2、第一章 波函数与薛定谔方程

求x a区间发现粒子的概率
x的期望值
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在 此基础上，Born 提出了波函数意义的统计诠释。
3、波函数的统计诠释
电子衍射实验得出：衍射花样强度正比于此点附近找
到粒子的几率
假设衍射波波幅用 ( r ) 描述，与光学相似
衍射花纹的强度则用
2 (r )
描述，但意义与经典波不
同。
2 ( r ) d (d dxdydz ) 粒子出现在r 点附近体积元 d中的概率
4、归一化的波函数
波函数的不确定

归一化的波函数有常数的不确定性
C ( r , t )与( r , t )描述同一状态
归一化波函数有一个模为一的因子不确定性。
e (r , t )与(r , t )描述同一状态
i
请问下列波函数中，哪 些与 1描写同一状态？
1 ei 2 x / ； 2 e i 2 x / ； 3 ei 3 x / , 4 ei 2 x / ； 5 3e i ( 2 x ) / ； 6 (4 2i )ei 2 x /
5、力学量的平均值

粒子处于波函数 ( r ) 所描述的状态下，位置 具有确定的概率分布，因而具有确定的平均值： 2 3 x x (r ) d r

势能的平均值为： V
Fra Baidu bibliotek



2 3 V (r ) (r ) d r
其他力学量的平均值呢？
6、动量分布概率波函数
2 dW ( r , t ) C ( r , t ) d , C为常数
•在 t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率称为概率密 度
( r , t ) dW ( r , t ) / d C ( r , t )
2
•在体积V内，t时刻找到粒子的几率为：
V V
2 W ( r , t ) ( r , t )d C ( r , t ) d
第一章 波函数和薛定谔方程
§1.1 波函数的统计诠释 §1.2 薛定谔方程
§1.1 波函数的统计诠释
1、波粒二象性 2、电子衍射实验 3、波函数的统计诠释 4、归一化的波函数 5、力学量的平均值 6、动量分布概率波函数
1、波粒二象性
经典的粒子： •有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; •确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。 经典的波： •实在的物理量的空间分布作周期性的变化; •干涉、衍射现象，即相干叠加性。
例(P8) : 4,5
3、波函数的统计诠释
统计诠释对波函数的要求
2 •统计诠释要求 (r , t ) 取有限制 2 •统计诠释要求 (r , t ) 单值
•统计诠释要求真实的波函数满足归一化条件

全
2 (r , t ) d 1
4、归一化的波函数
归一化系数
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭 情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：

2 动量分布概率密度： ( p)

( p) 是 ( r )
( r ) 1 ( 2)3 / 2
按傅里叶展开的波幅：

ip ( p ) e r / d 3 p
逆表达式： ( p )
1 ( 2)3 / 2

ip ( r ) e r / d 3 r
P 电子源 O 感 光 屏
P O Q
Q
经典物理实验： 经典的波——水波穿过小孔 经典的粒子——子弹（手枪瞄准小孔打枪）穿 过小孔
2、电子衍射实验
单个电子衍射实验
•电子枪发射稀疏到，任何时刻空间中只有一个电子， 电子一个一个地通过小孔，但只要时间足够长，底片 上数目增加呈现出衍射花纹。 •电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才 有的现象，单个电子就具有波动性。
电子衍射实验： 入射电子流强小，开始显示电子的微粒性， 长时间亦显示衍射图样;入射电子流强大，较 快显示衍射图样。
2、电子衍射实验
关于波粒二象性
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电 子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾 的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子 也不是经典概念中的粒子。

粒子性：有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 波动性：干涉、衍射现象，即相干叠加性。
3、波函数的统计诠释
衍射实验结果显示的是：许多电子在同一个实验中的 统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统 计结果。 在电子衍射实验中，照相底片上： r 点附近衍射花样的强度
正比于该点附近感光点的数目； 正比于该点附近出现的电子数目； 正比于电子出现在 r 点附近的几率。


2 C ( r , t ) d 1
2 ( r , t ) d
归一化系数 ：
C 1/
这即是要求描写 粒子量子状态的 波函数Ψ必须是 绝对值平方可积 的函数。

（注意：自由粒子波函数不满足这一要求，有 专门的归一化处理办法）。
例( P8) : 1
4、归一化的波函数
(r , t) 和 C (r , t ) 所描写状态是相同的，这里的 C
是常数。 因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的 2 2 相对几率之比是： C ( r ( r 1, t ) 1, t )
C ( r2 , t ) ( r2 , t )
•由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空 间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的 相对比例，而不取决于强度的绝对大小。 这与经典波不同。
物质波
E h , p
h

( r , t )
例如：自由粒子平面波
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
i A exp ( p r Et)
问题： 如何体现波粒二象性？ 描述怎样的粒子状态？ 描写怎样的波？
2、电子衍射实验
动量平均值
：p



2 3 p ( p) d p
作
业：P8（练习1,4,5）
已知下列波函数： x A a bx ( x,0) A ba 0 求归一化常数 A
2
0 xa a xb x 0或x b
画出 ( x,0) ，t 0时，粒子在何处最易发 现
3、波函数的统计诠释
2 ( r ) 为概率密度 波函数( r )称为概率波
据此，描写粒子的波函数Ψ (r)可以认为是概率 波，反映微观粒子运动的一种统计规律性。
这就是首先由 Born 提出的波函数的概率解释， 它是量子力学的基本原理。
3、波函数的统计诠释
概率与概率密度
•根据波函数的概率解释：在t时刻，r 附近，dτ体 积内，找到由波函数粒子的概率是：
量子力学导论
Introduction to Quantum mechanics
成都理工大学 2016年9月—11月
课程内容
第一章 波函数和薛定谔方程 第二章 一维势场中的粒子 第三章 力学量用算符表达 第四章 力学量随时间的演化 第五章 中心力场 第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换 第九章 力学量本征值问题的代数解法 第十章 微扰论