构造中位线巧解圆锥曲线题

构造中位线 巧解圆锥曲线题

徐志平 （浙江金华一中 321000）

在求一些与圆锥曲线有关的题目时，通常需要先构造出三角形或梯形的中位线，然后借助中位线的性质定理来求解，现举例加以分析说明。

1．求点的坐标

例1. 椭圆13

122

2=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。如果线段1PF 的

中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 （ ）

A. 43±

B. 2

2± C. 23± D.

43± M 的坐标，只需先求点P 的坐标即可。 连接PF 2，由于M 是PF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，

所以MO 是21F PF ∆的中位线，又轴x MO ⊥，则有 轴x PF PF MO ⊥22,//，3312=-=P x

2

3±=，43±=∴M

y ，故选（D ）。 例2．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线y 2

=x 上移动，记线段AB 的中点

为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。

分析：利用抛物线的定义，结合梯形的中位线性质 定理可以解决问题。

解：抛物线的焦点)0,41(F ，准线 方程：41

-=x ，上分别作点A 、B 、M 的射影A 1、B 1、M 1，则由MM 1

是梯形AA 1B 1B )(21

)(21111BF AF BB AA MM +=+=

，在ABF ∆可以取等号）

通径∴>≥+AB AB BF AF (，2

211=≥AB MM ∴M 到y 轴的最短距离=

。

4

5

4123=-即45=M x 。 ∴显然这时弦AB 过焦点），（04

1F 。设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则有12

1x y = ① 22

2x y = ②，①-②得M

y x x y y x x y y y y 21))((2121212121=--⇒-=-+

M

AB y k 21

=

∴，又MF AB k k =，2

14145(21214

12

=-=⇒=

-

∴M M M M y y x y 22±

=∴M y ，即M 的坐标为)22

,45(或)22,45(- 以上两题的解法较多，以上给出的解法最为简洁。在解题中要善于运用圆锥曲线的定义，并注意构造三角形与梯形的中位线，挖掘题目中隐含的几何性质，可使解题简明快捷，少走弯路。 2．求轨迹方程

例3．已知两个同心圆，其半径分别为R 、r(R>r>0)，AB 为小圆的一条直径，求以大圆切线 为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 的轨迹方程。

分析：该题中A 、B 与准线之间的关系，可借助于抛物线的定义解决。

解：以小圆的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心为坐 标原点建立平面直角坐标系（如图）。则A(-r,0)、 B(r,0)，设Q 为大圆上的任一点， 为过点Q 的切线， 设抛物线的焦点F(x,y)，作 ⊥AC 于C ， ⊥BD 于D 由抛物线定义得：,,BD BF AC AF ==连接OQ ，在梯形ACDB 中，OQ 是中位线， R OQ BD AC BF AF 22==+=+∴,∴点F 到定点A 、B 的距离之和为定值2R ，由于∴=>r AB R 22点F 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆。

且a=R,c=r ,222r R b -=∴，其方程为：)0(12

22

22

≠=-+

y r R y R

x 。 本题借助于抛物线的定义建立关系，同时还要利用梯形的中位线进行过渡是关键。解题时要注意建立合理的直角坐标系，还要注意轨迹的完备性和纯粹性。

3．判断直线与圆的位置关系

例4．设AB 是过椭圆左焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的坐准线

（ ）

A. 相切

B. 相交

C. 相离

D. 相交或相离

分析：要判断直线与圆的位置关系，只需比较

圆心到直线的距离与圆半径的大小即可。

解：设椭圆的左焦点为F ，离心率为e （0

由于MM 1是梯形AA 1B 1B 的中位线，又有由椭圆的第二定义

知：e

BF B B e AF A A =

=11,，r e r e AB B B A A MM A >==+=∴2)(21

11. 即以AB 为直径的圆必与椭圆的坐准线相离。故答案选（ C ）。 例5．设P 为抛物线)0(22>=P px y 上任一点，F 为其焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴的位置关系是 （ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 由点P 的位置确定

分析：同例4。

解：设以PF 为直径的圆心为A ，半径为r ，则r PF 2=

在准线 ：2

p

x -=上分别作点P 、A 的投影为P 1、A 1，

PP 1、AA 1分别交y 轴分别为P 2、A 2，则由抛物线的定义 知.,21p KF r PP ==由于AA 1是梯形KFPP 1的中位线，

22)(21

11p r P P KF AA +=+=，r p p r AA =-+=∴2

222，即以PF 为直径的圆与

y 轴相切。故答案选（ B ）。

以上两题也可以用代数方法来做，但上述解法避免了要设出点的坐标，只要利用梯形的中位线以及直线与圆的位置关系来判断即可，解题思路清晰、明快。

4．判断两圆的位置关系

例6．已知点P 是椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）上的任意一点，21,F F 分别是左

右焦点。求证：以PF 2为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切。

两圆的圆心距即可。

解：设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r 为直径的圆的圆心为O ，半径为a,因为

,2,2221r PF a PF PF ==+所以由椭圆的定义知

,221r a PF -=连接OA ，则OA 是21F PF ∆的中位线，由三角形的中位线的

性质定理，知.2

11r a PF OA -==故以PF 2为直径的圆必与以椭圆长轴为直径

的圆相内切。