构造中位线巧解圆锥曲线题

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利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题专项练习含答案(高考数学提分)

第4讲利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题一．选择题（共10小题）1．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是( )A B C ．D ．22．如图，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为( )A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -<-C ．||||MO MT b a -=-D ．以上三种可能都有3．从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -等于()A ．c a -B ．b a -C ．a b -D ．c b -4．设1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，点P 在双曲线上，已知1||PF 是2||PF 和12||F F 的等差中项，且12120F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率为( )A ．1B ．32C ．52D ．725．已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则||OM 的取值范围是( ) A ．(0,)cB ．(0,)aC ．(,)b aD ．(,)c a6．设1(,0)F c -，2(,0)F c 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为( ) A ．定值a B ．定值b C ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化7．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线:280l x y +-=与椭圆22:11612x y C +=相切于点P ，椭圆C 的焦点为1F ，2F ，由光学性质知直线1PF ，2PF 与l 的夹角相等，则12F PF ∠的角平分线所在的直线的方程为( ) A ．210x y --=B ．10x y -+=C ．210x y -+=D ．10x y --=8．根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，若从点2F 发出的光线经双曲线右支上的点0(A x ，2)反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM ∠的角平分线所在的直线的斜率为( )A ．B ．CD 9．设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是( )AB ．32C ．52 D1 10．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是( ) ABCD ．35二．多选题（共1小题）11．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =，且1F 到l的距离为点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ 为12F PF ∠的平分线，则下列正确的是( )A ．双曲线的方程为221927x y -=B ．12||2||PF PF =C ．12||36PF PF +=D ．点P 到x三．填空题（共7小题）12．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则||PF = ；P 点的坐标为．13．已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为．14．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为．15．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为．16．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为．17．已知1F 、2F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2||AF = ．18．如图，从椭圆的一个焦点1F 发出的光线射到椭圆上的点P ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F ，事实上，点0(P x ，0)y 处的切线00221xx yy a b+=垂直于12F PF ∠的角平分线．已知椭圆22:143x y C +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的角平分线PT 交椭圆C 的长轴于点(,0)T t ，则t 的取值范围是．四．解答题（共8小题）19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为：1(2,0)F -，2(2,0)F ，P 为椭圆E上除长轴端点外任意一点，△12PF F 周长为12．（1）求椭圆E 的方程；（2）作12F PF ∠的角平分线，与x 轴交于点(,0)Q m ，求实数m 的取值范围．20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于该椭圆的另一个焦点2F 上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P 处的切线与直线1PF 、2PF 的夹角相等．已知12BC F F ⊥，垂足为1F ，1||3F B m =，12||4F F cm =，以12F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）求截口BAC 所在椭圆C 的方程；（2）点P 为椭圆C 上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在m ，使得P 到2F 和P 到直线x m =的距离之比为定值，如果存在，求出的m 值，如果不存在，请说明理由；②若12F PF ∠的角平分线PQ 交y 轴于点Q ，设直线PQ 的斜率为k ，直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k ，2k ，请问21k kk k +是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线:()l x m m R =∈，四点(3,1)-，(-0)，(3,1)-，(中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上．()I 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，使得||||PM PN =，再过P 作直线l MN '⊥．证明直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ．Q 为抛物线224y x =的焦点，且10F B QB ⋅=，12120F F QF += （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过定点(0,4)P 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点(M 在P ，N 之间），设直线l 的斜率为(0)k k >，在x 轴上是否存在点(,0)A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．在①离心率12e =，②椭圆C 过点3(1,)2，③△12PF F这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、F ，过1F 且斜率为k 的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，已知椭圆C的短轴长为，_____．（1）求椭圆C 的方程；（2）若线段PQ 的中垂线与x 轴交于点N ，求证：1||||PQ NF 为定值． 24．已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 25．已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，斜率为1(A x ，1)y 和2(B x ，212)()y x x <两点，且9||2AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 的准线为l ，焦点为F ，点P 为直线:20m x y +-=上的动点，且点P 的横坐标为a ，试讨论当a 取不同的值时，圆心在抛物线C 上，与直线l 相切，且过点P 的圆的个数．26．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．。

