二次根式的除法
初中数学 如何对两个二次根式进行除法运算
初中数学如何对两个二次根式进行除法运算对于两个二次根式进行除法运算，我们可以按照以下步骤和规则来进行计算。
理解并掌握这些方法，可以帮助我们更好地解决二次根式的除法问题。
步骤一：将两个二次根式写成标准形式首先，我们需要将两个二次根式写成标准形式，即确保根号下的数是最简形式且系数为整数。
如果有必要，我们可以进行化简或合并同类项。
步骤二：有理化分母在进行二次根式的除法运算时，如果分母是一个二次根式，我们需要有理化分母，即将分母中的二次根式去掉。
具体来说，如果分母是一个二次根式√(c)，其中c是一个非负实数，我们可以将分子和分母同时乘以√(c)来有理化分母。
步骤三：使用除法法则计算根号下的数根据除法法则，我们将两个二次根式进行除法运算时，可以将它们的根号下的数相除。
具体来说，如果有两个二次根式√(a)和√(b)，其中a和b都是非负实数，那么它们的除法为：√(a) / √(b) = √(a/b)。
步骤四：计算系数在进行根号下的数的除法计算后，我们需要计算系数的除法。
如果两个二次根式的系数都是整数，那么我们可以直接将它们的系数相除。
如果其中一个或两个二次根式的系数不是整数，我们需要将它们进行化简或分解，然后再进行系数的除法运算。
步骤五：合并结果在计算了根号下的数和系数后，我们将它们合并到一起，得到最终的结果。
如果根号下的数是一个完全平方数，我们可以将其提取出来，得到一个整数。
如果根号下的数不能被整除，我们将其保留在根号下，确保结果是最简形式。
让我们通过一些实际的例子来说明如何对两个二次根式进行除法运算：例子1：计算√(12) / √(3)。
首先，我们将根号下的数进行除法运算：√(12) / √(3) = √(12/3) = √(4) = 2。
因此，√(12) / √(3)等于2。
例子2：计算(3√(5)) / (√(15))。
首先，我们有理化分母，将分子和分母同时乘以√(15)：(3√(5)) / (√(15)) = (3√(5) * √(15)) / (√(15) * √(15)) = 3√(5*15) / 15 = 3√(75) / 15。
二次根式乘除运算法则
二次根式乘除运算法则1.二次根式乘法法则：两个二次根式相乘时，我们可以将它们的系数相乘，并将根号内的值相乘，然后合并同类项。
例如：√2*√3=√(2*3)=√6当系数为负数时，我们可以先将负号移到根号前，然后再进行乘法运算。
例如：-√2*√3=-(√2*√3)=-√(2*3)=-√6如果两个二次根式都有分子和分母，我们可以对分子和分母分别进行乘法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√2/√3)*(√5/√7)=(√(2*5)/√(3*7))=(√10/√21)2.二次根式除法法则：两个二次根式相除时，我们可以将它们的系数相除，并将根号内的值相除，然后将同类项合并。
例如：√6/√2=√(6/2)=√3当系数为负数时，同样可以先将负号移到根号前，然后再进行除法运算。
例如：-√6/√2=-(√6/√2)=-√(6/2)=-√3如果被除数和除数都有分子和分母，我们需要对被除数和除数的分子和分母进行分别进行除法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√10/√2)/(√5/√3)=(√10*√3)/(√2*√5)=(√(10*3)/√(2*5))=(√30/√10)=(√(30/10))=√33.提取公因式的技巧：当需要进行二次根式的加减运算时，我们可以先提取公因式，再合并同类项。
例如：√16+√36=4√1+6√1=4+6=10如果二次根式中的根号内的表达式可以进行因式分解，我们可以先将根号内的表达式进行因式分解，然后再进行合并。
例如：√20+√8=√(4*5)+√(4*2)=2√5+2√2=2(√5+√2)4.合并同类项的方法：当有多个二次根式需要进行合并时，我们需要保证它们的根号内的表达式相同，然后将它们的系数相加或相减，保持根号不变。
例如：2√5+3√5=(2+3)√5=5√5以上就是二次根式乘除运算的基本法则和技巧。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些法则和技巧，以便在解决问题时快速而准确地进行计算。
《二次根式的乘法和除法》 知识清单
《二次根式的乘法和除法》知识清单一、二次根式的乘法1、法则二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
