云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试文科数学试题(解析版)

故选：C.
【点睛】本题考查了空间向量解决点的轨迹问题，圆的几何性质和三角形的面积的运算，属于中档题.
二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量 ， ，若 ，则 ______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由 得 =0，计算可得t的值.
【详解】已知向量 ， ，所以复平面内，复数 对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】在复平面内，复数 = =1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.已知 ， ， ，则下列不等式正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由指数函数的单调性得 ，与常数‘1’比较得 即可得答案.
【详解】因为 在R上递减，且 ，所以 .又因为 在R上递增，且 ，所以 .所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查了指数函数的单调性和与常数‘1’比较大小，属于基础题.
D.利润率与人均销售额成负相关关系
【答案】C
【解析】
【分析】
由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到.
【详解】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系.
故选：C.
【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判断函数的单调性是关键，属于中档题.
12.在棱长均为 的四面体 中，点 为 的中点，点 为 的中点.若点 ， 是平面 内的两动点，且 ， ，则 的面积为（）
A. B.3
C. D.2
【答案】C
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，写出B,E,F的坐标，设M(x,y,0)的坐标，由 ，得出M的轨迹，同理得出N的轨迹，由 ，即可得到 的面积.
【详解】（1）选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩共有6个，
其中低于80秒的有3个，分别记为 ， ， ，其余的3个分别记为 ， ， ，
从中任取2个的所有取法有：
， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ,
， ，
共 种，其中2个成绩都低于80秒的有3种，
所以，所取的2个成绩都低于80秒的概率 .
（2）甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次，失败次数都为5次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，
故选：B.
【点睛】本题考查了利用欧拉公式求顶点数的应用，属于基础题.
11.已知函数 ，若函数 的图象在 处切线的斜率为 ，则 的极大值是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数 的图象在 处切线的斜率为 ，得 ，从而得m=0，进而得f（x）的单调性，即可得极大值 = .
【详解】因为函数 ，所以 ，由函数 的图象在 处切线的斜率为 ，所以 =3e，所以m=0.即 =0的根-2,0，因为 ，所以函数 递增，在 递减，在 递增，所以函数 的极大值 = .
（2）若该公司只有一个参赛名额，以该关键技能挑战成绩为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由.
【答案】（1） ；（2）选手乙，见解析.
【解析】
【分析】
（1）用列举法求出基本事件数，求出所求的概率值；
（2）根据甲、乙选手的均值和方差，选出均值高且方差小的选手参赛更合适．
则四边形AECF的面积取得最大值．
故答案为： ﹣1．
【点睛】本题考查四边形的面积的最值，注意运用间接法和三角形的面积、以及正切函数的定义和基本不等式的运用，属于中档题．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列 是等比数列，公比 ，若 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和.
【详解】建立直角坐标系如图所示，
，底面 为等边三角形，且 .所以OD=2,B(- ，-1，0)，D(0,2,0),C( ，-1，0),点 为 的中点，所以E（ ， ，0），点 为 的中点，F（- ，- ，0），设M（x,y,0）, ， ，化简得 ，且点M是平面BCD内的动点，所以点M在以（0,0）为圆心，以1为半径的圆上，又 ，且点N是平面BCD内的动点，同理N也在这个圆上，且 ，所以MN为圆的直径，因为AO 面BCD，所以AO MN，且AO= ， .
9.已知 ， 为椭圆 的左，右焦点， 为 的短轴的一个端点，直线 与 的另一个交点为 ，若 为等腰三角形，则 （）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
设|AF1|＝t（t＞0），由已知条件得出|AB|＝|AF2|，结合椭圆的定义得出 ，可求出|AF1|和|AF2|，即可求出答案．
【详解】设|AF1|＝t（t＞0），由椭圆的定义可得|AF2|＝2a﹣t，由题意可知，|AF2|＞|BF2|＝a，由于△BAF2是等腰三角形，则|AB|＝|AF2|，
【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的 ，四边形的面积构成公
比为 的等比数列，∴第n个正方形的面积为 ，即第四个正方形的面积 .
∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P＝ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.
16.如图，在矩形 中，已知 ， ，点 ， 分别在 、 上，且 .设 ，当四边形 的面积取得最大值时，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
运用直角三角形的正切函数的定义和三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，注意等号成立的条件，可得所求值．
【详解】在直角三角形ABE中，可得BE＝4tanθ，（0<tanθ<1），
故答案为： （ 的任意数均可）
【点睛】本题考查了不等式的计算和充分不必要条件的应用，属于基础题.
15.在 中，已知 ， ， ，则 ______.
【答案】3
【解析】
【分析】
在 中， ， ， 由余弦定理得AB.
【详解】在 中，已知 ， ， ，由余弦定理得 ,得AB=3或-1（舍）.
故答案为：3
【点睛】本题考查了余弦定理解三角形的边长的应用，属于基础题.
3.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
月份
1
2
3
4
5
6
人均销售额
6
5
8
3
4
7
利润率（%）
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
根据表中数据，下列说法正确的是
A.利润率与人均销售额成正比例函数关系
B.利润率与人均销售额成反比例函数关系
C.利润率与人均销售额成正相关关系
故答案为：2.
【点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题.
14.设 ， ， ，若 是 的充分不必要条件，则 的值可以是______.（只需填写一个满足条件的 即可）
【答案】 （ 的任意数均可）
【解析】
【分析】
由 得q：0<x<1，由 是 的充分不必要条件，得0<m<1即可.
【详解】由 得0<x<1,所以q：0<x<1，又 ， ，若 是 的充分不必要条件，则 ，所以0<m<1,满足题意的m= （ 的任意数均可）.
其中， （秒）， （秒），
， ，
选手乙代表公司参加技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但 ，乙选手用时更短，从表格中数据整体看，他们的用时逐步减少，由 ，这说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件建立方程组，求出数列的首项和公比，进一步求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步利用等差数列的前n项和公式求出结果．
【详解】（1）由已知得
则 或 （舍去）.
所以 .
（2）因为 .
所以数列 是首项为2，公差为-1的等差数列.
设数列 的前 项和为 ，
即a+t＝2a﹣t，所以 ，所以 ，因此
故选：A．
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用椭圆的定义是解决本题的关键，属于中档题．
10.在数学历史中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数 、棱数 、面数 之间，都满足关系式 ，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（）
【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和正弦两角和的计算公式，属于基础题.
6.如图，先画一个正方形 ，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形 .在正方形 内随机取一点，则此点取自正方形 内的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的 ．则四边形的面积构成公比为 的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到.
所以 .
【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．
18.“中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚.某公司准备派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛.经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间（单位：秒）及挑战失败（用“×”表示）的情况如下表1：