构造三角形中位线解圆锥曲线问题

一
例３已知点Ｐ（０，）是椭圆＋手；（。＞６＞０）上的任意一ＣＤ
点，、是焦点，求证：以为直径的圆必和以椭圆长轴为直
径的圆相内切。证明设以Ｐ为直径的圆的圆心为Ａ，半径为ｒ。因为、为焦点，所以由椭圆定义知，｛踞 …Ｐ１＝２ａ，Ｉ
§ ｌ
０｛
｝
三、判断两圆的位置关系
通过构造三角形中位线建立圆锥曲线中变量之间的相
互关系。
综合版
２０１４年１～２月
二、求动点的轨迹
通过对弓箭形状补成等腰三角形，借助于对称性构造三角形中位线，获取圆锥曲线中动点与不动点间的关系。
是该椭圆的左焦点。
若点Ｍ满足：（
，则ＩＩ＿
—
—
。
例２设，Ｆ２分别是双曲线等一等＝１的左右两个焦点，Ｑ
所以ＩＩ — ＩＱＦ：ｌ＝４，Ｉ腿Ｉ＝４，从而ＩｏＰＩ＝１ｌＭＦ２Ｉ：２，Ｐ，Ｐ
Ｉ
｝：４。
于是点Ｐ的轨迹方程是圆的一部分。
综上所述，我们在解答涉及圆锥曲线问题时，要注重平面几何知识的运用，加强数与形的认识，提高综合解题能力。 ◆（作者单位：江西省南昌市第三中学）

构造方程解一类圆锥曲线题

高凯
构造方程解一类一
若直线与圆锥曲线相交于不同两点、，并且这两点与
曲线题
，
第三点构成直线的斜率的和或积存在一定关系时，除了常规
的解析法，还有什么更好的解决方法吗？下面通过四道高考题
＼／
图３
圆是否过点Ｆ．并说明理由。
解析由题得：Ａ（一１，０），Ｆ（２，０）。设ａ（ｘｌ，Ｙ），Ｃ（ｘ，Ｙｚ），知
２３Ｙ
Ｙｌ
，
。
所以卑一ｌ＾１＋１，栅，ｋＮｔ＝－埘ｙ２十２ｌ。
１２＝－１舯
ｚＹｏ
Ｚ
戈ｃ
ＺＯ
１一Ｏ
例３如图３，已知双曲线方程２一 —
３
１，定直线ｆ：＝
Ｊ
÷ ＾，过右焦点Ｆ的直线交双曲线于Ｂ、Ｃ两点，Ａ为左顶点，
直线ＡＢ、ＡＣ分别交ｆ于点、 Ⅳ，试判断以线段 Ⅳ为直径的
掣
一
—
—
：（ ≠ ）。
一一
卜
２
由椭圆方黼Ｔ（ｘ－４１）２＋掣＋丁ｘ－７１＋＼２／
／３＼２
３— ２—
Ｌ一一３，．一２，。
即
４
（一１）
…
ｙ
‘
一

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案

圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（答：）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B异号）。

如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

2018年高考数学专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题黄金解题模板

专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题【高考地位】圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．【方法点评】方法一定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．【例1】已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【变式演练1】【2018贵州省遵义市模拟】已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点G（0，）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由圆F1：（x﹣1）2+y2=8，得F1（1，0），则F2（﹣1，0），由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，∵∴点M的轨迹C的方程为；方法二定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例2】已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系.【变式演练2】【2018河南郑州市第一中学模拟】设，是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量，，且，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的焦点，（为半焦距），求直线的斜率的值；（2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【解析】（1）由题可得：，，所以，椭圆的方程为设的方程为：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.【高考再现】1. 【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.2．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设，由AC⊥BC得；由韦达定理得，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为,因为过，所以，令得，即弦长为3.试题解析：（1）设，则是方程的根，所以，则，所以不会能否出现AC⊥BC的情况。

