高一数学函数阶段性检测(含答案)
2022-2023学年北京市海淀区二十中学高一年级上册学期阶段性检测(12月月考)数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区二十中学高一上学期阶段性检测（12月月考）数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】利用集合交集的定义求解.【详解】由||2x <结合绝对值的几何意义解得22x -<<， 所以{|22}A x x =-<<， 所以A B ={}1,0,1-， 故选:B.2．已知0.36a =，ln0.3b =，60.3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】A【分析】与“0”，“1”比较大小即可解决. 【详解】由题知, 300.616>==a ，ln0.3ln10=<=b ，60.3c =，因为060033.0.<<，所以01c <<所以01b c a <<<<， 故选：A3．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．1y x=B ．e x y =C ．lg y x =D ．y x =【答案】D【分析】根据具体函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，因为1y x =，当0x >时，1y x =，显然1y x=在()0,∞+上单调递减，故A 错误； 对于B ，因为()e xy f x ==，所以()11e1e f -==-，()1e f =，即存在x ∈R ，使得()()f x f x -≠，所以()f x 不是偶函数，故B 错误；对于C ，因为()lg y g x x ==，所以11lg 111010g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()10lg101g ==，即()11010g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,∞+上并不单调递增，故C 错误； 对于D ，因为y h x x ，易得()h x 的定义域为R ，即()h x 的定义域关于原点对称，又hx x xh x ，所以()h x 是在R 上的偶函数，当0x >时，()h x x =，显然()h x 在()0,∞+上单调递增，故D 正确. 故选：D.4．已知0a b >>，则下列各选项正确的是（ ） A ．110->a bB ．11022a b⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．log 2log 20a b -<D ．ln ln 0a b +>【答案】B【分析】每个选项依次考查，判断一个命题是假命题只需举一个反例.. 【详解】0,a b >>A ：不妨取3,2a b ==，1111032a b ∴-=-<，A 错；B ：()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，()()11,022a bf a f b ⎛⎫⎛⎫∴<∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 对；C ：取12,2a b ==，212log 2log 2log 2log 220a b -=-=>，C 错；D ：取11,,ln ln 0,23a b a b ==∴+<D 错；故选：B5．已知函数()26log f x x x=-．在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】C【分析】根据零点存在性定理解决即可. 【详解】由题知，函数在定义域内单调递减，且 2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，2(3)2log 30f =->， 231(4)log 4022f =-=-<， 26(5)log 505=-<f ， 所以()f x 零点的区间是()3,4, 故选：C6．在同一坐标系内，函数(0)a y x a =≠和1y ax a=+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据幂函数的图象与性质，分0a >和a<0讨论，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若0a >时，函数a y x =在(0,)+∞递增，此时1y ax a=+递增，排除D ；纵轴上截距为正数，排除C ，即0a >时，不合题意；若a<0时，函数a y x =在(0,)+∞递减，又由1y ax a=+递减可排除A ，故选B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）1010 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解. 【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-， 则10.11010110100.81.25910V --===≈≈. 故选：C.8．函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9．已知函数()()e e 0x xf x a b ab -=+≠，则“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据0a b +=可得()f x ，由奇偶性定义可知充分性成立；由()f x 为奇函数可知()()f x f x -=-，由此可构造方程求得0a b +=，知必要性成立，由此可得结论.【详解】当0a b +=时，()e e x x f x a a -=-，()()e e x xf x a a f x -∴-=-=-，f x 为奇函数，充分性成立；当()f x 为奇函数时，由()()f x f x -=-得：e e e e x x x x a b a b --+=--，a b ∴=-，即0a b +=，必要性成立；∴“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C.10．已知函数()e 11e 2x xf x =-+．下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数 B ．函数()f x 在R 上是增函数 C ．函数()f x 的值域是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．存在实数a ，使得关于x 的方程()0f x a -=有两个不相等的实数根 【答案】D【分析】根据奇函数的性质、指数函数的性质，结合函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】解：对于A ，函数()e 11e 2x x f x =-+的定义域为R ， 00e 1(0)01e 2f =-=+，且()()e 111e 11e 11e 21e 21e 221e x x xx x x xf x f x ---=-=-=--=-=-++++， ∴函数()f x 是奇函数，A 选项正确；对于B ，函数()e 1111111e 21e 221e x x x xf x =-=--=-+++， 令12x x <，()()()()()()()1212121212121e 1e 1111e e 21e 21e 1e 1e 1e 1e x x x x x x x x x x f x f x ++--+==+-+=+-+-++，12x x <，12120e e e e x x x x ∴<⇒-<，而111e x +>，211e x +>，()()()()121212e e 01e 1e x x x x f x f x -∴++=<-，即()()12f x f x <， 因此函数()f x 在R 上是增函数，B 选项正确； 对于C ，函数()1121ex f x =-+，11e x +>， 1011e x∴<<+，则1101e x -<-<+，1111221e 2x ∴-<-<+，即()1122f x -<<， 所以函数()f x 的值域是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 选项正确；对于D ，由B 可知函数()f x 在R 上是增函数，因此关于x 的方程()0f x a -=不可能有两个不相等的实数根，D 选项错误； 故选：D.二、填空题 11．函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是___________． 【答案】()()0,11,+∞【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可. 【详解】因为()1ln 1f x x x =+-， 所以010x x >⎧⎨-≠⎩，则0x >且1x ≠，故()1ln 1f x x x =+-的定义域是()()0,11,+∞.故答案为：()()0,11,+∞.12．函数()121x f x -=-的零点为___________．【答案】1【分析】直接解方程即可.【详解】()112210,21,1log 10, 1.x x f x x x --=-=∴=∴-==∴=故答案为：113．函数()()log 231a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点_________. 【答案】()2,1【分析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式，即可得出函数()y f x =的图象所过定点的坐标.【详解】令231x -=，得2x =，且()2log 111a f =+=. 因此，函数()y f x =的图象过定点()2,1.故答案为()2,1.【点睛】本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为1求出自变量的值，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知函数()3xf x =，()2(R)g x x a a =+-∈．若函数()()y g f x =存在两个零点，则a 的取值范围是___________． 【答案】(),2-∞-【分析】先分类讨论0a ≥时，不符合题意；当a<0时，写成分段函数的形式，判断其单调性，利用零点存在定理得出有两个零点的条件即可求解.【详解】因为()3xf x =，()2(R)g x x a a =+-∈， 所以()()()232xf x a ag f x =+-=+-，若0a ≥时，()()32xa g f x =+-在R 上为增函数，至多有一个零点，不符合题意；当a<0时，()()()()3332,log 3232,log x xx a x a g f x a a x a ⎧+-≥-⎪=+-=⎨---<-⎪⎩，则()()g f x 在()()3,log a -∞-单调递减，在()()3log ,a -+∞单调递增，易知()()()3mi lo n g 32220a a a a g f x -+-=-+-=-<=，当()3log x a ≥-时，因为3x y =可取得无穷大值，故不管a 的取值如何，在()()3log ,a -+∞必存在一点1x ，使得()()10g f x >，所以()()g f x 在()()()()133log ,log ,a x a -⊆-+∞上必存在唯一零点， 因为函数()()y g f x =存在两个零点，所以当()3log x a <-时，()()g f x 在()()3,log a -∞-上也必须存在一个零点，即在()()3,log a -∞-必存在一点2x ，使得()()20g f x >，即2320x a --->， 所以223x a -->在()()3,log a -∞-上能成立，因为指数函数30x y =>恒成立，且当x →-∞时，30x y =→， 所以只需20a -->即可，得2a <-，即a 的取值范围为(),2-∞-. 故答案为：(),2-∞-.15．已知函数()()()1,121,1x a x f x a x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，其中0a >且1a ≠．给出下列四个结论：①若2a ≠，则函数()f x 的零点是0；②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为()0,1；③若2a >，则()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增；④若关于x 的方程()2f x a =-恰有三个不相等的实数根123,,x x x ，则a 的取值范围为()2,3，且123x x x ++的取值范围为(),2-∞．其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④【分析】令()0f x =可确定①正确；由函数无最小值可知当1x >时，()f x 单调递减，得②错误；分别判断两段函数的单调性，根据严格单调递增的要求知③错误；讨论可知2a >时存在有三个不等实根的情况，采用数形结合的方式可得a 的范围，分别求得123,,x x x ，进而得到123x x x ++的范围，知④正确.【详解】对于①，令10xa -=，解得：0x =；令()()210a x --=，解得：1x =（舍）；∴若2a ≠，则函数()f x 的零点是0x =，①正确；对于②，当1x ≤时，()1xf x a =-，此时()()min 00f x f ==；若()f x 无最小值，则需当1x >时，()f x 单调递减，即20a -<，解得：2a <， 又0a >且1a ≠，a ∴的取值范围为()()0,11,2，②错误；对于③，当2a >时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,1，()1,+∞上分别单调递增； 若需()f x 在()0,∞+上单调递增，则10a -≤，解得：1a =（舍）， f x 在()0,∞+上并非严格单调递增，③错误；对于④，当2a =时，()0f x =在1x >时有无数解，不满足题意；当01a <<或12a <<时，20a -<，则当1x ≤时，方程()2f x a =-无解；当1x >时，()2f x a =-有唯一解2x =；不满足方程有三个不等实根； 当2a >时，()f x 大致图象如下图所示，若()2f x a =-有三个不等实根，则021a <-<，解得：23a <<； 设123x x x <<，令()()212a x a --=-，解得：2x =，即32x =；令12xa a -=-，解得：()1log 3a x a =-，()2log 1a x a =-，()()()212log 31log 43a a x x a a a a ∴+=--=-+-；23a <<，()2430,1a a ∴-+-∈，()12,0x x ∴+∈-∞，()123,2x x x ∴++∈-∞，④正确. 故答案为：①④【点睛】思路点睛：本题考查分段函数零点、最值、单调性和方程根的分布的问题；求解方程根的分布的基本思路是能够将问题转化为曲线与平行于x 轴的直线交点个数问题，通过数形结合的方式，利用函数图象来进行分析和讨论，由此确定根的分布情况.三、解答题16．计算下列各式的值．(1)123024318(15)(9)27-⎛⎫++- ⎪⎝⎭(2)2log 355151log 352lg 10log log 14250+++ 【答案】(1)5 (2)7【分析】根据指数、对数的运算规律化简求解即可.【详解】（1）解：原式()113333131341335⎛⎫-⨯--⎪-⎝⎭+=+=++-=.（2）解：原式()()()112555log 572lg10log 252log 273-=⨯+-⨯-⨯+()55551log 712log 2log 2log 73=++-----+11237=+++=.17．已知对数函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）． (1)若对数函数()f x 的图像经过点()8,3，求a 的值；(2)若对数函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值比最小值大2，求a 的值． 【答案】(1)2a =(2)a =【分析】（1）已知对数函数()f x 的图像经过点()8,3，将此点代入函数即可求出a 的值；（2）对数函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值比最小值大2，分类讨论1a >，01a <<时函数的单调性，并求出最大值与最小值，列出方程即可求出a 的值.【详解】（1）解：若对数函数()f x 的图像经过点()8,3，则()8log 83a f ==， 38a ∴=，即2a =.（2）解：当1a >时，()log a f x x =在[],2a a 上是增函数，()()max 2log 2log 21a a f x f a a ∴===+，min ()()log 1a f x f a a ===，因为最大值比最小值大2，所以log 211log 22a a +-==，解得a = 当01a <<时，()log a f x x =在[],2a a 上是减函数，()()max 1f x f a ∴==，()()min 2log 21a f x f a ==+，则()1log 21log 22a a -+=-=，212a a ∴=⇒，综上a =2. 18．已知函数()()()12f x ax x =--．(1)若1a =-，求不等式()0f x >的解集；(2)已知0a >，求不等式()0f x >的解集．【答案】(1){}12x x -<<(2)答案见解析【分析】（1）当1a =-时，直接由一元二次不等式的解法可得出所求的答案；（2）分类讨论: 102a <<，12a =和12a >，分别根据一元二次不等式的解法即可得出相应的解集. 【详解】（1）解：当1a =-时，()(1)(2)f x x x =---，所以不等式()0f x >可化为：(1)(2)0x x --->，解得12x -<<，即不等式()0f x >的解集为：{}12x x -<<.（2）解：因为(1)(2)0ax x -->， 当12a >，即102a <<时，解得2x <或1x a >； 当12a =，即12a =时，解得2x ≠； 当12a <，即12a >时，解得1x a<或2x >； 综上所述，当102a <<时，不等式()0f x >的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当12a =时，不等式()0f x >的解集为()(),22,-∞+∞； 当12a >时，不等式()0f x >的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 19．已知函数()332x xf x --=． (1)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用单调性定义证明；(3)若120f ax f x 对任意(],2a ∈-∞恒成立，求x 的取值范围． 【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)单调递增，证明见解析；(3)(]1,0-.【分析】（1）根据证明函数的奇偶性步骤解决即可；（2）根据单调性定义法证明即可；（3）根据奇偶性，单调性转化解不等式即可.【详解】（1）()332x xf x --=为奇函数，理由如下 易知函数的定义域为(),-∞+∞，关于原点对称， 因为33()()2---==-x xf x f x ， 所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在()0,∞+上的单调递增，证明如下因为()332x xf x --=，()0,x ∈+∞， 设任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以()()()()121211221233333333222----------==-x x x x x x x x f x f x ()()121212121233133331333322⎛⎫-⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==x x x x x x x x x x 因为12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，所以1212330,330-<>x x x x ，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上的单调递增.（3）由（1）知()f x 为奇函数，由（2）知()f x 在()0,∞+上的单调递增，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，因为120f ax f x 对任意(],2a ∈-∞恒成立， 所以(1)(2)(2)->--=-f ax f x f x ，所以12ax x 对任意(],2a ∈-∞恒成立，令()()10g a xa x =+->，(],2a ∈-∞则只需0(2)2(1)0x g x x ≤⎧⎨=+->⎩，解得10-<≤x ，所以x 的取值范围为(]1,0-.20．有一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10%衰减(1)求两年后，这种放射性元素的质量；(2)求t 年后，这种放射性元素的质量w （单位为：g ）与时间t 的函数表达式；(3)由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫作半衰期）．（精确到0.1年，已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】(1)405g(2)5000.9t w =⨯(3)6.6年.【分析】(1)根据衰减率直接求解即可；(2)根据衰减规律归纳出函数表达式；(3)半衰期即为质量衰减为原来的一半，建立等式，利用换底公式求解.【详解】（1）经过一年后，这种放射性元素的质量为500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，即两年后，这种放射性元素的质量为405g（2）由于经过一年后，这种放射性元素的质量为1500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，……所以经过t 年后，这种放射性元素的质量5000.9t w =⨯.（3）由题可知5000.9250t ⨯=，即0.9lg 0.5lg 2log 0.5 6.6lg 0.92lg31t -===≈-年. 21．对于正整数集合A ，记{}{},A a x x A x a -=∈≠，记集合X 所有元素之和为()S X ，()0S ∅=．若x A ∃∈，存在非空集合1A 、2A ，满足：①12A A =∅；②{}12A A A x =-；③()()12S A S A =，则称A 存在“双拆”．若x A ∀∈，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．(1)判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；(2){}12345,,,,A a a a a a =，证明：A 不能“任意双拆”；(3)若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)7【分析】（1）根据题中定义判断可得出结论；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，利用反证法，通过讨论集合A 中去掉的元素，结合“任意双拆”的定义得出等式，推出矛盾，即可证得原结论成立；（3）分析可知集合A 中每个元素均为奇数，且集合A 中所有元素都为奇数，分析可知7n ≥，当7n =时，{}1,3,5,7,9,11,13A =，根据“任意分拆”的定义可判断集合A 可“任意分拆”，即可得出结论.【详解】（1）解：对于集合{}1,2,3,4，{}{}{}1,2,3,441,2,3-=，且123+=，所以，集合{}1,2,3,4可双拆，若在集合中去掉元素1，因为234+≠，243+≠，342+≠，故集合{}1,2,3,4不可“任意分拆”； 若集合{}1,3,5,7,9,11可以“双拆”，则在集合{}1,3,5,7,9,11去除任意一个元素形成新集合B ， 若存在集合1B 、2B 使得12B B =∅，12B B B =，()()12S B S B =，则()()()()1212S B S B S B S B =+=， 即集合B 中所有元素之和为偶数，事实上，集合B 中的元素为5个奇数，这5个奇数的和为奇数，不合乎题意，故集合{}1,3,5,7,9,11不可“双拆”.（2）证明：不妨设12345a a a a a <<<<.反证法：如果集合A 可以“任意双拆”，若去掉的元素为1a ，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有2534a a a a +=+，①，或5234a a a a =++，②，若去掉的元素为2a ，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有1534a a a a +=+，③，或5134a a a a =++，④，由①-③可得12a a =，矛盾；由②-③可得12a a =-，矛盾；由①-④可得12a a =-，矛盾；由②-④可得12a a =，矛盾.因此，当5n =时，集合A 一定不能“任意双拆”.（3）解：设集合{}12,,,n A a a a =. 由题意可知()()1,2,,i S A a i n -=均为偶数，因此()1,2,,i a i n =均为奇数或偶数.如果()S A 为奇数，则()1,2,,i a i n =也均为奇数，由于()12n S A a a a =+++，则n 为奇数； 如果()S A 为偶数，则()1,2,,i a i n =也均为偶数. 此时设2i i a b =，则{}12,,,n b b b 也是可“任意分拆”的，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数，则集合A 中元素个数n 为奇数，综上所述，集合A 中的元素个数为奇数，当3n =时，显然集合{}123,,A a a a =不可“任意分拆”；当5n =时，由（2）可知，{}12345,,,,A a a a a a =不可“任意分拆”，故7n ≥.当7n =时，取集合{}1,3,5,7,9,11,13A =，因为35791113+++=+，19135711++=++，1351171313711913+++=++++=+，， 19113513++=++，3791513++=++，1359711+++=+，则集合A 可“任意分拆”，所以，集合A 中元素个数n 的最小值为7.【点睛】方法点睛：处理集合有关的新定义问题时，关键在于审清题意，合理将所给定义转化为元素与集合、集合与集合之间的关系来处理，本题在证明（2）中的结论时，要充分利用题中定义，结合反证法推出矛盾，进而得出结论成立.。
2022-2023学年安徽省芜湖市高一年级上册学期第一次阶段性诊断测试数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省芜湖市高一上学期第一次阶段性诊断测试数学试题一、单选题1．已知集合{}21A x x =-≤，{}1,2,3,4B =，则A B =（ ） A ．{}4 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3D【分析】求出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}{}2112113A x x x x x x =-≤=-≤-≤=≤≤，故{}1,2,3A B =. 故选：D.2．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，200x x -≤ B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，200x x -≤ D ．1x ∀≤，20x x ->C【分析】由全称命题的否定即可选出答案.【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是 “01x ∃>，2000x x -≤”故选：C.3．“2a b +>且1ab >”是“1,1a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件B【分析】根据充分、必要条件结合不等式性质理解判断. 【详解】若2a b +>且1ab >，例如14,2a b ==满足条件，但不满足1,1a b >> 若1,1a b >>，则2a b +>，且1ab >∴“2a b +>且1ab >”是“1,1a b >>”的必要不充分条件 故选：B.4．已知函数()2,056,0x x x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩，若()6f a =，则2a f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．32-B ．6C ．4D ．2D【分析】由题意分类讨论0a ≥，0a <求解a ，再根据分段函数求函数值.【详解】当0a ≥时，则()26f a a a =+=，解得：2a =或3a =-（舍去）当0a <时，则()566f a a =+=，解得：0a =（舍去） 综上所述：2a = ∴()112a f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭-，则()122a f f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智书》一书中首先用“=”作为等号以后，后来英国数学家哈里奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若,,R a b c ∈，则下列命题错误的是（ ） A ．若110a b<<，则a b > B ．若22a b c c >，则a b > C ．若0,0b a c >>>，则a c ab c b+<+ D ．若0,0a b c d >><<，则ac bd < C【分析】根据不等式性质结合作差法分析判断. 【详解】对A ：∵110a b <<，则110b a a b ab--=<，且0,0a b << ∴0ab >，则0b a -<，即a b >，A 正确； 对B ：∵22a b c c>，且20c > ∴a b >，B 正确；对C ：()()()()()a b c b a c a b ca a cb bc b b c b b c +-+-+-==+++ ∵0,0b a c >>>，则0,0b c a b +>-< ∴0a a c b b c +-<+，则a c a b c b+>+，C 错误； 对D ：∵0c d <<，则0c d ->-> 又∵0a b >>，则0ac bd ->-> ∴ac bd <，D 正确；故选：C.6．已知0,0x y >>，且260x y xy ++-=，则2x y +的最小值是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7A【分析】根据给定条件，利用配凑思想结合均值不等式求解作答. 【详解】0,0x y >>，由260x y xy ++-=得：211262222222x y x y xy x y x y x y +⎛⎫=++=++⋅≤++ ⎪⎝⎭，即2(2)8(2)480[(2)12][(2)4]0x y x y x y x y +++-≥⇔+++-≥，解得24x y +≥，当且仅当2x y =时取等号，由2260x yx y xy =⎧⎨++-=⎩解得2,1x y ==，所以当2,1x y ==时，2x y +取得最小值4. 故选：A7．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如][1.22,1.51⎡⎤-=-=⎣⎦，那么不等式[]24[]1670x x -+<成立的充分不必要条件是（ ）A ．1722x << B ．13x ≤≤ C ．14x ≤< D ．14x ≤≤B【分析】根据给定条件，解一元二次不等式，并求出x 的范围，再利用充分不必要条件的意义求解作答.【详解】不等式[][][]()[]()[]217416702127022x x x x x -+<⇔--<⇔<<，因此[]1x =或[]2x =或[]3x =，于是得12x ≤<或23x ≤<或34x ≤<，即14x ≤<，显然[1,3] [1,4)，而选项A ，C ，D 所对集合均不真包含于[1,4)，所以不等式[]24[]1670x x -+<成立的充分不必要条件是13x ≤≤，B 是.故选：B8．集合{}0,1,2,3,4,5,U A =是U 的子集，当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么U 的子集中无“孤立元素”且包含有四个元素的集合个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8B【分析】用列举法列出符合题意的集合，即可判断； 【详解】解：{}0,1,2,3,4,5U =，其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有：{}0,1,2,3，{}0,1,3,4，{}0,1,4,5，{}1,2,3,4，{}1,2,4,5，{}2,3,4,5共6个，那么U 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 的个数是6个． 