傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式周期信号的傅里叶级数分析连续时间LTI系统的时域分析：以冲激函数为基本信号系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积傅立叶分析以正弦函数或复指数函数作为基本信号系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分；周期信号：定义在区间(，)，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号，如图所示。
它可表示为f (t)=f ( t+m T )其中m为正整数，T称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f t周期信号的特点:(1)它是一个无穷无尽变化的信号, 从理论上也是无始无终的,f，则周期信(2)如果将周期信号第一个周期内的函数写成号(t)可以写成(3)周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有1.三角形式的傅立叶级数周期信号f(t)，周期为T ，角频率1该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。
f (t ) a 0 a 1 cos( 1t )b 1 sin( t ) a 2 cos(2 t )b 2 sin( 2 t )兔 cos(n t )b n sin( n t )a 0a n cos(n t )b n sin( n t )n 1a b式中各正、余弦函数的系数 n ， n 称为傅立叶系数，函数通过它 可以完全表示 傅立叶系数公式如下f(t)nf °(t nT)f(t)dtaf(t)dtbf(t)dt前面的级数可展成指数形式系数n1 0 f (t )d tT tI 02 t o TT f (t ) cos n t d t------ 1 02 to Tb n— f (t )sin n t d tT %a 。
a n n 1,2,n 1,2,式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取(0,T )三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式 f (t ) C oc n cos( n tn 1n )或f (t ) d od n sin( n 1n 1n)两种形式之间系数有如下关系：C o a o d 0Cn d ndarctga narctga nb nan c n cos d n Sin n n 1, 2,bn c n sind n cOS n2.指数函数形式的傅里叶级数利用欧拉公式：e jn1e jn1 cos(n门 2 —e jn 1cos(n t) sin( n 1t) sin( n t) j e J「；e jn 1cos(n -) j sin( n t)f(t) a。
ch3.周期信号的傅里叶级数展开
周期信号的傅里叶级数展开：1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w Tπ=，所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞==++∑其中：2021()TT a f t dt T -=⎰2122()cos TT n a f t nw tdt T -=⎰2122()sin TT n b f t nw tdt T -=⎰ 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式：011()cos()nn n f t c cnw t ϕ∞==++∑其中：00c a =n c =nn nb tg a φ=-（3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1jnw t e1()jnw tnn f t F e∞=-∞=∑其中1221()Tjnw t T n F f t e dt T --=⎰注意：（1）幅度谱和相位谱nj n n F F e φ= ：偶谱和奇谱与三角形式间的关系（2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞==+∑0n b =或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c a =||n n c a =0,0,0n n n a a ϕπ>⎧=⎨<⎩（2）奇函数：11()sin n n f t b nw t ∞==∑00n a a ==或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c =||n n c b =,02,02nn nb b πϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩（3）奇谐函数：()()2T f t f t =-±其傅里叶级数展开式中仅含奇次谐波分量，即： 0240a a a ====2460b b b ====4. 