利用几何法巧解圆锥曲线问题

理，找到两个变量之间的关系，从而求出圆锥曲线
的离心率。
五、利用相似三角形例 5.已知曲线 C：y2=4x
P1 y H I P
的焦点为 F，过点 F 的直线
l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，且FP +2FQ = 0，试求吟OPQ
F
O
x
的面积。
Q1
Q
解析：如图 5，过点 P
向抛物线的准线作垂线，垂
线的定义、几何性质、特征量与之有机结合，寻找
到问题解决的突破口，从而达到求解问题的目的。
（作者单位：长沙市明德中学）
2018·5C·47
|F1C·| |F2C|=（c+a）（c-a）=b2。
上述问题的解答利用了“经过圆外一点作圆
的两条切线，那么它们的切线长相等”这一性质，
找到了点 C 的坐标和点 P 所满足的几何条件，从而使问题顺利解决。
四、利用勾股定理
例 4. 如图 4，F 是
双曲线 C:
x2 a2
-
y2 b2
=1
（a ＞0，b ＞0）的右焦
图5
足为 P1，过点 Q 向抛物线的准线作垂线，垂足为 Q1，过点 Q 向 PP1 作垂线，垂足为 H，过点 F 向 PP1 作垂线，垂足为I。设|QF|=t，则|PF|=2t，|PQ|=3t，
|PH|=t，|PI |=2t-2，由吟QPH
吟FPI
可得
|PQ| |QH |
=
|PF| |PI|
，即
3t 2t
1 2
|F1F2|=c 。又
|OM
|逸0，所以
|OM | 的取值范围是[0，c）。
2018·5C·46
解题教学

方法技巧专题07 圆锥曲线的概念及其几何性质(解析版)

方法技巧专题7 圆锥曲线的概念及其几何性质解析版一、圆锥曲线的概念及其几何性质知识框架二、圆锥曲线的定义、方程【一】圆锥曲线的定义1、椭圆（1）秒杀思路：动点到两定点(距离为2c )距离之和为定值(2a )的点的轨迹；（2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦AB ,与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于a 4。

（3） ①当c a 22>时，表示椭圆；②当c a 22=时，表示两定点确定的线段；③当c a 22<时，表示无轨迹。

2、双曲线（1）秒杀思路： ①双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数2a ;②注意定义中两个加强条件:（I ）绝对值; （II ）22a c <； ③加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条);（2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦AB （交到同一支上），与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于AB a 24+。

（3） ①当22a c <时，表示双曲线； ②当22a c =时，表示以两定点为端点向两侧的射线；③当22a c >时，无轨迹； ④当20a =时表示两定点的中垂线。

3、抛物线（1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。

所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。

（2）秒杀公式一：焦点在x 轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。

（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为︒60或︒120的弦,两段焦半径分别为:32,2pp .1. 例题【例1】设P 是椭圆2212516x y +=上的点,若21,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于 ( )A.4B.5C.8D.10【解析】利用椭圆的定义得12PF PF +=102=a ,选D 。

【例2】已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为B A ,,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .【解析】如图,22QF BN =,12QF AN =,||||AN BN +=124)(221==+a QF QF .【例3】已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若21PF PF ⊥,则21PF PF +的值为_______.【解析】,8,2222121=+=-r r r r 得21PF PF +=32. 【例4】设椭圆1C 的离心率为135,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为 ( )A.1342222=-y xB.15132222=-y xC.1432222=-y xD.112132222=-y x【解析】由双曲线定义得4=a ，5=c ，3=b ，选A 。

圆锥曲线解题技巧和方法综合全

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k by a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题给定双曲线x y 2221-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

活用圆锥曲线的定义巧解一类高考试题

・．．
÷・￣＝Ｉｌ３－÷赢，ｌｔ－－ｇ
６
ｅ：
，
故选Ａ．
例３（０年重２９庆卷理）知双曲一１口０已线告：（＞
０ｂ０的左、，＞）右焦点分别为Ｆ（ｃ０，（，）若双曲。一，）ｃ０，线上存在一点Ｐ使率的取值范围是解析
・．．
直线与抛物线综合应用问题，以将直线与抛物线方可程联立，利用抛物线定义转化条件ｌ２Ｆ，ＩＢＩ但这
Ｐ一（
Ｎ
／ＢＡＤ＝６，ＡＤｌ＿＿０。Ｉ＿ＩＩＩＡＢ
，
／
０ＩＦ２Ｏ（，）
由双曲线的第二定义有
ＩＭＩＩＮＩＡ：（ＩＩ１Ａ — Ｂ：ＩＤＩ１ — ）
例２（０年全国理）知双曲线ｃ一２９０卷Ⅱ 已：告
：（＞，＞）１ａ０ｂＯ的右焦点为Ｆ过Ｆ且斜率为√ 的直线交，
知条件转化是难点．
解法１因为在 △ 。中，由正弦定理得
Ｉｌ、
ｌ。Ｉ
Ｃ，于ＡＢ两点，＝商，ｃ若４则的离心率为
解析
林
方
本题主要考
查直线与双曲线的综合
应用问题，何将题目如
中Ａ４转化是本题＝的难点，方程角度出从
＼）Ｂ
ｉｖ
．
曲线定义解决直线与圆锥曲线综合问题的巧妙简捷解
法．
发使得计算量过大，充
． — —