即：＄＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＄（＄a\geq 0$，＄b\geq 0$）例如：＄＼sqrt{2} ＼times ＼sqrt{3} ＝＼sqrt{2×3} ＝＼sqrt{6}＄2、乘法法则的推广多个二次根式相乘时，此法则同样适用。
例如：＄＼sqrt{2}×＼sqrt{3}×＼sqrt{5} ＝＼sqrt{2×3×5} ＝＼sqrt{30}＄3、乘法法则的逆用＄＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＄（＄a\geq 0$，＄b\geq 0$）这一逆用常用于将一个二次根式化简为两个或多个二次根式的乘积形式。
例如：＄＼sqrt{18} ＝＼sqrt{9×2} ＝＼sqrt{9}×＼sqrt{2} ＝3\sqrt{2}＄4、二次根式乘法运算的步骤（1）先将被开方数进行因数分解或质因数分解。
（2）把可以开得尽方的因数或因式开出来。
（3）应用乘法法则进行计算。
二、二次根式的除法1、法则二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
即：＄＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＄（＄a\geq 0$，＄b>0$）例如：＄＼dfrac{＼sqrt{8}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{8}｛2}｝＝＼sqrt{4} ＝ 2$2、除法法则的推广多个二次根式相除时，此法则同样适用。
例如：＄＼dfrac{＼sqrt{12}｝｛＼sqrt{2}｝÷＼sqrt{3} ＝＼dfrac{＼sqrt{6}｝｛＼sqrt{3}｝＝＼sqrt{2}＄3、除法法则的逆用＄＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＝＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＄（＄a\geq 0$，＄b>0$）这一逆用常用于将一个二次根式的除法运算转化为乘法运算，以简化计算。
二次根式的除法(1)
课堂展示
课堂展示
规则： 同学们先在草稿纸上完成题目，5分钟后，随机抽取三名同学进行展示。
第二轮
1、计算：
① 18 8
2 5 ② 1 3 6
③ 27 50 6
2、化简：
9 ① 49
a 2b ② 4c 2
2a 2 ③ 9
课堂小结：
1、利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2、二次根式的除法常用方法： 利用公式：
a b = a (a ≥0，b > 0) b
b ( a 0，b 0) a
b a
作业 ：
1、计算
54 ① 3
1 7 ② 4 5 15
（x＞2）
3 ③ （x - 2） x - 2
2、化简
4x 2 ① 81
8 ② 2 a
1 ③ 4 4
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
新知探究
1、填空
①
②
4 9 9 16 16 25
2 3 3 4
4 5
4 9 9 16 16 25
2 3
3 4
4 5
③
2、由此可以得到二次根式除法的运算法则：
a b
a b
（a≥0，b＞0）
a b
a b
（
X）
1 （3）选择：化简 过程正确的是 （ 4
C
）
A Байду номын сангаас
1 （B） 4
1 1 （C） 2 4
1 1 4 2
总结：商的算术平方根性质的运用一定要注意 被开方数的取值范围。
之规 后 ，则 第一轮 随： 机同 1、计算： 抽学 72 取们 （ ） 18 2 ； 2） 1 （ ； 6 三先 名在 b b （3） 2a 6a； 4） （ 同草 5 20a 2 学稿 2、把下列二次根式化成 最简二次根式： 进 纸 行上 3 展完 (1) 32 ( 2) 40 (3) 1.5 ( 4) 4 示成 。题 目 ，
4.2.2 二次根式的除法
【解析】选B. 解析】
5.若 5.若
x-2 x-2 成立， 满足_______. 成立，则x满足_______. = 3- x 3- x
x-2≥0 【解析】由题知 解析】 , ∴2≤x<3. 3 - x > 0
答案: 答案:2≤x<3
6.计算： 6.计算： 计算
【解析】 解析】
7.若一个直角三角形的面积为 7.若一个直角三角形的面积为 18 cm2，一条直角边长为 cm，求另一条直角边的长和斜边上的高. 3 cm，求另一条直角边的长和斜边上的高. 【解析】设另一条直角边的长为b cm, 解析】设另一条直角边的长为b 则 1 × 3b = 18 , 解得 b = 2 6(cm).