故选：B ．二、多选题9．已知全集,,U A B 是U 的非空子集，且U B A ⊆，则必有（ ） A ．A B ⋂=∅ B ．UA B ⊆C ．UA B ⊇ D ．A B ⊆AB【分析】根据Venn 图，结合子集和集合间的运算理解判断. 【详解】根据Venn 图，由题意可得：A B ⋂=∅，A 正确，D 错误；UA B ⊆，B 正确，C 错误；故选：AB.10．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是{2x x ≤-∣或6}x ≥，则下列说法正确的是（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{3}xx >-∣ C ．不等式20cx bx a -+<的解集是1162xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣D ．0a b c ++> BCD【分析】根据给定的解集，结合一元二次不等式的解法确定a 的符号，并用a 表示b ，c ，再逐项判断作答.【详解】因关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是{2x x ≤-∣或6}x ≥，则2,6-是一元二次方程20ax bx c ++=的二根，且0a <，则有26,26b ca a-+=--⨯=，即4,12b a c a =-=-，且0a <，A 不正确；不等式0bx c +>化为：4120ax a -->，解得3x >-，即不等式0bx c +>的解集是{3}x x >-∣，B 正确；不等式20cx bx a -+<化为：21240ax ax a -++<，即212410x x --<，解得1162x -<<，因此不等式20cx bx a -+<的解集是1162xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，C 正确； 412150a b c a a a a ++=--=->，D 正确.故选：BCD11．下列对应中是函数的是（ ）．A ．x y →，其中21y x =+，{}1,2,3,4x ∈，{|10,N}y x x x ∈<∈B ．x y →，其中2y x =，[)0,x ∈+∞，R y ∈C ．x y →，其中y 为不大于x 的最大整数，R x ∈，Z y ∈D ．x y →，其中1y x =-，N x *∈，N y *∈ AC【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断作答.【详解】对于A ，对集合{1,2,3,4}中的每个元素x ，按照21y x =+，在{|10,N}x x x <∈中都有唯一元素y 与之对应，A 是；对于B ，在区间[)0,+∞内存在元素x ，按照2y x =，在R 中有两个y 值与这对应，如1x =，与之对应的1y =±，B 不是；对于C ，对每个实数x ，按照“y 为不大于x 的最大整数”，都有唯一一个整数y 与之对应，C 是；对于D ，当1x =时，按照1y x =-，在*N 中不存在元素与之对应，D 不是. 故选：AC12．已知0x >，0y >，3x y +=，则（ ）A ．22x y +的最小值是92B3 C ．4111x y +++的最小值是9 D ．9xy xy +最小值是254ABD【分析】利用基本不等式一一计算可得. 【详解】解：因为0x >，0y >，3x y +=，因为222x y xy +≥，所以()()2222222x y x y xy x y +≥++=+，当且仅当x y =时取等号，所以x y +≤x y =时取等号，所以()222922x y x y ≥=++，当且仅当32x y ==时取等号，故A 正确；3≤=，74x =，54y =取等号，故B 正确； 因为3x y +=，所以115x y +++=， 所以()()411411111511x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()4111195551155y x x y ⎛⎛⎫++ =++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝， 当且仅当()41111y x x y ++=++，即23y =、73x =时取等号，故C 错误； 因为3x y +=，所以2924x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当32x y ==时取等号，即904xy <≤， 又因为()9f x x x =+在90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 9992594444f x f ⎛⎫==+=⎪⎝⎭， 所以9xy xy +最小值是254，当且仅当32x y ==时取等号，故D 正确； 故选：ABD三、填空题13．已知()1f x +的定义域是[]3,6，则函数()21f x -的定义域是___________.5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知(1)f x +的定义域求出函数()f x 的定义域，从而求出函数(21)y f x =-的定义域．【详解】解：因为()1f x +的定义域是[]3,6， 所以36x ≤≤，所以417x ≤+≤．∴函数(21)f x -应满足4217x ≤-≤，解得542x ≤≤．∴函数(21)y f x =-的定义域为5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 14．已知集合{}{}2123A B a a ==-，，，，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为________.1或-2【分析】利用交集定义,分类讨论求解即可．【详解】解：集合{}{}2123A B a a ==-，，，，若{}1A B ⋂=，1a ∴=或231a -=，当1a =时，{}{}121,2A B ==-，，，成立； 当231a -=时，2a =±，若2a =，{}{}121,2A B ==，，，与{}1A B ⋂=矛盾；若2a =-，{}{}121,2A B ==-，，，成立， 综上所述，1a =或2a =-． 故答案为1或-2．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．15．若命题“R x ∀∈，不等式220mx x m ++≤恒成立”为假命题，则实数m 的取值范围是___________.1m >-【分析】根据给定条件，求出不等式恒成立的m 的取值范围，再由命题为假求解作答. 【详解】因R x ∀∈，不等式220mx x m ++≤恒成立，当0m =时，20≤x 对任意实数不恒成立，因此，0m ≠，必有2440m m <⎧⎨∆=-≤⎩，解得1m ≤-，于是得1m ≤-， 而命题“R x ∀∈，不等式220mx x m ++≤恒成立” 为假命题，则1m >-， 所以实数m 的取值范围是1m >-. 故1m >-16．已知302a b >>，则()2223a b a b +-的最小值是___________.【分析】利用换元可得()()22322234x y a b a b xy++=+-，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件.【详解】令0,230x b y a b =>=->，则32x ya +=则()()2232223234x y a xy b a b xy xy++=+≥+-，当且仅当3x y =时等号成立∵23xy xy +≥=23xy xy =时等号成立∴()2223a b a b +≥-，当且仅当323x y xy xy =⎧⎪⎨=⎪⎩，x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即时等号成立 故答案为.四、解答题17．已知1260,1548a b <<<<，求22,aa b b-的取值范围. 2a b -的取值范围是()284,30,a b -的取值范围是1,82⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据不等式的性质运算求解【详解】因为1548b <<，所以96230b -<-<-， 又∵1260a ，所以84230a b -<-<， 因为1260a ，所以242120a ，又∵1548b <<，所以1114815b <<， 所以2421204815a b <<，即1282ab <<，所以2a b -的取值范围是()284,30,a b -的取值范围是1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭. 18．（1）已知2121x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式；（2）已知()f x 为一次函数，且()()43f f x x =+，求()f x 的解析式.（1）()()22(1)11f x x x =-+≠；（2）()21f x x =+或()23f x x =--.【分析】（1）根据题意利用换元法运算求解，注意变量的范围；（2）根据题意利用待定系数法运算求解. 【详解】（1）由111x x x +=+，令()111t t x=+≠，则11t x =-，所以()22(1)1f t t =-+，故()f x 的解析式为()()22(1)11f x x x =-+≠；（2）设()()0f x kx b k =+≠，则()()()243f f x f kx b k kx b b k x kb b x ⎡⎤=+=++=++=+⎣⎦，所以243k kb b ⎧=⎨+=⎩，因此21k b =⎧⎨=⎩或23k b =-⎧⎨=-⎩，故()21f x x =+或()23f x x =--. 19．已知32:12x p x ->+，:10q ax ->，其中R a ∈. (1)当1a =时，设不等式3212x x ->+的解集为A ，不等式10ax ->的解集为B ，求()R A B ⋃； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围. (1){}|2x x ≥- (2)110,,022⎛⎤⎡⎫⋃- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）首先解分式不等式求出集合A ，再求出集合B ，最后根据补集、并集的定义计算可得；（2）分0a >、0a <、0a =三种情况，分别求出不等式10ax ->的解集，再根据必要不充分条件得到不等式组，即可得解. 【详解】(1)解：由3212x x ->+，得32102x x -->+，即2402x x ->+， 即()()2420x x -+>，解得2x <-或2x >，即{|2A x x =<-或2}x >，所以{}R|22A x x =-≤≤，当1a =时，{|1}B x x =>，所以(){}R |2A B x x ⋃=≥-； (2)解：由（1）中结论可知，不等式3212x x ->+的解集为{|2A x x =<-或2}x >， 由10ax ->，当0a >时，解得1x a>； 当0a <时，解得1x a<； 当0a =时，不等式10ax ->的解集为∅； 若p 是q 的必要不充分条件，则012a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩或012a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得102a <≤或102a -≤<，故a 的取值范围为110,,022⎛⎤⎡⎫⋃- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.20．已知,,a b c 为三角形的三边长，求证： (1)222a b c ab bc ca ++≥++； (2)()2444a b c ab bc ca ++<++. (1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）根据给定的条件，利用作差法，变形并判断符号作答. （2）利用三角形两边的和大于第三边的性质，结合不等式性质推理作答. 【详解】(1),,a b c 为三角形的三边长， 而()()22222222222222a b c ab bc ca a b ab b c bc a c ac++-++=+-++-++-222()()()a b b c a c =-+-+-，显然222()0,()0,()0a b b c a c -≥-≥-≥，即222()()()0a b b c a c -+-+-≥，当且仅当==a b c 时取等号，因此()()22222a b c ab bc ca ++≥++，所以222a b c ab bc ca ++≥++.(2),,a b c 为三角形的三边长，则0,0,0a b c b c a c a b <<+<<+<<+，于是得：()()()()2222a b c a b c b c a c a b ab bc ca ++<+++++=++，所以()()()22222444a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++<++.21．已知函数()()2121y a x a x =-+--，其中a R ∈.(1)任意的(]1,3x ∈，不等式220y ax a -+-≤恒成立，求a 的取值范围；(2)求关于x 的不等式0y <的解集.(1)a ≥-(2)答案见解析【分析】（1）分离参数转化为利用基本不等式求函数的最值；（2）根据最高次项系数，根的大小分类讨论可得．【详解】(1)由题意，220y ax a -+-≤转化为()2230x a x a +-+-≥，因为(]1,3x ∀∈，不等式()2230x a x a +-+-≥恒成立，所以2231x x a x -+-≥-恒成立， 令2231x x y x -+-=-，所以()2(1)22111x y x x x ---==-----，2(1)1x x -+≥=-1x =所以2(1)1x x ---≤--，故a ≥-(2)①当1a =时，10x -<即1x <，所以解集为{1}∣<xx ； 1a ≠时，不等式化为1(1)(1)()01a x x a ---<-， ②当0a =时，111a=-，所以解集为{}1x x ≠∣； ③当01a <<时，111a<-，所以解集为{1x x <∣或1}1x a >-； ④当a<0时，111a>-，所以不等式的解集为1{|1x x a <-或}1x >； ⑤当1a >时，111a >-，所以不等式的解集为111x x a ⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭∣. 22．近年来，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入-月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价(9)x x 元，并投入26(9)5x -万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少20.2(8)x -万只．则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．（1）18.5元；（2）当x ＝10时，最大利润为14万元.（1）设口罩每只售价最多为x 元，根据条件建立不等式，解不等式即可得到结论．（2）求出利润函数，利用基本不等式即可求出最值．【详解】解：设口罩每只售价最多为x 元，则月销售量为8(50.2)0.5x --⨯万只， 则由已知8(50.2)(6)(86)50.5x x --⨯--⨯， 即22532960555x x -+，即22532960x x -+， 解得3782x，即每只售价最多为18.5元． （2）下月的月总利润280.22626 2.40.412341500.4(8)0.8184[5](6)(9)](6)(9)0.5(8)55855855x x x y x x x x x x x x x ------=-⨯------=-+=-+---4874[]5(8)55x x -=-++-， 9x ， ∴484425(8)5255x x -+=-， 即4874474145(8)5555x y x ⎡⎤-=-++-+=⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当485(8)5x x -=-，即10x =时取等号． 答：当10x =时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．本题主要考查与函数有关的应用问题，根据条件建立方程或不等式是解决本题关键，考查学生的阅读和应用能力，综合性较强．。
高一北师大版数学必修1第二章 函数单元测试题试卷含答案解析
阶段性检测卷二(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1}答案 D2．已知(x ，y )在映射f 作用下的像是(x ＋y ，x －y )，则(1,2)关于f 的原像是( )A ．(1,2)B ．(3，－1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝2.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－12.故选C.答案 C3．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13答案 A4．下列函数中，是同一函数的是( ) A ．y ＝(x －1)0与y ＝1 B ．y ＝x 与y ＝xC ．y ＝|x |与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0D ．y ＝x 2与y ＝(x －1)2解析 A 中y ＝(x －1)0的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠1}，y ＝1的定义域为R ，定义域不同，故不是同一函数；B 中y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，y ＝x 的定义域为R ，定义域不同，故不是同一函数，D 中的对应法则不同．答案 C5．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 答案 B6．若在[1，＋∞)上，函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 均单调递减，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．0≤a ≤1D ．0<a <1解析 显然a ≠1，且a ≠0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，得0<a <1.答案 D7．设f (x )是定义在R 上的增函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋1)<f (2a )D ．f (a 2＋1)>f (a )解析 ∵a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0∴a 2＋1>a ，由函数的单调性可知f (a 2＋1)>f (a )．答案 D8．函数y ＝x 53的图像大致是下图中的( )解析 y ＝x 53为奇函数，定义域为R ，且53>1，∴x >0时图像是下凸的，故选B.答案 B9．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析 由已知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.答案 A10．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．[13，23)B ．(13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)解析 作出示意图可知：f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇒－13<2x －1<13，即13<x <23，故选B.答案 B二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题中横线上．)11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x(x >2)，)则f (－4)＝________，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析 f (－4)＝(－4)2＋2＝18，由f (x 0)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≤2，x 20＋2＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>2，2x 0＝8，得x 0＝－6，或x 0＝4. 答案 18 －6或4 12．函数y ＝(m 2－m －1)·xm 2－2m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则m ＝________.解析 由题意得m 2－m －1＝1，得m ＝2，或m ＝－1，当m ＝－1时，y ＝x 0不合题意，当m ＝2时，y ＝x －3，符合题意．答案 213．将y ＝1x 的图像沿x 轴向右平移1个单位，再向上平移两个单位得到的函数的解析式为________．答案 f (x )＝2x －1x －114．函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，则实数m ＝________.解析 由于f (x )在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，知f (x )的对称轴为x ＝－1，即－m ＝－1得m ＝1.答案 115．函数y ＝x 2－2x ＋5，在x ∈[1,2]上的最大值是________，最小值是________．解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＋5在[1,2]上单调递增，∴当x ＝1时，y min ＝1－2＋5＝4，当x ＝2时，y max ＝4－4＋5＝5.答案 5 4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．(12分)求函数f (x )＝3x ＋1x 2－x －2的定义域．解 欲使该函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1≥0，x 2－x －2≠0，得⎩⎨⎧x ≥－13，x ≠－1且x ≠2，即x ≥－13，且x ≠2.∴该函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)．17．(12分)已知幂函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f (x )的解析式．解 由题意得－2m 2＋m ＋3>0，得－1<m <32， 又m ∈Z ，m ＝0，或m ＝1，又f (x )为偶函数， ∴m ＝1，f (x )＝x 2.18．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，(1)若对于任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，求实数a 的值；(2)若f (x )为偶函数，求a 的值． 解 (1)∵f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )关于x ＝1对称，∴－a2＝1， ∴a ＝－2.(2)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴x 2－ax ＋b ＝x 2＋ax ＋b ， ∴a ＝0.19．(13分)如图所示，函数的图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解 设左侧射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (x ≤1)， ∵(1,1)，(0,2)在射线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴x ≤1时，f (x )＝－x ＋2.设右侧射线对应的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(x ≥3)，∵(3,1)，(4,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k 1＋b 1＝1，4k 1＋b 1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，b 1＝－2.∴当x ≥3时，f (x )＝x －2. 设1≤x ≤3时f (x )＝a (x －2)2＋2，将(1,1)代入上式得a ＝－1.∴当1≤x ≤3时，f (x )＝－(x －2)2＋2＝－x 2＋4x －2. 综上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x <1，－x 2＋4x －2，1≤x ≤3，x －2，x >3.20．(13分)求函数f (x )＝(4－3a )x 2－2x ＋a 在区间[0,1]上的最大值．解 (1)当4－3a ＝0，即a ＝43时，f (x )＝－2x ＋43在[0,1]上为减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝43.(2)当a >43时，4－3a <0，开口向下，对称轴为x ＝14－3a <0，则二次函数在区间[0,1]上为减函数∴f (x )max ＝f (0)＝a .(3)当a <43时，4－3a >0，开口向上，对称轴为x ＝14－3a >0，①当0<14－3a ≤12时，即a ≤23时，f (x )max ＝f (1)＝2－2a ， ②当14－3a >12时，即23<a <43时，f (x )max ＝f (0)＝a ，综上所述，当a >23时，f (x )max ＝a ； 当a ≤23时，f (x )max ＝2－2a .21．(13分)已知函数f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义域为(－1,1)的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)求实数a ，b 的值．(2)判断f (x )在(－1,1)上的单调性，并用定义证明． (3)解不等式：f (t －1)＋f (t )<0.解(1)有⎩⎨⎧f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，解得a ＝1，b ＝0.(2)f (x )在(－1,1)上是增函数，证明如下：在(－1,1)上任取两数x 1和x 2且－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0， 故f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)f (x )为奇函数，定义域为(－1,1)，由f (t －1)＋f (t )<0得f (t －1)<－f (t )＝f (－t )，∵f (x )在(－1,1)上为增函数， ∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |0<t <12.。
河南省实验中学2022-2023学年高一上学期线上阶段性测试数学试题(二)(含答案解析)
河南省实验中学2022-2023学年高一上学期线上阶段性测试数学试题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，{}log 2,1x B y y x ==>，则A B = （）A ．{}0y y >B ．{}01y y <<C ．{}01y y <≤D ．∅2．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()U M P S ⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð3．设ln 3a =，1log 3eb =，23c -=，则（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．a c b >>D ．c b a>>4．若－4<x <1，则22222x x x -+-（）A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－15．若33sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α是第三象限角，则2021cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-6．若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-7．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增D ．图像关于直线12x π=-成轴对称8．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知[0]:,1p x ∀∈,不等式2223x m m -- 恒成立,:[1,3]q x ∃∈,不等式24x ax -+ 0,则下列说法正确的是()A ．p 的否定是:[]00,1x ∃∈,不等式20223x m m-<-B ．q 的否定是:0[1,3]x ∀∈,不等式20040x ax -+C ．p 为真命题时,12mD ．q 为假命题时,4a <10．下列命题正确的是（）A ．函数y =的定义域为[3,)+∞B ．函数421x x y =++的值域为(1,)+∞C ．已知23a b k ==（1k ≠），且121a b+=，则实数8k =D ．2x y =与2log y x =互为反函数，其图像关于y x =对称11）A B ．22cossin 1212ππ-C ．cos15 sin 45 sin15cos45︒︒-︒︒D ．2tan151tan 15︒-︒12．设函数()2πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，则（）A ．ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个C ．()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点恰有2个D ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减三、填空题13．若函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________.14．已知4sin cos 3αα-=，则sin cos αα=__________．15．已知函数()cos f x x x =+，对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立，则0sin x =_____．16．已知函数π()cos ln(4f x x x =+⋅+在区间[]2022,2022-上的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +=____________．四、解答题17．已知集合{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.（2）命题q ：“x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.18．计算(1)已知tan 3α=．求()()πsin 3sin π23πcos cos 5π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值．(2)计算()sin 501︒+︒．19．为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某部手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x （单位：千部）手机，需另投入可变成本()R x 万元，且()210200800,040,81008018500,40.x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额－固定成本－可变成本）(1)求2023年的利润()W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千部）的函数关系式；(2)2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？