构造齐次方程巧解一类圆锥曲线问题

y2 =
1
6x
(
l
lx+ x 0+
m m
y y
0
)
16lx 2 - 16mx y -
( l x 0 + my 0 ) y 2 = 0.
-
( lx0+ my0) 16l
=
-
1
l ( x 0 - 16) +
my 0 = 0恒成立. 定点为( 16, 0) .
∃ 例 3% 抛物线 y 2 = p ( x + 1) ( p > 0) , 直
(x0, y0), 则
A
x2 0
+
B x 0y 0 +
Cy
2 0
+
( Dx 0 +
Ey0 ) #
(-
l
x
0
+ n
my
0
)
+
F( -
l
x
0
+ n
m
y
0
)
2
=
A
x
2 0
+
Bx0y0 +
C
y
2 0
+
( Dx0 +
Ey0 ) +
F= 0.
(x0, y0) 满足 ! , ! 代表过原点且与 L
与 C 的交点( x 0 , y 0 ) 的两条直线方程, ! 可化
( Dl+
Em) n+ F( l 2 + m2 ) = 0. 第二种方法
若直线 L 与二次曲线 C 有两个交点 A , B, 则将直线方程与二次曲线方程联立, 分别消去 x , y , 所得的关于 x 和 y 两个一元二次方程( 让

22年乙卷数学圆锥曲线巧解

22年乙卷数学圆锥曲线巧解圆锥曲线是数学中的一个重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线等。

圆锥曲线在解决实际问题中有着广泛的应用，如物理学、工程学和天文学等。

圆锥曲线巧解的方法有很多，下面介绍一种常用的方法：参数方程法。

参数方程法是一种通过引入参数来表示圆锥曲线上的点的方法。

通过参数方程，我们可以将复杂的圆锥曲线问题转化为简单的代数问题，从而更容易地找到解决方案。

下面是一个使用参数方程法解决圆锥曲线问题的例子：题目：已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的左右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上任意一点，从 F1 向 P 引一条直线，交椭圆 C 于 M，N 两点，从 F2 向 P 引一条直线，交椭圆 C 于 Q，R 两点。

求证：F1F2/MN = F1F2/QR。

证明：设 P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x3,y3)，R(x4,y4)，则有：x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 1x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 1x3^2/a^2 + y3^2/b^2 = 1x4^2/a^2 + y4^2/b^2 = 1将以上四个方程相减，得到：(x1 - x2)(x1 + x2)/a^2 + (y1 - y2)(y1 + y2)/b^2 = 0同理，将 x0 和 y0 代入椭圆方程，得到：x0^2/a^2 + y0^2/b^2 = 1将以上两个方程相减，得到：(x1 - x0)(x1 + x0)/a^2 + (y1 - y0)(y1 + y0)/b^2 = 0同理，可以得到：(x2 - x0)(x2 + x0)/a^2 + (y2 - y0)(y2 + y0)/b^2 = 0(x3 - x0)(x3 + x0)/a^2 + (y3 - y0)(y3 + y0)/b^2 = 0(x4 - x0)(x4 + x0)/a^2 + (y4 - y0)(y4 + y0)/b^2 = 0由于 F1(-c,0)，F2(c,0)，所以 F1F2 = 2c。

构造中点弦妙解圆锥曲线问题

构造中点弦妙解圆锥曲线问题作者：***
来源：《中学教学参考·理科版》2021年第11期
[摘要]“中点弦”问题是圆锥曲线和直线相交的常考题型，采用中点弦结论可以快速解决这类问题，在解决非“中点弦”问题时也应想方设法去构造中点，利用平面几何知识巧妙将其转化为“中点弦”问题，从而使问题得到顺利解决.
[关键词]中点弦;圆锥曲线;构造
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）32-0029-02
在解析几何中，与圆锥曲线的弦中点有关的问题，称为“中点弦”问题.“中心弦”问题是解析几何中很重要的一类题型，也是历年高考常考的内容，解决这类问题的方法很多，点差法是比较被大众认可的一种，运用点差法求解，计算过程相对简单.
运用中点弦结论解圆锥曲线“中点弦”问题非常快速简便，但是此法很多时候还停留在解决明显的中点问题，笔者主要通过两个例子来说明结论的迁移和使用，抓住题干中的斜率关系，通过敏锐判断和构造将相关问题转化为中点弦问题，提高学生应用结论解决问题的灵活度.
[ 参考文献 ]
[1] 方诚.关注教材习题，归纳数学结论[J].中学教学参考，2019（14）：6-7.
[2] 郑美华.浅谈圆锥曲线中点弦问题[J].教育教学论坛，2014（52）：193-194.
[3] 陈阳恒.巧解直线与圆锥曲线相交的中点弦问题[J].中学教学参考，2011（32）：34-35.
（責任编辑陈昕）。