典型周期矩形脉冲的傅里叶级数信号()f t ，周期为T ，脉宽为τ，脉幅为E（1）三角形式011()cos nn f t a anw t ∞==+∑0n b =其中：2202211()T T E a f t dt Edt T T Tτττ--===⎰⎰211222cos 2n E a E nw tdt Sa nw T T ττττ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 谐波形式：011()cos()n n n f t c c nw t φ∞==++∑其中：00c a =n nc a =， {0,0,0n n n a a ϕπ>=<（2）指数形式：1()jnw t n n f t F e ∞=-∞=∑其中：11222211()T jnw tjnw t T n F f t e dt Ee dt T T ττ---==⎰⎰112E Sa nw T ττ⎛⎫=⎪⎝⎭（3）幅度谱和相位谱的特点 谱线间隔和频谱宽度二．傅里叶变换 ()()jwt F w f t e dt ∞--∞=⎰1()()2jwt f t F w e dw π∞-∞=⎰特点：（1）()()()j w F w F w e ϕ=幅频函数和相频函数（2）变换条件：|()|f t dt ∞-∞<∞⎰ （3）()f t 也是由许多频率分量构成三．常见信号的傅里叶变换对 单边指数衰减信号,0()0,0t e t f t t α-⎧>=⎨<⎩，0α> ↔1()F w jw α=+ 双边指数衰减信号||,0(),0t t te tf t ee t ααα--⎧>==⎨<⎩ ↔222()F w w αα=+矩形脉冲(),2f t E tτ=<↔ ()()2F w E Sa w ττ=符号函数()sgn()f t t = ↔2()F w jw=冲击函数()()f t t δ= ↔ ()1F w = ()()f t t δ'=↔ ()F w jw =()()()n f t t δ=↔ ()()nF w jw = 直流信号()1f t = ↔ ()()2F w w πδ=()f t jt =-↔ ()()2F w w πδ'=()()nf t jt =-↔()()()2n F w w πδ=阶跃信号()()f t u t = ↔()1()F w w jwπδ=+四．傅里叶变换的性质 1.线性性2.奇偶虚实性：()f t 为实函数()()()cos ()sin jwtF w f t edt f t wtdt j f t wtdt ∞∞∞--∞-∞-∞==-⎰⎰⎰（1）()f t 为实偶函数，虚部()()sin 0X w f t wtdt ∞-∞==⎰ （2）()f t 为实奇函数，实部()()cos 0R w f t wtdt ∞-∞==⎰3. 对称性4.时移性5. 尺度变换：时域压缩，频谱扩张 时域扩张，频谱压缩 时域反褶，频谱反褶6.频移性：00()()jw tF f t e F w w ⎡⎤=-⎣⎦[][]001()cos ()()2F f t wt F w w F w w =-++[][]001()sin ()()2F f t wt F w w F w w j=--+ 7.时域微分：[]()()F f t jwF w '=()()()()n nF f t jw F w ⎡⎤=⎣⎦8.频域微分：[]()()F jtf t F w '-=()()()()n n F jt f t F w ⎡⎤-=⎣⎦9.时域卷积：()()()1212()F f t f t F w F w *=⎡⎤⎣⎦ 10.频域卷积：五．周期信号的傅里叶变换：（1） 周期信号的傅里叶级数展开式：1()jnw tnn f t F e ∞=-∞=∑（2） 周期信号的傅里叶变换：1()2()nn F w F w nw πδ∞=-∞=-∑特点：（ⅰ）频谱为冲击谱 （ⅱ）强度为2n F π（ⅲ）谱线位于谐波处（1nw ）（ⅳ）()1120211()|Tjnw t jwt T n w nw F f t e dt f t e dt T T∞--=-∞-==⎰⎰()101|w nw F w T==其中：0()f t 为周期信号的第一个脉冲， ()0F w 为0()f t 的傅里叶变换。
信号与系统王明泉第三章习题解答
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
信号与系统§4.2 傅里叶级数
m≠n
■ 第 2页
2．级数形式
设周期信号f(t)，其周期为 ，角频率Ω π ， 设周期信号 ，其周期为T，角频率Ω=2π/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级 条件时 狄里赫利 条件 数—— 称为f(t)的傅里叶级数 称为 的
∞ a0 ∞ f (t) = + ∑an cos(nΩt) + ∑bn sin( nΩt) 2 n=1 n=1
▲ ■ 第 9页
▲ ■ 第 6页
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确， 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感 的傅里叶级数 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 指数形式的傅里叶级数 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 虚指数函数集{e 虚指数函数集 jn t，n=0，±1，±2，…} ， ， ，
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 • A0/2为直流分量 为 • A1cos(Ωt+ϕ1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周 称为基波或一次谐波 Ω 称为基波或一次谐波， 期信号相同 • A2cos(2Ωt+ϕ2)称为二次谐波，其频率是基波的 倍 称为二次谐波 Ω ϕ 称为二次谐波，其频率是基波的2倍 Ω 称为n次谐波。 一般而言，Ancos(nΩt+ϕn)称为 次谐与谐波特性
