变化率与导数 数学 优秀课件详解ppt课件
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第13讲变化率与导数导数的运算课件-高考理科数学一轮复习
数 y=f(x)图像的切线,则切线方程
为
.
[答案] y=-2 或 y=9x+16
[解析] 对函数求导,得 f'(x)=3x2-3.
当点 P(-2,-2)为切点时,切线斜率 k=3×(-2)2-3=9,
根据点斜式得切线方程为 y=9x+16.
当点 P(-2,-2)不是切点时,设切点坐标为(m,n),
������ = ������3-3������,
求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数.
课前双基巩固
知识聚焦
1.变化率与导数
(1)平均变化率:
概念 几何 意义
对于函数
y=f(x),f(x2)-f(x1)=������y叫作函数
x2-x1 ������x
y=f(x)从
x1
到
x2
的
平均 变化率
函数 y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率
课前双基巩固
7.已知 f(x)=x2+3xf'(2),则 f(2)=
.
[答案] -8 [解析] 因为 f'(x)=2x+3f'(2),令 x=2, 得 f'(2)=-2,所以 f(x)=x2-6x,所以 f(2)=-8.
课前双基巩固
8.已知 f(x)=x3,则 f'(2x+3)=
,[f(2x+3)]'=
坐标为
.
[思路点拨] 先根据 f(x)为偶函数 求得 a=1,再建立方程,解得切点的 横坐标.
课堂考点探究
例 3 设 a∈R,函数 f(x)=ex+e������������是偶函数,若曲 线 y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横
人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件
问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
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人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
高中数学选修11【变化率与导数】课件
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30 34 t(d)
T (℃)
C (34, 33.4)
30
B (32, 18.6) 20
这就是
10 A (1, 3.5)
气温的
2
平均变
02
10
20
30 3化4 t(率d) 。
问题1：从3月18日到4月18日气温上升了多少度？
问题2：从4月18日到4月20日气温上升了多少度？
ffx 2fx 1fx 1 xfx 1
x x 2 x 1
x
例题
求函数 y 3x2 2在区间 [x0,x0 x]上的平均 变化率，并求当x0 2,x1时，平均变化率
的值。
练习
设函数y=f（x），当自变量x由 x 0 改变到 x0 x
时，函数的改变量 y 为（ ）
A. f (x0 x)
变化率
xB xA
(4)我们用比值 y C y B 表示[32，34]上的气温平
均变化率
xC xB
平均变化率
从以上的例子中，我们可以了解到，平均变
化率是指在某个区间内数值的平均变化量.对于
函数y=f（x）有：
平均变化率： f x2 f x1
x2 x1
令“增量”xx2 x1
f f x2 f x1Fra bibliotek为函数h(x)在
导数的概念
一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化
率是
lim ylimf(x0 x)f(x0)
x x 0
x 0
x
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
记为 f ( x 0 ) 或 y x xo ，即
北师大版高中数学22第二章变化率与导数导数的概念课件
t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度
是 –13.1.
v
lim h(2t)h(2) 1.3 1
t 0
t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.
v
探 究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
h(t)4.9t26.5t10
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
vh t
h(2t)h(2) 13.14.9t t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t)4.9t26.5t10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f(x0 Δ x)f(x0)li m f
x 0
x
x 0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f (x0)
y | 或
,即
xx0
f(x0) lx i0 m f(x0Δ x)xf(x0).
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
北师大版高中数学2-2第二章《变化率 与导数》导数的概念课件
一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概 念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通 过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观：通过运动的 观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
是 –13.1.
v
lim h(2t)h(2) 1.3 1
t 0
t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.
v
探 究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
h(t)4.9t26.5t10
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
vh t
h(2t)h(2) 13.14.9t t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t)4.9t26.5t10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f(x0 Δ x)f(x0)li m f
x 0
x
x 0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f (x0)
y | 或
,即
xx0
f(x0) lx i0 m f(x0Δ x)xf(x0).