九年级数学上册23.4中位线巧用中位线,妙解几何题素材华东师大版(new)

巧用中位线妙解几何题三角形、梯形中位线定理是初中几何重要定理之一，当题目中含有中点条件时，添加一定的中位线会给我们解题带来便利,这是一种常用的辅助线，是一种重要的几何转化方法.一．构造中位线，平移角例1．如图1,已知BC=EF，M、D分别是边BF、CE的中点，求证：∠1=∠2.分析:因为要证的是两个角相等，可以想到角的转移，可能利用同位角相等或在等腰三角形中出现的两个底角的相等来证明,又因为M、D分别是边BF、CE的中点，可想到中位线定理，于是我们连结BE，可以得到两个三角形的中位线。

证明：连结BE，取BE的中点N,连结MN,DN，∵M、D分别是边BF、CE的中点,∴MN∥EF,12MN=12EF，DN∥BC，DN=12BC,∴∠1=∠3，∠2=∠4，又∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4。

二．构造中位线，巧用Rt△斜边上的中线例2．如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC，AB=CD，对角线交于点O，∠BOC=60°,点E、F 分别是OA、OB的中点，G是CD的中点，求证:△EFG是等边三角形。

分析：由题意可知EF=12AB，下一步去证出EG=FG=12CD=12AB即可，∠BOC=60°，由等腰梯形的性质可知，△BOC、△AOD均为等边三角形，连结DE、CF，得到EG是Rt△DEC，FG是Rt△CFD的中线,问题易解。

证明:∵在等腰梯形ABCD中， AB=CD，∴AC=BD,BC=CB∴△ACB≌△DBC，∠ACB=∠DBC∵∠BOC=60°，∴△BOC为等边三角形,连结CF，F分别是OB的中点，∴CF⊥OB，在Rt△CFD中，G是CD的中点,ABCDEFGMN图11234ABCDEFGO图2∴FG=12CD，同理可证EG=12CD，点E、F分别是OA、OB的中点,∴EF=12AB，又AB=CD，∴EG=FG= EF即△EFG是等边三角形。

三．平移对角线，巧用三角形的中位线例3．如图3，在梯形ABCD中,AD∥BC，AC⊥BD，∠DBC=30°，梯形中位线与边AB、CD交于点E、F，求证:AC=EF分析：EF是上下底之和的一半,则AC也必须是上下底之和的一半，对角线互相垂直,平移AC,恰好构造出30°直角三角形，而斜边长也是上下底之和，问题迎刃而解.证明：过D作DG∥AC交BC延长线于G，得ACGD,∴AD=CG，AC=DG,∴BG=BC+CG=BC+AD∵AC⊥BD，∴BD⊥DG，在Rt△BDG中,∠DBC=30°，∴DG=12 GB，∴AC=GD=12(BC+AD），∵EF是梯形中位线，∴EF=12(BC+AD)，∴AC=EF 尊敬的读者：ABCDE FGO图3本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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构造中位线巧解圆锥曲线题
徐志平（浙江金华一中 321000）
在求一些与圆锥曲线有关的题目时，通常需要先构造出三角形或梯形的中位线，然后借助中位线的性质定理来求解，现举例加以分析说明。

1．求点的坐标
例1. 椭圆13
122
2=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。

如果线段1PF 的
中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（）
A. 43±
B. 2
2± C. 23± D.
43± M 的坐标，只需先求点P 的坐标即可。

连接PF 2，由于M 是PF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，
所以MO 是21F PF ∆的中位线，又轴x MO ⊥，则有轴x PF PF MO ⊥22,//，3312=-=P x
2
3±=，43±=∴M
y ，故选（D ）。

例2．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线y 2
=x 上移动，记线段AB 的中点
为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。

