傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
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周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号
系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析
以正弦函数或复指数函数作为基本信号
系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间
，每隔一定时间 T ，按相同
规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
周期信号的特点：
（1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，
时间范围为
（2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成
，则周期信
号
可以写成
(,)-∞∞(,)-∞∞()f t
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有
1. 三角形式的傅立叶级数
周期信号
，周期为1T ，角频率
11122T f π
πω=
=
该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。
[]∑∞
=++
=++++++++=1
1
1
011121211110)sin()cos(...)sin()cos(...
)2sin()2cos()sin()cos()(n
n n n n t n b t n a a t n b t n a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω
式中各正、余弦函数的系数
n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示。 傅立叶系数公式如下
0()()
n f t f t nT ∞
=-∞
=
-∑
()()()a T
b T
T
a
b
f t dt f t dt f t dt
++=
=⎰
⎰
⎰f t ()
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧=====⎰⎰⎰+++
,2,1d sin )(2,2,1d cos )(2d )(100
00
110n t t n t f T b n t t n t f T a t t f T a T
t t n T
t t n T
t t ωω
式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取
) ,0(T 或
)
2 ,2(T
T
-
三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式
∑∞
=++
=1
1
0)
cos()(n
n n t n c c t f ϕω或
∑∞
=++
=1
1
0)
sin()(n
n n t n d d t f θω
两种形式之间系数有如下关系:
n
n n n n n n n n n b a
arctg a b arctg
b a d
c
d a c =-=+=
===θϕ,2
2
000⎭⎬
⎫
=-====n n n n n n d c b n d c a θϕθϕcos sin ,2 ,1 sin cos n n n n
2．指数函数形式的傅里叶级数
)sin()cos()sin()cos(2
)sin(2)cos(:
利用欧拉公式111111111111t n j t n e t n t n e e e j
t n e e t n t jn t jn t
jn t jn t jn t jn ωωωωωωωωωωωω-=+=-=+=---
[]∑∞
=++
=1
1
1
0)sin()cos()(n
n n t n b t n a a t f ωω
∑∞
=---+++
=1
0]
2
2
[1
1
1
1
n
t
jn t jn n
t
jn t jn n e e jb e e a a ωωωω
∑∞
=-++-+=10]
)(21)(21[11n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω
令：()
n n b a n F j 21
)(1-=ω
()()⎰
⎰
-=
T
T
t
t n t f T
t t n t f T
10
1d sin )(1
j
d cos )(1
ωω
由欧拉公式
⎰
-=
T
t
n t
t f T
j d e )(1
1
ω
()
n n b a n F j 2
1
)(1+=-ω
()()⎰
⎰
+=T
T
t
t n t f T
t t n t f T
10
1d sin )(1
j
d cos )(1
ωω⎰
=
T
t
n t
t f T
j d e
)(1
1ω
令：
0)0(a F = 前面的级数可展成指数形式系数
e )()(1
j 1
t
n n n F t f ωω∑∞
-∞
==