T 2 2 2 an = ∫ f (t) cos(nΩt) dt bn = ∫ T f (t) sin( nΩt) d t T T −2
T 2 T − 2
1 .f(t)为偶函数 为偶函数——对称纵坐标 为偶函数 对称纵坐标
f (t) = f (−t)
bn =0，展开为余弦级数。 =0，展开为余弦级数 余弦级数。
信号与系统教案第4章FT的性质
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量；
A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
信号与系统 电子教案
第四章 连续系统的频域分析
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
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第4-1页
信号分解为正交函数 傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱——傅里叶变换 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 取样定理
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■
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a0 f (t ) a n cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
2 an T
第4-10页
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
■
T 2 T 2
f (t ) cos(nt ) d t
2 bn T
信号与系统 电子教案
4.2
傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波 分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
0 f(t)
T/2
T
t
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算不便，因
而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 欧拉公式：cosx=(ejx + e–jx)/2
信号与系统基础-第4章
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
应用高等数学-6.1 傅里叶变换
例8
试证单位阶跃函数
F () F[(t)] (t)e jt d t e jt 1
t0
显然， (t)与常数1构成了一傅氏变换对，按
逆变换公式有
(t)
F
1[F ()]
1 2π
e
jt
d
由上式可得 e jt d 2π (t)
（6-9）
这是一个关于δ函数的重要公式．
例5 证明：1和 2π ()构成傅氏变换对．
f
(t)
1, 1,
π t 0 0 t π
如何将函数展开为傅里叶级数的三角形式．
解： 由定理6.1可得 0 1，a0 0，an 0 (n 1, 2,L )
bn
1
π
f (t)sin ntdt
π
π2
π
sin ntdt
0
nπ 2 (cos
nt
π
) 0
nπ 2 (1 cos nπ)
nπ 2 [1 (1)n ]
2π ( 0 )
例7 求正弦函数 f (t) sin 0t 的傅氏变换．
解：
F() F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
1 (e j0t e j0t )e jt d t
2 j
1 (e j(0 )t e j(0 )t ) d t
2 j
jπ[ ( 0 ) ( 0 )]
式中当t=0可得重要积分公式
sin
x
d
x
π
0x
2
例4
求单边指数衰减函数
f
(t)
0, et ,
t0 t0
( 0)
的频谱函数、振幅谱、相位谱．
第2章 信号与系统分析基础2
[f2(t)] = F2(ω) • 时域卷积定理
[f1(t)﹡f2(t)]=F1(ω)F2(ω) • 频域卷积定理
[f1(t) ·f2(t)]=1/(2π) F1(ω)﹡F2(ω)
例2.5.13利用卷积定理求三角脉冲的频谱
f(t)=g(t)g(t)
F(ω)=G(ω)·G(ω)
g(t)
例2.5.14利用卷积定理求有限长余弦信号的 频谱
dt
= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt
f(t)=
F(nω1)
e-jnω1t
n-
=
F(nω1)
/
ω1•
e-jnω1t
Δ(nω1)
nω1-
在极限情况下， nω1ω， Δ(nω1) dω1, nωF1(-nω1)∫∞/-∞ω1F(ω) / 2π
f(t)=1/(2π) ∫∞-∞F(ω)ejωt dω
结论:
(4)频带宽度（带宽）
频谱图上第一个零点以内的范围，记作B。 例：对周期矩形脉冲信号，
Bω=2 π /τ
或
Bf=1/τ
2.5.2傅里叶变换
• 傅里叶正变换
F(ω)= [f(t)]= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt
F(ω)=|F(ω)|e jφ(ω)
• 傅里叶逆变换