20．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为412,513，求cos α和sin β的值；(2)在（1）的条件下，求cos()a β-的值．21．已知函数π()2.4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求()f x 的单调递增区间：(2)若函数()()g x f x m =-在π3π,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为2，求m 的取值范围．22．设函数f (x )=ax -a -x (x ∈R ，a >0且a ≠1).（1）若f (1)<0，求使不等式f (x 2+tx )＋f (4-x )<0恒成立时实数t 的取值范围；（2）若3(1)2f =，g (x )=a 2x ＋a -2x -2mf (x )且g (x )在[1，+∞)上的最小值为-2，求实数m 的值.参考答案：1．A【分析】根据对数的性质确定集合A 、B ，再应用集合的交运算求结果.【详解】由(1,)x ∈+∞，则2log 0y x =>，故{|0}A y y =>，由x 趋向于1时21log 2log x y x ==趋向正无穷大，x 趋向于+∞时21log 2log x y x==趋向0，故{|0}B y y =>，所以A B = {}0y y >.故选：A 2．C【分析】根据交并补的概念和韦恩图判断即可.【详解】A 选项：()M P S = ⑤，故A 错；B 选项：()M P S = ③⑤⑥⑦⑧，故B 错；C 选项：M P ⋂=③⑤，U S =ð①②③④，所以()U M P S = ð③，故C 正确；D 选项：()U M P S = ð①②③④⑤，故D 错.故选：C.3．C【解析】利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.【详解】ln 3ln 1a e =>=Q ，11log 310eeb log =<=，2139c -==，a c b ∴>>．故选:C .【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，属于基础题．4．D【分析】先将22222x xx-+-转化为11[(1)]21xx-+-，根据－4<x<1，利用基本不等式求解.【详解】22211[(1)] 2221 x x xx x-+=-+--又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．∴11[(1)]12(1)xx---+≤---．当且仅当x－1＝11x-，即x＝0时等号成立．故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 5．C【分析】利用诱导公式和同角三角函数平方关系可求得sinα，再次利用诱导公式可求得结果.【详解】33 sin cos25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，3cos5α∴=-，又α是第三象限角，4sin5α∴=-，20214cos sin25παα⎛⎫∴+=-=⎝⎭.故选：C.6．C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：() sin cos cos sin cos cos sin sin2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos0αβαβ-+-=所以()tan1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取=2πα，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（）（）（）cos sin 44ππαβαβ++（）（）sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =sin cos =044422πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选：C.7．B【分析】根据函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，当512x π=时，521232πππ⨯-=，所以图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，选项B 正确；函数的最小正周期为2T π=，所以A 错误；当,312x ππ⎛-∈⎫-⎪⎝⎭时，2,32x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以函数在,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以C 错误；正切函数不是轴对称函数，所以D 错误．故选：B ．8．A【分析】先判断出函数()y f x =是R 上的增函数，把()()2sin cos 0f f αα-+>转化为sin cos αα<，即可求出锐角α的取值范围.【详解】由()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，知：函数()y f x =是R 上的增函数.由()()110f x f x ++-=，即()() 11f x f x +=--，所以由题设：()()2sin cos f f αα->-，∴()()()()() cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-，即有()() 2sin 2cos f f αα->-.∵函数()y f x =是R 上的增函数.∴2sin 2cos αα->-，即sin cos αα<，∵α为锐角﹐则cos 0α>，∴0tan 1α<<，则α的取值范围是0,4π⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A 9．ACD【分析】根据命题的否定定义判断，求参数可转化为函数的最值问题【详解】p 的否定是:0[0,1]x ∃∈,不等式20223x m m -<-，A 正确q 的否定是:0[1,3]x ∀∈,不等式20040x ax -+>，B 错误若p 为真命题,则2min [0,1],(22)3x x m m ∈--,即2320m m -+ 解得12m，C 正确若q 为假命题,则2[1,3],40x x ax ∈-+>恒成立即4a x x<+恒成立因为44x x += ,当且仅当4x x =,即2x =取等所以4a <，D 正确故选：ACD 10．ABD【分析】对于A ，直接根据表达式求定义域即可；对于B ，利用换元法，结合范围即可求得值域；对于C ，首先利用指对互换公式变形，再根据对数计算公式即可求解；对于D ，根据反函数定义以及性质即可求解.【详解】对于A ，因为3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥，即定义域为[)3,∞+，正确；对于B ，令2xt =，()0,t ∞∈+，则原式可变为2213()124f t t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，()0,t ∞∈+，则1122t +>，2131312444t ⎛⎫++>+= ⎪⎝⎭，即()1f t >，即421x x y =++的值域为(1,)+∞，B 正确；对于C ，由23a b k ==，根据指对互换法则，得2log k a =，3log k b =，则由121a b+=可得2312log 22log 3log 2log 9log 181log log k k k k k k k+=+=+==，解得18k =，则C 错误；对于D ，根据反函数定义可知，2x y =与2log y x =互为反函数，由反函数性质可得，互为反函数的图像关于直线y x =对称，正确.故选：ABD 11．AB【分析】结合二倍角公式和正弦的差角公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：选项A sin 60==︒=；选项B ：22cos sin cos121262πππ-==；选项C ：()1cos15sin 45sin15cos 45sin 4515sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=；选项D ：22tan1512tan1511tan 301tan 1521tan 152236︒︒=⨯=︒=⨯=-︒-︒.故选：AB.12．AB【分析】对于A,确定2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，根据零点个数确定5π2π7ππ232ω≤-<，求得参数范围；对于B ，C ，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D ，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，确定2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，计算π2ππ2π,4323ωω--的范围，从而确定()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调性.【详解】当[]0,πx ∈时，2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，因为()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，所以5π2π7ππ232ω≤-<，解得192566ω≤<，故A 正确；又由以上分析可知，函数cos y x =在2π2π[,π3]3ω--上有且仅有4个零点，且5π2π7ππ232ω≤-<，则在2π7π[,)32-上，cos y x =出现两次最大值，此时函数cos y x =的大致图象如图示：即()y f x =在()0,π上两次出现最大值1，即2ππ3x -取0,2π时，()y f x =取最大值，故()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个，故B 正确；由于当(0,π)x ∈时，2π2π2ππ(,333πx ω-∈--，5π2π7ππ232ω≤-<，当2πππ3x -=-时，()y f x =取最小值1-，由于2ππ3x -是否取到3π不确定，故()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能是1个或2个，故C 错误；当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为192566ω≤<，所以π2π043ω->，11ππ2π17π122312ω≤-<，故π2π23ω-的值不一定小于π，所以()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递减.故选：AB.【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.13．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分析可知，对任意的x R ∈，2430kx kx ++≠恒成立，分0k =、0k ≠两种情况讨论，结合已知条件可求得实数k 的取值范围.【详解】因为函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，所以，对任意的x R ∈，2430kx kx ++≠恒成立.①当0k =时，则有30≠，合乎题意；②当0k ≠时，由题意可得216120k k ∆=-<，解得304k <<.综上所述，实数k 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．718-【分析】将已知条件两边平方，结合同角三角函数的平方关系即可求值.【详解】由22216(sin cos )sin 2sin cos cos 12sin cos 9αααααααα-=-+=-=，所以7sin cos 18αα=-.故答案为：718-15【分析】对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立,则0()f x 是()f x 的最大值，由两角和的正弦公式化简函数式，由正弦函数的最大值求得0x ，再计算其正弦值．【详解】1()cos 2(sin cos )2sin()226f x x x x x x π=+=+=+,对于任意x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立,则0()f x 是()f x 的最大值,所以0262x k πππ+=+，Z k ∈，023x k ππ=+，Z k ∈，0sin sin(2sin 33x k πππ=+==．16．π4【分析】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，()g x 时奇函数，可得()g x 在max min ()()0g x g x +=，据此可求M ＋m ，从而求出()f M m +.【详解】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，∴()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，∴设()g x 在[]2022,2022-上有最大值max ()g x ，有最小值min ()g x .∵()(cos ln g x x x -⋅-＝，∴()())cos ln 0g x g x x x x ⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在[]2022,2022-上为奇函数，∴max min ()()0g x g x +=，∴max min ππ(),()44M g x m g x =+=+，∴π2M m +=，()ππ24f M m f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故答案为：π417．（1）1m ≥-；（2）[4,2]-.【分析】（1）B A ⊆，分B 为空集和B 不是空集两种情况讨论求解即可；（2）由x A ∃∈，使得x B ∈，可知B 为非空集合且A B ⋂≠∅，然后求解A B ⋂=∅的情况，求出m 的范围后再求其补集可得答案【详解】解：（1）①当B 为空集时，121,2m m m +<->成立.②当B 不是空集时，∵B A ⊆，12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，∴12m -≤≤综上①②，1m ≥-.（2）x A ∃∈，使得x B ∈，∴B 为非空集合且,121,2A B m m m ≠∅+≥-≤ .当A B ⋂=∅时2142m m -≥⎧⎨≤⎩，无解或132m m +<-⎧⎨≤⎩，4m <-，∴,[4,2]A B m ≠∅∈- .18．(1)4(2)1【分析】(1)先用诱导公式化简，再用同角三角函数的商数关系转化，代入tan 3α=即可求解;(2)用诱导公式化简和同角三角函数的商数关系化简求解.【详解】（1）解：()()πsin 3sin πcos 3sin 13tan 133243πsin cos tan 131cos cos 5π2αααααααααα⎛⎫+++ ⎪---⨯⎝⎭===-+-+-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．（2）sin 501sin 50︒︒⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭原式2sin 5012sin 50cos50cos10cos1022cos10︒︒︒︒︒︒︒⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭sin100cos101cos10cos10︒︒︒︒===19．(1)()2106001050,040,81008250,40.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；(2)90，8070万元.【分析】（1）()()800250W x x R x =--代入分段函数化简即可.（2）分别求分段函数的最值，取最大值即可.【详解】（1）()()()2280025010200800106001050,040,800250810081008250,40.8002508018500x x x x x x W x x R x x x x x x x ⎧--++⎧-+-<<⎪⎪=--==⎨⎨⎛⎫--+≥--+⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩（2）2106001050,040y x x x =-+-<<，当30x =时，max 7950y =；8100825082508070y x x ⎛⎫=-++≤-= ⎝⎭，当且仅当90x =时等号成立.故当产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润为8070万元20．(1)3cos 5α=，12sin 13β=(2)3365【分析】（1）根据正弦和余弦函数的定义即可求得sin α和sin β，进而求得cos α；（2）结合（1）的结论由两角差的余弦公式计算即可．【详解】（1）解：∵1OA =，1OB =，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213，∴4sin 5α=，12sin 13β=，又∵α为锐角，∴cos α＝35．（2）解：∵β为钝角，∴由（1）知cos β=＝－513，∴5312433cos()cos cos sin sin 13513565a ββαβα-=+=-⨯+⨯=．21．(1)π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)⎡-⎣.【分析】（1）利用正弦型函数的性质求函数的增区间；（2）将问题化为()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与直线4y m =的交点有2个，结合正弦型函数性质求()h x 的区间端点值，即可确定参数范围.【详解】（1）令222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z ，解得π3πππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈故()f x 的单调递增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()g x 在π3π,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数等于()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与直线4y m =的交点个数．因为π3π,244x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∈，所以ππ5π2,434x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ242x -=，3π8x =时，则()h x 在π3π,248⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[3π8，3π4]上单调递减．所以()max 1h x =，π3π24242h h ⎛⎫⎛⎫-=-<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以124m -≤<，即m 的取值范围为⎡-⎣.22．（1）35t -<<；（2）2.【分析】(1)由f (1)<0导出01a <<，再探讨函数f (x )的单调性及奇偶性，由此将给定不等式等价转化成一元二次不等式恒成立即可；(2)由3(1)2f =求出2a =，借助换元的思想将函数g (x )转化成二次函数问题即可作答.【详解】（1）()1110f a a a a -=--<=，即210a a-<，而0a >，则210a -<，解得01a <<，显然()f x 在R 上单调递减，又()()x x f x a a f x --=--=，于是得()f x 在R 上是奇函数，从而有()()24f x tx f x ++-<0等价于()()()244f x tx f x f x +<--=-，由原不等式恒成立可得24x tx x +>-，即()2140x t x +-+>恒成立，亦即()21440t ∆=--⨯<，解得：35t -<<，所以实数t 的取值范围是：35t -<<；（2）()1211132a a a a f a a ---====-，即22320a a --=，而0a >，解得：2a =，所以()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+，令22x x t -=-，显然22x x t -=-在[)1,+∞上单调递增，则1322222x x t -=-≥-=，()222h t t mt =-+，对称轴为t m =，当32m ≥时，()()22min 222h t h m m m ==-+=-，解得2m =或2m =-(舍)，则2m =，当32m <时，()2min 33317()()22322224h t h m m ==-⋅+=-=-，解得：253122m =>不符合题意，综上得2m =，所以实数m 的值为2.。
高一数学函数的应用测试题（含答案）
高一数学函数的应用测试题（含答案）高一数学函数的应用测试题(含答案)数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编准备了高一数学函数的应用测试题，具体请看以下内容。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.函数的定义域是( )A.[1，+)B.45，+C.45，1D.45，1解析：要使函数有意义，只要得01，即45答案：D2.设a=20.3，b=0.32，c=logx(x2+0.3)(x1)，则a，b，c的大小关系是()A.aC.c解析：∵a=20.321=2，且a=20.320=1，1∵x1，c=logx(x2+0.3)logxx2=2. cb.答案：B3.已知函数f(x)=ln(x+x2+1)，若实数a，b满足f(a)+f(b-1)=0，则a+b等于()A.-1B.0C.1D.不确定解析：观察得f(x)在定义域内是增函数，而f(-x)=ln(-x+x2+1)=ln1x+x2+1=-f(x)，f(x)是奇函数，则f(a)=-f(b-1)=f(1-b).a=1-b，即a+b=1.答案：C4.已知函数f(x)=-log2x (x0)，1-x2 (x0)，则不等式f(x)0的解集为()A.{x|0C.{x|-1-1}解析：当x0时，由-log2x0，得log2x0，即0当x0时，由1-x20，得-1答案：C5.同时满足两个条件：①定义域内是减函数;②定义域内是奇函数的函数是()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=x3C.f(x)=sinxD.f(x)=lnxx解析：为奇函数的是A、B、C，排除D. A、B、C中在定义域内为减函数的只有A.答案：A6.函数f(x)=12x与函数g(x)= 在区间(-，0)上的单调性为()A.都是增函数B.都是减函数C.f(x)是增函数，g(x)是减函数D.f(x)是减函数，g(x)是增函数解析：f(x)=12x在x(-，0)上为减函数，g(x)= 在(-，0)上为增函数.答案：D7.若x(e-1,1)，a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则()A.aC.b解析：a=lnx，b=2lnx=lnx2，c=ln3x.∵x(e-1,1)，xx2.故ab，排除A、B.∵e-1lnx答案：C8.已知f(x)是定义在(-，+)上的偶函数，且在(-，0]上是增函数，若a=f(log47)，，c=f(0.2-0.6) ，则a、b、c的大小关系是()A.cC.c解析：函数f(x)为偶函数，b=f(log123)=f(log23)，c=f(0.2-0.6)=f(50.6).∵50.6log23=log49log47，f(x)在(0，+)上为减函数，f(50.6)答案：A9.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A.45.606万元B.45.6万元C.46.8万元D.46.806万元解析：设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15-x)辆，总利润L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30，当x=3.0620.15=10.2时，L最大.但由于x取整数，当x=10时，能获得最大利润，最大利润L=-0.15102+3.0610+30=45.6(万元).答案：B10.若f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+3)=f(x)，f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.5B.4C.3D.2解析：f(5)=f(2+3)=f(2)=0，又∵f(-2)=f(2)=0，f(4)=f(1)=f(-2)=0，在(0,6)内x=1,2,4,5是方程f(x)=0的根.答案：B11.函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为()A.[0，18]B.[18，14]C.[14，12]D.[12，1]解析：因为f(x)在定义域内为单调递增函数，而在四个选项中，只有f14f120，所以零点所在区间为14，12.答案：C12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x[0,2]时，f(x)=x2-2x，则当x[-4，-2]时，f(x)的最小值是()A.-19B.-13C.19D.-1解析：f(x+2)=3f(x)，当x[0,2]时，f(x)=x2-2x，当x=1时，f(x)取得最小值.所以当x[-4，-2]时，x+4[0,2]，所以当x+4=1时，f(x)有最小值，即f(-3)=13f(-3+2)=13f(-1)=19f(1)=-19.答案：A第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若函数f(x)=ax2+x+1的值域为R，则函数g(x)=x2+ax+1的值域为__________.解析：要使f(x)的值域为R，必有a=0.于是g(x)=x2+1，值域为[1，+).答案：[1，+)14.若f(x)是幂函数，且满足f(4)f(2)=3，则f12=__________. 解析：设f(x)=x，则有42=3，解得2=3，=log23，答案：1315.若方程x2+(k-2)x+2 k-1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是__________. 解析：设函数f(x)=x2+(k-2)x+2k-1，结合图像可知，f(0)0，f(1)0，f(2)0.即2k-10，1+(k-2)+2k-10，4+2(k-2)+2k-10，解得k12，k23，即1214，我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题及解析
高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题（满分：150分；考试时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题. 每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的） 1．指数函数y=a x 的图像经过点（2，16）则a 的值是 （ ）A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果 （ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．在区间),0(+∞上不是增函数的是 ( )A.2x y =B.x y log 2=C.xy 2= D.122++=x x y 4．式子82log 9log 3的值为 ( ) A .23 B .32C .2D .3 5．已知0ab >，下面四个等式中：①lg()lg lg ab a b =+； ②lg lg lg a a b b=-；③b ab a lg )lg(212= ；④1lg()log 10ab ab =．其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则c b a ,,三者的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 7．已知函数)(x f y =的反函数)21(log )(211-=-x x f，则方程1)(=x f 的解集是（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{4} 8．图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =， l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A. 0<a <b <1<d<cB. 0<b<a <1<c<dC. 0<d<c<1<a<bD. 0<c<d <1<a<bx9．函数y= | lg （x-1）| 的图象是 （ ）10．给出幂函数①f (x )=x ；②f (x )=x 2；③f (x )=x 3；④f (x )=x ；⑤f (x )=1x ．其中满足条件f 12()2x x + ＞12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（.每小题5分，共20分） 11．函数21()log (2)f x x =-的定义域是 ．12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .13．函数)x 2x (log y 221-=的单调递减区间是_________________．14．关于函数21()lg (0,R)||x f x x x x +=≠∈有下列命题：①函数()y f x =的图象关于y 轴对称；②在区 间(,0)-∞上，函数()y f x =是减函数；③函数()y f x =的最小值为lg 2；④在区间(1,)+∞上，函 数()y f x =是增函数．其中正确命题序号为_______________． 三、解答题（6小题，共80分）15．（本小题满分12分）4160.2503432162322428200549-⨯+--⨯--（）（）（）（）16． （本小题满分12分）设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩，求满足()f x =41的x 的值．C17．（本小题满分14分）已知()2xf x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．18．（本小题满分14分）若0≤x ≤2，求函数y=523421+⨯--x x 的最大值和最小值．19．（本小题满分14分）光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为x 块玻璃后强度为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈20．（本小题满分14分）已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数.（1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）若对任意的R t ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题参考答案及解析一、选择题1．D 解析：由a 2=16且a ＞0得a =42．C 解析：原式a ab ba9990653121612132-=-=-=-+-+3．C 解析：根据反比例函数的性质4．A 解析：因log 89=22232log 32log 3log 23=，故原式=23 5．B 解析：ab ＞0，故a 、b 同号；当a 、b 同小于0时，①②不成立；当ab =1时，④不成立，故只有③对。
高一数学阶段性检测试题