二次根式的乘法
a × b = ab(a ≥ 0, b ≥ 0)
ab = a × （a ≥ 0，b ≥ 0） b
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？
计算下列各式，观察计算结果，能发现什么规律？ 计算下列各式，观察计算结果，能发现什么规律？
4 2 (1) = , 3 9 4 2 = 3 9
2
故斜边长为
( 3)2 + (2 6)2 = 27 = 3 3(cm),
2× 18 ÷ 3 3 = 2 6 (cm). 3
所以斜边上的高为
1.利用商的算术平方根的性质化简二次根式. 1.利用商的算术平方根的性质化简二次根式. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式 2.二次根式的除法有两种常用方法： 2.二次根式的除法有两种常用方法： 二次根式的除法有两种常用方法 （1）利用公式： a = a (a ≥，b > 0) ； 利用公式： 0
《二次根式的除法》教案
5.2.2 二次根式的除法教学目标1 在具体情境中，通过探索得到二次根式除法法那么；2 会用二次根式除法法那么熟练进行二次根式除法运算，并会对结果进行化简；3通过二次根式乘法类比得出二次根式除法渗透类比思想。
教学重点、难点重点：二次根式除法运算难点：探索二次根式除法法那么教学过程一、创设情景，导入新课1复习：二次根式乘法法那么是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？(0,0)a b ab a b=≥≥，二次根式相乘，把被开方数相乘。
二合作交流，探究新知1a 与a的关系。
〔1〕3与13是什么关系？〔互为倒数的关系〕〔2〕133与还是互为倒数的关系吗？为什么？估计学生会持肯定态度,因为11331133⋅=⨯==，所以，133与是互为倒数的关系。
〔3〕1a a与还是互为倒数的关系吗？为什么？ 估计有的学生会认为是互为倒数关系，理由是：111a a a a⋅=⋅==1 个别学生会想到只有当 a ≥0时，才有1a a与互为倒数关系。
〔4〕既然1a a与互为倒数，怎样表示他们的关系呢？11(0)a a a=≥ 2、 推导：00)a aa b b b=≥>（，∵111a aa a ab b b b b ⋅⋅==== ∴00)a aa b b b=≥>（，这个公式说明了二次根式相除，怎样运算？〔把被开方数相除〕 三 应用迁移，稳固提高 1 直接运用公式进行计算 例1 计算：〔1〕153, (2)34052解：〔11515533== 〔234034032052552==变式：〔1〕这两个题中分子的被开方数能被分母的被开方数整除，假设分子的被开方数不能被分母的被开方数整除，且要求结果的被开方数是整数，你有方法吗？ 试试看：2410222412125211515105555⨯⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭例2 设a>0,b>0,计算： 3182a ba 3243a a解：〔1〕33218189322a b a ba b a b a a===〔2〕232324248222233aa a a a a a⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 变式：上题改为：4243a a，且要求结果中的被开方数是整式。
二次根式的除法
二次根式除法
二次根式乘法法则:
a b a b
（a≥0,b≥0)
最简二次根式的要求: 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
探 究
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什 么规律？
2 4 4 （1） =（ ）， =（ 3 9 9
2 ） 3 4 4 16 16 （2） =（ ）， =（ ） 25 5 5 猜想： 25
3( x 1) 2( x 1) 3
4、若等式 是_________
x x 5
x x 5 成立，则x的取值范围
5、已知， a 5 2 则a与b的关系是（ ） (A) a
6
(C)
1 b ， 52 6
b
(B) a
b
ab 1
(D)
ab
小 结
1、二次根式的除法：
3
4 3
4
1.5
最简二次根式的要求:
被开方数不含分母. 例 题
1、计算：
24 (1) 3
2、化简：
3 1 (2) 2 18
3 (3) 15 5
3 (1) 100
25 y (2) 2 9x
3
4 3
4
1.5
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式.