f(t)= -1 [F(ω)]= 1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωt dω
f(t)
E
0
-T1
-τ/2 τ/2
T1
t
f(t)=a0+∑ [ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)] n=0
其中：
a0=1/T1∫T1/2-T1/2f(t)dt=1/T1∫τ/2τ/2Edt=Eτ/T1 an=2/T1 ∫T1/2-T1/2f(t)cos(nω1t)dt
傅立叶级数指数形式
F(0) 1 T
T
2 T
2
f (t)dt 0
得到傅立叶级数的指数形式：
f (t) F (n1)e jn1t n
j E (1)ne jn1t
n 2n
n0
其中，F (n1)
E
2n
(n 1,2,)
n
2
n
2
n为正奇数和负偶数 n为负奇数和正偶数
指数展开式的频谱图
| F(n1 ) |
E
E
E E 4
2
2 E 4
E
6
6
31 21 1 0 1 21 31 n1
(a) 幅度频谱
n
2
21
31
1 0
1
3 1
21
n1
2
(b) 相位频谱
周期信号的频谱只在于0，±ω1， ±2ω1 ，… ±nω1 ，…等离散的谐波点上出现。
因此离散性是周期信号的重要特征。指数形式频 谱图同样具有谐波性、收敛性（幅度频谱）。
F
(n1
)
1 T
T
2 T
2
f (t)e jn1tdt
式中，n从－∞到∞的整数。
周期信号f(t)与它的谱系数F(nω1) 构成了一一对应关系。
即f(t)↔F(nω1)。
谱系数一般情况下是复函数，即有：
F (n1) | F (n1) | e jn
|F(nω1)|与nω1的关系图称为幅度频谱； θn与nω1的关系图称为相位频谱。
傅立叶变换
对于周期为T的周期函数，在满足狄利克雷条件 下，都可以由这些指数函数的线性组合来表示，称 为f(t)的傅立叶级数的指数形式，即
f (t) F0 F1e j1t F2e j21t Fne jn1t
3.1-2 周期信号的傅里叶级数分析
2 t0 T1 an t0 f (t ) cos n1tdt T1
2 t0 T1 bn t0 f (t ) sin n1tdt T1
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 e e n1 n1 2 2 F0 Fn e
还得出了关于非周期信号的表示不是成谐波关系的正弦信 号的加权和，而是不全成谐波关系的正弦信号的加权和。和傅 立叶级数一样，傅立叶积分(或变换)仍然是分析LTI系统的最 强有力的工具之一。 当时指定了四位著名的科学家和数学家来评审1807年傅立 叶的论文，其中三位即S.F.拉克劳克斯、G.孟济和P.S.拉普拉 斯赞成发表傅立叶的论文，而第四位J.L.拉格朗日仍然顽固地 坚持他于50年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的论点。 由于拉格朗日的强烈反对，傅立叶的论文从未公开露过面，为 了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表，在经过了几 次其它的尝试后，傅立叶才把他的成果以另一种方式出现在 “热的分析理论”这本书中。这本书出版于1822年，也即比他 首次在法兰西研究院宣读他的成果时晚15年。
n1
jn1t
Fn e jn1t
n1 jn1t
F0 Fn e
n1
jn1t
Fn e
n1
又有
F0 Fn e jn1t
n 0
于是，可将上式写成紧凑的形式：
f (t ) Fn e
n
jn1t
（注意n的取值范围与 三角形傅氏级数不同）
到1807年，傅立叶已完成了关于热传理论实质部分的研究， 并于1807年12月21日向法兰西研究院提交了他的研究成果。在 他的研究过程中，傅立叶发现在表示一个物体的温度分布时， 成谐波关系的正弦函数是非常有用的，另外，他还断言“任何” 周期信号都可以用这样的级数来表示！虽然在这一问题上，他 的论述是很有意义的，但是隐藏在这一问题后面的其它很多基 本概念已经被其他科学家们所发现；同时傅立叶的数学证明也 不是很完善的。后来1829年P.L.狄里克雷给出了若干精确的条 件，在这些条件下一个周期信号才可以用一个傅立叶级数来表 示，因此，傅立叶并没有对傅立叶级数的数学理论作出贡献， 然而，他确实洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大 程度上正是由于他的工作和断言，才大大激励和推动着傅立叶 级数问题的深入研究。另外，傅立叶在这一问题上的研究成果 比他的任何前驱者都大大前进了一步，这指的是他
周期信号的傅里叶级数分析
实验三周期信号的傅里叶级数分析一、实验目的熟悉连续时间周期信号的傅里叶级数分解原理及方法，掌握周期信号的傅里叶频谱的概念及计算方法，熟悉相应MATLAB 函数的调用格式和作用，掌握利用MATLAB 计算傅里叶级数系数及绘制频谱图的方法。
二、实验原理（一）周期信号的傅里叶级数分析原理按傅里叶分析的原理，任何周期信号都可以用一组三角函数)}cos(),{sin(t n t n ΩΩ的组合表示。
1、三角函数形式的傅里叶级数∑∞=Ω+Ω+=+Ω+Ω+Ω+Ω+=1022110)]sin()cos([2...)2sin()2cos()sin()cos(2)(n n n t n b t n a a t b t a t b t a a t f （1） 式中，n n b a a ,,0称为傅里叶系数。
