
0.009
1
0.005
0
0
0
0
00108Fra bibliotek0.498
109
0.502
合 个 数k
59 41 33 30 22 16 11 4 1 0 217
计 频 率 k/n
0.272 0.189 0.152 0.138 0.101 0.074 0.051 0.018 0.005
0 1.000
13
频率直方图
k /n d
Δ
•
A
o•
• •
• •
•
N
B
C
在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或 重测。
❖ 误差处理原则
测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差，利
用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略不计，
使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测
值的最可靠值。
11
6.3 偶然误差的统计特性
三角形内角和真误差:
【例】在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。
(i1,2,3,...2..1.).7.
i 1 8 0 0 (L 1 L 2 L 3 )i
L3
L1
L2
12
误差区间 d△
0″～ 3″ 3″～ 6″ 6″～ 9″ 9″～ 12″ 12″～ 15″ 15″～ 18″ 18″～ 21″ 21″～ 24″ 24″～ 27″ 27″以上 合计
-27 -21 -15 -9 -3 0 +3 +9 +15 +21 +27
-24 -18 -12 -6
+6 +12 +18 +24
14
3.偶然误差的四个特性
有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限值；
集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的 概率大；
对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；
另一台仪器的结果（单位：″）：0，-1，-7，+2，+1， +1， -8， 0， +3，-1。
02127222121282023212 m
10 3.6
19
精度(precise) 和 准确度(accuracy)
误差分布表
三 角形内角和真误差统计表
正误差
负误差
个 数 k 频 率 k/n 个 数 k 频 率 k/n
30
0.138
29
0.134
21
0.097
20
0.092
15
0.069
18
0.083
14
0.065
16
0.073
12
0.055
10
0.046
8
0.037
8
0.037
5
0.023
6
0.028
2
0.009
D往
A
D返
A
B
≠ D往 D往
A+∠B+∠C≠180
B
C
3
6.1 概述
6.1.1 观测与观测值定义 通过一定的仪器工具和方法对某量进行量测，称为观测，所
获得的数据称为观测值。 等精度观测与不等精度观测
6.1.2 观测与观测值的分类
等精度观测:观测条件相同的各次观 测，其结果具有相同精度。
不等精度观测:观测条件不同的各 次观测，其结果具有不同精度。
D
9.5
Δ
0
10
12 345 67
9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6
o•
• •
• •
• •
N
0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1
偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论 处理，可以求得参数的最可靠值.
10
粗差：由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差。
件观 测 条
D
0
10
读数误差
刻划不均匀误差
大气折光误差
7
6.2 测量误差的分类及处理原则
1、系统误差 2、偶然误差 3、粗差
•
Δ
•• • •• •
o
• ••
• •
•
N
8
系统误差：在相同观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如 果出现的误差在符号和数值上都相同或者具有一定的规律性。
0 S
10
20
S = 0.04 N
直接观测和间接观测 独立观测和非独立观测
4
6.1.3 观测误差及其产生的原因
1.观测误差的定义 指被观测值(或其函数)与未知量的真实值(或
函数的理论值)间的差值。
观测误差=观测值-真值
一般用符号△表示。即：△= L观– L理 =L-X
✓真值：代表观测值L 真正大小的数值，用 X 表示。
✓真误差: 观测值 L 与真值 X 之间的差值，用△表示。 △=L–X
抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值 趋近于零。即
lim 0 n n
其中
n
12n i
i1
15
误差分布曲线：
概率密度函数： f () 1 e222
2
正态分布 N(0,2)
f ( )
方差：
2lim 1 2 2 2 2 nlim [ 2]
n
n
n n
标准差： lim []
n n
第六章 测量误差基本知识
杨正丽
四川大学水利水电学院
1
本章内容
6.1 概述 6.2 测量误差的分类及处理原则 6.3 偶然误差的统计特性 6.4 衡量观测值精度的指标 6.5 误差传播定律 6.6 同精度观测直接平差 6.7 加权平均值及其精度评定 6.8 最小二乘法原理及其应用
2
第六章 测量误差基本知识
观测条件
0
误差分布
观测值精度
精度：一组观测值误差分布的密集或离散程度。 16
6.4 衡量观测值精度的指标
一、中误差 ➢标准差 lim [] n n
➢中误差 是反映一组误差离散程度的指标。
m ˆ []
n
17
f ( )
m 1 小，精度高
m 2 大，精度低
m2 m1
m1 m2
观测条件
误差分布
观测值精度
曲线形态（陡 峭、平缓）
具体的数值
（小、大）
观测精度 （高、低）
18
举例
【例】同精度下对某一三角形进行了10次观测，求得每次观测所得 的三角形闭合差分别为（单位：″）：+3，-2，-4，+2，0，-4， +3，+2，-3，-1。
m322242220214 0232223212 27.
6.1.4 研究测量误差的指导原则
测量工作的目标并不是简单地 使测量误差越小越好，而是要在一 定的观测条件下，设法将误差限制 在与测量目的相适应的范围内。
通过分析测量误差，求得未知 量的最合理、最可靠地结果，并对 观测成果的质量进行评定。
6
2. 观测误差产生的原因
人（观测者） 仪器 外界环境
30 30.04
L = L+0.04 N
N
系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改 正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱.