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
北师大版高中数学2-2第二章《变化率 与导数》导数的概念课件
一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概 念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通 过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观：通过运动的 观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
变化率与导数、导数的运算 课件
返回
1．曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程是
()
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
解析：因为 y＝sin x＋ex，
所以 y′＝cos x＋ex，
所以 y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2， 所以曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝
(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 所 以
2ax2 ＋ 1≥0(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 即
2a≥－
1 x2
(x＞0)恒成立，所以 a≥0，故实数 a 的取值范围为[0，＋∞)．
答案：D
[题“根”探求]
返回
角度(一)是求曲线的切线方程，其关键是理解导数的几何 意义，并能准确求导； 看 角度(二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后 个 让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点 性 坐标； 角度(三)是求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数 等于切线斜率的方程
返回 )
返回
5 ． (2017·全 国 卷 Ⅰ ) 曲 线
y
＝
x2
＋
1 x
在
点
(1,2)
处
的
切
线
方
程
为
___________．
解析：因为 y′＝2x－x12，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率
为 y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
lim
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率6全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
第二章 改变率与导数 §1.改变快慢与改变率
（第二课时）
1/12பைடு நூலகம்
创设情境
大确胆定猜问测题：
一只生鸡蛋从10米高空自由落下，刚 好落到水面上，你认为鸡蛋会碎吗？
鸡蛋是否会碎与哪些原因相关？
综合鸡蛋质量、承受力及鸡蛋在接触水 面时作用时间，推知当鸡蛋在接触水面时瞬 时速度超出10m/s时，鸡蛋破碎可能性很大. 你能否求出鸡蛋在接触水面时瞬时速度？
7/12
概念建构
瞬时改变率
普通地, 函数 y f (x) 在自变量 x 从 x0 变到 x1 过程中, 假如设 x x1 x, 0 y f (x1) f (x0 ,)
则函数平均改变率为:
y f (x1) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
x
x1 x0
x
当 x 趋于0时,若平均改变率趋于一个定值，则
2/12
合作探究
实例1 一只生鸡蛋从10米高空自由下落到水面，其
走过旅程s（单位：m）与时间t（单位：s）函数关系
为
s 1，g其t 2 中g为重力加速度 (g 9.8m./ s2 )
2
（1）试求鸡蛋下落到水面时间（保留1位小数）.
t 1.4s
（2）怎样求出t=1.4s这一时刻瞬时速度？
解：令前t0后=1同.4桌s,四t1 个=1同.3学9s为,我一们个将小时组间，间讨隔论每一次下缩怎短 为样前利面用前面1，学过数学知识，求这一时刻瞬时速度？
（1）写出y关于x函数解析式； 10
（2）试预计当x等于5cm时，水
y
面高度y关于活塞位置x瞬时改变率. x
解（1）y关于x函数解析式为：
y 100（x 1） x
（2）由函数解析式计算出对应平均改变率得到
（第二课时）
1/12பைடு நூலகம்
创设情境
大确胆定猜问测题：
一只生鸡蛋从10米高空自由落下，刚 好落到水面上，你认为鸡蛋会碎吗？
鸡蛋是否会碎与哪些原因相关？
综合鸡蛋质量、承受力及鸡蛋在接触水 面时作用时间，推知当鸡蛋在接触水面时瞬 时速度超出10m/s时，鸡蛋破碎可能性很大. 你能否求出鸡蛋在接触水面时瞬时速度？
7/12
概念建构
瞬时改变率
普通地, 函数 y f (x) 在自变量 x 从 x0 变到 x1 过程中, 假如设 x x1 x, 0 y f (x1) f (x0 ,)
则函数平均改变率为:
y f (x1) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
x
x1 x0
x
当 x 趋于0时,若平均改变率趋于一个定值，则
2/12
合作探究
实例1 一只生鸡蛋从10米高空自由下落到水面，其
走过旅程s（单位：m）与时间t（单位：s）函数关系
为
s 1，g其t 2 中g为重力加速度 (g 9.8m./ s2 )
2
（1）试求鸡蛋下落到水面时间（保留1位小数）.