()dt t f T a TT ⎰-=22012()...3,2,1)cos(222=Ω=⎰-n dt t n t f T a TT n ，(),...3,2,1,)sin(222=Ω=⎰-n dt t n t f T b TT n即可以用一组正弦波和余弦波合成任意的周期信号。
式（1）的三角函数形式傅里叶级数可以写成余弦函数的形式：∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A A t f ϕ其中：00a A =，22n n n b a A +=,nn n a b arctan -=ϕ 2、指数函数形式的傅里叶分析其中系数3、周期信号的频谱（1）三角函数形式频谱w A n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（2）指数函数形式频谱 w F n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（二）周期信号的傅里叶级数的MATLAB 实现例1：试用MATLAB 求如图1所示的周期方波信号的傅里叶级数分解。
解：周期方波信号是一个偶函数，又是一个奇谐函数，因此其傅里叶级数只含有奇次谐波的余弦项，即周期方波信号可以分解为： ()...5,3,1)cos(5.04)cos(244-22=Ω=Ω=⎰⎰-n dt t n T dt t n t f T a TT T T n ， 求傅里叶系数的程序如下：syms t n T;∑∞-∞==n t jn n F t f Ωe )(⎰-=22-Ωd e )(1T T t jn n t t f T F w n ~ϕw n ~ϕy=0.5*cos(n*2*pi/T*t);an=(4/T)*int(y,-T/4,T/4);运行结果为：an=2*sin(1/2*pi*n)/pi/n则此周期方波信号可以分解为：）（,...5,3,1)2sin(2,0===n n n a b n n ππ 将其展开为三角函数形式的傅里叶级数：,...)3,2,1()cos(2sin 2)(...])5cos(51)3cos(31)[cos(2(12==-+-=∑∞-=j nwt n n t f wt wt wt t f j n πππ） 例2：根据例1的结果，试用正弦信号的叠加近似合成一频率为50Hz ，幅值为3的方波。
傅里叶变换的证明
§3.1 引言
法国数学家傅里叶有两个最主要的贡献: 1 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权 和. 2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示. 本章要点: 1 建立信号频谱的概念. 2 利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散频谱. 3 利用傅里叶积分(变换)分析非周期信号的连续频谱. 4 理解信号时域与频域间的关系. 5 用傅里叶变换的性质进行正、逆变换. 6 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理.
t0 T1
t0
cos(nw m, n 1t ) sin(mw 1t )dt 0 所有
利用正交函数系性质推 导系数an , bn
3 满足狄利克雷条件:(充分条件) ①在一个周期内，若有间断点存在，间断点数目应该是有限个 ②在一个周期内,极大值和极小值数目应该是有限个 ③在一个周期内,信号绝对可积
T
n2 f (t ) sin(nw1t )dt 0
n为奇数 n为偶数
2 1 f (t ) [sin(w1t ) 1 3 sin(3w1t ) 5 sin(5w1t ) ]
2 1 1 [cos(w1t 2 ) 3 cos(3w1t 2 ) 5 cos(5w1t 2 ) ]
n1
c0 1 c1 a12 b12 5
0 0 1 arctan
b1 a1
c2 1
Cn
Fn
n
w
相位频谱
w1 2 w1 3w1
幅度频谱
w
二:周期性方波信号的频谱
1
奇函数
1
T1 2
只含正弦项 奇次谐波项,奇次正弦项
T1
t
奇谐函数
f (t ) a0 [an cos(nw1t ) bn sin(nw1t )]
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式一、傅里叶级数的三角形式f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中a0是直流分量，an和bn是正弦和余弦函数的系数，ω=2π/T 是角频率，n为正整数。
在傅里叶级数的三角形式中，每一项可以看作是一个振荡频率为nω的正弦或余弦波。
系数an和bn决定了每个振荡波的振幅。
因为正弦和余弦函数具有良好的振荡性质，傅里叶级数的三角形式特别适用于描述周期性信号。
f(t) = Σ(cne^(inωt))其中cn是复指数函数的系数，ω=2π/T是角频率，n为整数。
在傅里叶级数的指数形式中，每一项可以看作是一个振荡频率为nω的复指数波。
系数cn决定了每个振荡波的振幅和相位。
因为复指数函数具有完备性，可以表示任意信号，傅里叶级数的指数形式特别适用于描述非周期性信号。
三、三角形式和指数形式的比较三角形式和指数形式是等价的，可以通过欧拉公式相互转化。
但它们在使用形式和理解方式上有所差异。
1.表达形式：三角形式使用正弦和余弦函数来表示信号，而指数形式使用复指数函数来表示。
复指数函数具有更为简洁的形式，可以统一表示正弦和余弦函数。
2.计算方便性：三角形式在进行级数展开和计算各项系数时更加直观和容易理解，可以通过积分和傅里叶级数的性质来计算系数。
而指数形式在进行级数展开时具有更好的数学性质，方便进行求和和求导运算。
