几种特殊函数的图象及应用

几种特殊函数的图象及应用
函数学习中，除了二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数外，还有一类分式函 数、绝对值函数也常常出现．这类函数问题，虽说借助于导数等工具也能解决，但如果能够掌握这 类函数的基本图象特征，便能起到事半功倍的效果．本文介绍四个最常见的函数模型及其图象特征， 并在实际问题中借助于换元、分离变量等手段将函数表达式转化为这几个函数模型之一，根据函数 图象，迅速找到解决问题的切入点和解题思路．
先了解这四个基本函数：
①函数y = 1 (图1)；②函数y = x + 1 (图2)； xx
从函数的图象很容易看出函数的对称性、单调性、值域等性质，下面看它们各自的应用．
c 1 1
一、形如y =a + c (c 0)的函数可利用函数y = 1 (或y = - 1 )的性质．当c 0时，函
x -b x x
cc 数y =a +c
的图象可看成由函数y = c 的图象左右、上下平移得到，在区间(-,b )、(b ,+)上 x -b x
cc
分别递减；当c 0时，函数y = a + c
的图象可看成由函数y = c 的图象左右、上下平移得到， x -b x
在区间(-
,b )、(b ,+)上分别递增．
例1 函数 f (x )= lg kx -1(k 0)在
10,+
)上单调递增，求实数k 的取值范围．
x -1 kx - 1
kx - 1
解析：令f (x )=lg t ,t =
kx -1
，由复合函数单调性及题意可得:t = kx -1
需满足两个条件：① x - 1 x - 1
t 在 x 10,+
)上单调递增；②t
0在 x 10,+
)上恒成立．
kx - 1
k - 1
考虑t = = k +
(x 1) x - 1 x - 1
当 k = 1 时， f (x ) = 0 不合题意，舍去； 当k 1时，t 在(- ,1),(1,+)上均递减，不合题意，舍去； 当0
k 1时，t 在(-,1),(1,+
)上均递增，
t 也在
10,+
)上递增，且当x =10时，
图 4 )．
综上所述，实数k 的取值范围是
1
,1
．
二 、形如 y =ax +b +c (a ,b
0) 的函 数可利 用函数
x
y =x +1 的性质．类似地，如图5，函数y = ax + b (a , b 0)在
-
b
区间(-
,- b ］、［ b ,+)上递增，在区间［- b ,0) 、 a a a
图5
例 2 已知a
R ,函数 f (x ) = 2ax 2 + 2x - 3 -
a 在区间［-1,1］上有零点,求实数a 的取值范围．
解 析：“ 函数f (x )=2ax 2+2x -3-a 在区间［-1,1］上 有零 点”等价 于“ 方程 2ax 2
+2x -3-a =0在区间［-1,1］上有解”．显然a
0，可得1
=
a
可得 = = (t + )-3,∴
[ 7 -3,0)(0,1],解得a (-,- ] [1, +) ．
a 2t
2t a 2
例 3 已知集合 A =
(x ,y )x 2 +mx -y +2=0
，B =
(x ,y )x - y +1=0,0
x 2
，如果
A B
，求实数m 的取值范围．
解析：A
B
，即方程x 2 +mx -y +2=0与方程x -y +1=0(0
x 2)的图象有公
共点，消去y 得关于x 的方程x 2 +(m -1)x +1=0在
0,2上有解，显然x =0不是方程的解，当
x
(0,2
可得1- m = x +1．
x
∴1-m
2，即m -1．
三 、形如 y =ax -b +c (a ,b
0) 的函 数可利 用函数
x
y =x -1的性质．类似地，如图6，函数y =ax -b (a ,b 0)在
xx
10k - 1 9 0， 2x 2 -1
3-2x
，令t =3-2x [1,5]，
即
k
10,
y
O
上递减．其中，
由 ax = 时解得． x
图6
例 4 函数 f (x )=ax 2 +(1-4a )x +4a (a
1)在区间