3、计算：
3 (1) 5
3 2 (2) 27
8 (3) 2a
4、计算：
3 1 (1)9 45 1 2 2
(2) 18 2 x y 3 2 xy
3 2
(3)(4 27 5 48) 2 3
二次根式的除法法则
含字母的二次根式的除法
法则描述
含字母的二次根式相除，同样遵 循同类二次根式的除法法则，但
需注意字母的取值范围。
示例
$frac{asqrt{b}}{csqrt{b}} = frac{a}{c} quad (b > 0)$
注意事项
确保字母的取值使二次根式有意 义，且除数不为0。同时，对于 含字母的表达式，还需考虑其定
义域。
04 二次根式除法的应用
在数学领域的应用
1 2 3
简化根式表达式
通过二次根式的除法，可以将复杂的根式表达式 简化为更简单的形式，便于进一步的计算和分析。
解方程和不等式
在解方程和不等式的过程中，经常需要用到二次 根式的除法，以消去根号或化简表达式，从而得 到解或证明不等式。
推导数学公式
二次根式的除法在数学公式的推导中起到重要作 用，例如在三角函数、数列、概率统计等领域的 公式推导中经常涉及。
在物理和工程领域的应用
计算物理量
在物理学中，很多物理量需要通过二次根式的除法来计算，例如速度、加速度、 力等。这些物理量的计算往往涉及到复杂的数学表达式和根式的处理。
工程设计
在工程设计中，经常需要用到二次根式的除法来求解各种问题，例如计算结构 的强度、稳定性等。通过合理的数学建模和计算，可以保证工程设计的准确性 和安全性。
通过与共轭式相乘，可以消去分母中的根号，从而将除法转 化为乘法运算。
避免分母出现根号
在进行二次根式除法时，应尽量避免分母中出现根号。如 果分母中出现根号，可以通过乘以适当的表达式来消去根 号。
例如，当分母为√a + √b时，可以乘以√a - √b来消去分母 中的根号。
06 二次根式除法的注意事项
16.2《二次根式的除法》教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式除法的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式除法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
iii.分母有理化；
iv.应用二次根式除法解决实际问题。
二、核心素养目标
《二次根式的除法》核心素养目标：
1.培养学生的数学抽象能力，通过二次根式的除法运算，让学生理解和掌握数学表达式的抽象化过程；
2.提升学生的逻辑推理能力，引导学生通过分母有理化等方法，合理运用运算规律，进行逻辑推理和化简；
3.增强学生的数学建模意识，将二次根式除法应用于解决实际问题，培养学生建立数学模型解决现实情境中的问题；
另外，我发现学生们在解决复杂的二次根式除法问题时，仍然会犯一些基本的运算错误。这提示我，在后续的教学中，需要加强对基本运算技能的训练，让学生们通过大量的练习来提高他们的运算速度和准确度。
在总结回顾环节，我试图让学生们自己总结今天的学习内容，这样做有助于他们更好地内化知识。但我也意识到，可能需要更多的时间让学生们提问和解答疑问，确保他们真正掌握了课程的核心内容。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分母有理化和二次根式除法的运算规则这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用实际物品来模拟二次根式除法的过程，演示其基本原理。
在新课讲授后的实践活动中，学生分组讨论和实验操作的部分非常活跃，他们能够将所学的知识应用到解决实际问题中。这让我感到欣慰，因为这说明学生们开始学会将理论知识转化为实际操作能力。
16.22二次根式的除法
16.2
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
一般地，二次根式的除法法则是：
作业：习题16.2 第2、3、4、5题
练习：
1. 计算： 2. 化简： 3. 计算： 4. 直角三角形的面积为 ，一条直角边为 ，求另一直角边。 ，靠墙的一边长为 5. 一个长方形篱笆，有一边靠墙，面积为 ，那么篱笆的总长是多少？
6. 一个圆锥的体积V=
，高为
，求圆锥的底面面积。
7. 下列二次根式属于最简二次根式的有_________________。
例6 计算：
最简二次根式： （1）被开方数不含分母，分母中不能有根式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例6 计算：
二次根式的除法法则：
二次根式的商等于商的二次方根。 二次根式的化简：
分母去根号：
二次根式的除法法则：
二次根式的商等于商的二次方根。 二次根式的化简：
分母去根号：
探究1
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律：
一般地，二次根式的除法法则是：
二次根式的商等于商的二次方根。
例4 计算
例4 计算