分析：利用抛物线的定义，结合梯形的中位线性质定理可以解决问题。

解：抛物线的焦点)0,41(F ，准线方程：41
-=x ，上分别作点A 、B 、M 的射影A 1、B 1、M 1，则由MM 1
是梯形AA 1B 1B )(21
)(21111BF AF BB AA MM +=+=
，在ABF ∆可以取等号）
通径∴>≥+AB AB BF AF (，2
211=≥AB MM ∴M 到y 轴的最短距离=。

4
5
4123=-即45=M x 。

∴显然这时弦AB 过焦点），（04
1F 。

设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则有12
1x y = ① 22
2x y = ②，①-②得M
y x x y y x x y y y y 21))((2121212121=--⇒-=-+
M
AB y k 21
=
∴，又MF AB k k =，2
14145(21214
12
=-=⇒=
-
∴M M M M y y x y 22±
=∴M y ，即M 的坐标为)22
,45(或)22,45(- 以上两题的解法较多，以上给出的解法最为简洁。

在解题中要善于运用圆锥曲线的定义，并注意构造三角形与梯形的中位线，挖掘题目中隐含的几何性质，可使解题简明快捷，少走弯路。

2．求轨迹方程
例3．已知两个同心圆，其半径分别为R 、r(R>r>0)，AB 为小圆的一条直径，求以大圆切线为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 的轨迹方程。

分析：该题中A 、B 与准线之间的关系，可借助于抛物线的定义解决。

解：以小圆的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心为坐标原点建立平面直角坐标系（如图）。

则A(-r,0)、 B(r,0)，设Q 为大圆上的任一点，为过点Q 的切线，设抛物线的焦点F(x,y)，作 ⊥AC 于C ， ⊥BD 于D 由抛物线定义得：,,BD BF AC AF ==连接OQ ，在梯形ACDB 中，OQ 是中位线， R OQ BD AC BF AF 22==+=+∴,∴点F 到定点A 、B 的距离之和为定值2R ，由于∴=>r AB R 22点F 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆。

且a=R,c=r ,222r R b -=∴，其方程为：)0(12
22
22
≠=-+
y r R y R
x 。

本题借助于抛物线的定义建立关系，同时还要利用梯形的中位线进行过渡是关键。

解题时要注意建立合理的直角坐标系，还要注意轨迹的完备性和纯粹性。

3．判断直线与圆的位置关系
例4．设AB 是过椭圆左焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的坐准线
（）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 相交或相离
分析：要判断直线与圆的位置关系，只需比较
圆心到直线的距离与圆半径的大小即可。

解：设椭圆的左焦点为F ，离心率为e （0<e<1）设以AB 为直径的圆心为M ，半径为r ，在左准线上分别作点A 、B 、M 的投影为A 1、B 1、M 1
由于MM 1是梯形AA 1B 1B 的中位线，又有由椭圆的第二定义
知：e
BF B B e AF A A =
=11,，r e r e AB B B A A MM A >==+=∴2)(21
11. 即以AB 为直径的圆必与椭圆的坐准线相离。

故答案选（ C ）。

例5．设P 为抛物线)0(22>=P px y 上任一点，F 为其焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴的位置关系是（） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 由点P 的位置确定
分析：同例4。

解：设以PF 为直径的圆心为A ，半径为r ，则r PF 2=
在准线：2
p
x -=上分别作点P 、A 的投影为P 1、A 1，
PP 1、AA 1分别交y 轴分别为P 2、A 2，则由抛物线的定义知.,21p KF r PP ==由于AA 1是梯形KFPP 1的中位线，
22)(21
11p r P P KF AA +=+=，r p p r AA =-+=∴2
222，即以PF 为直径的圆与
y 轴相切。

故答案选（ B ）。

以上两题也可以用代数方法来做，但上述解法避免了要设出点的坐标，只要利用梯形的中位线以及直线与圆的位置关系来判断即可，解题思路清晰、明快。

4．判断两圆的位置关系
例6．已知点P 是椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）上的任意一点，21,F F 分别是左
右焦点。

求证：以PF 2为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切。

两圆的圆心距即可。

解：设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r 为直径的圆的圆心为O ，半径为a,因为
,2,2221r PF a PF PF ==+所以由椭圆的定义知
,221r a PF -=连接OA ，则OA 是21F PF ∆的中位线，由三角形的中位线的
性质定理，知.2
11r a PF OA -==故以PF 2为直径的圆必与以椭圆长轴为直径
的圆相内切。