变化率与导数 数学 优秀课件详解ppt课件

平均变化率
y f (x) 从 x1到 x2 的 平均变化率
y
x
割线的斜率
导数
y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
f (x0) lim y
x0 x
一差 二比 三极限
切线的斜率
作业
习题1.1：
A组1、2题 B组1、3题
t 0
t 0
11
t 0时, 在2 t，2 t 0时, 在2，2 t
这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度
v h(2) h(2 t) 2 (2 t)
4.9t 13.1
h(2 t) h(2) v
(2 t) 2 4.9t 13.1
取较小的 t 值代入计算
思考：
2 1
问题二：高台跳水
运动员相对于水高度h(m)与起跳后的 时间t(s)存在函数关系：
h(t) 4.9t2 6.5t 10
(1)在0 t 0.5这段时间里平均速度：
v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) 0.5 0
(2)在1 t 2这段时间里平均速度：
v h(2) h(1) 8.2(m / s) 2 1
对任意函数y f (x) ，做过其上任意两点的割线. 不妨以 f (x) 4.9x2 6.5x 10 为例. （几何画板演示）
研究丰富多彩的变化率问题
平均变化率 瞬时变化率
求t=2s时的瞬时速度，先考察t=2附近的情 况.在t=2附近任取一个时刻 2 t .
h(t) 4.9t2 6.5t 10
f (x0 Δx) f (x0) x
f (x0)
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原
油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
一差解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是二比
பைடு நூலகம்
f (2)和 f (6). 根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x)2 7x x 3
所以,
x
f (2)
lim
y
x
lim(x 3) 3.
x0 x x0
同理可得 f (6) 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和三5极. 它限说
1.1 变化率与导数
陈琦
1
2
这是我国的某年的人均收入：
时间 x(年) 2000 2002 2006 人均GDP y(美元) 856 1100 2010
3
研究丰富多彩的变化率问题
平均变化率 瞬时变化率
问题一：气球膨胀率
气球的体积V（L）与半径r(dm)之间 的函数关系：
增加单位体积， 半径的改变量
x2 x1
我们把这个式子称为函数 y f (x) 从 x1 到 x2
的 平均变化率（average rate of change).
习惯上用 x 表示 x2 x1 ，即x x2 x1,类似
的 y f (x2 ) f (x1) .于是，平均变化率可以表示
为 y . x
平均变化率的几何意义
3V r(V ) 3
4
h(t) 4.9t2 6.5t 10
y f (x)
体积从1L增加到2L的 平均膨胀率
在0 t 0.5这段时间 里的平均速度
从x1到x2的
平均变化率
r(2) r(1) 2 1
v h(0.5) h(0) 0.5 0
f (x2 ) f (x1) x2 x1
f (x2 ) f ( x1 )
明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例2.求f (x) 3x 2 5在x 0处的导数 .
解法一： 一差二比三极限 f (0) 0 解法二： 利用导数的几何意义
在x 0处，切线斜率k 0 f (0).
课堂小结：
x0 x x0
x
为了表述方便, 我们用
h2 t h2
lim
13.1
t 0
t
表示"当t 2, t 趋近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值13.1".
导数的瞬时定变义化率:与导数是同
一概念的两个名称。
一般的，函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
不f (xx0其 0 )与导x数 0l的 xim值 0值f一有 (x0般关也Δ，x)x f (x0 )
y lim
x0 x
不相同
称为函数
y
=
f
(x)
在
x
=
x0
处的导数,
记作
f (x0 )
y |xx0
f
(
x0
)
lim
x0
f
( x0
Δx) x
f (x0 )
.
f (x0)与x的 具体取无关
导数的几何意义: （几何画板演示）
函数 f (x) 在 x x0 处的导数就是切线的 斜率 k ，即
k lim x0
V 4 r3
3V r(V ) 3
3
4
(1)体积从0L增加到1L，半径增加 r(1) r(0) 0.62(dm)
平均膨胀率
r(1) r(0) 0.62(dm / L) 10
(2)体积从1L增加到2L，半径增加 r(2) r(1) 0.16(dm)
平均膨胀率
r(2) r(1) 0.16(dm / L)
1、当任△取t某趋一近时于刻0时t0，, 其即瞬无时论速t 从度小怎于样2表的示一？边, 还是从大于
2的一边趋近于lim2时h,(平t0 均速t)度 都h(t趋0)近与一个确定的值 –13.1.
就的2无瞬、从限时函物趋速数理近度f(的x于是l)i在角mtt–x度10=03处y看2.1时的,ml时的i瞬/ms间瞬.时fx间时t变0 隔速化x度|率－△.f怎t因x|样0无此表限, 运示变动？小员时在, 平t 均= 2速时度