高一数学阶段性检测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,4,6}，B={1,2,3,5},则 A C U B 等于A ．{1,3,5}B ．{1,2,3,5}C ．ΦD ．{1,3,4,5,6}2．下列表示①②③ ④中,正确的个数为( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．下列集合中，表示方程组{31=++-y x y x 的解集的是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）4. 函数 ]5,2[,142∈+-=x x x y 的值域是 （ ）A ]61[，B ]13[，-C ]63[，-D ),3[+∞-5. 函数|3|-=x y 的单调递减区间为 （ ）A. ),(+∞-∞B. ),3[+∞C. ]3,(-∞D. ),0[+∞6. 满足条件{a,b}M ⊆≠⊂{a,b,c,d,e}的所有集合M 的个数是 （ ） A.3个 B.7个 C.8个 D.32个7. 下面的图象可表示函数y=f(x)的只可能是 （ ）8． 如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）9．已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N M ( )A ．),1[+∞-B ．]2,1[-C ．),2[+∞D ．φ10．在整数集Z 中，被5除所得的余数为k 的所有整数组成的一个“类”，记为[]{5,}k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =，给出下列四个结论：①2012[2]∈；②3[3]-∈；③[0][1][2][3][4]Z =；④“整数,a b 属于同一‘类’”的条件是“()[0]a b -∈”其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 (本大题共5个小题，每小题5分，共25分，)11. 有15人进了家电超市，其中有９人买了电视机，有７人买了电脑，两种均买了的有３人，则这两种均没买的有 人.12. 已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则{[(1)]}f f f -=13. 若}63|{<<-=x x A ，}|{a x x B ≤=且B A ⊆，则a 的取值范围是_________.14．设全集，，，则的值为15．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计75分）16．（ 12分）若，求实数的值。
函数全章检测考试试题含答案高一数学c
达标测评(总分:160分;时间:120分钟) 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.函数f(x)=0的定义域为.2.函数y=2x+√x+1的值域是.3.已知函数f(x)={x2+1,0≤x≤3,2x+3,-1≤x<0,则f(f(-12))的值为.4.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递减区间是.5.将n2个正整数1,2,3,…,n2填入n×n的方格中,构成n行n列的方阵,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个方阵就叫做n阶幻方,下图就是一个3阶幻方.定义f(n)为n阶幻方对角线上的数的和,例如f(3)=15,那么f(4)= .8 1 63 5 74 9 26.在实数的原有运算法则中,我们定义新运算“☉”如下:当a≥b时,a☉b=a;当a<b 时,a☉b=b,则函数f(x)=(1☉x)x-(2☉x)(x∈[-3,3])的最大值为.7.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时, f(x)= .8.若函数f(x)=a|x-b|+2在[0,+∞)上为增函数,则实数a,b的取值范围是.9.已知f(x)=x 21+x2,那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)= .10.下列四个命题:(1)函数f(x)在x>0时是增函数,在x<0时也是增函数,所以f(x)是增函数;(2)若函数f(x)=ax2+bx+2的图象与x轴没有交点,则b2-8a<0且a>0;(3)y=x2-2|x|-3的递增区间为[1,+∞);(4)y=1+x和y=√(1+x)2表示同一函数.其中,正确命题的个数是.11.函数y=√x+2-√1-x的值域为.12.函数y=√12+x的单调递减区间为.13.若f(x)=ax+1x+2在区间(-2,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.14.设f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则x·f(x)<0的解集是.二、解答题(本大题共6小题,15、16、17题每小题14分,18、19、20题每小题16分,共90分)15.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台需要增加投入100元,已知总收益满足函数f(x)={400x-12x2(0≤x≤400),80000(x>400),其中x是仪器的月产量,x∈N.(1)将利润表示为月产量的函数g(x);(2)当月产量为何值时,公司获得的利润最大?最大利润是多少元?(总利润=总收益-总成本)16.已知定义在R上的函数f(x),对任意的x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.(1)求证: f(0)=1;(2)求证: f(x)是偶函数.17.已知函数f(x)=1a -1x(a>0,x>0).(1)求证: f(x)在(0,+∞)上是单调增函数;(2)若f(x)在[12,2]上的值域是[12,2],求a的值.18.已知f(x)=x2-x+2,当x∈[t,t+1]时(其中t为常数),求函数f(x)的最大值和最小值.19.已知f(x)={x 2,|x |≤1,1,|x |>1.(1)画出f(x)的图象; (2)求f(x)的定义域和值域;(3)试讨论方程f(x)+2a=0的解的个数情况.20.已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)=kf(x+2),其中常数k 为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2). (1)求f(-1),f(2.5)的值;(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性; (3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的值.附加题1.(2014湖南改编,3,5分,★☆☆)已知f(x)、g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x 3+x 2+1,则f(1)+g(1)= .2.(2011北京改编,6,5分,★☆☆)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)={√xx <A ,√Ax ≥A (A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是.一、填空题1.答案{x|x∈R,x<0且x≠-1}解析由题意得解得x<0且x≠-1,所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R,x<0且x≠-1}.2.答案[-2,+∞)解析由已知得x+1≥0,即x≥-1,易知此函数为增函数,所以当x=-1时,y=-2.min∴值域是[-2,+∞).3.答案 5解析因为-∈[-1,0),所以f=2×+3=2.又因为2∈[0,3],所以f=f(2)=22+1=5.4.答案[0,+∞)解析因为函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,所以k-1=0,即k=1,所以f(x)=-x2+3,所以f(x)的单调递减区间为[0,+∞).5.答案34解析由题意知,每列数的和相等,共4列,所有数的和为1+2+3+…+15+16=136,故每列数的和为=34,又每列、每条对角线上的数的和相等,故f(4)=34.6.答案 6解析f(x)=(1☉x)x-(2☉x)=其最大值为6.7.答案-x-x4解析当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0),则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.又∵函数为偶函数,∴f(x)=f(-x),从而在区间(0,+∞)上的函数表达式为f(x)=-x-x4.8.答案a>0,b≤0解析对于函数f(x)=a|x-b|+2,当x≥b时, f(x)=a(x-b)+2=ax-ab+2;当x<b时, f(x)=a(b-x)+2=-ax+ab+2.∵函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴只有当a>0且x≥b时, f(x)=ax-ab+2才能满足.又由x≥b和x≥0得b≤0,∴a>0且b≤0.9.答案解析由f(x)=,得f=,所以f(x)+f=1,所以 f(2)+f=1, f(3)+f=1, f(4)+f=1.又f(1)=,所以原式=+1+1+1=.10.答案0解析(1)错误,反例:f(x)=-;(2)错误,b2-8a<0且a<0也可以;(3)错误,画出图象可知,递增区间为[-1,0]和[1,+∞);(4)错误,两函数的对应法则不同.11.答案[-,]解析由得-2≤x≤1.又易知函数y=-在[-2,1]上单调递增,∴-≤y≤.12.答案(-12,+∞)解析令t=12+x,由于y=在(0,+∞)上递减,故只需求t=12+x的递增且12+x>0时x的取值区间即可.13.答案解析任取x1,x2∈(-2,+∞),设x1>x2,则由已知得f(x1)>f(x2),即f(x1)-f(x2)=-==>0,又x1-x2>0,x1+2>0,x2+2>0,所以2a-1>0,即a>.14.答案{x|-3<x<0或0<x<3}解析由x·f(x)<0得或因为f(-3)=0,且 f(x)为奇函数,所以f(3)=0.所以或由题意知f(x)在(-∞,0)上为增函数,所以-3<x<0或0<x<3.二、解答题15.解析(1)g(x)=(2)当0≤x≤400时,g(x)=-(x-300)2+25 000,故当x=300时,g(x)max=25 000.当x>400时,g(x)为减函数,∴g(x)<g(400)=20 000.综上,当月产量为300台时,公司获得的利润最大,最大利润为25 000元. 16.证明(1)令x=0,y=0,得f(0+0)+f(0-0)=2f(0)f(0),即2f(0)=2[f(0)]2. 又∵f(0)≠0,∴f(0)=1.(2)易知f(x)的定义域关于原点对称,令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y).∵f(0)=1,∴f(y)+f(-y)=2f(y),得f(-y)=f(y), ∴f(x)是偶函数.17.解析(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=--=-=,∵0<x1<x2,∴x1x2>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.(2)由(1)及x∈,知f(x)在上为单调增函数,∴f≤f(x)≤f(2),由已知得∴a=.18.解析f(x)=+,①若t+1≤,即t≤-,则当x=t+1时, f(x)取得最小值t2+t+2;当x=t时, f(x)取得最大值t2-t+2.②若t≤<t+1,即-<t≤,则当x=时, f(x)取得最小值;若-<t≤0,则当x=t时, f(x)取得最大值t2-t+2;若0<t≤,则当x=t+1时, f(x)取得最大值t2+t+2.③若t>,则当x=t时, f(x)取得最小值t2-t+2;当x=t+1时, f(x)取得最大值t2+t+2.19.解析(1)函数f(x)的图象如图.(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.由图象知,当|x|≤1时, f(x)=x2的值域为[0,1];当|x|>1时, f(x)=1,∴函数f(x)的值域为[0,1].(3)∵f(x)+2a=0,∴f(x)=-2a.由图象可知,当-2a<0或-2a>1,即a>0或a<-时,函数y1=f(x)与y2=-2a的图象没有交点,此时方程f(x)+2a=0无解;当-2a=0,即a=0时,方程f(x)+2a=0只有一个解;当0<-2a<1,即-<a<0时, f(x)+2a=0有两个解;当-2a=1,即a=-时, f(x)+2a=0有无数个解.综上可知,当a>0或a<-时, f(x)+2a=0无解;当a=0时, f(x)+2a=0有一个解;当-<a<0时, f(x)+2a=0有两个解;当a=-时, f(x)+2a=0有无数个解.20.解析(1) f(-1)=kf(-1+2)=kf(1)=k×1×(1-2)=-k.∵f(0.5)=kf(2.5),∴f(2.5)=f(0.5)=×0.5×(0.5-2)=-.(2)设-2≤x<0,则0≤x+2<2,∵f(x)=x(x-2),x∈[0,2],∴f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2-2)=kx(x+2).设-3≤x<-2,则-1≤x+2<0,∴f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4).设2<x≤3,则0<x-2≤1.又由已知得f(x-2)=kf(x),∴f(x)=f(x-2)=(x-2)(x-4).∴f(x)=∵k<0,∴由二次函数图象及性质得f(x)在[-3,-1]上是单调增函数,在[-1,1]上是单调减函数,在[1,3]上是单调增函数.(3)由函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,f(x)在x=-3或x=1处取得最小值f(-3)=-k2或f(1)=-1,在x=-1或x=3处取得最大值f(-1)=-k或f(3)=-.故有:①k<-1时,f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k2,在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.②k=-1时,f(x)在x=-3与x=1处取得最小值f(-3)=f(1)=-1,在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1.③-1<k<0时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-1,在x=3处取得最大值f(3)=-.附加题1.答案 1解析∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1.2.答案60,16解析∵=15,∴A>4,则有=30,解得c=60,∴A=16.。
山东烟台市2019-2020学年度第一学期学段检测高一数学试题含答案(定稿)
烟台市2019-2020学年度第一学期期中学业水平诊断高一数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。
超出 答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
1.已知集合{1,2,3,4,5}U =，={1,3,4}A ，={4,5}B ，则()=UA BA .{3}B .{1,3}C .{3,4}D .{1,3,4}2.命题“x ∀∈R ，21x >”的否定是 A .x ∃∈R ，21x ≤ B .x ∃∈R ，21x < C .x ∀∈R ，21x <D .x ∀∈R ，21x ≤3.设a ∈R ，则“0a >”是“20a >”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 4.我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用card()A 表示有限集合A 中元素的个数.例如，{,,}A x y z =，则card()=3A .若非空集合,M N 满足card()M =card()N ，且M N ⊆，则下列说法错误．．的是 A .M N M = B .M N N =C .M N N =D .M N =∅5.设102x <<，则(12)x x -的最大值为A .19B .29C .18D .146.下面各组函数中表示同一个函数的是A .()f x x =，2()g x =B .()f x x =，()g xC .21()1x f x x -=-，()1g x x =+D .()x f x x =，1,0,()1,0.x g x x ≥⎧=⎨-<⎩7.已知231,0,()21,0,x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩若()(1)8f a f +-=，则实数a 的值为 A .2-B .2C .2±D .3±8.若不等式2220mx mx +-<对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围为 A .(2,0)-B .(2,0]-C .(,0)-∞D .(,0]-∞9.某容器如右图所示，现从容器顶部将水匀速注入其中，注满为止. 记容器内水面的高度h 随时间t 变化的函数为()h f t =，则()h f t = 的图象可能是A .B .C .D .10.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数，(0,1)A ，(2,1)B -是其图象上的两点，则不等式(1)1f x ->的解集为 A .(1,1)-B .(,1)(1,)-∞-+∞ C .(1,3) D .(,1)(3,)-∞+∞11.下列结论正确的有A .函数0()(1)1f x x x =-++的定义域为(1,1)(1,)-+∞B .函数()y f x =，[1,1]x ∈-的图象与y 轴有且只有一个交点C .“1k >”是“函数()(1)+f x k x k =-（k ∈R ）为增函数”的充要条件D .若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)=0f12.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是 A .若0ab ≠且a b <，则11a b> B .若01a <<，则3a a < C .若0a b >>，则11b b a a+>+ D .若c b a <<且0ac <，则22cb ab < 13.我们把定义域为[0,)+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：（1）对任意的[0,)x ∈+∞，总有()0f x ≥；（2）若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，下列判断正确的是 A .若()f x 为“Ω函数”，则(0)0f =B .若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[0,)+∞上为增函数C .函数0,,()1,x g x x ∈⎧=⎨∉⎩Q Q在[0,)+∞上是“Ω函数” D .函数2g()+x x x =在[0,)+∞上是“Ω函数”。
北京市2024-2025学年高一上学期第一次第一次阶段检测数学试卷含答案
2024-2025学年度第一学期第一次阶段检测试卷高一数学（答案在最后）一、选择题（1-9题每题4分，10题5分）1.已知集合{}0,1,2A =，{}2,N x x a a A ==∈，则集合A N 等于（）A .{}0； B.{}0,1； C.{}1,2； D.{}0,2．【答案】D【解析】【分析】求出集合N ，根据交集含义即可得到答案.【详解】当0a =时，20x a ==；当1a =时，22x a ==；当2a =时，24x a ==，故{}0,2,4N =，故{0,2}A N ⋂=，故选：D.2.已知集合{}12A x x =<<，302B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则下图阴影部分表示的集合是（）A.{}01x x ≤≤B.{}01x x <≤C.{}01x x ≤<D.{}01x x <<【答案】B【解析】【分析】由图可知阴影部分表示的集合是()R A B ⋂ð，计算出结果即可.【详解】由图可知阴影部分表示的集合是()R A B ⋂ð， {}12A x x =<<，{1R A x x ∴=≤ð或}2x ≥，(){}01R A B x x ∴⋂=<≤ð.故选：B.【点睛】本题考查由Venn 图求集合，属于基础题.3.下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，所以A 、B 、D 三个选项均不符合，只有选项C 符合题意.故选：C .4.下面四个不等式中解集为R 的是（）A.2230x x -+-≥ B.22340x x -+< C.26100x x ++> D.2210x x -+-<【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解.【详解】A ：对应的方程为2230x x -+-=，41280∆=-=-<，所以方程无解，又函数223y x x =-+-图象开口向下，所以原不等式的解集为∅，故A 不符合题意；B ：对应的方程为22340x x -+=，932230∆=-=-<，所以方程无解，又函数2234y x x =-+图象开口向上，所以原不等式的解集为∅，故B 不符合题意；C ：对应的方程为26100x x ++=，364040∆=-=-<，所以方程无解，又函数2610y x x =++图象开口向上，所以原不等式的解集为R ，故C 符合题意；D ：对应的方程为2210x x -+-=，440∆=-=，所以方程有一个解1x =，又函数221y x x =-+-图象开口向下，所以原不等式的解集为{}1x x ≠，故D 不符合题意；故选：C.5.下列对应关系或关系式中是从A 到B 的函数的是（）A.A ⊆R ，B ⊆R ，221x y +=B.{}1,0,1A =-，{}1,2B =，:1f x y x →=+C.A =R ，B =R ，1:2→=-f x y xD.A =Z ，B =Z ，:→=f x y 【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义逐一判断选项即可.【详解】对于A ，221x y +=可化为y =x A ∈（1x =±除外），y 值不唯一，故不符合函数的定义；对于B ，符合函数的定义；对于C ，当2x =时，对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D ，当x 为非正整数时，对应关系无意义，故不符合函数的定义.故选：B6.已知集合(){}2220,A x x a x a a =-++≤∈R ，若集合A 中所有整数元素之和为14，则实数a 的取值范围是（）A.56a ≤< B.56a ≤≤ C.45a ≤≤ D.4a ≥【答案】A【解析】【分析】分2a <、2a =、2a >三种情况讨论，结合已知条件可求得实数a 的取值范围.【详解】若2a <，解不等式()2220x a x a -++≤，即()()20x x a --≤，解得2a x ≤≤，即[],2A a =，当(]1,1a ∈-时，集合A 中的所有整数之和取最大值为123+=，不合乎题意；若2a =，则{}2A =，不合乎题意；若2a >，则[]2,A a =，234514+++= ，且集合A 中所有整数元素之和为14，5A ∴∈且6A ∉，因此，56a ≤<.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合中整数元素和求参数，在解出集合后，关键就是确定集合中的整数元素有哪些，以便确定参数所满足的不等关系，进而求解.7.关于x 的不等式()()0()x a x b x c --≥-解集为{|1 2 3}x x x -≤<≥或，则点(,)P a b c +位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由分式不等式的解集可得,,a b c 的值，再判断点P 位于的象限即可.【详解】解：因为关于x 的不等式()()0()x a x b x c --≥-解集为{|1 2 3}x x x -≤<≥或，由分式不等式的解集可得：1,3,2a b c =-==，或3,1,2a b c ==-=，即2,a b +=即点(2,2)P 位于第一象限，故选A.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属基础题.8.已知,a b 挝R R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则20242024a b +的值为（）A.2- B.1- C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用集合相等，求出b ，再求出a ，检验代入求值即可.【详解】根据题意0a ≠，故0b a=，则0b =，故{}{}2,0,1,,0a a a =，则21a =，即1a =±，当1a =时，与集合的互异性相矛盾，故舍去，当1a =-，0b =时，{}{}1,0,11,1,0-=-，符合题意，所以202420241a b +=，故选：C .9.如果两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则这两个函数为“同族函数”，那么函数{}2,1,2y x x =∈的“同族函数”有A.3个B.7个C.8个D.9个【答案】C【解析】【分析】利用同族函数的定义可知，只要其对应关系，值域相同，定义域不同即可，易得答案．【详解】解：∵函数{}21,2,y x x =∈的值域为{1，4}，所以对应关系是2y x =，值域为{1，4}的函数的定义域可以是：{﹣1，2}，{1，﹣2}，{﹣1，﹣2}，{﹣1，1，2}，{﹣1，1，﹣2}，{2，1，﹣2}，{2，﹣1，﹣2}，{2，1，﹣1，﹣2}，共8个．故选：C ．10.（多选题）已知*(,)f m n ∈N ，且对任何*,m n ∈N 都有：（1）(1,1)1f =，（2）(,1)(,)2f m n f m n +=+，（3）(1,1)2(,1)f m f m +=.则以下结论正确的有（）A.()1,59f = B.()5,116f = C.()5,626f = D.()3,513f =【答案】ABC【解析】【分析】A 选项，根据(1,1)1f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，求出()1,59f =；B 选项，根据(1,1)1f =，(1,1)2(,1)f m f m +=，求出()5,116f =；C 选项，在B 选项()5,116f =基础上，得到()5,626f =；D 选项，根据()3,14f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，得到()()3,53,4212f f =+=.【详解】A 选项，因为(1,1)1f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，所以(1,2)(1,1)2123f f =+=+=，同理可得(1,3)(1,2)2325f f =+=+=，(1,4)(1,3)2527f f =+=+=，(1,5)(1,4)2729f f =+=+=，A 正确；B 选项，因为(1,1)1f =，(1,1)2(,1)f m f m +=，所以()()2,121,12f f ==，()()3,122,14f f ==，()()4,123,18f f ==，()()5,124,116f f ==，B 正确；C 选项，由B 知，()5,116f =，故()()5,25,1218f f =+=，同理可得()()5,35,2220f f =+=，()()5,45,3222f f =+=，()()5,55,4224f f =+=，()()5,65,5226f f =+=，C 正确；D 选项，因为()3,14f =，(,1)(,)2f m n f m n +=+，所以()()3,23,126f f =+=，()()3,33,228f f =+=，()()3,43,3210f f =+=，()()3,53,4212f f =+=，D 错误.故选：ABC二、填空题（每题5分）11.已知函数()213f x x -=-，则()2f =_____.【答案】6【解析】【分析】赋值求出答案.【详解】令3x =得()231336f -=-=，故()26f =.故答案为：612.若集合{}2=10A x ax ax -+==∅,则实数a 的取值范围是__________.【答案】[)0,4【解析】【分析】本题首先要理解{}2=10A x ax ax -+==∅,即210ax ax -+=无实数解,即可求得答案.【详解】当0a =时,原不等式无实解,故符合题意.当0a ≠时,210ax ax -+=无实数解,故∆<0,可得:240a a -<解得:04a <<综上所述,实数a 的取值范围是:[)0,4.故答案为:[)0,4.【点睛】本题考查了根据集合为空集求参数,解题关键是掌握一元二次方程基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.13.若集合{2},{,R}A xx B x x b b =>=<∈∣∣，试写出A B =R 的一个必要不充分条件_____________.【答案】1b >（答案不唯一）【解析】【分析】由题意，结合充要条件与必要不充分条件，利用集合的交集，可得答案.【详解】由A B =R ，则2b >，所以A B =R 的一个必要不充分条件是1b >.故答案为：1b >（答案不唯一）.14.已知{}20(2)4,{1,2,3,4}A xx B =<-≤=∣，则A B _____________；A B ⋂_____________.【答案】①.{|04}x x ≤≤②.{1,3,4}【解析】【分析】先求出集合A,再用并集和交集概念计算即可.【详解】已知(){}2024{|04,2}A xx x x x =<-≤=≤≤≠∣且，则{|04}A B x x =≤≤ ，{1,3,4}A B = .故答案为：{|04}x x ≤≤;{1,3,4}.15.对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．【答案】{x |2≤x <8}【解析】【分析】求解不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0，得出32<[x ]<152，根据题意，进而得出x 的范围.【详解】由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x |2≤x <8}．故答案为：{x |2≤x <8}【点睛】本题考查了二次不等式求解问题，考查了阅读能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于一般题目.三、解答题16.已知全集R U =，集合{121},{25}P xa x a Q x x =+≤≤+=-≤≤∣∣.（1）若3a =，求(),U U Q P Q 痧；（2）若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{2U Q x x =<-ð或>5，(){|24}U P Q x x =-≤< ð（2）(]2-∞，【解析】【分析】（1）当3a =时，可得{|47}P x x =≤≤，进而根据补集和交集的定义求解即可；（2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ，然后考虑P =∅和P ≠∅两种情况分别求解即可．【小问1详解】当3a =时，{|47}P x x =≤≤，{|4U P x x =<ð或7}x >，因为{|25}Q x x =-≤≤，所以{2U Q x x =<-ð或}5x >，(){|24}U P Q x x ⋂=-≤<ð.【小问2详解】若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ，当121a a +>+时，即0a <，此时P =∅，满足PQ ，当P ≠∅时，则12215211a a a a +≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩，解得02a ≤≤，且12a +=-和215a +=不能同时成立，综上所述：实数a 的取值范围为(],2∞-.17.解关于x 的不等式211mx x -≥-.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题意，化简不等式为(1)101m x x --≥-，分类讨论，结合分式不等式的解法，即可求解.【详解】由不等式211mx x -≥-，可得221(1)110111mx mx x m x x x x ---+---==≥---，（1）若10m -=，即1m =时，等价于101x ≤-，解得1x <，不等式的解集为(,1)-∞；（2）若10m ->，即1m >时，等价于1()101x m x --≥-，当111m >-时，即12m <<时，解得1x <或11x m ≥-，不等式的解集为1(,1)[,)1m -∞+∞- ；当111m =-时，即2m =时，10≥恒成立，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；当111m <-时，即2m >时，解得1x >或11x m ≤-，不等式的解集为1(,](1,)1m -∞+∞- .（3）若10m -<，即1m <时，等价于1()101x m x --≤-，解得111x m ≤<-，所以不等式的解集为1[,1)1m -.