t 1.4s
（2）怎样求出t=1.4s这一时刻瞬时速度？
解：令前t0后=1同.4桌s,四t1 个=1同.3学9s为,我一们个将小时组间，间讨隔论每一次下缩怎短 为样前利面用前面1，学过数学知识，求这一时刻瞬时速度？
（1）写出y关于x函数解析式； 10
（2）试预计当x等于5cm时，水
y
面高度y关于活塞位置x瞬时改变率. x
解（1）y关于x函数解析式为：
y 100（x 1） x
（2）由函数解析式计算出对应平均改变率得到
高中数学1.1.1~1.1.2变化率与导数的概念课件新人教A选修.pptx
(2)函数在某点处的导数是一个定值,是函数在 该点的函数值改变量与自变量的改变量比值 的极限,不是变量. (3)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关,与Байду номын сангаасx无 关.
失误防范 (1)若求出的平均变化率为0,并不一定说明函 数没有发生变化.如函数f(x)＝x2在[－2,2]上的 平均变化率为0,但f(x)的图象在[－2,2]上先减 后增. (2)在导数的定义中,当Δx趋近于0,可以是正值, 也可以是负值,但不为0,而Δy可能为0.
变式训练 3.本例条件不变,求: (1)物体在t＝10 s到t＝10.1 s,这段时间内的平 均速度; (2)物体在t＝10 s时的瞬时速度.(g＝10 m/s2)
备选例题 1.若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的 平均变化率不大于－1,求Δx的范围.
方法感悟
方法技巧 (1)函数的平均变化率可正可负,反映函数y＝ f(x)在[x1,x2]上变化的快慢,变化快慢是由平均 变化率的绝对值决定的,且绝对值越大,函数值 变化的越快.
简记作:ΔΔyx.
瞬时 变化
率
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化 率是函数 f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平 均变化率在Δx→0 时的极限,即
lim
Δx→0
ΔΔxy＝
lim f（x0＋Δx）－f（x0） __Δ_x_→_0_________Δ__x______________
实例
①平均速 度; ②曲 线割线的 斜率.
知能演练•轻松闯关
本部分内容讲解结束
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2.函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的_瞬__时__变__化__率___称为函
《变化率与导数(第1课时)》名师课件 (1)
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变 小了.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 想一想：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是 多少?
《变化率与导数（第1课时）》名师课件 (1)
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 问题2 高台跳水
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m) 与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系 想一想：如何用运动员在某些时间段内的平均速度 粗 略地描述其运动状态?
总结：可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半 径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
气球的体积 V(单位: L)与半径r (单位: dm)之间的函数关系
是
，如果将半径r表示为体积V的函数，
那么
.
分析:（1）当V从0增加到1时，气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 （2）当V从1增加到2时，气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
Δx表示横坐标的变化量，可以为正数，也可以是负 数，但不能为0.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 预习任务
预习下节任务并完成 《变化率与导数（第2课时）》预习自测
温馨提示：为更好地满足您的学习和使用需求，课件在下载后可以自由编辑，请您根据实际情况进行调整！Thank you for watching and listening.I hope you can make great progress！
思考计算：
和
在
这段时间里，
在
这段时间里，
的平均速度 .
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 ●活动二 探索新知
上述问题中的变化率可用式子
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x0 x x0
x
为了表述方便, 我们用
h2 t h2
lim
13.1
t 0
t
表示"当t 2, t 趋近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值13.1".