- 2,2
上的最大值、最小值分别为 M 、
m ，记g (a ) = M + m ，求 g (a )的最小值．
g (a )=16a - 1
(a 1)，由g (a ) 图象易得g (a )在［1,+)上递增， 4a
g min (a ) = g (1) = 63．
四、形如y =ax -b +c (a
0)的函数可利用函数y = x 的性质．当a 0时，函数 y =a x -b +c 在区间(-
,b ］上递减、在区间［b ,+)上递增；当a 0时，函数y =a x -b +c 在 区间(-,b ］上递增、在区间［b ,+)上递减．
例 5 若函数 f (x ) = a x - b + 2 在0,+)为增函数，分别确定实数 a ,b 的取值范围． 解析：函数y = x 在(-
,0)上递减、
0,+
)上递增；函数y =-x 在(-,0)上递增、在
0,+
)
上递减．函数f (x )的图象可由y = x 的图象经过平移伸缩变换得到，不难得到a
0,b 0 ．
例 6 若关于 x 的不等式x 2
2- x -t 至少有一个负数解，求实数t 的取值范围．
解析：考察函数y = 2 - x 2与y =| x - t |的图象，如图7，当t 在区间 (t 1,t 2)内变化时，两函数的图象在y 轴左侧有交点，x 2
2-x -t 至少有一
P
t 1 o t 2
x
个负数解．当t =t 1时，两图象相切，由
=0，可求得t =-9，当t =t 2时，
图7
y =|x -t |经过点 P(0,2)，解得 t 2 = 2 ，所以 t - ,2
．
五、综合应用．
区间(-,0)、(0,+)上分别递增．其中，
解析： 由题得 f (x )的对称轴x = 2-
由 ax = 时解得．
1
2a
M = f (- 2 ) = 16a - 2 ，
8a - 1
4a
例 7 已知函数 f (x ) = x | x - a | -2 ，当x (0,1］时， f (x ) 1 x 2 -1恒成立，求实数a 的取 值
范围．
解析：由题意得 x |x -a |- 2 1x 2-1 在 x (0,1］ 上恒成立，分离变量可得 1 1 3 1 11 31 1
x - 1 a 3 x + 1在x (0,1］上恒成立，令g (x ) = 1 x - 1 ，h (x ) = 3 x + 1 ，由图象特征可得， 2x 2x
2 x 2 x
g (1)=-1 ， h (x )的最小值为h ( 6)= 6 ，从而得- 1 a 6．
例8 求函数 f (x )=2x - a 在定义域(0,1上的最大值及最小值，并求出函数取最值时相应x 的 x
值．
解析：实数a 应分a 0, a =0,a 0三类情形来讨论图象的特征．
当a 0时，f (x )在(0,1上递增，从而有f max (x )= f (1)=2-a , f min (x )不存在；
所以，当a -2时， f (x )在(0,1
上递减，从而有f min (x )= f (1)=2-a , f max (x )不存在；
f min (x )= f ( - a ) = 2 -2a , f max (x )不存在．
从上述几类问题的应用可以看出，如果能够熟练掌握四类函数的基本图象及性质，在解题中便 能有效地避免复杂的运算过程，把思维集中在数形结合思想的运用上，深刻理解函数图象与方程之
间的联系．总结而言，一般地，形如y = cx +d (a
0)的函数均可向形式①转化；形如
ax + b
cx 2 + dx + e
ax + b y = cx +dx +e (a c 0)或y =
ax +b
(a c 0)的函数可向形式②或形式③式转化．迅速
ax +b cx 2 + dx +e
把握问题的特征和解题方向，结合图象，函数中的“存在性”、“恒成立”、“恒不成立”等问题便能
迎刃而解．
g (x )在(0,1］上单调递增，h (x )在
∴ g (x )的 最 大 值为
当 -2
a 0 时，
f (x ) 在
上递减、在
当a
0时，
1可得a -2，
上递减
在
,1 上 递 增 ， 从 而
有。