例4 计算
例4 计算
例5 化简：
例5 化简：
例5 化简：
例6 计算：
算：
例6 计算：
例6 计算：
二次根式除法
课题： 21.2二次根式的除法学习目标：1．会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算，运用商的算数平方根的性质化简二次根式。
2．经历探索二次根式的除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法。
一、正心驱动：填空：， =94 ；， =2516 ； 由计算的结果可得：=ba （a ≥0，b>0） 即：两个算术平方根的商，等于被开方数商的算术平方根。
二、正心共生：计算：（1）672（2）2113-÷2116 (3) 513÷531 .三、正心互享;由上边的式子反过来可得：a b =b a （a ≥0，b ＞0），可以用来化简二次根式。
自学课本例4，仿照例题完成下面的题目：化简：（1（2）21 （3）271 （4）x x 1(x>0)最简二次根式：化简后，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式叫最简二次根式。
二次根式的运算结果必须是最简二次根式。
下列二次根式中是最简二次根式的有 。
（1）31 （2）23 （3）a 8 （4）3x （5） 22b a + 五、正心提升：1、等式2a a 1+-=2a a -1+成立的的条件是 。
2、计算：161411÷）（ （2）-22531311÷ （33、化简：（1）482 （2） x x 823 （34、直击中招：==== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：(1)（2）181 （3）121 (４。
二次根式的四则运算
二次根式的四则运算知识梳理一、二次根式的乘除（1）积的算术平方根性质： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （2）二次根式的乘法法则： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （3）商的算术平方根的性质：bab a =（a ≥0，b ＞0） （4）二次根式的除法法则：b aba = （a ≥0，b ＞0） 二、分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 三、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 四、二次根式的（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 五、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例题讲解例1.计算：（1）52⨯ （2）3221⨯ （3）8326⨯- （4）1052⨯⨯ 例2.化简（1）54⨯ （2）24 （3）()()4936-⨯- （4）()0,0424>>y x y x例3.计算下列各题 （1）312 （2）8123÷ （3）()72214-÷（4）531513÷（5）xyy 24针对练习1.已知()22-=-•a a a a 成立，则a 的取值范围是 .2.能使88-=-x xx x成立，则x 的取值范围是 . 3.化简下列二次根式：=90 =5.2=29 =3127a b ()=-≤++41682a a a 4.计算并化简（1）2863⨯ （2）6331227⨯⨯（3）322214÷- （4）()0113>÷a a bb a b a5.计算（1）6122÷⨯ （2）27121331⨯÷（3）32223513459⨯÷ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷b a b b a 16.若a =5，b =17，则85.0的值用a ，b 可以表示为 . 7．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样（）2+（）2＝m ，•＝，那么便有＝()2ba ±＝±（a ＞b ）例如：化简解：首先把化为，这里m ＝7，n ＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝()234+＝2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）．例题讲解例4.计算 （1）2324+ （2）12273+-（3）x x x x 1246932-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6813225.024例5.计算（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12814482 （2）()6342221⨯-例6.计算 （1）()62322+- （2）()()22322232---针对练习1．若最简二次根式与可以合并，则a＝．2．计算：2+++3﹣+（+5）﹣﹣+（+）（﹣）（）（2﹣3）÷（﹣）（+）+2 （）2﹣（2）（2）（1+）（）﹣（2）2 （）×﹣（）（）3.计算（1）()()322122-+ （2）()()201920182525+•-4.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x x xy y x y x 364363，其中23=x ，27=y .5.已知()3521+=a ，()3521-=b ，求22b ab a ++ .。