3. 物理意义：三角形式的系数an和bn可以直接反映信号的振幅和相位，有较强的物理意义。
指数形式的系数cn由振幅和相位共同决定，更侧重于信号的频域特性。
4.应用领域：三角形式更适用于周期性信号的分析和处理，如音频信号和电力系统中的周期性波形。
指数形式更适用于非周期性信号的频谱分析和信号处理，如通信系统中的调制信号和任意信号的变换分析。
综上所述，傅里叶级数的三角形式和指数形式在表达形式、计算方便性、物理意义和应用领域等方面存在差异。
根据不同的信号特性和分析要求，可以选择适合的形式进行信号的分解和处理。
傅里叶级数
得信号的傅立叶展开式为： 得信号的傅立叶展开式为：
f (t ) = 1 4 1 1 sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + ⋯ + sin( nΩt ) + ⋯, n = 1,3,5,⋯ π 3 5 n
它只含一、 奇次谐波分量。 它只含一、三、五、…奇次谐波分量。
n
因为傅里叶系数 将
an b 和
n
Fn =
1 1 1 An e jϕn = ( An cos ϕ n + jAn sin ϕ n ) = (an + jbn ) 2 2 2
系数公式带入上式得
1 Fn = T
∫
T 2
−T 2
1 f (t ) cos(nΩt )dt − j T
∫
T 2
−T 2
f (t ) sin(nΩt )dt
0, 2 = [1 − cos(nπ )] = 4 nπ nπ ,
n = 2,4,6,⋯ n = 1,3,5,⋯
将系数代入下面的式子： 将系数代入下面的式子：
∞ a0 ∞ f (t ) = + ∑ an cos(nΩt ) + ∑ bn sin( nΩt ) 2 n =1 n =1
某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 的波形有关 而且与时间坐标原点的选择 有关， 时间坐标原点的选择有关 的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关 如下图是三角波的偶函数。 。如下图是三角波的偶函数。 f (t )
T 1 − 2 T 2
0
f (t )
坐标原点左移
∑Aeϕe
n
n
典型周期信号的傅里叶级数
d
X(j)ejt
X(jk0)ej0t
x(t)21 X(j)ejtd1
0
2 T
k 0
0
于是,对非周期信号,有傅里叶变换对:
x(t)
1
2
X( j)ejtd 1
反
X( j)
x(t)e jtdt
2正
(e j t )
复 杂 信 号 ＝ 系 数 （ ） 基 本 信 号 （ ）
系 数 （ ） ＝ 复 杂 信 号 （ 与 ） 基 本 信 号 （ ）
F(j)ejtd
F( ) f(t)ejtdt
也是常用的形式
傅立叶变换的理解
周期信号的叶 指级 f数 T(t数 )型 Fn傅 ejn1t表 里明，
n
周期信号可限 以多 分个 解 n 频 1、 为 复率 无 振为 F幅 n的为 指
数分 ejn1t量 的离散和；
非周期信 傅号 里的 叶变 f(t)换 1
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
f(t)E T 1 2 T E 1n 1Sa(n 2 1 )cosn1t
F n1 2(anjn b )1 2anE T 1 S(n a 21 )
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
f(t)E S(an 1 )ejn 1t
T1 n
2
2、频谱 c0
E T1
规律收. 敛
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。
T
f (t)
A
T
22
t
解(： 1) f (t)是偶函数，故只含 数有 项常 和余弦项。
T
a0T 1
2 T
f(t)d t 2 T
2AdtA
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周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号
系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析
以正弦函数或复指数函数作为基本信号
系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间
，每隔一定时间 T ，按相同
规律重复变化的信号，如图所示 。
它可表示为 f (t )=f ( t +m T )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
周期信号的特点：
（1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，
时间范围为
（2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成
，则周期信
号
可以写成
(,)-∞∞(,)-∞∞()f t
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有
1. 三角形式的傅立叶级数
周期信号
，周期为1T ，角频率
11122T f π
πω=
=
该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。
[]∑∞
=++
=++++++++=1
1
1
011121211110)sin()cos(...)sin()cos(...
