几种特殊函数的图象及应用

几种特殊函数的图象及应用

函数学习中，除了二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数外，还有一类分式函 数、绝对值函数也常常出现．这类函数问题，虽说借助于导数等工具也能解决，但如果能够掌握这 类函数的基本图象特征，便能起到事半功倍的效果．本文介绍四个最常见的函数模型及其图象特征， 并在实际问题中借助于换元、分离变量等手段将函数表达式转化为这几个函数模型之一，根据函数 图象，迅速找到解决问题的切入点和解题思路．

先了解这四个基本函数：

①函数y = 1 (图1)；②函数y = x + 1 (图2)； xx

从函数的图象很容易看出函数的对称性、单调性、值域等性质，下面看它们各自的应用．

c 1 1

一、形如y =a + c (c 0)的函数可利用函数y = 1 (或y = - 1 )的性质．当c 0时，函

x -b x x

cc 数y =a +c

的图象可看成由函数y = c 的图象左右、上下平移得到，在区间(-,b )、(b ,+)上 x -b x

cc

分别递减；当c 0时，函数y = a + c

的图象可看成由函数y = c 的图象左右、上下平移得到， x -b x

在区间(-

,b )、(b ,+)上分别递增．

例1 函数 f (x )= lg kx -1(k 0)在

10,+

)上单调递增，求实数k 的取值范围．

x -1 kx - 1

kx - 1

解析：令f (x )=lg t ,t =

kx -1

，由复合函数单调性及题意可得:t = kx -1

需满足两个条件：① x - 1 x - 1

t 在 x 10,+

)上单调递增；②t

0在 x 10,+

)上恒成立．

kx - 1

k - 1

考虑t = = k +

(x 1) x - 1 x - 1

当 k = 1 时， f (x ) = 0 不合题意，舍去； 当k 1时，t 在(- ,1),(1,+)上均递减，不合题意，舍去； 当0

k 1时，t 在(-,1),(1,+

)上均递增，

t 也在

10,+

)上递增，且当x =10时，

图 4 )．

综上所述，实数k 的取值范围是

1

,1

．

二 、形如 y =ax +b +c (a ,b

0) 的函 数可利 用函数

x

y =x +1 的性质．类似地，如图5，函数y = ax + b (a , b 0)在

-

b

区间(-

,- b ］、［ b ,+)上递增，在区间［- b ,0) 、 a a a

图5

例 2 已知a

R ,函数 f (x ) = 2ax 2 + 2x - 3 -

a 在区间［-1,1］上有零点,求实数a 的取值范围．

解 析：“ 函数f (x )=2ax 2+2x -3-a 在区间［-1,1］上 有零 点”等价 于“ 方程 2ax 2

+2x -3-a =0在区间［-1,1］上有解”．显然a

0，可得1

=

a

可得 = = (t + )-3,∴

[ 7 -3,0)(0,1],解得a (-,- ] [1, +) ．

a 2t

2t a 2

例 3 已知集合 A =

(x ,y )x 2 +mx -y +2=0

，B =

(x ,y )x - y +1=0,0

x 2

，如果

A B

，求实数m 的取值范围．

解析：A

B

，即方程x 2 +mx -y +2=0与方程x -y +1=0(0

x 2)的图象有公

共点，消去y 得关于x 的方程x 2 +(m -1)x +1=0在

0,2上有解，显然x =0不是方程的解，当

x

(0,2

可得1- m = x +1．

x

∴1-m

2，即m -1．

三 、形如 y =ax -b +c (a ,b

0) 的函 数可利 用函数

x

y =x -1的性质．类似地，如图6，函数y =ax -b (a ,b 0)在

xx

10k - 1 9 0， 2x 2 -1

3-2x

，令t =3-2x [1,5]，

即

k

10,

y

O

上递减．其中，

由 ax = 时解得． x

图6

例 4 函数 f (x )=ax 2 +(1-4a )x +4a (a

1)在区间

- 2,2

上的最大值、最小值分别为 M 、

m ，记g (a ) = M + m ，求 g (a )的最小值．

g (a )=16a - 1

(a 1)，由g (a ) 图象易得g (a )在［1,+)上递增， 4a

g min (a ) = g (1) = 63．

四、形如y =ax -b +c (a

0)的函数可利用函数y = x 的性质．当a 0时，函数 y =a x -b +c 在区间(-

,b ］上递减、在区间［b ,+)上递增；当a 0时，函数y =a x -b +c 在 区间(-,b ］上递增、在区间［b ,+)上递减．

例 5 若函数 f (x ) = a x - b + 2 在0,+)为增函数，分别确定实数 a ,b 的取值范围． 解析：函数y = x 在(-

,0)上递减、

0,+

)上递增；函数y =-x 在(-,0)上递增、在

0,+

)

上递减．函数f (x )的图象可由y = x 的图象经过平移伸缩变换得到，不难得到a

0,b 0 ．

例 6 若关于 x 的不等式x 2

2- x -t 至少有一个负数解，求实数t 的取值范围．

解析：考察函数y = 2 - x 2与y =| x - t |的图象，如图7，当t 在区间 (t 1,t 2)内变化时，两函数的图象在y 轴左侧有交点，x 2

2-x -t 至少有一

P

t 1 o t 2

x

个负数解．当t =t 1时，两图象相切，由

=0，可求得t =-9，当t =t 2时，

图7

y =|x -t |经过点 P(0,2)，解得 t 2 = 2 ，所以 t - ,2

．

五、综合应用．

区间(-,0)、(0,+)上分别递增．其中，

解析： 由题得 f (x )的对称轴x = 2-

由 ax = 时解得．

1

2a

M = f (- 2 ) = 16a - 2 ，

8a - 1

4a