综上可得：当1m <时，不等式的解集为1[,1)1m -；当1m =时，不等式的解集为(,1)-∞；当12m <<时，不等式的解集为1(,1)[,)1m -∞+∞- ；当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；当2m >时，不等式的解集为1(,(1,)1m -∞+∞- .18.已知函数2()5f x ax bx =+-，对于任意x R ∈，有(2)(2),(2)7f x f x f -=+-=．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[],3t t +上的最小值为8-，求t 的值；【答案】（1）2()45f x x x =--（2）2t =-或3t =【解析】【分析】（1）根据题意可得()f x 关于2x =对称，得出22b a-=，再由(2)7f -=即可求出,a b ；（2）讨论区间与对称轴的位置关系根据二次函数的性质可求出.【小问1详解】因为(2)(2)f x f x -=+，()f x \关于2x =对称，即22b a-=，又(2)4257f a b -=--=，则可解得1,4a b ==-，所以2()45f x x x =--；【小问2详解】当32t +≤，即1t ≤-时，()()()()2min 334358f x f t t t =+=+-+-=-，解得2t =-或0t =（舍去）；当23t t <<+，即12t -<<时，()()min 29f x f ==-，不符合题意；当2t ≥时，()()2min 458f x f t t t ==--=-，解得1t =（舍去）或3t =，综上，2t =-或3t =.19.已知集合{}12,,(2)k A a a a k =≥ ，其中(1,2,)i a i k ∈=Z .定义：若对任意的x A ∈，必有x A -∉，则称集合A 其有性质G .由A 中元素可构成两个点集P 和:{(,),,}Q P x y x A y A x y A =∈∈+∈∣，{(,),,}Q x y x A y A x y A =∈∈-∈∣，其中P 中有m 个元素，Q 中有n 个元素.（1）已知集合{0,1,2,3}J =与集合{1,2,3}K =-，判断它们是否具有性质G ；若有，则直接写出其对应的集合P ，Q ；若无，请说明理由；（2）若集合A 具有性质G ，证明：m n =.【答案】（1）{0,1,2,3}J =不具有性质G ，{1,2,3}K =-具有性质G ，()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,3,2,1Q =-；（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）0J ∈，则0J -∈，故J 不具有性质G ，{1,2,3}K =-具有性质G ，并求出()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,3,2,1Q =-；（2）分(),a b P ∈和(),a b Q ∈两种情况，若(),a b P ∈，推出P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，若(),a b Q ∈，推出Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，从而得到答案.【小问1详解】0J ∈，则0J -∈，故不满足定义，{0,1,2,3}J =不具有性质G ，{1,2,3}K =-，1K -∈，1K ∉，2K ∈，2K -∉，3K ∈，3K -∉，满足要求，故{1,2,3}K =-具有性质G ，由于132K -+=∈，其他均不合要求，故()(){}1,3,3,1P =--，由于231K -=-∈，()213K --=∈，其他不合要求，故()(){}2,3,2,1Q =-；【小问2详解】集合A 具有性质G ，对于(),a b P ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈+∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a Q +∈，如果()(),,,a b c d 是P 中不同元素，那么,a c b d ==中至少有一个不成立，于是b d =，a c b d +=+中至少有一个不成立，故()(),,,a b b c d d ++也是Q 中不同的元素，可见P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，对于(),a b Q ∈，根据定义可知，,,a A b A a b A ∈∈-∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a P -∈，如果()(),,,a b c d 是Q 中不同元素，那么,a c b d ==中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d -=-中至少有一个不成立，故()(),,,a b b c d d --也是P 中不同的元素，可见Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，综上，m n =.【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题的。
1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.已知，则( )A.B. C.D.3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )A. B.C.D.4.函数的图象与直线为常数的交点最多有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数x 的值为A. 1B.C. 1或D.或6.下列命题：①若，则②若，，则③的充要条件是且④若，，则⑤若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.其中真命题的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 57.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，，，，则向量的模为( )A. B. 2 C. D. 48.设函数，则的最小正周期( )A. 与a有关，且与b有关B. 与a有关，但与b无关C. 与a无关，且与b无关D. 与a无关，但与b有关二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，，且，下列结论正确的是( )A. B.C. D. 的最小值为810.要得到函数的图象，可以将函数的图象得到( )A. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位C. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位D. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍11.已知，下列关系可能成立的有( )A. B. C. D.12.下列论断中，正确的有( )A. 中，若A为钝角，则B. 若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数C. 若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象也关于直线对称D. 向量，，满足，则或三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021_2022学年新教材高中数学第三章函数测评含解析新人教B版必修第一册
第三章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山西运城高一期中)函数f (x )=√x -1+2x 2-4的定义域为( )A.[1,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.[1,2)∪(2,+∞),则{x -1≥0,x 2-4≠0,解得{x ≥1,x ≠2.故函数f (x )的定义域是[1,2)∪(2,+∞),故选D .2.(2021北京朝阳高一期末)已知函数y=f (x )可表示为如表所示,则下列结论正确的是( ) A.f (f (4))=3B.f (x )的值域是{1,2,3,4}C.f (x )的值域是[1,4]D.f (x )在区间[4,8]上单调递增f (4)=3,得f (f (4))=f (3)=2,故A 错误;函数的值域为{1,2,3,4},故B 正确,C 错误;由表可知,f (x )在定义域上不单调,故D 错误.故选B .3.(2021山东烟台高一期中)某高三学生去高铁站乘高铁.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘带,于是回到家取上身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x (单位:分钟)表示离开家的时间,y (单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图像中与上述事件吻合最好的是( ),该高三学生离开家的过程中,y 是x 的一次函数,且斜率为正;小明返回家的过程中,y 仍然是x 的一次函数,斜率为负;小明最后由家到高铁站,y 仍然是x 的一次函数,斜率为正值,且斜率比第一段的斜率大,结合图像可知,与上述事件吻合最好的图像为C .故选C .4.(2021山东潍坊高一期中)已知函数f (x )=ax 2+bx+c 满足f (2)<0且f (3)>0,则f (x )在(2,3)上的零点( )A.至多有一个B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有,函数f (x )=ax 2+bx+c 是连续函数,又f (2)<0,f (3)>0,由函数零点存在定理,可知f (x )在(2,3)上的零点个数有且只有一个,故选C .5.(2021浙江杭州中学高一期中)若函数f (x )满足关系式f (x )+2f (1-x )=-3x ,则f (2)的值为( ) A.-3B.32C.-52D.52f (x )+2f (1-x )=-3x,令x=2,则有f (2)+2f (-1)=-32;令x=-1,则有f (-1)+2f (2)=3.由上式可得f (2)=52,故选D .6.(2021河北邯郸高一期中)已知函数f (x )=ax 2+b x是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数.若f (2)=3,则a+b 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.0函数f (x )是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数,∴b-3+b-1=0,即2b=4,解得b=2,则f (x )=ax 2+2x.∵f (2)=3,∴f (2)=4a+22=3,解得2a+1=3,即a=1.因此a+b=1+2=3,故选C .7.已知函数f (x )={x 2+1(x ≤0),2x (x >0),若f (a )=10,则a 的值是( )A.-3或5B.3或-3C.-3D.3或-3或5a ≤0,则f (a )=a 2+1=10,∴a=-3(a=3舍去),若a>0,则f (a )=2a=10,∴a=5,综上可得,a=5或a=-3,故选A .8.(2021广西北海高一期末)已知定义在[-2,2]上的奇函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈[-2,2]都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则不等式f (x+1)+f (1-4x )>0的解集为( )A.-14,34B.23,34C.-14,1 D.-14,23解析由f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0可知函数f (x )在[-2,2]上单调递减,f (x )是奇函数,所以f (x+1)>-f (1-4x )=f (4x-1).所以{-2≤x +1≤2,-2≤1-4x ≤2,x +1<4x -1,解得{-3≤x ≤1,-14≤x ≤34,x >23,所以23<x ≤34,即不等式的解集为23,34.故选B .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.下列对应关系f ,能构成从集合M 到集合N 的函数的是 ( )A.M=12,1,32,N={-6,-3,1},f 12=-6,f (1)=-3,f32=1B.M=N={x|x ≥-1},f (x )=2x+1C.M=N={1,2,3},f (x )=2x+1D.M=Z ,N={-1,1},f (x )={-1,x 为奇数,1,x 为偶数解析∵M=12,1,32,N={-6,-3,1},f 12=-6,f (1)=-3,f32=1,由定义知M 中的任一个元素,N 中都有唯一的元素和它相对应,∴构成从集合M 到集合N 的函数,故A 正确;由M=N={x|x ≥-1},f (x )=2x+1,能构成从集合M 到集合N 的函数,故B 正确;由M=N={1,2,3},f (x )=2x+1,∵f (2)=5,f (3)=7,5∉{1,2,3},7∉{1,2,3},因此不能构成从集合M 到集合N 的函数,故C 错误;由M=Z ,N={-1,1},f (x )={-1,x 为奇数,1,x 为偶数,因此能构成从集合M 到集合N 的函数,故D 正确.故选ABD .10.(2021重庆八中高一期中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ) A.y=f (-x ) B.y=f (x )+x 3 C.y=f (x )xD.y=√x 3f (x )F (x )=f (-x ),其定义域为R ,则有F (-x )=f [-(-x )]=f (x )=-f (-x )=-F (x ),函数y=f (-x )为奇函数,故A 正确;设F (x )=f (x )+x 3,其定义域为R ,则有F (-x )=f (-x )+(-x )3=-[f (x )+x 3]=-F (x ),函数y=f (x )+x 3为奇函数,故B 正确;设F (x )=f (x )x,其定义域为{x|x ≠0},则有F (-x )=f (-x )-x=f (x )x=F (x ),是偶函数,故C 错误;由于函数y=√x 3f (x ),其定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,不是奇函数,故D 错误. 故选AB.11.(2020山东日照高二期末)如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图像的一部分,图像过点A (-3,0),且对称轴为x=-1,则以下选项中正确的为( )A.b 2>4acB.2a-b=1C.a-b+c=0D.5a<ba<0,与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得c>0.因为二次函数的图像与x 轴有2个不同交点,所以Δ=b 2-4ac>0,故A 正确; 因为对称轴方程为x=-1,所以-b2a =-1,即2a-b=0,故B 不正确;又因为图像过点A (-3,0),且对称轴方程为x=-1,所以图像与x 轴的另一个交点是(1,0),把点(1,0)代入解析式得a+b+c=0,故C 不正确;把x=-3代入解析式得9a-3b+c=0,与a+b+c=0联立,两式相加并整理得10a-2b=-2c<0,即5a<b ,故D 正确.故选AD.12.(2021山东临沂高一期中)某校学习兴趣小组通过研究发现形如y=ax+bcx+d (ac ≠0,b ,d 不同时为0)的函数图像可以通过反比例函数的图像平移变换而得到,则对于函数y=x+2x -1的图像及性质的下列表述正确的是( )A.图像上点的纵坐标不可能为1B.图像关于点(1,1)成中心对称C.图像与x 轴无交点D.函数在区间(1,+∞)上单调递减y=x+2x -1=x -1+3x -1=1+3x -1,因此函数y=x+2x -1的图像可以看作是由y=3x的图像先向右平移一个单位,再向上平移一个单位而得到,因此函数图像上点的纵坐标不可能为1,函数图像关于点(1,1)成中心对称,函数图像与x 轴交点为(-2,0),函数y 在区间(1,+∞)上单调递减,故选ABD . 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数y=f (x )在定义域R 上的值域为[0,1],则函数y=f (x-1)+1的值域为 .,而只有上下平移才改变函数的值域,因此函数y=f (x-1)+1的值域为[1,2].14.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为 立方米.x 立方米,所缴水费为y 元,由题意得y={3x ,0≤x ≤10,30+5(x -10),x >10,即y={3x ,0≤x ≤10,5x -20,x >10.由于该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15. 15.已知函数f (x )=3+x 1+x,记f (1)+f (2)+f (4)+…+f (1 024)=m ,f12+f14+…+f11024=n ,则m+n= .解析由题意得f (x )+f1x=x+3x+1+1x +31x+1=x+3x+1+1+3x x+1=4(x+1)x+1=4,f (1)=3+11+1=2,∴m+n=f (1)+f12+f (2)+f 14+f (4)+…+f11024+f (1024)=2+4×512=2050.16.(2021江苏海门中学高一期中)设函数f (x )={-(x -a )2+a 2,x ≤0,-x 2+2x +1-a ,x >0,若f (0)是f (x )的最大值,则a 的取值范围为 .+∞)a>0,则满足题意的函数f (x )的图像如图所示:由数形结合可得Δ=4+4(1-a )≤0,解得a ≥2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2021山东德州高一期中)已知函数f (x )=x+1x .(1)用定义法证明f (x )在[1,+∞)上为增函数;(2)若对∀x ∈[2,4],恒有f (x )≤2m-1,求实数m 的取值范围. (1)证明设1≤x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=x 2+1x 2-x 1-1x 1=(x 2-x 1)+x 1-x2x 1x 2=(x 2-x 1)1-1x 1x 2=(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2,因为x 2>x 1≥1,所以x 2-x 1>0且x 1x 2>1. 所以(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2>0,即f (x 2)-f (x 1)>0,f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在[1,+∞)上是增函数.(1)知f (x )在[2,4]上单调递增,所以f (x )max =f (4)=174.所以2m-1≥174,即m ≥218. 所以m 的取值范围是218,+∞.18.(12分)(2020辽宁朝阳一中高一期中)设函数f (x )=ax 2+ax-1(a ∈R ). (1)当a=12时,求函数f (x )的零点; (2)讨论函数f (x )零点的个数.当a=12时,函数f (x )=12x 2+12x-1,令12x 2+12x-1=0,解得x=1或x=-2.函数f (x )的零点为1,-2.(2)当a=0时,f (x )=ax 2+ax-1=-1,函数没有零点; 当a ≠0时,Δ=a 2+4a.若Δ=a 2+4a=0,解得a=-4,此时函数f (x )有1个零点. 若Δ=a 2+4a>0,解得a<-4或a>0,此时函数有2个零点. 若Δ=a 2+4a<0,解得-4<a<0,此时函数没有零点. 综上所述,当a=-4时,函数f (x )有1个零点. 当a<-4或a>0时,函数有2个零点, 当-4<a ≤0时,函数没有零点.19.(12分)(2021云南玉溪一中高一期中)已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),满足f (x+1)-f (x )=2x ,且f (0)=1.(1)求函数f (x )的解析式;(2)函数f (x )在区间[n ,1)上的值域是34,1,求n 的取值范围.因为二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),满足f (x+1)-f (x )=2x ,且f (0)=1,所以a (x+1)2+b (x+1)+c-ax 2-bx-c=2x ,c=1, 即2ax+a+b=2x ,故a=1,b=-1,c=1. 所以函数f (x )的解析式为f (x )=x 2-x+1.(2)因为f (x )=x 2-x+1的开口向上,对称轴x=12,且f12=34,f (0)=f (1)=1,由f (x )在区间[n ,1)上的值域是34,1可得0<n ≤12.故n 的取值范围为0,12. 20.(12分)(2020江苏启东高一期中)已知函数f (x )=1x-1+12(x>0).(1)若m>n>0时,f (m )=f (n ),求1m +1n 的值;(2)若m>n>0时,函数f (x )的定义域与值域均为[n ,m ],求所有m ,n 的值.∵f (m )=f (n ),∴1m -1+12=1n-1+12.∴1m-1=1n-1,∴1m -1=1n -1或1m -1=1-1n . ∵m>n>0,∴1m +1n =2.(2)由题意f (x )={1x -12,0<x ≤1,32-1x,x >1,∴f (x )在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. ①0<n<m ≤1,则f (n )=m ,f (m )=n ,∴{1n -12=m ,1m -12=n ,解得m=n=√17-14(舍去).②n<1<m ,则f (x )min =f (1)=12=n ,f (x )max =m=max{f (n ),f (m )}=max 32,f (m ),∴m=32. ③1≤n<m ,则f (n )=n ,f (m )=m ,无解. 综上,m=32,n=12.21.(12分)(2021山东聊城高一期中)为了节能减排,某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后,该农场每年消耗的电费C (单位:万元)与太阳能电池面积x (单位:平方米)之间的函数关系为C (x )={m -4x5,0≤x ≤10,m x ,x >10(m 为常数).已知太阳能电池面积为5平方米时,每年消耗的电费为8万元.安装这种供电设备的工本费为0.6x (单位:万元).记F (x )为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和. (1)写出F (x )的解析式;(2)当x 为多少平方米时,F (x )取得最小值?最小值是多少万元?(精确到小数点后一位)(已知√3≈1.7,√10≈3.2)当0≤x ≤10时,C (x )=m -4x 5,由题意8=m -4×55,即m=60.∴C (x )={60-4x5,0≤x ≤10,60x,x >10,则F (x )={10×60-4x5+0.6x ,0≤x ≤10,10×60x +0.6x ,x >10,化简可得F (x )={120-7.4x ,0≤x ≤10,600x+0.6x ,x >10.(2)当0≤x ≤10时,F (x )=120-7.4x ,可得F (x )min =F (10)=46(万元), 当x>10时,F (x )=600x+610x ≥2√600x·610x =6√10≈19.2(万元),当且仅当600x=610x ,即x=10√10≈32平方米时,等号成立,故当x 为32平方米时,F (x )取得最小值,最小值是19.2万元.22.(12分)(2021重庆外国语学校高一期中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x.函数f (x )在y 轴左侧的图像如图所示,并根据图像:(1)画出f (x )在y 轴右侧的图像并写出函数f (x )(x ∈R )的单调递增区间; (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式;(3)若函数g (x )=f (x )+(4-2a )x+2(x ∈[1,2]),求函数g (x )的最小值.函数f (x )是定义在R 上的偶函数,即函数f (x )的图像关于y 轴对称,则函数f (x )图像如图所示.故函数f (x )的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). (2)根据题意,令x>0,则-x<0,则f (-x )=x 2-2x ,又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数,则f (x )=f (-x )=x 2-2x ,则f (x )={x 2+2x ,x ≤0,x 2-2x ,x >0.(3)根据题意,x ∈[1,2],则f (x )=x 2-2x ,则g (x )=x 2-2x+(4-2a )x+2=x 2+(2-2a )x+2, 其对称轴为x=a-1,当a-1<1时,即a<2时,g (x )在区间[1,2]上单调递增,g (x )min =g (1)=5-2a ; 当1≤a-1≤2时,即2≤a ≤3时,g (x )min =g (a-1)=1+2a-a 2;当a-1>2时,即a>3时,g (x )在区间[1,2]上单调递减,g (x )min =g (2)=10-4a , 故g (x )min ={5-2a ,a <2,1+2a -a 2,2≤a ≤3,10-4a ,a >3.。
高一数学：函数章节测试题(含解析)
函数章节测试卷（时间120，满分150）一．选择题1. 函数f (x )＝)12(log 13-12++x x的定义域为（ ）A ．(－21,0) B ．(－21，＋∞) C ．(－21，0)∪(0，＋∞) D ．(－21，2) 2. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,30,log 21x x x x ，则f (f (4))=（ ）A ．－91B ．－9C ．91 D ．93. 设a =log 54－log 52，b=3ln 32ln +，c=5lg 2110，则a ,b,c 的大小关系为（ ）A ．a<b<cB ．b <c<aC ．c<a<bD ．b <a <c4. 函数y=21x －1的图像关于x 轴对称的图像大致为（ ）5. 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)=2，则不等式f (log 2x )>2的解集为（ ）A ．(2，＋∞)B ．(0，21)∪ (2，＋∞) C ．(0，22)∪ (2，＋∞)D ． (2，＋∞)6. 设函数f (x )满足f (x+π)=f (x )+sin x ，当0≤x <π时，f (x )=0，则f (623π)=（ ） A ．21B ．23C ．0D ．－217. 函数y=)106(log 231+-x x 在区间[1，2]上的最大值为（ ）A ．0B ．5log 31 C ．2log 31D ．18. 设函数f (x )=))((22b ax x x x +++，若对任意的x ，都有f (x )=f (2－x )，则f (x )的零点个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29. 已知函数f (x )＝ ⎩⎨⎧<≥+-0,0,3x a x a x x，是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0，1) B ．(0，31] C ．[31，1) D ．[31，＋∞) 10. 函数f (x )的图像与函数g (x )=x)21(的图像关于直线y=x 对称，则f (2x －x 2)的单调递减区间为（ ）A ．(－∞，1)B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．[1，2]11. 在如图所示的锐角三角形空地（底边长为40m ，高为40m ）中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园，则其边长x 的取值范围为（ ）A ．[15,20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]12. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧≥+--<-1,2)2(1,)1(log 25x x x x ，则方程f (x+x 1－2)＝a 的实根的个数不可能为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二. 填空题13. 已知函数f (x )＝ ⎩⎨⎧<≥+0),(0,22x x g x x x 为奇函数，则f (g (－1))= . 14. 已知函数f (x )＝x 2+mx －1,若对于任意的x ∈[m ，m+1]都有f (x )<0，则m 取值范围为 .15. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈]3,1(,2329]1,0[,3x x x x ，当t ∈[0，1]时，f (f (t))∈[0，1]，则t 取值范围为 . 16. 函数f (x )＝ ⎩⎨⎧≤+>+-0,140,2ln 2x x x x x x 的零点个数为 . 三．解答题17. 函数f (x )＝ax)21(，a 为常数，且函数图像过点（－1，2）. （1）求a 的值（2）若g (x )=x-4－2, 且g (x )=f (x )，求满足条件的x 的值。
必修一数学《函数的应用》经典习题(含答案解析)