导数的瞬时定变义化率:与导数是同
一概念的两个名称。
一般的，函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
不f (xx0其 0 )与导x数 0l的 xim值 0值f一有 (x0般关也Δ，x)x f (x0 )
1.1 变化率与导数
陈琦
1
2
这是我国的某年的人均收入：
时间 x(年) 2000 2002 2006 人均GDP y(美元) 856 1100 2010
3
研究丰富多彩的变化率问题
平均变化率 瞬时变化率
问题一：气球膨胀率
气球的体积V（L）与半径r(dm)之间 的函数关系：
增加单位体积， 半径的改变量
对任意函数y f (x) ，做过其上任意两点的割线. 不妨以 f (x) 4.9x2 6.5x 10 为例. （几何画板演示）
研究丰富多彩的变化率问题
平均变化率 瞬时变化率
求t=2s时的瞬时速度，先考察t=2附近的情 况.在t=2附近任取一个时刻 2 t .
h(t) 4.9t2 6.5t 10
2 1
问题二：高台跳水
运动员相对于水高度h(m)与起跳后的 时间t(s)存在函数关系：
h(t) 4.9t2 6.5t 10
(1)在0 t 0.5这段时间里平均速度：
v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) 0.5 0
(2)在1 t 2这段时间里平均速度：
v h(2) h(1) 8.2(m / s) 2 1
3V r(V ) 3
4
h(t) 4.9t2 6.5t 10
y f (x)
体积从1L增加到2L的 平均膨胀率
在0 t 0.5这段时间 里的平均速度
从x1到x2的
平均变化率
r(2) r(1) 2 1
v h(0.5) h(0) 0.5 0
f (x2 ) f (x1) x2 x1
f (x2 ) f ( x1 )
V 4 r3
3V r(V ) 3
3
4
(1)体积从0L增加到1L，半径增加 r(1) r(0) 0.62(dm)
平均膨胀率
r(1) r(0) 0.62(dm / L) 10
(2)体积从1L增加到2L，半径增加 r(2) r(1) 0.16(dm)
平均膨胀率
r(2) r(1) 0.16(dm / L)
一差解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是二比
f (2)和 f (6). 根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x)2 7x x 3
所以,
x
f (2)
lim
y
x
lim(x 3) 3.
x0 x x0
同理可得 f (6) 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和三5极. 它限说
f (x0 Δx) f (x0) x
f (x0)
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原
油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
t 0
t 0
11
t 0时, 在2 t，2 t 0时, 在2，2 t
这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度
v h(2) h(2 t) 2 (2 t)
4.9t 13.1
h(2 t) h(2) v
(2 t) 2 4.9t 13.1
取较小的 t 值代入计算
思考：
x2 x1
我们把这个式子称为函数 y f (x) 从 x1 到 x2
的 平均变化率（average rate of change).
习惯上用 x 表示 x2 x1 ，即x x2 x1,类似
的 y f (x2 ) f (x1) .于是，平均变化率可以表示
为 y . x
平均变化率的几何意义
平均变化率
y f (x) 从 x1到 x2 的 平均变化率
y
x
割线的斜率
导数
y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
f (x0) lim y
x0 x
一差 二比 三极限
切线的斜率
作业
习题1.1：
A组1、2题 B组1、3题
y lim
x0 x
不相同
称为函数
y
=
f
(x)
在
பைடு நூலகம்
x
=
x0
处的导数,
记作
f (x0 )
y |xx0
f
(
x0
)
lim
x0
f
( x0
Δx) x
f (x0 )
.
f (x0)与x的 具体取无关
导数的几何意义: （几何画板演示）
函数 f (x) 在 x x0 处的导数就是切线的 斜率 k ，即
k lim x0
明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例2.求f (x) 3x 2 5在x 0处的导数 .
解法一： 一差二比三极限 f (0) 0 解法二： 利用导数的几何意义
在x 0处，切线斜率k 0 f (0).
课堂小结：
1、当任△取t某趋一近时于刻0时t0，, 其即瞬无时论速t 从度小怎于样2表的示一？边, 还是从大于
2的一边趋近于lim2时h,(平t0 均速t)度 都h(t趋0)近与一个确定的值 –13.1.
就的2无瞬、从限时函物趋速数理近度f(的x于是l)i在角mtt–x度10=03处y看2.1时的,ml时的i瞬/ms间瞬.时fx间时t变0 隔速化x度|率－△.f怎t因x|样0无此表限, 运示变动？小员时在, 平t 均= 2速时度