)2sin()2cos()sin()cos()(n
n n n n t n b t n a a t n b t n a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω
式中各正、余弦函数的系数
n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示。
傅立叶系数公式如下
0()()
n f t f t nT ∞
=-∞
=
-∑
()()()a T
b T
T
a
b
f t dt f t dt f t dt
++=
=⎰
⎰
⎰f t ()
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧=====⎰⎰⎰+++
,2,1d sin )(2,2,1d cos )(2d )(100
00
110n t t n t f T b n t t n t f T a t t f T a T
t t n T
t t n T
t t ωω
式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取
) ,0(T 或
)
2 ,2(T
T
-
三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式
∑∞
=++
=1
1
0)
cos()(n
n n t n c c t f ϕω或
∑∞
=++
=1
1
0)
sin()(n
n n t n d d t f θω
两种形式之间系数有如下关系:
n
n n n n n n n n n b a
arctg a b arctg
b a d
c
d a c =-=+=
===θϕ,2
2
000⎭⎬
⎫
=-====n n n n n n d c b n d c a θϕθϕcos sin ,2 ,1 sin cos n n n n
2．指数函数形式的傅里叶级数
)sin()cos()sin()cos(2
)sin(2)cos(:
利用欧拉公式111111111111t n j t n e t n t n e e e j
t n e e t n t jn t jn t
jn t jn t jn t jn ωωωωωωωωωωωω-=+=-=+=---
[]∑∞
=++
=1
1
1
0)sin()cos()(n
n n t n b t n a a t f ωω
∑∞
=---+++
=1
0]
2
2
[1
1
1
1
n
t
jn t jn n
t
jn t jn n e e jb e e a a ωωωω
∑∞
=-++-+=10]
)(21)(21[11n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω
令：()
n n b a n F j 21
)(1-=ω
()()⎰
⎰
-=
T
T
t
t n t f T
t t n t f T
10
1d sin )(1
j
d cos )(1
ωω
由欧拉公式
⎰
-=
T
t
n t
t f T
j d e )(1
1
ω
()
n n b a n F j 2
1
)(1+=-ω
()()⎰
⎰
+=T
T
t
t n t f T
t t n t f T
10
1d sin )(1
j
d cos )(1
ωω⎰
=
T
t
n t
t f T
j d e
)(1
1ω
令：
0)0(a F = 前面的级数可展成指数形式系数
e )()(1
j 1
t
n n n F t f ωω∑∞
-∞
==
d e )(1
)(1
1
j 1⎰
-=
=T t
n n t t f T
n F F ωω
与三角形式不同。
),,(的区间为这里:注意∞-∞n ()惟一确定。
则，)(出给如合。
组性线的e 号信数可分解成号周期信1j 1t f n F t
n ωω
有模和辐角,是一个复数)(注意：1ωn F
n
n
n n a b
arctg b a jb a n F 辐角等于2
其模等于
),(21)(由于221+=±ω
n
n
n n n n a b arctg
b a
c -=+=
ϕ;:在傅立叶三角表示式中2
2
()n
n
n c n F F ϕω±=
相角辐角等于三角表示的初;2
的模可知系数1)
(一地表示了他唯
,变化而变化的复数)(是一个随着频率)(11t f n n F ωω在傅立叶级数中，无论三角函数表示还是指数函数表示，都是通过三个量完整地表示一个函数：
n
n n c n F n n ϕωωωω下基底的相位值在)3(或)(下基底的幅度值在)2(频率)1(1111
)cos(三角表示的基底为指数表示的基底为11t n e
t
jn ωω。