二次根式性质与运算
（1） 2(a 1) 2a 4
xy y2 （2）
x y
（3） 1 2 1
（4） 3 5 2 3 3 52 3
【例7】 若最简二次根式 2 3
3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
计算：
【例8】
化简
1
1
1
n2 (n 1)2
，所得的结果为（
）
A．1 1 1 n n1
C．1 1 1 n n1
B． 1 1 1 n n1
D．1 1 1 n n1
1.【难度】1 星
【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或
0．
【答案】二次根式有： 2 、 x(x 0) 、 0 、 x y （x≥0，y≥0）；不是二次根式的
(3 5 2 3)2
19 4 15
3 5 2 3 (3 5 2 3) (3 5 2 3)
11
【答案】（1） (a 1) 2a 4 ；（2） y x y ；（3） 2 1；（4） 19 4 15 ．
a2
11
.7【难度】2 星
【解析】依题意，得
3m2 2 n2 1
或
m
2
2．
n 3 n 3 n 3
n 3
8..【难度】1 星 【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
(1
1 )2 n
2 n
(n
1 1)2
(
n 1)2 n
2 n
(n
1 1)2
第2课时二次根式的除法教案
第2课时二次根式的除法教案一、教学内容本节课我们将学习人教版八年级数学上册第12章《根式》的第二节：二次根式的除法。
具体内容包括理解二次根式除法的法则，掌握如何将二次根式进行相除，并能解决实际问题。
二、教学目标1. 理解并掌握二次根式除法的计算法则。
2. 能够正确进行二次根式的除法运算，并简化结果。
3. 能够运用二次根式除法解决简单的实际问题。
三、教学难点与重点重点：二次根式除法的计算法则及运算步骤。
难点：如何将二次根式化简，以及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、教学PPT。
2. 学具：学生用计算器、练习本、二次根式除法例题资料。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）：通过一个实际情景，例如土地面积的换算问题，引发学生对二次根式除法的兴趣。
2. 例题讲解（15分钟）：讲解二次根式除法的计算法则，并举例说明，如： \( \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt{9} = 3 \)3. 随堂练习（10分钟）：学生进行随堂练习，教师巡回指导，解答学生的疑问。
强调二次根式除法的注意事项，如分母不能为零，根号内不能有分数等。
5. 应用拓展（10分钟）：引导学生运用二次根式除法解决更复杂的问题，如几何图形面积的计算。
六、板书设计1. 二次根式除法的计算法则。
2. 例题及解答步骤。
3. 练习题及答案。
七、作业设计1. 作业题目：\( (1) \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} \)\( (2) \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \)\( (3) \text{应用题：一块长方形土地的长是} 5\sqrt{3} \text{米，宽是} \sqrt{12} \text{米，求这块土地的面积。
} \)2. 答案：\( (1) 3\sqrt{2} \)\( (2) \sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{6}} \)\( (3) 15 \text{平方米} \)八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生是否真正掌握了二次根式的除法，以及在实际问题中的应用。
二次根式的运算规则
二次根式的运算规则二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数运算中起着重要的作用。
二次根式即指的是含有根号的数，如√2、√3等。
在进行二次根式的运算时，我们需要遵循一定的规则，下面将详细介绍二次根式的运算规则。