必修一数学(第三章函数的应用)单元检测(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020·洛阳高一检测)函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)零点的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2020·宜昌高一检测)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=03.已知方程x=3-lgx,下列说法正确的是( )A.方程x=3-lgx的解在区间(0,1)内B.方程x=3-lgx的解在区间(1,2)内C.方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内D.方程x=3-lgx的解在区间(3,4)内4.(2020·长沙高一检测)已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面命题错误的是( )A.函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B.函数f(x)在(3,5)内无零点C.函数f(x)在(2,5)内有零点D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点5.(2020·临川高一检测)设x0是方程lnx+x=4的解,则x0在下列哪个区间内( )A.(3,4)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)6.(2020·新余高一检测)下列方程在区间(0,1)存在实数解的是( )A.x2+x-3=0B.x+1=0C.x+lnx=0D.x2-lgx=07.(2020·郑州高一检测)函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( )A. B.(-2,-1)C.(1,2)D.8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A.10%B.15%C.18%D.20%9.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是( )10.若方程a x-x-a=0有两个解,则a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.∅11.(2020·福州高一检测)若函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f可以是( )A.f=4x-1B.f=(x-1)2C.f=e x-1D.f=ln12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是( )A.①②③B.①③C.②③D.①②二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020·南昌高一检测)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是.14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,则实数k的取值范围是.15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k= .16.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)的图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 18.(12分)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2.(1)求f(x).(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.19.(12分)用二分法求方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解.(精确度为0.1,参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727) 20.(12分)(2020·潍坊高一检测)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.21.(12分)(2020·徐州高一检测)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.22.(12分)A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?参考答案与解析1【解析】选D.由图象知与x轴有4个交点,则函数f(x)共有4个零点.2【解析】选C.f(a)f(b)<0时,存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,f(a)f(b)>0时,可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0.3【解析】选C.2<3-lg2,3>3-lg3,又f(x)=x+lgx-3在(0,+∞)上是单调递增的,所以方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内.4【解析】选C.f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则区间(1,3)内必有零点,(2,5)内不一定有零点,(3,5)内无零点,所以选C.5【解析】选D.令f(x)=lnx+x-4,由于f(2)=ln2+2-4<0,f(3)=ln3+3-4>0,f(2)·f(3)<0,又因为函数f(x)在(2,3)内连续,故函数f(x)在(2,3)内有零点,即方程lnx+x=4在(2,3)内有解.6【解题指南】先从好判断的一次方程、二次方程入手,不好求解的利用函数图象的交点进行判断.【解析】选 C.x2+x-3=0的实数解为x=和x=,不属于区间(0,1);x+1=0的实数解为x=-2,不属于区间(0,1);x2-lgx=0在区间(0,1)内无解,所以选C,图示如下:7【解析】选 B.f(x)=3x-log2(-x)的定义域为(-∞,0),所以C,D不能选;又f(-2)·f(-1)<0,且f(x)在定义域内是单调递增函数,故零点在(-2,-1)内.8【解析】选D.设平均每次降低的百分率为x,则2000(1-x)2=1280,解得x=0.2,故平均每次降低的百分率为20%.9【解析】选A.注入溶液量V随溶液深度h的增加增长越来越快,故选A.10【解析】选A.画出y1=a x,y2=x+a的图象知a>1时成立.11【解析】选A.f=4x-1的零点为x=,f=(x-1)2的零点为x=1,f=e x-1的零点为x=0,f=ln的零点为x=.现在我们来估算g=4x+2x-2的零点,因为g(0)= -1,g=1,g<0,且g(x)在定义域上是单调递增函数,所以g(x)的零点x∈,又函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f=4x-1的零点适合.12【解析】选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.13【解析】令f(x)=x3-2x-5,f(2.5)·f(2)<0所以下一个有根的区间是(2,2.5). 答案:(2,2.5)14【解析】关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,等价于函数y=f(x)与y=k 的图象有唯一一个交点,在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象.由图象可知实数k的取值范围是[0,1)∪(2,+∞).答案:[0,1)∪(2,+∞)15【解析】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点在(1,3)内,又因为f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0,f(x)=lgx+x-3是单调递增函数,所以k=2.答案:216【解析】f(1)·f(2)<0,y=f(x)在区间(1,2)内有一个零点,由偶函数的对称性知,在区间(-2,-1)内也有一个零点,所以共有2个零点.答案:217【解析】因为函数的图象是连续不断的,并且由对应值表可知f·f<0,f·f(0)<0,f·f<0,所以函数f在区间(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点.18【解析】(1)因为f(x)的两个零点分别是-3,2,所以即解得a=-3,b=5,f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)知f(x)=-3x2-3x+18的对称轴x=-,函数开口向下,所以f(x)在[0,1]上为减函数,f(x)的最大值f(0)=18,最小值f(1)=12,所以值域为[12,18].19【解析】设函数f(x)=2x+x-8,则f(2)=22+2-8=-2<0,f(3)=23+3-8=3>0,所以f(2)·f(3)<0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点x0,即原方程的解. 用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.157(2,2.5)2.25-0.993(2.25,2.5)2.375-0.438(2.375,2.5)2.437 5-0.145 5由表可得x0∈(2,2.5),x0∈(2.25,2.5),x0∈(2.375,2.5),x0∈(2.4375,2.5).因为|2.4375-2.5|=0.0625<0.1,所以方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解可取为2.4375.20【解析】设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意知:c=3,-=2.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,则+=10,所以(x1+x2)2-2x1x2=10,所以-=10,所以16-=10,所以a=1.代入-=2中,得b=-4.所以f(x)=x2-4x+3.21【解析】p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2500x-4000,x∈[1,100],x∈N,所以Mp(x)=p(x+1)-p(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4000),=2480-40x,x∈[1,100],x∈N;所以p(x)=-20+74125,x∈[1,100],x∈N,故当x=62或63时,p(x)max=74120(元),因为Mp(x)=2480-40x为减函数,当x=1时有最大值2440.故不具有相等的最大值.边际利润函数取最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.22【解析】(1)设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座火车票,依题意得:解得则2m=20,答:参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.(2)由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,①当180≤x<210时,最经济的购票方案为:学生都买学生票共180张,(x-180)名成年人买二等座火车票,(210-x)名成年人买一等座火车票.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51×180+68(x-180)+81(210-x),即y=-13x+13950(180≤x<210).②当0<x<180时,最经济的购票方案为:一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共(210-x)张.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51x+81(210-x),即y=-30x+17010(0<x<180).(3)由(2)小题知,当180≤x<210时,y=-13x+13950,由此可见,当x=209时,y的值最小,最小值为11233元,当x=180时,y的值最大,最大值为11610元.当0<x<180时,y=-30x+17010,由此可见,当x=179时,y的值最小,最小值为11640元,当x=1时,y的值最大,最大值为16980元.所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花11233元,最多。
山西省太原市第五中学2018-2019学年高一12月月考数学试题(解析版)
太原五中2018—2019学年度第一学期阶段性检测高一数学命题：廉海栋禹海清校对：薛亚云时间：2018.12第Ⅰ卷一.选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分母中根式大于0，对数的真数大于0联立不等式组求解即可．【详解】由，解得1＜x＜4．∴函数f（x）定义域为{x|1＜x＜4}．故选：B．【点睛】本题考查了根式和对数函数的解析式求定义域的问题，属于基础题．2.下列幂函数中过点，（1,1）的偶函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：四个选项中的函数，，均过点，函数不过点，所以排除C选项．函数定义域为，所以函数为非奇非偶函数；，为偶函数；，为奇函数．综上可知B正确．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题主要考查的是函数奇偶性定义，属于容易题．判断函数奇偶性时应先求其定义域，若定义域不关于原点对称，则直接下结论此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再进一步验证若则此函数为偶函数，若则此函数为奇函数，若且则此函数为非奇非偶函数．3.如图是一个算法的流程图，若输入x的值为1，则输出的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A【解析】【分析】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是计算变量f(x)并输出，根据x值可得．【详解】由程序框图知其功能是计算并输出分段函数f(x)的值．因为x=1，满足的条件，所以==1，故输出的值为1.故选：A．【点睛】本题考查根据流程图求程序的运行结果，解题的关键是从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，属于基础题．4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为的零点所在区间为可以根据端点值的函数值异号，来判定选项为C.也可以用图像法来求解交点的大概位置，再估算。
5.下列式子中成立的是（）A. B. C. 3.5 D.【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，故A错；因为当时，为增函数，所以，，故B，C错；因为，，所以，故D正确，故选D．考点：函数的单调性．【方法点睛】（1）比较同底数的对数值大小时，考虑使用对数函数的单调性；（2）如果底数与真数都不相同时，经常采用放缩法或借助第三个量来比较大小（通常以1作为中间量）；（3）也可利用函数图象及其相互位置关系来比较大小．6.函数在上最大值和最小值之和为，则的值为（）A. B. C. 2 D. 4【答案】B【解析】由题意得当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，则函数在上的最大值、最小值之和为，则，解得。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高一上学期阶段性检测数学试题(解析版)
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高一上学期阶段性检测数学试题一、单选题1．已知集合{22}A xx =-≤≤∣，{}2560B x x x =--≤，则()R A B =（ ） A ．{|2x x <-或2}x > B ．{26}xx <≤∣ C ．{2xx <-∣或}1xD ．{23}xx ≤≤∣ 【答案】C【分析】解不等式确定集合B ，然后由集合的运算的定义计算．【详解】{}2560{|16}B x x x x x =--≤=-≤≤，R{|2A x x =<-或2}x >，∴()R {|2A B x x =<-或}1x ，故选：C ．2．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．3．下列函数是奇函数，且在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．1y x x=-B ．||2x y -=C ．||1y x =+D ．2y x【答案】A【分析】利用奇函数的判定以及增函数的判定即可求解. 【详解】对于A ，因为11()()f x x x f x x x-=--=-+=--，所以()f x 为奇函数， 又1y x=-与y x =在()0,∞+上均为增函数，根据“增+增=增”性质，得()f x 在()0+∞，上单调递增，所以A 正确； 对于B ，因为()22()x xf x f x ----===，所以为偶函数，故B 错；对于C ，D 同样可以判断均为偶函数，不符合题意. 故选：A4．已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数1()xf x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()log b g x x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先由22log log 0a b +=求得1b a=，再将()log b g x x =转化为1()log a g x x =，再利用反函数的性质即可得到正确选项B【详解】由22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠）， 可得()2log 0ab =，则1ab =，则1b a= 则1()log log b ag x x x==，又1()xf x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g x 与()f x 互为反函数，则()g x 与()f x 单调性一致，且两图像关于直线y x =轴对称 故选：B5．函数()2()ln 2f x x x =-+的单调递增区间是（ ）A ．(,1)-∞B ．（1，2）C ．（0，1）D ．(1,)+∞【答案】C【分析】令22x x μ=-+，则ln y μ=，求出函数的定义域，分别求出两个函数的单调区间，根据复合函数的单调性符合“同增异减”的原则，即可得出答案. 【详解】解：令22x x μ=-+，则ln y μ=，220x x -+>，则02x <<，所以函数()f x 的定义域为()0,2，而()22211x x x -+=--+，以1x =为对称轴， 所以函数μ在()0,1单调递增，在()1,2单调递减， 而函数ln y μ=为增函数，根据复合函数的单调性可知，函数()2()ln 2f x x x =-+的单调递增区间是()0,1，故选：C.6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当[0,)x ∈+∞时，()33x f x =-，则不等式(1)0f x ->的解集为（ ） A ．()0,2 B ．(,0)(1,2)-∞C ．(2,)+∞D ．(,0)(2,)-∞+∞【答案】D【分析】先判断当[0,)x ∈+∞时，()33x f x =-的单调性，然后计算出()10f =，再利用函数奇偶性和单调性求解即可.【详解】显然，当[0,)x ∈+∞时，()33x f x =-单调递增，且()10f = 因为(1)0f x ->，则有()(1)1f x f -> 又因为()f x 是定义在R 上的偶函数 则11x ->，解得2x >或0x <. 故选：D7．已知函数()()4211x a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，是R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．()01，B ．()13，C ．423⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．312⎛⎤⎥⎝⎦，【答案】C【分析】根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围.【详解】函数()()4211x a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，，若()f x 在R 上为单调递增函数， 则()14201421a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯≤⎩，解得423a ≤<；若()f x 在R 上为单调递减函数， 则()142001421a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⨯≥⎩，无解． 综上所述，实数a 的取值范围为423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，． 故选：C8．已知关于x 的不等式240ax bx ++>的解集为()4,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，其中0m <，则4b a b +的最小值为（ ） A ．－4 B ．4 C ．5 D ．8【答案】C【分析】根据不等式240ax bx ++>的解集求出a 的值和b 的取值范围，在代入4ba b +中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.【详解】由240ax bx ++>的解集为()4,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，则0a >，且m ，4m是方程240ax bx ++=的两根， 由根与系数的关系知444b m m am m a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得1a =，()44b m m ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2m =-时等号成立，故44b b a b b+=+， 设4f b bb，4b函数f b 在4,b 上单调递增，所以min44454f bf所以4ba b +的最小值为5.故选：C二、多选题9．下列叙述中正确的是（ ） A ．若x A B ∈，则x A B ∈ B ．若21log 2x =，则x C ．已知a ，b ∈R ，则“b aa b<”是“0a b <<”的必要不充分条件 D ．命题“x Z ∀∈，20x >”的否定是x Z ∀∈，20x ≤ 【答案】ABC【分析】A 项，若A B ⊆，则x A x B ∈⇒∈ B 项，根据指对数转化即log M a N M a N =⇒= C 项，当0a >并且0b >，化简b aa b<是否能推出0a b <<，判断充分性, 0a b <<时判断b aa b-与零的大小关系，判断必要性.D 项，全称量词命题的否定是存在量词命题 【详解】对于A 项，()()A B A B ⊆∴x A B ∈则x A B ∈，所以A 正确对于B 项，由指对数转化得，21log 2x =，所以122x =即 x B 正确. 对于C 项，当0a >并且0b >时，又因为b aa b<，两边同乘ab ，得22b a <，所以0a b >>推不出0a b <<，所以充分性不成立，当0a b <<时()()220b a b a b a b a a b ab ab+---==<，即b a a b <所以必要性成立， 所以C 正确.对于D 项，命题“x Z ∀∈，20x >”的否定为“0x Z ∃∈，200x ≤”，所以D 项错误.故选：ABC10．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则一定有ac bd > B ．若(21)log (2)x x --有意义，则1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．若15a ≤≤，12b -≤≤，则16a b -≤-≤D ．若1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b <【答案】CD【分析】根据不等式的性质判断AC ，由对数函数的定义求函数定义域判断B ，由指数函数单调性判断D ．【详解】选项A ，例如1,2,2,3a b c d ==-==-，则ac bd <，A 错；选项B ，由20210211x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩得122x <<且1x ≠，B 错；选项C ，12b -≤≤21b ⇒-≤-≤，又15a ≤≤，∴16a b -≤-≤，C 正确； 选项D ，由于1()2x y =在R 上是减函数，因此由1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得a b <，D 正确．故选：CD ．11．下列命题正确的是（ ）A．函数y [3,)+∞ B ．函数421x x y =++的值域为(1,)+∞C ．已知23a b k ==（1k ≠），且121a b+=，则实数8kD ．2x y =与2log y x =互为反函数，其图像关于y x =对称 【答案】ABD【分析】对于A ，直接根据表达式求定义域即可；对于B ，利用换元法，结合范围即可求得值域；对于C ，首先利用指对互换公式变形，再根据对数计算公式即可求解；对于D ，根据反函数定义以及性质即可求解.【详解】对于A ，因为3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥，即定义域为[)3,∞+，正确；对于B ，令2xt =，()0,t ∞∈+，则原式可变为2213()124f t t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，()0,t ∞∈+，则1122t +>，2131312444t ⎛⎫++>+= ⎪⎝⎭，即()1f t >，即421x xy =++的值域为(1,)+∞，B 正确； 对于C ，由23a b k ==，根据指对互换法则，得2log k a =，3log k b =，则由121a b+=可得2312log 22log 3log 2log 9log 181log log k k k k k k k+=+=+==，解得18k =，则C 错误；对于D ，根据反函数定义可知，2x y =与2log y x =互为反函数，由反函数性质可得，互为反函数的图像关于直线y x =对称，正确. 故选：ABD12．已知函数()32||f x x =-，2()g x x =，构造函数(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，那么关于函数()y F x =的说法正确的是（ ）A ．()y F x =的图象与x 轴有3个交点B ．在(1,)+∞上单调递增C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值3，最小值1【答案】AC【分析】根据给定条件，作出函数()y F x =的图象，借助图象逐项判断作答.【详解】依题意，由2()()2||30g x f x x x +--=>解得||1x >，则2,1()32,1x x F x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，作出函数()y F x =的图象，如图：观察图象知，函数()y F x =的图象与x 轴有三个交点，在(1,)+∞上单调递减，有最大值1，无最小值， 即选项A ，C 正确；选项B ，D 不正确. 故选：AC三、填空题13．如果幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，那么()9f =______．【答案】13【分析】设出幂函数解析式，由已知点坐标求得幂函数解析式，然后求函数值． 【详解】设()a f x x ，由已知142a =，则12a =-，∴12()f x x -=，121(9)93f -==． 故答案为：13．14．函数()1log (1)(0a f x x a =+->且1)a ≠经过定点A ，点A 在直线()10,0mx ny m n +=>>上，则12m n+的最小值为__________. 【答案】8【分析】先利用log 10a =求定点A ，代入直线方程得21m n +=，再将()12122m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开，利用基本不等式求最小值即可.【详解】令11x -=时，即2x =时，(2)1log 11a f =+=，即定点()2,1A ， 而A 在直线()10,0mx ny m n +=>>上，故()210,0m n m n +=>>.所以()412122448m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4m n n m =时，即11,42m n ==时等号成立，即12m n+的最小值为8. 故答案为：8.【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，通常有以下思路，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用x y +≥（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.15．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]4,4-【分析】令23t x ax a =-+，由题设易知t 在[)2,+∞上为增函数，根据二次函数的性质列不等式组求a 的取值范围.【详解】由题设，令23t x ax a =-+，而2log y t =为增函数， ∴要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，即t 在[)2,+∞上为增函数， ∴222120a a a ⎧≤⎪⎨⎪∆=-<⎩或22212040a a a a ⎧≤⎪⎪⎪∆=-≥⎨⎪+>⎪⎪⎩，可得04a <≤或40a ，∴a 的取值范围是(]4,4-. 故答案为：(]4,4-16．若函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是______． 【答案】35,46⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用指数函数的图象变换，分类讨论，根据单调性建立不等式求解即可.【详解】函数11x y a -=-（0a >，且1a ≠）的图象是将函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,0．当01a <<时，结合函数()f x 的图象：若函数()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤． 当1a >时，结合函数()f x 的图象：若()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()1321232112a a a a ⎧⎪>⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，无实数解． 综上，实数a 的取值范围为35,46⎛⎤⎥⎝⎦．解法二：若()32112a a x -<<<，则110x a -->，所以()11x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意；当01a <<时，函数1x y a -=在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数1()1x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则110x a -->在区间()321,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．故实数a 的取值范围是35,46⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：35,46⎛⎤⎥⎝⎦.四、解答题 17．计算：(1)2103218(2)4π--+(2)()2ln186612log 2log e lg 2lg 2lg5lg59-+++⋅+．【答案】(1)5 (2)21【分析】由nm a =a ，log na ab n b =log ，log a N a N =，()log log log a a a M N MN +=等计算法则可得答案.【详解】（1）原式1213-=++-=2241533-++= （2）原式()1661log 4log 18lg 2lg 2lg5lg59-⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭66log 4log 918lg 2lg 5=++++6log 36181=++=2118．已知()f x 是定义在[-4，4]上的奇函数，当[0,4]x ∈时，()24x x f x =-． (1)求()f x 在[4-，0）上的解析式； (2)若存在[2,1]x ∈--，使得不等式()2xmf x ≤成立，求m 的取值范围． 【答案】(1)()f x 在[4-，0）上的解析式为42xx f x(2)[1,)+∞【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式；（2）不等式用分离参数法变形，转化为求函数的最值，然后得参数范围． 【详解】（1）当[4,0)x ∈-时，(0,4]x -∈，所以()24x x f x ---=-， 又()()f x f x -=-，所以()42x x f x --=-，所以()f x 在[4-，0）上的解析式为()42x xf x --=-；（2）由（1）知，[2,1]x ∈--时，()42x x f x --=-， 所以()422xxx m f x --=-≤可整理得112xm ⎛⎫≥⎪⎝⎭- ， 令1()12xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据指数函数单调性可得，1()12xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为减函数，因为存在[2,1]x ∈--，使得不等式()2xmf x ≤成立，等价于()≥mg x 在[2,1]x ∈--上有解， 所以，只需min ()(1)1m g x g ≥=-=， 所以实数m 的取值范围是[1,)+∞．19．已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）在[1,2]x ∈上的值域为[2，4]． (1)求a ，b 的值；(2)判断并证明函数22()ax g x x b+=+，(1,2)x ∈的单调性．【答案】(1)2a =，0b =(2)()y g x =在()12，上单调递增；证明见解析【分析】（1）首先分类讨论确定函数单调性，然后列出关于a 、b 的方程即可求解. （2）利用定义法证明单调性，首先在定义域内取值，然后作差，变形即可判断.【详解】（1）①当1a >时，()x f x a b =+在[1，2]上单调递增，则有224a b a b +=⎧⎨+=⎩，得220a a --=，得2a =，0b =；②当01a <<时，()xf x a b =+在[1，2]上单调递减，则242a b a b +=⎧⎨+=⎩，得220a a -+=，无解，所以2a =，0b =；（2）由（1）知2221()2x g x x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，函数在()12，上单调递增. 