9
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测， 如果误差出现的符号和数值大小都不相同，在表面上看没有任 何规律性；但就大量的误差而言，具有一定的统计规律。
2
0.009
1
0.005
0
0
0
0
00108Fra bibliotek0.498
109
0.502
合 个 数k
59 41 33 30 22 16 11 4 1 0 217
计 频 率 k/n
0.272 0.189 0.152 0.138 0.101 0.074 0.051 0.018 0.005
0 1.000
13
频率直方图
k /n d
Δ
•
A
o•
• •
• •
•
N
B
C
在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或 重测。
❖ 误差处理原则
测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差，利
用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略不计，
使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测
值的最可靠值。
11
6.3 偶然误差的统计特性
三角形内角和真误差:
【例】在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。
(i1,2,3,...2..1.).7.
i 1 8 0 0 (L 1 L 2 L 3 )i
L3
L1
L2
12
误差区间 d△
0″～ 3″ 3″～ 6″ 6″～ 9″ 9″～ 12″ 12″～ 15″ 15″～ 18″ 18″～ 21″ 21″～ 24″ 24″～ 27″ 27″以上 合计
-27 -21 -15 -9 -3 0 +3 +9 +15 +21 +27
-24 -18 -12 -6
+6 +12 +18 +24
14
3.偶然误差的四个特性
有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限值；
集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的 概率大；
对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；
另一台仪器的结果（单位：″）：0，-1，-7，+2，+1， +1， -8， 0， +3，-1。
02127222121282023212 m
10 3.6
19
精度(precise) 和 准确度(accuracy)
误差分布表
三 角形内角和真误差统计表
正误差
负误差
个 数 k 频 率 k/n 个 数 k 频 率 k/n
30
0.138
29
0.134
21
0.097
20
0.092
15
0.069
18
0.083
14
0.065
16
0.073
12
0.055
10
0.046
8
0.037
8
0.037
5
0.023
6
0.028
2
0.009
D往
A
D返
A
B
≠ D往 D往
A+∠B+∠C≠180
B
C
3
6.1 概述
6.1.1 观测与观测值定义 通过一定的仪器工具和方法对某量进行量测，称为观测，所
获得的数据称为观测值。 等精度观测与不等精度观测
6.1.2 观测与观测值的分类
等精度观测:观测条件相同的各次观 测，其结果具有相同精度。
不等精度观测:观测条件不同的各 次观测，其结果具有不同精度。
D
9.5
Δ
0
10
12 345 67
9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6
o•
• •
• •
• •
N
0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1
偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论 处理，可以求得参数的最可靠值.
10
粗差：由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差。
件观 测 条
D
0
10
读数误差
刻划不均匀误差
大气折光误差
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6.2 测量误差的分类及处理原则
1、系统误差 2、偶然误差 3、粗差
•
Δ
•• • •• •
o
• ••
• •
•
N
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系统误差：在相同观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如 果出现的误差在符号和数值上都相同或者具有一定的规律性。
0 S
10
20
S = 0.04 N
直接观测和间接观测 独立观测和非独立观测
4
6.1.3 观测误差及其产生的原因
1.观测误差的定义 指被观测值(或其函数)与未知量的真实值(或
函数的理论值)间的差值。
观测误差=观测值-真值
一般用符号△表示。即：△= L观– L理 =L-X
✓真值：代表观测值L 真正大小的数值，用 X 表示。
✓真误差: 观测值 L 与真值 X 之间的差值，用△表示。 △=L–X
抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值 趋近于零。即
lim 0 n n
其中
n
12n i
i1
15
误差分布曲线：
概率密度函数： f () 1 e222
2
正态分布 N(0,2)
f ( )
方差：
2lim 1 2 2 2 2 nlim [ 2]
n
n
n n
标准差： lim []
n n
第六章 测量误差基本知识
杨正丽
四川大学水利水电学院
1
本章内容
6.1 概述 6.2 测量误差的分类及处理原则 6.3 偶然误差的统计特性 6.4 衡量观测值精度的指标 6.5 误差传播定律 6.6 同精度观测直接平差 6.7 加权平均值及其精度评定 6.8 最小二乘法原理及其应用
2
第六章 测量误差基本知识
观测条件
0
误差分布
观测值精度
精度：一组观测值误差分布的密集或离散程度。 16
6.4 衡量观测值精度的指标
一、中误差 ➢标准差 lim [] n n
➢中误差 是反映一组误差离散程度的指标。
m ˆ []
n
17
f ( )
m 1 小，精度高
m 2 大，精度低
m2 m1
m1 m2
观测条件
误差分布
观测值精度
曲线形态（陡 峭、平缓）
具体的数值
（小、大）
观测精度 （高、低）
18
举例
【例】同精度下对某一三角形进行了10次观测，求得每次观测所得 的三角形闭合差分别为（单位：″）：+3，-2，-4，+2，0，-4， +3，+2，-3，-1。
m322242220214 0232223212 27.