首先，我们来讨论二次根式的加减运算。
对于同类项的二次根式，我们可以直接进行加减运算。
例如，√2 + √3可以简化为√2 + √3。
但是对于不同类项的二次根式，我们无法进行直接的加减运算，需要通过合并同类项的方式进行简化。
例如，√2 + 2√3不能直接进行加减运算，我们可以将其简化为√2 + 2√3= √2 + √2√3 = √2(1 + √3)。
接下来，我们来讨论二次根式的乘法运算。
对于二次根式的乘法运算，我们可以利用分配律进行简化。
例如，(√2 + √3)(√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -1。
在进行乘法运算时，我们需要注意一些特殊情况。
例如，√2 * √2 = (√2)^2 = 2，即同类项的平方根可以简化为原来的数。
除了加减乘法运算，我们还需要了解二次根式的除法运算规则。
对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数都进行有理化处理。
有理化处理是指将含有根号的数进行合理的变形，使得分母中不再含有根号。
例如，将√2除以√3，我们可以进行有理化处理得到√2/√3 = (√2/√3) * (√3/√3) = (√6)/3。
此外，我们还需要了解二次根式的化简规则。
对于含有二次根式的复合表达式，我们可以通过合并同类项、分解因式等方式进行化简。
例如，√2 + √8可以化简为√2 + 2√2 = 3√2。
在进行化简时，我们需要注意一些常见的二次根式的简化公式。
例如，√4 = 2，√9 = 3等。
最后，我们需要注意二次根式的乘方运算规则。
对于含有二次根式的乘方运算，我们可以将其转化为含有整数指数的乘方运算。
例如，(√2)^2 = 2，(√3)^3 = 3√3等。
二次根式的乘除公式
二次根式的乘除公式
二次根式是指其中包含有根号的代数式，如√2、√3、√5等。
在数
学中，二次根式乘除公式是指用于简化二次根式计算的公式，包括二次根
式的乘法公式和除法公式。
对于任意的非负实数a和b，有以下公式：
√(a) 某√(b) = √(ab)
例如，计算√2某√3，使用乘法公式可以得到：
√2某√3=√(2某3)=√6
在实际应用中，通常需要对二次根式进行简化，因此我们需要化简一
些形如√(2某2)的乘积。
化简乘积的方法是将其中的相同因子提取出来，例如：
√(2某2)=√2某√2=2
因此，我们可以使用乘法公式简化二次根式的乘积，也可以使用化简
乘积的方法将其化简。
对于任意的非零实数a和b，有以下公式：
√(a)÷√(b)=√(a÷b)
例如，计算√6÷√2，使用除法公式可以得到：
√6÷√2=√(6÷2)=√3
在实际应用中，我们也需要对二次根式进行简化。
因此，除了使用除
法公式外，我们还可以使用约分的方法将二次根式化简，例如：
√(6÷2)=√3
因此，二次根式的除法公式可以帮助我们简化二次根式的除法计算。
总结：
二次根式的乘法公式和除法公式，是数学中常用的公式之一、通过使用这些公式，我们可以简化二次根式的计算，使得计算过程更加简洁、高效。
在实际应用中，我们应当熟练掌握这些公式，并且能够根据实际情况进行转化和化简。
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算一、混合运算的定义混合运算是指将不同类型的运算在同一个表达式中进行计算的过程。
在数学中，混合运算常常涉及到加法、减法、乘法、除法等基本运算规则。
二、二次根式的定义二次根式是指具有平方根的数学表达式。
一般情况下，二次根式的形式为√(a × b)或√(a / b)，其中a和b为实数。
需要注意的是，a和b不能是负数。
三、二次根式的混合运算规则在进行二次根式的混合运算时，需要按照以下规则进行计算：1.二次根式的加法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行加法运算。
例如：√2 + √3 = √(2 + 3) = √52.二次根式的减法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行减法运算。
例如：√5 - √3 = √(5 - 3) = √23.二次根式的乘法运算：可以将二次根式的根数和次方数相乘。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √64.二次根式的除法运算：可以将二次根式的根数和次方数相除。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √35.二次根式的乘方运算：可以将二次根式的根数和次方数进行乘方计算。
例如：(√2)² = √(2²) = √4 = 2四、二次根式混合运算的示例示例一：计算√3 + √5 - √2根据混合运算的规则，我们可以首先进行加法运算，然后再进行减法运算。
即：√3 + √5 - √2 = √(3 + 5) - √2 = √8 - √2由于√8不能继续简化，最后的结果为√8 - √2。