证明如下：对于任意的1212x x <<<，()()()()121212121212211122x x x x g x g x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵1212x x <<<∴120x x -<，∴()()120g x g x -<∴()()12g x g x <∴()y g x =在()12，上单调递增 20．已知某船舶每小时航行所需费用u （单位：元）与航行速度v （单位：千米/时）的函数关系为()2,010,450,10kv b v u v av v +<<⎧=⎨+≥⎩（其中a ，b ，k 为常数），函数()u v 的部分图象如图所示．(1)求()u v 的解析式；(2)若该船舶需匀速航行20千米，问船舶的航行速度v 为多少时，航行所需费用最少.最少的费用为多少？【答案】(1)()233320,010,4502,10.v v u v v v +<<⎧=⎨+≥⎩(2)当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为1200元．【详解】（1）将()0,320，()10,650分别代入u kv b =+得320,65010,b k b =⎧⎨=⋅+⎩解得33,320.k b =⎧⎨=⎩把()10,650代入2450u av =+，得265045010a =+⋅，解得2a =．所以()233320,010,4502,10.v v u v v v +<<⎧=⎨+≥⎩（2）航行时间20t v=小时，所需费用设为z 元， 则()6400660,010,900040,10.v vz u v t v v v ⎧+<<⎪⎪=⋅=⎨⎪+≥⎪⎩①当010v <<时，函数单调递减，所以min 6606401300z >+=； ②当10v ≥时，1200z ≥==，当且仅当900040v v =， 即15v =时，等号成立．由12001300<知，15v =时，航行所需费用最小.所以以当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为1200元． 21．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--（0a >且1a ≠）． (1)求函数()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性和单调性（不用证明）；(2)是否存在实数m ，使得不等式()()24log log (2)f m f m <+成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析【分析】（1）根据对数函数的性质求定义域，由奇偶性定义判断奇偶性，由复合函数的单调性得单调性结论（可用定义证明）；（2）假设存在，分类讨论，由单调性及定义域得出不等式组，解得m 的范围即可．【详解】（1）解：由20,20,x x +>⎧⎨->⎩得22x -<<．所以()f x 的定义域为{22}xx -<<∣， 因为函数的定义域关于原点对称，且()log (2)log (2)()a a f x x x f x -=--+=-， 所以()f x 为奇函数．又4()log 12a f x x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，内层函数412u x =---为(2,2)-上的增函数， ∴1a >时log a y u =是增函数，则()y f x =为(2,2)-的增函数， 当01a <<时log a y u =是减函数，()y f x =为(2,2)-上的减函数． 证明如下：设1222x x -<<<，124220x x -<-<-<，1244122x x ->>--， 124401122x x <--<----，1a >时，1244log (1)log (1)22a a x x --<----， 即12()()f x f x <，∴1a >时，()y f x =为(2,2)-的增函数， 同理01a <<时，()y f x =为(2,2)-上的减函数； （2）①当1a >时，()f x 在(2,2)-上为增函数，假设存在实数m ，使得不等式()()24log log (2)f m f m <+成立， 则()()2424log log 22log 22log 22m m m m ⎧<+⎪-<<⎨⎪-<+<⎩，解得124m <<．②当01a <<时，()f x 在(2,2)-上为减函数，假设存在实数m ，使得不等式()()24log log (2)f m f m <+成立，则()()2424log log 22log 22log 22m m m m ⎧>+⎪-<<⎨⎪-<+<⎩，解得24m <<．综上，①当1a >时，存在124m <<，使得不等式()()24log log (2)f m f m <+成立；②当01a <<时，存在24m <<，使得不等式()()24log log (2)f m f m <+成立．22．设函数()()()10,1x xf x a k a a a -=-->≠是定义域R 的奇函数．(1)求k 值；(2)若()10f >，试判断函数单调性并求使不等式()()2210f x tx f x +++>在定义域上恒成立的t 的取值范围；(3)若()813f =，且()()222x xg x a a mf x -=+-在[)1,+∞上最小值为2-，求m 的值．【答案】(1)2k =(2)()f x 在R 上单调递增；40t -<< (3)2512m =【分析】（1）由函数为奇函数得()00f =，解方程即可；（2）由()10f >确定a 的取值范围，进而判断函数单调性，根据单调性可得二次不等式恒成立，求得参赛范围；（3）由()813f =可得3a =，进而可得函数()g x ，再利用换元法将函数转化为二次函数，分情况讨论二次函数最值即可. 【详解】（1）()f x 是定义域为R 的奇函数，()00f ∴=，即()110k --=，解得2k =；经检验成立（2）因为函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠），又()10f >，10a a∴->，又0a >， 1a ∴>，由于x y a =单调递增，x y a -=单调递减，故()f x 在R 上单调递增，不等式化为()()221f x tx f x +>--．221x tx x ∴+>--，即()2210x t x +++>恒成立，()2240t ∴∆=+-<，解得40t -<<；（3）由已知()813f =，得183a a -=，即23830a a --=，解得3a =，或13a =-（舍去），()()()()22233333333222x x x x x x x x g x m m ----∴=+----=+-，令()33x xt f x -==-，是增函数，1x ≥，()813t f ∴≥=，则()22282223y t mt t m m t ⎛⎫=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭，若83m ≥，当t m =时，2min 22y m =-=-，解得823m =<,不成立；若83m <，当83t =时，min 64162293y m =-+=-，解得258123m =<，成立； 所以2512m =．。
2022-2023学年甘肃省天水市高一年级上册学期第二学段检测考试数学试题【含答案】
2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高一上学期第二学段检测考试数学试题一、单选题1．已知全集，集合，则（ ）N 7U x x =∈∣ {}{}2,3,4,2,4,5A B ==()U A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{}0,1,6{}1,6,7{}0,1,6,7{}0,1,3,5,6,7【答案】C 【分析】写出，，根据补集含义得出答案.{}0,1,2,3,4,5,6,7U ={}2,3,4,5A B ⋃=【详解】由题意得，，.{}0,1,2,3,4,5,6,7U ={}2,3,4,5A B ⋃={}()0,1,6,7U A B ⋃= 故选：C.2．已知，则“”是“”的（ ）()0,a ∈+∞1a >12a a +>A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义，利用基本不等式定理与举特例判断可得．【详解】解：当时，有；13a =11323a a +=+>当时，有成立，1a>12a a +>=综上，“”是“”的充分不必要条件，1a >12a a +>故选：A ．3．函数的单调递减区间是（ ）2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．(],1-∞[]0,2[)1,+∞][(),02,∞∞-⋃+【答案】C【分析】由复合函数的单调性求解，【详解】由题意得定义域为，2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭R的单调递减区间即为的单调递增区间，2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭22y x x =-[)1,+∞故选：C 4．当时，幂函数为减函数，则实数m 的值为（ ）()0,x ∈+∞()2531m y m m x --=--A ．B ．2m =1m =-C ．或D ．1m =-2m=m ≠【答案】A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，()2531m y m m x --=--()0,+∞所以解得：.211530m m m ⎧--=⎨--<⎩2m =故选：A.5．已知函数为R 上的偶函数，若对于时，都有，且当时，()y f x =0x ≥()()4f x f x =+[)0,2x ∈，则等于（ ）()()2log 1f x x =+()2021f -A ．1B ．-1C ．D ．2log 623log 2【答案】A【分析】由已知确定函数的周期，利用周期性和奇偶性进行求解.【详解】∵为上的偶函数，∴，()y f x =R (2021)(2021)f f -=又当时，，0x ≥()(4)f x f x =+∴，(2021)(2017)(1)f f f ==⋅⋅⋅=当时，，[)0,2x ∈2()log (1)=+f x x ∴.2(2021)(1)log (11)1f f -==+=故选：A.6．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p 是素数）型素数进行过较系统而21p-深入的研究，因此数学界将“”（p 是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数21p-为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）参考数据：12721M =-60721N =-NM lg 20.3010≈A ．B ．C ．D ．14010142101441014310【答案】C【分析】近似化简，结合对数运算求得正确答案.NM 【详解】，令，两边同时取常用对数得，607607480127127212=2212N M -≈=-4802k =480lg 21g k =∴，∴，结合选项知与最接近的数为.lg 480lg 2144.48k =⨯≈144.4810k ≈NM 14410故选：C.7．设，且，则的最小值为（ ）(),0,x y ∈+∞21x y +=11x y +A ．7B ．6C ．D ．3+3【答案】C【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.()1311122y xx y yy y x x x ⎛⎫++=++⎭= +⎪⎝【详解】因为，，，0x >0y >21xy +=则，()223111133y x x y x x x y y y ⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭当且仅当时，即时，等号成立，2y x xy =xy =所以的最小值为11x y +3+故选：C.8．已知函数，则不等式的解集为（ ）33,0()e 1,0xx x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩()(31)<-f a f a A ．B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为，33,0()e 1,0xx x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩当时函数单调递减，且，0x <()33f x x =-+()3033f x >-⨯+=当时函数单调递减，且，0x ≥()e 1x f x -=+()00e 123f =+=<所以函数在上是单调递减，()f x (,)-∞+∞所以不等式等价于，解得．()(31)<-f a f a 31a a >-12a <即不等式的解集为；1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭故选：C二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．()||f x x =1()f x x x=+3()2f x x x =+2()1f x x x =++【答案】BC【分析】根据奇函数的定义即可逐一选项求解.【详解】对于A,的定义域为R,关于原点对称，而，为偶函数，()||f x x =()||=()f x x f x -=-对于B,的定义域为，关于原点对称，且，为1()f x x x =+()()00-¥È+¥，，1()=()f x x f x x -=---奇函数，对于C ，的定义域为R ，关于原点对称，且，为奇函3()2f x x x =+()()()3()2=f x x x f x -=-+--数，对于D,的定义域为R ，关于原点对称，而，不是奇函数，2()1f x x x =++()2()1f x x x f x -=-+≠-故选：BC10．下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ）2y x =+A ．B ．C ．D ．2y =2y =22x y x =+2y =【答案】ACD【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.【详解】解：的定义域为．2y x =+R对于A ，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；2y =[)2,-+∞2y x =+对于B ，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；22y x =+=+R 2y x =+对于C ，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；22x y x =+{}0x x ≠2y x =+对于D ，，与的对应关系不同，不是同一函数．2,0222,0x x y x x x +≥⎧==+=⎨-+<⎩2y x =+故选：ACD ．11．已知函数在R 上存在最小值，则实数m 的可能取值为（ ）3log (10),1()2,1x x x f x m x -≤⎧=⎨->⎩A ．B ．0C ．1D ．21-【答案】AB【分析】探讨分段函数的单调性，再根据给定条件求出m 的取值范围即可判断作答.()f x 【详解】当时，函数是单调递减的，，，1x ≤3()log (10)f x x =-1x ∀≤()(1)2f x f =≥当时，是单调递增的，，，1x >()2xf x m =-1x ∀>()2f x m >-因函数在R 上存在最小值，则当且仅当，解得，()f x 22-≥m 0m ≤所以实数m 的可能取值为-1，0.故选：AB12．已知关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）x ()22120ax a x +-->0a ≤A ．B ．C ．D ．(),2-∞-12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AB【分析】考虑和两种情况，不等式变形为，根据根的大小关系得到0a =a<0()120x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，，三种情况，解不等式对比选项即可.1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭12a =-1,2a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭【详解】当时，不等式，即，，A 满足；0a =()22120ax a x +-->20x --><2x -当时，，即，a<0()()2121220ax a x a x x a ⎛⎫+--=+-> ⎪⎝⎭()120x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭当时，；1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭1,2x a ⎛⎫- ⎪∈⎝⎭当时，不等式无解；12a =-当时，，B 满足.1,2a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭12,a x -∈⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：AB.三、填空题13．函数的零点是___．2log 3y x =-【答案】8【分析】根据零点定义解方程可得.【详解】由得，解得，即的零点为8.2log 30x -=2log 3x =328x ==2log 3y x =-故答案为：814．若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．【答案】；13602π+13602π-【分析】设这两个角的弧度数分别为，，先将 化为弧度，然后由条件可得方程αβ1︒，解出方程可得到答案.1180αβπαβ-=⎧⎪⎨+=⎪⎩【详解】设这两个角的弧度数分别为，，，因为，αβαβ>1rad180π︒=所以，则，即这两个角的弧度数分别为，． 1180αβπαβ-=⎧⎪⎨+=⎪⎩1360213602παπβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13602π+13602π-故答案为：，13602π+13602π-15．已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的()()1log 3(04a f x x a =-+>1)a ≠A ()y g x =图象也经过该点， 则 _______________________．12g ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】4【分析】根据对数型函数的性质，结合幂函数的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，设幂函数，1(2)4f =1(2,4A ()y g x x α==因为幂函数 的图象经过，()y g x =1(2,4A 所以，2122()4g x x αα-=⇒=-⇒=因此，211()(422g -==故答案为：416．若函数在区间上是单调增函数，则实数a 的取值范围是______．()()2ln 1f x x ax =--()1,+∞【答案】(],0-∞【分析】利用复合函数单调性的原则进行计算即可.【详解】由函数在区间上是单调增函数，只需()()2ln 1f x x ax =--()1,+∞函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以满足21y x ax =--()1,+∞1x >210x ax -->解得．1,2110,aa ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩0a ≤故答案为：(],0-∞四、解答题17．已知.3πα=(1)写出与角终边相同的角的集合；α(2)写出在内与角终边相同的角.()4,2ππ-α【答案】(1)2,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(2)，，113π-53π-3π【分析】（1）根据任意角的定义，即旋转周期，可得答案.（2）由（1）结论，可得，解出的值，即可得到答案.4223k ππππ-<+<k 【详解】（1）与角终边相同的角的集合为.α2,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）令，得.4223k ππππ-<+<13566k -<<又，∴k =-2，-1，0，k ∈Z ∴在内与角终边相同的角是，，.()4,2ππ-α113π-53π-3π18．已知函数是奇函数．()221x xaf x +=+(1)求的值；a (2)已知，求的取值范围．()()2212f m f m -<-m 【答案】(1)1a =-(2)31m -<<【分析】（1）由求出参数值，再检验即可；()00f =（2）先判断函数的单调性，然后根据单调性列出不等式求解即可．()f x 【详解】（1）函数的定义域为，又因为是奇函数，()221x xa f x +=+R ()f x 则，解得；()0020021a f +==+1a =-经检验，故成立；()()21122112x x x xf x f x -----===-++1a =-（2）因为()21212121x x xf x -==-++对任意，有12x x <()()()()()2212111222222021212121x x x x x x f x f x --=-=<++++所以在上单调递增()f x R 又，所以()()2212f m f m -<-2212m m-<-解得31m -<<19．某地为践习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为，且年后森林的a 20%x 面积为亩．参考数据：，y lg 20.3≈lg 30.48≈(1)列出与的函数解析式并写出函数的定义域；y x (2)为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林多少年？12a 【答案】(1)，()1.2xy a =*Nx ∈(2)使森林面积至少达到亩至少需要植树造林14年.12a【分析】（1）根据题意列出解析式，然后确定定义域即可；（2）由题可知，然后计算出12y a =的值，进一位取整数即可，注意不能四舍五入.x 【详解】（1）由题意可知，即，其定义域为；()120%xy a =+()1.2xy a =*N （2）由题可知，得12y a =()12 1.2xa a =化简可得，所以6125x⎛⎫= ⎪⎝⎭6lg lg125x⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg12lg 32lg 20.4820.313.5122lg 2lg 3120.30.481lg 10x ++⨯==≈=+-⨯+-所以使森林面积至少达到亩至少需要植树造林14年.12a 20．已知对数函数（且）．()log a f x x=0a >1a ≠(1)若对数函数的图像经过点，求的值；()f x ()8,3a (2)若对数函数在区间上的最大值比最小值大2，求的值．()f x [],2a a a 【答案】(1)2a =(2)a =【分析】（1）已知对数函数的图像经过点，将此点代入函数即可求出的值；()f x ()8,3a （2）对数函数在区间上的最大值比最小值大2，分类讨论，时函数的单调()f x [],2a a 1a >01a <<性，并求出最大值与最小值，列出方程即可求出的值.a 【详解】（1）解：若对数函数的图像经过点，则，()f x ()8,3()8log 83a f ==，即.38a ∴=2a =（2）解：当时，在上是增函数，1a >()log a f x x =[],2a a ，，()()max 2log 2log 21a a f x f a a ∴===+min ()()log 1a f x f a a ===因为最大值比最小值大2，所以，解得log 211log 22a a +-==a 当时，在上是减函数，01a <<()log a f x x =[],2a a，，()()max 1f x f a ∴==()()min 2log 21a f x f a ==+则，()1log 21log 22a a -+=-=，212a a ∴=⇒=综上.a =21．已知函数是偶函数.当时，.()()y f x x =∈R 0x ≥2()4f x x x =-(1)求函数在上的解析式；()f x x ∈R (2)若函数在区间上具有单调性，求实数a 的取值范围.()f x [],3a a +【答案】(1)()224,04,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩(2)(][),52,-∞-+∞ 【分析】（1）由函数的奇偶性即可求出函数在上的解析式()f x x ∈R （2）由函数在区间上具有单调性，结合函数图像即可求出实数a 的取值范围.[],3a a +【详解】（1）由题意在中，当时，()()y f x x =∈R 0x ≥2()4f x x x =-设，则，0x <0x ->∴，2()4f x x x -=+∵为偶函数，()f x ∴，2()()4f x f x x x =-=+综上，有；()224,04,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩（2）由题意及（1）得作出的图像如下图所示：()f x∵函数在区间上具有单调性，()f x [],3a a +由图可得或，32a +≤-2a ≥解得或；5a ≤-2a ≥∴实数a 的取值范围是(][),52,-∞-+∞ 22．已知函数.22()log (2)log (2)f x x x =+--(1)判断的奇偶性；()f x (2)若关于x 的方程有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.2()log ()f x a x =+【答案】(1)为奇函数()f x (2)()1,2【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）将问题等价转化为在区间上有两个不同的实数根，构造函数4(2)32a x x =+---()2,2-，数形结合即可求解.()43,0,4y t t t =+-∈【详解】（1）为奇函数，理由如下：()f x 由题意得，解得，2020x x +>⎧⎨->⎩22x -<<即函数的定义域为，故定义域关于原点对称.()f x ()2,2-又，22()log (2)log (2)()f x x x f x -=--+=-故为奇函数.()f x （2）由，2()log ()f x a x =+得，222log (2)log (2)log ()x x a x +--=+所以，22x a x x +=+-所以，24(2)4(2)3222x x a x x x x x x +--=-=-=+-----故方程有两个不同的实数根可转化为方程2()log ()f x a x =+在区间上有两个不同的实数根，4(2)32a x x =+---()2,2-即函数与在区间上的图像有两个交点.y a =4(2)32y x x =+---()2,2-设，，2t x =-()2,2x ∈-则，.43y t t =+-()0,4t ∈作出函数，的图像如图所示.43y t t =+-()0,4t ∈当时，函数与，的图像有两个交点，12a <<y a =43y t t =+-()0,4t ∈即关于x 的方程有两个不同的实数根，2()log ()f x a x =+故实数a 的取值范围是.()1,2。
江苏省淮阴2023-2024学年高一下学期3月阶段性考试 数学含答案
江苏省准阴2023-2024学年度第二学期阶段性考试高一数学试题（答案在最后）2024.03一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数5i 1i m z -=-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为（）A.-5 B.5 C.52- D.522.设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，能使a b a b= 一定成立的是（）A.2a b=- B.22a b = C.2a b = D.||||a b =3.已知a 和b 是两个不共线的向量，若,54,2AB a mb BC a b DC a b =+=+=-- ，且A B D ､､，三点共线，则实数m 的值为（）A.12 B.1 C.12- D.-14.在ABC 中，点M 是边AC 上靠近点A 的三等分点，点N 是BC 的中点，若MN xAB y AC =+ ，则x y +=（）A.1 B.23 C.23- D.-15.已知13tan tan 2x x -=，则tan2x =（）A.43- B.43 C.23- D.236.在ABC 中.点D 是边AB 的中点，且满足113CD AB == ，则CA CB ⋅= （）A.72 B.54 C.72- D.54-7.设α为锐角，若π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A.725- B.725 C.2425- D.24258.1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余剧，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec （角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc （角）表示.现已知()12π0csc sec 2f x x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，则该函数的最小值为（）C.1D.2二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知()0,πθ∈，且sin cos 5θθ+=，则（）A.3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B.4cos25θ=- C.π25sin 45θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D.πtan 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭10.设12,,z z z 为复数，i 为虚数单位，则下列命题中正确的是（）A.2||z zz = B.()1212z z z z =⋅C.22||z z = D.若1z =，则i z +的最大值为211.设点P 在ABC 所在平面内，且点G H O I ､､､分别为该三角形的重心､重心､外心和内心，则下列结论正确的是（）A.若||||||1OA OB OC === 且4320OA OB OC ++= ，则14OB OC ⋅= ；B.30PA PB PC PG +++= ；C.若()||cos ||cos AB AC AI AB B AC C λλ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则ABC 为等腰三角形；D.若2340HA HB HC ++= ，则cos 5BHC ∠=-.三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）13.复数z 满足()1i 1i z -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为__________.14.已知,αβ是锐角，()53cos ,cos 135ααβ=-=，则sin β的值为__________.15.已知平面向量,a b 满足b = ，且对任意t R ∈都有||||b ta b a -≥- ，则||||a b a -+ 的最大值是__________.四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知||||1a b == ，且()()2328a b a b -⋅-= ，（1）求a b ⋅的值：（2）求a b + 与a 的夹角.16.（1）若()tan 22,tan 3αββ+==-，求()tan ,tan αβα+；（2）已知sin ,cos 1010αβ==，且,αβ为锐角，求2αβ+的大小.17.已知函数()212sin f x x x =+-.（1）求函数()f x 的周期及在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）若θ为锐角且()25f θ=-，求cos2θ的值.18.对于集合{}12,,,n A θθθ= 和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos n n θθθθθθμ-+-++-=为集合A 相对的0θ的“余弦方差”.