示例二：计算√2 × √3 ÷ √5根据混合运算的规则，我们可以先进行乘法运算，然后再进行除法运算。
即：√2 × √3 ÷ √5 = √(2 × 3) ÷ √5 = √6 ÷ √5由于√6不能被√5整除，所以最后的结果为√6÷ √5。
《二次根式的除法》教学反思
•••••••••••••••••《二次根式的除法》教学反思《二次根式的除法》教学反思在二次根式的除法这一节的学习中，这块教学内容是在实数的基础上，重点教学的关键是对二次根式能进行计算和化简，在本节教学中，存在以下问题。
1、在教学设计中，仍然存在着对学情分析不足，主要是过高估计学生的学习能力，对以前学过的知识的复习工作做的不够，导致后续的新知识的学习遇到不少麻烦。
2、九年级数学是新教材，在教学过程中，我的教学理念还没有及时更新，从而导致教学不到位。
在二次根式的化简中，比较重视对具体数的化简，对字母的要求不高，一般都确保二次根式有意义，而没有注重要求引导学生注意二次根式中字母的.取值范围，要求培养学生严谨的学习态度和推断字母取值范围的能力。
刚开始对这一要求理解不到位，没有对学生提出明确要求，也没有重视对典型错误的分析。
3、在促进学生探索求知和有效学习方面还存在明显不足。
新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，经常为了完成教学任务而忽视这方面的引导。
在本节中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试。
在学生探究的过程中重视不够，若能让学生在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高。
4、在学生的学习方面，也有值得反思的地方我班的学生在老师指导下学习数学方面的积极性并不差，但自主学习方面还存在着不足。
遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强、作业只求完成率而不讲质量、学习的竞争意识和自我要求明显缺乏。
这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导，加强改进，提高教学实效。
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（1） ；（2）
课堂练习
三、巩固训练：
Ｐ12 “做一做”、exc1（3、4）
补充：
1、把下列各式分母有理化：
（1） ；（2） 。
2、计算：
（1） ；（2）
小结与作业
课堂小结
四、知识小结：
1、商的算术平方根的性质；
2、会利用商的算术平方根的性质对一些式子进行化简。
本课作业
五、家庭作业：
Ｐ14 exc2（3）、3（3）
新课解析
二、新课讲解：
1、知识设疑：
其一、积的算术平方根的性质：
其二、 而 ，所以 = 。
2、知识形成
商的算术平方根：
概括：商的算术平方根的性质： = （a≥0，b＞0）。
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注意：
(1)若根式中的被开方数的分子与分母都是两个因数之积，因此先运用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根的性质将分子与分母分别化简.
六、每日预题：
1、什么是同类二次根式？
2、二次根式的加减法与合并同类项之间有何异同点？
七、教学反馈：
二次根式的除法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而进一步降低学习的难度，提高学习的效率，但在教与学中，可以明显感受到学生对分母有理化概念在运用中的不灵活性，这也是应在今后的复习中给予加强的。
年级学科
八年级
教材版本
人教版
一、教学内容分析
1、用商的算术平方根的性质化简被开方数为简单的分数或分式的二次根式（也就是分母开方能开尽）；
2应注重二次根式乘除法公式的对比，并复习有关因数分解的知识，多练习，发现问题及时解决。
二、教学目标
2、使学生掌握商的算术平方根的性质；
3、使学生会用商的算术平方根的性质化简被开方数为简单的分数或分式的二次根式（也就是分母开方能开尽）；
(2)若根式中的被开方数的分子是多项式，可先分解因式，再应用商的算术平方根的性质和积的算术平方根的性质分别将分子及分母化简。
自主探究，合作交流，当堂训练，让学生感受到成功的喜悦。激发学生的学习兴趣。
例题精讲
3、例题讲解：
例1、化简：
（1） ；（2） ；（3）
例2、化简：
（1） ；（2）
例3、式子 成立的条件是什么？
3、使学生掌握分母有理化知识，并能利用它进行二次根式的化简及近似手段
课程引入
一、知识导向：
从教材的编排看，二次根式的乘除法着重讲乘法，除法给学生自己去探索，有了乘法的经验，应当不难归纳除法运算法则。在教学中主要让学生充分地进行讨论、交流，发表见解，应注重二次根式乘除法公式的对比，并复习有关因数分解的知识，多练习，发现问题及时解决。