（1）若集合0ππ,,034A θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，求集合A 相对0θ的“余弦方差”；（2）若集合π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，是否存在3π3π7,π,,π424αβ⎡⎫⎡⎫∈∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，使得相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值？若存在，求出,αβ的值：若不存在，则说明理由.19.在ABC 中，点P 是BAC ∠内一点，（1）如图，若3,7BO BC AP AO λ== ，过点P 的直线l 交直线,AB AC 分别于,M N 两点，且,AM mAB AN nAC == ，已知,,m n λ为非零实数.试求1m n λλ-+的值.（2）若AB AC ⊥ ，且2,2,1AP AP AB AP AC =⋅=⋅= ，设BAP ∠α=，试将AB AC AP ++ 表示成关于α的函数，并求其最小值.参考答案一､单选题1-8ACBBADDC 二､多选题：9.BC 10.ABD 11.AC 三､填空题13.214.166515.6四､解答题：15.（1）由()()2328a b a b -⋅-= 展开结合||||1a b == 得0a b ⋅= （2）222()22a b c a b b +=+⋅+= .所以a b += 所以()2cos ,2||||a b a a b a a b a +⋅〈+〉==+ 又因为[],0,πa b a +∈ .所以π,4a b a += .16.（1）()tan 22,tan 3αββ+==- ，()()()()()()tan 2tan 23tan tan 211tan 2tan 123c αββαβββαββ+---∴+=+-===-+++⨯-；()()()()()()tan tan 131tan tan 1tan tan 1132αββααββαββ+----=+-===+++-⨯-.（2）因为sin 10α=，且α为锐角，所以cos 10α===，因为cos 10β=，且β为锐角，所以sin 10β===，要么2234sin22sin cos 2,cos212sin 1210105105βββββ⎛⎫==⨯==-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以()43cos 2cos cos2sin sin21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，因为ππ0,,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()20,πβ∈.所以3π20,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故π24αβ+=17.（1）由函数()2π12sin cos22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==又由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ262x +=时，即π6x =时，()f x 取得最大值，最大值为max π()26f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭：当π7π266x +=时，即π2x =时，()f x 取得最小值，最小值为max π()12f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为[]1,2-（2）由()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()25f θ=-，可得π22sin 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π1sin 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ7π2,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又由π1sin 2065θ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，所以π7π2π,66θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得πcos 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.则ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111525210+=-⨯-⨯=-18.（1）因为集合0ππ,,034A θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，所以22ππ11cos cos 33442228μ++===：（2）由“余弦方差”的定义得：()()222000πcos cos cos 43θαθβθμ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭=()()000π1cos 21cos 221cos 22123222θαθβθ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥+-+-⎝⎭⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦000001311111sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos2sin2sin23222222θαθαθβθβθ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦()()00cos2sin213cos2cos21sin2sin2,3222θθαβαβ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦要使μ是一个0θ与无关的定值，可令cos 2cos 20sin 2sin 21αβαβ+=⎧⎨+=-⎩①②由①2+②2得()1cos 222αβ-=-，又因为3π7π2,2π,23π,22αβ⎡⎫⎡⎫∈∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭所以()222π,παβ-∈--所以4π223αβ-=-代入②4πcos2cos 203αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，化简得tan23α=-，又因为3π2,2π2α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以1126πα=，即1119,1212ππαβ==时，相对任何0θ常数.的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值19.（1）一方面()()1AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+ ，故()3133777AP AO AB AC λλ-==+ .另一方面，由M ，P ，N 三点共线知，(11)(11)AP t AM AN tmAB nAC=+-=+- 所以()()31173117m n λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可变为()31173117m n λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去t ，得()313177m nλλ-+=，组173m n λλ-+=（2）法一：设π,2,1,22BAP CAP AP AB AP AC AP ∠α∠α=⇒=-⋅=⋅== ，12||cos 2||cos AB AB αα∴⋅=⇒= ，同理：π12cos 122sin AC AC αα⎛⎫⋅-=⇒= ⎪⎝⎭，222||222AB AC AP AB AC AP AB AC AC AP AB AP∴++=+++⋅+⋅+⋅ 2211424cos 4sin αα=++++222222sin cos sin cos 10cos 4sin αααααα++=++2222sin cos 454545491cos 4sin 4444αααα-++≥=+=当目仅当2222sin cos tan cos 4sin 2ααααα=⇒=时，所以min 7||2AB AC AP ++= 法二：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立.直角坐标系，设(,0),(0,)B b C c ，因为||2AP = 且BAP ∠α=，故设()2cos ,2sin P αα.()()()(),00,2cos ,2sin 2cos ,2sin AB AC AP b c b c αααα++=++=++ 由2AP AB ⋅= 得2cos 2b α=，由1AP AC ⋅=得2sin 1c α=.代入可得222222||()44cos 4sin ;10AB AC AP AB AC AP b c b c b c αα++=++=++++=++ 221110cos 4sin αα=++（下同法一）。
高一上学期数学《函数的应用》单元检测卷(A)含答案解析
第三章 函数的应用单元检测卷(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)2.函数f(x)＝ln 2x －3lnx＋2的零点是( )A ．(e,0)或(e 2，0)B ．(1,0)或(e 2，0)C ．(e 2，0)D ．e 或e 23．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )A ．y ＝3x B ．y ＝log 3xC ．y ＝x 3 D ．y ＝3x4.已知函数f (x )的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,35.设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(−12)⋅f(12)<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一实根D ．没有实根6.方程|x |－ax ＝0(a >0)的零点有( )A ．1个 B ．2个C ．3个 D ．至少1个7．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f(x)的图象大致是( )8．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.9 B ．0.7C ．0.5 D ．0.49.已知关于x 的方程a·4x ＋b·2x ＋c ＝0(a≠0)，常数a ，b 同号，b ，c 异号，则下列结论中正确的是( )A ．此方程无实根B ．此方程有两个互异的负实根C ．此方程有两个异号实根D ．此方程仅有一个实根10．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年11．已知f(x)是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f(2x 2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ． －78D ．－3812.已知函数f(x)＝e x ,x ≤0lnx,x >0,g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝lg x ＋1的零点是______.14．设y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.15.已知函数f (x )＝Error!则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为_______16.已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．18.（本小题满分12分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．19.（本小题满分12分）关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围20.（本小题满分12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率%不超过1 500元的部分3超过1 500元至4 500元部分10(1)列出公民全月工资总额x(0<x<8 000)元与当月应缴纳税款额y元的函数解析式．(2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数f(x)＝x＋1x的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．第三章 函数的应用单元检测卷(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【答案】：C【解析】：因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是连续不断的，且f(2)＝3－1>0，f(4)＝32－2<0，所以，函数f(x)的零点在区间(2，4)内．2.函数f(x)＝ln 2x －3lnx ＋2的零点是( )A ．(e,0)或(e 2，0) B ．(1,0)或(e 2，0) C ．(e 2，0)D ．e 或e 2【答案】：D【解析】：f(x)＝ln 2x －3lnx ＋2＝(lnx －1)(lnx －2)，由f(x)＝0得x ＝e 或x ＝e 2.3．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )A ．y ＝3x B ．y ＝log 3x C ．y ＝x 3 D ．y ＝3x【答案】：D【解析】：几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D ．4.已知函数f (x )的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,3【答案】：D【解析】：图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.5.设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(−12)⋅f(12)<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一实根D ．没有实根【解析】：由于f(x)＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(−12)⋅f(12)<0，所以f(x)在（−12，12）上有唯一零点，即方程f(x)＝0在[－1，1]内有唯一实根．6.方程|x |－ax ＝0(a >0)的零点有( )A ．1个B ．2个C ．3个 D ．至少1个【答案】：A【解析】；令f(x)＝|x|，g(x)＝ax (a>0)，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个．7．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f(x)的图象大致是( )【答案】：D【解析】：设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意，ax ＝a(1＋0.104)y ，故y ＝log1.104x(x ≥1)，∴y ＝f(x)的图象大致为D 中图象．8．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4【答案】：B【解析】：由题意可知函数的零点在(0.68,0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|<0.1，故选B ．9.已知关于x 的方程a·4x ＋b·2x ＋c ＝0(a≠0)，常数a ，b 同号，b ，c 异号，则下列结论中正确的是( )A ．此方程无实根B ．此方程有两个互异的负实根C ．此方程有两个异号实根D ．此方程仅有一个实根【解析】：由常数a ，b 同号，b ，c 异号，可得a ，c 异号，令2x ＝t ，则方程变为at 2＋bt ＋c ＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b 2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为ca<0，故关于t 的方程只有一个实数根，故关于x 的方程只有一个实数根．10．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年【答案】：D【解析】：设从2016年起，过了n(n ∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥l g2013l g 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.故选D.11．已知f(x)是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f(2x 2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B.18C ． －78D ．－38【答案】：C【解析】：依题意，方程f(2x 2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x 2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x －λ)有1个实数解.∴2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0有两相等实数解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.12.已知函数f(x)＝e x ,x ≤0lnx,x >0,g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【答案】：C【解析】：令h(x)＝－x －a ，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y ＝f(x)，y ＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y ＝f(x)的图象与y ＝h(x)的图象有2个交点．平移y ＝h(x)的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝lg x ＋1的零点是______.【答案】：110.【解析】：由lg x ＋1＝0，得lg x ＝－1，所以x ＝110.14．设y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.【答案】：1【解析】：作出y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象观察可知1<x 0<2.故n ＝1.15.已知函数f (x )＝Error!则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为_______【答案】：3【解析】：g (x )＝f (1－x )－1＝Error!＝Error!易知当x ≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，16.已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【答案】(0,1)∪(9，＋∞)【解析】：设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|.在同一平面直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象，如图．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以Error!有两组不同的解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根．所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，解得a <1或a >9.又由图象得a>0，∴0<a<1或a>9.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．解：设f(x)＝3x 2－5x＋a，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)．∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内，∴f (−2)>0f(0)<0 f(1)<0 f(3)>0 即3×(−2)2−5×(−2)+a >0a <03−5+a <03×9−5×3+a >0解得－12<a<0.∴所求a 的取值范围是(－12,0)．18.（本小题满分12分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQPQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x (10−x2)＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．19.（本小题满分12分）关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围解：设f(x)＝x2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解x0，当0<x 0<2时，∵f(0)＝1>0，则f(2)<0，又f(2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m<－32；当x 0＝2时，42(m 1)10122m +-+=⎧⎪⎨-->⎪⎩,无解．②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则01022(2)0m f ∆≥⎧⎪-⎪≤-≤⎨⎪≥⎪⎩,即是：2(m 1)40314(m 1)210m ⎧--≥⎪-≤≤⎨⎪+-⨯+≥⎩∴313132m m m m ⎧⎪≥≤-⎪-≤≤⎨⎪⎪≥-⎩或,所以－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围是(－∞，－1]．20.（本小题满分12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率%不超过1 500元的部分3超过1 500元至4 500元部分10(1)列出公民全月工资总额x(0<x<8 000)元与当月应缴纳税款额y 元的函数解析式．(2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？解：(1)依题意可得：①当0<x≤3500时，y ＝0.②当3500<x≤5 000时，y ＝(x －3500)×3%＝0.03x －105.③当5000<x<8000时，y ＝45＋(x －5000)×10%＝0.1x －455，综上可得y ＝0,035000.03105,350050000.1455,50008000x x x x x <≤⎧⎪-<≤⎨⎪-<<⎩.(2)因为需交税300元，故有5000<x<8000，所以300＝0.1x －455，所以x ＝7550.答：刘丽十二月份工资总额为7550元．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2x ，x ∈R.(1)当m 取何值时方程|f(x)－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x)＋f(x)－m>0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x －2|，G(x)＝m ，画出F(x)的图象如图所示．由图象看出，当m ＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t 2＋t ，因为H(t)＝（t +12）2－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t 2＋t>m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0].22．（本小题满分12分）设函数f(x)＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A(2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．解：(1)设点P(x ，y)是C 2上的任意一点，高中11则P(x ，y)关于点A(2,1)对称的点P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g(x)＝x －2＋1x －4.(2)由124y my x x =⎧⎪⎨=-+⎪-⎩消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0.Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学函数阶段性检测
一•填空题：(每题5分，共50分)
12 一
1.已知：X € [ —2, 4]，则1 + 的取值范围是
x 8
2•若{ x| ax + 1 = 0} { x | x2+ x —2 = 0}，贝U a = ___________________ .
3.若关于x的方程|x2—6x + 8| = a有两个解，则a的取值范围是 ________________________ .
1
4•已知函数f(X)= -^ + 1,则它的图象不经过第象限.
x 1
5•已知：函数f (x) = ax2+ (a 1)x + 3满足f (1 x) = f (1 x)，则这个函数的最小值
为____________ .
6•若f (x) = x2—ax + 1有负值，则a的取值范围是_____________________ .
1
7.函数f (x) = b + 的对称中心为(1, 2)，则a = , b = •
x a
2
&函数f (x) = x m m 1 ( m € N* )的奇偶性为 ____________________ •
9•函数y = x ( € Q)的图象，当0v x V 1时，在直线y = x上方；当x > 1时，在直线y = x下方，贝U 的取值范围是_________________ •
2x 1
10.已知函数y = 的值域是(一3 0] U [3，+^ )，
x 1
则此函数的定义域为_________________________________ •
二.选择题：(每题5分，共15分)
2
11 •函数y = x —4x + 5在闭区间[—1，m ]上有最大值10，则m的取值范围是( )
(A) ( —^，5] ; ( B) ( —1，5] ; (C) [2, 5] ; ( D) ( —1，+^ ) •
12•函数y = 2x x2的单调递减区间是( )
(A) [ —1 , +3 ) ; ( B) ( —^, 1] ；(C) [0, 1] ; (D) [ 1 , 2].
13•设0v a v b，奇函数f (x)在[—b , —a ]上是减函数，且有最小值2,则函数F(x)
=—| f(x)| ( )
(A)是[a , b ]上的减函数且有最大值—2; (B)是[a , b ]上的增函数且有最小值—2; (C)是［a , b ］上的减函数且有最小值—2； (D)是［a , b ］上的增函数且有最大值—2.
三•解答题:
14.解不等式：
x 1 |
2
| V 1.(本题8分)
x 2 x 1 15.已知函数y = ■■ mx 2 6mx m 8的定义域为R.(本题9 分)
(1 )求m 的取值范围；(2)当m 变化时，若y min = f (m)，求f(m)的值域.
(1 )求f(x)的解析式;
(2)当x v 0时，确定f (x)的单调递增区间，并给予证明. (本题9 分)
17.对于x € R,函数f (x)表示x — 1与| x 2 — 4X + 3|中大的一个值.
(1 )求 f(0) , f(1) , f (2) , f(3) ； (2)作出 y = f(x)的图象;
(3)在［0, 2］内，求f (x)的值域.(本题9 分)
16.已知函数
f (x)= ax 2 1 bx c 为奇函数(a 、 b € Z ), f(1) = 2, f (2) v 3.
高一数学练习答案
(C)是［a , b ］上的减函数且有最小值—2； (D)是［a , b ］上的增函数且有最大值—2.
12
I •已知：X € [ —2, 4]，则1 +匕的取值范围是[2, 3] .
x 8
1
2•若{x|ax + 1 = 0} { x | x2+ x —2 = 0}，则a = 0 , —1, 一•
2
3•若关于x的方程|x2—6X + 8| = a有两个解，则a的取值范围是(1 ,+^ ) U {0}
1
4•已知函数f(X)= -^ + 1,则它的图象不经过第四象限.
x 1
5•已知：函数f (x) = ax2+ (a 1)x + 3满足f (1 x) = f (1 x)，则这个函数的最小值
为8 •
3
6•若f (x) = x2—ax + 1有负值，则a的取值范围是(一3—2) U (2,+^ ) •
1
7•函数f(x) = b + —二的对称中心为(1, 2)，则a = 1 , b = 2 •
x a
2 *
&函数f (x) = x m m ( m € N )的奇偶性为奇函数
9•函数y = x ( € Q)的图象，当0v x v 1时，在直线y = x上方；当x > 1时，在直
线y = x下方，贝U 的取值范围是(一3, 1) •
2x 1
10.已知函数y = 的值域是(一3 0] U [3, +3 ),
x 1
1
则此函数的定义域为[—4，—1) U ( —1, 1] •
2
II •函数y = x —4x + 5在闭区间[—1, m ]上有最大值10,则m的取值范围是(B )
(A) ( —3, 5] ; ( B) ( —1 , 5] ; (C) [2, 5] ; ( D) ( —1,+^ ) •
12•函数y = 2x x2的单调递减区间是( D )
(A) [ —1 , +3 ) ; ( B) ( —3, 1] ；(C) [0, 1] ; (D) [ 1 , 2] •
13.设0v a v b，奇函数f (x)在［—b , —a ］上是减函数，且有最小值2,则函数F (x) =—| f (x) | ( A )
(A)是［a , b ］上的减函数且有最大值—2; (B)是［a , b ］上的增函数且有最小值—2;
(C )是［a , b ］上的减函数且有最小值— 2； (D )是［a , b ］上的增函数且有最大值—2.
x 1
14•解不等式：|「 | V 1 .(本题8分)
x 2 x 1 解：原不等式等价于：|x —
1|V | x 2— x + 1| , x
1 0 x 1 0
2 或 2 ，解得：x € ( —8, 0) U (0 ,+^ ).
x 1 x x 1
1 x x x 1 15•已知函数y = , mx
2 6mx m8的定义域为R.
(1 )求m 的取值范围；(2)当m 变化时，若y min = f(m)，求f(m)的值域.(本题9分)
解：(1)由题意，当x € R 时，mx 2 — 6mx + m + 8>0恒成立，
解得：m € [ 0, 1 ].
(2) y = m(x 3)2 8m 8 ,
2yi2
, m 0
y min = f (m)
v 8m 8
, 0 m 1 ••• f(m) € [0, 2 ..2 ].
ax 2 1
16•已知函数 f (x)= 为奇函数(a 、b € Z ) , f(1) = 2, f (2) V 3.
bx c
(1 )求f(x)的解析式；(2)当x V 0时，确定f(x)的单调递增区间，并给予证明.
解：(1 )•••函数f (x)为奇函数，•• c = 0.
(2)当x V 0时，f(x)的单调递增区间是(一8, — 1］.
17.对于x € R,函数f (x)表示x — 1与| x 2 — 4x + 3|中大的一个值. a 1 b 4a 1 2b 2 ，得: 3 a = 1, b = 1 .即: f(x) =
(1 )求f(0), f(1) , f (2) , f (3) ； (2)作出y = f(x)的图象;
(3)在［0, 2］内，求f (x)的值域.(本题9 分)
(C )是［a , b ］上的减函数且有最小值— 2； (D )是［a , b ］上的增函数且有最大值—2. 解：(1) f(0) = 3, f (1) = 0, f(2) = 1, f (3) = 2.
2 x
4x 3
,x 诚x 5 2) y = f (x) = x 2
4x 3 ,1 x 2 ,图略 x 1
2 x5 3) 当 x € [ 0, 2]时， f(x)€ [ 0, 3].。